SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA

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1 SESSION 993 SAINT-CYR MATHEMATIQUES - Epreuve commue Optios M, P, T, TA PREMIÉRE PARTIE ) Les polyômes L 0,, L sot + polyômes de R [X] qui est de dimesio + Pour vérifier que la famille (L i ) 0 i est ue base de R [X], il suffit de vérifier que la famille (L i ) 0 i est ue famille libre O ote tout d abord que pour (i, j) 0,, o a L i (x j ) = δ i,j où δ i,j désige le symbole de Kroecker E effet, si i j et si i = j, L i (x j ) = (x j x k ) = (x i x k ) k =i (x i x k ) k =i k =i k =i, k j L i (x j ) = L i (x i ) = (x i x k ) = (x i x k ) k =i k =i (i, j) 0,, L i (x j ) = δ i,j (x j x k ) (x j x j ) = 0, Soiet alors λ 0,, λ ( + ) réels λ 0 L λ L = 0 i 0,, λ 0 L 0 (x i ) + + λ i L i (x i ) + + λ L (x i ) = 0 i 0,, λ i = 0 La famille (L i ) 0 i est doc ue famille libre de R [X] et par suite la famille (L i ) 0 i est ue base de R [X] ) Existece Le polyôme L = j 0,, y i L i est de degré au plus car la famille (L i ) 0 i egedre R [X] De plus, pour L(x j ) = y i L i (x j ) = y i δ i,j = y j Uicité Si L et M sot deux élémets de R [X] coïcidat e x 0,, x, alors le polyôme L M est de degré ifèrieur ou égal à et a au mois + racies deux à deux distictes Le polyôme L M est doc ul ou ecore L = M 3) D après la questio ), = (y 0,, y ) R +,!L R [X]/ i 0,, L(x i ) = y i à savoir L = L i = L i et X = x i L i (car deg(x) = ) L i = et x i L i = X y i L i http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

2 4) Le coefficiet de X das L vaut : z i = t (t i t j ) i + a = (t i t j ) (t i + a ) = = ( ) (t i + a ) ( a t j ) = (t i t j ) ( ) (d après la questio 3)) (t i + a ) ( ) (t i + a ) (t j + a ) (t i t j ) L i ( a ) dom(l) = ( ) (t i + a ) 5) Le polyôme P est de degré au plus k et doc le polyôme P(X ) est de degré au plus k Earticulier, les polyômes L et P(X ) sot das R k+ [X] D autre part, si 0 i k, L(x i ) = y i = P(x i ) et si k + i k +, L(x i ) = y i = y k+ i = P(x k+ i) = P(( x i ) ) = P(x i) Les polyômes L et P(X ) sot doc deux polyômes de degré au plus k + coïcidat e les k + réels x 0,, x k+ O e déduit que ces polyômes sot égaux L = P(X ) Earticulier, L est pair de même que so degré Le degré de L est doc strictemet plus petit que 6) Tout d abord, puisque deg(p) et deg(q) alors deg(s) + Esuite, S(a) = Q(a) = f(a), S(b) = P(b) = f(b) et pour i,, et o a motré que S(x i ) = (x i a)p(x i ) (x i b)q(x i ) b a = x i a x i + b f(x i ) = f(x i ), b a S iterpole f aux poits a, b, x,, x DEUXIÈME PARTIE ) Si Ψ est ue foctio de classe C + sur [, ] à valeur das R s aulat e + poits disticts de l itervalle [, ], le théorème de Rolle motre que la foctio Ψ s aule au mois ue fois das chacu des + itervalles ouverts défiis par ces + et doc s aule e au mois + poits deux à deux disticts de l itervalle ], [ Plus gééralemet, par récurrece o a k 0, +, Ψ (k) s aule e au mois ( + k) poits deux à deux disticts de l itervalle ], [ Earticulier, Ψ (+) s aule e au mois ( + ) ( + ) poits de l itervalle ], [ et doc au mois ue fois das ], [ Si P est le polyôme d iterpolatio de f e x 0,, x, alors f P s aule e x 0,, x de même que (x x 0 )(x x ) f(+) (c) ( + )!, quelque soit le choix de c das ], [ Par suite, si x est l u des x i (qui sot das [, ]) importe quel réel c de l itervalle ], [ coviet Soit maiteat x u réel de l itervalle [, ] distict des x i et fixé Pour t [, ], oose http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

