Le dipôle RC série. Cours. Physique Terminale S Chapitre 6

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1 hapre 6 Le dpôle sére La dfférence de poenel enre la base du nuage e le sol peu aendre pluseurs ggavols juse avan l éclar : l énerge emmagasnée par ce sysème naurel es resuée lors de l éclar. Un composan élecrque, appelé condensaeur, emmagasne de l énerge de la même manère 1 Les condensaeurs Un condensaeur es un composan courammen ulsé dans des objes de la ve courane : généraeurs de enson, smulaeurs cardaques, flash d apparel phoo, ordnaeurs, ec D : délecrque en céramque e ' : élecrodes, armaures du condensaeurs M : méallsaon connecan les élecrodes enre elles S : soudure des connexons : connexons radales 1.1 Descrpon, symbole e charge des armaures Un condensaeur es consué de deux conduceurs en regard l un de l aure e appelés armaures. es armaures son séparées par un solan appelé délecrque.

2 hapre 6 Le condensaeur d epnus, où le délecrque es l ar. La bouelle de Leyde, l ancêre du condensaeur (1745, van Musschenbroeck) On représene symbolquemen le condensaeur par ses deux armaures. elons un condensaeur à une ple : quand un élecron arrve sur une armaure, un aure élecron que la deuxème armaure, ce qu mplque que les deux armaures son chargées e qu l exse une dfférence de poenel enre elles. Il peu donc exser un couran élecrque dans ce crcu, ben qu l conenne un délecrque (solan élecrque)! e phénomène es évdemmen ransore : lorsque le ransfer d énerge vers le condensaeur es ermné, l nensé du couran s annule, les armaures conservan une charge maxmale. q q q, q en coulombs () q = q Les charges porées par les deux armaures son oujours égales e opposées : elles son en nfluence, de sore que le composan élecrque rese globalemen neure élecrquemen, ben qu une dfférence de poenel pusse exser enre ses armaures. 1.2 elaon charge-nensé L nensé du couran élecrque désgne le déb de charge élecrque dans le crcu. S, pendan la durée quelconque Δ = o, l s accumule sur l armaure une charge Δq = q () q ( o ) ; on peu avec ce chox d écrure nrodure une nensé moyenne du couran élecrque, q I 2

3 hapre 6 L nensé nsananée du couran à un nsan de dae o peu donc s écrre par la lme q( ) q( o) ( o) lm o o so, à un nsan de dae quelconque (ou comme o ), e par défnon de la dérvée, dq ( ) d ns, dans le cas du condensaeur, l nensé s exprme par la dérvée emporelle de la charge élecrque de l armaure, avec la convenon chose pour l orenaon du couran c-dessous. q q Vérfons que la convenon chose corresponde à la relaon ndquée. On rappelle qu en élecrcé, la charge négave des élecrons mplque qu ls se déplacen en sens nverse du sens ndqué pour le couran. Quand le couran crcule effecvemen dans le sens chos sur le schéma, l nensé es posve, les élecrons de charge ( ) s accumulen en donc son évacués par, q () dq augmene dans le emps, ce qu sgnfe que. d Quand le couran crcule en sens nverse du sens chos, l nensé es négave, les élecrons dq de charge ( ) s accumulen en,q () dmnue au cours du emps e. d 1.3 elaon charge-enson On peu monrer expérmenalemen qu à chaque nsan, le quoen de la charge q () de l armaure par la enson u () enre les armaures rese consan quelle que so l nensé du couran qu crcule dans le crcu dans la lme de la enson maxmale olérée par le condensaeur. On ulse pour cela un généraeur déal de couran 1 dans le monage c-conre. Le condensaeur ulsé pore l ndcaon = 5,.1 6 F. L nensé es fxée à I = 15, µ. I u V Les résulas son les suvans. Pusque l nensé es c consane e égale à I, on peu calculer la charge dq de l armaure par la relaon : q = I éan donné que ( ) I q( ) I d (s),67 1,25 1,77 2,2 2,76 3,23 3,78 4,32 u (V) 2,4 3,79 5,44 6,73 8,41 9,82 11,5 13,1 q (1 6 ) 1,1 18,8 26,6 33, 41,4 48,5 56,7 64,8 1 On le réalse à l ade d un monage à amplfcaeur opéraonnel, hors programme, que vous rouverez sur le exe de TP n 5. 3

