Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

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1 Uiversité Paris Dauphie Départemet MIDO Cours de Mathématiques Itégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

2 Table des matières 1 Espaces de probabilité et Itégratio Présetatio Défiitio Exemples associés à la défiitio Defiitio Exemples associés à la défiitio Propositio Probabilités coditioelles, idépedace Exemple Défiitio Propositio 2 (Formule de Bayes) Défiitio Propositio Défiitio 4 bis Propositio 4 (Lemme de Borel-Catelli) Variables aléatoires Défiitio Propositio Propositio Propositio Défiitio Propositio Espérace des variables aléatoires réelles et itégratio Défiitio Propositio Défiitio Itégratio des variables aléatoires étagées positives Défiitio Propositio Itégratio des variables aléatoires réelles positives Défiitio Lemme Propositio Propositio Défiitio Itégratio des variables aléatoires réelles Défiitio Propositio I

3 1.7.3 Défiitio Propositio Défiitio 15 (espérace des variables aléatoires réelles) Propositio 16 (loi d ue variable aléatoire) Théorèmes de covergece Théorème 1 (Beppo-Levi) Théorème 2 (Lemme de Fatou) Théorème 3 (Théorème de Lesbesgue ou de «covergece domiée») Propositio 17 (lie avec l itégrale de Riema) Propositio Espaces produits, idépedace Espaces produits Théorème Théorème 2 (de Fubii) Défiitio Théorème Démostratio du théorème Démostratio du théorème Propositio Théorème Idépedace Défiitio Propositio Propositio Propositio Propositio Défiitio Propositio Défiitio Propositio Défiitio Propositio Calculs de lois, foctios caractéristiques et variables aléatoires gaussiees Gééralités Propositio Propositio Propositio Variables aléatoires vectorielles Propriétés de la matrice de dispersio Calculs de lois Rappel de quelques lois usuelles Calculs de loi Foctios caractéristiques Défiitio Propositio Théorème 1 fodametal II

4 3.3.4 Propositio Propositio Propositio Trasformée de Laplace Défiitio Propositio Propositio Foctios géératrices Défiitio Propositio Vecteurs aléatoires gaussies Défiitio Propositio Lemme Propositio Propositio Propositio Propositio Appedice Lois des grads ombres et théorème cetral limite Différets modes de covergece des variables aléatoires Propositio Propositio Lois des grads ombres Théorème Théorème 2 (Loi forte des grads ombres) Théorème 3 (Loi du logarithme itéré) Covergece e loi Théorème de Paul Lévy Théorème Propositio Théorème 5 (Théorème Cetral Limite) Espérace coditioelle Théorème 1 (fodametal) Propositio Propositio Propriétés de l espérace coditioelle Théorème Propositio Théorème Défiitio Défiitio Espaces L P Théorème Espérace coditioelle das L Cas des vecteurs gaussies Théorème III

5 IV

6 Chapitre 1 Espaces de probabilité et Itégratio 1.1 Présetatio La théorie des probabilités propose u modèle mathématique qui red compte de la otio ituitive d expériece aléatoire (i.e. dot le résultat est soumis au «hasard»). La première démarche cosiste à itroduire l esemble Ω dot les élemets costituet tous les résultats possibles de l expériece puis à distiguer ue classe a de sous-esembles de Ω qu o appelle «évéemets», vérifiat certaies propriétés aturelles et efi à affecter u poids P(A) [0, 1] à tout évéemet A a qui sera la probabilité de A. Plus précisémet, la classe a doit être ue tribu sur Ω et la correspodace A P(A) ue mesure positive de masse totale égale à Défiitio 1 1. Soit Ω u esemble. O appelle tribu sur Ω u sous esemble a de l esemble P(Ω) des parties de Ω tel que : φ et Ω appartieet à a. si A a alors A c a. si (A ) est ue suite d élémets de a alors A a et A a Le couple (Ω,a) s appelle u espace mesurable 2. U espace mesurable (Ω,a) état doé, ue mesure positive de masse totale égale à 1 ou probabilité sur a est ue applicatio P de a das [0, 1] vérifiat : si (A ) est ue suite d élémets de a deux à deux disjoits, alors ( ) P A = P(A ) 1

7 P(Ω) = 1 Le triplet (Ω,a, P) s appelle u espace de probabilité. L espace etier Ω représete l évéemet certai, φ l évéemet impossible (P(φ) = 0 car φ φ = φ et φ φ = φ doc P(φ) = P(φ φ) = P(φ) + P(φ) ), le complémetaire A c représete l évéemet cotraire de A, l itersectio A B des évéemets A et B représete l évéemet «A et B ot lieu», la réuio A B représete l évéemet «A ou B a lieu» (attetio : ou est pas exclusif!), les itersectios ou réuios déombrables d évéemets sot itroduits pour l étude des phéomèes asymptotiques, efi l iclusio correspod à l implicatio Exemples associés à la défiitio 1 1. U joueur effectue quatre parties de pile ou face : Ω = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ), x i {0, 1} } 2. U joueur lace u dé trois fois de suite : Ω = { (x 1, x 2, x 3 ), x i {1, 2, 3, 4, 5, 6} } 3. Observatio de la durée de vie d u idividu : Ω = R + 4. Observatio du ombre d appels passat par u cetral téléphoique tous les jours d ue semaie : Ω = N 7 5. Observatio, pedat u itervalle de temps [t 1, t 2 ], du mouvemet de diffusio d ue particule das l espace : Ω = C ( [t 1, t 2 ], R 3) 6. U jeu de pile ou face de durée fiie ou ifiie : Ω = {0, 1} avec ( N) ou Ω = {0, 1} N Das les cas où l esemble Ω est fii ou déombrable, la tribu que l o cosidère est, e gééral, la tribu P(Ω) des parties de Ω et la doée d ue probabilité sur l espace discret (Ω, P(Ω)) équivaut à la doée d ue famille (p(ω)) ω Ω de ombres positifs vérifiat : p(ω) = 1 ω Ω La probabilité d u évéemet A P(Ω) est alors défiie par la formule : P(A) = ω A p(ω) Lorsque Ω est fii, des cosidératios de symétrie coduiset souvet à supposer que p(ω) e déped pas de ω Ω. O a alors : p(ω) = 1 Card(Ω) 2

8 et P(A) = Card(A) ombres de cas favorables à A = Card(Ω) ombre de cas possibles (loi uiforme) Lorsque l espace Ω est pas déombrable, par exemple Ω = R ou Ω = R d ou même u espace métrique, o utilise souvet la otio suivate : Defiitio 2 Soit C P(Ω), ue famille quelcoque de parties de Ω ; o appelle tribu egedrée par C, la plus petite tribu sur Ω (au ses de l iclusio) coteat C ; o la ote σ(c). L itersectio d ue famille quelcoque de tribus état ue tribu, et P(Ω) état ue tribu sur Ω coteat C, o voit que : σ(c) = T tribu C T Exemples associés à la défiitio 2 1. Si C = {A} où A Ω, A φ alors σ(c) = {A, A c, Ω, φ} Si C = {A 1, A 2,, A }, A i Ω, A i φ, détermier σ(c) (cosidérer d abord le cas = 2). 2. Si Ω est mui d ue structure d espace métrique, o peut cosidérer la famille C de tous les ouverts de Ω ; la tribu egedrée par C est alors appelée tribu boréliee de Ω et otée souvet B Ω. Remarquer que, si C est la famille de tous les fermés de Ω, o a aussi B Ω = σ(c ) = σ(c). 3. Si Ω = R d (d N ) la tribu B R d est egedrée par la famille C de tous les pavés de la forme d ]a i, b i [ où a i < b i, a i Q, b i Q i=1 Soit (Ω, a) u espace mesurable quelcoque ; le problème de la costructio d ue mesure de probabilité P sur a peut être o trivial. O a cepedat les exemples suivats. 4. Soiet (a k ) ue suite fixée de poits de Ω et (α k ) ue suite fixée de ombres positifs tels que k α k = 1. Pour tout A a, posos : P(A) = k 0 α k.1 A (a k ) (*) T où 1 A (a k ) = { 0 si ak A 1 si a k A O vérifie facilemet qu o défiit aisi ue mesure de probabilité P sur a. Lorsque a Ω est fixé, la mesure de probabilité défiie par : A a P(A) = 1 A (a) 3

9 est appelée masse de Dirac au poit a et otée δ {a}. La probabilité P défiie par la formule (*) est doc doée par P = k 0 α k.δ {ak } 5. O appelle foctio de répartitio sur R, toute applicatio F de R das [0, 1], croissate, cotiue à droite, telle que lim F(t) = 1 t + lim F(t) = 0 t Il existe alors (Théorème admis) ue uique probabilité P sur l espace mesurable (Ω = R, B R ) telle que O a alors, pour tout t R : s t : P( ]s, t]) = F(t) F(s) P({t}) = lim P( ]s, t]) = F(t) lim F(s) = F(t) F(t 0 ) = F(t) s t s<t s t s<t Si la foctio F est cotiue e t, le «saut» de F e t : F(t) est ul et P({t}) = 0. O dira que P est «diffuse» lorsque P({t}) = 0, t. Si pour tout N, F() = α où α 0, vérifie α = 1, o voit que P est ue probabilité discrète portée par N telle que : N P({}) = α Si, par cotre, il existe ue applicatio f : R R + cotiue par morceaux (positive) telle que et vérifiat + t R F(t) = f(x)dx = 1 t f(x)dx o voit que F est ue foctio de répartitio cotiue et que la probabilité P associée à F vérifie : s t P( ]s, t]) = t s f(x)dx O dira que P est la probabilité de desité f et o otera P(dx) = f(x)dx. O peut, de la même faço, défiir des probabilités de desité f sur (R d, B R d) Propositio 1 Soiet (Ω,a, P) u espace de probabilité et A, B, A ( N) des évéemets. Alors : 1) A B P(A) P(B) 4

10 2) ( ) P A P(A ) N N 3) Si pour tout, A A +1, o a : ( ) P A = lim P(A ) = sup P(A ) N Si pour tout, A +1 A, o a : ( ) P A = lim P(A ) = if P(A ) N Démostratio : 1) O suppose A B, alors : A = B (A\B) avec B (A\B) = doc P(A) = P(B) + P(A\B) P(B) 3) Si pour tout, A A +1, o voit que les évéemets A 0, A 1 \A 0, A 2 \A 1,..., A +1 \A,... sot disjoits de réuio A = A et doc P(A) = P A 0 + 0(A +1 \A ) = P (A 0 ) + 0 P(A +1 \A ) { 1 } = P(A 0 ) + lim (P(A m+1 ) P(A m )) m=0 = lim P(A ) (pour ue uio d évéemets deux à deux disjoits, o remplacera, par commodité, le symbole par le symbole +). Si pour tout, A +1 A, o a alors (( A ) C) P( A ) = 1 P = 1 P ( ) A C = 1 lim P(AC ) = lim P(A ) 2) Posos, pour tout, A = m=0 A m ; alors A A +1 et A = A doc : P( A ) = lim P(A ) lim car A et B état deux évéemets quelcoques, m=0 P(A m ) = 0 P(A ) P(A B) = P (A + (B\A)) = P(A) + P(B\A) P(A) + P(B) 5

11 et doc, par récurrece sur P(A ) = P( m=0 A m ) P(A m ) m=0 1.2 Probabilités coditioelles, idépedace Supposos, qu e étudiat ue expériece aléatoire représetée par u espace (Ω,a, P), o sache déjà qu u évéemet A a (de probabilité P(A) > 0) s est produit. Il est alors ituitif que les probabilités des évéemets B a doivet être modifiées Exemple Soit Ω = {ω 0, ω 1,...,ω } u espace fii. O suppose que P représete le tirage d u poit de Ω selo la loi uiforme. O a doc P ({ω k }) = 1 Card(Ω) et si B Ω, P(B) = Card(B) Card(Ω) Soit A Ω. Quelle est la probabilité qu u poit tiré soit das B, sachat qu il est das A? C est : Défiitio 3 Card(A B) Card(A) = P(A B) P(A) Soiet (Ω,a, P) u espace de probabilité et A a tel que P(A) > 0. O appelle probabilité coditioelle de B a sachat A, le ombre P(B/A) = P(A B) P(A) Propositio 2 (Formule de Bayes) Soit (A ) ue suite fiie ou ifiie d évéemets deux à deux disjoits tels que Ω = A (partitio de Ω) et P(A ) > 0, pour tout, alors : B a, o a P(B) = P(B/A ).P(A ) Démostratio O a : B = B Ω = B ( A ) = (B A ) doc ( ) P(B) = P (B A ) = P(B A ) = P(B/A ).P(A ) O dira que deux évéemets A et B sot idépedats si P(B/A) = P(B) et doc si P(A B) = P(A).P(B) 6

12 1.2.4 Défiitio 4 Ue suite fiie A 1, A 2,, A d évéemets est dite idépedate si P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 ).P(A i2 )..P(A ik ) pour toute suite i 1 < i 2 <... < i k d etiers {1, 2,..., } deux à deux disticts. (N.B. o otera, par commodité, A.B pour désiger l itersectio A B de deux évèemets.) Si A a, soit σ(a) = {, Ω, A, A C } la tribu egedrée par A Propositio 3 Pour que la suite A 1, A 2,, A d évéemets das l espace de probabilité (Ω,a, P) soit idépedate il faut et il suffit que P(B 1 B 2... B ) = P(B 1 ).P(B 2 )..P(B ) quels que soiet les B m apparteat à σ(a m ), m = 1, 2,..., Démostratio Pour tout i {1, 2,..., }, soit A i = A i ou A C i. O a, e fait, l équivalece : (A 1, A 2,, A ) idépedate (A 1, A 2,, A ) idépedate. Il suffit, par récurrece de vérifier que : (A 1, A 2,, A ) idépedate (A 1, A 2,, A ) idépedate ce qui est facile et laissé e exercice Défiitio 4 bis Soit (A i ) i I ue famille d évéemets das l espace (Ω,a, P) où I est u esemble quelcoque d idices. O dit que la famille (A i ) i I est idépedate (ou que les A i, (i I) sot idépedats) si pour tout sous-esemble J fii, J I, o a P( A i ) = P(A i ) i J i J Soit (A ) N ue suite d évéemets das l espace (Ω,a, P). O défiit : lim A = {ω Ω tels que, pour ue ifiité d etiers : ω A } O vérifie aisémet que : lim A = {ω Ω : 0 1 A (ω) = + } = ( m A m ) a Propositio 4 (Lemme de Borel-Catelli) Soit (A ) N ue suite d évéemets. O a 1. 0P(A ) < P(lim A ) = 0 7

13 2. Si la suite (A ) N est idépedate et si 0 P(A ) = + alors P(lim A ) = 1 Démostratio : 1. O a, lorsque P(A ) < : P(lim A ) = P( ( m A )) = lim P( A m) m { lim P(A ) } = 0 m 2. O suppose que P(A ) = + et que la suite (A ) est idépedate, alors : car P { (lim A ) C} = P { ( A C m )} m = lim P{ A C } m = 0 m P { A C } m = lim P{ k A C } m k m= m = lim k m= lim k e k (1 P(A m )) k m= P(Am) = 0 ( o a utilisé le fait que : x 0 (1 x) e x ) 1.3 Variables aléatoires Défiitio 5 Soiet (Ω,a, P) u espace de probabilité et (F, B) u espace mesurable quelcoque. O dit qu ue applicatio X de (Ω,a) das (F, B) est ue variable aléatoire (e abrégé : v.a.) si pour tout B B alors X 1 (B) a. E Aalyse, o dit aussi que X, vérifiat la propriété précédete, est ue applicatio a B mesurable (ou, tout simplemet, mesurable s il y a pas d ambiguité). Lorsque l espace F est fii ou déombrable, la tribu B est, e gééral, égale à P(F) et o voit qu ue applicatio X de (Ω,a) das F est ue variable aléatoire si, pour tout x F o a X 1 ({x}) = (X = x) a. O dit, das ce cas, que X est ue variable aléatoire discrète. Lorsque F = R = R {+ } { }, mui de sa tribu boréliee B R (egedrée par les ouverts de R aisi que par les poits {+ }, { }), o dit que X est ue variable aléatoire réelle (v.a.r.) Propositio 5 1. Pour qu ue applicatio X de (Ω,a) das (F, B) soit ue variable aléatoire, il suffit que, C état ue famille de parties de F qui egedre B (σ(c) = B), o ait : pour tout C C : X 1 (C) a (**). 8

14 2. Lorsque Ω et F sot des espaces métriques, muis respectivemet de leurs tribus boréliees, toute applicatio cotiue X, de Ω das F, est mesurable. Démostratio : 1. O suppose que σ(c) = B et que la propriété (**) est satisfaite. Soit B = {B F tel que X 1 (B) a} a état ue tribu sur Ω, o vérifie facilemet que B est ue tribu sur F. De plus, la propriété (**) sigifie que C B. Doc σ(c) = B B et X est bie ue variable aléatoire. 2. O sait qu ue applicatio X de Ω das F est cotiue, si pour tout ouvert C de F, X 1 (C) est u ouvert de Ω. L assertio 2) est doc ue coséquece immédiate de 1) et de la défiitio d ue tribu boréliee Propositio 6 Soiet (Ω,a), (F, B) et (T, S) trois espaces mesurables, X ue applicatio mesurable de (Ω,a) das (F, B), f ue applicatio mesurable de (F, B) das (T, S), alors Y = f X est ue applicatio mesurable de (Ω,a) das (T, S) Démostratio : elle est immédiate. Remarques : 1. Soit X ue applicatio de (Ω,a) das R. Pour que X soit ue variable aléatoire réelle il suffit que, pour tout t Q, l esemble (X t) [resp. (X t)] appartiee à a. E effet si C = { [, t], t Q } et C = { [t, + ], t Q }, o vérifie facilemet que σ(c) = σ(c ) = B R (tribu boréliee de R). O peut doc appliquer le 1) de la propositio Ue coséquece des propositios 5 et 6 est que, si X et Y sot deux variables aléatoires réelles fiies, alors, pour tous α et β apparteat à R, αx + βy, X.Y et 1 X (si X e s aule pas) sot aussi des variables aléatoires réelles. a Soit (a ) N ue suite d élémets de R. O défiit les ombres lim a et lim par : lim a { } { } = lim sup a m = if sup a m m m { lim a = lim if a m m } = sup { if a } m m Ces quatités sot doc bie défiies (das R), de plus : lim ( a ) = lim (a ) et lim a lim a O vérifie, d autre part, que l = lim a existe (das R) si et seulemet si lim a = lim a = l. Ces propriétés sot laissées e exercice. 9

15 1.3.4 Propositio 7 Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires réelles, alors sup X, if X, lim X et lim X sot aussi des variables aléatoires réelles. E particulier, soit X l applicatio de Ω das R défiie par : { lim X (ω) = X (ω) si lim X (ω) existe 0 sio alors X est ue variable aléatoire réelle. Démostratio : Pour tout t R, o a (sup X t) = (X t) a (if X t) = (X t) a doc sup X et if X sot des variables aléatoires réelles. O e déduit que lim X et lim X sot aussi des variables aléatoires réelles puisque Doc : lim X = if {sup X m } et lim X = sup{ if X m} m m {ω Ω tel que lim X (ω) existe} = {ω Ω : lim X (ω) = lim X (ω) est u évéemet A. O voit alors que : X = ( lim X ).1 A (avec la covetio 0 = 0) est bie ue variable aléatoire réelle. La propositio précédete motre que toute limite simple (si elle existe) d ue suite de variables aléatoires réelles est ue variable aléatoire réelle Défiitio 6 Soit (Ω,a) u espace mesurable. O appelle variable aléatoire étagée toute variable aléatoire X : (Ω,a) R qui e pred qu u ombre fii de valeurs. O vérifie alors que X est étagée si et seulemet si elle est de la forme X = fiieα i.1 Ai où α i R et A i a Remarquer que la décompositio précédete de X est pas uique et que l esemble E des variables aléatoires étagées est u espace vectoriel sur R Propositio 8 Soit X ue applicatio de (Ω,a) das R + = [0, + ]. Alors X est ue variable aléatoire si et seulemet si il existe ue suite croissate (X ) N de 10

