Modélisation par éléments finis de la rigidité non linéaire d un palier à roulement

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1 Vol., (25) Reue de écanque Applquée et Théoque odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement T. Hentat Unté écanque, odélsaton et Poducton (UP), Ecole Natonale d Ingéneus de Sfax, Tunse T. Fakhfakh Dépatement de Géne écanque, Ecole Natonale d Ingéneus de Sfax, Tunse F. Dammak Dépatement de Géne écanque, Ecole Natonale d Ingéneus de Sfax, Tunse. Hadda Dépatement de Géne écanque, Ecole Natonale d Ingéneus de Sfax, Tunse Résumé Le compotement mécanque d un pale à oulement sous chage est depus quelques décennes l objet de pluseus echeches. Le but pncpal de ces echeches est celu d obten des modèles pemettant de détemne la gdté de l élément oulant ans que les effots applqués pa les deux bagues ntéeue et extéeue. Note taal consste à modélse le oulement pa une matce de gdté tangente tenant compte de la non lnéaté des contacts ente la pste de oulement et les cops oulants (contact de Het, jeux de fonctonnement). On s est consacé dans ce taal à l étude des gdtés d un oulement à blles à contact oblque et d un oulement à ouleaux cylndques. Une étude numéque a pems d analyse l nfluence de la aaton de cetans paamètes su la gdté et le couplage ente les dfféents temes de la matce de gdté pou les deux types de oulement étudés. Abstact The man objecte of ths pape s to fomulate a thee-dmensonal model allowng to detemnate the beang stffness and the foces appled by the two aces on the ollng elements. Ou study conssts on detemnng the non-lnea deflectons between the ollng elements and the aces; the foces appled by the two aces ae deducted. A tangent stffness matx assocated to the nne ace-ollng elements contact and the oute aceollng elements contact ae defned by the foces Jacobean. A Newton-Raphson ethod of esoluton s used to esole the no lnea local equlbum equatons. The equlbum s eached when the esdual ecto (defned by the oute foces appled by the two aces on the ollng element) s null. A fnte element lnkng up a node of the nne ace to anothe node of the oute ace by mean of the stffness matx ae deeloped. The nfluence of the modfcaton of some paametes (the angula poston of the ollng element, the contact angle, the mposed dsplacement) on the stffness matx s studed. Ths study shows also, the mpotant couplng, untl now neglected, between stffness matx tems. ots clefs : Pales à oulement, méthode des éléments fns, matce de gdté tangente, contact heten. INTRODUCTION Les pales à oulement sont des éléments technologques qu sont destnés à la éalsaton de lason Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25) Receed 26 Junuay 24 Resed July 25

