Code_Aster. Réponse sismique par méthode spectrale. Version 10. Résumé :

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1 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 1/34 Réponse ssmque par méthode spectrale Résumé : L étude de la réponse d une structure sous l effet de mouvements mposés de type ssmque, avec un mouvement mposé unque (mono-appu) ou multple (mult-appu) est possble en analyse transtore (tme hstory). On se reportera à la note [R4.5.1]. Pour des études de dmensonnement, on peut ne s'ntéresser qu'à une estmaton des efforts maxmaux nduts par les sollctatons, pour évaluer la marge de sécurté avec des règlements de constructon, sans recourr à une analyse transtore. La méthode spectrale s appue sur la noton de spectre d oscllateur d un accélérogramme de sésme. On détalle la méthode d élaboraton de ce spectre de réponse dsponble dans l'opérateur CALC_FONCTION [U4.3.4]. On montre comment ce spectre d oscllateur peut être utlsé pour évaluer un majorant de la réponse en déplacement relatf d un oscllateur smple. Cette approche se justfe s on ne désre pas connaître l hstore des déplacements et des efforts, en se lmtant à l'analyse des effets nertels. La méthode spectrale utlse des notons générales de la méthode de recombnason modale [R5.6.1]. On décrt les dfférentes règles de combnason utlsables pour obtenr un majorant réalste mas conservatf de la réponse maxmale de la structure. Ces méthodes sont dsponbles dans l opérateur COMB_SISM_MODAL [U4.84.1].

2 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : /34 Table des Matères 1 Noton de spectre d oscllateur Mouvement mposé défn par un accélérogramme A(t) Spectre d oscllateur d'un accélérogramme Spectre d'oscllateur en déplacement relatf Spectre d'oscllateur en pseudo-vtesse relatve Spectre d'oscllateur en pseudo-accélératon absolue Détermnaton du spectre d'oscllateur Représentaton et utlsaton des spectres d'oscllateurs Représentaton tr-logarthmque Utlsaton des spectres d'oscllateurs Spectres d'oscllateurs utlsés pour des études Spectre de sol de concepton et vérfcaton des bâtments Spectre de plancher de vérfcaton des équpements...13 Réponse ssmque par recombnason modale Rappels de la formulaton Mouvement mposé multple : mult-appu Mouvement mposé unque : mono-appu Résumé Réponse en base modale Réponse temporelle d'un oscllateur modal Facteur de partcpaton modal en mono-appu Facteur de partcpaton modal en mult-appu Réponse ssmque par méthode spectrale Réponse spectrale d'un oscllateur modal en mono-appu Réponse spectrale d'un oscllateur modal en mult-appu Généralsaton à d'autres grandeurs Règles de combnason des réponses modales Drecton du sésme et réponse drectonnelle Chox des modes propres à combner Expresson de l'énerge de déformaton modale Expresson de l'énerge cnétque modale Concluson Correcton statque par pseudo-mode Mono-appu Mult-appu Généraltés sur les règles de combnason Combnason arthmétque Combnason en valeur absolue...4

3 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 3/ Combnason quadratque smple Etablssement de la réponse drectonnelle en mono-appu Réponse combnée des oscllateurs modaux Somme des valeurs absolues Combnason quadratque smple (CQS) Combnason quadratque complète (CQC) Combnason de ROSENBLUETH Combnason avec règle des 1% Contrbuton de la correcton statque des modes néglgés Etablssement de la réponse drectonnelle en mult-appu Calcul de la réponse globale Cas avec groupes d appus décorrélés Cas avec appus corrélés Calcul séparé des composantes prmare et secondare de la réponse Composante prmare RIX (réponse nertelle) Composante secondare RII (réponse quas-statque) Cumul sur les modes Contrbuton du pseudo-mode Contrbuton des mouvements d'entraînement Cumul sur les appus Combnason des réponses drectonnelles Combnason quadratque Combnason de NEWMARK Avertssement sur les combnasons Pratques réglementares Partton des composantes prmares et secondares de la réponse Méthode du spectre enveloppe Bblographe Descrpton des versons du document...31

4 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 4/34 1 Noton de spectre d oscllateur La méthode spectrale pour l étude de la réponse d une structure sous l effet de mouvements mposés de type ssmque s appue sur la noton de spectre d oscllateur d un accélérogramme de sésme. 1.1 Mouvement mposé défn par un accélérogramme A(t) Pour un mouvement mposé s de type ssmque, on peut trater le problème en déplacement absolu X ou en déplacement relatf x tel que : X =xs. Les équatons générales du mouvement d'un oscllateur smple s'écrvent alors : s X x Mouvement absolu m Ẍ c Ẋ X=c s s Mouvement relatf m ẍc ẋ x= m s m c On retent la formulaton à partr du mouvement relatf pour deux rasons prncpales : l'analyse ssmque des structures utlse les contrantes ndutes par les effets nertels du sésme, contrantes calculées à partr des déformatons de la structure qu s'exprment à partr des déplacements relatfs ; la caractérsaton du sgnal d'exctaton peut se rédure dans ce cas à l'accélérogramme du sésme s= At, grandeur fourne drectement par les ssmographes. Les sgnaux de déplacement s et de vtesse ṡ ne sont en général pas dsponbles dans les bases de données géotechnques. Pour la détermnaton de la réponse d un oscllateur smple à un mouvement mposé et les notatons conventonnelles, on se reportera à l annexe [R4.5.3 Annexe ]. S le sésme est défn par un accélérogramme A t, accélératon absolue applquée à la base, l'équaton rédute est dans ce cas : ẍ ẋ o x= s= A t éq La soluton de ce problème est l'ntégrale de DUHAMEL présentée à l annexe A [éq A3.3-1] : xt = 1 t ' A e t sn ' t d = f A,,' éq 1.1- ' = 1

5 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 5/34 1. Spectre d oscllateur d'un accélérogramme La noton de spectre d oscllateur a été ntrodute ntalement pour comparer entre eux les effets de dfférents accélérogrammes. Le spectre de FOURIER d un sgnal A t rensegne sur son contenu fréquentel. La réponse d un système mécanque à un mouvement mposé à la base dépend largement des caractérstques dynamques de ce système : fréquences propres et amortssement rédut,'. L annexe A détalle cet aspect. S l on souhate connaître la valeur maxmale de la réponse d un oscllateur smple aux paramètres, A,,' on dot évaluer l ntégrale de DUHAMEL qu fournt la réponse de l oscllateur [éq 1.1-] à une exctaton mposée à la base. Accélérogramme.6.7 Accélératon absolue Temps Fgure 1.-a : Accélérogramme 1..1 Spectre d'oscllateur en déplacement relatf A partr de l'ntégrale de DUHAMEL, on peut défnr le spectre d'oscllateur d'un accélérogramme A t comme la foncton des valeurs maxmales du déplacement relatf xt = f A,,' pour chaque valeur de, ' en rappelant que : ' = 1. Srox A,, ' = xt max xt = 1 t ' Ae t sn ' t d = f A,,' On constate, sur la fgure [Fgure 1..1-a], qu'au delà d'une certane fréquence ( 35 Hz c), dte fréquence de coupure du spectre, l n'y a pas d'amplfcaton dynamque sgnfcatve : le déplacement relatf est nul.