3 Ψ(t) = f(t) P (t) A(t x 0 )(t x ), f(x) P (x) où A = de sorte que l o a aussi Ψ(x) = 0 (x x 0 )(x x ) f est de classe C + sur [, ] et par suite, Ψ est de classe C + sur [, ] De plus, la foctio Ψ s aule e les + poits deux à deux disticts de x, x 0,, x de l itervalle [, ] D après le début de la questio ), Ψ (+) s aule e u certai réel c de ], [ Efi, P est uolyôme de degré au plus et a doc ue dérivée ( + )-ème ulle Par suite, ) ψ (+) = f (+) A( + )! L égalité Ψ (+) (c) = 0 fourit alors l égalité f (+) (c) A( + )! = 0 ou ecore A = f(+) (c) O a motré que ( + )! X + a = (X ia)(x + ia) = ia ( X + a ) (+) = ia x [, ], c ], [/ f(x) P (x) = (x x 0 )(x x ) f(+) (c) ( + )! (X + ia) (X ia) (X ia)(x + ia) = ( ia X ia ) et doc X + ia ( ( ) (+) ( ) ) (+) ( = ( )+ ( + )! X ia X + ia ia t R, f (+) (t) = ( )+ ( + )! ia ( ) (t ia) + (t + ia) + (X ia) + (X + ia) + ) 3) Si x est l u des x i, c est clair Sio, il existe k 0, tel que x k < x < x k+ Mais alors (x x 0 )(x x ) = (x x 0 )(x x k )(x k+ x)(x x) (x k+ x 0 )(x k+ x k )(x k+ x k )(x x k ) (k + ) = k ( k) ( ) + = k (k + ) ( k) ( ) + k (k + ) (k + ) (k + 3) ( + ) = + ( + )! + x [, ], (x x 0 )(x x ) + ( + )! + 4) Soit t [, ] D après la questio ), f (+) (t) = ( ) + ( ( + )! ia (t ia) +) +) (t + ia) ( ) ( + )! a t ia + + ( + )! t + ia + = (t + a ) (+)/ a ( + )! (a ) (+)/ ( + )! = a a +3 Mais alors, d après les questios ) et 3), pour x das [, ], f(x) P (x) + ( + )! ( + )! + a +3 ( + )! = + ( + )! a +3 +, ou ecore http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

4 sup f(x) P(x) + ( + )! x [,] a +3 + Pour N, posos alors u = + ( + )! a +3 + La suite (u ) est strictemet positive et de plus pour N, o a u + = u a ( + ) + ( + ) + = a + ( + + ) (+) Cette derière expressio ted vers qui est strictemet plus petit que D après la règle de d Alembert, la série de ae terme gééral u coverge et earticulier lim u = 0 Fialemet, sup f(x) P(x) ted vers 0 quad ted + x [,] vers l ifii et doc si a > e, la suite des polyômes (P ) coverge uiformémet vers f sur [, ] TROISIÈME PARTIE ) Posos = k + Tout d abord, les x i sot deux à deux disticts puis, pour i 0, k, et d autre part y i = y i puisque f est paire x i = + i = i = x i, D après la questio I)5), le polyôme Q(x) = (x + a )(f(x) P (x)) = (x + a )P (x) est uolyôme de degré iférieur ou égal à ( ) + = + Mais P iterpole f e les + poits deux à deux disticts x 0,, x et doc le polyôme Q qui est de degré au plus + admet les + réels deux à deux disticts x 0,, x, pour racies O e déduit que le polyôme Q est de degré + exactemet et doc que Q = dom(q) (X x 0 )(X x ) Maiteat, toujours d après la questio I)5), P = P(X ) où P est le polyôme de degré iférieur ou égal à k qui vérifie P(x i ) = f(x i) pour i élémet de 0, k ou ecore, eosat t i = x i pour i élémet de 0, k i 0, k, P(t i ) = Φ(t i ), Φ état la foctio défiie à la questio I)4) P est doc le polyôme qui iterpole Φ e les k+ réels deux à deux disticts t 0,, t k So coefficiet domiat est doc ( ) k k (t i + a ) ou ecore ( ) k k (x i + a ) Efi, puisque Q = (X + a )P(X ), o domq = domp et doc : Q = ( ) k (X x 0 )(X x ) k (x i + a ) ) a) Soiet x ], [ et u etier aturel o ul + < x < < x et < x Max E x +, E ( ) x + http ://wwwmaths-fracefr 4 c Jea-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

