SÉRIES. Cette question spécifique appelle des résultats spécifiques qui sont l objet du chapitre. u k (n ème reste de la série), alors : lim.

Transcription

1 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI SÉRIES INTRODUCTION AUX SÉRIES. SÉRIE, SOMME, PREMIERS EXEMPLES Défiitio (Série, sommes partielles) Soit(u ). Pour tout, o pose : U partielle). La suite(u ) est appelée la série de terme gééral u et otée u. u ( ème somme Explicatio Ue série est jamais qu ue suite. Dire que la série u coverge (resp. diverge) reviet doc simplemet à dire que la suite des sommes partielles(u ) coverge (resp. diverge), et la ature de la série u est par défiitio sa covergece ou sa divergece. Mais si les séries e sot que des suites, pourquoi se doter d ue théorie des séries? La théorie des suites est-elle pas suffisate? La répose est o. Grade questio de la théorie des suites : à quelle coditio la suite(u ) est-elle covergete? Grade questio de la théorie des séries : à quelle coditio sur la SUITE(u ) la SÉRIE u est-elle covergete? Cette questio spécifique appelle des résultats spécifiques qui sot l objet du chapitre. Défiitio (Somme d ue série covergete, restes) Soit(u ). O suppose que la série + La ite fiie : est otée u et appelée la somme de la série. u Pour tout, si o pose : R + u u + + u coverge. u ( ème reste de la série), alors : R 0. Explicatio Comme das le cas des suites, les premiers termes d ue série ot pas d ifluece sur sa ature, i.e. sur sa covergece ou sa divergece. Ils affectet e revache la valeur de sa somme lorsqu elle est covergete. Défiitio-théorème (Série géométrique) Soit q. q, dite série géométrique de raiso q, est covergete si et seulemet si q <. E outre, das ce cas : + 0 q q. q + Démostratio Pour tout : q si q q + si q. coaissaces sur la ite de la SUITE géométrique(q ). Le résultat découle doc de os

2 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI 2 coverge. E effet Pour tout, posos : U. La suite(u ) 2 est évidemmet croissate, doc pour motrer qu elle coverge, il ous reste à motrer qu elle est majorée. Or pour tout 2 : U ( ) , dite série harmoique, diverge ET POURTANT : 0. E effet Preuve : Pour tout : de somme S, o aurait : , or si la série était covergete S S 0 cotradictio! Preuve 2 : Pour tout x ],+ [ : l(+ x) x, doc pour tout : Aussitôt, par mioratio : l + +, l(+ ) l l(+). doc de ouveau, diverge..2 DIVERGENCE GROSSIÈRE Théorème (Coditio écessaire de covergece d ue série) Soit(u ). Si la série u coverge : u 0. Démostratio Si u coverge, disos vers S : u u u S S 0. Défiitio (Divergece grossière) Soit(u ). O dit que la série u diverge grossièremet si : Das ce cas, u diverge «tout court». u 0. ATTENTION! La réciproque de l implicatio «u coverge u 0» est fausse e gééral. Affirmer le cotraire, c est avouer qu o a ABSOLUMENT RIEN COMPRIS à la théorie des séries. S il suffisait de motrer que : u 0 pour motrer que u coverge, ce chapitre spécifique existerait pas! E résumé : Ue somme ifiie de quatités qui tedet vers 0 peut e pas coverger. Comme o l a vu, la série harmoique diverge ET POURTANT : 0. 2

