Un modèle de tarification optimal pour l assurance automobile dans le cadre d un marché réglementé : application à la Tunisie

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1 Un modèle de tarfcaton optmal pour l assurance automoble dans le cadre d un marché réglementé : applcaton à la Tunse par Olfa N. Ghal Caher de recherche 0-09 Décembre 200 ISSN : L auteure tent à remercer deux arbtres pour leurs commentares et Matheu Maurce pour son ade dans les estmatons.

2 Un modèle de tarfcaton optmal pour l assurance automoble dans le cadre d un marché réglementé : applcaton à la Tunse par Olfa N. Ghal Olfa N. Ghal est ensegnante à l Insttut Supéreur de Geston de Tuns, Unversté de Tuns. Copyrght 200. École des Hautes Études Commercales (HEC) Montréal. Tous drots réservés pour tous pays. Toute traducton ou toute reproducton sous quelque forme que ce sot est nterdte. Les textes publés dans la sére des Cahers de recherche HEC n engagent que la responsablté de leurs auteurs.

3 Un modèle de tarfcaton optmal pour l assurance automoble dans le cadre d un marché réglementé : applcaton à la Tunse par Olfa N. Ghal Résumé L objet de cet artcle est d analyser le système de tarfcaton de l assurance automoble tunsen à l ade d un modèle de tarfcaton optmal. Pour ce fare, nous utlsons un modèle de tarfcaton basé sur les caractérstques des ndvdus et leur nombre d accdents passés (Lemare 995, Donne et Vanasse, 992). Notre base de données, qu s étale sur cnq ans ( ) et content observatons, nous a perms d estmer, à partr de données annuelles et à l ade des modèles de comptage (Posson et bnomale négatve), l mportance relatve des facteurs qu explquent le nombre d accdents durant une pérode et de construre des tables bonus-malus optmales. Nous arrvons à la concluson que d autres varables que la pussance et l'usage des véhcules (qu sont utlsées comme seuls crtères de tarfcaton dans la régme actuel) sont sgnfcatves pour explquer le nombre d accdents (régon de résdence de l assuré, les garantes auxquelles l souscrt, la marque et l âge de l automoble) et que, par alleurs, la table bonusmalus adoptée par le mnstère des Fnances n est pas optmale. Mots clés : Informaton prvée, sécurté routère, bonus-malus, tarfcaton de l assurance automoble, modèles de comptage. Abstract Ths artcle s ntended to analyze the Tunsan automoble nsurance ratng system, usng an optmal ratng model. In ths regard, we apply a ratng model based on the characterstcs of polcyholders and ther number of past accdents (Lemare 995, Donne and Vanasse 992). Our data base s structured for a fve-year perod ( ) and contans 46,337 observatons, allowng us to evaluate, from annual data wth the use of models for count data (Posson and negatve bnomal), the relatve mportance of factors explanng the number of accdents durng a perod and to buld up optmal bonus-malus tables. We come to the concluson that other varables than the power and the use of vehcles (whch are the two ratng crtera n the actual regme) are sgnfcant to explan the number of accdents (nsured resdence, nsured coverages, model and age of vehcles) and also, n other respects, that the bonus-malus table put n place by the mnstry of Fnance s not optmal. Keywords : Prvate nformaton, road safety, bonus-malus, automoble nsurance ratng, count data models.

4 INTRODUCTION Le système de tarfcaton automoble utlsé en Tunse, nstauré en 993, se base essentellement sur la pussance et l usage de l automoble, et d'un système bonus-malus pour la responsablté cvle. Il est réservé à l usage prvé et applqué selon la même règle à tous les assurés par toutes les compagnes d assurances. Le prncpal problème de l assurance automoble en Tunse est le fable nveau des prmes, détermnées par le mnstère des Fnances, pour les dfférentes catégores de véhcules en foncton de la hausse crossante des coûts. En règle générale, ce secteur connaît de longs délas dans les règlements des snstres et est affecté par des problèmes de manque de clarté et de dfférends (les délas de dédommagement sont très longs) entre assureurs et assurés. Nous nous proposons, dans cette étude, de formalser un modèle optmal de tarfcaton basé sur les caractérstques des assurés (un modèle a pror) et sur le nombre d accdents passés des ndvdus (un modèle a posteror), afn d ajuster les prmes ndvduelles selon le degré de rsque ntrnsèque à travers le temps, de sorte que chaque assuré paye une prme proportonnelle à sa fréquence d accdent et que l assureur sot fnancèrement équlbré. Le modèle utlsé s nspre de deux recherches à ce sujet (Lemare, 995 ; Donne et Vanasse, 992). Les données sur lesquelles nous allons nous baser pour consttuer notre modèle sont celles d une compagne d assurances prvée qu détenat plus de 7 % du marché d assurance automoble en 994 et dont la clentèle état dstrbuée dans toutes les régons du pays. Cette base de données s étale sur cnq ans ( ) et est composée des varables suvantes: sexe, régon de résdence (gouvernorat), pussance de l automoble, marque de la voture, nombre d accdents,... Elle nous permettra d estmer, à partr des modèles de comptage (Posson et bnomale négatve), l mportance relatve des facteurs qu explquent le nombre d accdents durant une pérode et de construre des tables bonus-malus optmales. Les bonus-malus ont été ntroduts dans la lttérature économque avec l apparton des contrats d assurance sur pluseurs pérodes. Ces contrats sont justfés, en général, par la présence d asymétre d nformaton entre assurés et assureurs (sélecton adverse et rsque moral). Le bonus-malus est un mécansme qu ajuste les paramètres des contrats d assurance en foncton de l expérence passée des assurés. Par exemple, on peut ajuster la prme selon les accdents passés des ndvdus ou le nombre de ponts d napttude accumulés (Donne et Vanasse, 992, 997). C est une tarfcaton a posteror qu révse la tarfcaton a pror, en ajustant l nformaton des crtères de classfcaton des rsques. En effet, l expérence montre que l utlsaton des varables observables pour estmer le rsque d un assuré ne fournt pas toujours une segmentaton assez précse de la populaton. Les classes de rsque sont encore hétérogènes après tarfcaton a pror. Le système bonus-malus permet d amélorer la tarfcaton a posteror en utlsant l nformaton révélée par les accdents passés de l assuré, et donc de rendre les classes de rsque plus homogènes. Il permet auss de mantenr les nctatons à la prudence et de rédure les neffcactés assocées au rsque moral (Boyer et Donne, 989 ; Henret et Rochet, 99 ; Bressand, 993 ; Donne et al., 992, 997). 2