5 Aisi, eosat N = Max E x +, E ( ) x +, N est u etier aturel tel que Soit u etier aturel supérieur ou égal à N Si E(x) x < E(x) +, alors N, N + < x < E(x) + + x + + < x + + < x + x = ( + )x et ( + )x = x + x < E(x) + + = E(x) + Si E(x) + x < E(x) + alors E(x) + + x + + < x + x = ( + )x et ( + )x = x + x < E(x) + + < E(x) + 3 Supposos maiteat qu il existe qu u ombre fii d etiers impairs strictemet supérieurs à N tels que < x E(x) < Il existe alors u etier N > N tel que tous les etiers impairs N vérifiet Soit u etier impair supérieur à N E(x) x E(x) + ou E(x) + x < E(x) + Si vérifie E(x) x E(x) + alors E(x) + < E(x) + + < ( + )x < E(x) + < E(x) + et earticulier E(( + )x) = E(x) + puis + < < ( + )x E(( + )x) < < ce qui est exclu + puisque + est ecore u etier impair supérieur à N De même, si vérifie E(x) + x < E(x) + alors E(x) + < E(x) + + < ( + )x < E(x) + 3 < E(x) + 3 et earticulier, E(( + )x) = E(x) + puis + < < ( + )x E(( + )x) < < + ce qui est exclu O obtiet ue cotradictio das tous les cas et doc il existe ue ifiité d etiers impairs > N tels que < x E(x) < Soit u tel etier impair et k u etier aturel élémet de 0, O ote que l o a x < et doc aussi E(x) < ou ecore E(x) O ote aussi que l ecadremet précédet s écrit ecore Soit k u etier aturel tel que 0 k Si 0 k E(x), o a Si E(x) + k, o a + E(x) < x < E(x) x k > + E(x) k x k < E(x) + k et doc x k > et ecore ue fois x k > http ://wwwmaths-fracefr 5 c Jea-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

6 O a aisi démotré qu il existe ue ifiité d etiers impairs tels que k 0,, x k > O ordoe alors ces etiers suivat ue suite strictemet croissate ( ) p N Soit maiteat k u élémet de 0, O a alors < x x k x < et doc x k < E résumé, k 0,, x k < Mais alors, pour k 0,, et fialemet l p < l x < 0 k 0,, l x < l() Maiteat, quad p ted vers +, ted vers + puis l() ted vers 0 O a motré que ε > 0, A N/ p N, [p A k 0,, l x < ε] b) x est toujours u réel doé de l itervalle ], [ L applicatio u l x u est cotiue sur [, x[ ]x, ] et est égligeable au voisiage de x devat L applicatio u l x u est doc itégrable sur [, x[ et sur ]x, ] O x u e déduit que O a alors l x u dx existe I(x) = l(x u) du + x = + ( + x)l( + x) + ( x)l( x) l(u x) du = [(u x)l(x u) u] x + [(u x)l(u x) u] x x ], [, l x u du = + ( + x)l( + x) + ( x)l( x) c) O a 0 x x q < x q+ x q = Comme ted vers 0, x q ted vers x quad ted vers l ifii (ou ecore quad p ted vers l ifii) Esuite, puisque x q+ x q ted vers 0, x q+ ted vers x quad ted vers l ifii La foctio u l x u est décroissate sur ], x[ et croissate sur ]x, [ Par suite, pour i 0, q, i+ x i l x u du (x i+ x i )l x x i = l x x i et e additioat membre à membre ces iégalités, o obtiet : et de même q l x u du q l x x i q l x x i = q l( + x) + = l( + x) + i= q (x i+ x i )l x x i l( + x) + l x u du q i i= x i l x u du http ://wwwmaths-fracefr 6 c Jea-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

7 E résumé, q l x u du q l x x i q l( + x) + l x u du Maiteat, puisque x q = x q, x q ted vers x comme x q Doc, tedet vers l x u du D après le théorème des gedarmes, q l x x i ted vers O motre de même que Esuite, i=q+ l x x i ted vers q l x u du et q l(+x)+ l x u du l x u du quad ted vers l ifii l x u du quad ted vers l ifii l x x q = l x q L ecadremet x q x < x q+ fourit q x < et q > x > > 0 pour 5 Doc, q est u etier de 0, pour 5 et la fi de la questio )a) motre que l x x q ted vers 0 quad ted vers l ifii O motre de même que l x x q+ ted vers 0 quad ted vers l ifii E résumé, quad ted vers l ifii, tedet vers 0 et i=q+ q l x x i ted vers l x x i ted vers l x u du Fialemet l x u du, S p ted vers I(x) quad ted vers l ifii l x x q et l x x q+ 3) a) La foctio u l(u + a ) est cotiue sur le segmet [, ] et x 0 = < x = + < < x p = est ue subdivisio à pas costat de l itervalle [, ] dot le pas ted vers 0 quad ted vers l ifii O sait alors que la somme de Riema Σ p (a) ted, quad ted vers l ifii vers l(x + a ) dx = [ x l(x + a ) ] x x + a dx = l( + a ) [ = l( + a ) 4 + a Arcta x ] a l(x + a ) dx Or ( ) a x + a dx = l( + a ) 4 + 4a Arcta a Σ p (a) ted vers l( + a ) 4 + 4a Arcta a quad ted vers l ifii b) D après la questio III)), f(x) P (x) = ( ) k+ (x x 0 )(x x ) où k = k (x i + a ) et doc (car l f(x) P p (x) = l(x + a ) + S p (x) Σ (a), k p (x +a ) = (x + a )) O e déduit que l f(x) P p (x) ted vers +(+x)l(+x)+( x)l( x) l( + a ) + a Arcta a quad ted vers l ifii http ://wwwmaths-fracefr 7 c Jea-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