3 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI.3 LIEN SUITE-SÉRIE Théorème (Lie suite-série) Soit(a ). La SUITE(a ) et la SÉRIE (a + a ) ot même ature. Démostratio Pour tout, par simplificatio télescopique : (a + a )a a 0. Explicatio O peut doc étudier ue suite e se servat des techiques spécifiques de la théorie des séries, ou au cotraire étudier ue série au moye des techiques spécifiques de la théorie des suites. E effet l + diverge. La SUITE(l ) diverge, doc la SÉRIE l(+) l égalemet..4 OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES Théorème (Opératios sur les séries) Soiet(u ),(v ). Pour toutλ, les séries u et (λu ) ot même ature. Si les séries u et v coverget, la série (u + v ) coverge aussi. Si la série u coverge alors que la série v diverge, la série (u + v ) diverge. Démostratio Le résultat est vrai pour les suites, et justemet les séries sot des suites. ATTENTION! Si les séries u et v diverget toutes les deux, o e peut rie dire e gééral de (u + v ). Par exemple, la 2 série diverge, doc la série : + aussi, mais la série : 0 coverge. Si les séries u et v coverget, o e peut rie dire e gééral de la série u v. Nous verros plus tard ( ) ( ) que la série coverge, et pourtat la série : ( ) diverge..5 COMPARAISON SÉRIE-INTÉGRALE Nous avos déjà pratiqué pas mal les comparaisos série-itégrale, otammet au chapitre «Aalyse asymptotique de iveau 2». E résumé, il s agit de comparer la somme f() à l itégrale f(t) dt pour ue foctio MONOTONE f ( +,) doée. 0 Défiitio-théorème (Séries de Riema) Soitα., qu o appelle ue série de Riema, coverge α si et seulemet si : α>. 3

4 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI Démostratio Siα0: α 0 doc la série diverge grossièremet. Nous supposeros α désormaisα>0. La foctio t t α est das ce cas cotiue et décroissate sur +, doc pour tout : (+ ) α t α α, puis par croissace de l itégrale : (+ ) α Cas oùα ]0,[ : Pour tout : comme α>0 : Cas oùα: Pour tout : mioratio : α + dt t α + + dt t α α. dt (+) α t α α α+ par mioratio. α diverge. + dt t + dt t α l(+), + ouvelle preuve que la série harmoique diverge. +, doc doc par Cas oùα>: Pour tout : α doc la suite α est croissate. Pour motrer qu elle coverge, d après le théorème de la ite mootoe, il ous reste à motrer qu elle est majorée. Or c est le cas car pour tout, sachat queα > 0 : α + (+ ) α + + α (+) α 0, dt tα + tα + α (α )α + α. l diverge. E effet La foctio t est cotiue et décroissate sur],+ [ comme o le vérifie aisémet, doc t l t + pour tout 2: l dt + l dt t l t dt l l l l 2. O coclut t l t par mioratio : l SÉRIES À TERMES POSITIFS O étudie à préset les séries dot le terme gééral est positif sous-etedu : ou ul. Ce qui est vrai de ces séries serait e fait vrai des séries dot le terme gééral est égatif ou ul. L essetiel est doc, das ce paragraphe, que le terme gééral soit DE SIGNE CONSTANT et même À PARTIR D UN CERTAIN RANG. ATTENTION! Quad vous utilisez les théorèmes de ce paragraphe, vérifiez bie la positivité des suites étudiées! Théorème (Adaptatio aux séries du théorème de la ite mootoe) Soit(u ) POSITIVE. coverge si et seulemet si elle est majorée. u + Démostratio La suite u est croissate car pour tout : u u u + 0. coverge doc e effet si et seulemet si elle est majorée d après le théorème de la ite mootoe. Elle 4