6 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 6/34 Spectre d'osc llateur (Déplac ement relatf) 1 1 Amortssements crossants de.1 à..1 Amortssements 1% 5 % 1% % Déplac ement relatf e 5 Fréquenc e Fgure 1..1-a : Spectre d'oscllateur en déplacement relatf 1.. Spectre d'oscllateur en pseudo-vtesse relatve Pour des structures avec amortssement rédut fable.= %, pour lesquelles l est acceptable d assmler et ', on utlse couramment le spectre de pseudo-vtesse défn par : Sro ẋ A,, = Srox A,, = xt max La pseudo vtesse est la valeur de la vtesse qu donne une valeur de l'énerge cnétque de la masse de l'oscllateur égale à celle de l'énerge de déformaton maxmale du ressort : E c = 1 m xt = 1 m [ Sro x A,, ] = 1 m xt max = 1 xt max=e p Spectre d'oscllateur (Pseudo vtesse relatve).5 Amortssements crossants de.1 à. Amortssements 1% 5 % 1% % Pseudo vtesse relatve Fréquence.4 Fgure 1..-a : Spectre d'oscllateur en pseudo vtesse relatve

7 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 7/ Spectre d'oscllateur en pseudo-accélératon absolue De même pour un amortssement rédut fable, on peut défnr le spectre de pseudo-accélératon défn par : Sro ẍa,, = O Srox A,, = x t max Spectre d'oscllateur (Pseudo accélératon absolue) 4 Amortssements crossants de.1 à. Amortssements 1% 5 % 1% % Pseudo accélératon absolue Fréquence Fgure 1..3-a : Spectre d'oscllateur en pseudo accélératon absolue L ntérêt de ce spectre de pseudo-accélératon résde dans le fat que Sro xa,, est une bonne approxmaton du maxmum d'accélératon absolue Ẍ t. En effet, à l'nstant où le déplacement relatf est maxmal, la vtesse relatve s'annule et l'équaton rédute s'écrt ẍ x max = s, ce qu nous montre que Ẍ max = ẍ s max = x max = O Srox A,, =Sro ẍ A,, Pour cette rason, ce spectre d'oscllateur est appelé spectre de pseudo-accélératon absolue. L'asymptote de ce spectre à haute fréquence (accélératon à pérode nulle) correspond à la réponse d'un oscllateur de haute fréquence propre, c est-à-dre très rgde. Dans ce cas, la masse tend à suvre ntégralement le mouvement mposé de la base. Cette asymptote correspond donc à l'accélératon maxmale At max du mouvement mposé (sol ou pont d'accrochage de l'oscllateur). Elle est attente en pratque à partr de la fréquence de coupure du spectre. Pour cette rason, on dt qu'un accélérogramme est calé, par exemple, sur.15 g, quand son ampltude maxmale et son spectre d'oscllateur de pseudo-accélératon absolue à pérode nulle sont égaux à.15 g. 1.3 Détermnaton du spectre d'oscllateur La détermnaton du spectre d oscllateur d'un accélérogramme A t est dsponble dans l opérateur CALC_FONCTION [U6.6.4] avec le mot clé SPEC_OSCI : l est obtenu par ntégraton numérque de l équaton de DUHAMEL par la méthode de NIGAM [R5.5.1]. Cette commande fournt le spectre de pseudo-accélératon absolue et, sur demande, le spectre de pseudo-vtesse ou le spectre de déplacement relatf.

8 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 8/ Représentaton et utlsaton des spectres d'oscllateurs Représentaton tr-logarthmque Les spectres de réponse d'oscllateur sont couramment représentés par des graphques trlogarthmques qu permettent de lre sur un seul graphque les tros grandeurs : le déplacement relatf, la pseudo-vtesse relatve, la pseudo-accélératon absolue. Cette représentaton est obtenue en traçant le spectre de pseudo-vtesse relatve Sro ẋ en coordonnées log log telles que log Sro ẋ= f log, sur lequel on reporte deux graduatons complémentares à ±45 s l'échelle des graduatons logarthmques est la même sur les deux axes : une graduaton logarthmque à 45 pour mesurer les déplacements relatfs log Sro x=log Sro ẋ =log Sro ẋ log une graduaton logarthmque à 45 pour mesurer les accélératons absolues log Sro ẍ=log Sro ẋ=log Sro ẋlog f =3 Hz ẋ=1m/s x= ẋ = 1 6 =.535 ẋ= x=6 = Fgure a : Représentaton tr-logarthmque 1.4. Utlsaton des spectres d'oscllateurs Pour évaluer la réponse maxmale d'un oscllateur modal, à un accélérogramme A t, on utlse le spectre de pseudo-accélératon absolue.

9 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 9/34 Il est représenté dans Code_Aster par une nappe consttuée de pluseurs fonctons Sro ẍ= f freq à n =cte. On utlse une nterpolaton lnéare sur l'amortssement rédut pour n n1 car l'amplfcaton dynamque à la résonance pour = (sot =1 ) est égale à x m s = 1 [éq A.-3 ]. La varaton du module de la réponse au vosnage de la résonance justfe également une nterpolaton logarthmque pour m m1. Le spectre d'oscllateur dot être représenté avec une dscrétsaton en fréquence suffsamment fne pour lmter les effets de l'nterpolaton. 1.5 Spectres d'oscllateurs utlsés pour des études Pour les études d'nstallatons ndustrelles, telles que les centrales nucléares, l'analyse ssmque condut à établr pluseurs modèles : un modèle du géne cvl de concepton des bâtments pour détermner : les sollctatons accdentelles pour le calcul des ossatures de ces bâtments ; les mouvements mposés aux ponts d'accrochage des équpements (cuve de réacteur, appus des réseaux de tuyauteres, armores électrques,..) à dfférents nveaux des bâtments ; des modèles d'étude de vérfcaton de chaque équpement soums aux mouvements mposés amplfés par le comportement dynamque des bâtments Spectre de sol de concepton et vérfcaton des bâtments A ce stade, les équpements ne sont connus que comme des surcharges nertelles et l'on peut admettre qu'ls n'apportent aucune rgdté au bâtment. Les structures sont dans ce cas soumses à un spectre de sol. Le contenu fréquentel d'un spectre d'oscllateur reflète celu de l'accélérogramme utlsé et est donc "marqué" par les proprétés du sol au leu d'enregstrement. Pour élaborer le spectre de sol au stade du projet, l est donc recommandé d'établr les spectres d'oscllateurs pour pluseurs accélérogrammes et de construre un spectre enveloppe qu lsse les ant-résonances. Spectre d'oscllateur d'un accélérogramme et le spectre de sol assocé 1 1 Représentaton tr logarthmque Amortssement 1% Pseudo_vtesse_relatve Fréquence Fgure a : Spectre de sol pour un projet

