Séries d exercices Denombrement { } Maths au lycee *** Ali AKIR Site Web : 3 ème Maths

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1 Séries d exercices Deomremet 3 ème Maths Maths au lycee *** Ali AKIR Site We : htt://maths-akir.midilogs.com/ EXERCICE N Soit E l esemle des etiers tels ue. Pour tout etier, o ote ar M ( ) l esemle M( ) = E tel ue est u multile de { } )Calculer card M(5 ), card M(7 ), card M(5 ) et card M(7 ) )Défiir l esemle M(5 ) M(7 ) et calculer cardm(5 ) M(7 ) 3 )Calculer le omre d élémets de E ui sot divisile soit ar 5, soit ar 7. 4 ) Calculer le omre d élémets de E ui e sot divisile i ar 5, i ar 7. 5 )Justifier our uoi : card M( ) M(4 ) = card M(4 ) EXERCICE N Das u classe de 3 ème Maths de 3 élèves, il y a 7 élèves aimet le maths, élèves aimet le hysiue et élèves aimet le deux. O ote ar : M : «Les élèves ui aimet le maths» P : «Les élèves ui aimet le hysiue» )Calculer les omres des élèves ui aimet soit le maths, soit le hysiue. ) Calculer les omres des élèves ui aimet le maths seulemet. 3 ) Calculer les omres des élèves ui aimet le hysiue seulemet. 4 ) Calculer les omres des élèves ui aimet, i le maths, i le hysiue. EXERCICE N 3 Parmi les élèves de classe 3 ème Maths, aimet le maths, 4 aimet le hysiue, aimet l aglais, 9 aimet le maths et le hysiue, 5 aimet le maths et l aglais, 7 aimet le hysiue et l aglais et aime les trois. Comie y a t-il doc d élèves das cette classe. EXERCICE N 4 O aelle aagramme d u mot, chacu des «mots», ayat u ses ou o, ue l o eut former avec lettres de ce mot lacées à la suite les ue des autres de toutes les faços ossiles. ) Comie y a-t-il d aagrammes du mots «Maths» )Comie y a-t-il d aagrammes du mots «Mathématiues» 3 ) Comie y a-t-il d aagrammes du mots «MATHEMATIQUES» 4 )Comie eut-o former de mots de 4 lettres disticts a, k, i, r das lesuelles les voyelles a et i e sot as voisies? 5 )O admet ue le mot le lus log est ''aticostitutioellemet'' Comie la lague fraçaise cotiet-elle au maximum de mots? EXERCICE N 5 Partie O veut former des omres à ci chiffres distict avec les chiffres :,,3,4,5 a- Comie de omre disticts eut-o aisi former? - Comie de omre disticts eut-o former tel ue le chiffre des uités est 3 c- Comie de omre disticts eut-o former tel ue le omre soit air. Partie Faire le même travail avec le chiffre :,,, 3, 4 Partie 3 O veut former des omres à ci chiffres distict avec les chiffres :,,,3,4,5,6,7,8,9 a- Comie de omres disticts eut-o aisi former? - Déomrer les cas assile si : i- Le chiffre des uités est u omre remier. ii- Le omre formé est air. iii- Le omre formé comred le chiffre. Partie 4 O veut former des omres à ci chiffres avec les chiffres :,,,3,4,5,6,7,8,9 Faire le même travail de uestio artie 3 EXERCICE N 6 Ue ure cotiet 49 oules umérotés de à 49. O tire successivemet 6 oules, sas remise. )Comie y-a t'il de tirages ossiles? )Comie y-a t'il de tirages ui cotieet 3 uméros airs et 3 uméros imairs, 3 ) Comie y-a t'il de tirages ui cotieet au mois 5 uméros airs?