5 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI Théorème (Comparaiso par des iégalités) Soiet(u ),(v ). O suppose que : 0u v pour tout e tout cas à partir d u certai rag. (i) Si la série v coverge, la série u coverge aussi. (ii) Si la série u diverge, la série v diverge aussi. Démostratio Pour tout : u v. (i) Si la série v coverge, la série u est majorée, doc coverge d après le théorème de la ite mootoe pour les séries à termes positifs. (ii) Si la série u diverge : u + d après le théorème de la ite mootoe pour les séries à termes positifs, doc : v + par mioratio, doc la série v diverge. 2 (2+si ) coverge. E effet Pour tout : 0 2 (2+si ), doc comme la série de Riema 2 coverge 2 (2>), la série coverge aussi d après le théorème de comparaiso par des iégalités. 2 (2+si ) e cos diverge. E effet Pour tout : 0 e ecos, doc comme la série diverge aussi d après le théorème de comparaiso par des iégalités. e cos diverge, la série Théorème (Comparaiso par des équivalets) Soiet(u ),(v ). O suppose que ces suites sot POSITIVES e tout cas à partir d u certai rag et que : u v. Les séries u et v ot alors même ature. ATTENTION! O a vite fait d oublier l hypothèse fodametale de POSITIVITÉ! Démostratio série v coverge, la série La relatio d équivalece sur les suites état symétrique, il ous suffit de motrer que si la u u coverge aussi. Or par hypothèse : doc : u v v < 2 v coverge, à partir d u certai rag, ou ecore : 0u 2v. Par comparaiso du coup, si la série la série u coverge aussi. 2 + coverge. E effet Cette série est à termes positifs et : coverge (3>), c est aussi le cas de la série Comme la série de Riema 3 5

6 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI Il existe u réelγ, appelé costate d Euler, pour lequel : l +γ+o(). E effet Posos pour tout : a l. Nous souhaitos prouver que la SUITE(a ) coverge. E vertu du lie suite-série, il ous suffit pour cela de motrer que la SÉRIE (a + a ) coverge. Rappelos au passage que : l(+ x) x x2 x o x 2. Du coup pour tout : + a + a l(+) l Cet équivalet prouve d abord que la série l(+) l + + l + 2(+) 2 (a + a ) est à termes positifs à partir d u certai rag e fait dès le rag, mais peu importe mais aussi, puisque la série de Riema coverge (2>), que 2 la série (a + a ) coverge aussi par comparaiso. Coclusio : la suite(a ) coverge CONVERGENCE ABSOLUE ET SÉRIES ALTERNÉES 3. CONVERGENCE ABSOLUE Défiitio (Covergece absolue) Soit(u ). O dit que la série coverge absolumet si la série u coverge. u est absolumet covergete ou qu elle ( ) 2 coverge absolumet car la série de Riema coverge (2>). 2 Ue questio se pose aturellemet après cette défiitio ue série absolumet covergete est-elle covergete? et la répose est oui. u coverge absolu- Théorème (La covergece absolue implique la covergece) Soit(u ). Si la série met, elle coverge «tout court». Démostratio Cas où(u ) est réelle : Comme : 0u + u 2 u pour tout et comme la série u coverge par hypothèse, le théorème de comparaiso par des iégalités motre que la série u + u coverge. Par différece, la série u coverge à so tour. Cas gééral : Comme 0 Re(u ) u et 0 Im(u ) u pour tout, le théorème de comparaiso par des iégalités motre que les séries Re(u ) et Im(u ) coverget toutes les deux. Les séries Re(u ) et Im(u ) coverget doc d après le premier poit. Par combiaiso liéaire, la série : u Re(u )+i Im(u ) coverge à so tour. 6

7 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI ( ) 2 + coverge. ( ) E effet Il ous suffit de motrer que la série 2 + coverge absolumet, i.e. que la série 2 + coverge. Or c est le cas d après le théorème de comparaiso par des iégalités car : tout et car la série de Riema coverge (2>). 2 pour ATTENTION! La réciproque du théorème précédet est FAUSSE! Ue série peut coverger sas coverger absolumet. C est le cas de la série ( ) 2 o dit qu elle est semi-covergete. pour tout 2et comme la série harmoique diverge, la série 2 Comme diverge d après le théorème de comparaiso par des iégalités. 2 Pour tout 2: ( ) si est pair 2 0 si est impair. que : ( ) 2 0, doc la série ( ) 2 coverge. 2 Il e découle Défiitio (Semi-covergece) Soit(u ). O dit que la série u est semi-covergete si elle est covergete mais PAS absolumet covergete. 3.2 COMPARAISON PAR DES GRANDS O Théorème (Comparaiso par des grads O) Soiet(u ) et(v ). O suppose que(v ) est POSITIVE, que : u O(v ) et que la série v coverge. Das ces coditios, la série u coverge absolumet doc coverge. E pratique Rappelos que si : u o(v ), alors : u O(v ). Le théorème de comparaiso par des grads O est aisi souvet utilisé avec des petits o sas qu o pree la peie de reveir à des grads O. E particulier, comme la série de Riema coverge pour toutα>, il est courat qu o utilise la forme α suivate du théorème de comparaiso par des grads O : Si : α u 0 pour u certaiα>, la série u coverge absolumet doc coverge. Démostratio Par hypothèse, il existe u rag N et u u réel K> 0 tels que pour tout N : u K v, i.e. : 0 u K v, ce qui ous ramèe simplemet au théorème de comparaiso par des iégalités. e cos coverge. 3 e cos e cos e cos E effet Pour commecer : 3 5, doc : 2 3 O. Or la série de 2 e cos Riema est à termes positifs et coverge (2>), doc la série coverge aussi d après le 2 3 théorème de comparaiso par des grads O. 7

