Séries à termes positifs

Transcription

1 UFR SFA, Licece 2 e aée, MATH326 Séries à termes positifs Das ce chapitre, u Ø 0, pour tout, et o étudie q u. O a S S = u Ø 0 : (S ) est croissate!. Gééralités. Propositio. Soit (u ) Ø0 ue suite de réels positifs. q u coverge ssi les sommes partielles sot majorées i.e il existe K Ø 0 tel que ÿ Ø 0, S = u k = u u Æ K k=0 Si u Ø 0 et q u diverge o a S æ +Œ : o écrit parfois q Ø0 u =+Œ. Théorème (Comparaiso). Soiet q u et q v deux séries à termes positifs telles que, pour tout Ø 0, 0 Æ u Æ v.. Si q v cv, alors q u cv et 0 Æ q Ø0 u Æ q Ø0 v. 2. Si q u dv, alors q v dv. Remarque. Il su t d avoir l iégalité 0 Æ u Æ v vérifiée pour tout Ø 0, pour obteir la coclusio du théorème. Démostratio. O a S = q 0ÆkÆ u k Æ T = q 0ÆkÆ v k Si (T ) est majorée, il e va de même de (S ) Si (S ) est pas majorée, (T ) e l est pas o plus 202/203 : fi du cours 3 Remarque. Retour sur ACV implique CV Cas u réel. Notos v = u u. D après l iégalité triagulaire, v = v Æ2 u. q v cv. Comme u = u v, q u est covergete. Cas u œ C : u = a + ıb.oa a Æ u et b Æ u. q a et q b sot ACV. Pas fait Ph. Briad, 202/203

2 Corollaire. Soiet (u ) à termes positifs et (v ) à termes strictemet positifs.. Si lim u v = l>0 alors q u et q v ot même ature. 2. Si lim u v =0et q v cv alors q u cv. u Démostratio.. Il existe 0 tq, pour Ø 0, - l - v Æ l 2 soit u l 2 Æ v 3l Æ u Il exite 0 tq, pour Ø 0, u Æ v. Bie peser aux équivalets pour les séries à termes positifs! Exemple.. u =, v 2 = ( +). lim u =: q v cv doc q u cv. v 2. u = 3, v = l + 4 : q v dv doc q u dv 3. u = 3, v = 2. O viet de voir que q v cv ; par suite, q u cv 2. Comparaiso à ue série géométrique. Théorème (Règle de d Alembert). Soit q u ue série à termes strictemet positifs. O suppose que lim u + u = l.. Si l<, la série q u coverge ; 2. si l>, la série q u est GDV Si l =o e peut rie dire! ı u =/ : q u dv ı u =/ 2 : q u cv Démostratio. O écrit, pour Ø 0, u = u u u u 2... u 0 + u 0 u 0. Das le premier cas, il existe 0 et k< tels que, pour tout Ø 0, u + u Æ k, et u Æ k 0 u 0. Das le secod cas, il existe 0 et k> tels que, pour Ø 0, u + /u Ø k et u + u Æ k, et u Ø k 0 u 0 Ø u 0 > 0. 2

3 Exemple. Étude de la série de t.g. u = 2 x. Si x =0, u =0! Rie à faire! Pour x = 0, Il e s agit pas écessairemet d ue série à termes positifs. O regarde l ACV : o a lim u + = x ; d après la règle de d Alembert u ı Si x <, la série q u est ACV ı Si x >, q u est GDV doc q u est aussi GDV ı Si x =, o e peut pas coclure. Mais u = 2 æœdoc q u est GDV Théorème (Règle de Cauchy). Soit q u ue série à termes positifs ou uls. O suppose que lim Ô u = l.. Si l<, q u est covergete 2. Si l>, q u est GDV Rappel, si u > 0, Ô u = u / = e l(u)/. Démostratio.. Il existe 0 et k< t.q. pour Ø 0, Ô u Æ k soit u Æ k. 2. Il existe 0 et k> t.q. pour Ø 0, Ô u Ø k soit u Ø k æ +Œ. O utilise cette règle quad u comporte des puissaces -ièmes. Exemple. Étude de la série de t.g. u = x /. Ce est pas ue série à termes positifs, o étudie d abord l ACV. O a Ô u = x / æ 0. D après le critère de Cauchy, la série q u est ACV. 3. Comparaiso à ue série de Riema. Défiitio. Soit u réel. La série de terme gééral s appelle la série de Riema. Théorème. La série de tg est covergete ssi >. Démostratio. Si Æ 0, Si 0 <Æ. Pour tout Ø, e ted pas vers 0 : la série est GDV = Ø, Nous avos vu que ÿ dv il e va de même de ÿ 3 Æ.