2 494 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda pot ente deux ensembles de pèces d'un mécansme, tout en assuant un fottement mnmum. Un oulement est composé d une bague extéeue, d une bague ntéeue (appelée "ondelle" dans le cas de butées) et d éléments oulants logés dans une cage appopée afn de les sépae et les épat également le long de la pste de oulement. En tansmettant le mouement de otaton de la pate statque à la pate dynamque de la machne tounante, le pale à oulement tansmet de même des batons. Ces denèes sont dues essentellement à l'état de suface des éléments oulants et des pstes de oulement, aux nstabltés des cages, aux désalgnements des abes, etc... Pou un oulement pésentant un défaut, ces batons deennent pépondéantes et on ne peut pas les néglge deant celles généées pa le système. Pou ces asons, chaque élément du oulement dot ête dmensonné. Il est de plus nécessae de connaîte les sollctatons mécanques s'exeçant su ces pèces, afn de pouo péde leu duée de e, leu capacté de chagement, etc. algé l mpotance qu l pésente, le oulement est souent consdéé comme condtons aux lmtes s-à-s du système tounant (appus, encastement) ou ben l est smplement modélsé pa l assocaton de essots placés suant les dectons axales et adales. Dans le but de détemne aec une asse bonne pécson la épatton des chages su les dfféents cops oulants, des modèles plus pefomants tenant compte de la non lnéaté des contacts ente ces denes et les pstes de oulement (contact heten) sont déeloppés. Dans ce contexte, Jones [] et Palmgen [2] ont déeloppé un modèle analytque d un oulement chagé adalement ou axalement en utlsant les théoes de Het et Boussnesq. Ils ont établ des fomules appochées des elatons effot-déplacement pemettant de modélse le compotement des oulements. Des elatons smplfées pemettant de détemne les adeus axale et adale pou cetanes confguatons du chagement sont ensute données pa Gagullo [3]. Une étude concenant l nfluence des dfféents paamètes expémentaux su la gdté des oulements tels que la tesse de otaton, la pé chage, etc est pésentée pa Kauss [4] qu a monté que la tesse de otaton n a pas d nfluence su la gdté. Des adeus angulaes défnes suant le plan de flexon des abes sont ntodutes pa Dago [5]. Une appoche analytque basée su la détemnaton d une matce de gdté assocée aux cnq degés de lbetés (tos tanslatons et deux otatons) de la bague ntéeue du oulement dans son mouement elatf pa appot à la bague extéeue est poposée pa Lm et Sngh [6] dans les années 9. Demul [7], a utlsé cette denèe modélsaton en tenant compte des foces centfuges. Note taal consste à ésoude le poblème non lnéae en s'appuyant su une modélsaton éléments fns. Le modèle se base su la méthode des déplacements assocée à l'algothme de ésoluton téatf de Newton-Raphson. Une étude théoque amenant à la détemnaton de l expesson généale de la matce de gdté de dmenson (2 2) est pésentée. On s ntéessea pa la sute, dans un peme temps, à l étude d un oulement à blles à contact oblque : La matce de gdté non lnéae et les effots applqués pa les deux bagues su le cops oulant sont détemnés. Un élément fn à deux nœuds et sx degés de lbetés pa nœuds (tos déplacements et tos otatons) est déeloppé los de ces calculs. Une étude numéque est ensute pésentée pou monte l nfluence de la aaton de cetans paamètes su les temes de la matce de gdté. Une étude smlae est ensute éalsée su un oulement à ouleaux cylndques dont les bagues pésentent deux épaulements. 2. ETUDE THEORIQUE On s ntéessea à dscétse le oulement en cops oulants, et l on assocea à chacun d'eux un élément au sens des éléments fns. Cet élément "cops oulant" ele un noeud de la bague ntéeue à un noeud de la bague extéeue pa l ntemédae d'une matce de gdté. Cette matce assue la Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

3 odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement 495 tansmsson de tos foces et de deux moments. Aucun moment n'est tansms suant la decton coespondant à la otaton du oulement. Ces éléments pennent en compte la géométe fne des pales à oulement (ten compte des jeux et des ayons de bombés), compte tenu du phénomène d écasement, et pemettent d'obten : - les effots execés pa les bagues et les épaulements su le cops oulant, - la matce de gdté tangente assocée à chaque cops oulant. Il s'agt alos de détemne pou chaque cops oulant (supposé ndéfomable sauf ponctuellement au neau des contacts) les déplacements élémentaes du cente du cops oulant assuant l'équlbe de ce dene dans le plan adal (équlbe des foces et des moments) pou des déplacements donnés des noeuds d'attache N et N Théoe de Het Les déplacements des bagues ntéeue et extéeue ont engende des effots de contact su la pste de oulement. La théoe de Het est utlsée los du calcul des effots qu agssent su les éléments oulants: Q C f ( ) n () où Q est la foce agssant su l élément oulant, C f une constante de gdté du contact, 2 l'écasement des cops en contact et n le coeffcent dépendant de la natue du contact atces de "Géométe" Les dfféents epèes othonomés dects utlsés dans cette analyse pou détemne le mouement elatf du cops oulant et de la bague ntéeue pa appot à la bague extéeue sont : le epèe élémentae (global) R (O, e x, e y, e ) aec e l'axe de otaton du oulement, le epèe lé au cops oulant R 2 (C, e, e n, e ) aec 6 l angle epéant la poston du cente C, et le epèe lé à la bague extéeue R 3 (C, e ', e n, e ' ) qu tent compte du basculement éentuel de la bague extéeue dans le epèe R 2 (o fgue ). Fgue : Défnton des epèes utlsés On note 8 x, 8 y, 8, et 9 espectement les déplacements angulaes du pont N dans le epèe R suant les tos dectons e x, e y, e et l angle de basculement de la bague extéeue dans le plan adal de calcul. Ce dene s éct : Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