8 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI 3.3 RÈGLE DE D ALEMBERT Le résultat suivat est hors programme e MPSI, mais vous l étudierez e deuxième aée. Théorème (Règle de d Alembert) Soit(u ). O suppose que u 0 pour tout e tout cas à partir d u certai rag. (i) Si : u + u <, la série u coverge absolumet doc coverge. (ii) Si : u + >, la série u diverge grossièremet doc diverge. u ATTENTION! La règle de d Alembert e ous dit RIEN si : le cas douteux de la règle de d Alembert. u + u. Ce cas ite est appelé souvet Démostratio Faisos l hypothèse que la ite u + u existe et otos-lal. La preuve qui suit cosiste à COMPARER LA SÉRIE u À UNE SÉRIE GÉOMÉTRIQUE dot ous maîtrisos parfaitemet la ature. (i) Cas oùl<: Posos : ǫ l de maière à avoir : 0l<l+ǫ<. O peut affirmer que : 2 u + u <l+ǫ à partir d u certai rag N, et doc que pour tout N : u + u (l+ǫ) + (l+ǫ). u Décroissate positive, la suite est alors borée, doc : u (l+ǫ) O (l+ǫ). Or la N série géométrique (l+ǫ) coverge car : 0l+ǫ<, doc la série u coverge absolumet d après le théorème de comparaiso par des grads O. (ii) Cas oùl> : À partir d u certai rag : u + u, doc la suite u est croissate et N strictemet positive par ailleurs doc : u 0. u diverge grossièremet. E pratique Le calcul de u + u est plus facile à faire si la suite(u ) est défiie à l aide de produits et de quotiets. O peut otammet espérer des simplificatios au umérateur et au déomiateur das ce cas. (+) coverge d après la règle de d Alembert car : avec <. O est bie sûr pas obligé d utiliser ici la règle de d Alembert, o peut aussi remarquer que : 4 3 O 2 par croissaces comparées et coclure à l aide du théorème de comparaiso par des grads O. z coverge pour tout z.! O défiit souvet la foctio expoetielle comme la somme de cette série, de sorte que pour tout z : e z L itérêt de cette défiitio est qu elle ous doe directemet ue défiitio sur tout, et o pas ue défiitio surqu o devrait compléter esuite par ue expoetielle «iθ» à base de sius et cosius comme ous l avos fait e début d aée. E réalité, c est plutôt les foctios sius et cosius qu o pourrait défiir esuite à partir de l expoetielle complexe et même le ombreπ! + La difficulté bie sûr, c est que la défiitio «e z z!» e ous dit pas immédiatemet que pour tous z,z : e z+z e z e z, 0 i que la foctio x e x est dérivable surde dérivée elle-même. Vous verrez cela l a prochai. + 0 z!. 8