5 La justfcaton de l utlsaton du bonus-malus est auss assocée à l équté, qu consste à fare payer aux assurés des prmes correspondantes à leur nveau de rsque (Lemare, 985 ; Donne et al., 992,997). La méthodologe utlsée pour estmer la fréquence d accdents ndvduelle est celle proposée par Donne et Vanasse (992), qu consste à utlser des modèles de dstrbuton Posson et bnomale négatve (vor auss Van Eeghen, Greup, and Njssen, 983 ; Ferrera, 974 ; Van Der Laan, 988 ; Cameron et Trved, 986) avec composante de régresson, afn d utlser toute l nformaton dsponble sur l ndvdu dans l estmaton de la dstrbuton d accdents. Elle permet également de développer un système bonus-malus qu ntègre en même temps l nformaton a pror et a posteror sur une base ndvduelle. Notre apport personnel, dans cette étude, consste, après avor testé ce genre de modèle sur des données tunsennes, à ntégrer d autres varables de tarfcaton a pror (marque, pussance, âge de l automoble et types de garantes auxquelles l assureur souscrt) et de comparer la table bonus-malus optmale à celle applquée par le mnstère des Fnances. L artcle est dvsé en hut sectons. La secton décrt le système bonus-malus tunsen, la secton 2 présente les modèles économétrques de comptage pour la dstrbuton d accdents utlsés comme modèle d estmaton, la secton 3 est consacrée à la descrpton des données et varables, la secton 4 explque comment sont construtes les varables et quelles sont leurs sgnfcatons, la secton 5 décrt nos attentes vs-à-vs des sgnes des coeffcents de l estmaton économétrque. La secton 6 présente les résultats des analyses économétrques et leurs nterprétatons. La secton 7 décrt le modèle de bonus-malus optmal établ par Donne et Vanasse (992) et, enfn, la secton 8 est une applcaton du modèle de la secton 7. La concluson résume les résultats obtenus et aborde des suggestons pour des études ultéreures. DESCRIPTION DU MARCHÉ DE L ASSURANCE AUTOMOBILE EN TUNISIE Avec un très fable taux de pénétraton,,7% du P.I.B. seulement (contre 6,7% U.E.), l assurance en Tunse connaît un développement très margnal, qu contraste avec un potentel assurable énorme. 24 compagnes d assurance exercent en Tunse, dont 7 sont résdentes et 7 ne le sont pas. Parm les socétés résdentes, on compte compagnes d assurances mult-branches, 3 socétés spécalsées dans l assurance ve, deux autres dans l assurance crédt à l exportaton et une dans la réassurance. Tous les produts d assurance stagnent, horms l assurance automoble. Il est à l orgne (de 979 à 998) de 295,2 mllons de dnars de défct pour tout le secteur, sot 32,59 % des émssons de la branche et 9,7 % de l ensemble des émssons. Pour certans assureurs, cette stuaton est due à une conjoncton de pluseurs facteurs. Dans un premer temps, le prx des assurances a stagné entre 968 et 975, alors que le prx des votures et le montant des ndemnsatons ont explosé. Ensute, la révson très modérée des prx depus 975 n a pas changé grand chose, même s la 3

6 prme moyenne est passée de 00 dnars en 987 à 89 dnars en 998, une augmentaton de 85 %. Mas cette hausse est nsuffsante. Pour arrêter l écart entre les ndemnsatons et le chffre d affare de la branche, on estme qu l faut relever la prme mnmale (responsablté cvle) de 25 à 30 %, ce qu est très lon de l augmentaton de 8,08 % de 999. Au regard de l entreprse de l assurance, cette branche s accompagne de certanes contrantes lées à la geston du rsque, dont la maîtrse lu échappe. Les prmes responsablté cvle sont, en effet, fxées par le mnstère des Fnances et les ndemnsatons par les magstrats ; l assureur gère ce rsque de manère passve, en ce sens où : - d une part, la tarfcaton n étant pas lbre, l ne peut donc applquer le taux technque, c est-àdre le prx du rsque en foncton des résultats réels enregstrés ; - d autre part, les ndemnsatons n étant pas étables par des barèmes, mas fxées par les magstrats, l assureur ne peut provsonner correctement les snstres en suspens, qu subssent souvent d énormes fluctuatons, pusque chaque jurdcton est souverane dans la détermnaton de l ncapacté, la valeur du pont et le mode de calcul du préjudce matérel moral. Par alleurs, en Tunse, le taux d accdent mortel est supéreur à la moyenne mondale, selon une étude réalsée par la Banque mondale sur le secteur des assurances en Tunse (995) : pour un mllon de véhcules en crculaton et d habtants, la Tunse aurat pu affcher une moyenne de 950 décès contre 304 en moyenne en Europe. Ces chffres ont été obtenus par extrapolaton : en 996, l y a eu accdents ayant fat l objet d un procès-verbal de polce pour véhcules en crculaton, avec 297 décès constatés. On explque ce taux d accdents mortels très mportant par l âge moyen du parc (50 % des véhcules ont plus de 0 ans d âge), son manque d entreten, l état des routes et, surtout, le manque de vglance des chauffeurs. DESCRIPTION DU SYSTÈME BONUS-MALUS TUNISIEN En applcaton de la crculare 3/9 du 7 août 99 du mnstère des Fnances, le système bonusmalus a été adopté le er janver 992, et applqué le er janver 993. Le système bonus-malus n est applcable qu aux véhcules relevant de l usage «prvé» ou «affare». La prme d assurance vare à chaque échéance prncpale du contrat. Elle est détermnée en multplant la prme de base pour la responsablté cvle (fxée par le mnstère des Fnances selon la pussance de la voture) hors taxes par un coeffcent de réducton ou de majoraton fxé conformément au tableau. 4

7 Tableau Table bonus-malus tunsenne Classes Coeffcents du nveau des prmes Au er janver 992, tous les assurés ont été ms au nveau de la classe 9. Les déplacements sur l échelle des classes s opèrent selon le mécansme qu sut. - L assuré qu ne cause aucun accdent durant une année d assurance bénéfce d un rabas de prme (bonus) de 5 %. La prme dmnue ensute de 5 % pour chaque année sans accdent. Les rabas cumulés ne peuvent toutefos jamas dépasser 40 % de la prme de base. - L assuré subt une majoraton de prme s l est responsable d un ou pluseurs accdents durant une année d assurance. Cette majoraton est de 0 % pour un accdent, 30 % pour deux accdents et 00 % pour tros accdents et plus. Le coeffcent réducton-majoraton acqus au ttre du véhcule désgné au contrat est automatquement transféré en cas de remplacement du véhcule ou en cas de changement d assureur. Dans le cas où l assuré ne peut pas justfer une assurance antéreure pour un véhcule en crculaton, l est ms automatquement à la classe 4, qu correspond au coeffcent 30. Dans ce cas tout assuré qu dépasse la classe 4 dans la compagne où l souscrt son assurance a ntérêt de changer de compagne d assurance pour devenr nscrt comme nouvel assuré. Les prmes responsablté cvle en DT pour l année 998 ( DT = 0,67 $US) pour l usage prvé et affare suvant la classe bonus-malus sont représentées dans le tableau 2. 5