4 496 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda sn + cos x y (2) On défnt les matces de "géométe" [G ] et [G 2 ] coespondant espectement aux bagues extéeue et ntéeue comme étant : { dep ( C Bague ext) } [ G ] { ( )} 3. dep N R Bagueext R { dep ( C Baguent) } [ G2 ]. { dep ( N2 Baguent )} R R 3 (3) (4) Ces matces pemettent de détemne le déplacement des nœuds N et N 2 dans le epèe R à l ade des déplacements du cente C dans le epèe R 3 appatenant espectement à la bague extéeue et à la bague ntéeue. Elles s écent : [ G ] cos cos sn sn cos sn sn sn sn cos Z sn R sn sn Z cos R cos cos (5) 2.3. Equlbe du cops oulant Les calculs qu ont sue sont effectués pa appot au epèe R 3 dans le plan adal ( C, Notons pa { u } epèe R 3 et pa { } e, e ). le ecteu déplacement de la bague ntéeue pa appot à la bague extéeue dans le le ecteu déplacement du cente du cops oulant. Le ecteu des effots ésduels s'éct : F Be Be B { R } F F F F (, ) ext, Be B F B (6) L équlbe du cops oulant est obtenu losque le ecteu des effots ésduels est nul. Le pocessus consste à détemne, pou chaque téaton, le ecteu des effots ésduels ans que la matce de gdté obtenue en foncton du noueau ecteu déplacement. Notons [ K T ] la matce de gdté tangente de dmenson (3 3) assocée au système bagues cops oulant, calculée au pont C à l téaton. Elle s expme pa : Be B [ K T ] [ ] [ ] K t + K V t Be { F } + { V } V B { F } { V } V (7) Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

5 odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement 497 Losque le ecteu des effots ésduels est nul, l'équlbe est attent. Une matce de gdté élémentae équalente est détemnée ente N et N 2 : C'est la matce de gdté tangente assocée à l'élément cops oulant. La matce de gdté équalente détemnée ente N et N 2 dans le epèe R 3 s éct : Be Be B B [ K ] [ K t ][ K t + K t ] [ K t ] ~ K K [ ] ( ) K 6 6 K K ~ K e t [ K ] ( ) [ G ] [ ][ G ] t 2 2 (8) (9) () aec [G] la matce de passage du epèe R 3 au epèe R : G [ G ] G 2 () L'ogangamme décant les dfféentes étapes de calcul est pésenté pa la fgue 2 ENTREES Depl t. de la B.nt. Depl t. de la B.ext. Calcul du déplacement elatf de la Bague ntéeue pa appot à la bague extéeue Intalsaton du ecteu déplacement cente du cops oulant { } Calcul des effots execés pa la bague extéeue et la bague ntéeue su le cops oulant + Calcul de la matce de gdté tangente dans le epèe local R3 de dmenson (3 3) Calcul du ecteu déplacement + + { } { } { } non Equlbe? R < Calcul de la matce de gdté équalente SORTIE -atce de gdté (2 2) -Effots execés su le cops Fgue 2 : Ogangamme de calcul Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

6 498 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda 3. RIGIDITE D UN PALIER A ROULEENT A BILLES A CONTACT OBLIQUE 3.. odélsaton géométque Le modèle adopté est schématsé pa la fgue 3 Rb be Rb µ J Fgue 3 : odélsaton d un oulement à blle à contact oblque aec, µ l angle complémentae de celu de contact (µ R b le ayon de la blle, Rb be le ayon du bombé de la bague extéeue, Rb b le ayon du bombé de la bague ntéeue et J le jeu ntal ente les bagues et la blle Effots applqués On se place dans toute la sute dans le cas d un montage abe tounant. u Sot { } { } T R 3 u u u le déplacement mposé à la bague ntéeue dans le epèe R 3 (l exposant T ndque le tansposé du ecteu), aec u 8 est l'angle ente l'axe de la bague extéeue et l'axe de la bague ntéeue (o fgue 4). Rb b Bague extéeue u 8 Blle Bague ntéeue Fgue 4 : Postonnement de la bague ntéeue pa appot à la bague extéeue On défnt pa µ l angle ente la nomale au contact et l axe de la blle. La fgue 5 défnt les angles µ et µ 2 assocés espectement aux dectons effectes de la blle pa appot à la bague extéeue et à la bague ntéeue. Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