10 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 1/34 Remarque : Dans de nombreux cas, on ne connaît pas le mouvement de rotaton mposé par le sésme, pusque les accélérogrammes de sésmes connus sont ssus d'enregstrements de ssmographes, capteurs à un degré de lberté de translaton Spectre de plancher de vérfcaton des équpements L'étude du comportement dynamque des équpements soums aux mouvements mposés par la structure support aux ponts d'appus est possble à partr des accélérogrammes de réponse en ces ponts, résultats de l'analyse transtore du comportement du bâtment : ces accélérogrammes, dts de plancher, permettent de construre des spectres de planchers. Pour une vérfcaton de l'équpement, on peut se lmter à une analyse spectrale à partr des spectres de plancher et des déplacements dfférentels mposés aux appus. Les spectres de plancher sont représentatfs de l'amplfcaton dynamque apportée par la structure support : un lssage du spectre peut être utle pour prendre en consdératon l'ncerttude sur la poston des fréquences propres du bâtment, mas on vellera à conserver des marges réalstes, pusque le spectre de sol est déjà un majorant de la sollctaton ssmque. Le spectre d'oscllateur dot être représenté avec une dscrétsaton en fréquence suffsamment fne pour "capter" les résonances de la structure. Remarque : Des technques de détermnaton drecte des spectres de planchers, à partr du spectre de sol et des modes de la structure ont été mses au pont [bb1], mas ne sont pas dsponbles actuellement dans Code_Aster. Réponse ssmque par recombnason modale.1 Rappels de la formulaton La méthode spectrale d analyse ssmque s appue sur la formulaton de la réponse dynamque transtore par recombnason modale présentée dans les documents Méthodes de RITZ en dynamque lnéare et non lnéare [R5.6.1] et Analyse ssmque par méthode drecte ou recombnason modale [R4.5.1]. Résumons les prncpes de la démarche détallée dans la note [R4.5.1] pour une structure représentée sous forme dscrétsée par le système matrcel : Notatons en mouvement absolu M ÜC UK U=Ft éq.1-1 U représente toutes les composantes du mouvement (les ddls nternes de structure et les ddls soums à un mouvement mposé) : on les sépare sous la forme U= X. Les opérateurs décrvant s la structure devennent : K=[ xx xs sx ss] C=[ c c xx xs c sx c ss] M=[ m m xx xs Le problème en mouvement relatf de la structure par rapport aux appus avec la décomposton Mouvement absolu = Mouvement relatf + Mouvement d'entraînement condut à ntrodure le changement de varable U=uE. m sx m ss] Hypothèse

11 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 11/34 On suppose qu'aucune force d'exctaton n'est applquée sur les degrés de lberté de structure, ce qu rédut le second membre F t, avec la même partton à F= x r s L équaton.1-1 devent alors : [ m m xx xs m sx m ss][ẍ c sx s ] [ c xx c xs c ss][ẋ ṡ ] [ xx sx ss][ X s ] = [ ] x r s xs éq..1- Le premer système d équatons extrat de [éq..1-] : m xx Ẍc xx Ẋ xx X= m xs s c xs ṡ xs s éq..1-3 permet la détermnaton de la réponse des degrés de lberté nternes de structure, tands que le second : m sx Ẍc sx Ẋ sx Xm ss sc ss ṡ ss s=r permet la détermnaton de la réacton r t entre la structure et ses supports. Notatons en mouvement relatf On décompose le vecteur du mouvement U= X s E= e xs s x s x en la somme de deux vecteurs u et E avec : le mouvement de déformaton statque de la structure sous l effet des déplacements mposés aux supports, qu on appelle mouvement d entraînement, et u= x s le mouvement de déformaton résduelle de la structure par rapport à la déformaton s précédente pour obtenr la déformaton absolue U= X s. Le vecteur e xs s s est obtenu en effectuant le relèvement statque, sur les ddls nternes de la structure, des déplacements mposés aux appus sot (en utlsant la premère lgne de l équaton.1- et en élmnant les composantes dynamques) : e xs s s = 1 xx xs s s, sot e xx = 1 xx xs. Le passage du mouvement absolu au mouvement relatf peut également s'écrre en ntrodusant l'opérateur de passage : U= X s =ue= x s s e s xs s s s Le système [éq...1-1] prend alors la forme générale : M ẍx s s C ẋx ṡ s K x x s s.1.1 Mouvement mposé multple : mult-appu = x s s s =[ I e avec xx xs ] sx I ss = x éq.1-4 r s Cette stuaton correspond à un nombre dscret de ponts de lason de la structure à des appus soums à des déplacements mposés dfférents.

12 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 1/34 Intéressons-nous d abord à la réponse quas-statque X qs des degrés de lberté de structure. Alors, e xs = s, où la matrce s désgne la matrce des modes statques rédute aux ddls de structure. On obtent donc : X qs = s s La matrce s regroupe 6 n appus modes statques pour les modèles de structures et 3 fos le nombre d appus pour les modèles de mleux contnus. Chaque mode statque s = 1 xx xsj est un mode d attache, correspondant à un déplacement mposé untare sur une composante d'appu, les autres composantes étant nulles, et produt par l'opérateur MODE_STATIQUE [8]. Le changement de repère peut alors s'exprmer par : U= X s = x s s La réponse absolue s écrt alors sous la forme : U=[ I xx s s s s s s sx I ss ][ x x s s ] où I désgne la matrce dentté, x x le vecteur des déplacements relatfs de la structure par rapport [ I xx s ] aux supports, et sx I = est la matrce de passage du mouvement absolu au mouvement ss relatf. Le système [éq..1-3] devent ans : [ m xx m xs m sx m ss][ I xx s ][ ẍx ] sx I ss s [ c xx c xs s c sx c ss][ I xx s ] sx I ][ẋx ss ṡ [ xx xs s sx ss][ I xx s ][ x ] x sx I ss s = [ ] x éq s r s La premère équaton de ce système s écrt : m xx ẍ x c xx ẋ x xx x x = m xx s m xs s s c xx s c xs ṡ s xx s xs s s La dagonalsaton du terme de rgdté est acquse : [ xx xs sx ss][ s I ss ] = [ ] x r s Concernant les termes d'amortssement, le découplage n'est acqus que s l'amortssement est proportonnel à la rgdté, hypothèse couramment admse. Cec permet ben de découpler le système [éq.1.1-1] m xx ẍ x c xx ẋ x xx x x =g x t éq.1.1- avec g x t= m xx s m 1 xx m xs s s = m xx ẍ qs m xs s s

13 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 13/34 Le chargement équvalent g x t est dû à l opposé de la somme de l accélératon des supports et de l accélératon relatve aux modes statques. Cette formulaton dot être nterprétée comme la décomposton du mouvement de la structure en un mouvement d'entraînement correspondant à une déformée statque nstantanée (déplacement dfférentel des appus) et un mouvement relatf correspondant aux effets nertels autour de cette nouvelle déformée statque. Cette nterprétaton est conforme au classement des sollctatons défnes par les règles de constructon (ASME, RCC-M) : les contrantes ndutes par le mouvement relatf sont, comme pour les sollctatons statques, des contrantes prmares (effets d'nerte), les contrantes ndutes par les déplacements dfférentels des appus qu sont elles classées en contrantes secondares. La réponse des degrés de lberté de structure étant ans détermnée, la deuxème équaton du système [éq ] permet d obtenr la réacton st..1. Mouvement mposé unque : mono-appu [ ] R Le mouvement d entraînement correspond alors à un mouvement de corps rgde noté s. La R matrce R désgne la matrce regroupant les modes de corps rgdes de la structure rédute aux ddls de structure. La structure est soumse à ce mouvement global avec une accélératon t, auquel on superpose le mouvement relatf des degrés de lberté de structure : l accélératon absolue peut donc s écrre sous la forme : Ü=[ Ẍ s ] = ] [ẍx s [ ] R s t R [ xx xs La parte rgde du déplacement vérfe la relaton : sx ss][ ] R s = R On en dédut que : R = S s R U= X s = x s s s R x s et s =[ I xx R ] sx I ss Le second membre de l équaton [éq..1.1-] peut alors s écrre sous la forme : g x t= m xx s m 1 xx m xs s xx = m xx R m xs s Rt éq Cette écrture met ben en évdence que le chargement ssmque ne dépend que de l accélératon d ensemble et l nerte assocée aux modes de corps rgdes.

14 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 14/ Résumé Les équatons [éq.1.1-] et [éq.1.-1] condusent à la forme générale (écrte sans ndce pour plus de clarté) : m zcż z= m X m 1 m xs s= mo s éq Les termes m xs correspondent aux termes de couplage de la matrce de masse avec les degrés de lberté d'appu : cette fracton de la masse totale est très fable et l est justfé de la néglger. Rappelons que ce terme est effectvement nul pour les modèles de structures dont la matrce de masse est dagonale : modèles masse - ressort, modèles avec éléments de type "lumped mass". Dans ce cas, on obtent les formules smplfées : mono-appu : O= R où R sont les sx modes de corps solde mult-appu : O= s où s sont les 6 n appus modes d attache Le second membre m O est construt par l'opérateur CALC_CHAR_SEISME [U4.63.1].. Réponse en base modale..1 Réponse temporelle d'un oscllateur modal S la structure étudée est représentée par son spectre de modes propres réels à basse fréquence en base encastrée, soluton de K M = ou de m = on peut ntrodure une nouvelle transformaton x= q et le système d équatons [éq.1.3-1] s écrt, en utlsant la matrce de facteurs de partcpaton modaux P : Hypothèse : q T c T m q q= T m O s= P s T éq..1-1 m Pour des études ndustrelles relevant de l'analyse ssmque par méthode spectrale, on se lmte au cas de l amortssement proportonnel, dt de RAYLEIGH, pour lequel on peut dagonalser le T c terme = T. L'amortssement est alors représenté par un amortssement modal, m éventuellement dfférent pour chaque mode propre [R4.5.1]. Chaque mode propre, caractérsé par les paramètres, est assmlé à un oscllateur smple dont le comportement est représenté dans le cas général par : q q q = P s éq..1- Rappelons que les s sont des accélératons d entraînement... Facteur de partcpaton modal en mono-appu Lorsque le mouvement d'entraînement est unque, [éq..1-] devent : avec q q q = p s éq..-1 p = T m O = T m R éq..- T m où est la masse modale généralsée, qu dépend de la normalsaton du mode propre. Énonçons quelques proprétés des facteurs de partcpaton modale p dans le cas des modes rgdes de translaton, mas extensbles aux modes de rotaton.

15 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 15/34 Un mode RX, que nous noterons X, pour rappeler que les composantes dans la drecton X sont untares, appartent à l'espace de dmenson N degrés de lberté dont les N modes propres consttuent une base dans laquelle = X. A partr des proprétés d'orthogonalté des modes propres T m = j, on dentfe les coeffcents aux facteurs de partcpaton modale p X dans la drecton X et X = De plus x T m X =m T masse totale de la structure, ce qu condut à : x T m X = j p X p jx j T m = p X éq..-3 p X et m = T p X ou p X =1 éq..-4 m T Le paramètre modal p X dépend de la norme du mode propre et est accessble, pour chaque mode propre, dans le concept résultat de type mode_meca sous le nom FACT_PARTICI_DX ; de même p X, ndépendant de la norme, est accessble sous le nom de MASS_EFFE_UN_DX...3 Facteur de partcpaton modal en mult-appu Pour un mouvement mposé multple, [éq..1-] devent : q q q = p j s j éq..3-1 j avec p j = T mo = T m sj éq..3- T m où est la masse modale généralsée, qu dépend de la normalsaton du mode propre et les p j peuvent être consdérés comme des facteurs de partcpaton relatfs au mode et à une drecton j de mouvement mposé d'un appu. Comme précédemment, on peut établr [bb4] les deux proprétés : sj = p j et sj T m sj = p j éq..3-3 On ne fat, à ce stade, aucune hypothèse de dépendance entre les dfférents termes p j. Rappelons que les composantes s j exprment l'accélératon d entraînement applquée à une drecton d'appu j. Les facteurs de partcpaton p j ne sont pas construts ndépendamment et n'apparassent que comme varables ntermédares dans la commande COMB_SISM_MODAL [U4.84.1]. 3 Réponse ssmque par méthode spectrale La méthode spectrale est une technque approchée d'évaluaton du maxmum de la réponse de la structure à partr des maxmums de réponse de chaque oscllateur modal lus sur le spectre d'oscllateur de l'exctaton. 3.1 Réponse spectrale d'un oscllateur modal en mono-appu La réponse maxmale en déplacement relatf d'un oscllateur modal, pour une drecton X est détermnée en lsant sur un spectre d'oscllateur de pseudo-accélératon absolue confer [ 1.4.] la valeur de la pseudo-accélératon absolue a X =Sro x X A,, et en dvsant par, d'où :