8 Tableau 2 Prmes de responsablté cvle suvant la classe bonus-malus Classe A2CV 3A4CV 5A6CV 7A0CV A4CV >=5CV 7 0,400 8,800 50,600 68,000 27, , ,20 95,040 20,480 34,400 73, , ,980 83,60 05,420 7,600 52,80 82, ,90 77,220 97,890 09,200 4,30 69, ,840 7,280 90,360 00,800 30,440 56, ,305 68,30 86,595 96,600 25,005 49,960 55,770 65,340 82,830 92,400 9,570 43, ,235 62,370 79,065 88,200 4,35 36, ,700 59,400 75,300 84,000 08,700 30, ,65 56,430 7,535 79,800 03,265 23, ,630 53,460 67,770 75,600 97,830 7, ,095 50,490 64,005 7,400 92,395 0, ,560 47,520 60,240 67,200 86,960 04, ,025 44,550 56,475 63,000 8,525 97, ,490 4,580 52,70 58,800 76,090 9, ,955 38,60 48,945 54,600 70,655 84, ,420 35,640 45,80 50,400 65,220 78,240 Avant 993, la prme tarfée pour la responsablté cvle état celle correspondant à la classe 09, c est-à-dre qu elle état essentellement basée sur l usage et la pussance de l automoble, plus un rabas pour certanes catégores professonnelles. En 999, une augmentaton moyenne de 8,08 % des prmes, toujours basées sur la pussance et l'usage de l automoble, a été apportée au tableau précédent en applcaton d une crculare du mnstère des Fnances. Par alleurs, un système de perms à ponts, nsttué par le nouveau code de la route, est entré en vgueur le er févrer Avec cette nouvelle réglementaton, le conducteur se vot retrer un certan nombre de ponts toutes les fos qu l commet une nfracton. Le nombre de ponts retrés dépend de la gravté de l nfracton. À partr de 4 ponts, le conducteur se vot retrer son perms de condure. Ce nouveau système a rapdement sub une modfcaton mportante par un décret, le 3 avrl 2000, portant le captal alloué au perms de 4 à 25 ponts. MODÈLES ÉCONOMÉTRIQUES DE COMPTAGE POUR LA DISTRIBUTION D ACCIDENTS Ce type de modèle a fat son apparton dans l analyse économque récemment. Glbert (979) a utlsé ce genre de modèle pour estmer le nombre de fos où on fat les courses pour une pérode donnée, Hausman, Hall et Grlches (984), pour le nombre de brevets déposés par les frmes, 6

9 Cameron et Trved (986), pour le nombre de consultatons chez le médecn, Boyer, Donne et Vanasse (992) pour le nombre d accdents, Wnkelman (994), pour explquer le nombre de fos où les ndvdus changent d emplo. Les modèles de comptage sont souvent utlsés en bologe, car les phénomènes s apparentent à des los partculères, comme dans le cas du nombre d accdents d un ndvdu. Le modèle de Posson unvaré (sans composante de régresson) Le nombre d accdents dans lesquels un ndvdu est mplqué durant une pérode donnée est une varable dscontnue, qu prend des pettes valeurs non négatves et entères. Il est donc logque de penser que la probablté d être mplqué dans un accdent satsfat les condtons suvantes : - la probablté nstantanée d avor un snstre est proportonnelle à la longueur de la pérode consdérée ; - la probablté nstantanée d un accdent est constante sur la pérode consdérée (le rsque est stable dans le temps) ; - la probablté d avor plus d un accdent durant une pérode est fable ; - les accdents sont ndépendants entre eux. La probablté qu un ndvdu sot mplqué dans k accdents durant une pérode donnée est égale à : λ e λ P(k, λ) = k! k, () λ étant le paramètre de la lo de Posson à estmer. Il représente la moyenne et la varance de la dstrbuton. Pour explquer comment une telle varable dscrète dépend d autres varables, le modèle lnéare classque se révèle nadéquat pour prncpalement deux rasons : le nuage des observatons n a pas une forme adaptée à un ajustement lnéare (Gouréroux, 989), et l hypothèse de normalté ne peut être posée, pusque la varable endogène prend un pett nombre de valeurs et ne peut pas prendre de valeurs négatves. La dstrbuton de Posson est tradtonnellement retenue pour représenter la dstrbuton des accdents, car elle satsfat ces hypothèses. Le modèle bnomal négatf Utlser une dstrbuton Posson pour représenter la dstrbuton d accdents d un groupe d ndvdus suppose mplctement que les λ contennent toute l nformaton pour explquer la probablté d accdent. Cette caractérstque est très restrctve. 7

10 S, d autre part, nous supposons que les λ ne contennent pas toute l nformaton et que, pour un ndvdu donné, la dstrbuton d accdents sut une dstrbuton de Posson, l est appropré de supposer que λ sut une dstrbuton Γ de paramètre a et τ. La foncton de dstrbuton de λ est alors f(λ) : f ( λ) = τ a e τλ a Γ λ () a. (2) a a La moyenne est égale à et la varance à τ 2 τ. La foncton Γ(a) est la foncton Gamma. La probablté qu un ndvdu chos au hasard at k accdents est défne de la façon suvante (Lemare, 985 ; Boyer et al., 992) : P ( k / a, τ) λ k ( λ) e λ f dλ 0 = k! a Γ(a + k) τ = Γ(k + ) Γ(a)( τ) k+ a (3) a a La moyenne est égale à et la varance est égale à ( + ). τ τ τ Les modèles de comptage avec caractérstques des ndvdus et leur applcaton Supposons que la varable K est le nombre d accdents dans lequel un ndvdu est mplqué dans une pérode donnée. S K est ndépendante des autres varables K pour, l ensemble de ces varables sut une lo de Posson de paramètre λ. La forme fonctonnelle qu rele le paramètre λ aux caractérstques ndvduelles est : λ = exp( X β) (4) où β est un vecteur de paramètres (mx) à estmer et λ correspond à la moyenne et à la varance. L emplo de l exponentelle nous permet d avor une moyenne et une varance non négatves, ce qu exclut les modèles de régresson lnéares. Ans, la probablté qu un ndvdu sot mplqué dans k accdents pendant une pérode consdérée est donnée par : 8