7 odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement 499 µ 2 Blle B.Ext Blle B.Int µ Fgue 5 : Dectons de contact µ et µ 2 ont les expessons suantes : µ µ et µ µ + u 2 (2) Le jeu s expme en foncton de µ : ~ J J + R b ( cos µ cos µ ) (3) L écasement s expme alos pou les deux bagues pa : cos µ + sn µ ~ J ( u ) ( µ u ) + ( u ) sn( u ) J 2 cos µ ~ (4) (5) L écasement est postf s l y a contact ente la blle et les bagues, nul dans le cas contae. Les bagues execent donc des effots su la blle qu sont estmés à l ade de la elaton de Het (n 3/2) pa : Q (,, 8 ) C ep ( 2 ) 3/2 (6) Les moments au cente de la blle sont nuls. Les équatons d'équlbe s'écent dans le epèe R 3 : F F Bagueext baguent (, ) F + F Q snµ + Q sn( u ), (7) 2 µ Bagueext baguent (, ) F + F Q cosµ Q cos( u ), (8) 2 µ Bagueext baguent (,, ) + (9) 3.3. atces de gdtés Les déplacements du cops oulant sont les nconnus du poblème. Les matces de gdté tangente assocées aux contacts bagues - blle s'expment pa : Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

8 5 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda Bagueext [ K ] t F F Bagueext Bagueext Bagueext F F Bagueext Bagueext Bagueext F F Bagueext Bagueext Bagueext (2) Baguent [ K ] t F F Baguent Baguent Baguent F F Baguent Baguent Baguent F F Baguent Baguent Baguent (2) On a déeloppé un pogamme en langage Fotan pou détemne la matce de gdté et les effots applqués pou dfféentes confguatons et dmensons. Le calcul de la matce de gdté fat appaaîte un élément fn "élément oulant" à deux nœuds et sx degés de lbeté pa nœud (u x,u y,u,8 x,8 y,8 ). Ces deux nœuds coespondent aux nœuds d attaches N et N 2 appatenant espectement à la bague extéeue et à la bague ntéeue. La otaton 8 est nulle pusqu elle coespond à la otaton autou de l axe du oulement Résultats numéques L étude numéque pésentée consdèe un oulement à 2 cops oulants. La matce de gdté tangente de dmenson (2 2) du cops oulant dans le epèe global R s éct : Be Be B K K [ K ] T K B Be B K (22) Be B aec K, K les matces de gdtés de dmenson (6 6) assocées espectement aux bagues Be B B Be extéeue et ntéeue et K, K les matces de gdtés de dmenson (6 6) tadusant le couplage ente les deux bagues. On s ntéessea dans la sute aux temes de gdtés K xx, K yy, K, C xx et C yy donnés pa la fomule cdessous : K K Be + K B, C C Be + C B (23) On étudea alos l nfluence de la aaton de l angle de et de la aaton du déplacement mposé su les temes de gdtés K xx, K yy, K, C xx et C yy en foncton de la poston angulae F du cops oulant. Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

9 odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement Influence de la aaton de l angle de contact On fat ae l angle de ente 3 et 4 degés et la poston angulae de l élément oulant F ente et 36 degés. Les ésultats obtenus concenant les temes de gdtés et les effots sont pésentés dans les fgues qu suent. Rgdté Kxx en N/m Poston angulae en degés Angle de contact en degés Fgue 6 : Rgdté K xx Rgdté Kyy en N/m Poston angulae en degés Angle de contact en degés Fgue 7 : Rgdté K yy Les fgues 6 et 7 montent que pou un angle F constant, les gdtés K xx et K yy aent lnéaement aec une pente cossante en foncton de l angle de dans l ntealle consdéé (3 X4 ). Ces mêmes fgues montent que pou un constant, K xx et K yy aent snusoïdalement en opposton de phase en foncton de la poston du cops oulant, aec une péode de 8. Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

10 52 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda Rgdté K en N/m Poston angulae en degés Angle de contact en degés Fgue 8 : Rgdté K La fgue 8 epésente la aaton de la gdté axale en foncton de l angle de contact et en foncton de la poston angulae. Pou une poston angulae F fxe du cops oulant, K ae lnéaement aec une pente décossante en foncton de l angle de et est ndépendante de la poston angulae de l élément oulant pou un angle de contact donné. Rgdté Cxx en Nm Poston angulae en degés Angle de contact en degés Fgue 9 : Rgdté tosonelle C xx Rgdté Cyy en Nm Poston angulae en degés Angle de contact en degés Fgue : Rgdté tosonelle Cyy On constate d apès les fgues 9 et, que pou une poston angulae F constante, C xx et C yy ont de fomes snusoïdales qu s annulent pou une aleu 35. Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