8 c) Quad x ted vers, o obtiet a > 0, l(a) = l l( + a ) a Arcta a d) Si pour tout x das ], [, la suite f(x) P (x) ted vers 0 alors la suite l f(x) P p (x) = u (x) ted vers quad ted vers + Earticulier, pour tout x das ], [, u p (x) est égatif ou ul pour suffisamet grad et quad ted vers l ifii, o obtiet : ce qui impose l(a) 0 Doc x ], [, u(x) 0, si l(a) > 0, la suite (P ) e coverge même pas simplemet vers f sur [, ] O ote que quad a ted vers 0, l(a) ted vers l > 0 et doc pour a suffisamet petit l(a) > 0 QUATRIÈME PARTIE ) Pour =, le polyôme (de degré ifèrieur ou égal à ) qui iterpole f e x 0 et x est : L = f(x 0 ) x x x 0 x + f(x ) x x 0 x x 0 et le coefficiet de x vaut f(x 0) f(x ) x 0 x = f [x 0, x ] Soit E supposat que le coefficiet de x des polyômes P et Q qui iterpolet f e x 0,, x et x,, x + respectivemet sot f + [x 0,, x ] et f + [x,, x + ], puisque d après I)6), le polyôme qui iterpole f e x 0,, x + est S = (x x 0)P (x x + )Q x 0 x +, le coefficiet de x + du polyôme qui iterpole f e x 0,, x + est Le résultat est démotré par récurrece f + [x 0,,x ] f + [x,, x + ] x 0 x + = f + [x 0,, x + ] ) Si L est le polyôme (de degré iférieur ou égal à ) qui iterpole f aux poits x 0,, x, L iterpole ecore f e x σ(0),, x σ() pour toute permutatio σ des idices 0,,, Le coefficiet de x de L est doc ivariat par permutatio des x i ou ecore f + [x 0,,x ] est ivariat par permutatio des x i 3) Motros le résultat par récurrece sur Pour =, soit P = f [x 0 ] + f [x 0, x ](X x 0 ) Alors, P = f(x 0 ) + f(x ) f(x 0 ) x x 0 (X x 0 ) Aisi, P est uolyôme de degré au plus vérifiat P(x 0 ) = f(x 0 ) et P(x ) = f(x 0 ) + f(x ) f(x 0 ) x x 0 (x x 0 ) = f(x ) P est doc effectivemet le polyôme de degré au plus qui iterpole f e x 0 et x Soit, supposos que le polyôme qui iterpole f e x 0,, x soit le polyôme L = f [x 0 ] + + f + [x 0,,x ](X x 0 )(X x ) Le polyôme L + (qui iterpole f e x 0,, x + ) coïcide avec L e les + réels deux à deux disticts x 0,, x ou ecore L + L est uolyôme de degré au plus + qui s aule e les + réels deux à deux disticts x 0,, x Par suite, il existe doc ue costate A + telle que : L + = L + A + (x x 0 )(x x ) Efi, puisque le coefficiet de X + das L + est f + [x 0,,x + ] et que deg(l ), A + = f + [x 0,,x + ] ce qui motre que L + = L + f + [x 0,,x + ](X x 0 )(X x ) = f [x 0 ] + + f + [x 0,, x + ](X x 0 )(X x ) O a motré par récurrece que N, L = f [x 0 ] + + f + [x 0,,x ](X x 0 )(X x ) http ://wwwmaths-fracefr 8 c Jea-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

9 Commetaires Ce problème aalyse de maière très exhaustive les polyômes de Lagrage U résultat classique maque éamois : das la partie I, questio 3, l éocé demade calculer L i et x i L i L éocé aurait pu demader plus gééralemet la valeur des sommes x k i L i, k 0, Puisque, pour k 0,, X k est das R [X], l écriture géérale d uolyôme de R [X] das la base (L i ) 0 i fourie à la questio ) de la partie I) permet d écrire k 0,, X k = x k i L i Ce résultat sigifie que la matrice de passage de la base (L i ) 0 i à la base caoique (X k ) 0 k de R [X] est la matrice de Vadermode de la famille (x 0,, x ) : x 0 x x x x 0 x x x x 0 x x x L éocé origiel coteait ue derière questio (IV)4)) qui demadait ue traductio e Pascal de l algorithme d écrit das cette partie IV Cette questio a pas été reproduite ici http ://wwwmaths-fracefr 9 c Jea-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés