Sommaire. Introduction. Déroulement de l épreuve Introduction : 1.0. : 1.2. Test triangulaire : Généralités

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1 .0. :.. Itroductio : Sommaire. Éreuves Discrimiatives.. Itroductio.. Test triagulaire Gééralités Estimatio Test exact de discrimiabilité Test aroché de dicrimiabilité Extesios.. Éreuve à choix forcés k-fc Gééralités Heuristique.4. Méthode Séquetielle de Wald.5. Éreuve d aariemet Gééralités Test d idiscerabilité globale Test de cofusio de deux des roduits Problématique : Parveir à décider, sur la base des résultats d ue exériece sesorielle, si ue différece sesorielle est ou o détectable etre ou lus gééralemet stimuli. Questio : la différece existe-t-elle? Exemles : S assurer qu ue substitutio d igrédiets das ue recette est idiscerable e.g sucre ou asartame das u chocolat. S assurer qu ue substitutio d igrédiets das ue recette est bie discerable e.g le remlacemet du karité ar le beurre laitier das u biscuit sera-t-il détecté? S assurer qu u testeur est caable de discerer ue uace. Éreuves triagulaires alterative à choix libre ou forcé Savoir s il existe globalemet des différeces sesorielles etre variates d u roduit e.g 4 comositios de galettes bretoes sot-elles discerables?. Éreuves d aariemet. 0/6 /6.. Test triagulaire : Gééralités.. Test triagulaire : Gééralités Itroductio Déroulemet de l éreuve Objectifs : Tester au choix la : Discrimiabilité de roduits et : ue éreuve ar juge our lusieurs juges. Caacité d u juge à discerer ue uace etre deux roduits : lusieurs éreuves our u même juge. Cotexte : la différece sesorielle etre les roduits testés est souvet très faible seuil de l ifra-limiaire et du limiaire. Elle est as coue des dégustateurs test à choix libre. Itérêt : facile à mettre e œuvre, à iterréter. Test uiversellemet cou. Icovéiets : Test eu uissat faible robabilité de rejeter H 0 alors que H est vrai. Ue éreuve : O résete échatillos aoymes X, Y, Z, costitués des roduits et, l u des deux état réseté e double, et l autre, e sigulier. La questio est alors osée : lequel des échatillos est le roduit sigulier? Ordre de résetatio des échatillos X, Y et Z : il eut egedrer des biais d aréciatio. Pour éviter cela, o eut. réseter le même ombre de fois chaque roduit das la même ositio.. doubler le même ombre de fois et das les résetatios. Le ombre de résetatio est alors u multile de = 6. U bo effectif est = 4 ou = 0. Remarque : Éreuve gééralisable directemet à la résetatio de J échatillos dot u seul est sigulier lus J est grad, lus le test est uissat, mais lus l éreuve est fastidieuse our les testeurs. /6 /6

2 U exemle.. Test triagulaire : Gééralités Exemle : test d idiscerabilité de deux chocolats Estimer π octuellemet.. Test triagulaire : Estimatio Schéma robabiliste : La oulatio dot sot tirés les testeurs comred ue roortio π icoue de ersoes setat ue différece etre et o veut savoir si π = 0 ou si π > 0. O ote la roortio théorique icoue de boes réoses lors d u test triagulaire quad o choisit les juges au hasard au sei de la oulatio. O itroduit les évèemets PD = le juge erçoit la différece} et R = le juge doe ue boe réose} O ote le ombre de boes réoses ici = et le ombre d éreuves ici = 4. Problème : Mais certaies boes réoses ourrait être dues au hasard... Questio : le ombre de boes réoses est-il sigificativemet suérieur au ombre de boes réoses géérées e choisissat u des trois roduit au hasard? Objectifs : Ituitivemet, il y a ue relatio etre la roortio de boes réoses icoue das ce tye de tests et la roortio π icoue de juges ercevat la différece etre et. O va doc chercher à estimer π à l aide de l estimateur ˆP = de qui red la valeur ˆ = 4 = 0.5 das otre exemle. O a = PR et π = PPD ar défiitio PR PD = et PR PD c = hyothèses raisoables.... O a alors = PR = PR PD + PR PD c Relatio etre et π ricie de artitio = PR PDPPD + PR PD c PPD c robabilités coditioelles =.π + π : O a doc π =. 4/6 Exemle : o a ue estimatio de qui est doée ar ˆ = 0.5. O e déduit ue estimatio ˆπ = 4 de π. 5/6.. Test triagulaire : Estimatio.. Test triagulaire : Test exact de discrimiabilité Estimer π ar IC O fait ue estimatio de ar IC avec l estimateur ˆP =... et o e déduit u IC our π à l aide de la relatio etre et π. Estimatio de : O ose R i = le ième juge doe ue boe réose} et = i= R i. isi ar idéedace : i, vec cou et que l o estime avec ˆP =. D arès le TCL o a : ˆP Et o a aroximativemet IC α = ˆP ˆP ˆP 0,. [ˆP ± u α ] ˆP ˆP. Exemle : avec = 4, ˆ = 0.5 et α = 0.05 : l itervalle de cofiace est ic 0.95 = [0.; 0.7] Estimatio de π : o estime π avec l estimateur ˆπ = ˆP. O a Pz < ax + b < z = α P z b a < x < z b a = α car a > 0. O e déduit que IC α π = [ ˆπ ± u α ˆP ˆP ] Les hyothèses Hyothèses : H 0 : et sot idicerables H 0 : π = 0 H : et sot dicerables H : π > 0 Statistique de test : Si ersoe e erçoit de différeces π = 0, la roortio de boes réoses observées ˆ. u cotraire, si π > 0, la roortio sera lus élevée et d autat lus que π est grad. Le ombre de boes réoses est la statistique de test et la régio de rejet aura la forme R α = [cα, + [ où cα est u réel qui déeds de α.remarque : si α < α alors R α R α. Test exact : Sous H 0, o a π = 0 = : i, Exemle : o a observé =. De lus, sous H 0, P = P i4, =.07 c est la -valeur. H 0 est as rejeter our tout test de iveau α 7% i4, Exemle : avec = 4, ˆ = 0.5 et doc ˆπ = 0.5 et α = 0.05 : ic 0.95π = [ 0.05; 0.55] Remarque : Pour ue récisio double largeur IC/, il faut = 4 4 = 96 juges. Précisio d autat meilleure que roche de 0. O eut rarocher de e augmetat π, i.e e etraîat les juges /6 7/6