11 odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement 53 Effot suant ex en N x Poston angulae en degés Angle de contact en degés Fgue : Effot suant e x applqué pa la bague extéeue su l élément oulant Pou une poston angulae constante de la blle, F x et F y F (@) sont des dotes de pente cossante (o fgues et 2). Effot suant ey en N 2 x Poston angulae en degés Angle de contact en degés Fgue 2 : Effot suant e y applqué pa la bague extéeue su l élément oulant Effot suant e en N Poston angulae en degés Angle de contact en degés Fgue 3 : Effot suant e applqué pa la bague extéeue su l élément oulant La fgue 3 epésente la aaton de l effot axale en foncton de la poston angulae et en foncton de l angle de contact. On constate que l allue de F F (@) est une snusoïde qu attent un maxmum pou un angle de contact 35. Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

12 54 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda Influence de la aaton du déplacement Le déplacement ae de -4 à -3 m. Les fgues qu suent epésentent la aaton des temes de gdté en foncton de la poston angulae de l élément oulant et du déplacement. Les fgues 4 à 6 montent qu en mantenant une poston angulae constante, les gdtés et les effots augmentent non lnéaement en foncton du déplacement, ue qu on a utlsé la théoe de Het (contact non lnéae). Rgdté K xx en N/m Poston angulae en degés Déplacement en mm Fgue 4 : Rgdté K xx Rgdté K en N/m Poston angulae en degés Déplacement en mm Fgue 5 : Rgdté K Rgdté C xx en Nm Poston angulae en degés déplacement en mm Fgue 6 : Rgdté tosonelle C xx Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

13 odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement Analyse du couplage ente les dfféents temes de la matce de gdté La matce de gdté assocée au contact bague extéeue - élément oulant de dmenson (5 5) obtenue pou la poston angulae égale à de l élément oulant et pou un déplacement adal de - 4 m est donnée pa le tableau : 2,34 8 -, ,5 5 -,964 8, ,47 5 6,5 5-5,47 5,8 3 Tableau. atce de gdté assocée au cops oulant pou F Afn de meux compende le compotement du cops oulant, on tanspose la matce de gdté dans son epèe pncpal. La matce obtenue est la suante : 3,99 8 Tableau 2. atce de gdté dagonalsée pou F On constate que le cops oulant peut ête modélsé pa un essot lnéae de gdté (N/m) suant la decton pope assocé e X de coodonnés dans le epèe R : T {,76,64 } R (Les otatons autou de e x et e y sont néglgeables). Ce ésultat monte l mpotance de cette étude : un pale à oulement ne dot pas ête modélsé pa l assocaton de essots lnéaes ndépendants suant les tos dectons e x, e y et e. Le couplage mécanque ente ces essots est mpotant, ce qu justfe l utlsaton d un élément fn cops oulant dans cette étude. 4. RIGIDITE D UN PALIER A ROULEENT A ROULEAUX CYLINDRIQUES 4.. odélsaton géométque Le modèle adopté est schématsé pa la fgue 7, aec, R s est le ayon de la fome sphéque à l extémté du ouleau cylndque, X s est la dstance du cente de la sphèe d extémté au cente C du ouleau, µ est l angle de contact à l épaulement, R b est le ayon du bombé du ouleau, Rb be est le ayon du bombé de la bague extéeue, Rb b est le ayon du bombé de la bague ntéeue, J b est le jeu ntal bagues ouleau, J e est le jeu ntal bagues épaulements, L est la longueu des généatces ectlgnes des pstes du ouleau et L e la longueu effecte du ouleau. Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

14 56 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda Rb be Bague extéeue J b J e µ C R b X s R s Bague ntéeue Rb b L u On défnt pa { } { } T et pa{ } { } T R3 R 3 Fgue 7 : odélsaton d un oulement à ouleaux cylndques u u u le déplacement mposé à la bague ntéeue dans le epèe R 3 le déplacement du cente du cops oulant, aec 8 l'angle ente l'axe de la bague extéeue et l'axe du cops oulant, et u 8 l'angle ente l'axe de la bague extéeue et l'axe de la bague ntéeue. L e e ' A e 8 u 8 e ' A Fgue 8 : Postonnement la bague ntéeue pa appot à la bague extéeue En défnssant pa A l angle oenté ente l'axe de la bague ntéeue et l'axe du ouleau, et A e l'angle oenté ente l'axe de la bague extéeue et l'axe du ouleau, on obtent les elatons suantes : A u + et Ae (24) 4.2. Effots applqués su la pste de oulement Les appochements du ouleau pa appot à chacune des pstes de oulement sont espectement notés 2 et 2 e et s'expment pa : u J et b e J b (25) La one de contact potentel ente le ouleau et la pste est découpée en N tanches. L'écasement ente les deux cops pou chaque tanche est donné pa la fomule suante : Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