11 P(K e = k ) = exp ( Xβ) exp( X β) k! k. (5) La foncton du maxmum de vrasemblance est donnée par : n e L(k, β) = Π = exp ( Xβ) exp( X β) k! k. (6) La monotoncté de la foncton logarthmque nous permet de maxmser le smple logarthme plutôt que la foncton elle-même. Étant donné que la foncton logarthmque du maxmum de vrasemblance n est pas lnéare en β, le système d équaton dot être résolu en utlsant un algorthme tératf, comme dans la méthode de Newton Raphson (Gouréroux, 989) : β = β H β t+ t t t g β, (7) où g(.) dénote le gradent de la foncton logarthmque de vrasemblance et β t, une valeur arbtrare de début. La procédure d tératon se termne lorsqu un crtère de convergence est satsfat (le logcel Lmdep permet de procéder faclement à l estmaton de β). La formulaton précédente présente néanmons deux nconvénents. D une part, le modèle repose sur une hypothèse d ndépendance entre les événements successfs, et, d autre part, l espérance et la varance de k, sont égales par défnton. De plus, les varables X explquent à elles seules toutes les probabltés d accdents. Ces deux proprétés ne correspondent pas toujours aux observatons réalsées sur les accdents de la route. Une soluton pour reméder à ces problèmes est de supposer que le vecteur X des caractérstques n est pas suffsant pour capturer toutes les dfférences entre les ndvdus et supposer que les caractérstques addtonnelles non observées peuvent être représentées par une varable aléatore supplémentare ε, de sorte que : ( X β + ε ) λ = exp, (8) où ε représente dverses erreurs dans la spécfcaton du paramètre λ telles que l oubl de varables explcatves nobservables ou le degré d averson au rsque. La probablté margnale qu un ndvdu sot mplqué dans k accdents devent alors : 9

12 P [ k / X, ε ] h ( ε ) dε = e ( Xβ+ε ) exp( X β + ε ) k! k h ( ε ) dε (9) où h(ε ) est la foncton de densté de probablté de ε, qu est la forme générale de la dstrbuton de Posson composée. La forme partculère que nous allons consdérer (Donne et Vanasse, 989) est d écrre que : λ = exp ( X β + ε ) = exp( X β) µ et en supposant que = exp( ε ) Gamma : f ( µ ) µ = a aµ e Γ µ sut une foncton de densté avec une moyenne égale à (la moyenne de ε étant supposé égale à 0) et une varance /a. Étant donné que E ( ε ) = 0, la moyenne de λ sera exp(x β) et sa varance exp( X β ) 2. En a ntégrant l expresson de la foncton de densté par rapport à la dstrbuton d accdents, nous trouvons : () a a a (0) [ k / X ] P K = = e Γ = k exp ( k + a)! Γ() a ( X ) k β µ [ exp( X β ) µ ] k! Γ() a exp a k ( X β) exp( X β) µ + a a aµ a a a dµ ( k + a ) () qu est l expresson de la dstrbuton bnomale négatve avec paramètres a et exp(x β). Sa moyenne est E(K ) = exp(x β) et sa varance V(K ) = E(λ ) [ + E(λ ) Var(ε ) ], (2) qu est alors une transformaton crossante et convexe de la moyenne (McCullagh et Nelder, 983). Les tests de spécfcaton (Glbert, 979 ; Donne et Vanasse, 989 ; Cameron et Trved, 986, 990 ; Wnkelman, 994) Les problèmes de spécfcaton des modèles de comptage tournent autour de la volaton de l hypothèse d égalté de la moyenne et de la varance du modèle de Posson ; l est donc logque de partr du modèle de Posson pour les tests de spécfcaton. 0

13 Pour les modèles sans composante de régresson, l s agt de tester l alternatve : H0: Posson α = 0 H: bnomale négatve α > 0. Nous allons consdérer les tests utlsant les prncpes de Wald, du x 2 Goodness of ft statstc et du rato du maxmum de vrasemblance. Ces deux derners tests sont équvalents. Données et varables Notre base de données nous provent des fchers «producton automoble et snstres» d une compagne d assurances tunsenne mportante, qu détent sept pour cent du marché de l assurance automoble en Tunse pour la pérode 990 à 995. Pour chaque assuré, nous avons pu dégager l nformaton suvante : - le sexe ; - le gouvernorat où l résde ; - la pussance de son automoble ; - la marque de sa voture ; - les garantes auxquelles l a souscrt (responsablté cvle, vol, ncende, dommages) ; - l âge de la voture (nous ne dsposons pas d nformaton sur l âge pour toutes nos observatons) ; - la date des snstres pour chacune des pérodes 990/99, 99/992, 992/993, 993/994, 994/995) ; - sa responsablté dans le snstre. Afn d évter le problème des données manquantes, nous avons supprmé toutes les polces où l y avat un doute sur l nformaton relée au sexe de l assuré, à sa régon de résdence, à la marque de son automoble ou ben aux dates de contrats. Une fos les fchers annuels nettoyés, le nombre d observatons retenues pour chaque année est de pour la pérode 990/9, pour 99/92, 9 64 pour 992/93, 0 28 pour 993/94 et 447 pour 994/95. La populaton de cette compagne d assurances devrat être représentatve du comportement des conducteurs tunsens, étant donné qu elle détent des succursales dans presque tous les gouvernorats de la Tunse et que les crtères de tarfcaton pour la responsablté cvle sont les mêmes pour toutes les compagnes. Il n y a donc pas de concurrence de prx ou de marketng. Par alleurs, cette banque de donnée est ntéressante, pusqu elle nous permet d avor des statstques ndvduelles sur pluseurs années (cnq ans) et, plus encore, elle nous permet d étuder les fréquences d accdents avant et après l nstauraton du système bonus-malus (992). CONSTRUCTION ET SIGNIFICATION DES VARIABLES DU MODÈLE

14 En utlsant l nformaton contenue dans les fchers de notre assureur prvé, nous allons tenter de répondre à la queston suvante : quel est le len statstque entre le nombre d accdents d un ndvdu, ses propres caractérstques et les caractérstques de son automoble? Dans cette parte, nous avons chos de modélser le rsque d accdent automoble, quelle que sot la gravté de ceux-c, mas en tenant compte du fat que l assuré est responsable (le système bonus-malus tunsen se base sur la responsablté cvle). La varable que nous tentons d explquer est la suvante (varable dépendante) : nombre d accdents annuels avec responsablté. C est une varable dscrète, prenant des valeurs non négatves, qu ne dépassent généralement pas cnq. Ces varables explcatves sont décrtes dans le tableau 3. Tableau 3 Lste des varables utlsées dans l analyse économétrque Sexe SexeH SexeF Varable Code vlle Cvlle Cvlle2 Cvlle3 Cvlle4 Cvlle5 Cvlle6 Cvlle7 Cvlle8 Cvlle90 Cvlle2 Cv32023 Cv457 Ck689 Cvl222 Deux catégores dchotomques groupe masculn (groupe de référence) groupe fémnn Défnton 3 varables catégores qu tennent compte du gouvernorat dans lequel l assuré habte (en réalté, la Tunse est dvsée en 23 gouvernorats, mas nous avons fat des regroupements de certans gouvernorats, étant donné le fable taux d assurés appartenant à certanes régons). Le crtère de regroupement est le rato nombre d accdents en 993/ nombre d habtants de la régon. Les régons présentant des ratos semblables ont été groupées le gouvernorat de Tuns est le groupe de référence s l assuré habte le gouvernorat de Sfax ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Sousse ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Nabeul ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Bzerte ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat d Arana ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Ben Arous ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Monastr ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Médenne ou de Béjà ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Mehda ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Gabès, Zaghouan ou Tozeur ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Jendouba, Kasserne ou SdBouzd ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Karouan, Kef ou Slana ; 0 snon s l assuré habte le gouvernorat de Tataoune ou Kébl ; 0 snon 2

15 Âge de la voture Agev-3 Agev3a5 Agev6a8 Agev9à Agev2à4 Agev5à7 Agev8P Marque de la voture France Itale Allemand Anglase Ase Est Mardv Garante Inc Vol Dom Sept catégores dchotomques qu nous donnent une dée de l état de la voture utlsée. Ces varables n ont pas été utlsées dans toutes les régressons à cause du grand nombre d observatons manquantes voture âgée de mons de tros ans (groupe de référence) s la voture est âgée de 3 à 5 ans ; 0 snon s la voture est âgée de 6 à 8 ans ; 0 snon s la voture est âgée de 9 à ans ; 0 snon s la voture est âgée de 2 à 4 ans ; 0 snon s la voture est âgée de 5 à 7 ans ; 0 snon s la voture est âgée de plus de 8 ans ; 0 snon Sept catégores dchotomques qu captent l effet du pays d orgne de la voture voture françase (groupe de référence) s la voture est d orgne talenne ; 0 snon s la voture est d orgne allemande ; 0 snon s la voture est d orgne anglase ; 0 snon s la voture est d orgne asatque (japonase, coréenne, etc...) ; 0 snon s la voture est d orgne de l ex-europe de l est (polonase, russe...etc.) ; 0 snon s autre que les marques ctées c-dessus ; 0 snon 3 catégores dchotomques qu captent l effet de protecton de l assuré s l assuré assure sa voture contre l ncende ; 0 snon s l assuré assure son automoble contre le vol ; 0 snon s l assuré prend la garante collson ; 0 snon Les tros dernères varables du tableau 3 peuvent être consdérées comme des varables de protecton de l assuré et donnent une nformaton a pror sur le rsque de l assuré ou sur son averson pour le rsque. ATTENTES VIS-À-VIS DES SIGNES DES COEFFICIENTS Dans cette parte, nous allons tenter d antcper les sgnes des varables explcatves du modèle en nous basant sur les statstques agrégées du pays et les études antéreures fates à ce sujet. En ce qu concerne la varable SexeF, nous nous attendons à ce qu elle sot dotée d un coeffcent estmé de sgne négatf car, d après les statstques de 993 du mnstère de l Intéreur, seulement 3,3 % des accdents sont dus à la responsablté cvle des femmes. L effet de la varable sexe est souvent relé à celu de l âge de l assuré (Donne et Vanasse, 992). Pour 993, 29,96 % des accdents mplquent des jeunes âgés entre 20 et 30 ans, et 26,87 % mplquent ceux âgées entre 3 à 40 ans. Par contre, les accdents dont les personnes responsables sont âgées de plus de 4 ans 3

16 sont en moyenne de 5 % et ne sont pas très mportants par rapport aux accdents des gens qu ont mons de 20 ans, et qu représentent 2 % du total des accdents pour 993 (l est à remarquer qu en Tunse, l âge requs pour condure est 20 ans). Mas comme nous ne détenons pas ce genre d nformaton, nous nous lmterons à l mpact de la varable sexe sur les fréquences d accdent. Pour la varable Cvlle, nous nous attendons à ce que la plupart des sgnes des coeffcents des varables soent négatfs et sgnfcatfs, horms pour les régons Cvlle2 (Sfax), Cvlle3 (Sousse) et Cvlle4 (Nabeul), à cause de leurs partculartés. En effet, le gouvernorat de Sfax est très mouvementé, auss ben sur les plans économque, admnstratf et socal, mas également à cause d une autre partcularté. En effet, cette régon est caractérsée par un usage massf de véhcules à deux roues, comme les vélos et les motos, ce qu a un grand mpact sur le nombre d accdents automobles. Sa stuaton géographque est auss spécale, pusque la route prncpale qu rele le nord au sud de la Tunse traverse en long cette régon. En ce qu concerne les régons de Sousse et de Nabeul, stuées sur la côte, elles génèrent des actvtés tourstques étrangères et tunsennes très denses, surtout pendant la sason estvale, où le flux mgratore est très mportant. Pour les varables marque et âge de la voture, nous n avons pas de prédcton a pror. Les dfférentes varables relées à la pussance de la voture devraent présenter des coeffcents postfs et sgnfcatfs, car plus la pussance est élevée, plus l ndvdu fera de la vtesse et provoquera ans plus d accdents. Les varables Inc et Vol ne devraent pas, a pror, nous donner d dée sur le nombre d accdents, pusqu elles n ntervennent pas dans les actvtés de condute de l assuré et n ont donc pas d effet sur la probablté d accdent. Elles peuvent cependant nous ndquer le degré de rscophobe de l ndvdu, car plus un ndvdu est rscophobe, plus l prendra de garantes supplémentares. En ce qu concerne la varable Dom, son coeffcent devrat être postf et sgnfcatf. ESTIMATIONS ET INTERPRÉTATIONS DES RÉSULTATS Pour les besons de notre modèle, nous avons procédé à deux sortes d estmatons : - des estmatons qu ne tennent pas compte des caractérstques des assurés : Posson unvaré et bnomale négatve unvarée ; - des estmatons qu tennent compte des caractérstques des ndvdus et de leur voture : Posson et bnomale négatve avec composante de régresson. Toutes les estmatons ont été fates avec la méthode du maxmum de vrasemblance. 4

17 Résultats des estmatons unvarées Le modèle de Posson Pour les cnq pérodes consdérées (990/9, 99/92, 992/93, 993/94, 994/95), nous avons procédé à des estmatons à l ade du modèle de Posson (vor annexe pour les estmatons) et nous avons obtenu les résultats du tableau 4. Tableau 4 Résultats des estmatons à l ade du modèle de Posson unvaré Pérode λˆ x 2 Goodnes Lkelhood of ft statstc rato 990/9 0, , ,06 99/92 0, , , /93 0, , , /94 0, , ,74 994/95 0, , ,733 En utlsant les paramètres estmés, nous avons vérfé l approxmaton des effets théorques avec les effectfs observés. Nous avons obtenu de très mauvas résultats, pusque tous les x 2 Goodness of ft statstc calculés (Glbert, 979; Donne et Vanasse, 989; Lemare, 985) nous ont conduts à rejeter la dstrbuton Posson, donc à rejeter l homogénété des ndvdus. Le modèle bnomal négatf Nous avons estmé les paramètres a et τ pour les cnq pérodes et nous avons obtenu les résultats du tableau 5. Tableau 5 Résultats des estmatons à l ade du modèle bnomal unvaré Pérode â τˆ x 2 Goodness of ft statstc Log Lkelhood 990/9 0,9445,228, ,939 99/92 0,9538,548 0, , /93,3806 9,576 0,04-25, /94 0,7655 0,332 0, , /95 0,760 9,827, ,20 Nous avons calculé les prédctons des fréquences d accdent à partr des paramètres estmés, que nous avons comparés aux observatons (vor l annexe pour les détals des calculs). Nous avons testé nos résultats avec le test du x 2 Goodness of ft statstc. Pour les cnq pérodes, nous ne rejetons pas la bnomale négatve. 5

18 Ces conclusons sont appuyées par le test du rato du maxmum de vrasemblance, qu consste à calculer -2(LL Posson -LL Bnomale négatve ), que l on compare à la valeur crtque du test pour un nveau de confance de 5 % (x 2,95 % = 7,82). Les valeurs des ratos pour les cnq pérodes sont représentées dans le tableau 6. Tableau 6 Valeurs des ratos du maxmum de vrasemblance Pérode Log-Lkelhood rato 990/9 22,224 99/92 20, /93 0, /94 33, /95 4,226 Pour les cnq années, les ratos sont supéreurs à la valeur crtque 7,82, d où le non-rejet de la bnomale négatve. Par alleurs, les α = sont tous sgnfcatfs lorsqu on leur applque un test de Wald H0 : a Posson α = 0 vs H: bnomale négatve avec α 0. asymptotquement α Cec revent à fare un test Student classque T = N(0,). Varα Le modèle bnomal négatf représente donc ben la dstrbuton d accdents de notre échantllon. Avant de calculer les prmes, l nous faut cependant ntégrer à ce modèle les caractérstques ndvduelles des assurés, afn d soler l mpact de chacune de celles-c sur le nombre d accdents. Cette méthode rejont celle suggérée par Donne et Vanasse (989). Résultats des estmatons de la bnomale négatve avec composante de régresson L estmaton des cnq pérodes, en tenant compte des varables sexe, Inc, Vol, Dom, Puss, Cvlle et Marque, nous a perms d obtenr les paramètres αˆ et â du tableau 7. Tableau 7 Résultats des estmatons à l ade du modèle bnomal négatf avec composante de régresson Pérode αˆ â Log-Lkelhood 990/9 0,7234 (2,902) 99/92 0,5509 (2,27), ,766, ,649 6

19 992/93 0, , ,970 (,452) 993/94 0,79565, ,596 (3,030) 994/95 0,80964 (3,498), ,675 Nous constatons que les αˆ estmés pour les cnq pérodes sont tous sgnfcatfs à 95 %, sauf pour la pérode 992/93, où l n est sgnfcatf qu à 90 %, et d une manère unlatérale. Cec est tout à fat confrmé lorsqu on effectue un test de Wald (Cameron et Trved 986). Nous avons comparé les â avec la régresson bnomale négatve sans composante de régresson et ceux obtenus avec la composante de régresson (vor tableau 8). Tableau 8 Comparason des résultats avec la bnomale négatve avec et sans composante de régresson Pérode â bnomale-négatve unvaré â bnomale-négatve multvaré 990/9 0,9445, /92 0,9538, /93,3806 2, /94 0,76552, /95 0,760,235 Nous constatons que les â du modèle bnomal négatf avec composante de régresson sont tous plus grands que les â du modèle unvaré, autrement dt, que les α = /a estmés (qu représentent les varances du terme d erreur ε pour chacune des pérodes) sont plus élevés pour la bnomale unvarée. On en conclut qu une parte de la vrasemblance est ben explquée par les varables a pror (sexe, régon, etc..). Par mesure de précauton, nous avons également utlsé les mêmes varables pour fare des régressons Posson avec la méthode du maxmum de vrasemblance et avons comparé les logarthmes de vrasemblance des régressons Posson et bnomales négatves pour les cnq années. Les résultats obtenus sont au tableau 9. Tableau 9 Résultats du test du rato de maxmum de vrasemblance des régressons entre le modèle de Posson avec composante de régresson et le modèle bnomal négatf avec composante de régresson Année -2(LL Posson -LL bnomale-négatve ) 990/9 3,392 99/92 8,34 992/93 3, /94 7,746 7

20 994/95 20,724 Sous l hypothèse nulle, le test statstque est -2(LL Posson -LL Bnomale Négatve ) et ce rato est asymptotquement dstrbué comme un x 2. Les valeurs crtques du x 2 sont, pour un nveau de confance de 0 %, de 2,706 et, pour un nveau de confance de 5 %, de 3,84. Pour la pérode 992/93, nous rejetons le modèle de Posson pour un nveau de confance de 0 %, alors que pour les autres pérodes, le modèle de Posson est rejeté pour un nveau de confance de 5 %. Nous avons également vérfé s l y avat un gan à estmer le modèle bnomal négatf avec une composante de régresson par rapport à un modèle bnomal unvaré. Les calculs sont présentés dans le tableau 0. Tableau 0 Résultats du test de rato de vrasemblance entre le modèle bnomal unvaré et le modèle bnomal avec composante de régresson Pérode Log-Lkelhood rato 990/9 28,346 99/92 68, /93 55,26 993/94 83, /95 248,89 Sous l hypothèse nulle, le test statstque du rato du maxmum de vrasemblance est asymptotquement dstrbué comme un x Pour toutes les années, nous rejetons l hypothèse du modèle bnomal unvaré. La valeur crtque du test à un nveau de confance de 5 % est de x 2 30,95 % = 43,77. Le modèle basé sur la dstrbuton bnomale négatve avec composante de régresson n est pas rejeté, car l représente de façon sgnfcatve la dstrbuton d accdent de notre échantllon. D autre part, l nous permet d estmer la probablté d avor k = 0,... etc. accdents. Chaque coeffcent obtenu par ce type de modèle s nterprète comme l mpact de la varable explcatve sur le nombre d accdents moyen estmé (vor Régresson 4, en annexe). En ce qu concerne les varables explcatves, la varable sexef ne semble pas sgnfcatve par rapport à sexem, sauf pour l année 992. Cec peut s explquer par le fat que notre échantllon est composé d envron 25 % de femmes et 75 % d hommes et que, d autre part, nous n avons pas d nformaton sur les groupes d âge. Donne et Vanasse (992) ont obtenu des résultats de sorte que les hommes de mons de 35 ans ont mons d accdents que le groupe de référence, les femmes âgées de mons de 9 ans. Ils ont auss constaté que les hommes de mons de 35 ans n ont pas plus d accdents que le groupe de référence et, enfn, que les femmes de 35 et 65 ans représentent de fables rsques. Les varables Inc et Vol ne sont pas sgnfcatves pour les cnq pérodes, ce qu rejont nos antcpatons. En effet, s assurer contre l ncende et le vol ne modfe pas nos habtudes de 8