16 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 16/34 q Xmax = Sro x X A,, = a X éq La contrbuton de cet oscllateur au déplacement relatf de la structure pour la composante x dépend du facteur de partcpaton et de la composante dans l'espace physque : a x Xmax = p X q Xmax = p X X éq 3.1- et la contrbuton à la pseudo accélératon absolue ẍ est de même ẍ Xmax = p X a X. 3. Réponse spectrale d'un oscllateur modal en mult-appu On procède de la même manère pour détermner, à partr de la valeur lue S jx sur le spectre d'oscllateur de pseudo-accélératon absolue assocé à s j, la contrbuton de l'appu j dans la drecton X : q Xmax j = Sro s A,, j = S jxx éq 3.-1 L'expresson de la contrbuton de cet oscllateur au déplacement relatf de la structure pour la composante x dans l'espace physque et pour un mouvement mposé j devent : 3.3 Généralsaton à d'autres grandeurs Remarque : S x Xmax j = p jx q Xmax j = p jx jx éq 3.- La méthode d'analyse spectrale est strctement lmtée aux grandeurs dépendant lnéarement des déplacements en élastcté lnéare : déformatons, contrantes, efforts généralsés, forces nodales, réactons d'appus. Notamment elle ne peut s'applquer à des grandeurs équvalentes de déformaton ou de contrantes (VON MISES). Pour chaque grandeur R, composante d'un champ par éléments, l est possble de calculer la composante modale r assocée au mode propre ce qu condut à : ou a R Xmax =r p X q Xmax =r p X X éq S R Xmax j =r p jx q Xmax j =r p jx jx éq Règles de combnason des réponses modales

17 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 17/34 Pour évaluer un majorant de la réponse R de la structure, on dot mantenant combner les réponses modales R max défnes précédemment. Pluseurs nveaux de combnason sont nécessares : combnason des modes propres retenus, correcton statque par pseudo-mode, effet des exctatons dfférentes applquées à des groupes d'appus, combnason suvant les drectons d'exctaton sésme. 4.1 Drecton du sésme et réponse drectonnelle Dfférentes consdératons condusent à étuder le comportement ssmque séparément suvant chaque drecton de l'espace : pour l'étude d'un bâtment sur un sol, l'accélérogramme du mouvement mposé vertcalement est dfférent de celu décrvant le mouvement horzontal, lu-même dfférent suvant deux drectons orthogonales de l'espace ; pour l'étude d'un équpement, les spectres de plancher dffèrent sgnfcatvement suvant les tros drectons de l'espace, pusqu'ls ntègrent les partcpatons de dfférents modes du bâtment (flexon de planchers, flexon ou torson de l'ossature,..). Cec condut à établr une réponse modale drectonnelle R x à partr de spectres d'oscllateur dfférents et de facteurs de partcpaton modale établs dans chaque drecton X représentant une des drectons du repère GLOBAL de défnton du mallage ( X,Y,Z ) ou une drecton partculère défne explctement par l utlsateur. 4. Chox des modes propres à combner Pour représenter correctement les modes de déformaton susceptbles d'être exctés par le mouvement mposé, l faudrat connaître tous les modes propres de fréquence nféreure à la fréquence de coupure du spectre, au delà de laquelle l n'y a pas d'amplfcaton dynamque sgnfcatve. Cette condton peut s'avérer dffcle à remplr pour les structures complexes ayant un grand nombre de modes propres. La talle de la base modale nécessare dot donc être évaluée pour s'assurer qu'aucun mode ayant une contrbuton mportante dans les efforts nternes et les contrantes n'a été oms dans chaque drecton étudée Expresson de l'énerge de déformaton modale L'énerge de déformaton assocée à chaque mode propre U = 1 x T max x max peut être exprmée pour une drecton partculère U X = 1 p a X T = 1 p a X X = 1 a X p X éq Cette expresson correspond à une exctaton mono-appu et peut s'étendre au cas du mult-appu. Le classement des modes avec des énerges de déformaton décrossantes permet de ne pas retenr systématquement, pour une étude globale de la structure, des modes qu ne produsent pas de déformatons sgnfcatves. Par contre, pour l'étude de l'effet des sollctatons dans une zone partculère de la structure, l sera nécessare d'utlser les modes "locaux" qu peuvent être détectés par une analyse de la répartton de l'énerge de déformaton sur des groupes de malle. Notons que l'on ne dspose pas d'une estmaton de l'énerge de déformaton totale pour quantfer l'erreur commse en gnorant certans modes. 4.. Expresson de l'énerge cnétque modale L'énerge cnétque assocée à chaque mode propre s'écrt V = 1 ẋ T max m ẋ max qu donne

18 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 18/34 V X = 1 p X a X T m = 1 a X p X éq L'expresson [éq 4..-1] fat ntervenr la masse modale effectve p X défne au [.], ce qu permet d'énoncer le crtère de cumul des masses modales effectves untares [éq..-4]. Crtère de cumul des masses modales effectves La qualté d'une base modale, du pont de vue de la représentaton des proprétés nertelles de la structure, est évaluée en cumulant, pour cette drecton, les masses modales effectves untares des modes dsponbles. Un seul d'admssblté de 95% de la masse totale est couramment adms. Le même crtère peut s'applquer partellement dans le cas d'une exctaton mult-appu avec n modes en comparant T sj m s et n p j. La somme des masses modales effectves vaut en fat la masse totale qu travalle sur la base modale chose. Autrement dt, cette masse totale travallante vaut la masse totale mons les contrbutons en masse qu sont portées par des DDL encastrés (qu ne travallent donc pas sur la base modale). Ans, par exemple, sur un système à 1 DDL masse-ressort avec une masse M1 au sommet et une autre masse M au nveau du rader, alors la masse travallante vaudra M1 et la masse totale M1 + M. Par sute, la masse modale effectve untare pour le seul mode du système vaudra M1 / (M1 + M). Le cumul total aura donc la même valeur et, suvant le rato en M1 et M, on ne pourra donc pas forcément attendre 9 % de la masse totale (M1 + M), même en consdérant tous les modes (on n'a qu'un seule mode sur cet exemple). En pratque, plus le modèle EF sera afn et réalste, plus l'écart entre la masse travallante et la masse totale sera fable. Estmaton de l'erreur commse avec une base modale ncomplète Le crtère de cumul des masses modales effectves ne peut pas toujours être satsfat. En effet on se lmte en général à une base modale de n modes propres avec n modes N degrés de lberté. Pour des fondatons rgdes, le spectre des fréquences propres nécessares dépasse couramment la fréquence de coupure du spectre d'oscllateur. A partr de l expresson [éq 4..-1], on peut écrre l'énerge cnétque totale sous la forme : n V X = 1 V X N V X n1