15 odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement 57 " d + # k h k h 2 k (26) aec, 2 est le est le basculement elatf des deux soldes (pou le contact bague 2 extéeue et A e, et pou le contact bague ntéeue et A ) et hk et h k sont les temes pemettant de ten compte du bombé éentuel des cops. En applquant la théoe de Het défne pécédemment, on peut éce les expessons de l'effot Q k au contact et le moment k au cente C, pou chaque nœud : ( " d ) de Qk C 9 f (27) k Q k k (28) La ésultante Q Bn des effots execés le long de la pste de contact su le oulement et le moment ésultant Bn sont donc : Q Bn N k Q kn et Bn N k kn (29) aec l ndce n s l s agt de la bague ntéeue et n e s l s agt de la bague extéeue Effots applqués aux épaulements Pou chacun des quate épaulements, l angle effectf ente la nomale au contact et l axe du ouleau dot ête défn. Sot µ l angle assocé à l épaulement ( à 4) comme l est pésenté c-dessous e ' Bague e n e ' Bague µ µ µ µ 2 µ Ae µ µ 2 A e + µ µ 3 µ µ µ4 e ' Bague ntéeue µ 3 + µ e n Bague ntéeue A µ 4 A µ Fgue 9 : Dfféentes dectons de contact e ' Le jeu J ~ ente le ouleau et l'épaulement ae selon la decton effecte de contact ente l'extémté de oulement et l'épaulement. Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

16 58 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda Dans ce cas, l écasement aua pou expesson pou la bague extéeue : ~ cos µ + sn µ J (3) 2 sn µ cos µ ~ J 2 (3) et pou la bague ntéeue : ( u ) cos( µ u ) + ( u ) sn( µ u ) J 3 3 ( u ) cos( µ u ) + ( u ) sn( µ u ) J 4 4 ~ ~ (32) (33) Les deux bagues extéeue et ntéeue execent su le ouleau suant ces dectons de contact des effots Q E et des moments E en C qu sont estmés pa la théoe de Het pa les expessons : Q E (,, \ ) C ep ( ] ) 3/2 (34) E -Q E X s sn µ (35) Les matces de gdtés de la bague extéeue et de la bague ntéeue sont détemnées comme pécédemment (cas du oulement à blles à contact oblque) Résultats numéques Influence de la aaton de la dstance X s L nfluence de la aaton de la dstance X s du cente de la sphèe d extémté au cente C du ouleau su les temes de cette matce de gdté sea étudée dans ce qu sut. Rgdté Kxx en N/m Poston angulae en degés Dstance Xs en mm Fgue 2 : Rgdté K xx On constate pou une poston angulae fxe que la gdté K est ndépendante de X s tands que K xx et K yy augmentent en foncton de X s (o fgues 2 et 2). Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

17 odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement 59 Rgdté K en N/m Poston angulae en degés Dstance Xs en mm Fgue 2 : Rgdté K Rgdté Cxx en KNm Poston angulae en degés Dstance Xs en mm Fgue 22 : Rgdté tosonelle C xx D apès la fgue 22, on constate que pou une poston angulae fxe les gdtés tosonelles augmentent en foncton de X s. Effot suant ex en KN Poston angulae en degés Dstance Xs en mm Fgue 24 : Effot applqué suant e x pa les deux bagues su l élément oulant Couplage ente les dfféents temes de la matce de gdté La matce de gdté assocée à un cops oulant stué dans une poston angulae égale à est donnée pa le tableau 3 : Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

