Sommes, produits, récurrence

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1 Sommes, produts, récurrence ECE3 Lycée Carnot 8 septembre 00 Pour ce deuxème chaptre, un peu de théore, pusque celu-c va nous permettre de dénr quelques notatons et méthodes supplémentares qu nous seront ben utles par la sute (ou peutêtre devras-je dre plutôt pour les sutes, pusqu'l s'agt du premer thème fasant ntervenr de façon assez ntensve le symbole somme et les récurrences). Symbole Σ et proprétés La somme est l'opératon la plus élémentare qu sot en mathématques, vous l'utlsez d'aleurs fréquemment depus une bonne dzane d'années mantenant. Mas autant sommer deux ou tros nombres est chose asée, autant l'aare se complque quand on a beson de fare la somme d'un grand nombre de termes (vore même d'une nnté, comme on le verra un peu plus tard). Plutôt que de recourr à des petts ponts à la fos peu rgoureux et necaces, on utlse une notaton un peu plus complexe au premer abord, mas qu smple grandement les calculs une fos maîtrsée. Dénton. Le symbole sgne somme. Plus précsément, la notaton exemple somme pour varant de à 7 des a et peut se détaller de la façon suvante : 7 a a + a 3 + a + a 5 + a + a 7. 5 Exemples : On notera Dans l'autre sens, a se lt par Remarque. Les bornes choses, et 7, ne sont que des exemples, on peut prendre n'mporte quo, y comprs des bornes varables, par exemple a a n + a n+ + a n+ + + a n + a n. Par contre, la borne de départ dot toujours être plus pette que la borne d'arrvée (snon la somme est nulle). La lettre est une varable muette, autrement dt on peut la changer par n'mporte quelle autre lettre sans changer la valeur de la somme. On chost tradtonnellement les lettres, j, k, etc. pour les ndces de sommes. Dans une somme, la varable muette prend toujours toutes les valeurs entères comprses entre la valeur ntale et la valeur nale.

2 Exemple : a (n )a (fates ben attenton au nombre de termes que content la somme...). Proposton. Règles de calcul sur les sommes. On a le drot d'eectuer les opératons suvantes : factorser par une constante : ax a séparer ou regrouper des sommes de mêmes ndces : a + b a + x séparer les ndces en deux (relaton de Chasles) : a a + fare un changement d'ndce : a jn j0 p p+ a j+ (on a posé j ) Remarque. Tenter de smpler d'une façon ou d'une autre a b est par contre une très bonne manère de s'attacher la rancoeur tenace de votre professeur ; les sommes et produts ne font pas bon ménage. a b Démonstraton par récurrence La démonstraton par récurrence est un schéma de démonstraton que nous utlserons extrêmement souvent cette année, et qu'l est donc essentel de maîtrser parfatement. Réalser une bonne récurrence n'est pas très complqué s on se force à ben en respecter la structure, la rgueur est donc de mse pour ne pas dre de bêtse! Proposton. Prncpe de récurrence : On cherche à prouver smultanément un ensemble de proprétés P n dépendant d'un enter naturel n. On procède de la manère suvante, qu devront être apparentes dans la rédacton de notre récurrence : Énoncé clar et précs des proprétés P n et du fat qu'on va réalser une récurrence. Intalsaton : on vére que P 0 est vrae (habtuellement un calcul très smple). Hérédté : on suppose P n vrae pour un enter n quelconque (c'est l'hypothèse de récurrence) et on prouve P n+ à l'ade de cette hypothèse (s on n'utlse pas l'hypothèse de récurrence, c'est qu'on n'avat pas beson de fare une récurrence!). Concluson : En nvoquant le prncpe de récurrence, on peut armer avor démontré P n pour tout enter n. Proposton 3. n N, n N, n(n + )(n + ) n N, 3 n (n + ) k0 n(n + ) ( kn q, n N, q k qn+ q Exemple : Calcul de la somme des enters. Nous allons démontrer par récurrence que la proprété P n : tout enter n. ) n(n + ) est vrae pour

3 Pour n 0, nous avons 0 et 0(0 + ) 0, donc P 0 est vrae. Supposons P n vrae pour un enter n quelconque, c'est-à-dre que n+ alors eectuer le calcul suvant : +n+ n(n + ). On peut n(n + ) n(n + ) + (n + ) +n+ (n + )(n + ), ce qu prouve P n+. D'après le prncpe de récurrence, nous pouvons donc armer que, n N, Exemple : Calcul de la somme des carrés des enters. Nous allons prouver par récurrence la proprété P n : nous avons 0 0, et 0(0 + )( 0 + ) 0, donc P 0 est vérée. Supposons désormas P n vrae pour un enter n quelconque, on peut alors écrre n(n + ). n(n + )(n + ). Pour n 0, + + (n + ) n(n + )(n + ) + (n + ) n(n + )(n + ) + (n + ) (n + )(n(n + ) + n + ) (n + )(n + 7n + ) (n + )(n + )(n + 3) (n + )((n + ) + )((n + ) + ), donc P n+ est vérée. D'après le prncpe de récurrence, on peut conclure que P n est vrae pour tout enter naturel n. Exemple 3 : Calcul de la somme des cubes des enters. Nous allons prouver par récurrence la proprété P n : 3 n (n + ). Pour n 0, nous avons , et 0 (0 + ) 0, donc P 0 est vérée. Supposons désormas P n vrae pour un enter n quelconque, on peut alors écrre (n + ) 3 n (n + ) + (n + ) 3 n (n + ) + (n + ) 3 (n + ) (n + n + ) (n + ) (n + ), donc P n+ est vérée. D'après le prncpe de récurrence, on peut conclure que P n est vrae pour tout enter naturel n. Exemple : Calcul de sommes géométrques. kn Nous allons prouver par récurrence la proprété P n : q k qn+. Pour n 0, nous avons q kn q k q 0, et q q, donc P 0 est vérée. Supposons désormas P n vrae pour une enter n k0 quelconque, on peut alors écrre kn+ k0 kn q k k0 k0 q k +q n+ qn+ +q n+ qn+ + q n+ q n+ q q q n+, donc P n+ est vérée. D'après le prncpe de récurrence, on peut conclure que P n est vrae q pour tout enter naturel n. 3