16 variables aléatoires étagées positives qui coverge simplemet vers X. Démostratio : S il existe ue suite (X ) d élémets de E qui coverge simplemet vers X o sait, d après la propositio 7, que X est ue variable aléatoire réelle. Réciproquemet supposos que X : (Ω,a) R + = [0, + ] est ue variable aléatoire réelle. Posos X = 2 1 k=0 k.1 (X [ k, k+1 [) +.1 (X=+ ) O vérifie alors facilemet que, pour tout, X E, X X +1 et que pour tout ω Ω : lim X (ω) = X(ω) 1.4 Espérace des variables aléatoires réelles et itégratio Soit X ue variable aléatoire réelle discrète telle que x.p(x = x) < où I m (X) = X(Ω) R x I m(x) O sait alors (cf. le cours de DEUG) que l espérace de X est défiie par : E(X) = x.p(x = x) x I m(x) O se propose ici d étedre la otio d espérace à ue classe beaucoup plus large de variables aléatoires réelles. L espérace de X (si elle existe) apparaîtra alors comme «l itégrale de X par rapport à la mesure de probabilité P» : E(X) = X dp Il s agit doc de doer u ses mathématique précis à cette écriture Défiitio 7 Soit (Ω, a) u espace mesurable. Ue mesure positive σ-fiie sur a est ue applicatio µ de a das R +, vérifiat : 1. si (A ) est ue suite d élémets de a deux à deux disjoits, alors ( ) µ A = µ(a ) Ω 2. il existe ue suite Ω ( N) d élémets de a telle que Ω = Ω et, pour tout, µ(ω ) <. La mesure µ est dite borée si sa masse totale µ(ω) est fiie ; µ est ue probabilité si µ(ω) = 1 (cf. la défiitio 1). Le triplet (Ω,a, µ) s appelle u espace mesuré. Remarquer que la défiitio précédete etraie que µ( ) = 0, puisque, si Ω a vérifie µ(ω ) <, o a µ(ω ) = µ(ω ) = µ(ω ) + µ( ). 11

17 1.4.2 Propositio 9 Soiet µ ue mesure positive σ-fiie sur a et A, B, A ( N) des évéemets. Alors : 1. A B µ(a) µ(b) 2. µ( A ) µ(a ) 3. si, pour tout, A A +1, o a : µ( A ) = lim µ(a ) = sup µ(a ) 4. si, pour tout, A +1 A et s il existe 0 tel que µ(a 0 ) <, alors µ( A ) = lim µ(a ) = if µ(a ) Démostratio : Cf. la preuve de la propositio 1. Exemple importat (mesure de Lebesgue) E dehors des exemples de probabilités doés précédemmet o a le résultat suivat : Cosidéros R d (d N ) mui de sa tribu boréliee B ; o sait que B est egedrée par la famille C de tous les pavés C de la forme C = d ]a i, b i ] où a i < b i, a i, b i R i=1 Il existe alors (ous admettros ce théorème) ue uique mesure positive σ-fiie λ sur B telle que ( d ) d λ ]a i, b i ] = (b i a i ) pour tous a i < b i, a i, b i R i=1 i=1 λ est appelée mesure de Lebesgue sur R d. Autre exemple (mesure de comptage) Soit Ω u esemble fii ou déombrable, mui de la tribu a = P(Ω). Pour tout B Ω, posos µ(b) = Card(B). Il est facile de voir qu o défiit aisi ue mesure σ-fiie sur (Ω, P(Ω)) appelée «mesure de comptage» Défiitio 8 Soit (Ω,a, µ) u espace mesuré. U esemble N Ω est dit égligeable s il existe A a tel que N A et µ(a) = 0. Ue propriété P(.) cocerat les élémets ω Ω est dite vraie presque partout (e abrégé p.p.) [presque sûremet (p.s.) lorsque µ est ue probabilité] si {ω Ω tels que «o P(ω)»} est égligeable. O voit, grâce au 2) de la propositio 9 qu ue réuio déombrable d esembles égligeables est égligeable. Si o cosidère la mesure de Lebesgue sur R d, u poit est égligeable doc tout esemble déombrable est égligable ; par cotre, pour la mesure de comptage sur u esemble déombrable Ω, aucu poit est égligeable. Soiet X, Y, X ( N) des applicatios de Ω das R. O dira que : X est fiie presque partout si {ω : X(ω) = + } est égligeable. X Y presque partout si {ω : X(ω) > Y (ω)} est égligeable. X X presque partout si {ω : X (ω) X(ω)} est égligeable. La otio d esemble égligeable est liée à la mesure de référece µ. S il y a ambiguïté, o écrira doc «µ-égligeable» ou «µ-presque-partout» [µ presquesûremet lorsque µ est ue probabilité]. 12

18 1.5 Itégratio des variables aléatoires étagées positives Soiet (Ω,a, µ) u espace mesuré et X : (Ω,a) R + ue variable aléatoire étagée positive. Il existe alors ue décompositio de X sous la forme X = i I α i.1 Ai où (A i, i I) est ue partitio fiie de Ω, A i a et α i R +. Le ombre i I α iµ(a i ) e déped pas de la décompositio choisie pour X : e effet, si X = j J β j.1 Bj = i I α i.1 Ai où (B j, j J) est ue autre partitio fiie de Ω, B j a et β j R +. O voit que α i = β j si A i B j et doc α i µ(a i ) = { } α i µ(a i B j ) i i j = i,j α i µ(a i B j ) = i,j = j β j µ(a i B j ) β j µ(b j ) (avec la covetio 0 = 0) Défiitio 9 Avec les otatios précédetes, le ombre i I α iµ(a i ) s appelle l itégrale de X par rapport à µ et se ote X dµ. O a doc, pour tout A a Ω µ(a) = 1 A dµ Propositio 10 Soiet X et Y deux variables aléatoires étagées positives, alors : 1. Pour tout c R +, cx dµ = c X dµ 2. (X + Y )dµ = X dµ + Y dµ 3. Si X Y, o a : X dµ Y dµ Démostratio : L assertio 1) est évidete. Soiet (A 1,..., A ), (B 1,..., B m ) deux partitios de Ω formées d élémets de a et α i,..., α, β 1,...,β m R + tels que X = i α i.1 Ai, Y = j β j.1 Bj. Alors Ω X + Y = i,j (α i + β j ).1 Ai B j 13

19 et (X + Y )dµ = i,j (α i + β j )µ(a i B j ) = i,j α i µ(a i B j ) + i,j β j µ(a i B j ) = i = α i µ(a i ) + j X dµ + O suppose que X Y. Remarquer que : Y dµ β j µ(b j ) A i B j α i β j e effet ω A i B j X(ω) = α i Y (ω) = β j doc X dµ = α i µ(a i B j ) β j µ(a i B j ) = i,j i,j Y dµ 1.6 Itégratio des variables aléatoires réelles positives Défiitio 10 Soit X ue variable aléatoire réelle positive (défiie sur l espace (Ω, a, µ)). L itégrale de X par rapport à µ, otée X dµ, est doée par la formule : Ω { } X dµ = sup Y dµ, Y variable aléatoire étagée telle que 0 Y X Ω Ω Remarquer que Ω X dµ peut être égale à Lemme 1 Soiet Z ue variable aléatoire étagée positive et (Y ) N ue suite croissate de variables aléatoires étagées positives telle que : lim ր Y Z Alors lim ր Y dµ Z dµ Démostratio : Soit α ]0, 1[. Posos B = {Y αz}, alors B B +1, B a et B = Ω e effet, pour tout ω Ω, o a : Z(ω) = 0 ω B 0 14

20 et (Z(ω) > 0) (Z(ω) > αz(ω)) pour tout assez grad (Y (ω) > αz(ω)) De plus, si Z = fiieα i.1 Ai o a Y αz.1 B = fiieαα i.1 Ai B Doc Y dµ α Z.1 B dµ = α fiieα i µ(a i B ) et lim ր Y dµ α fiieα i µ(a i ) = α Z dµ puisque µ(a i B ) ր µ(a i ) quad Propositio 11 Soiet X ue variable aléatoire réelle positive et (Y ) N ue suite croissate de variables aléatoires réelles étagées positives telle que : lim ր Y = X Alors X dµ = lim ր Y dµ Démostratio : Pour tout N, o a : 0 Y Y +1 X doc Y dµ X dµ par défiitio et lim ր Y dµ X dµ Réciproquemet, soit Z ue variable aléatoire réelle étagée telle que 0 Z X = lim ր Y alors, d après le lemme 1 : Z dµ lim ր Y dµ d où l iégalité X dµ lim ր Y dµ 15

21 1.6.4 Propositio 12 Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles positives, alors : 1. pour tout c R + : cx dµ = c X dµ 2. (X + Y )dµ = X dµ + Y dµ 3. si X Y, o a : X dµ Y dµ Démostratio : Le 3) résulte de la défiitio 10. O sait, d autre part, d après la propositio 8, qu il existe X, Y variables aléatoires réelles étagées positives telles que lim ր X = X lim ր Y = Y doc : (X + Y )dµ = lim ր (X + Y )dµ = lim ր X dµ + lim ր = X dµ + Y dµ Y dµ O motre de même que cx dµ = c X dµ (c R + ) Défiitio 12 Ue variable aléatoire réelle positive X est dite itégrable si Ω X dµ <. Doc si Y est ue variable aléatoire réelle telle que 0 Y X, o voit, d après la propositio 12, que Y est itégrable dès que X l est. 1.7 Itégratio des variables aléatoires réelles Défiitio 13 Ue variable aléatoire réelle X (défiie sur l espace (Ω, a, µ)) est dite itégrable si X est itégrable. So itégrale est défiie par X dµ = X + dµ X dµ Ω Remarquer que X + et X sot itégrables puisque 0 X + = max{x, 0} X 0 X = max{ X, 0} X Propositio 13 Ω Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles itégrables, alors 1. pour tout c R : cx dµ = c X dµ Ω 16

22 2. Si X + Y a u ses : (X + Y )dµ = X dµ + Y dµ 3. si X Y, X dµ Y dµ 4. X dµ X dµ Démostratio : O a : ( X) + = X doc : ( X)dµ = ( X) + dµ = X dµ = X dµ ( X) dµ X + dµ L égalité 1) est évidete si c 0 ; si c < 0, o écrit cx dµ = ( c)( X)dµ = ( c) ( X)dµ = c X dµ O a de plus : X + Y X + Y, doc X + Y est itégrable et : (X + Y ) = (X + Y ) + (X + Y ) = (X + X ) + (Y + Y ) doc (X + Y ) + + X + Y = (X + Y ) + X + + Y + (X +Y ) + dµ+ X dµ+ Y dµ = (X +Y ) dµ+ X + dµ+ Y + dµ et, ces quatités état fiies, par hypothèse : ( (X+Y ) + dµ (X+Y ) dµ = X + dµ ) ( X dµ + Y + dµ ) Y dµ d où l égalité 2). Pour le 3) o a : si X Y, Y X 0 et 0 (Y X)dµ = Y dµ X dµ Pour le 4) o a, puisque X = X + + X : X dµ = X + dµ + X dµ X + dµ X dµ = X dµ Défiitio 14 O otera L 1 (Ω,a, µ) l esemble des variables aléatoires réelles X fiies et itégrables. La propositio 13 motre que cet esemble est mui, aturellemet, d ue structure d espace vectoriel sur R, l applicatio X L 1 X dµ R 17

23 état ue forme liéaire positive sur cet espace (i.e. que X 0 X dµ 0). Ue variable aléatoire X à valeurs das C est dite itégrable si X L 1 (Ω,a, µ). O posera alors : X dµ = Re(X)dµ + ı Im(X) dµ O désigera par L 1 C (Ω,a, µ) l esemble des variables aléatoires complexes et itégrables. Cet esemble forme u espace vectoriel sur C ; de plus, o vérifie facilemet que l applicatio : X L 1 C X dµ C est ue forme liéaire sur cet espace. Soit X L 1 C. Alors X dµ est u ombre complexe de la forme ρe ıθ où ρ 0 ; doc X dµ = ρ = e ıθ X dµ = e ıθ X dµ = Re(e ıθ X)dµ X dµ O voit aisi que pour tout X L 1 C : X dµ X dµ Propositio Soit X ue variable aléatoire à valeurs das R ou C. S il existe ue variable aléatoire réelle Y itégrable et positive telle que X Y, alors X est itégrable. 2. Si X et Y sot deux variables aléatoires à valeurs das R ou C égales presque partout (p.p.) et si X est itégrable, alors Y est itégrable ; de plus : X dµ = Y dµ. 3. Si X est ue variable aléatoire itégrable, alors, pour tout λ R + µ( X λ) 1 X dµ et ( X < ) presque partout λ Démostratio : Le 1) est évidet Pour 2) si S = {X Y } ; alors S a, de plus X (+ ).1 S + Y Y (+ ).1 S + X et doc (+ ).1 S dµ = lim +.1 S dµ = 0 puisque µ(s) = 0 X dµ = Y dµ < 18

24 Pour 3) si X L 1, o a, pour tout λ > 0 : λ.1 ( X λ) X doc λ.1 ( X λ) dµ = λµ( X λ) X dµ < De plus µ( X = + ) = lim λ λ N doc ( X < ) presque partout. Remarques : 1 µ( X λ) lim λ λ λ N X dµ = 0 1. La propostio 14 motre que, si X est ue variable aléatoire itégrable, alors X et X.1 ( X < ) sot égales presque partout et ot même itégrale. 2. Si X est ue variable aléatoire réelle positive, les défiitios précédetes motret que X dµ a toujours u ses (et peut valoir + ). Si X est ue variable aléatoire réelle quelcoque et si X + dµ < ou bie X dµ < (par exemple : X majorée ou miorée par ue variable aléatoire itégrable), o peut, par extesio, défiir l itégrale de X e posat : X dµ = X + dµ X dµ qui appartiet à [, + ] = R Défiitio 15 (espérace des variables aléatoires réelles) O suppose que la mesure µ est ue probabilité P sur l espace mesurable (Ω,a). Soit X L 1 (Ω,a, P). L espérace de la variable aléatoire réelle X est alors défiie par : E(X) = X dp Remarquer que, si X est ue variable aléatoire réelle discrète (Im(X) = X(Ω) est fii ou déombrable). X = X = x Im(X) x Im(X) Ω x.1 (X=x) x.1 (X=x) O vérifie facilemet, das ce cas, que X est itégrable si et seulemet si E( X ) = X dp = x.p(x = x) < Ω x Im(X) et que E(X) = X dp = x.p(x = x) Ω x Im(X) 19

25 Remarquer que ( ) x.1 (X=x) x dp = lim x.1 (X=x) dp = lim + x + x Propositio 16 (loi d ue variable aléatoire) Soit X ue variable aléatoire défiie sur l espace de probabilité (Ω,a, P) et à valeurs das u espace mesurable quelcoque (F, B). La formule suivate : (*) pour tout B B : ν(b) = P ( X 1 (B) ) défiit alors ue probabilité ν sur l espace (F, B). O dira que ν est la loi (image) de la variable aléatoire X et o posera ν = P X. De plus, pour toute applicatio mesurable ϕ de (F, B) das R, o a ϕ L 1 (F, B, P X ) si et seulemet si ϕ X L 1 (Ω,a, P) et das ce cas (**) ϕdp X = ϕ X dp (formule des lois images) Démostratio : La formule (*) motre que, si B a deux disjoits, o a : F Ω ( N) est ue suite d élémets de B deux X 1 ( B ) = X 1 (B ) et les X 1 (B ) ( N) état deux à deux disjoits : ) ν ( B = P (X ( )) ( ) 1 B = P X 1 (B ) = P ( X 1 (B ) ) x.p(x = x) = ν(b ) De plus ν(f) = P ( X 1 (F) ) = P(Ω) = 1. ν est bie ue probabilité sur l espace (F, B). Pour démotrer la formule des lois images, remarquos d abord, que si ϕ = 1 B, (B B), o a ϕdp X = P X (B) = P ( X 1 (B) ) = 1 X 1 (B) dp (par défiitio) F Ω = 1 B X dp = (ϕ X)dP Ω Ω La formule (**) est doc vérifiée lorsque ϕ = 1 B (B B), et par liéarité, lorsque ϕ est ue variable aléatoire étagée de la forme ϕ = fiie α i.1 Bi où B i B, α i R +. Soit ϕ ue applicatio mesurable positive de (F, B) das R ; il existe (propositio 8) ue suite croissate (ϕ ) N de variables aléatoires étagées positives telles que ϕ = lim ր ϕ ; doc : ϕdp X = lim ր ϕ dp X = lim ր (ϕ X)dP = (ϕ X)dP F F 20 Ω Ω

26 O voit alors que si ϕ est ue applicatio mesurable quelcoque de (F, B) das R, o a ϕ L 1 (F, B, P X ) ϕ X L 1 (Ω,a, P) et que, das ce cas, e décomposat ϕ : Remarques : F ϕdp X = ϕ + dp X ϕ dp X F F = (ϕ + X)dP X (ϕ X)dP X Ω Ω = (ϕ X)dP Ω 1. Avec les otatios de la propositio 16, si F est u esembe fii ou déombrable, o a B = P(F). La loi P X d ue variable aléatoire discrète X à valeurs das F s idetifie alors avec la famille déombrable de ombres positifs de somme égale à 1 : E effet, pour tout B F : P X (x) = P(X = x) (x F) P X (B) = P(X B) = x B P(X = x) = x B P X (x) et P X (F) = x F P X (x) = 1 O dit aussi que (P X (x), x F) est la desité discrète de X. Pour toute applicatio ϕ de F das R, o a : ϕ X est itégrable si et seulemet si ϕ(x) P(X = x) < et das ce cas : x F E{ϕ X} = ϕdp X = ϕ(x)p X (x) = ϕ(x)p(x = x) = F x F x F Ω ϕ X dp 2. Soit X ue variable aléatoire réelle itégrable défiie sur l espace mesuré (Ω,a, µ); o otera idifféremmet, das la suite, suivat les cotextes : Ω X dµ = Si A a, o posera, par défiitio : A Ω X(ω)dµ(ω) = X dµ = Ω Ω X.1 A dµ X(ω)µ (dω) 21

27 1.8 Théorèmes de covergece Théorème 1 (Beppo-Levi) Soit (X ) N ue suite croissate de variables aléatoires réelles positives (défiies sur l espace mesuré (Ω,a, µ)). Posos X = lim ր X. Alors : X dµ = lim ր X dµ Démostratio : Pour tout N soit (X,k ) k N ue suite croissate de variables aléatoires étagées positives telle que : 0 X,k X,k+1 ր X, quad k + Posos Y k = max{x m,k, 0 m k} Alors Y k est étagée et de plus, pour tout m l das N : 0 Y k Y k+1 X k+1 X (1) X m,l Y l lim k ր Y k doc et X m lim l X m,l lim k ր Y k lim m ր X m = X lim k ր Y k X (2) Des iégalités (1) et (2), o déduit que : X dµ = lim ր Y k dµ = lim k k ր X k dµ Corollaire : Soit (Z ) N ue suite quelcoque de variables aléatoires réelles positives alors : ( ) Z dµ = Z dµ Démostratio : Pour tout m N, soit X m = m =0 Z, alors 0 X m X m+1 ր X = Z Il suffit d appliquer le théorème 1. 22

28 1.8.2 Théorème 2 (Lemme de Fatou) Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires réelles. S il existe ue variable aléatoire réelle itégrable Y telle que, pour tout : Y X alors : lim X dµ lim X dµ S il existe ue variable aléatoire réelle itégrable Z telle que, pour tout : X Z alors : lim X dµ lim X dµ Démostratio : O suppose d abord que, pour tout, X 0, alors 0 Y m = if{x, m} Y m+1 ր lim X, quad m doc, d après le théorème 1 limx dµ = lim ր m ( Y m dµ lim if m m ) X dµ = lim X dµ puisque, pour tout m, Y m X et doc Y m dµ X dµ. Si, pour tout : X Y où Y L 1, il suffit de poser X = X Y 0 et de remarquer que lim X = lim X Y 0 doc lim X dµ = lim X dµ + Y dµ X dµ + lim Y dµ = lim X dµ Pour démotrer la secode assertio du théorème, il suffit de chager X e X ( N) Théorème 3 (Théorème de Lesbesgue ou de «covergece domiée») Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires réelles. S il existe ue variable aléatoire réelle itégrable Y telle que, pour tout : X Y presque partout et si (X ) coverge presque partout vers ue variable aléatoire réelle X, quad alors X est itégrable et X X dµ 0, quad ; e particulier X dµ X dµ quad. Démostratio : Commeços par remarquer que, pour tout : (*) X X X +Y presque partout puisque X Y presque partout Quitte à modifier Y sur u esemble égligeable, o peut supposer que les iégalités précédetes sot valables partout et, e faisat tedre vers l ifii, 23