4 hapre 6 Tenson aux bornes du condensaeur en foncon du emps 14 u (V) u = 3,422 x 2 = 1 6 La enson aux bornes du condensaeur es proporonnelle à la durée de charge ; cee proporonnalé ne dure pas jusqu à l nfn : l ven un nsan où le condensaeur es «chargé» - la enson à ses bornes rese alors consane. 4 2,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 (s) harge du condensaeur en foncon de la enson à ses bornes,7 q (),6,5,4,3,2,1 q = 5,1-6 x u 2 = 1 La charge de l armaure du condensaeur es proporonnelle à la enson à ses bornes ; cela peu paraîre évden pusqu en lu mplquan un couran consan, on charge ses armaures e la ddp croî, mas cee relaon rès smple fa apparaîre le paramère caracérsque du condensaeur : sa capacé, c = 5,.1 6 F u (V) 4

5 hapre 6 La charge q () d un condensaeur es proporonnelle à la enson enre ses bornes u (). Le coeffcen de proporonnalé, noé, es appelé capacé du condensaeur e s exprme en farads (F), en mémore du génal scenfque expérmenaeur de l élecrcé Mchael Faraday ( ). La capacé d un condensaeur es une grandeur oujours posve. TTNTION : ee relaon n es vérfée que dans la convenon concernan le sens réel du couran dans le crcu e en convenon récepeur pour la enson u. Une remarque (hors programme) : de quo dépend la capacé d un condensaeur? o e La capacé s'exprme selon la formule c dessus e dépend u de la surface des deux armaures en regard (S en mère carré) de l'épasseur du délecrque qu sépare les armaures (e en mère) de la naure du délecrque (ε r es une consane qu dépend du maérau ulsé : vor ableau) de la permvé du délecrque par rappor au vde (ε o ) r S q () = u () q en coulombs () en farads (F) u en vols (V) 9 1 o 8,85.1 m. kg. s es exprmé en farad. Le farad es une rès grande uné, don on ulsera pluô des sous-mulples pour exprmer la capacé d'un condensaeur : par exemple, le mllfarad (mf), le mcro farad (µf), le nanofarad (nf) ou encore le pcofarad (pf). 2 Le dpôle sére 2.1 Les résulas expérmenaux On consdère la réponse d un dpôle sére à un échelon de enson monan ou descendan. xpérmenalemen, cec s oben à l ade d un généraeur déal de enson e d un nerrupeur nverseur. u (V) u (V) chelon monan chelon descendan (s) (s) 5

6 hapre 6 Le monage ulsé es le suvan. 1 2 K Poson 1 : le dpôle es soums à un échelon monan de enson. Poson 2 : le dpôle es soums à un échelon descendan de enson. u K u Les résulas son les suvans : on observe un régme ransore suv d un régme permanen. Observer :.swf u Dpôle soums à un échelon monan de enson u Dpôle soums à un échelon descendan de enson 6

7 hapre éponse à un échelon monan de enson Nous allons applquer les los de l élecrcé au crcu en poson 1. K u K u D après la lo d addvé des ensons (lo des malles), = u () + u K () D après la lo d Ohm, l expresson de l nensé lée au condensaeur, e la relaon consuve de ce composan, l ven dq du uk( ) ( ) d d ns, du u( ) d ce qu s écr encore du 1 u ( ) d La enson u () vérfe donc une équaon dfférenelle qu adme comme soluon u ( ) K e On déermne la consane K à l ade des condons nales : à = s, u ( o ) = K +. Nous avons donc K = u ( o ). Or, lorsque = o, u ( o ) = V : l ven K =. La soluon de l équaon dfférenelle s écr donc u ( ) 1 e On peu égalemen ulser la méhode d uler pour résoudre numérquemen l équaon dfférenelle. La méhode d uler perme d obenr une valeur approchée d une valeur d une foncon en un pon lorsque la foncon elle-même n es pas connue explcemen, mas en connassan sa valeur en un aure pon e sa dérvée (ce qu es déjà beaucoup). lle perme alors égalemen la consrucon d une représenaon graphque approchée de la foncon éudée. oncrèemen la méhode d uler repose sur l ulsaon de l approxmaon affne de la foncon : s f es dérvable sur un nervalle I, a e b des réels de I, b proche de a, alors : f(b) f(a) + (b a) f (a). donc s l on connaî f(a) e f (a), alors on oben ans une valeur approchée de f(b). 7