19 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 19/34 qu permet d'exprmer l'erreur absolue à partr de [éq 3.1-1] : N V X = n1 N a V X = X n1 p X a n1x N p X n1 en notant a n 1 X =Sro x X A, mn, n 1 la valeur lue sur le spectre de pseudo-accélératon absolue pour n n1 et l'amortssement modal le plus fable mn susceptble de donner l'ampltude majorante. S la fréquence maxmale de la base f n dépasse la fréquence de coupure, alors a n1 X =a nx = At max. Cec donne un majorant de l'erreur absolue : 4..3 Concluson V X = 1 a n1 X N p X = 1 a n1 X n1 n m T 1 p X éq 4..- Les grandeurs permettant de chosr les modes nécessares à chaque analyse sont dsponbles dans Code_Aster (opérateur POST_ELEM avec les optons MASS_INER, ENER_POT et ENER_CIN et paramètres modaux FACT_PARTICI_DX et MASS_EFFE_UN_DX dans le concept résultat de type mode_meca). Aucun crtère d'admssblté automatque n'est programmé actuellement et les grandeurs T Sj m Sj n et p j, nécessares à la vérfcaton du crtère pour une exctaton mult-appu, ne sont pas 1 mprmées. 4.3 Correcton statque par pseudo-mode Mono-appu L évaluaton d'un majorant de la réponse à une exctaton ssmque nécesste, comme le suggère l'analyse précédente, une correcton par un terme représentant la contrbuton statque des modes propres néglgés. S l'on soumet la structure à une accélératon unforme quas-statque dans la drecton X, la réponse ax est soluton de ax =m X I, sans amplfcaton dynamque. Le champ de déplacements ax des nœuds de la structure soumse à une accélératon unforme dans chaque drecton est produt par l opérateur MODE_STATIQUE [U4.5.14] avec le mot clé PSEUDO_MODE. En décomposant cette déformée sur la base des modes propres, on obtent (cf. [..]) : ax =m N p IX d'où ax = 1 m 1 N p X = 1 p X Cec permet d'ntrodure un pseudo-mode cx, pour chaque drecton, en soustrayant au mode quasstatque ax les contrbutons statques des modes utlsés : n cx = ax 1 n L'expresson [éq ] est homologue du terme m T p X éq p X de l'[éq 4..-] et le pseudomode permet d'ntrodure une correcton des effets statques des modes néglgés. La contrbuton du

20 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : /34 pseudo-mode est la valeur lue sur le spectre de pseudo-accélératon absolue a n 1 X =Sro x X A, mn, n1 pour n n1 et l'amortssement modal le plus fable mn. La correcton à apporter aux déplacements relatfs et aux grandeurs qu s'en dédusent (efforts généralsés, contrantes, réactons d'appus) en exctaton mono-appu est alors x cx = cx a n 1X conformément aux condtons d'estmaton de l'erreur cf. [ 4..]. Pour l'évaluaton de la correcton d'accélératon absolue, on obtent : 4.3. Mult-appu ẍ cx = n X p X a n 1 X En exctaton mult-appu, la formulaton du pseudo-mode et de sa contrbuton reprennent le prncpe précédent. Le champ de déplacements ajx = 1 m SjX des nœuds de la structure soumse à une accélératon untare de l appu j dans la drecton X est produt par l opérateur MODE_STATIQUE [U4.5.14] avec le mot-clé PSEUDO_MODE. La correcton à apporter aux déplacements relatfs et aux grandeurs qu s en dédusent s écrt alors, pour l appu j dans la drecton X : n P x cjx = cjx a n1 jx avec cjx = ajx jx 1 Pour l accélératon absolue, la correcton s écrt : = n ẍ cjx SjX P 1 jx a n1 jx 4.4 Généraltés sur les règles de combnason Les règles de combnason ou de cumul des dfférentes composantes, modales ou drectonnelles, sont multples et plus ou mons complexes à mettre en œuvre. On présente les méthodes "naturelles" du pont de vue de leur apttude à fournr un majorant réalste des sollctatons ndutes dans une structure représentée par une base de modes propres réels ssus d'un modèle en élastcté lnéare, majorant estmé sans analyse transtore pour une grandeur de composante G, que l'on nommera G max. Pour la sute le suffxe max désgne l'estmaton de la valeur maxmale attente au cours de l'exctaton ssmque, en gnorant l'nstant où elle a été attente et l'ndce r s'applque à des modes propres, des pseudo-modes, des drectons d'appus,... Remarque : Quelle que sot la méthode de combnason utlsée, la valeur d'une composante obtenue par combnason ne peut servr de donnée pour calculer une nouvelle grandeur : par exemple, le calcul d'un majorant d'un déplacement dfférentel entre deux ponts dot être calculé mode par mode, pus combné.