4 Remarque 3. Varatons du prncpe de récurrence : Le monde mathématque n'étant pas parfat, une récurrence classque n'est hélas pas toujours susante pour montrer certanes proprétés. Il faut donc être capable de moder légèrement la structure dans certans cas : s on ne cherche à montrer P n que lorsque n n 0 (n 0 étant un enter xe dépendant du contexte), on peut toujours procéder par récurrence, mas en ntalsant à n 0. l est parfos nécessare que l'hypothèse de récurrence porte non pas sur une valeur de n, mas sur deux valeurs consécutves. On peut alors eectuer une récurrence double : on vére P 0 et P lors de l'étape d'ntalsaton, et on prouve P n+ à l'ade de P n et P n+ lors de l'hérédté. on peut même avor beson pour prouver l'hérédté que la proprété sot vérée pour tous les enters nféreurs. Dans ce cas, on parle de récurrence forte : le plus smple est de moder la dénton de la proprété P n pour lu donner un énoncé comment par k n. Ans, lorsqu'on suppose P n vérée, on a une relaton vrae pour toutes les valeurs de k nféreures ou égales à n (les plus malns d'entre vous noteront d'alleurs qu'on peut toujours rédger une récurrence sous forme de récurrence forte, ça ne demande pas plus de traval et ça ne peut pas être mons ecace ; c'est toutefos un peu plus lourd et déconsellé sauf nécessté). Exemple : On consdère une sute réelle déne de la façon suvante : u 0 ; u 3 et n, u n+ 3u n+ u n. Notre but va être de prouver par récurrence double la proprété P n : u n n+. double ntalsaton : pour n 0, u 0, et pour n, 3 u, donc P 0 et P sont vérées. hérédté : on suppose que, pour un enter n xé, P n et P n+ sont vraes, c'est-à-dre que u n n+ et u n+ n+. On peut alors calculer u n+ 3( n+ ) ( n+ ) 3 n+ 3 n+ + n+ n+3, donc P n+ est vérée. concluson : par prncpe de récurrence double, on peut conclure que n N, u n n+. Remarque. Le problème de ce genre de démonstraton est évdemment qu'l faut déjà avor une dée du résultat pour pouvor le prouver par récurrence. Ans, dans le derner exemple, l faut conjecturer la forme du terme général de la sute (par exemple en calculant ses premers termes) avant de pouvor vérer la formule par récurrence. 3 Sommes télescopques, sommes doubles et produts 3. Sommes télescopques Le concept de somme télescopque ne fat ren apparatre de nouveau par rapport à ce que nous avons vu dans la premère parte du cours, c'est smplement une technque qu permet de calculer explctement certanes sommes. Nous allons donc la présenter sur un exemple. Exemple : La somme télescopque consste à constater que la dérence de deux sommes ayant beaucoup de termes communs comporte en fat nettement mons de termes que ce qu'elle n'en a l'ar au départ. Consdérons S. A pror pas évdent à calculer, du mons tant qu'on a pas ( + ) constaté que + + ( + ). On peut alors fare le calcul suvant : ( + ) ( + ) + jn+ j + jn j n + n + S la n du calcul ne vous semble pas clare, on peut auss vor les choses ans : n n + n +. j j

5 3. Sommes doubles Ren ne nous nterdt de mettre une somme à l'ntéreur d'une autre somme. Dans ce cas, l est toutefos très mportant d'utlser deux ndces dérents pour les deux sommes, sous pene de confuson totale. Pluseurs notatons sont possbles pour exprmer des sommes doubles : j jn jn j j,j n j j. Cette somme est consttuée de n termes qu'on peut par exemple représenter dans un tableau contenant n lgnes et n colonnes. L'ordre dans lequel on place les deux sommes est ndérent (d'où également la possblté de n'utlser qu'une seule somme), on a donc ntérêt à les placer dans l'ordre le plus pratque pour le calcul, c par exemple : jn ( jn ) jn j j j j la dernère somme). 3.3 Produts j j n(n + ) Le fonctonnement est très smlare à celu des sommes : n(n + ) jn j (et on ne sat pas calculer Dénton. Le symbole 5 sgne produt. Par exemple, Dénton 3. On appelle factorelle de l'enter naturel n, et on note n!, le nombre n!. Exemples : a a n ; (n + )! n! + n + Proposton. Les règles de calcul suvantes peuvent être utles quand on manpule des produts : séparer ou regrouper des produts ayant les mêmes ndces : a b a b séparer les ndces (relaton de Chasles) : a a fare un changement d'ndce : + a Remarque 5. Ben entendu, tenter de smpler p jn a j+ j j a p+ (a + b ) serat une grave erreur que, j'en sus certan, vous ne commettrez pas deux fos (n même une seule, s possble). Exemple : Un pett calcul de produt pour nr ce paragraphe. P n n! 5