8 hapre 6 Plus concrèemen encore, plus b es proche de a, mons l erreur commse sur f(b) es grande, ce qu, connassan f(a), condu à l dée d obenr f(b), b éan fxé, par une sue de valeurs nermédares de f enre f(a) e f(b). L équaon à laquelle sasfa u () peu se mere sous la forme u ' a u b 1 avec a e b n consdéran qu elle es dérvable, nous pouvons écrre que u( + Δ) u() + Δ u (), c es-à-dre que, en nséran l équaon dfférenelle, u( + Δ) (1 a Δ) u + Δ b Or, nous connassons u( o = ) = : on peu donc calculer, à parr de ce pon e en ncrémenan h, calculer les valeurs de u()!! u 1 u o 1 u o 2.3 éponse à un échelon descendan de enson L nerrupeur éan en poson 2, le crcu se résume ans. K u K u La lo d addvé des ensons donne u () + u K () = e condu à l équaon du 1 u( ) d ns, u () vérfe une équaon dfférenelle qu adme comme soluon u ( ) K e omme précédemmen, on déermne la consane K à l ade des condons nales : en parculer, lorsque u ( o ) =, nous voyons que K =. La soluon de l équaon dfférenelle s écr donc u ( ) e emarque : ces soluon décrven le régme ransore, mas on rerouve le régme permanen en fasan endre vers l nfn. 2.4 onsane de emps du dpôle Les deux équaons dfférenelles précédenes fon appel au même erme, près, cherchons la dmenson de ce derner. 1. n regardan de plus 8

9 hapre 6 du 1 u u ( ) d ndque que do êre homogène à une durée. e produ τ = es appelé consane de emps du dpôle sére. Il s exprme en secondes. On consdère généralemen que le condensaeur es complèemen chargé ou déchargé au bou d une durée de l ordre de 5 τ. ommen déermner τ graphquemen? Prenons l exemple de la charge du condensaeur. 1 ère méhode : les 63 % On peu calculer que u ( = τ) =,63 : paran de =, on aen le emps τ lorsque la charge es compléée à 63 % de (ou la décharge à 37 % de ) 2 ème méhode : la angene à l orgne τ es l abscsse de l nersecon de la angene à l orgne de la courbe u () avec son asympoe horzonale. Démonsraon : la angene du ype u( ) u '( ) coupe l asympoe u = pour τ = so = τ. 3 xpresson des aures grandeurs élecrques Nous connassons désormas la enson aux bornes du condensaeur u () = u (). La relaon charge-enson perme d en dédure la valeur de la charge, q () = u () La relaon charge-nensé perme d obenr la valeur de l nensé, dq du ( ) d d S o = s, on peu éablr les relaons suvanes. 9

10 hapre 6 enson u () charge q () nensé () éponse à un échelon monan de enson HG Lorsque u (o) = V, u ( ) 1 e Lorsque q (o) =, q( ) 1 e ( ) e éponse à un échelon descendan de enson DHG Lorsque u (o) =, u ( ) e Lorsque q (o) =, q ( ) e ( ) e éponse à un échelon monan de enson () es nalemen maxmale ( = ) e posve. Le sens du couran es donc le sens ndqué, e l nensé décroî exponenellemen pour endre vers. La enson, comme la charge, es nalemen nulle pus croî exponenellemen vers la valeur (ou pour la charge). éponse à un échelon descendan () es nalemen mnmale ( = ) e négave. Le sens du couran es donc opposé à celu que nous avons ndqué e l nensé (), en valeur absolue, croî exponenellemen pour endre vers. La enson, comme la charge, es nalemen maxmale pus décroî exponenellemen pour endre vers. I o Dpôle soums à un échelon descendan de enson Dpôle soums à un échelon monan de enson I o 1

11 hapre 6 4 nerge emmagasnée par un condensaeur Fasons une expérence smple. 1 K 2 u K u M Le condensaeur es préalablemen chargé (poson 1). Lorsqu on bascule en poson 2, on commue le dpôle sur un moeur mun d une poule raccordée par un fl à une masse marquée. La masse s élève! L énerge poenelle de pesaneur gagnée par l obje proven de l énerge que le condensaeur ava emmagasnée. Un condensaeur perme donc de socker emporaremen de l énerge afn de la resuer. emarque : nssons sur la dffculé du sockage de l énerge élecrque! 4.1 xpresson de l énerge emmagasnée Lorsqu l es chargé sous la enson u () sous l nensé (), le condensaeur de capacé reço une pussance P( ) u ( ) ( ) D après la forme de l nensé () raversan le condensaeur, dq du P( ) u( ) ( ) u( ) ( ) d d La relaon précédene peu auss s écrre P( ) d u( ) du ( ) e en négran sur la durée, on oben l énerge emmagasnée par le condensaeur, 1 2 ( ) P( ) d u( ) du( ) u ( ) onnué de la enson aux bornes du condensaeur L énerge se ransfère avec une vesse fne, donc elle vare connûmen avec le emps. D après la relaon précédene, nous voyons que 2 ( ) u ( ) ec mpose une varaon connue de la enson aux bornes du condensaeur. 11