2 EXERCICE N 7 U sac cotiet 9 jetos réartis comme suit : uatre jetos lacs marués:,,, 6 et ci jetos rouges marués :,,,3, 4 Partie I. O tire simultaémet 3 jetos du sac. )Déomrer les tirages ossiles )Déomrer les tirages comreat : a- Trois jetos rouges - Au mois u jeto lac c- 3 jetos dot la somme des uméros marués est égale à 8. d- U jetos et u seul lac et u jeto et u seul ortat u uméro multile de 3. e- Deux oules ortat le et ue seul oule ortat le. Partie II. O tire successivemet sas remise 3 jetos du sac. Déomrer les tirages das chacu des cas suivats : )Le remier jeto tiré orte le uméro. )Oteir u seul jeto marué. 3 )Le remier jeto tiré est lac et le deuxième jeto tiré est marué. Partie III. Meme uestios II, o tire successivemet et avec remise 3 jetos du sac. EXERCICE N 8 O cosidère les chiffres :,, 3, 4,5,6. )O veut costituer u omre de 3 chiffres disticts. a) Comie de omres disticts eut-o réaliser? ) Comie de omres airs disticts eut-o réaliser? )A l aide de ces chiffres, comie eut-o former de omres de 3 chiffres écrits avec chiffres disticts,l u d eux état réète fois. 3 ) A l aide de ces chiffres, comie eut-o former de omres de 4 chiffres écrits avec chiffres disticts. EXERCICE N 9 Ue ure cotiet douze oules :ci laches, uatre oires et trois verts. O tire maiteat successivemet sas remise uatre oules de l'ure. Détermier le omre de tirages comreat )Exactemet deux oules laches. )Au mois ue oule oire. 3 )Au lus ue oule lache. 4 )Ue seule couleur. 5 )Les trois couleurs. 6 )Exactemet deux couleurs. 7 )La remière oule lache est la deuxième tirée. 8 )La remière oule tirée est lache. 9 )La deuxième oule tirée est oire. )La troisième oule tirée est verte. EXERCICE N Ue ure cotiet douze oules : set rouges umérotées :,7,7,8,8,8,9 et ci oires umérotées :,,7,8,9. )O tire simultaémet ci oules de l'ure. Détermier le omre de tirages comreat : a) Des oules de même couleur. ) Des oules ortat des uméros dot la somme est aire. )O tire maiteat successivemet sas remise uatre oules de l'ure. Détermier le omre de tirages où: a) Les uatre uméros sot oteus. ) Ue oule rouge ortat u uméro air aairait our la remière fois au troisième tirage. c) Ue oule rouge ortat le uméro 7 aaraît our la derière fois au deuxième tirage. d) Si les uatre oules tirées sot osées ar ordre du uméro du tirage e lige et de gauche à droite de faço à former u omre. Quelle est le omre de tirages ermettat de former: i) Le omre 8 ii) iii) U omre de uatre chiffres. Le omre 88 où les couleurs sot alterées. EXERCICE N (le rolème de Galilée) Le duc de Toscae demada u jour à Galilée : «ouruoi, lorsu o effectue trois lacers d u dé, otiet-o lus souvet la somme ue la somme 9, ie ue ces deux sommes soiet oteues chacue de six faços différetes : 9=++6=+3+5=+4+4=++5=+3+4=3+3+3 et =+3+6=+4+5=++6=+4+4=+3+5=3+3+4?». la réose ue fit Galilée : «l évèemet : la somme est 9 est formé de 5 issues favorales et l évéemet :"la somme est "est formé de 7 issues favorales.» Justifier la réose de galilée. EXERCICE N O fait tourer 5 disues à 6 secteurs chacu umérotés de à 6 our oteir u omre à 5 chiffres. )Déomrer tous les résultats ossiles. )Comie de omres e comreat as le chiffres eut-o oteir.