21 condute et ne dmnue pas notre nombre d accdents futurs. Par contre, ces varables peuvent nous rensegner sur le degré de rscophobe de l ndvdu. La varable Dom est sgnfcatve à 99 % pour toutes les pérodes, sauf pour l année 990. Pour 99/92, les ndvdus qu s assurent contre le dommage collson ont 2,5 fos plus de chances d avor des accdents par rapport à ceux qu ne prennent pas cette garante, 3,35 fos plus en 992/93, 2,72 fos en 993/94 et, enfn, 2,95 fos en 994/95. Ces résultats sont compatbles avec nos prévsons. En ce qu concerne la varable Puss, nous constatons que, d une manère stable, les varables Puss4 et Puss5 ne sont pas sgnfcatves pour les cnq pérodes par rapport à la varable Puss-4 (groupe de référence). Les ndvdus qu possèdent ce type de voture n ont donc pas plus d accdents que ceux qu ont des votures de pussance mondre. La varable Puss6 est sgnfcatve pour les pérodes 990/9, 992/93 et 993/94. Puss7, quant à elle, est sgnfcatve pour les pérodes 990/9, 99/92, 993/94 et non sgnfcatve pour les deux autres pérodes. Puss8 est sgnfcatve pour toutes les années, sauf pour la pérode 994/95. Puss9 n est sgnfcatve que pour les années 99/92 et 993/94 et, enfn, Puss0P est sgnfcatve pour les pérodes 990/9, 99/92 et 992/93. Nous pouvons donc conclure que les votures de pussance de plus de 6 chevaux ont plus d accdents que celles de mons de 4 chevaux, mas que le degré de rsque des ndvdus possédant ce genre de votures n est pas nécessarement crossant avec le degré de pussance de leur voture, pusque les coeffcents assocés ne sont pas nécessarement crossants avec la pussance. Par exemple, pour la pérode 993/94, les coeffcents assocés à la varable pussance augmentent pour Puss6, dmnuent pour Puss7, remontent encore pour Puss8, pus bassent à la Puss9 et plus. Cec peut dépendre de l usage quotden et non de l automoble et de sa valeur monétare. Un ndvdu possédant une BMW 730 (Puss), sera plus prudent qu un conducteur d une Ford Escort (7 chevaux). En ce qu concerne les régons (Cvlle), le sgne assocé aux coeffcents des varables est toujours négatf, sauf quelquefos pour les régons 6 et 7, qu ont pour partcularté d être presque confondues avec la régon de référence Tuns. La régon 6 n a d alleurs été sgnfcatve que pour les pérodes 99/92, pour un nveau de confance de 5 %, et pour l année 994, pour un nveau de confance de 0 %. Quant à la régon 7, elle n a été sgnfcatve que pour la pérode 994/95. La régon de Sfax (Cvlle2) est sgnfcatve pour toutes les années, sauf pour l année 994 (en 994, d après les statstques, cette régon a eu plus d accdents au nveau agrégé que la régon de Tuns). La varable Cvlle3 (Sousse) est sgnfcatve pour toutes les années, sauf pour la pérode 990/9. Les varables Cvlle8, Cvl90, Cv3202, Cv457 et Cvl222 sont sgnfcatves pour les cnq pérodes. 9

22 La régon 2 n est pas sgnfcatve pour les pérodes 990/9 et 994/95, et la varable Ck689 n a pas été sgnfcatve pour les pérodes 993/94 et 994/95. Ic, contrarement aux résultats obtenus par Donne et Vanasse (992) pour le Québec, nous confrmons l usage de la zone géographque comme crtère de tarfcaton. Concernant l mpact du pays d orgne de la voture utlsée sur le nombre d accdents, nous remarquons que l orgne de l automoble n explque pas le nombre d accdents. La seule varable sgnfcatve concernat les votures fabrquées en Ase pour 993/94, pour un nveau de confance de 0 % et un sgne négatf. Ce qu sgnfe que les votures françases ne sont pas mplquées dans plus d accdents que les autres marques d automobles en Tunse. Nous avons reprs les tros dernères pérodes 992/93, 993/94, 994/95, et nous avons fat des régressons en rajoutant des varables de classes d âge des votures. Les résultats obtenus sont présentés dans l annexe (Régresson 5). Étant donné le manque d observatons concernant l âge de l automoble, nous avons perdu des assurés et nos observatons annuelles ont été rédutes à (contre 9 64) pour 992/93, (0 28) en 993/94 et ( 447) en 994/95. Les λˆ estmés pour toutes les années sont très sgnfcatfs, selon un test de Wald. Nous avons reprs le mêmes observatons pour chacune des pérodes (lorsqu on ajoute les classes d âges) et nous avons refat nos régressons sans tenr compte des classes d âges (Régresson 6). Nous avons testé l hypothèse de nullté de la varable âge de la voture par l ntermédare d un test du rato de maxmum de vrasemblance (Log-Lkelhood rato) et nous avons obtenu les résultats du tableau. Tableau Résultats du test du rato du maxmum de vrasemblance entre la régresson sans l âge de l automoble et celle qu tent compte de l âge Pérode -2(LL Régresson sans l âge -LL Régresson avec l âge ) 992/93 9,65 993/94 6, /95 7,776 À chaque fos, nous rejetons la régresson sans l âge pour un x 2 6,95 % =,635. La varable âge de l automoble explque donc ben le nombre d accdents. DESCRIPTION D UN SYSTÈME BONUS-MALUS OPTIMAL Donne et Vanasse (992) ont crtqué les méthodes d estmaton proposées par Lemare (985), et Van Eeghen, Greup et Njssen (983), car les tarfcatons a pror et a posteror sont tratées séparément, comme des problèmes complètement dfférents. 20