4 Soit >. Cosidéros la foctio f(x) = défiie sur ]0, +Œ[. L égalité des AF x doe, pour tout Ø 2, l existece d u c tel que <c<et f() f( ) = ( ) () =( ( ))f Õ (c) = Ø c ı Puisque > 0, lim =0, la série télescopique de t.g. ( ) coverge. ı Il e va de même de la série de t.g. ı Par coséquet la série ÿ est cv si >. Il faut coaître le résultat sur les séries de Riema par cœur!! Critère de Riema. Soit q u ue série à termes positifs ou uls et soit Ø 0.. Si lim u = l>0, q u cv ssi >. 2. Si > et lim u =0, q u cv. 3. Si lim u =+Œ, q u est divergete. 202/203 : fi du cours 4 Démostratio. Csq du théorème de comparaiso! ı Cas : q u et q ot même ature ı Cas 2 : pour Ø 0, u Æ. ı Cas 3 : pour Ø 0, u Ø. Exemple.. Étude de la série de t.g. u = 2 u = e2l = e l (2 l(l )) æ 0 ; e l l(l ) q u est covergete puisque 2 > (l ) l 2. Série harmoique alterée O étudie la série de terme gééral u = ( ).Oa, pour tout Ø, S 2 = = ÿ 4 k= 3 2k + 4 = 2k ÿ k= 2k(2k ).

5 2 Puisque 2(2 ) æ 4, le critère de Riema motre que S 2 coverge vers l œ R. D autre part, ous avos, pour Ø, S 2+ = S æ l Comme (S 2 ) et (S 2+ ) coverge vers l, lim S = l. La série ÿ ( ) est covergete. Comme d autre part, ÿ ( ) - = ÿ est divergete, la série harmoique alterée est ue série semi-covergete. O verra que la valeur de la somme est l(2). 4. Comparaiso à ue itégrale. Soit 0 œ N et f :[ 0, +Œ[ æ R ue foctio positive et décroissate. Pour Ø 0, o ote ÿ S = f(k), F = k= 0 0 f(t) dt. ı (S ) Ø0 et (F ) Ø0 sot croissates et positives. Soit k Ø 0. Puisque f est décroissate, t œ [k, k +], f(k +)Æ f(t) Æ f(k), et, e itégrat, f(k +)= k+ k f(k) dt Æ k+ k f(t) dt Æ f(k) = k+ O fait la somme de ces iégalités de k = 0 à k =, pour obteir f( 0 +)+...+ f() Æ soit ecore, puisque f est positive, k f(k) dt 0 f(t) dt Æ f( 0 )+...+ f( ), S f( 0 ) Æ F Æ S f() Æ S E résumé, pour tout Ø 0, F Æ S Æ F + f( 0 ). (*) Propositio. Soiet 0 u etier et f :[ 0, +Œ[ positive et décroissate. La série q f() coverge ssi la suite (F ) Ø0 coverge. Comme f est positive, (F ) Ø0 est croissate 5

6 Doc (F ) Ø0 coverge ssi elle est majorée! Démostratio. (S ) et (F ) sot croissates Via (*), (S ) est majorée ssi (F ) l est Exemple. Motros que q coverge pour >. x æ est positive et décroissate sur [, +Œ[ et F = Comme >, F æ. t dt = 2 = 3 4 Séries de Bertrad. O étudie la série de t.g. u = Si >, =(+)/2 > et u = de Riema Si <, u = Cas = ı Æ 0 : u Ø et q u dv (l ) pour et réels. ( )/2 (l ) æ 0 : q u cv d après le critère (l ) æ +Œ : q u dv d après le critère de Riema. ı > 0 : la foctio x æ x(l x) q +Œ u a même ature que F (x) = x 2 2 dt l t(l t) = x ds l 2 s = ı > 0 : F est majorée ssi >. E coclusio,. > : ÿ (l ) coverge pour tout 2. < : ÿ (l ) diverge pour tout 3. =: ÿ (l ) coverge ssi > est positive et décroissate sur [2, +Œ[. La série dt t(l t). Or pour tout x Ø 2, t = es, Y ] l l x l l 2, 2 si =, [ (l x) (l 2), si = > 0 6