18 5 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda 2.86E E- -4.E E E- -4.E E- 2.72E E E E+8-5.3E+6-4.E E+6.78E+5 4.E E+6.44E E E- 4.E E E- 4.E E E E E- 2.72E+8 5.3E+6-4.E E+6.64E+5 4.E E+6.73E+5 Tableau 3. atce de gdté tangente Afn de détemne le couplage ente les dfféents temes de la matce ce gdté, on appote ces temes pa appot au plus gand teme K xx BE. La matce obtenue est donnée espectement pa le tableau 4..E E- -.4E E- 9.87E E E-2 9.5E- -2.E- -9.5E- -.79E- 9.87E E E E-4.4E-2.84E-2 5.5E E- 9.87E-2.4E-2.E+.E+ 2.4E E-2-9.5E- 2.E E-2 9.5E-.79E-2 -.4E E E-4.4E-2.97E-2 6.5E-4 Tableau 4. atce de gdté tangente appotée Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

19 odélsaton pa éléments fns de la gdté non lnéae d un pale à oulement 5 On constate pou une poston angulae F, les temes epésentant le couplage ente u u pou les deux bagues sont les plus mpotants (95.%). Le couplage ente u x 8 y et u 8 y pou les deux bagues est de 9%. 5. CONCLUSION Cette modélsaton nous a pems de déeloppe un élément fn à deux nœuds et sx degés de lbeté pa nœud afn d étude l nfluence de la aaton de cetans paamètes (la poston angulae du cops oulant, l angle de contact et le déplacement mposé) su les temes de la matce de gdté. En dépt des ésultats attendus concenant la aaton des gandeus K xx, K yy, C xx et C yy en foncton de la poston angulae (pouant ensegne su la aldté du pogamme de calcul), on note un compotement non lnéae des temes K xx et K yy en foncton du déplacement mposé. Une analyse des dfféents temes de la matce de gdté a monté la pésence d un couplage mpotant pouant attende jusqu au 96 % dans le cas le plus défaoable (cops oulant appatenant à un oulement à blles à contact oblque se touant à une poston angulae 3 ). Le oulement ne peut donc pas ête modélsé pa l assocaton de essots lnéaes ndépendants placés suant les tos dectons e x, ey et e. La matce de gdté globale du oulement peut ête détemnée pa l assocaton des matces de gdtés des dfféents cops oulants qu le consttuent. Cette matce est ensute njectée dans un modèle global défnssant la gdté du système à étude. 6. RÉFÉRENCES. Jones, A.B. A geneal theoy fo elastcally constaned ball and adal olle beangs unde abtay load and speed condtons, TASE, Jounal of Basc Engneeng, Vol. 82, 39-32, Palmgen, A. Ball and olle beangs engneeng, 3 d ed., Bubank, Phladelpha, SKF, Industes, Inc Gagulo E.P. A smple way to estmate beang stffness, achne Desgn 52, 7-, Kauss, J.; Blech, J.J.; Baun, S.G. In stu detemnaton of olle beang stffness and dampng by model analyss, Tansactons of the Amecan Socety of echancal Engnees, Jounal of Vbaton, Acoustcs, Stess and Relablty n desgn, Vol. 9, , Dago, R.J. How to Desgn Quet Tansmsson, achne Desgn, 75-8, Lm, T.C.; Sngh, R. Vbaton tansmsson though ollng element beangs. Pat I: Beang stffness fomulaton, Jounal of Sound and Vbaton, Vol. 39, No.2, 79-99, Demul, J..; Vee, J..; aas, D.A. Equlbum and assocated load dstbuton n ball and olle beang loaded n 5 degees of feedom whle neglectng fctons. Pat II: Applcaton to olle beangs n expemental efcaton, TASE, Jounal of Tbology, Vol., 49-55, Boudon, A. odélsaton dynamque globale des botes de tesses automoble, thèse de doctoat, nsttut natonale des scences applquées de Lyon, Dhatt,G.; Touot,G. Une pésentaton de la méthode des éléments fns. alone S.A. Edteu, Pas, Lahma, F. Inteacton ente la dynamque de l engènement et les pales à oulement", thèse de doctoat, Insttut Natonale des Scences Applquées de Lyon, 2.. Gupta P.K. Adanced Dynamcs of Rollng Elements, Spnge-Velag, New Yok Inc, 984. Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)

20 52 T. Hentat, T. Fakhfakh, F. Dammak,. Hadda 2. Nelas, D. Contbuton à l étude des oulements. odélsaton globale des oulements et aaes supefcelles dans les contacts EHD pou des sufaces éelles ou ndentées, dosse d habltaton à dge des echeches, nsttut natonale des scences applquées de Lyon, 999. Reue de écanque Applquée et Théoque, Vol., 7. (25)