29 o voit que X Y presque partout, doc X L 1. D après le lemme de Fatou et grâce à (*) : lim X X dµ lim X X dµ = 0 car doc lim X X = 0 presque partout et X + Y L 1 X dµ X dµ = (X X )dµ X X dµ 0 quad Corollaire 1 : Soit (X s ) s S ue famille de variables aléatoires réelles où S est u espace métrique. O suppose que : 1. il existe l S tel que limx s = X l presque partout s l 2. pour tout s variat das ue boule ouverte cetrée e l : X s Y presque partout où Y est ue variable aléatoire réelle itégrable fixe, alors lim s l X (.) s dµ = X (.) l dµ Démostratio : Il suffit de vérifier que, pour toute suite (s ) N d élémets de S telle que lim s = l, o a lim X s dµ = X l dµ Appliquer le théorème de Lebesgue. Corollaire 2 : (Dérivatio sous le sige itégral) Soit (X s ) s S ue famille de variables aléatoires réelles itégrables où S est u itervalle ouvert de R. O suppose que, pour presque tout ω Ω, 1. la foctio s S X s (ω) est dérivable sur S 2. d ds X s(ω) Y (ω) e tout poit s de S où Y (.) est ue variable aléatoire réelle itégrable fixe. Alors X (.) s dµ est dérivable e s S et d X s (.) dµ = ds ( d ds X(.) s ) dµ Démostratio : Soit s 0 S. Pour tout h 0, assez petit, o a : ( ) ( ) 1 Xs0+h X s0 X s0+h dµ X s0 dµ = dµ h h et, d après le théorème des accroissemets fiis : X s0+h X s0 X h = θ h Y presque partout 24

30 où X s = d ds X s et θ h est compris etre s 0 et s 0 + h. O voit alors, d après le corollaire 1, que : ( ) 1 lim X s0+h dµ X s0 dµ = X s h 0 h 0 dµ h Propositio 17 (lie avec l itégrale de Riema) 1. Soiet a et b das R, a < b et f C([a, b], R) (espace des foctios cotiues de [a, b] das R). La foctio f.1 [a,b] est alors itégrable pour la mesure de Lebesgue λ sur (R, B R ) et l itégrale de Riema b a f(x)dx est égale à f.1 [a,b] dλ. 2. Soit f ue applicatio de R das R cotiue par morceaux, alors f L 1 (R, B R, λ) si et seulemet si l itégrale I = + f(x)dx est absolumet covergete et das ce cas I = f dλ Démostratio : Assertio 1) : Soit f C([a, b], R) O sait qu il existe ue costate M 0 telle que, pour tout x [a, b] : f(x) M, doc f.1[a,b] M.1[a,b] et f.1 [a,b] dλ M.(b a) < : f.1 [a,b] L 1 (R, B R, λ) Soiet = {t 0 = a, < t 1 <... < t = b} ue subdivisio de l itervalle [a, b] 1 = max t i+1 t i et f = f(t i ).1 [ti,t i i+1[ O sait, de plus, que f f, quad 0, uiformémet sur [a, b[ (cf. le cours de DEUG) et que les sommes de Riema i=0 R( ) = i f(t i ).(t i+1 t i ) coverget, quad 0, vers b a f(x)dx; or R( ) = f dλ et f M.1 [a,b] doc (théorème de Lebesgue) lim R( ) = lim 0 0 remarquer aussi que f.1 [a,b] dλ = puisque λ({b}) = λ({a}) = 0. L assertio 2) est laissée e exercice. f dλ = f.1 [a,b[ dλ = b f.1 [a,b[ dλ = f.1 ]a,b[ dλ a f(x)dx 25

31 Cosidéros l espace discret (N, P(N), µ) où µ est la mesure de comptage (pour tout B N : µ(b) = Card(B)). Soit U = (U ) N ue suite de ombres réels ou complexes. O vérifie facilemet que U L 1 C (N, P(N), µ) si et seulemet si la série 0 U est absolumet covergete ( 0 U < ) et que das ce cas Propositio 18 N U dµ = 0 Soit V = (V,m ) (,m) N N ue suite à deux idices et m (V,m C). O suppose que : 1. Pour tout, lim m V,m existe 2. 0 {sup m V,m } < alors lim m { } V,m = { 0 0 U lim m V,m L égalité (*) reste valable si, au lieu des coditios 1) et 2), o suppose 3) : pour tous et m : V,m R + et V,m V,m+1. Démostratio : Cosidéros ( ) f m = (V,m ) N et g = sup V,m m Pour tout N, o a f m () = V,m g() La coditio 1) sigifie que f m coverge simplemet, quad m et 2) sigifie que g L 1 C (N, P(N), µ). Pour obteir (*) il suffit d appliquer le théorème de Lebesgue sous les coditios 1) et 2), ou bie le théorème de Beppo-Levi sous l hypothèse 3). } (*) N 26

32 Chapitre 2 Espaces produits, idépedace 2.1 Espaces produits Soiet (F i, B i ), i = 1, 2,..., des espaces mesurables. Posos : F = F 1 F 2... F = O muit l esemble F de la tribu B egedrée par les pavés de la forme i=1 F i A 1 A 2... A où A i B i, i = 1,..., B s appelle la tribu produit et se ote : B = B 1 B 2... B = Remarquer que B est la plus petite tribu sur F redat mesurables les applicatios coordoées θ i, (i = 1,...,), de F das (F i, B i ) défiies par : i=1 θ i ((x 1, x 2,..., x )) = x i où (x 1,..., x ) F Si pour tout i, F i = R et B i = B R (tribu boréliee de R) o vérifie facilemet que, pout tout N : B i B R = B R... B R fois et que B R +m s idetifie à B R B R m (m N ) Théorème 1 Soiet µ 1, µ 2,...,µ des mesures 0 σ-fiies défiies sur (F 1, B 1 ), (F 2, B 2 ),...,(F, B ) 27

33 respectivemet. Il existe ue uique mesure 0 σ-fiie µ sur l espace produit ( ) F = F i, B = B i i=1 i=1 telle que pour tous A 1 B 1, A 2 B 2,..., A B : µ(a 1 A 2... A ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 )...µ (A ) La mesure µ s appelle la mesure produit de µ 1, µ 2,..., µ et se ote : µ = µ 1 µ 2... µ = Par exemple, si λ désige la mesure de Lebesgue sur R ( N ), o a λ = λ 1 λ 1... λ 1 i=1 µ i ( fois) Remarquer, das le théorème 1, que si les µ i, (i = 1,...,) sot des probabilités, alors µ = i=1 µ i est ue probabilité Théorème 2 (de Fubii) Cas = 2. Soit f ue applicatio mesurable de (F 1 F 2, B 1 B 2, µ 1 µ 2 ) das R alors : 1. Pour tout x = (x 1, x 2 ) F 1 F 2, les applicatios f x1 de (F 2, B 2 ) das R et f x2 de (F 1, B 1 ) das R défiies par f x1 (y 2 ) = f(x 1, y 2 ) (y 2 F 2 ) f x2 (y 1 ) = f(y 1, x 2 ) (y 1 F 1 ) sot mesurables. 2. Si f est positive, les applicatios : x 1 F 1 f(x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) F 2 x 2 F 2 f(x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) F 1 sot mesurables sur (F 1, B 1 ) et (F 2, B 2 ) respectivemet, de plus : f(x 1, x 2 )µ 1 µ 2 (dx 1, dx 2 ) = µ 1 (dx 1 ) f(x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) F 1 F 2 F 1 F 2 = µ 2 (dx 2 ) f(x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) (*) F 2 F 1 3. Si f L 1 (F 1 F 2, B 1 B 2, µ 1 µ 2 ) alors pour µ 1 presque tout x 1 : f x1 L 1 (F 2, B 2, µ 2 ) pour µ 2 presque tout x 2 : f x2 L 1 (F 1, B 1, µ 1 ) et l itégrale de f par rapport à µ 1 µ 2 est ecore doée par l égalité (*). Ce théorème s éted facilemet, par récurrece, au cas d u produit fii d espaces (F i, B i, µ i ), (i = 1, 2,..., ). La démostratio des théorèmes 1 et 2 est basée sur le théorème 3 suivat (appelé «théorème de classe mootoe»). 28

34 2.1.3 Défiitio 1 Soiet Ω u esemble, C et S deux sous-esembles de P(Ω). O dira que C est u π-système si, pour tous A et B apparteat à C, o a A B C. S est u λ-système si, 1. pour toute suite (A ) d élémets de S telle que A A +1,, o a N A S 2. pour tous A et B apparteat à S, o a : A B A \ B S Théorème 3 1. Si S est u λ-système coteat u π-système C et si Ω S, alors S cotiet σ(c) (la tribu egedrée par C). 2. Soit H u espace vectoriel de foctios umériques fiies (resp. borées) sur u espace mesurable (Ω,a) tel que : (a) 1 H et 1 A H, pour tout A C où C est u π-système tel que σ(c) = a (b) H est stable par passage à la limite croissate (i. e. : si (f ) est ue suite d élémets de H telle que f f +1 et f f fiie (resp. Démostratio : ր borée), o a f H) alors H cotiet toutes les foctios umériques a-mesurables fiies (resp. borées). 1. Soit S le λ-système egedré par C et Ω. S est l itersectio de tous les λ-systèmes coteat C et Ω. O a : S S et C S σ(c). Si o motre que S est stable par itersectio fiie, il est facile de voir que S est, e fait, ue tribu et, puisque C S, S = σ(c) S. Soit S 1 = {A S tel que A B S, B C} alors S 1 est u λ-système coteat C et Ω S 1 doc S 1 S S 1 = S. Soit S 2 = {A S tel que A B S, B S } S 2 est u λ-système coteat C et Ω S 2 doc S 2 = S, ce qui sigifie que, pour tous A et B das S, o a A B S 2. Soit S = {A a tel que 1 A H} a Les hypothèses sur H motret que S est u λ-système coteat C et Ω, doc S cotiet σ(c) = a (d après 1)) et S = a. L espace vectoriel H cotiet doc toutes les foctios étagées. Soit f ue foctio a-mesurable fiie (resp. borée), o a f = f + f où f + et f sot des foctios mesurables positives qui sot limites de suites croissates de foctios étagées positives, doc f + H, f H et f = f + f H. Corollaire 1 : Soiet µ 1 et µ 2 deux mesures positives σ-fiies sur (Ω,a) et C a u π-système tel que σ(c) = a. O suppose que : 29

35 1. Pour tout C C : µ 1 (C) = µ 2 (C) 2. Il existe ue suite croissate (C ) d élémets de C telle que Ω = C et µ i (C ) <, pour tout N. Alors µ 1 = µ 2. Démostratio : Soit N fixé. Cosidéros : S = {A a tel que µ 1 (A C ) = µ 2 (A C )} a O voit que S est u λ-système, S C et Ω S, doc S σ(c) = a et S = a. O e déduit que pour tout A a et tout N doc µ 1 (A C ) = µ 2 (A C ) µ 1 (A) = lim µ 1(A C ) = lim µ 2(A C ) = µ 2 (A) Démostratio du théorème 1 Uicité : Soiet µ et µ deux mesures σ-fiies sur (F = i=1 F i, B = i=1 B i) telles que, pour tous A 1 B 1,..., A B µ(a 1... A ) = µ(a 1... A ) = µ i (A i ) (P) O sait qu il existe, pour tout i {1, 2,..., }, ue suite croissate (A k i ) k N d élémets de B i telle que A k i = F i et µ i (A k i ) <, pour tout k N. Posos : k i=1 alors, pour tout k : C k = A k 1 Ak 2... Ak µ(c k ) = µ(c k ) <, C k C k+1 et k C k = F Soit C la famille des pavés C de la forme C = A 1 A 2... A où A i B i C est u π-système tel que σ(c) = B et la propriété (P) motre que µ et µ coïcidet sur C, de plus C k C pour tout k, doc µ = µ (d après le corollaire 1). Existece : Il suffit de se restreidre au cas = 2. Pour tout A B = B 1 B 2 et pour x = (x 1, x 2 ) F 1 F 2, cosidéros : Remarquer que : A x1 = {x 2 F 2 tel que (x 1, x 2 ) A} F 2 A x2 = {x 1 F 1 tel que (x 1, x 2 ) A} F 1 1 Ax1 (x 2 ) = 1 Ax2 (x 1 ) = 1 A (x 1, x 2 ) Cosidéros l esemble S défii par : S = {A B vérifiat les propriétés suivates : 30

36 1. pour tout x = (x 1, x 2 ) F : A x1 B 2 et A x2 B 1 2. les applicatios x 1 F 1 µ 2 (A x1 ) et x 2 F 2 µ 1 (A x2 ) sot mesurables sur (F 1, B 1 ) et (F 2, B 2 ) respectivemet 3. µ 1 (dx 1 )µ 2 (A x1 ) = F 1 µ 2 (dx 2 )µ 1 (A x2 )} F 2 O se propose de motrer que S = B. Supposos d abord que µ 1 et µ 2 sot borées. O vérifie, das ce cas, facilemet que S est u λ-système coteat tous les pavés de la forme C = A 1 A 2 où A 1 B 1 et A 2 B 2, e particulierf = F 1 F 2 S Doc S = B = B 1 B 2 (théorème 3). Das le cas gééral, o sait qu il existe deux suites croissates (A k i ) k N, (i = 1, 2) telles que A k i B i, A k i = F i et µ i (A k i ) < pour tout k k N. Posos alors, pour tous B 1 B 1 et B 2 B 2 : µ k 1(B 1 ) = µ 1 (B 1 A k 1), µ k 2(B 2 ) = µ 2 (B 2 A k 2) O voit que, pour tout k, µ k 1 et µ k 2 sot deux mesures borées et que les propriétés 2) et 3) sot satisfaites pour tout A B lorsque l o remplace µ 1 par µ k 1 et µ 2 par µ k 2 ; e faisat tedre k vers l ifii, o vérifie alors, sas peie, que S = B = B 1 B 2. Posos esuite, pour tout A B : µ(a) = µ 1 (dx 1 )µ 2 (A x1 ) = µ 2 (dx 2 )µ 1 (A x2 ) F 1 F 2 Il est immédiat de vérifier que µ est ue mesure σ-fiie sur B telle que pour tous A 1 B 1, A 2 B 2 µ(a 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ) Démostratio du théorème 2 O désige par H l esemble suivat : H = { f : (F 1 F 2, B 1 B 2 ) R + = [0, ], mesurables vérifiat les assertios 1) et 2) du théorème 2. } O voit facilemet que si f et g sot deux élémets de H alors f + g appartiet à H et α.f H (α R + ) et que si 0 f f est ue suite croissate d élémets f de H alors f = lim ր f appartiet à H. La démostratio du théorème 1 motre, de plus, que H cotiet les foctios idicatrices 1 A, pour tout A B 1 B 2 doc H cotiet les variables aléatoires réelles étagées positives et, par passage à la limite croissate, toutes les variables aléatoires réelles positives. Soit f L 1 (F 1 F 2, B 1 B 2, µ 1 µ 2 ) alors, d après 1) et 2), o voit que : µ 1 (dx 1 ) f (x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) = µ 2 (dx 2 ) f (x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) < F 1 F 2 F 2 F 1 31

37 doc, pour µ 1 presque tout x 1 : et, pour µ 2 presque tout x 2 : F 2 f (x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) < F 1 f (x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) < E décomposat f sous la forme f = f + f où f + = max(f, 0) 0 et f = max( f, 0) 0, o voit alors, par liéarité, que l itégrale de f par rapport à µ 1 µ 2 est ecore doée par l égalité : fdµ 1 µ 2 = µ 1 (dx 1 ) f(x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) F 1 F 2 F 1 F 2 = µ 2 (dx 2 ) f(x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) (*) F 2 F 1 L extesio du théorème 2 au cas d u produit fii d espaces se démotre facilemet par récurrece. Soit (F i, B i ) i I ue famille d espaces mesurables où I est u esemble quelcoque d idices (par exemple I = N ou R + ou R...) L espace produit F = i I F i est, par défiitio, l esemble des applicatios x de I das i I F i telles que, pour tout i I, x i F i ; o posera x = (x i ) i I. Les applicatios coordoées θ i de F das F i (i I) sot alors défiies par θ i (x) = x i, pour tout x = (x i ) i I das F. O muit l espace F = i I F i de la tribu produit B = i I B i qui est doée par B = σ{θ 1 i (B i ), i I, B i B i } O vérifie facilemet que B est la plus petite tribu sur F qui red mesurables toutes les applicatios θ i (i I). Soit C l esemble des pavés C de F de la forme C = (B i ) où J est fii, J I et B i B i. Remarquer que C est u θ 1 i i J π-système tel que σ(c) = B Propositio 1 Soit (Ω,a) u espace mesurable. Ue applicatio X de (Ω,a) das (F = i I F i, B = i I B i) est mesurable si et seulemet si : (P) i I, θ i X est mesurable de (Ω,a) das (F i, B i ) Démostratio : Puisque B est egedrée par la famille des θ 1 i (B i ), i I, B i B i, o voit que : X est mesurable pour tous i I et B i B i X 1 ( θ 1 i (B i ) ) a pour tout i I θ i X est mesurable car X 1 (θ 1 i (B i )) = (θ i X) 1 (B i ). Nous admettros le théorème suivat, dû à Kolmogorov, qui assure l existece, sous certaies coditios, d u produit ifii d espaces de probabilités. 32

38 2.1.8 Théorème 4 Pour chaque i I, soit µ x ue probabilité sur l espace mesurable (F i, B i ); o suppose que F i = R di, (d i N ) et que B i = B R d i (tribu boréliee de R di ). Il existe alors ue uique probabilité µ sur l espace produit ( F = F i, B = ) B i i I i I telle que pour tout pavé C = θi 1 i J (B i ) où J est fii, J I et B i B i o a µ(c) = i J µ i (B i ) (*) La probabilité µ est appelée probabilité produit des µ i (i I) et otée µ = i I µ i. Le théorème 4 est ue extesio directe du théorème 1 au cas d u produit quelcoque d espaces. Remarquer que l égalité (*) etraîe immédiatemet l uicité de µ puisque la famille C des pavés est u π-système qui egedre la tribu produit. Noter aussi que le théorème 4 reste valable si o suppose que, pour tout i, F i est u esemble déombrable et B i = P (Fi). 2.2 Idépedace Défiitio 1 Soiet X 1, X 2,...,X variables aléatoires défiies sur u espace de probablité (Ω,a, P) et à valeurs das des espaces mesurables (F 1, B 1 ), (F 2, B 2 ),..., (F, B ) respectivemet. O dira que la famille (X i ) i=1,2,..., est idépedate (ou que les X i, i = 1, 2,...,, sot idépedates) si : pour tous B 1 B 1, B 2 B 2,..., B B, o a P {X 1 B 1, X 2 B 2,..., X B } = P(X i B i ) (*) i=1 Soit X l applicatio de (Ω,a, P) das l espace produit ( ) F = F i, B = B i défiie par : i=1 i=1 X(ω) = (X 1 (ω),..., X (ω)), ω Ω O vérifie facilemet que X est bie ue variable aléatoire. Notos P X la loi de X sur l espace produit (F, B) et P Xi la loi de X i sur (F i, B i ), i = 1, 2,...,. L égalité (*), das la défiitio 1, motre que les variables aléatoires X i, i = 1, 2,..., sot idépedates si et seulemet si la loi de X est égale au produit des lois des X i : ( ) P X = P X1 P X2... P X sur F = F i, B = B i (**) i=1 i=1 33