9 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI z + z E effet Soit z. Si z 0, la série coverge, et sio : (+)!! z z +! z la série coverge absolumet d après la règle de d Alembert doc coverge.! 0, doc 3.4 SÉRIES ALTERNÉES La défiitio et le résultat suivats sot hors programme e MPSI, mais vous les étudierez e deuxième aée. Défiitio costat. (Série alterée) O appelle série alterée toute série de la forme ( ) a avec(a ) de sige ( ) Les séries ( ) e et 2 + sot alterées. Théorème (Théorème des séries alterées) Soit(a ) DÉCROISSANTE DE LIMITE NULLE. alterée ( ) a coverge. Démostratio Posos, pour tout : S ( ) a. Nous allos motrer que les suites(s 2 ) et(s 2+ ) sot adjacetes, cela motrera qu elles sot covergetes de même ite d après le théorème des suites adjacetes, et doc que la SUITE(S ) coverge d après le théorème des suites extraites. Comme voulu, o aura prouvé que la SÉRIE ( ) a coverge. Or par hypothèse : S 2+ S 2 ( ) 2+ a 2+ a Esuite, la suite(s 2) est décroissate car pour tout : S 2(+) S 2 ( ) 2+ a 2+ +( ) 2+2 a 2+2 a 2+2 a 2+ 0, et la suite (S 2+ ) est croissate pour ue raiso aalogue. ( ) Défiitio-théorème (Séries de Riema alterées) Soitα., qu o appelle ue série de Riema α alterée, coverge si et seulemet siα>0. Explicatio ( ) Pourα ]0,], la série est semi-covergete elle coverge, mais pas absolumet. α ( ) Démostratio Siα0, la série diverge grossièremet. Si au cotraireα>0, la suite α α ( ) est décroissate de ite ulle, doc la série coverge d après le théorème des séries alterées. α E pratique Il e faut pas toujours vouloir appliquer le théorème des séries alterées directemet, u mélage de techiques est souvet préférable. Étudiez attetivemet l exemple qui suit. Les développemets ités permettet de casser ue suite e morceaux pour lesquels il est facile de savoir si les séries associées coverget ou diverget. 9

10 Christophe Bertault Mathématiques e MPSI ( ) coverge si(l ) E effet La mootoie de la suite e semble pas simple à étudier, le théorème des si(l ) séries alterées e ous sera doc pas utile directemet. Petit rappel : +u u+o(u) +O(u). u 0 u 0 ( ) ( ) si(l ) 3 si(l ) ( ) +O ( ) Or la série de Riema alterée coverge car 3 4 > 0, et la série de Riema 3 4 ( ) + O aussi car 5 4 >, ( ) doc par somme, grâce au théorème de comparaiso par des grads O, la série coverge si(l ) absolumet doc coverge. E effet ( ) +( ) diverge. La mootoie de la suite +( ) alterées e ous sera doc pas utile directemet. Petit rappel : ( ) +( ) ( ) + ( ) 2 e semble pas simple à étudier, le théorème des séries ( ) ( ) + O +u u 0 u+u2 +o u 2 u 0 u+o u 2. ( ) + O 3 2. Or la série de Riema alterée ( ) coverge car 2 > 0 et la série de Riema 3 2 aussi car 3 2 >, tadis que la série harmoique diverge, doc par somme, grâce au théorème de comparaiso par des ( ) grads O, la série diverge. +( ) ATTENTION! Le théorème de comparaiso par des équivalets requiert la POSITIVITÉ des suites e présece mais ( ) ous avos pas doé de cotre-exemple jusqu ici. Tout simplemet, la série de Riema alterée coverge car 2 > 0, et par ailleurs : ( ) +( ), pourtat la série ( ) +( ) diverge d après l exemple précédet. 4 RÉCAPITULATIF DES TECHNIQUES u 0 (divergece grossière) u a u sige costat Techiques de comparaiso DE CONVERGENCE E pratique Le schéma ci-cotre rassemble et ordoe les résultats de covergece de ce chapitre. Il mérite u sérieux coup d œil même si, comme souvet e mathématiques, ces résultats NE PERMETTENT PAS DE CONCLURE DANS TOUS LES CAS. u 0 u a pas u sige costat u coverge absolumet u est alterée 0