3 3 )Comie des omres comreat au mois 3 fois le chiffre eut-o oteir. EXERCICE N 3 O jette 3 dés de couleurs différetes mais idetiues, et o lit les faces suérieurs de chaue dé.. Déomrer tous les résultats ossiles.. Déomrer les résultats comortat u seul Déomrer les résultats comortat exactemet deux Déomrer les résultats e comortat aucu Déomrer les résultats formés de trois chiffres différets. EXERCICE N 4 U groue de ersoes comred : ci ersoes de groues sagui A ; trois ersoes de groues sagui B et deux ersoes de groues sagui O. Partie I. O choisit au hasard 4 ersoes. Déomrer les ossiilités comreat : )Exactemet ersoes de groue sagui B. )Au mois ersoes de groues sagui B. 3 )Au lus ue ersoe de groue sagui O. 4 )Les trois tyes de groues saguis. Partie II. Les dix ersoes sot malades. O disose de trois médecies X, Y et Z. Chaue malade aelle au hasard u médeci et u seul. )Déomrer tous les cas ossiles. )Parmi les ersoes il y a 3 frères. Déomrer les ossiilités das chacu des cas suivats : a- Les 3 frères aellet le même médeci - Les 3 frères aellet des médeci deux à deux différets. 3 ) Déomrer les ossiilités das chacu des cas suivats : a- Le médeci X reçoit exactemet 4 aels - Les malades aellet le même médeci. c- Les 3 médecis sot aelés. EXERCICE N 5 Ue lasse de garços et 8 filles décide de moter ue ièce de théâtre comreat 3 rôles masculis et deux rôles fémiis. )O choisit au hasard 3 garços et deux filles our former ue troue. a) Comie y a t il de troues ossile?. ) Ue fois cette troue choisie, de comie de faços eut-o distriuer les rôles(ceci sera aelé distriutios). )Zakaria et Yasamie fot artie de la classe. a) Quel est le omre de distriutios où Yasamie joue das la ièce? ) Quel est le omre de distriutios où Zakaria et Yasamie jouet esemle? c) Quel est le omre de distriutios où i Zakaria i Yasamie e jouet das le ièce? EXERCICE N 6 O disose de ci casiers umérotés :,, 3, 4 et 5 et de trois oules ortat les lettres a, et c. O rage les trois oules das les ci casiers. Chaue oule va das u casier et chaue casier eut coteir aucue oule, ue oule,ou lusieurs oules. )Comie y a-t-il de ragemets ossiles? )Comie y a-t-il de ragemets our lesuels chaue casier cotiet au lus ue oule?. 3 ) Comie y a-t-il de ragemets our lesuels le casier cotiet oules et le casier ue? 4 ) Comie y a-t-il de ragemets our lesuels le casier e cotiet aucue oules? 5 ) Das cette uestio o suose ue chaue casier e eut coteir lus d'ue oule. a) Comie y a-t-il de ragemets ossiles? ) Comie y a-t-il de ragemets our lesuels le casier est vide? EXERCICE N 7 U sac cotiet oules oires et oules laches. O tire simultaémet oules du sac avec, les tirages ot suosées éuiroales. )Déomrer les tirages comortat zéro oules oires, ue oules oire, oules oires, 3 oules oires,.., oules oires. )E déduire ue : C C + C C + C C C C = C + 3

4 EXERCICE N 8 )A l aide de formule du iôme, démotrer ue : )Calculer de même : o = C C ( ) C. 3 )Calculer e foctio de : s = C + C C et t = C + C C 4 )E déduire e foctio de la valeur de z = C + C C EXERCICE N 9 Démotrer les relatios suivates : ) C = C + C +... C où ) C + = C + C C où EXERCICE N + )Utiliser l idetité : ( ) ( ) ( ) + C = C C + C C C = C + 6C ( ) C. + x + x = + x, où et sot deux etiers aturels, our démotrer ue : )E déduire ue : ( ) ( ) ( ) C = C + C +... C C + EXERCICE N E =,,,..., où u etier aturel o ul. Soit l esemle { } )Comie y a il de coules (x, y) d élémets de E avec x < y? Déduisez-e ue : ) Comie y a il de trilets (x, y, z ) d élémets de E avec x < y < z? EXERCICE N O cosidère des grilles de mots croisés coteat 5 cases, laches ou oirs. Comie de grilles cotieet 5 cases oires? cases laches? = C + EXERCICE N 3 )Comie y a t il de trajectoires ui vot de A vers B e suivat le uadrillage. (o autoriser ue deux directios : vers le haut et vers la droite) )Comie y a t il de trajectoires ui vot de A vers B assat ar C I II III IV V EXERCICE N 4 (U) N est ue suite arithmétiue de remier terme U et de raiso r. Soit k est u etier aturel, o ose : k A k = ( C ) et B k = U ( C ) = = )Démotrer ue : B k = U ( C ) = )E déduire ue : Bk=(U+r)Ak. 3 )Calculer A, A, B et B. k 4 )E déduire ue : = ( C ) = k C. k 4

5 EXERCICE N 5 O disose de ci casiers umérotés :,, 3, 4 et 5 et de trois oules ortat les lettres a, et c. O rage les trois oules das les ci casiers. Chaue oule va das u casier et chaue casier eut coteir aucue oule, ue oule,ou lusieurs oules. )Comie y a-t-il de ragemets ossiles? )Comie y a-t-il de ragemets our lesuels chaue casier cotiet au lus ue oule?. 3 ) Comie y a-t-il de ragemets our lesuels le casier cotiet oules et le casier ue? 4 ) Comie y a-t-il de ragemets our lesuels le casier e cotiet aucue oules? 5 ) Das cette uestio o suose ue chaue casier e eut coteir lus d'ue oule. c) Comie y a-t-il de ragemets ossiles? d) Comie y a-t-il de ragemets our lesuels le casier est vide? 5

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