21 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 1/ Combnason arthmétque G max = G r max r Elle n'est pas utlsable pour les réponses drectonnelles pusque la méthode spectrale fat abstracton des nstants où les valeurs maxmales sont attentes dans deux drectons ou pour deux modes dfférents. Aucune relaton de phase, et donc de sgne, n'exste entre les contrbutons à combner. Elle n'est donc dsponble que dans le cas mult-appu, pour le cumul des réponses drectonnelles modales d appu et pour le cumul des déplacements dfférentels Combnason en valeur absolue G max = r G r max De façon évdente, elle peut fournr une borne supéreure, pusqu'elle suppose que toutes les contrbutons attegnent leur maxmum au même nstant avec le même sgne. Trop pénalsante, elle est dsponble, mas nutlsable ndustrellement Combnason quadratque smple Cette méthode est auss connue sous la dénomnaton SRSS (Square Root of Sum of Squares). Hypothèse : G max = r G rmax L' hypothèse qu justfe cette méthode de combnason peut s'énoncer : le maxmum probable de l'énerge stocée dans la structure est la somme des maxmums probables de l'énerge stocée sur chacun des modes et sur chacune des composantes drectonnelles du sésme, c est-à-dre que, vs-à-vs de l'énerge, les modes propres et les composantes du sésme sont découplés. Elle est analogue à la règle d'addton des varables aléatores gaussennes et à moyenne nulle. La valdté de cette hypothèse, qu sera dscutée pour chaque cas partculer d'utlsaton de cette méthode de combnason, n'est pas étable et dverses propostons ont été présentées pour obtenr une melleure approxmaton dans les cas où elle est mse en défaut cf. [ ]. Par alleurs, on pourra se reporter à [bb3] pour une crtque de cette approche, notamment de son apttude à estmer un maxmum probable des déformatons et des contrantes, mas l'approche alternatve qu'elle évoque n'a fat l'objet d'aucun développement dans le Code_Aster. 4.5 Etablssement de la réponse drectonnelle en mono-appu La réponse drectonnelle, défne précédemment, est obtenue par combnason quadratque smple de deux termes que nous allons dscuter : R X = R m R c R m réponse combnée des oscllateurs modaux R c contrbuton de la correcton statque des modes néglgés (pseudo-mode) Les hypothèses justfant la méthode de combnason quadratque smple, à ce nveau, ne semblent pas devor être remses en cause [bb1]. Pour smplfer les notatons, on note R m au leu de R mx,

22 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : / Réponse combnée des oscllateurs modaux La réponse de la structure R m, dans une drecton de sésme, est obtenue par une des combnasons possbles des contrbutons de chacun des modes propres prs en consdératon pour cette drecton. Le nombre de méthodes possbles prouve smplement la dffculté de dégager une justfcaton suffsante pour garantr une estmaton conservatve et réalste. S la combnason quadratque smple (SRSS ou CQS) est évoquée par tous, on retendra de [bb1] qu'elle est souvent mse en défaut et on lu préférera la combnason quadratque complète (CQC). Les autres méthodes sont dsponbles pour des comparasons éventuelles Somme des valeurs absolues Cette combnason correspond à une hypothèse de dépendance complète des oscllateurs assocés à chaque mode propre et condut à une surévaluaton systématque de la réponse : Combnason quadratque smple (CQS) n R m = R En consdérant que la contrbuton de chaque oscllateur modal est une varable aléatore ndépendante, une estmaton de la réponse maxmale, pour la composante de déplacement x max, peut être obtenue par combnason quadratque smple des contrbutons de chaque mode d où, pour une exctaton mono-appu : x max = n = x max n p q max éq D'une manère générale, pour toute grandeur R assocée à un oscllateur modal, : = R m n R Elle consttue une bonne approxmaton de la réalté quand le spectre d'oscllateur défnssant le sésme est à large bande de fréquences, et quand les modes propres de la structure sont ben séparés les uns des autres et se stuent à l'ntéreur ou au vosnage de cette bande. Elle est notamment mse en défaut dans le cas où des modes propres sont à des fréquences vosnes ou pour des modes élognés du pc d'exctaton [bb]. Les autres méthodes de combnason des réponses modales tentent de corrger ce pont Combnason quadratque complète (CQC) La combnason quadratque complète (étable par DER KIUREGHIAN [bb5]) apporte une correcton à la règle précédente en ntrodusant des coeffcents de corrélaton dépendant des amortssements et des dstances entre modes propres vosns : R m = 1 1 R 1 R avec le coeffcent de corrélaton : 8 j = j j j j j j 4 j j j 4 j j

23 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 3/34 ou en ntrodusant le rapport de pulsaton ou de fréquences entre deux modes = j / : et pour constant : Combnason de ROSENBLUETH 8 j = j j 1 4 j 1 4 j 8 1 j = Cette règle (proposée par E. ROSENBLUETH et J. ELORDY [bb6]) ntrodut une corrélaton entre modes, dfférente de celle de la méthode CQC. Les réponses des oscllateurs sont combnées par double somme (Double Sum Combnaton) : R m = 1 1 R 1 R Elle nécesste une donnée supplémentare, la durée s de la phase forte du sésme. Le coeffcent de corrélaton est alors : j = 1 ' ' j ' ' j j 1 où ' = 1 ' et ' = s Combnason avec règle des 1% Les modes vosns (dont les fréquences dfférent de mons de 1%) sont d abord combnés par sommaton des valeurs absolues. Les valeurs résultant de cette premère combnason sont ensute combnées quadratquement (combnason quadratque smple). Cette méthode a été proposée par le règlement amércan U.S. Nuclear Regulatory Commsson (Regulatory Gude Févrer 1976) pour atténuer le conservatsme de la méthode de somme des valeurs absolues. Elle reste en défaut pour des structures avec un spectre de fréquences propres dense et ne devrat plus être utlsée Contrbuton de la correcton statque des modes néglgés La contrbuton du pseudo-mode Cf. [ 4.3.1] peut être combnée quadratquement car l'ndépendance avec les contrbutons des modes de vbraton n'est pas contestée. 4.6 Etablssement de la réponse drectonnelle en mult-appu Calcul de la réponse globale L ordre des combnasons à effectuer dffère selon que les exctatons des appus (ou des groupes d appus) peuvent être consdérées comme corrélées ou décorrélées entre elles Cas avec groupes d appus décorrélés L enchaînement des combnasons peut s énoncer comme sut, dans l ordre : - pour chaque drecton X, pour chaque mode, pour chaque groupe d appus : 1) calcul des réponses drectonnelles d appus modales (combnason ntra-groupe sur les appus) : consdérant que les appus d un même groupe sont corrélés, on propose une sommaton des valeurs algébrques ; - pour chaque drecton X, pour chaque groupe d appus j : - calcul de la réponse combnée des oscllateurs modaux (combnason sur les modes) ; c - calcul du pseudo-mode R Xj (correcton statque des modes néglgés) ; e - calcul du mouvement d entraînement R Xj ; m - calcul de la réponse drectonnelle d appu : R Xj =R c Xj R e Xj R Xj

24 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 4/34 - pour chaque drecton (combnason nter-groupe sur les groupes d appus) : calcul de la réponse drectonnelle, selon une sommaton quadratque CQS car les groupes sont supposés décorrélés entre eux ; - calcul de la réponse totale (combnason sur les drectons) Cas avec appus corrélés Dans le cas où tous les appus sont corrélés entre eux (quand on ne peut pas exhber de groupes d appus décorrélés), on propose le schéma suvant, qu présente l avantage de pouvor établr un parallèle entre le tratement du cas mono-appu traté comme tel et le cas mono-appu traté comme un cas partculer du cas mult-appu. L enchaînement des combnasons peut se résumer comme sut : - pour chaque drecton X, pour chaque mode : calcul des réponses drectonnelles modales (combnason sur les appus) : les appus étant supposés corrélés entre eux, on propose une sommaton des valeurs algébrques ou des valeurs absolues ; pour chaque drecton X : calcul de la réponse combnée R X m des oscllateurs modaux (combnason sur les modes) ; calcul du pseudo-mode R X c (correcton statque des modes néglgés, sommaton algébrque sur c les appus des pseudo-modes d appu R Xj ) ; e calcul du mouvement d entraînement R Xj ( sommaton algébrque sur les appus des e mouvements d entraînement d appu R Xj ) ; calcul de la réponse drectonnelle : R X = R X m R X c R X e, calcul de la réponse totale (combnason sur les drectons) Calcul séparé des composantes prmare et secondare de la réponse Chaque composante fat l objet d un tratement séparé smlare. Cette démarche est adaptée aux post-tratements RCC-M en vgueur pour l analyse ssmque des tuyauteres [ 4.9] : Composante prmare R IX (réponse nertelle) L ordre des combnasons à effectuer dffère selon que les exctatons des appus (ou des groupes d appus) peuvent être consdérées comme corrélées ou décorrélées entre elles. - groupes d appus décorrélés pour chaque mouvement mposé s j, calcul des réponses drectonnelles d appu (cumul sur les modes) : m R IjX = R c j R j R j m R j c réponse d appu combnée des oscllateurs modaux (cumul sur les modes) contrbuton de la correcton statque des modes néglgés (pseudo-mode d appu) combnason des réponses R IjX (cumul sur les appus) - appus corrélés pour chaque mouvement mposé s j, calcul des réponses drectonnelles modales (cumul sur les appus) : R IX = R m R c R m R c réponse modale combnée des oscllateurs modaux (cumul sur les appus) contrbuton de la correcton statque des modes néglgés (pseudo-mode) combnason des réponses R IX (cumul sur les modes)

25 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 5/ Composante secondare R II (réponse quas-statque) combnason des réponses R ej Cumul sur les modes Le crtère de chox de la méthode de combnason des contrbutons des modes est le même que pour une exctaton mono-appu et on utlsera préférentellement la méthode CQC Contrbuton du pseudo-mode Le terme correctf par pseudo-mode Cf. [ 4.3.] peut être combné quadratquement Contrbuton des mouvements d'entraînement Le mouvement d'entraînement de la structure n étant pas unforme, on peut rajouter un terme au calcul de la réponse drectonnelle. Cec n'est pas nécessare s l'on chost de consdérer cette contrbuton statque comme un cas de charge spécfque ndusant des contrantes secondares. Ce terme est défn à partr du déplacement relatf maxmal qu ne peut être connu à partr des seuls spectres de pseudo-accélératon absolue des appus. Sj Cumul sur les appus R ej = Sj j max mode statque pour l appu j j max déplacement relatf maxmal de l appu j par rapport à un appu de référence (pour lequel j max = ) Cette étape est oblgatore, mas le chox de la méthode de combnason des réponses drectonnelles reste très ouvert. En effet, l'hypothèse d'ndépendance des s j dépend fortement des modes propres de la structure support de l'équpement étudé. Une analyse du système étudé est nécessare pour éventuellement regrouper les appus par groupes : par exemple, pour une tuyautere relant deux bâtments, sot tous les appus sont consdérés comme corrélés entre eux, sot on peut exhber des groupes décorrélés entre eux (le groupe des appus du bâtment 1, celu du bâtment et, enfn, celu des appus ntermédares), dont les appus à l ntéreur de chaque groupe sont corrélés. Cumul ntra-groupe Les exctatons aux appus d un même groupe étant supposées corrélées entre elles, le cumul est réalsé algébrquement selon la combnason lnéare défne par : R X = R jx Cumul nter-groupe Les groupes d appus étant consttués de telle sorte qu ls soent décorrélés entre eux, le cumul ntergroupe s effectue par combnason quadratque smple.

26 Ttre : Réponse ssmque par méthode spectrale Date : 31/1/11 Page : 6/ Combnason des réponses drectonnelles Deux règles de combnason des réponses drectonnelles sont dsponbles Combnason quadratque Cette combnason correspond à l hypothèse d ndépendance strcte des réponses dans chaque drecton cf. [ 3.3.3]. Rappelons que cette règle de combnason n'a aucune sgnfcaton géométrque, ben que les tros drectons d'analyse soent orthogonales. R= R X R Y R Z Les hypothèses justfant la méthode de combnason quadratque smple, à ce nveau, ne semblent pas devor être remses en cause [bb3], mas cette méthode n'est pas la plus utlsée Combnason de NEWMARK Cette règle de combnason emprque est la plus couramment utlsée et condut en général à des estmatons légèrement plus fortes que la précédente. Elle suppose que lorsque l'une des réponses drectonnelles est maxmale, les autres sont au plus égales aux 4/1 de leurs contrbutons maxmales respectves. Pour chacune des drectons X,Y, Z, on calcule les 8 valeurs : R l =±R X ±,4 R Y ±,4 R Z ce qu condut, par permutaton crculare, à 4 valeurs et R=max R l 4.8 Avertssement sur les combnasons Pluseurs remarques s'mposent pour mettre en garde l'utlsateur sur la façon d'utlser les méthodes de combnason et les grandeurs combnées dans une note d'étude. Remarque 1 : S l'on souhate utlser des combnasons arthmétques (drecton) et des combnasons quadratques (modes), les cumuls quadratques dovent toujours s'effectuer en derner. Remarque : Toute combnason quadratque ne s'applque qu'aux grandeurs pour lesquelles, en valeurs nstantanées, le cumul a le sens d'une somme : combnason des composantes de déplacement, ou effort généralsé ou de contrante de chaque mode propre. La combnason quadratque modale ou drectonnelle ne peut donc s'applquer à des ntenstés de contrante (contrantes prncpales, de Von Mses, de Tresca). Remarque 3 : Les résultats d'une combnason, quelle que sot la règle de cumul, ne dovent pas servr de données pour calculer d'autres grandeurs : par exemple, un déplacement dfférentel entre deux ponts (ou une déformaton) ne peut être calculé qu'à partr des déplacements dfférentels modaux que l'on combne ensute. A fortor les efforts généralsés et les contrantes ne peuvent être calculés que mode par mode avant toute combnason et non à partr de forces d'nertes dédutes des champs d'accélératon obtenus par combnason des accélératons modales.