23 En effet, ce genre de modèle consste à utlser des modèles de régresson lnéare en une premère étape, pour dentfer les varables de classes de rsques, détermner les classes de tarf et calculer les prmes de base (modèle a pror). Dans une seconde étape, des modèles de dstrbuton bnomale négatve unvarée sont utlsés pour estmer les fréquences d accdent et les prmes de base sont ajustées en foncton du temps et des expérences passées des ndvdus. Le modèle proposé par Donne et Vanasse englobe les deux processus de tarfcaton, a pror et a posteror, dans la même analyse et sur une base ndvduelle. En effet, les estmatons des fréquences d accdent sont basées sur le modèle bnomal négatf avec composante de régresson, qu nous donne, en une seule fos, les coeffcents sgnfcatfs et nous permet de calculer les fréquences d accdent ndvduelles pour la pérode suvante du contrat, selon les coeffcents sgnfcatfs assocés aux caractérstques des assurés. Comme nous allons le démontrer dans cette parte, le modèle développé par ces économstes est optmal, car non seulement l utlse la théore bayésenne, mas l est équtable, car l fat payer à chaque assuré une prme proportonnelle à ses snstres. De plus, l est équlbré fnancèrement, c est-à-dre que la moyenne des prmes est égale à la prme actuarelle moyenne. Notre apport personnel par rapport à ce modèle est, après l avor testé avec des données d un pays très dfférent de la provnce du Québec aux ponts de vue de la réglementaton et de la tarfcaton, d ntrodure des varables dfférentes relées aux caractérstques de la voture utlsée (marque, pussance, âge de l automoble, garantes souscrtes). Le théorème de Bayes S nous nous ntéressons à la dstrbuton a pror des accdents d un ndvdu ayant k accdents durant la pérode t, nous voulons vérfer, à l ade du théorème de Bayes, que s la dstrbuton a pror de λ est une Gamma de paramètres (a,τ), alors la dstrbuton a posteror est également une Gamma de paramètres (a + Y, a + λ ). j j Supposons que la fréquence d accdents d un ndvdu pour la pérode j est λ ( X, µ ) j j kj des caractérstques de l ndvdu à la pérode j représentées par le vecteur ( X,..., X ), foncton X =. Supposons que la varable aléatore µ a une foncton de densté de dstrbuton f(µ ). Supposons j que Y représente le nombre d accdents d un ndvdu à la pérode j. L assureur a beson de calculer le melleur estmateur de la vrae dstrbuton du nombre d accdents à la pérode t+. S nous supposons que les sont ndépendants et dentquement dstrbués à travers le temps et que l assureur mnmse une foncton de perte quadratque, Donne et Vanasse (989) ont montré que le melleur estmateur (sous des condtons smlares présentées par Lemare 985), est égal à : t t t t t ( Y,...,Y ;X,..., X ) = λ + ( X, µ ) f ( λ / Y,..., Y, X,..., X ) d t + t t t λ 0 λ (3) 2

24 où, par le théorème de Bayes : t f ( λ t+ t t+ t t P((Y,..., Y ) / λ ;X,...,X )f ( ) / Y,...,Y ;X,...,X ) = t P((Y,..., Y ) / X,..., X ) + λ (4) et par défnton : t t t t+ t ((Y,...,Y ) / X,...,X ) = P [((Y,...,Y ) / λ, X,...,X )] 0 P f ( λ ) dλ. (5) Lorsqu on applque le modèle de dstrbuton bnomale négatve, la probablté de la séquence l t ( Y,..., Y ), étant donné le vra nombre espéré d accdents à t+ et les caractérstques des ndvdus, est une dstrbuton Posson à t dmensons. t+ t+ t t+ P((Y,..., Y ) / λ j λ t j= j e Π( λ ) t j= ;X,..., X ) = t j Π(Y!) t j= Y j (6) où : t La dstrbuton non condtonnelle de ( Y,..., Y ) j j j µ λ = exp( X β) µ λ. (7), lorsque µ sut une dstrbuton Posson avec une moyenne égale à et une varance α= /a, est donnée par : t P(Y,..., Y t / X,..., X ) = Γ t j= ( a + Y ) j Π( λ!) Γ a a t Π λ j= Y + a ( a + λ ) j j Y (8) où : t j Y = Y et λ = j= Lorsqu on utlse le théorème de Bayes, on vérfe que : t j= j λ. (9) 22

25 f ( λ t+ t t / Y,..., Y ;X,...,X ) = [ a + λ ] Y + a e µ (a+λ ) Γ(a + Y ) µ a + Y (20) correspond à une dstrbuton Gamma avec paramètres a + Y, a + λ ). ( Ans, l estmateur bayésen optmal de la fréquence d accdent d un ndvdu est : λ t+ t t t+ a + Y ( Y,..., Y ; X,..., X ) = λ. (2) a + λ Lorsque t = 0 ˆ λ exp(x ) = λ = β, ce qu mplque qu à la premère pérode, l n y a qu une classfcaton a pror utlsée. Un tel système de prmes possède les proprétés suvantes. - La prme ne dépend que du nombre total d accdents sur les t années, et non de leur séquence. - Ce système bonus-malus est fnancèrement équlbré, c est-à-dre que t E( λ + ) = λ + + = exp(x β) est égale à: t t a + Y P((Y t+ λ 0 a Y + λ j t+ t,..., Y ) / λ t+ ; X,..., X t+ )f ( λ t+ ) dλ t+ (22) ce qu est équvalent à : t+ a λ t+ a + λ t+ λ + = λ = λ. (23) a + λ a + λ a + λ Cet estmateur défnt la prme pure et correspond à la formule du multplcateur de tarf lorsque t + la prme de base est la fréquence a pror ( λ ), et que le facteur bonus-malus est représenté par l expresson entre parenthèses. La valeur du facteur bonus-malus est égale à dans l équaton (23), lorsque E(Y / X ) = λ. APPLICATION DU SYSTÈME BONUS-MALUS OPTIMAL Le but de Donne et Vanasse état de construre un système bonus-malus basé sur le nombre d accdents passés et sur les caractérstques des ndvdus. Le but état donc d ajuster les prmes ndvduelles à travers le temps. Un tel système est optmal dans la mesure où chaque assuré aura 23

26 à payer une prme proportonnelle à sa fréquence de réclamaton et où les assureurs sont à l équlbre fnancer. Lorsqu un nouvel assuré se présente à une compagne d assurances, celle-c, ne connassant pas le rsque qu l représente, suppose qu l est dans la moyenne de la dstrbuton des accdents de l ensemble des assurés. Cette moyenne est égale à λ. Supposons, par exemple, que la fréquence d accdent est en moyenne de dx pour cent. S le coût moyen d un accdent est de 000 DT, la compagne chargerat au nouvel assuré une prme actuarelle (on ne tent pas compte du facteur de charge de l assurance) de 00 DT, correspondant à la prme en pérode, sot P. Par la sute, utlsant l expérence passée de l ndvdu comme ses accdents, la prme a posteror après t pérodes devendra une foncton de t et de k, le nombre total d accdents au dosser de l assuré. t+ a + Y P t + = 000λ (24) a + λ t 000 λ + a + Y correspond à la prme de base et a + λ est le facteur bonus-malus. Ce système bonus-malus, basé sur le prncpe de la valeur espérée, est «optmal» du pont de vue actuarel. Nous avons commencé par utlser les coeffcents estmés de l année 992, sans tenr compte de l âge de l automoble et nous avons utlsé les coeffcents sgnfcatfs pour calculer la fréquence estmée ˆ + λ pour des ndvdus représentant des caractérstques dfférentes. t D après nos estmatons, un ndvdu qu habte Tuns, possède une voture françase de quatre chevaux et ne prend pas la garante DOM aura une fréquence d accdent estmée de : λ t+ exp( 2,8375) = = 0, ,0586, alors que la probablté moyenne de ceux qu habtent Tuns est de Par contre, un ndvdu ayant les mêmes caractérstques qu habte Béjà, toutes choses étant t égales par alleurs, aura une espérance mathématque d'accdent évaluée à λ + = 0, 0950 et la probablté moyenne de ceux qu habtent cette régon est de 0,0278. Un trosème ndvdu, habtant Sousse, aura une fréquence d accdent estmée à t+ égale à t 0,0407. λ + = 24