39 2.2.2 Propositio 1 Soiet X i, (i = 1, 2,..., ) des variables aléatoires idépedates à valeurs das (F i, B i ) et ϕ i des applicatios mesurables de (F i, B i ) das (G i, T i ), alors les variables aléatoires Y i = ϕ i X i (i = 1, 2,...,) à valeurs das (G i, T i ), sot aussi idépedates. Démostratio : Pour tous C 1 T 1, C 2 T 2,..., C T, o a P {Y 1 C 1,...,Y C } = P {ϕ 1 X 1 C 1,..., ϕ X C } = P {X 1 ϕ 1 1 (C 1),..., X ϕ 1 (C )} = P {X i ϕ 1 i (C i )} = i=1 P {Y i C i } i=1 doc Y 1, Y 2,..., Y sot idépedates Propositio 2 Soiet X i : (Ω,a, P) (F i, B i ), i = 1, 2,..., variables aléatoires. Pour tout i {1, 2,..., }, soit C i u π-système coteu das B i et egedrat B i (σ(c i ) = B i ). Alors (X 1,..., X ) sot idépedates si et seulemet si : { pour tous C1 C (*) 1, C 2 C 2,...,C C, o a : P {X 1 C 1, X 2 C 2,...,X C } = i=1 P {X i C i } Démostratio : La propriété (*) sigifie que pour tout C = C 1 C 2... C apparteat à C = C 1 C 2... C : P X (C) = P (X1,...,X )(C 1... C ) = P Xi (C i ) = P X1... P X (C) où P X = P (X1,...,X ) est la loi de X = (X 1,...,X ) sur ( i=1 F i, i I B i). Or o vérifie facilemet que C est u π-système qui egedre la tribu produit i I B i, doc P X = P X1... P X, d après le corollaire 1 du théorème 3. Par exemple, pour que variables aléatoires réelles X 1, X 2,..., X soiet idépedates, il suffit que : { pour tout (t1, t 2,...,t ) R, P {X 1 t 1, X 2 t 2,..., X t } = i=1 P {X i t i } Propositio 3 Soiet X 1, X 2,...,X variables aléatoires réelles idépedates et itégrables. Alors X = X 1.X 2... X (variable aléatoire produit) est itégrable, de plus : E(X) = E(X i ) i=1 34 i=1

40 Démostratio : O a : E( X ) = E( X 1. X 2... X ) = ( x 1. x 2... x )(P X1... P X )(dx 1, dx 2,..., dx ) R ( ) = x i P Xi (dx i ) d après le théorème de Fubii i=1 R = E( X i ) < i=1 Doc X L 1 et le même calcul motre que : E(X) = E(X i ) i=1 Remarque : Si X 1 et X 2 sot deux variables aléatoires réelles itégrables, le produit X = X 1.X 2 est pas itégrable e gééral (sas hypothèse d idépedace). Par exemple, sur (Ω,a, P) = ([0, 1], B [0,1], λ) où λ est la mesure de Lebesgue restreite à [0, 1], soiet : X 1 = 1 x.1 x>0 et X 2 = X 1 O voit que : mais E(X 1 ) = 1 dx = [2 x] 1 0 x 0 = 2 = E(X 2) + E(X 1.X 2 ) = E(X 2 1 ) = dx x = Propositio 4 Soiet X 1, X 2,...,X variables aléatoires à valeurs das (F 1, B 1 ), (F 2, B 2 ),..., (F, B ) respectivemet. Alors (X 1, X 2,..., X ) sot idépedates si et seulemet si : (1) pour tout i {1, 2,...,} et toute applicatio ϕ i de (F i, B i ) das R mesurable et borée o a : E{ϕ 1 (X 1 )...ϕ (X )} = E{ϕ i (X i )} Démostratio : Si (X 1,...,X ) sot idépedates alors la propriété (1) est satisfaite d après la propositio 3. Réciproquemet, (1) etraîe que pour tous B 1 B 1, B 2 B 2,..., B B : i=1 E{1 B1 (X 1 )1 B2 (X 2 )...1 B (X )} = 35 E{1 Bi (X i )} i=1

41 ou bie que P {X 1 B 1, X 2 B 2,...X B } = Défiitio 2 P {X i B i )} Soit X ue variable aléatoire à valeurs das u espace mesurable (F, B) mui d ue mesure µ positive σ-fiie et soit f ue applicatio mesurable et positive de (F, B) das R +. O dira que X a pour desité f par rapport à µ si (R), pour tout B B : P(X B) = f(x)µ(dx) e particulier B P(X F) = 1 = F i=1 f(x)µ(dx) La propriété (R) est satisfaite si et seulemet si, pour toute applicatio ϕ de (F, B) das R mesurable et borée (ou positive) : E{ϕ(X)} = ϕ(x)f(x)µ(dx) = ϕ(x)p X (dx) (R ) où P X (dx) = P X est la loi de X. O otera alors : ou bie ou bie F F P X (dx) = f(x)µ(dx) dp X dµ = f dp X = fdµ L équivalece de (R) et (R ) se démotre par liéarité et cotiuité e cosidérat, d abord, le cas où ϕ est ue variable aléatoire étagée positive. Si dp X = fdµ, o voit que, pour toute applicatio mesurable ϕ de (F, B) das R, la variable aléatoire réelle ϕ(x) est itégrable si et seulemet si : ϕ(x).f(x)µ(dx) < et, das ce cas, F E (ϕ(x)) = F ϕ(x)f(x)µ(dx) < Lorsque (F, B) = (R d, B R d) est mui de la mesure de Lebesgue λ(dx), o écrira simplemet, P X (dx) = f(x)dx et o dira que X a pour desité f. Lorsque F est u esemble déombrable, mui de la mesure de comptage µ sur P(F), o voit que toute variable aléatoire X à valeurs das F a ue desité f par rapport à µ doée par f(x) = P(X = x) où x F La desité discrète f s idetifie à la loi P X de X. 36

42 2.2.7 Propositio 5 Soiet X 1, X 2,...,X variables aléatoires à valeurs das (F 1, B 1 ), (F 2, B 2 ),..., (F, B ) respectivemet. O suppose que, pour tout i {1, 2,..., } : dp Xi = f i dµ i où P Xi est la loi de X i et µ i est ue mesure positive σ-fiie sur (F i, B i ). Alors X 1, X 2,..., X sot idépedates si et seulemet si la loi P X de ( ) X = (X 1, X 2,..., X ) sur F = F i, B = B i et f 1 f 2... f est défiie par : i=1 i=1 vérifie dp X = (f 1 f 2... f )dµ où µ = µ 1... µ (f 1 f 2... f )(x 1, x 2,...,x ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 )...f (x ) pour tout (x 1, x 2,..., x ) F 1 F 2... F. Démostratio : O a, si dp Xi = f i dµ i (i = 1, 2,..., ) : pour tous B 1 B 1,...,B B, {X 1, X 2,...,X } idépedates P {X 1 B 1,...,X B } = P(X i B i ) i=1 = f i (x i )µ i (dx i ) i=1 B i = f 1 (x 1 )...f (x )(µ 1... µ )(dx 1,...,dx ) B 1... B P (X1,X 2,...,X )(dx 1, dx 2,..., dx = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 )...f (x )(µ 1... µ )(dx 1,..., dx ) ( ) sur F = F i, B = B i i= Défiitio 3 i=1 Soiet µ et ν deux probabilités sur (R d, B R d). Pour tout A B R d, posos : µ ν(a) = 1 A (x + y)µ(dx)ν(dy) (1) O défiit aisi ue probabilité sur (R d, B R d), otée µ ν et appelée produit de covolutio de µ et ν. Noter que la défiitio de µ ν etraîe que, pour toute applicatio ϕ de R d das R mesurable et positive ou borée, o a : ϕd(µ ν) = ϕ(x + y)µ(dx)ν(dy) (2) 37

43 2.2.9 Propositio 6 Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates à valeurs R d, alors la loi de X + Y est égale au produit de covolutio des lois de X et de Y : P X+Y = P X P Y Si X a ue desité f (par rapport à la mesure de Lebesgue) alors X + Y admet ue desité f doée par : f(z) = f(z y)p Y (dy) (z R d ) R d Si, de plus, Y a ue desité g, o voit que la desité f de X + Y est égale au produit de covolutio f g défii par la formule : f g(z) = f(z y)g(y)dy (z R d ) R d Démostratio : Soit ϕ ue applicatio mesurable et positive de R d das R, o a : E{ϕ(X + Y )} = ϕ(x + y)p (X,Y ) (dx, dy) = ϕ(x + y)p X (dx)p Y (dy) = ϕ(z)(p X P Y )(dz) doc : Si o voit que : P (X+Y ) (dz) = P X P Y (dz) P X (dx) = f(x)(dx) E{ϕ(X + Y )} = ϕ(x + y)f(x)(dx)p Y (dy) ( ) = P Y (dy) ϕ(x + y)f(x)dx ( ) = P Y (dy) ϕ(z)f(z y)dz ( ) = ϕ(z) f(z y)p Y (dy) dz = ϕ(z)p (X+Y ) (dz) doc ( P X+Y (dz) = ) f(z y)p Y (dy) dz Si, de plus : P Y (dy) = g(y)dy 38

44 o voit que : ( P (X+Y ) (dz) = ) f(z y)g(y)dy dz Défiitio 4 = (f g)(z)dz Soit (X i ) i I ue famille quelcoque de variables aléatoires défiies sur (Ω,a, P) où, pout tout i I, X i est à valeurs das (F i, B i ). O dira que (X i ) i I est idépedate (ou que les X i, i I, sot idépedates) si toute sous famille fiie (X i ) i J, (J fii I) est idépedate i.e. si pour tout J fii I, o a : P (Xi) i J = ( P Xi sur F i, ) B i i J i J i J ce qui sigifie aussi que, pour tout A i B i (i J) o a : { } P (X i A i ) = P {X i A i } i J i J Propositio 6 Soit (X i ) i I ue famille idépedate de variables aléatoires et soit (I k ) k K ue partitio de l esemble d idices I : I = k I k et I k I l = si l k Posos, pout tout k K : Y k = (X i ) i Ik ; alors la famille de variables aléatoires (Y k ) k K est aussi idépedate. Démostratio : laissée e exercice. Soiet I = {1, 2,..., } et pour tout i I, ue probabilité µ i, doée à l avace, sur l espace mesurable (F i, B i ). Commet costruit-o ue famille (X i ) i I de variables aléatoires idépedates telle que, pour tout i I, X i soit à valeurs F i, de loi P Xi égale à µ i sur B i? Posos : Ω = F i, a = B i, P = i=1 i=1 Sur l espace de probabilité (Ω, a, P), o vérifie immédatemet que les applicatios coordoées θ i de Ω das F i défiies par i=1 θ i (x 1,..., x ) = x i si (x 1,..., x ) Ω formet ue famille (θ i ) i=1,..., de variables aléatoires idépedates telles que, pour tout i : P θi = µ i. Lorsque l esemble d idices I est ifii il suffit d utiliser, de la même faço, le théorème 4 (de Kolmogorov) pour costruire ue famille (θ i ) i I de variables aléatoires idépedates où, pour tout i, la loi µ i de θ i est doée sur l espace (F i, B i ). µ i 39

45 40

46 Chapitre 3 Calculs de lois, foctios caractéristiques et variables aléatoires gaussiees 3.1 Gééralités Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur (Ω,a, P), de loi otée P X sur (R, B R ). Si X est itégrable (X L 1 ) et E(X) = 0, o dira que X est cetrée. Pour tout N, si X est itégrable (X L ), o défiit le momet d ordre : E(X ) = x P X (dx) le momet cetré d ordre : E ((X E(X)) ) = (x m) P X (dx) où m = xp X (dx) R R Pour tout 1 p <, o désigera par L p l esemble des variables aléatoires réelles X telles que X p L 1. E utilisat l iégalité ( a + b ) p 2 p max( a p, b p ) 2 p ( a p + b p ) où a et b R, o vérifie que L p est u espace vectoriel sur R. Remarquer, de plus, que 1 p q L q L p. E effet, si 1 p q, o voit facilemet qu il existe ue costate C > 0 telle que, pour tout x R : x p C + x q L espace vectoriel L 2 est mui, aturellemet, d ue forme biliéaire symétrique positive ou ulle, doée par : < X, Y >= E{X.Y } = X.Y dp où X et Y L 2 Noter que : Ω (X et Y L 2 ) Z = X.Y L 1 41

47 puisque Z = X. Y 1 2 (X2 + Y 2 ) O voit facilemet, grâce à la liéarité de l itégrale, que < X, Y > est liéaire e X et Y ; de plus : < X, X >= X 2 dp 0 O a doc l iégalité de Schwarz : pour tous X et Y L 2 < X, Y > < X, X >. < Y, Y > (1) Ω ou bie et, e preat Y = 1 : E(X.Y ) E(X 2 ). E(Y 2 ) E(X) E( X ) E(X 2 ) (1 ) Remarquer que si X = 0 presque sûremet alors < X, X >= E(X 2 ) = 0, o va voir que, réciproquemet, E(X 2 ) = 0 X = 0 presque sûremet. Lorsque = 2, le momet cetré d ordre 2 de X est appelé variace de X : Var(X) = E{(X E(X)) 2 } = E{X 2 } (E{X}) 2 (X L 2 ) L ecart type σ(x) est doé par : Propositio 1 σ(x) = Var(X) 1. Iégalité de Markov : Soit X L 1, alors pour tout λ > 0 : P { X λ} 1 λ E{ X } 2. Iégalité de Bieaymé-Chebichev : Soit X L 2, alors pour tout λ > 0 : P { X E(X) λ} Var(X) λ 2 = σ2 (X) λ 2 Démostratio : Soit X ue variable aléatoire réelle quelcoque. Pour tous λ > 0 et 1 p <, o a : { X λ} = { X p λ p } et doc λ.1 { X λ} X λ.1 { X λ} dp X dp 42

48 i. e. : O voit, de même, que : λp { X λ} E{ X } λ p P { X λ} E{ X p } Pour obteir 2), il suffit de remplacer X par X E(X). Corollaire 1 : Soit X ue variable aléatoire réelle quelcoque, o a E{ X } = 0 si et seulemet si X = 0 presque sûremet. Si X L 2, o a : Démostratio : O a : doc puisque doc presque sûremet. Var(X) = 0 X = E(X) presque sûremet { X > 0} = { X λ} λ Q λ>0 E( X ) = 0 P { X > 0} λ Q λ>0 P { X λ} 1 λ E( X ) = 0 P { X λ} = 0 Var(X) = E ( (X E(X)) 2) = 0 (X E(X)) 2 = Propositio 2 1. Soit X L 2. Alors pour tous λ R et a R : Var(λX) = λ 2 Var(X) Var(X + a) = Var(X) 2. Soiet X 1, X 2,...,X variables aléatoires réelles idépedates de carré itégrable, alors : Var(X 1 + X X ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) Var(X ) Démostratio : Le 1) est évidet Pour 2) o a : { ( ) 2 } Var(X X ) = E (X i E(X i )) i = E { (X i E(X i )).(X j E(X j )) } i,j = E { (X i E(X i )) 2} = i=1 Var(X i ) i=1 43

49 car si i j : E { (X i E(X i )).(X j E(X j )) } = E { (X i E(X i )) } E { (X j E(X j )) } = Propositio 3 1. Soit ϕ ue applicatio de R das R covexe positive alors, pour tout X L 1, o a : ϕ{e(x)} E{ϕ(X)} 2. Soiet p et q ]1, [ tels que 1 p + 1 q = 1, alors et (Iégalité de Hölder). Démostratio : [X L p, Y L q ] X.Y L 1 E{X.Y } ( E { X p}) 1 p. ( E { Y q}) 1 q 1. Soit S l esemble des foctios affies de R das R telles que pour tout x R : (x) ϕ(x). Si ϕ est covexe, o motre facilemet que, pour tout x R : ϕ(x) = sup{ (x), S} Soit S, o a : doc {E(X)} = E{ (X)} E{ϕ(X)} ϕ{e(x)} = sup E{ (X)} E{ϕ(X)} S 2. La foctio expoetielle état covexe, o sait que pour tous x y das R et α [0, 1] : e αx+(1 α)y αe x + (1 α)e y E posat : a = e x p, b = e y q α = 1 p, et 1 q = 1 α o voit que, pour tous a et b ]0, [ : ab 1 p ap + 1 q bq doc E{ X. Y } 1 p E{ X p } + 1 q E{ Y q } < (*) si X L p et Y L q. Posos : X p = (E{ X p }) 1 p 44

50 Alors si X p > 0 et Y q > 0, o voit, d après (*), que doc { X Y } E. 1 X p Y q p + 1 q = 1 E{ X. Y } X p. Y q Si X p = 0 ou Y q = 0, l iégalité précédete est triviale. Corollaire 4 : Soiet X et Y apparteat à L p où 1 < p <. Alors (E{ X + Y p }) 1 p (E{ X p }) 1 p + (E{ Y p }) 1 p (**) Démostratio : O a X + Y p X. X + Y p 1 + Y. X + Y p 1 soit q ]1, [ tel que 1 p + 1 q = 1 alors 1 q = p 1 p et, d après l iégalité de Hölder : E{ X + Y p } E{ X. X + Y p p q } + E{ Y. X + Y q } [ ] (E{ X p }) 1 p + (E{ Y p }) 1 p (E{ X + Y p }) 1 q Doc si E{ X + Y p } > 0, o obtiet (**) e divisat les deux termes de l iégalité par (E{ X + Y p }) 1 q Variables aléatoires vectorielles Si Soit M ue matrice r d (r, d N ). O otera M la matrice trasposée. x = x 1. x r R r o idetifie doc x à ue matrice coloe r 1 et x à ue matrice lige 1 r et alors si Soit x.y = y = y 1. y r R r r x l.y l = y.x =< x, y > l=1 x.x = x 2 x.y = (x l.y k ) l,k=1,...,r X = X 1. X matrice r r 45

51 ue variable aléatoire à valeurs R r. Posos doc X 2 = X X X 2 r max { X l } X X X r r. max { X l } l=1,...,r l=1,...,r et o voit que, pour tout p [1, [, o a : X L p si et seulemet si X l L p l {1,...,r} O dira que le vecteur aléatoire X appartiet à L p si X L p. Soit X = les lois des composates X l (l = 1,...,r) s appellet les lois margiales de X. Les variables aléatoires {X l, l = 1,...,r} sot idépedates si et seulemet si la loi de X est le produit des lois margiales. Si la loi de X = a pour desité la foctio f(x 1, x 2,...,x r ), alors la loi de X 1 la pour desité : g(x 1 ) = f(x 1, x 2,...,x r )dx 2 dx 3... dx r etc... R r 1 Défiitio : Soit X = X 1. X r X 1.. X r X 1. X r u vecteur aléatoire itégrable (X L 1 ). Le vecteur E(X 1 ) E(X 2 ) E(X) =. Rr E(X r ) est appelé espérace de X. E(X) est aussi appelé barycetre de la loi P X de X. Si X est de carré itégrable (X L 2 ), la matrice r r : D(X) = E { (X E(X)).(X E(X)) } est appelée matrice de dispersio ou de variace - covariace de X. Soiet Y et Z deux variables aléatoires réelles de carré itégrable ; rappelos que la covariace de Y et Z est doée par : Cov(Y, Z) = E { (Y E(Y )).(Z E(Z)) } = E{Y.Z} E(Y ).E(Z) 46

52 O a doc Cov(Y, Y ) = Var(Y ) et, d après l iégalité de Schwarz : Cov(Y, Z) Var(Y ). Var(Z) si Y et Z sot idépedates o a, de plus, Cov(Y, Z) = 0 (mais la réciproque est fausse, e gééral : Cov(Y, Z) = 0 Y et Z sot idépedates). Soit X = X 1. X r u vecteur aléatoire de carré itégrable. O voit que : D(X) = E { (X E(X)).(X E(X)) } = E{X.X } E(X).E(X) = (Cov(X l, X k )) l,k=1,...,r = (D l,k (X)) l,k=1,...,r Propriétés de la matrice de dispersio 1. D = D(X) est ue matrice symétrique o égative i.e. pour tout λ = λ 1.. λ r R r e effet r λ l.λ k D l,k = λ.d.λ =< λ, Dλ > 0 l,k=1 λ.d.λ = λ.e { (X E(X)).(X E(X)) }.λ = E { λ.(x E(X)).(X E(X)).λ } = E { < λ, (X E(X)) > 2 } 0 2. Si λ R r D(X + λ) = D(X) c est évidet. 3. Soiet M ue matrice (o aléatoire) de type d r et Y = M.X (variable aléatoire de carré itégrable à valeurs R d ), alors : D(Y ) = M.D(X).M e effet : D(Y ) = E { (Y E(Y )).(Y E(Y )) } = E { [M.(X E(X))].[M.(X E(X))] } = M.E { (X E(X)).(X E(X)) }.M = M.D(X).M 47

53 4. Soiet X et Y deux vecteurs aléatoires idépedats à valeurs R r, de carré itégrable, alors : D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) e particulier, si r = 1, o retrouve le fait que σ 2 (X + Y ) = σ 2 (X) + σ 2 (Y ) Pour le vérifier, o peut supposer, d après 2), que X et Y sot cetrées et alors : D(X + Y ) = E { (X + Y ).(X + Y ) } = E{X.X } + E{Y.Y } = D(X) + D(Y ) car E{X.Y } = E{Y.X } = 0 (idépedace) 3.2 Calculs de lois Rappel de quelques lois usuelles Loi biômiale B(, p) Soiet N et p [0, 1], o dira qu ue variable aléatoire X B(, p) si X {0, 1,..., } et P {X = k} = C k.pk (1 p) k pour tout k {0, 1,..., }. O vérifie facilemet que X a même loi que X 1 + X X où les variables aléatoires X i, (i = 1, 2,...,) sot idépedates, de même loi B(1, p). Si X B(, p), E(X) = p et Var(X) = p(1 p). Loi de Poisso de paramètre θ : P(θ) Soit θ > 0. O dira qu ue variable aléatoire X P(θ) si X N et P {X = k} = e θ. θk k! pour tout k N. O a alors E(X) = θ, Var(X) = θ Loi géométrique de paramètre a : g(a) Soit a ]0, 1[. O dira qu ue variable aléatoire X g(a) si X N et P {X = k} = (1 a)a k, pour tout k N. O a alors Loi uiforme U(a, b) E(X) = a 1 a, Var(X) = a (1 a) 2 Soiet a et b R, a < b ; o appelle loi uiforme de paramètres a et b, la loi de desité 1 b a.1 [a,b](x) 48

54 par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. Si X U(a, b), E(X) = a + b (b a)2, Var(X) = 2 12 Loi gamma G(α, β) Rappelos que pour a > 0, o pose Γ(a) = + 0 x a 1 e x dx alors, si a > 1, Γ(a) = (a 1)Γ(a 1), e particulier Γ() = ( 1)!, si N. O e déduit que : + 0 x α 1 e x β dx = Γ(α).β α si α > 0 et β > 0 O peut doc cosidérer la loi de probabilité sur R + de desité par rapport à la mesure de Lebesgue : f α,β (x) = 1 β α Γ(α) xα 1.e x β.1r+ (x) où α > 0 et β > 0 sot des paramètres. Cette loi s appelle loi gamma G(α, β). Si X G(α, β), E(X) = α.β, Var(X) = α.β 2 La loi G(1, β) est aussi appelée loi expoetielle de paramètre 1 β. Loi de Gauss cetrée réduite sur R d : N d (0, I d ) Si o cosidère sur R d, la foctio f(x) = (2π) d 2 e 1 2 x 2 où x 2 = x x2 d si x = x 1. x d o a f > 0 et R d f(x)dx = 1 f est doc la desité d ue loi de probabilité sur R d appelée N d (0, I d ) (o justifiera cette otatio plus tard). E particulier, lorsque d = 1, o a la loi sur R, N 1 (0, 1) et si X N 1 (0, 1) : E(X) = 0, Var(X) = 1 O vérifie facilemet qu ue variable aléatoire : X = à valeurs R d suit la loi N d (0, I d ) si et seulemet si les composates X 1, X 2,..., X d sot idépedates, de même loi N 1 (0, 1). X 1. X d 49

55 Loi de Gauss N 1 (m, σ 2 ) Soiet m R et σ 2 > 0, deux paramètres. O dira qu ue variable aléatoire réelle X N 1 (m, σ 2 ) si X a pour desité la foctio : f m,σ 2(x) = 1 2πσ 2 e 1 2σ 2 (x m)2 (x R) O vérifie facilemet que X N 1 (m, σ 2 ) si et seulemet si Y = X m σ N 1 (0, 1), das ce cas : E(X) = m, Var(X) = σ Calculs de loi O a souvet à calculer la loi d ue variable aléatoire. Ce calcul peut se faire à l aide de la propositio suivate : Propositio 1 Soit X ue variable aléatoire à valeurs R d. Pour qu ue probabilité µ sur R d soit la loi de X, il faut et il suffit que, pour toute applicatio ϕ mesurable positive (ou borée) de R d das R, o ait : E{ϕ(X)} = ϕ(x)µ(dx) R d Démostratio : Immédiate Exemple 1 : Si X N 1 (0, 1), quelle est la loi de Y = X 2? Soit ϕ mesurable : R R + Doc la loi de Y a pour desité : E{ϕ(Y )} = E{ϕ(X 2 )} = 1 ϕ(x 2 )e x2 2 dx 2π = 2 + ϕ(x 2 )e x2 2 dx 2π 0 = 1 + ϕ(y)e y 1 2 dy 2π y 0 1 2πy e y2 2.1R+ (y) O recoait ici la loi G( 1 2, 2). O a souvet à utiliser la formule du chagemet de variables das les itégrales multiples que ous rappelos sas démostratio. Propositio 2 Soiet U et V deux ouverts de R d et ϕ u difféomorphisme de U sur V (bijectio de classe C 1 aisi que so iverse); o a, pour toute foctio f de V das R mesurable positive (ou itégrable) : f(v)dv = f (ϕ(u)). Jϕ(u) du V U 50

56 où Jϕ désige le Jacobie de ϕ = (ϕ 1,..., ϕ d ) : Jϕ(u) = det ( ( ϕ ) ) i (u) u j i,j=1,...,d Cosidéros maiteat ue variable aléatoire X presque sûremet à valeurs das l ouvert U, de desité p(x) et soit ϕ u difféomorphisme de l ouvert U sur l ouvert V ; soit Y = ϕ(x). Cherchos la loi de Y : o a, pour θ 0 mesurable : E{θ(Y )} = E{θ (ϕ(x))} = θ (ϕ(x)) p(x)dx U = θ(y)p ( ϕ 1 (y) ). Jϕ 1 (y) dy et doc la desité de Y est doée par : V p ( ϕ 1 (y) ). Jϕ 1 (y).1 V (y) Remarque : Il peut arriver que l o ait à chercher la desité de Y = ϕ(x) lorsque ϕ est pas ue bijectio. Alors o décompose (si c est possible) l image de X e régios où ϕ est bijective et o applique, sur chaque morceau, la formule précédete. Exemple 2 : Soit X = ( X 1 X 2 ) ue variable aléatoire à valeurs R 2 de loi N 2 (0, I 2 ). O pose Y = X1 X 2 (= 0 si X 2 = 0). Quelle est la loi de Y? Remarquos, d abord, que : P {X 2 = 0} = 1 1 (x2=0) R 2π e 2 x 2 2 dx = 0 O a, pour toute applicatio θ de R das R +, mesurable : O pose : { ( ) X1 } E{θ(Y )} = E θ ).1 (X2 0) X 2 ( ) x1 =.1 1 (x2 0). 2π e 1 2 (x2 1 +x2 2 ) dx 1 dx 2 R 2 θ x 2 x 1 x 2 = y, x 2 = z J = l ouvert U = {x 2 0} se trasforme e U doc : E{θ(Y )} = 1 2π { 1 = θ(y) R 2π R = 1 dy θ(y) π 1 + y 2 z y 0 1 = z R 2 θ(y)e 1 2 z2 (1+y 2) z dy dz e 1 2 z2 (1+y 2) }. z dz dy 51

57 1 La loi de Y a doc pour desité π(1+y 2 ) ; cette loi s appelle la loi de Cauchy. Remarquer que Y L 1 puisque E{ Y } = 1 π y dy = y2 Exemple 3 : Processus de Poisso de paramètre θ O suppose que les istats d arrivée d u phéomèe aléatoire formet ue suite strictemet croissate de variables aléatoires réelles positives 0 < T 1 (ω) < T 2 (ω) <... < T (ω) < T +1 (ω) <... ր + vérifiat la coditio : (*) les variables aléatoires T 1, T 2 T 1,..., T +1 T,... sot idépedates de même loi expoetielle de paramètre θ > 0 Pour tout t R +, soit N t (ω) = Card{m N : T m (ω) t} = m N 1 (Tm t)(ω) Sous les hypothèses précédetes la famille de variables aléatoires etières (N t ) t 0 est appelée «Processus de Poisso de paramètre θ». Ce processus est caractérisé par les propriétés suivates : 1. Pour presque tout ω Ω, la «trajectoire» t R+ N t (ω) N est croissate, cotiue à droite et e croît que par sauts égaux à +1 ; de plus N 0 (ω) = T 1 T 2 T 3 2. Pour toute suite croissate de réels positifs : Les variables aléatoires 0 t 0 < t 1 <... < t < t +1 <... N t0, N t1 N t0,...,n t+1 N t,... sot idépedates. (o dit alors que le processus (N t ) t 0 est à accroissemets idépedats) 52

58 3. Pour tous 0 s < t, les variables aléatoires N t N s et N t s ot même loi de Poisso de paramètre θ(t s). Pour démotrer ces propriétés, cherchos, d abord, la loi du vecteur (T 1, T 2,..., T ) ( N ). E posat : X 1 = T 1, X 2 = T 2 T 1,..., X +1 = T +1 T,... l hypothèse (*) sigifie que le vecteur aléatoire (X 1, X 2,..., X ) a, pour tout N, la desité sur R : θ e θ(x1+x2+...+x).1 (x1 0,x 2 0,...,x 0) Soit ϕ ue applicatio mesurable de R das R +, o a : E{ϕ(T 1, T 2,..., T )} = E{ϕ(X 1, X 1 + X 2,...,X 1 + X X )} = θ R ϕ(x 1, x 1 + x 2,...,x 1 + x x )e θ(x1+ +x).1 (x1 0,...,x 0)dx 1... dx = θ R ϕ(t 1, t 2,...,t )e θt.1 (0 t1 t 2... t )dt 1 dt 2...dt e effectuat le chagemet de variables : x 1 = t 1, x 1 + x 2 = t 2, x x = t (de Jacobie égal à 1). La desité du vecteur (T 1, T 2,...,T ) est doc égale à : θ.e θt.1 (0 t1 t 2... t ) Vérifios maiteat les propriétés 2) et 3), e cherchat la loi du vecteur (N t0, N t1 N t0,...,n t+1 N t ) où 0 t 0 < t 1 <... < t < t +1. O fera le calcul pour = 2, la démostratio du cas «quelcoque» état aalogue. Soiet 0 < t 0 < t 1 et k, l N. o a : {ω : N t0 (ω) = k, N t1 (ω) N t0 (ω) = l} = {ω : N t0 (ω) = k, N t1 (ω) = k + l} Doc : = {ω : T k (ω) t 0 < T k+1 (ω), T k+l (ω) t 1 < T k+l+1 (ω)} P {N t0 = k, N t1 N t0 = l} = θ k+l+1 R k+l+1 e θs k+l+1. 1 (0<s1<...<s k t 0<s k+1 <...<s k+l t 1<s k+l+1 )ds 1...ds k ds k+1... ds k+l ds k+l+1 = θ k+l.e R θt1 1 (0<s1<...<s k t 0)ds 1...ds k. 1 (t0<s k+1 <...<s k+l t 1)ds k+1... ds k+l k R l = θ k+l.e θt1. tk 0 (t 1 t 0 ) l e utilisat le théorème de Fubii k! l! [ (θt0 ) k ] [ (θ(t1 t = e θt0 0 )) l ].e θ(t1 t0) (1) k! l! 53

59 Si o somme e l l égalité (1) précédete, o voit que pour tout k N P {N t0 = k} = (θt 0) k k!.e θt0 et o voit de même (sommer e k) que pour tout l N Doc : P {N t1 N t0 = l} = (θ(t 1 t 0 )) l l!.e θ(t1 t0) P {N t0 = k, N t1 N t0 = l} = P {N t0 = k}p {N t1 N t0 = l}, Les variables aléatoires N t0 et N t1 N t0 sot iépedates, N t0 Poisso θt 0, N t1 N t0 Poisso θ(t 1 t 0 ) k, l N Le calcul précédet motre que, pour tout t 0, P(N t < ) = 1. La vérificatio de 1) est ue coséquece immédiate de la défiitio de N t. Réciproquemet, soit (Ñt) t 0 u processus à valeurs das N (famille de variables aléatoires) vérifiat les propriétés 1), 2) et 3). Motros que la suite ( T ) des «istats de saut» de la trajectoire t R + Ñt(ω) N vérifie la propriété (*). O a T 1 = if{t > 0 : Ñ t = 1}, T 2 = if{t > 0 : Ñ t = 2},..., T = if{t > 0 : Ñ t = } O voit facilemet que 0 < T 1 (ω) < T 2 (ω) <... < T (ω) <... et, par cotiuité, que Ñ T(ω) (ω) =, pour tout. Nous allos vérifier que, pour tout N, les vecteurs aléatoires (T 1, T 2,...,T ) et ( T 1, T 2,..., T ) ot même loi. Remarquos d abord que ces deux vecteurs sot presque sûremet à valeurs das l ouvert : = { t = 1.. t Soit C l esemble des pavés C de la forme : t } tel que 0 < t 1 < t 2 <... < t R C = ]u 1, v 1 ] ]u 2, v 2 ]... ]u, v ] où 0 < u 1 < v 1 < u 2 < v 2 <... < u < v O voit facilemet que la tribu egedrée par C : σ(c) esr égale à la tribu boréliee de (exercice). Pour tout C C, C = ]u 1, v 1 ]... ]u, v ], o a : P {(T 1, T 2,...,T ) C} = P {u 1 < T 1 v 1, u 2 < T 2 v 2,..., u < T v } = P {N u1 = 0, N v1 N u1 = 1, N u2 N v1 = 0, N v2 N u2 = 1,..., N u N v 1 = 0, N v N u = 1} [ = e θu1.θ(v 1 u 1 ).e θ(v1 u1)] [. e θ(u2 v1).θ(v 2 u 2 ).e θ(v2 u2)]... [e θ(u v 1).θ(v u ).e θ(v u)] = P {Ñu 1 = 0, Ñv 1 Ñu 1 = 1, Ñu 2 Ñv 1 = 0, Ñv 2 Ñu 2 = 1,..., Ñu Ñv 1 = 0, Ñ v Ñu = 1} = P {( T 1, T 2,..., T ) C} 54

60 Doc le vecteur aléatoire ( T 1, T 2,..., T ) a même desité que (T 1, T 2,..., T ) et vérifie aisi la propriété (*), comme o le voit grâce à u chagemet de variable évidet. 3.3 Foctios caractéristiques Défiitio 1 Soit µ ue mesure positive σ-fiie, borée sur(r d, B R d). Pour tout t R d, la foctio d x R d e ıt x C où t x = t l x l est itégrable pour µ, puisque e ıt x = 1. Posos : µ(t) = x µ(dx) R d e ıt L applicatio µ : t R d µ(t) C est appelée trasformée de Fourier de µ. Si µ est la loi P X d ue variable aléatoire X = X 1. X d à valeurs das R d, défiie sur (Ω,a, P), o a : P X (t) = e ıt X(ω) dp(ω) = E{e ıt X } (formule des lois images) Ω O otera alors P X (t) = ϕ X (t) (t R d ). ϕ X est appelée foctio caractéristique de X Propositio 1 ϕ X est ue foctio uiformémet cotiue sur R d, ϕ X 1 et ϕ X (0) = 1. Démostratio : Pour tout t R d, o a : et l=1 ϕ X (t) = E{e ıt X } E{ e ıt X } = E{1} = 1 ϕ X (0) = E{1} = 1 Remarquos esuite, que pour tout x R : e ıx 1 mi{2, x }. Doc si t et s R d et t s r, o a : ϕ X (t) ϕ X (s) = E{e ıt X e ıs X } grâce au théorème de Lebesgue. E{ e ı(t s )X 1 } E { mi{2, (t s )X } } E { mi{2, r X } } 0 quad r 0 55

61 3.3.3 Théorème 1 fodametal 1. Soiet X et X deux variables aléatoires à valeurs das R d telles que, pour tout t R d ϕ X (t) = ϕ X (t) alors X et X ot même loi. 2. Si ϕ X (.) L 1 (R d, dt) où dt est la mesure de Lebesgue alors X admet ue desité f (par rapport à dt) et, pour tout x R d f(x) = 1 x (2π) d ϕ X (t)dt (formule d iversio) R d e ıt Nous doos, e appedice, ue démostratio de 1); pour ue preuve de 2), cosulter, par exemple, le livre de W. Rudi «Real ad Complex Aalysis» Mc Grow Hill (Ed.) Corollaire 1 : Soiet X 1, X 2,..., X k des variables aléatoires à valeurs R d1, R d2,..., R d k respectivemet. Pour que X 1, X 2,...,X k soiet idépedates, il faut et il suffit que, quels que soiet t 1 R d1, t 2 R d2,..., t k R d k : Démostratio : O a E{e ı(t 1.X1+t 2.X2+...+t k.x k) } = k E{e ıt l.x l } l=1 (X 1,..., X k ) idépedates P (X1,...,X k ) = (où R d = R d1 R d2... R d k ) 1.. t = t R d1... R d k : P(X1,...,X k )(t) = mais et t k k P Xl (t) = l=1 = = k P Xl sur (R d, B R d) l=1 P (X1,...,X k )(t) = E { e ı k l=1 t l.x } l R d 1... R d k k l=1 k l=1 R d l k P Xl (t) l=1 e ı k l=1 t l.x l P X1 (dx 1 )...P Xk (dx k ) e ıt l.x l P xl (dx l ) (Fubii) E { e ıt l.x } l 56

62 3.3.4 Propositio 2 Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates à valeurs R d. Alors, pour tout t R d : ϕ X+Y (t) = ϕ X (t).ϕ Y (t) (*) Démostratio : O a E{e ıt (X+Y ) } = E{e ıt X.e ıt Y } Remarquer que l égalité (*) sigifie que : = E{e ıt X }.E{e ıt Y } (idépedace) P X+Y = P X P Y Propositio 3 Soit : X = i.e. P X+Y = P X P Y X 1. X d ue variable aléatoire à valeurs R d, de foctio caractéristique ϕ X = ϕ. 1. Si X est itégrable, alors ϕ est de classe C 1 et E{X k } = ı ϕ t k (0), k = 1,...,d 2. Si X est de carré itégrable, alors ϕ est de classe C 2 et E{X k X l } = 2 ϕ t k t l (0), k, l {1,...,d} Plus gééralemet si X L p (p N + ), alors ϕ est de classe C p et t α1 r 1... tα d d ϕ(0) = (ı) r.e{x α1 1 Xα Xα d d } où α 1,..., α d N et α 1 + α α d = r p Démostratio : Le 1) est ue coséquece facile du théorème de dérivatio sous le sige itégral : ϕ(t) = e ı d l=1 t lx l (ω) dp(ω) et car Ω ϕ(t) = ı X k (ω)e ı d l=1 t lx l (ω) dp(ω) t k Ω ıx k e ı l t lx l = X k X qui est itégrable par hypothèse. Le fait que t k ϕ(.) soit cotiue est ue coséquece du théorème de Lebesgue ; de plus ϕ(0) = ı X k (ω)dp(ω) = ıe{x k } t k Ω O démotre, de la même faço, l assertio 2). 57

63 3.3.6 Propositio 3 Si la foctio caractéristique d ue variable aléatoire réelle X est de classe C 2 alors X est de carré itégrable. Démostratio : La formule de Taylor au voisiage de zéro motre que : ϕ(h) = 1 + ϕ (0).h ϕ (0).h 2 + h 2 ε(h) ϕ( h) = 1 ϕ (0).h ϕ (0).h 2 + h 2 ε( h) où ε(h) et ε( h) 0, quad h 0, doc mais (ϕ(h) + ϕ( h) 2). 1 h 2 ϕ (0) quad (h 0) 0 ϕ(h) + ϕ( h) 2 = E{e ıhx + e ıhx 2} = E { [e ı h 2 X e ı h 2 X ] 2} { ( )} hx = 4E si 2 2 O e déduit que, d après le lemme de Fatou E{X 2 } = E lim 4 si2 ( hx 2 ) h 0 h 2 h 0 { lim h 0 E 4 si2 ( hx 2 ) } h 0 h 2 Exemples : ϕ (0) < 1. Soit X B(p, ) (loi biômiale de paramètres p [0, 1] et N ). Alors : E effet ϕ X (t) = [pe ıt + (1 p)] (t R) ϕ X (t) = = C r eıtr p r (1 p) r r=0 r=0 C r ( pe ıt ) r (1 p) r si, de plus, Y B(p, m) est ue variable aléatoire idépedate de X : ϕ X+Y (t) = ϕ X (t).ϕ Y (t) doc X + Y B(p, m + ). = [pe ıt + (1 p)].[pe ıt + (1 p)] m = [pe ıt + (1 p)] +m 58

64 2. Soit X N 1 (0, 1), alors ϕ X (t) = e t2 2 E effet ϕ X (t) = 1 2π e ıtx x2 2 dx et 2πϕ (t) = ı = e ıtx xe x2 2 dx te ıtx e x2 2 dx (itégratio par parties) = tϕ(t) 2π doc de plus C = 1 car ϕ(0) = 1 3. Soit X N 1 (m, σ 2 ), alors ϕ (t) = tϕ(t) et ϕ(t) = Ce t2 2 ϕ X (t) = e ıtm t2 σ 2 2 O sait que, si Z N 1 (0, 1), X = m + σz N 1 (m, σ 2 ) doc E{e itx } = E{e ıt(m+σz) } = e ıtm E{e ıtσz } = e ıtm e t2 σ 2 2 = e ıtm t2 σ 2 2 Si, de plus, Y N 1 ( m, σ 2 ) est ue variable aléatoire idépedate de X alors ϕ X+Y (t) = ϕ X (t).ϕ Y (t) doc X + Y N 1 (m + m, σ 2 + σ 2 ). 4. Soit alors X = = e ıtm t2 2 σ2.e ıt m t2 2 σ2 = e ıt(m+ m) t2 2 (σ2 + σ 2 ) X 1. X d N d (0, I d ) ϕ(t) = e 1 2 (t t2 d ) = e 1 2 t 2 59

65 si t = 1 t. R d t d E effet (X 1, X 2,...,X d ) sot idépedates, de même loi N 1 (0, 1) doc : E{e ıt X } = E{e ı d l=1 t lx l } d = E{e ıt lx l } = l=1 d l=1 e 1 2 t2 l = e 1 2 t 2 5. Soit X Poisso de paramètre λ, alors e effet ϕ X (t) = e λ(eıt 1) ϕ(t) = k N = k N = e λeıt λ ıtk λk e k! e λ (λe ıt ) k Si, de plus, Y Poisso de paramètre µ est ue variable idépedate de X : k! e λ ϕ X+Y (t) = ϕ X (t)ϕ Y (t) = e λ(eıt 1) e µ(eıt 1) = e (λ+µ)(eıt 1) doc X + Y Poisso de paramètre λ + µ. 6. Soit X G(α, β) (loi Gamma de paramètres α > 0 et β > 0 alors e effet : et ϕ(t) = ϕ X (t) = (1 ıtβ) α 1 Γ(α)β α e ıtx e x β x α 1 dx R + ϕ ı (t) = Γ(α)β α e ıtx e x β x α dx R + ıαβ = Γ(α)β α e ıtx e x β x α 1 dx (ıtβ 1) = ıαβ (1 ıtβ) ϕ(t) (itégratio par parties) 60

66 doc ϕ(t) = C(1 ıtβ) α et C = 1 car ϕ(0) = 1 Si, de plus, Y G(α, β) est ue variable aléatoire idépedate de X alors ϕ X+Y (t) = [ (1 ıtβ) α] [ (1 ıtβ) α ] doc X + Y G(α + α, β). = (1 ıtβ) (α+α ) Trasformée de Laplace Pour des variables aléatoires positives, la otio suivate est aturelle et utile Défiitio 2 Soit : X = X 1. X d ue variable aléatoire à valeurs R d + ; o pose, pour tout s = s 1. s d R d + Ψ X (s) = E{e s.x } = E{e d l=1 s l.x l } La foctio Ψ X (.) (défiie sur R d + ) est appelée Trasformée de Laplace de la variable aléatoire X. Noter que Ψ X (.) est bie défiie ; ue applicatio facile du théorème de dérivatio sous le sige itégral motre, de plus, que Ψ X (.) est de classe C sur ( ]0, [ ) d = W et que, pour tout s = s 1. s d W : plus gééralemet : α s α1 1 sα sα d d Ψ X (s) = E{X k e s.x } s k 2 Ψ X (s) = E{X k X l e s.x } k, l {1,...,d} s k s l Ψ X (s) = ( 1) α E{X α1 1.Xα Xα d.x d e s } 61

67 pour tout α = α 1. α d N d, α = Si X L p (p N ), o peut doc calculer, coaissat Ψ X (.), tous les momets de X : E{X α1 1.Xα Xα d d } = ( 1) α lim s 0 s W où α 1,...,α d N et α = α 1 + α α d p Propositio 4 d l=1 s α1 α l α 1... Ψ sα d X (s) Soiet X et X deux variables aléatoires à valeurs R d + telles que, pour tout s R d + : Ψ X (s) = Ψ X (s) alors X et X ot même loi : P X = P X Idée de démostratio : L espace vectoriel L sur R des foctios f de la forme : f(x) = fiie C i e s i.x d où C i R, s i ( ]0, [ ) d, x R d + est ue algébre de foctios, séparat les poits de R d +, coteue das C 0(R d +, R) (espace des foctios cotiues sur Rd + tedat vers zéro à l ifii). O e coclut (théorème de Stoe Weirstrass) qu il est dese das C 0 (R d +, R). L hypothèse que X et X ot même trasformée de Laplace etraîe que, pour tout f L : fdp X = fdp X R d R d O motre alors facilemet, par u argumet de desité et cotiuité, que P X = P X. Corollaire 5 : Soiet X 1, X 2,...,X k des variables aléatoires à valeurs das R d1 +, R d2 +,..., R d k + respectivemet. Pour que X 1, X 2,..., X k soiet idépedates, il faut et il suffit que, quels que soiet s 1 R d1 +,..., s k R d k + : E{e k l=1 s l.x l } = k E{e s l.x l } Démostratio : Appliquer la propositio 4 (cf. le corollaire 1 du théorème 1) [exercice]. Exemple : Soit X ue variable aléatoire réelle de loi G(α, β) (α > 0, β > 0) sa loi a pour desité : 1 β α Γ(α) xα 1 e x β.1r +(x) l=1 62

68 et sa trasformée de Laplace Ψ(s) vaut Et o a : + 1 Ψ(s) = β α e sx e x β x α 1 dx Γ(α) 0 Γ(α) = β α Γ(α)(s + 1 β )α = 1 (1 + βs) α (s 0) Ψ (s) = αβ(1 + βs) (α+1), E(X) = Ψ (0) = αβ Ψ (s) = α(α + 1)β 2 (1 + βs) (α+2), E(X 2 ) = +Ψ (0) = α 2 β 2 + αβ 2 σ 2 (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = αβ 2 Efi o retrouve que si X et Y sot idépedates de loi G(α, β) et G(α, β) respectivemet, alors X + Y suit ue loi G(α + α, β), il suffit d appliquer la propositio suivate Propositio 6 La trasformée de Laplace de la somme de deux variables aléatoires positives idépedates est le produit des trasformées de Laplace. Démostratio : Immédiate (cf. la propositio 2) Foctios géératrices Pour des variables aléatoires etières positives, la otio de foctio géératrice est très utile Défiitio 3 Soit ue variable aléatoire à valeurs N d, o pose, pour tout u = u 1. u d ( ]0, 1[ ) d X = X 1. X d g X (u) = E{u X1 1.uX u X d d } La foctio g X (.) (défiie sur le cube ( ]0, 1[ ) d = C) est appelée foctio géératrice de la variable aléatoire X. Remarque : Pour tout u = u 1. u d C 63

69 il existe u uique tel que et o voit que s = s 1. s d ( ]0, [ ) d u 1 = e s1,...,u d = e s d g X (u) = E{e (s1x1+...+s dx d ) } = Ψ X (s) Les propriétés de la foctio géératrice se déduiset doc des propriétés de la trasformée de Laplace ; e particulier, o voit que g X est de classe C sur le cube C = ( ]0, 1[ ) d. Plus précisémet, g X est ue série etière e u 1, u 2,..., u d : g X (u) = 1, 2,..., d N u 1 1.u u d d P(X 1 = 1, X 2 = 2,..., X d = d ) La coaissace de g X (.) détermie etièremet la loi du vecteur : pour tous 1, 2,..., d N : d u 1 1 u u d de plus : d u 1 1 u u d d d X = X 1. X d g X (0) = 1! 2!... d!p(x 1 = 1, X 2 = 2,..., X d = d ) g X (1) = E{(X 1 (X 1 1)...(X ))...(X d (X d 1)...(X d d + 1))} si E{ X d } < ce qui permet de calculer, coaissat g X (.), tous les momets de X lorsqu ils existet. Lorsque d = 1, o voit que, si X L 2 doc E{X} = lim u 1 g (u) = g (1), E{X(X 1)} = lim u 1 g (u) = g (1) ( ) 2 Var(X) = g (1) + g (1) g (1) Propositio 7 Soit X = ue variable aléatoire à valeurs N d. Alors les composates X 1, X 2,..., X d sot idépedates si et seulemet si, pour tout u = u 1. u d X 1. X d ( ]0, 1[ ) d 64

70 o a : d g X (u) = E{u X u X d d } = E{uX1 1 }... E{uX d d } = g Xl (u l ) (1) Démostratio : Cf. le corollaire 5. Remarquer aussi que l égalité (1) sigifie que u : 1,..., d N ou bie que : u u d d P {X 1 = 1,..., X d = d } = = 1,..., d N l=1 d { l=1 N u u d d P {X 1 = 1 }...P {X d = d } 1,..., d N P {X 1 = 1,...,X d = d } = 3.4 Vecteurs aléatoires gaussies O dit qu ue variable aléatoire réelle ξ est gaussiee si : ou bie ξ a ue desité de la forme : } u P(X l = ) d P {X l = l } 2 2πσ 2 e 1 2σ 2 (x m)2 où σ 2 > 0 et m R (ξ N 1 (m, σ 2 )) l=1 o bie ξ est presque sûremet costate : ξ = m (m R) (P ξ = δ m ; ξ N 1 (m, 0)) Défiitio 1 Soit X = X 1.. u vecteur aléatoire à valeurs R d, o dit que X est u vecteur aléatoire gaussie si, pour tout la variable aléatoire réelle est gaussiee. t.x = t = X d 1 t. R d t d d t l X l =< t, X > l=1 65

71 Exemples : 1. Soiet X 1, X 2,..., X d d variables aléatoires réelles gaussiees idépedates alors le vecteur aléatoire X = est gaussie ; e effet, pour tous et u R : doc t = X 1. X d 1 t. R d t d ϕ <t,x> (u) = E{e ıu d l=1 t lx l } d = E{e ıut lx l } = l=1 d e (ıut lm l 1 2 u2 t 2 l σ2 l ) si X l N 1 (m l, σ l ) l=1 = e ıu d l=1 t lm l 1 2 u2 d l=1 t2 l σ2 l ) < t, X > N 1 ( l t l m l, l t 2 l σ 2 l 2. Soit X = u vecteur gaussie et soiet B ue matrice r d, m R r (détermiistes) alors le vecteur aléatoire Y = m+b.x, à valeurs R r est gaussie ; car toute combiaiso liéaire des composates Y 1,...,Y r de Y est ue combiaiso affie des composates de X qui, par hypothèse, suit ue loi gaussiee sur R. Remarque : Soit X = u vecteur gaussie, alors, pour tout l {1,..., d}, X l suit ue loi gaussiee mais la réciproque est fausse e gééral ; cotre exemple : si X 1 N 1 (0, 1), posos X 2 = X 1.1 X1 a X 1.1 X1 >a où a > 0 est fixé. Alors X 2 N 1 (0, 1) (vérificatio facile) mais X 1.. X d X 1. X d X 1 + X 2 = 2X 1.1 X1 a [ 2a, +2a] presque sûremet 66

72 doc X 1 + X 2 est ue variable aléatoire réelle o costate telle que P {X 1 +X 2 > 2a} = 0 ; X 1 +X 2 e peut être gaussiee et le vecteur X = ( X 1 ) X 2 est pas gaussie Propositio 1 Soit X = X 1. X d u vecteur gaussie à valeurs R d, alors X L p pour tout 1 p <. Posos : m = E(X) = E(X 1 ). E(X d ) la foctio caractéristique de X est doée par : ϕ X (t) = e ıt m 1 2 t Dt D = D(X) = (Cov(X l, X k )) l,k=1,...,d pour tout t = 1.. t R d t d Il e résulte que la loi de X est etièremet détermiée par sa moyee m et sa matrice de dispersio D. Démostratio : Pour motrer que E{ X p } < (1 p < ) il suffit de vérifier que E{ X l p } <, l = 1,...,d c est évidet si X l est costate sio X l N 1 (m l, σ l ) (σ l > 0) et alors E{ X l p } = 1 2πσ 2 l R x p e 1 2σ l 2 (x m l ) 2 dx < Posos doc m = E(X), D = D(X); o sait que pour tout t R d, la variable aléatoire réelle t X =< t, X > est gaussiee de moyee t.m =< t, m > et de variace t.d.t =< t, DT > ; doc, pour tout u R : ϕ <t,x> (u) = E{e ıu<t,x> } = e ıu<t,x> 1 2 u2 <t,dt> e particulier : ϕ X (t) = E{e ı<t,x> } = e ı<t,m> 1 2 <t,dt> O otera N d (m, D) la loi de tout vecteur gaussie à valeurs R d, de moyee m et de matrice de dispersio D. Il reste à motrer qu il e existe ue lorsque m et D sot doées à l avace. 67

73 3.4.3 Lemme 1 Soit D ue matrice d d symétrique, positive ou ulle, de rag 1 r d. Il existe alors ue matrice B, d r de rag r telle que B.B = D. Démostratio : Soiet λ 1 > 0, λ 2 > 0,...,λ r > 0, λ r+1 = 0,...,λ d = 0 les valeurs propres de D. O sait (résultat d algèbre liéaire), qu il existe ue matrice orthogoale O telle que ODO = où λ = 0... λ r... 0 (O = O 1 ) Soit 1 la matrice d r, de rag r, doée par : λ λ = λr o a = 1. 1 et O.D.O = 1. 1 doc D = O O = B.B où B = O Propositio 2 Soiet m R d, D ue matrice symétrique positive ou ulle, d d de rag r, B ue matrice d r telle que B.B = D et X = u vecteur aléatoire gaussie à valeurs R r de loi N r (0, I r ), alors Y = m + B.X suit la loi N d (m, D). Démostratio : O sait que B existe d après le lemme 1 et que X 1, X 2,..., X r sot r variables aléatoires réelles idépedates de même loi de desité X 1. X r 1 2π e 1 2 x2 doc Y = m + B.X est u vecteur gaussie à valeurs R d (cf. l exemple 2), de plus : E(Y ) = m + BE(X) = m, D(Y ) = B.I r.b = B.B = D O dira que X N d (m, D) est o dégéérée si D est iversible : det(d) 0. 68

74 3.4.5 Propositio 3 Si X N d (m, D) avec det(d) 0, la loi de X a pour desité sur R d : (2π) d 2 (det(d)) 1 2 e 1 2 (x m).d 1.(x m) Démostratio : Soit Y N d (0, I d ) et soit B, matrice d d telle que B.B = D, (det(b) 0); o sait que X a même loi que m + B.Y ; doc, si ϕ : R d R est mesurable positive ou ulle : E{ϕ(X)} = E{ϕ(m + BY )} = (2π) d 2 ϕ(m + By)e 1 2 y 2 dy R d o pose m + By = x, y = B 1 (x m), D(y) D(x) = det(b 1 ) ce qui doe : E{ϕ(X)} = (2π) d 2 det(b 1 ) ϕ(x)e 1 2 (x m).(b 1 ).B 1.(x m) dx R d comme B.B = D, det(d) = (det(b)) 2 et D 1 = (B.B ) 1 = (B 1 ).B 1, o obtiet l expressio cherchée. Ue propriété importate des variables aléatoires gaussiees est que, pour ue variable aléatoire gaussiee cetrée, l idépedace des composates équivaut à leur orthogoalité das L Propositio 4 Soit X = X 1.. X d N d (m, D) alors les variables aléatoires X 1,..., X d sot idépedates si et seulemet si D est diagoale. Démostratio : O a déjà vu que si X 1,..., X d sot idépedates alors D est diagoale. Réciproquemet, si t = 1.. t t d R d désiget les termes diagoaux de D, o a : ϕ X (t) = e ı<t,m> 1 2 <t,dt> et σl 2 (l = 1,...,d) = e ı(t1m1+...+t dm d ) 1 2 (t2 1 σ t2 d σ2 d ) d = e ıt lm l 1 2 t2 l σ2 l = l=1 d ϕ Xl (t l ) l=1 69

75 ce qui implique l idépedace des composates X 1,..., X d d après le corollaire 1 du Théorème 1 (III). Gééralisos ce résultat Propositio 5 Soit X k = X 1 k.. X p k k k = 1,..., des variables aléatoires à valeurs R p k telles que le vecteur X = à valeurs R d = R p1... R p, (d = p p ) soit gaussie. Les variables aléatoires X 1, X 2,..., X sot idépedates si et seulemet si, quels que soiet k l : Cov(X r k, Xs l ) = 0 pour tous r {1,...,p k}, s {1,..., p l }. Démostratio : D après le corollaire 1 du Théorème 1 (III), il suffit de motrer que quels que soiet u k R p k : X 1. X E{e ı(u 1 X1+...+u X) } = E{ ıu k X k } soit ecore l idépedace des variables aléatoires réelles u 1 X 1,...,u X. Comme le vecteur (u 1 X 1,...,u X ) est gaussie (foctio liéaire de X), il suffit de vérifier que si k l : Cov(u k X k, u l X l) = 0 mais : k=1 Cov(u k X k, u l X l) = r,s u r k.us l Cov(Xr k, Xs l ) = Appedice Démostratio du théorème 1 O ote, pour σ > 0, g σ (u) = (2πσ 2 ) d 2 e 1 2σ 2 u 2, u R d o sait que d où : e 1 2 t 2 = R d e ıt u g 1 (u)du t R d e 1 2σ 2 x y 2 = e ı (x y).u σ g 1 (u)du R d = σ d g 1 (σu)e ı(x y) R d.u du 70

76 Lemme 1 : Soit µ ue mesure borée sur R d, alors : g σ (x y)µ(dx) = (2π) d 2 ˆµ(u)g 1 (σu)e ıy u du Démostratio : g σ (x y)µ(dx) = (2π) d 2 = (2π) d 2 µ(dx) g 1 (σu)e +ı(x y) u du [ ] e +ıx u µ(dx) g 1 (σu)e ıy u du d après le théorème de Fubii, puisque g 1 (σu)e ı(x y) u e σ2 u 2 2 qui est itégrable pour µ(dx)du Lemme 2 : L espace vectoriel egedré par les applicatios x g σ (x y) où σ parcourt R + et y R d est dese das C 0 (R d ) (espace des foctios cotiues sur R d qui tedet vers zéro à l ifii). Démostratio : O vérifie, e effet, facilemet que cet espace est ue sous algèbre de C 0 (R d ) qui sépare les poits (y compris le poit à l ifii). O coclut e appliquat le théorème de Stoe-Wierstrass. Les lemmes 1 et 2 impliquet le théorème 1 car, d après le premier, si µ 1 et µ 2 désiget les lois de X et X respectivemet, fdµ 1 et fdµ 2 coïcidet pour f(x) = g σ (x y) doc, d après le secod, par desité et cotiuité, pour toute f C 0. 71

77 72

78 Chapitre 4 Lois des grads ombres et théorème cetral limite 4.1 Différets modes de covergece des variables aléatoires Soiet X ( N) et X des variables aléatoires défiies sur (Ω,a, P) et à valeurs R d. 1. O dit que X X quad presque sûremet s il existe N a tel que P(N) = 0 et ω Ω, ω N X (ω) X (ω) quad das R d. 2. X X quad das L p (1 p < ) si pour tout, X et X appartieet à L p et E{ X X p } 0 quad. 3. X X quad e probabilité si pour tout ε > 0, P { X X > ε} 0 quad. 4. X X quad e loi si pour tout f C b (R d ) = {applicatios cotiues et borées de R d das R}, o a E{f(X )} E{f(X )} quad, e d autres termes : f(x)p X (dx) R d f(x)p X (dx) R d quad O dit alors que les lois P X coverget étroitemet vers P X quad Propositio 1 O a les relatios suivates etre ces différets modes de covergece : 1) 3) et 2) 3) 4) les implicatios e ses iverse (sas coditios supplémetaires) état fausses e gééral. 73

79 Démostratio : 1. Cas 1) 3) ci dessus. O suppose que X X presque sûremet. Soiet ε > 0 et A = { X X > ε}. O a : lima = {ω Ω tel que X (ω) X (ω) > ε pour ue ifiité d etiers } O voit que : et lima {ω : X (ω) X (ω)} N où P(N) = 0 0 = P(limA ) = P { ( m A m )} = lim P { m A m} lim P(A ) 0 doc lim P {A } = lim P { X X > ε} = 0 2. Cas 2) 3) ci dessus. Soit ε > 0. O a : P { X X > ε} 1 ε pe{ X X p } 0 quad 3. Cas 3) 4) ci dessus. O suppose que ε > 0 P { X X > ε} 0. Premier cas : f C k (R d ) = {foctios cotiues à support compact das R d } ; o sait alors que f est uiformémet cotiue : pour tout ε > 0, il existe α ε > 0 tel que : x, y R d, x y α ε f(x) f(y) < ε doc E{f(X ) f(x )} E{ f(x ) f(x ) } E{ f(x ) f(x ).1 ( X X α ε)} + E{ f(x ) f(x ).1 ( X X >α ε)} εp { X X α ε } + 2 f P { X X > α ε } ε + 2 f P { X X > α ε } 2ε pour tout assez grad ( f = sup x f(x) < ). Cas gééral Soiet ε > 0 et C ε > 0 tels que P { X > C ε } < ε. Il existe alors ϕ C k (R d ) telle que pour tout x R d : 0 ϕ(x) 1 et ( x C ε ) ϕ(x) = 1. Soit f C k (R d ). O a : E{f(X )} E{f(X )} E{ f(x ) fϕ(x ) } + E{ fϕ(x ) fϕ(x ) } + E{ fϕ(x ) f(x ) } { } f (1 E{ϕ(X )}) + (1 E{ϕ(X )}) + E{ fϕ(x ) fϕ(x ) } (*) Or : 0 1 ϕ 1 ( x >Cε) 74

80 ϕ et fϕ appartieet à C k (R d ) doc : 1 E{ϕ(X ) P { X > C ε } < ε et lim 1 E{ϕ(X ) = 1 E{ϕ(X ) ε lim E{ fϕ(x ) fϕ(x ) } = 0 L iégalité (*) motre alors que, pour tout assez grad : E{f(X )} E{f(X )} f (3ε) + ε ε > 0 état arbitraire, o voit que : E{f(X )} E{f(X )} Propositio 2 Si X X e probabilité, il existe ue sous suite k ր telle que X k X presque sûremet. Démostratio : O suppose que : ε > 0 : P { X X > ε} quad Il est facile de costruire, par récurrece, ue sous-suite k N telle que, pour tout k N : { P X k X > 1 } 2 k < 1 2 k et k < k+1 ր. Soit : A k = { X k X > 1 } 2 k O a alors : doc P(A k ) < k k P {lima k } = k < d après le lemme de Borel-Catelli. Posos N = lima k. O voit que P(N) = 0 et que, pour tout ω Ω : (ω N) ω A k pour tout k assez grad doc (ω N) il existe u etier K(ω) tel que, pour tout k K(ω) X k (ω) X (ω) 1 2 k 75

81 4.2 Lois des grads ombres Théorème 1 Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires réelles, de carré itégrable, vérifiat les coditios suivates : alors 1. E{X } m quad, où m R 2. l k Cov(X l, X k ) = 0 3. sup Var(X ) < X = X X m quad das L 2 et presque sûremet. Remarque : Si les variables aléatoires X ( N ) sot idépedates, de même loi, de carré itégrable alors les coditios 1), 2) et 3) sot satisfaites. Démostratio du théorème 1 : Posos X = X E(X ). O voit que (X ) vérifie les coditios 2) et 3) et que E(X ) = 0, X = X + E(X 1) E(X ) E(X 1 ) E(X ) m quad Il suffit de motrer que X 0 das L2 et presque sûremet. Soit O a, d après 2) et 3) : C = supvar(x ) E{(X ) 2 } = 1 2 Var{X X } = 1 2 [Var{X 1} Var{X }] C. 2 = C 0 quad doc X 0 das L2. Pour tout, posos S = X X. O viet de voir que : { ( ) 2 S } E C doc : E 1 ( S 2 2 La variable aléatoire réelle ) 2 = { (S ) } 2 2 E 2 C 2 < ( ) 2 S 2 2 (ω) 76

82 est itégrable, doc fiie presque sûremet et S 2 (ω) 0 quad presque sûremet 2 Pour tout N, soit m N tel que : m 2 < (m + 1) 2 alors et O a doc : 1 m 2 < ( ) 2 1 quad m 0 m 2 < 1 + 2m (1) S m 2 = Sm2 m 2 m2 0 presque sûremet de plus doc et (2) E { (S ) } S 2 m C. = 2C 3 2 E 1 S S m 2 E regroupat (1) et (2), o voit que : ( ) S S 2 m 2 2C < 0 quad presque sûremet S = X 0 quad presque sûremet Théorème 2 (Loi forte des grads ombres) Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires réelles idépedates, de même loi, itégrables, alors : X = X 1 + X X E(X 1 ) quad presque sûremet et das L 1 Nous admettros la démostratio (u peu délicate) de ce théorème [Cf. : Breima «Probability» Ed. SIAM] Corollaire : Théorème fodametal de la statistique (X ) N état ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi icoue µ, la loi des grads ombres motre que, pour toute foctio f mesurable et borée, o a M (f, ω) = f(x 1) f(x ) (ω) E{f(X 1 )} = 77 f(x)µ(dx) quad

83 presque sûremet. O voit doc que la coaissace, pour tout assez grad, des moyees empiriques (i.e. accessibles à l experiece) M (f, ω) fourit ue boe approximatio de la véritable moyee f(x)µ(dx) = µ(f) Le théorème Cetral limite (covergece vers la loi de Gauss) permet d estimer «l erreur» [M (f, ω) µ(f)] aisi que sa vitesse de covergece vers zéro. O a aussi : Théorème 3 (Loi du logarithme itéré) Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires idépedates, de même loi et borées, alors : lim (X X ) E(X 1 ) [2 log(log())] 1 2 = σ(x 1 ) presque sûremet lim (X X ) E(X 1 ) [2 log(log())] 1 2 = σ(x 1 ) presque sûremet Démostratio : Admise [Cf. : Breima «Probability» Ed. SIAM] Ce théorème motre que X E(X 1 ) coverge presque sûremet vers zéro «aussi vite» que ( ) 1 2 log(log()) 2 quad. 4.3 Covergece e loi Soiet X ( N) et X des variables aléatoires à valeurs R d. Si X X e loi, alors pour tout t R d : ϕ X (t) = E{e ıtx } ϕ X (t) = E{e ıtx } quad puisque f(x) = e ıtx appartiet à C b (R d ) Réciproquemet o a le : Théorème de Paul Lévy Si, pour tout t R d, ϕ X (t) ϕ(t) (simplemet) et si ϕ est cotiue e zéro, alors ϕ est la foctio caractéristique d ue variable aléatoire X à valeurs R d et X X e loi. O va démotrer ue propriété plus simple. 78

84 4.3.2 Théorème 4 Si, pour tout t R d, ϕ X (t) ϕ X (t), alors X X e loi. Démostratio (succite). Soit 1 g σ (u) = ( ) d e 1 2σ 2 u 2 2πσ 2 où σ > 0 et u R d. O sait [ Cf. l appedice du chapitre 3 ] que : g σ (x y)p X (dx) = 1 (2π) d 2 ϕ X (u)g 1 (σu)e ıuy du doc, puisque ϕ X (u) ϕ X (u), o voit, grâce au théorème de Lebesgue, que : (*) : g σ (x y)p X (dx) 1 ϕ (2π) d X (u)g 1 (σu)e ıuy du 2 = g σ (x y)p X (dx) Soit L le sous espace vectoriel de C 0 (R d ) = {foctios cotiues qui tedet vers zéro à l ifii} egedré par les foctios x g σ (x y) où σ > 0 et y R d. Ue applicatio du théorème de Stoe-Weirstrass motre que L est dese das C 0 (R d ) et la propriété (*) etraîe, par cotiuité, que f C 0 (R d ) : f(x)p X (dx) f(x)p X (dx) O vérifie alors [Cf; la démostratio de la propositio 1 ], que la covergece précédete a lieu pour tout f C b (R d ) Propositio 3 Soiet X ( N) et X des variables aléatoires à valeurs R d, alors si X X e loi, o a pour tout A B R d, tel que P {X A} = 0 ( où A désige la frotière de A) P {X A} P {X A} quad E particulier, si les variables aléatoires X et X sot à valeurs réelles, pour tout t R, tel que P {X = t} = 0 (i.e. e tout poit de cotiuité de la foctio de répartitio F(t) = P {X t}), o a P {X t} P {X t} Réciproquemet, si les foctios de répartitio F (t) = P {X t} coverget vers P {X t} = F(t) e tout poit t D où D est dese das R, alors X X e loi. Démostratio : elle est admise. 79

85 4.3.4 Théorème 5 (Théorème Cetral Limite) Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires idépedates, de même loi, de carré itégrable, à valeurs das R d. Posos m = E(X 1 ) R d, D = D(X 1 ) est la matrice de dispersio de X 1 et S = X 1 + X X, alors { S m} coverge e loi, quad, vers la loi de Gauss N d (0, D). E particulier, si d = 1, e posat σ 2 = Var(X 1 ) (o suppose σ 2 > 0) : { P α σ {S } m} β 1 2π β pour tous α β das R = R { } {+ }. Démostratio (succite) : Soit Φ(t) = E{e ıt(x1 m) } (t R d ) alors Φ est de classe C 2 et : Φ t l (0) = 0, d où le développemet limité : α e x2 2 dx quad 2 Φ t l t k (0) = D l,k, pour tous l, k {1,...,d} Φ(t) = < t, Dt > + t 2 ε(t) où ε(t) 0 quad t 0 O a doc, pour tout t R d : Φ (t) = E { S m ıt( e ) } = = [ Φ ( t )] [ 1 1 ( )] t 2 t < t, Dt > + 2 ε = e log(1 1 t 2 2 <t,dt>+ ε( t )) e 1 2 <t,dt> quad puisque ε ( t ) 0 (le log est bie défii pour tout assez grad). O sait de plus que t e 1 2 <t,dt> est la foctio caractéristique de toute variable aléatoire de loi N d (0, D); il suffit doc d appliquer le théorème 4. 80

86 Chapitre 5 Espérace coditioelle Soiet (Ω, a, P) u espace de probabilité associé à ue expériece aléatoire et B ue sous-tribu de a. a est la tribu de tous les évéemets «possibles» et B représete ue famille d évéemets remarquables : par exemple famille des évéemets du «passé», du «futur», du «préset» ou bie famille des évéemets qui s exprimet e foctio d ue variable aléatoire T fixée de (Ω, a, P) das u espace (F, F) : B = σ(t) = {T 1 (S); S F} a Rappelos que si Y est ue variable aléatoire réelle, o dira que Y est B-mesurable si : σ(y ) = {Y 1 (C); C borélie de R} B e d autres termes, Y «e déped que des évéemets de B». X état ue variable aléatoire réelle doée sur (Ω, a, P) u problème aturel cosiste à rechercher la «meilleur approximatio», e u ses à préciser, de X par ue variable aléatoire réelle Y B-mesurable. 5.1 Théorème 1 (fodametal) Soiet X ue variable aléatoire réelle itégrable défiie sur (Ω,a, P) et B ue sous-tribu de a. Il existe alors ue variable aléatoire réelle Y B-mesurable et itégrable, uique à l égalité presque sûre près, telle que : ( ) pour tout B B : B XdP = B Y dp O dira que Y est (ue versio de) l espérace coditioelle de X sachat B et o otera : Y = E{X/B} presque sûremet. Nous admettros (pour le momet) l existece de Y, basée sur le théorème de Rado-Nicodym, [Cf. W. Rudi «Real ad Complex Aalysis» MC Graw H (ed)]. Motros l uicité de Y, à l égalité presque sûre près. 81

87 5.2 Propositio 1 Soit Z ue variable aléatoire réelle B-mesurable et itégrable alors Z 0 presque sûremet si et seulemet si : (1) pour tout B B : ZdP 0 Démostratio : Il suffit, évidemmet, de motrer que (1) Z 0 presque sûremet. Soiet ε > 0 et B = {Z ε}. Alors B B, puisque Z est B-mesurable, de plus (1) 0 ZdP = ZdP εp {Z ε} 0 B Z ε doc, pour tout ε > 0 : P {Z ε} = 0 et P {Z < 0} = P {Z ε} ε>0 = 0 Corollaire 1 : Soiet Y 1 et Y 2 deux variables aléatoires réelles B-mesurables et itégrables telles que : pour tout B B : Y 1 dp = Y 2 dp alors Y 1 = Y 2 presque sûremet. Démostratio : Immédiate : poser Z = Y 1 Y Propositio 2 B Soiet X L 1 (Ω,a, P) et B ue sous-tribu de a alors Y = E{X/B} presque sûremet si et seulemet si (1) Y est presque sûremet égale à ue variable aléatoire B-mesurable et itégrable (2) pour toute variable aléatoire réelle Z B-mesurable et borée, o a : E{X.Z} = E{Y.Z} Démostratio : Si Y vérifie les propriétés (1) et (2), o a immédiatemet Y = E{X/B} presque sûremet (poser Z = 1 B, B B). Réciproquemet supposos que Y = E{X/B} presque sûremet; o a (1) par défiitio, de plus, pour toute variable aléatoire réelle Z B-mesurable étagée : o a : B B ε Q Z = fiieα i 1 Bi où α i R et B i B E{X.Z} = fiieα i E{X.1 Bi } = fiieα i E{Y.1 Bi } = E{Y.Z} 82

88 Si Z est ue variable aléatoire réelle B-mesurable et borée, posos : Z = k Z alors Z est B-mesurable étagée, k 2.1 (Z [ k 2, k+1 2 [) ( N ) Z Z 1 2 Z sup Z(ω) + 1 < ω E{X.Z } = E{Y.Z } il suffit de faire tedre vers l ifii et d appliquer le théorème de Lebesgue pour obteir l égalité : E{X.Z} = E{Y.Z} 5.4 Propriétés de l espérace coditioelle Soiet X et Y apparteat à L 1 (Ω,a, P) et B ue sous-tribu de a alors : 1. E{X + Y/B} = E{X/B} + E{Y/B} presque sûremet 2. Pour tout α R E{αX/B} = αe{x/b} presque sûremet 3. Si X Y presque sûremet, o a : E{X/B} E{Y/B} presque sûremet, e particulier : X 0 presque sûremet E{X/B} 0 presque sûremet 4. E { E{X/B} } = E{X} 5. Si X et B sot idépedates, o a E{X/B} est costate presque sûremet et égale à E{X}, e particulier, pour toute costate α R E{α/B} = α presque sûremet 6. Soit ϕ ue foctio covexe miorée de R das R alors ϕ { E{X/B} } E{ϕ(X)/B} presque sûremet si ϕ(x) L 1, e particulier et E{X/B} E{ X /B} E{X/B} p E{ X p /B} presque sûremet si p [1, [ et X L p. 7. Si Y est B-mesurable et X.Y L 1 alors presque sûremet, e particulier presque sûremet E{X.Y/B} = Y E{X/B} E{Y/B} = Y 83

89 8. Si B est ue sous-tribu de B, o a presque sûremet E { E{X/B}/B } = E{X/B } = E { E{X/B }/B } 9. Si X ( N) est ue suite de variables aléatoires réelles positives telles que 0 X X +1 et X ր X presque sûremet alors presque sûremet E{X /B} ր E{X/B} Démostratio : Pour démotrer les propriétés précédetes o utilise les assertios (1) et (2) de la propositio 2 qui caractériset l espérace coditioelle. 1. Soiet Y 1 = E{X/B}, Y 2 = E{Y/B}, Y 3 = E{X+Y/B} presque sûremet et Z ue variable aléatoire réelle B-mesurable borée. O a, d après (2) : E{(Y 1 + Y 2 ).Z} = E{Y 1.Z} + E{Y 2.Z} = E{X.Z} + E{Y.Z} = E{(X + Y ).Z} = E{(Y 3.Z} doc Y 1 + Y 2 = Y 3 presque sûremet puisque Y 1 + Y 2 est B-mesurable et itégrable. 2. O démotre de même le 2). 3. O suppose que X Y presque sûremet, alors pour tout B B : E{(Y X)/B} dp = (Y X)dP 0 B et puisque E{(Y X)/B} est B-mesurable itégrable, o a, d après le propositio 1 : E{Y/B} E{X/B} = E{(Y X)/B} 0 B presque sûremet 4. O a : Ω B, doc : X dp = E{X/B} dp Ω Ω 5. Dire que X et B sot idépedates sigifie que, pour tout B B les variables aléatoires X et 1 B sot idépedates. Soit B B alors X dp = E{X.1 B } = E{X}P(B) = E(X) dp B doc E(X) = E{X/B} presque sûremet puisque la variable aléatoire costate E(X) est évidemmet B-mesurable, itégrable. B 84

90 6. Soit S l esemble des foctios affies telles que, pour tout x R : (x) ϕ(x). O sait que ϕ(x) = sup S (x). Si S, o a d après 1), 2), 3) et 5) : presque sûremet doc presque sûremet { E{X/B} } = E{ (X)/B} E{ϕ(X)/B} ϕ { E{X/B} } E{ϕ(X)/B} 7. O suppose que Y est B-mesurable et X.Y L 1. Posos Y 1 = Y.E{X/B} et Y 2 = E{X.Y/B}. Soit Z ue variable aléatoire réelle B-mesurable et borée. Pour tout N, o a : E{(Y 2.Z.1 ( Y ) } = E{X.Y.Z.1 ( Y ) } = E { E{X/B}.Y.Z.1 ( Y ) } (car la variable aléatoire Y.Z.1 ( Y ) est B-mesurable borée) doc Y 2.1 ( Y ) = E{X/B}.Y.1 ( Y ) = Y 1.1 ( Y ) } presque sûremet (d après le corollaire 1). E faisat tedre vers l ifii das l égalité précédete, o voit que Y 1 = Y 2 presque sûremet. 8. Soit B ue sous-tribu de B. Pour tout B B, o a, par défiitio : B E { E{X/B}/B } dp = = = B B B E{X/B} dp X dp E{X/B } dp doc : E { E{X/B}/B } = E{X/B } presque sûremet d après le corollaire 1, de plus E{X/B } = E { E{X/B }/B } presque sûremet d après 7) puisque toute variable aléatoire B mesurable est B-mesurable. 9. Pour tout N : 0 X X +1 ր X presque sûremet et X L 1 doc : 0 E{X /B} E{X +1 /B} E{X/B} presque sûremet. Soit H = lim ր E{X /B}, alors H est B-mesurable et 0 H E{X/B} presque sûremet, doc H L 1. De plus, pour tout 85

91 B B, o a, d après le théorème de Beppo-Levi : H dp = lim ր E{X /B} dp B B = lim ր X dp B = X dp B = E{X/B} dp doc H = E{X/B} presque sûremet. B 5.5 Théorème 2 Soit X ue variable aléatoire réelle de carré itégrable, défiie sur (Ω,a, P) et B ue sous-tribu de a, alors Y = E{X/B} presque sûremet si et seulemet si Y vérifie les coditios 1) et 2) suivates : 1) Y est presque sûremet égale à ue variable aléatoire réelle B-mesurable, de carré itégrable. 2) Pour toute variable aléatoire réelle Z B-mesurable, de carré itégrable, o a : E{(X Y ) 2 } E{(X Z) 2 } De plus, sous la coditio 1), 2) est équivalete à 3) : 3) Pour toute variable aléatoire réelle Z B-mesurable, de carré itégrable, o a : E{(X Y ).Z} = 0 Remarque : Le théorème précédet motre que l espérace coditioelle de X sachat B, E{X/B}, est «la meilleure approximatio e moyee quadratique» (das L 2, à l égalité presque sûre près) de X par ue variable aléatoire réelle Y B-mesurable. Démostratio : O suppose que X L 2 (Ω,a, P); o a alors, d après les propriétés de l espérace coditioelle : (E{X/B}) 2 E{X 2 /B} presque sûremet et E { (E{X/B}) 2} E { E{X 2 /B} } = E{X 2 } < doc E{X/B} vérifie 1). Soit Z ue variable aléatoire réelle B-mesurable, de carré itégrable. Pour tout N o sait, d après la propositio 2, que E{X.Z.1 ( Z ) } = E { E{X/B}.Z.1 ( Z ) } Si o voit, e appliquat le théorème de Lebesgue, que : E{X.Z} = E { E{X/B}.Z } ou bie E { (X E{X/B}).Z } = 0 86

92 doc E{X/B} vérifie 3); de plus E{(X Z) 2 } = E { [(X E{X/B}) + (E{X/B} Z)] 2} = E { (X E{X/B}) 2} + E { (E{X/B} Z) 2} + 2 E { (X E{X/B}).(E { (X/B} Z) } = E { (X E{X/B}) 2} + E { (E{X/B} Z) 2} (1) E { (X E{X/B}) 2} (*) Car Z = E{X/B} Z est B-mesurable de carré itégrable doc E { (X E{X/B}). Z } = 0 L iégalité (*) motre doc que : E{X/B} vérifie 2). Réciproquemet, si Y est ue variable aléatoire réelle vérifiat 1) et 2), o voit, d après (1), e remplaçat Z par Y, que : doc E { (X E{X/B}) 2} + E { (E{X/B} Y ) 2} = E{(X Y ) 2 } E { (X E{X/B}) 2} E { (E{X/B} Y ) 2} = 0 et Y = E{X/B} presque sûremet Si Y est ue variable aléatoire réelle vérifiat 1) et 3), il est immédiat de voir, d après la propositio 2, que Y = E{X/B} presque sûremet. O a doc motré que : C.Q.F.D. Y = E{X/B} Y vérifie 1) et 2) Y vérifie 1) et 3) presque sûremet 5.6 Propositio 3 Soiet X 1 et X 2 apparteat à L 2 (Ω,a, P) et B ue sous-tribu de a, alors : E{X 1.X 2 /B} ( E{X 2 1 /B})1 2 ( E{X 2 2 /B})1 2 presque sûremet e particulier : E{X 1 /B} E{ X 1 /B} ( E{X 2 1 /B})1 2 presque sûremet Démostratio : Exercice : utiliser le fait que, pour tout λ R : E{(X 1 + λx 2 ) 2 /B} 0 presque sûremet 87

93 5.7 Théorème 3 Soiet T ue variable aléatoire défiie sur (Ω,a) à valeurs das u espace mesurable (F, F) et Y ue applicatio de Ω das (R, B R ). Notos σ(t) la tribu egedrée par T : σ(t) = {T 1 (S); S F} a Alors Y est σ(t)-mesurable si et seulemet si il existe ue applicatio mesurable h de (F, F) das (R, B R ) telle que Y = h T. O a doc le schéma suivat : (Ω, σ(t)) T (F, F) Y =h T h (R, B R ) Démostratio : Si Y = h T, avec h mesurable de (F, F) das (R, B R ) il est évidet que : σ(y ) = {T 1 ( h 1 (C) ) ; C B R } σ(t) Réciproquemet, supposos d abord, que Y est ue variable aléatoire réelle étagée σ(t)-mesurable Y = fiieα i.1 Di où α i R et D i σ(t) pour tout i : D i = T 1 (S i ) où S i F doc 1 Di = 1 Si T et Y = fiie α i.1 Si T = h T avec h = fiieα i.1 Si Si maiteat Y est ue variable aléatoire réelle positive σ(t)-mesurable, il existe ue suite croissate Y de variables aléatoires réelles étagées, σ(t)-mesurables positives telles que : Y = lim ր Y ; o peut doc écrire Y = h T où h est ue applicatio mesurable de (F, F) das (R, B R ). Soit o voit que h = lim Y = lim h.1 (lim h< ) ր h T = h T Si Y est de sige quelcoque, o décompose : Y = Y + Y. 5.8 Défiitio 1 Soiet X L 1 (Ω,a, P) et T ue variable aléatoire défiie sur (Ω,a) à valeur das (F, F). L espérace coditioelle de X sachat T, otée E{X/T } est défiie par : E{X/T } = E{X/σ(T)} 88

94 où σ(t) a est la sous-tribu egedrée par T. E combiat la propositio 2 et le théorème 3, o voit que : Y = E{X/T } presque sûremet est caractérisée par (1) et (2) : (1) Il existe g applicatio mesurable de (F, F) das R telle que : Y = g(t) presque sûremet et g(t) L 1. (2) Pour toute applicatio h mesurable et borée de (F, F) das R o a : E{X.h(T)} = E{Y.h(T)} Le théorème 2 motre, de plus, que si X L 2 (Ω,a, P), alors E{X/T } est la meilleure approximatio e moyee quadratique de X par ue foctio mesurable de T, plus précisémet : 1. Il existe g applicatio mesurable de (F, F) das R telle que E{X/T } = g(t) presque sûremet et g(t) L 2 2. Pour toute applicatio mesurable h de (F, F) das R telle que h(t) L 2, o a : E{(X g(t)) 2 } E{(X h(t)) 2 } Remarque : Das la pratique, pour calculer l espérace coditioelle E{X/T }, le problème qui se pose est de trouver ue foctio g telle que E{X/T } = g T presque sûremet. Coaissat la loi du couple (X, T), les coditios (1) et (2) précédetes permettet, e gééral, de détermier la restrictio de g à u sous-esemble mesurable S de F tel que P {T S} = 1, ce qui est suffisat car la variable aléatoire g T est alors bie défiie presque sûremet. Exemples importats : Exemple A : Si T est ue variable aléatoire discrète à valeurs das u esemble déombrable F, posos : S = {t F : P(T = t) > 0} alors P {T S} = 1 et pour toute variable aléatoire réelle X L 1, o a : E{X/T } = g T presque sûremet où : 1 t S : g(t) = X dp P(T = t) {T=t} Démostratio : Soit t S. Posos h = 1 {t}, alors, d après (2), si E{X/T } = g T o a E{X.(1 {t} T)} = E{(g T).(1 {t} T)} = E{X.1 (T=t) } = g(t).p {T = t} doc g(t) = 1 P(T = t) E{X.1 (T=t)} Exemple B : Si (X, T) est à valeurs R R m, de desité f = (f(x, t)), posos S = {t R m ; f(x, t)dx > 0} R 89

95 alors P {T S} = 1 et pour toute foctio θ mesurable et borée de R das R, o a où pour presque tout t S : E{θ(X)/T } = g T presque sûremet 1 g(t) = θ(x)f(x, t)dx R R f(x, t)dx (*) Démostratio : O sait que la desité k de T est doée par : k(t) = f(x, t)dx R (t R m ) doc S = {t : k(t) > 0} et o a bie P {T S} = 1. Soit θ : R R mesurable et borée, alors, d après (2), si E{θ(X)/T } = g(t), pour toute applicatio h mesurable et borée de R das R E{θ(X).h(T)} = E{g(T).h(T)} = θ(x)h(t)f(x, t)dxdt = g(t)h(t)f(x, t)dxdt [ ] = h(t) θ(x)f(x, t)dx dt R m R = h(t)g(t)k(t)dt R m l égalité précédete état valable pour tout h, o voit que g(t)k(t) = θ(x)f(x, t)dx R presque partout e t. Si t S, o obtiet doc la formule (*). Exemple C : Soit (X, T) ue variable aléatoire à valeurs das (F 1 F 2, B 1 B 2 ). Si X et T sot idépedates, alors pour toute applicatio ϕ mesurable et borée de F 1 F 2 das R, o a : E{ϕ(X, T)/T } = g T presque sûremet où g(t) = E{ϕ(X, t)} = ϕ(x, t)p X (dx) F 1 pour presque tout t F 2 (relativemet à la loi de T). Démostratio : Si t F 2, posos g(t) = E{ϕ(X, t)}. Pour toute applicatio h mesurable et 90

96 borée de F 2 das R, o a, d après le théorème de Fubii : E{ϕ(X, T).h(T)} = ϕ(x, t)h(t)p X (dx)p T (dt) F 1 F 2 [ ] = h(t) ϕ(x, t)p X (dx) P T (dt) F 2 F 1 = h(t)e{ϕ(x, t)}p T (dt) F 2 = h(t)g(t)p T (dt) F 2 = E{g(T).h(T)} = E{E{ϕ(X, T)/T }.h(t)} doc E{ϕ(X, T)/T } = g(t) presque sûremet 5.9 Défiitio 2 Soiet X et T deux variables aléatoires défiies sur (Ω, a, P) à valeurs das des espaces mesurables (F 1, B 1 ) et (F 2, B 2 ) respectivemet. O appelle loi coditioelle de X sachat T ue famille de probabilités sur l espace (F 1, B 1 ) idicée par t F 2 : (N(t, dx)) t F2 vérifiat les coditios suivates : 1. Pour tout B 1 B 1, l applicatio t F 2 N(t, B 1 ) [0, 1] est mesurable. 2. Pour toute applicatio θ mesurable et borée de (F 1, B 1 ) das R o a : E{θ(X)/T }(ω) = θ(x)n (T(ω), dx) presque sûremet F 1 E particulier P {X B 1 /T } def = E{1 B1 X/T } = N(T, B 1 ) presque sûremet pour tout B 1 B 1. O dit alors que N(t, dx) est la loi coditioelle de X sachat que (T = t). Remarques : 1. Il suffit de coaître la loi coditioelle de X sachat que (T = t), pour tout t S où S est u sous-esemble mesurable de F 2 tel que P {T S} = Pour toute applicatio mesurable et borée ϕ de F 1 F 2 das R, o peut motrer (facilemet) que ( ) E{ϕ(X, T)/T }(ω) = ϕ(x, T(ω))N (T(ω), dx) presque sûremet F 1 O utilisera souvet la otatio suivate : E{ϕ(X, T)/(T = t)} def = ϕ(x, t)n(t, dx) F 1 91

97 (même si P(T = t) = 0!). La formule (*) etraîe, de plus, que : E{ϕ(X, T)} = E { E{ϕ(X, T)/T } } = ϕ(x, t)p (X,T) (dx, dt) F 1 F 2 = P T (dt) ϕ(x, t)n(t, dx) F 2 F 1 (formule des lois images) O a doc l égalité formelle : P (X,T) (dx, dt) = P T (dt)n(t, dx) où N(t, dx) est la loi coditiolle de X sachat que (T = t). 3. Les variables aléatoires X et T sot idépedates si et seulemet si N(t, dx) e déped pas de t : N(t, dx) = P X (dx) pour tout t F Calculos la loi coditioelle de X sachat T das chacu des exemples précédets : Exemple A : (T variable aléatoire discrète) Pour toute applicatio mesurable et borée θ à valeurs réelles : 1 E{θ(X)/(T = t)} = θ(x) dp P(T = t) {T=t} = θ(x)(ω)p t (dω) où P t (dω) = P {dω/(t = t)} = Ω R θ(x)n(t, dx) si t F et P(T = t) > 0 doc N(t, dx) est la loi de X sous P t. Exemple B : (X, T) admet ue desité (f(x, t)) sur R R m. O voit immédiatemet que : 1 N(t, dx) = f(x, t)dx. f(x, t)dx R si t Rm et f(x, t)dx > 0 R Exemple C : X et T idépedates à valeurs das (F 1, B 1 ) et (F 2, B 2 ) respectivemet. Soit Φ ue applicatio mesurable de (F 1 F 2, B 1 B 2 ) das (F 3, B 3 ). Posos X = Φ(X, T). Alors la loi coditioelle de X sachat que (T = t), Ñ(t, dy) est égale à la loi de la variable aléatoire Φ(X, t). E effet, pour toute applicatio mesurable et borée θ de (F 3, B 3 ) das R o a : E{θ( X)/(T = t)} = E{θ (Φ(X, T))/(T = t)} = g(t) où g(t) = E{θ (Φ(X, t))} = θ(y)ñ(t, dy) (t F 2) F 3 92

98 5.10 Espaces L P Soit 1 p <, rappelos (cf. le chapitre 3 I) que L p (Ω,a, P) = L p désige l esemble des variables aléatoires réelles fiies X telles que E{ X p } <. L p est u espace vectoriel sur R. Pour tout X L p, posos N p (X) = (E{ X p }) 1 p L applicatio N p (.) vérifie les propriétés : 1. N p (X) = 0 X = 0 presque sûremet 2. λ R, X L p, N p (λx) = λ.n p (X). 3. X et Y das L p, N p (X + Y ) N p (X) + N p (Y ) A cause de la propriété 1), N p (.) est pas ue orme sur L p. Pour obteir u «bo» espace ormé, o effectue la costructio suivate : X L p, soit Ẋ = {Y L p tel que X = Y presque sûremet} L p O défiit : L p = {Ẋ où X varie das Lp } Remarquer que pour tous X 1, Y 1, X 2, Y 2 das L p et λ R, o a : [Ẋ1 = Ẏ1 et Ẋ 2 = Ẏ2] X 1 + X 2 = Y 1 + Y 2 [Ẋ1 = Ẏ1] λx1 = λy1 O muit l esemble L p d ue additio et d ue multiplicatio par les scalaires e posat : si C 1 et C 2 appartieet à L p, C 1 = Ẋ1, C 2 = Ẋ2 où X 1 et X 2 L p et pour tout λ R : C 1 +C 2 def = X 1 + X 2 λ.c 1 def = λx1 La remarque précédete motre que ces défiitios ot bie u ses et o vérifie facilemet que (L p, +,.) est u espace vectoriel sur R. Soiet X et Y das L p, oter que Ẋ = Ẏ N p(x) = N p (Y ) Si C appartiet à L p, o peut doc défiir sas ambiguïté N p (C) par la formule : (1) N p (C) = N p (X) où X L p est u représetat quelcoque de C : Ẋ = C. O a alors : N p (C) = N p (Ẋ) = 0 X = 0 presque sûremet C = 0 où 0 est l élémet eutre de L p. Il est immédiat de vérifier que la formule (1) défiit ue véritable orme N p (.) sur l espace vectoriel L p. O idetifiera, das la suite, u élémet C de L p à l u quelcoque de ses représetats X das L p : C = Ẋ. Ue variable aléatoire réelle X telle que E{ X p } < sera doc cosidérée (pour simplifier les otatios) idifferemmet, suivat les cotextes, comme u élémet de L p ou de L p. Si X L p, o otera de plus : N p (X) = (E{ X p }) 1 p = X p 93

99 5.11 Théorème 4 Soit 1 p <. L espace L p, mui de la orme. p, est u espace de Baach. Démostratio : Soit (X ) N ue suite de Cauchy das L p. O costruit facilemet, par récurrece, ue sous-suite 1 1 < 2 <... < k ր + telle que, pour tout k : X k+1 X k p 1 2 k soit O voit que, pour tout k 2 : k 1 0 Y k = X l+1 X l (k 2) l=1 Y k p = (E{(Y k ) p }) 1 P k 1 X l+1 X l p l=1 k 1 l=1 1 2 l < 1 Le lemme de Fatou motre alors que : { } E lim (Y k ) p lim E{Y p k } 1 k k doc lim k (ω) = k Y X l+1 X l (ω) < presque sûremet l 1 Il est facile d e déduire que la sous-suite (X l ) l 1 coverge presque sûremet vers ue variable aléatoire X, de plus doc X L p et X = lim k X k X 1 + lim k Y k (E{ X X k p }) 1 p lim (E{ X l X k p }) 1 p l l 1 lim X i+1 X i p l i=k i k 1 2 i = 2 2 k 0 quad k d après le lemme de Fatou et l iégalité triagulaire doc X k X das L p, or la suite (X ) N état de Cauchy, o voit que : X X p X X k p + X k X p 0 quad k et et o a bie lim X = X das L p. Corollaire 1 : Toute suite (X ) N de variables aléatoires réelles qui coverget das L p vers ue variable aléatoire réelle X, admet ue sous-suite (X k ) k N qui coverge 94

100 presque sûremet vers X. Démostratio : Immédiate, compte teu de la démostratio du théorème 4. (Cf. aussi la propositio 2 du chapitre 4). Corollaire 2 : Pour tous X et Y das L 2, posos : < X, Y >= E{X.Y }. O défiit aisi u produit scalaire <.,. > sur L 2 et l espace L 2, mui de ce produit scalaire est u espace de Hilbert. Démostratio : Immédiate, d après le théorème 4 : remarquer que X 2 = (< X, X >) Espérace coditioelle das L 2 Commeços par u rappel sur les espaces de Hilbert. Soiet (H, <.,. >) u espace de Hilbert et F H u sous-espace fermé. Pour tout x H, il existe y F, uique projectio orthogoale de x sur F, vérifiat l ue des coditios équivaletes suivates : 1. z F, (x y) z i.e. < x, z >=< y, z > 2. z F, x y x z Soiet (Ω,a, P) u espace de probabilité et B ue sous-tribu de a. Cosidéros l espace de Hilbert H = L 2 (Ω,a, P) et F le sous-espace fermé de H costitué des élémets ayat u représetat B-mesurable. Si X est ue variable aléatoire réelle de carré itégrable, il est aturel de cosidérer, comme ous l avos déjà souligé, la meilleure approximatio e moyee quadratique de X par ue variable aléatoire réelle Y ayat u représetat B- mesurable (Cf. le théorème 2). D après 1) et 2), cette variable aléatoire est la projectio orthogoale de X sur F. elle est caractérisée par : ➀ Y est B-mesurable (presque suremet), de carré itégrable. ➁ Z L 2, B-mesurable : E{ X Y 2 } E{ X Z 2 } Compte teu de ➀, o a : ➁ ➁ : Z L 2, B-mesurable : E{X.Z} = E{Y.Z} ➁ ➁" : B B, E{X.1 B } = E{Y.1 B } Y est aisi détermiée, de maière uique (à l égalité presque sûre près) par les coditios { ➀, ➁} ou { ➀, ➁ } ou { ➀, ➁"}. Nous savos déjà, d après le théorème 2, que Y est l espérace coditioelle de X sachat B : Y = E{X/B} presque sûremet. Remarque : L approche précédete permet de démotrer le théorème 1 au mois si X L 2. Lorsque X est seulemet itégrable, o posera si X 0 presque sûremet : et das le cas gééral : E{X/B} = lim ր E{X.1 (X ) /B} presque sûremet E{X/B} = E{X + /B} E{X /B} presque sûremet Nous etreros pas das les détails... 95

101 5.13 Cas des vecteurs gaussies Soit (X, T) = (X, T 1, T 2,..., T d ) u vecteur gaussie à valeurs R R d, alors la meilleure approximatio e moyee quadratique de X par ue foctio mesurable de T = (T 1, T 2,..., T d ), E{X/T } est, e fait, la meilleure approximatio e moyee quadratique par ue foctio affie de T. Plus précisemet : Théorème 1 Soit (X, T) u vecteur gaussie à valeurs R R d, alors 1. O peut trouver a, b 1, b 2,...,b d R tels que 2. O a la décompositio : E{X/T } = a + X = a + d j=1 d b j T j j=1 b j T j + Z où Z est ue variable aléatoire réelle gaussiee cetrée idépedate de T 3. La loi coditioelle de X sachat que T = t = (t 1, t 2,..., t d ) est gaussiee : d N(t, dx) = N 1 a + b j t j, σ 2 où σ 2 = Var(Z). Démostratio : Soit : j=1 G = Vect{1, T 1, T 2,..., T d } L 2 (Ω,a, P) (sous-espace de dimesio fiie egedré par 1, T 1,..., T d ) alors la projectio orthogoale de X sur G : Π G (X) est la meilleure approximatio das L 2 de X par ue foctio affie de T : 1. a, b 1,..., b d R tels que Π G (X) = a + 2. X Π G (X) est orthogoal à G, doc : d b j T j j=1 E{(X Π G (X)).1} = 0 E{(X Π G (X)).T l } = 0 pour tout l {1, 2,..., d} 96

102 O a doc le système liéaire suivat dot les icoues sot a, b 1, b 2,..., b d : { E{Π G (X)} = a + d j=1 b je{t j } = E{X} E{Π G (X).T l } = ae{t l } + d j=1 b je{t j T l } = E{X.T l } où l {1, 2,..., d} ce qui permet de calculer les costates a, b 1,..., b d Cosidéros maiteat le vecteur gaussie : ( ( X a + ) ) d j=1 b jt j T Remarquos que : Cov X a + d b j T j,t l = E{(X Π G (X)).T l } = 0 j=1 pour tout l {1, 2,..., d}. Doc, si o pose d Z = X a + b j T j la variable aléatoire gaussiee Z est idépedate de T, de plus : doc E{ X a + j=1 E{Z} = E{X Π G (X)} = 0 d } b j T j /T = E{Z/T } = E{Z} = 0 presque sûremet j=1 et : d d E{X/T } = E{a + b j T j /T } = a + b j T j j=1 j=1 presque sûremet O a doc démotré les assertios 1) et 2) du théorème 1 ; l assertio 3) est ue coséquece de la décompositio : d X = a + b j T j + Z et du fait que Z et T sot idépedates (Cf. l exemple C, page 92) Remarque : est égal à «l erreur» j=1 σ = (Var(Z)) 1 2 = Z 2 mi { X h(t) 2} h S où S désige l esemble des applicatios mesurables h de R d das R telles que h(t) L 2. 97