3 iveau et uissace.. Test triagulaire : Test exact de discrimiabilité iveau : Si o veut s assurer que les doées idiquet bie ue discerabilité sigificative : il faut réduire la régio de rejet e reat α etit. Puissace : Mais si o veut s assurer que les doées idique ue idiscerabilité sigificative : il faut cotrôler la robabilité du risque de deuxième esèce β. Cela eut être délicat e ratique : o eut chager d aroche e s assurat que H 0 cotiue a e as être rejeter our des valeurs de α assez grade e.g 75%. Risque de deuxième esèce du test exact : robabilité de e as détecter H. E l état o e eut as calculer exlicitemet le risque du test : il faut fixer u iveau, disos α = 0.07 corresodat à R 0.07 = [, + [ et o eut alors calculer β our des valeurs de π > 0 doées : π =.5 = : β = P = = Pi4, = 0.4 π =.5 = : β = P = = Pi4, = 0.0 Il est doc bie lus facile de détecter ue différece lorsque les juges sot bie etraîés si différece il y a, le ombre de boes réoses est imortat avec grade robabilité. O eut aussi jouer sur la taille de l échatillo voir ci-dessous. 8/6.. Test triagulaire : Test aroché de dicrimiabilité Pricie Test aroché : Pour calculer la taille miimum de l échatillo qui garatit ue uissace suffisate o utilise our faciliter les calculs l aroximatio de la loi biomiale ar ue loi ormale : i, Ñ = ˆP 0, Le test eut alors orter sur la statistique Ñ sas tro chager la décisio vérifier les coditios sur, et our garatir ue boe aroximatio Rejet : Sous H 0, o rejette si, > cα} = ˆP > dα} = 95% 0 ˆP.65 > eα } 5% 0; > u α ˆP Exemle : o a = 4, et 4 ˆ =.7 >.65 = u 0.95 et... H 0 est rejeté de justesse au iveau 5% c est ue aroximatio du test } 9/6.. Test triagulaire : Test aroché de dicrimiabilité.. Test triagulaire : Test aroché de dicrimiabilité Calcul de la taille de l échatillo our limiter le risque de deuxième esèce Pricie : o fixe u risque de deuxième esèce β 0 = 0.05 et o calcule le lus etit ombre de réétitios écessaire our avoir u test de uissace lus grade que β 0 = E ratique : si π = π = 4 i.e = = o cherche tel que β = P = Ñ < u α < β0 i.e roba d acceter H 0 à tort soit etite. utremet dit : ˆP P = < u α < β 0 P = ˆP < +u α < β 0 P = ˆP < +u α P 0, < +u α < β 0 < β 0 Calcul de la taille de l échatillo our limiter le risque de deuxième esèce Coditio sur : O ote u β0 le quatile d ordre β 0 de la loi ormale. Cela ous doe la coditio sur suivate : +u α Exemle : o a β 0 = 0.05 et > ratique! i4, i4, <u β0 > u α u β 0 6u = 9.6 = 9.48 beaucou tro grad e i9, 9 i9, Remarque : Pour toute v.a. réelle Z P Z < t P Z < t. : o a si t < t, Z < t } Z < t } et doc 0/6 Figure : = 4 et β = 0.4 Figure : = 9 et β < 0.05 E gris : risque α. E vert : risque β. Lorsque augmete, les lois se séaret /6

4 .. Test triagulaire : Extesios.. Éreuve à choix forcés k-fc : Gééralités Caacité d u juge à discerer ue uace Procédure : Pour tester la caacité d u juge à discerer ue uace etre deux stimuli roches et, o eut rocéder à éreuves successives our u seul juge j. Le modèle de jugemet chage : o ote π j la robabilité de discerer la différece etre et our ce juge. Extesio : Plus gééralemet, o eut rocéder à éreuves our chacu des J juges, ce qui roduit = J observatios : o teste alors l existece d ue discerabilité des roduits our l u au mois des juges : H 0 : ersoe e discere j, π j = 0 j, j = H : certais juges disceret j, π j > 0 j, j > Que se asse t il alors? Sous H 0 : toutes les réoses sot des résultats d exérieces aléatoires idéedates et de même loi. Ceci ermet le calcul correct de la régio de rejet de iveau α et doc... de cotrôler l erreur faite si o rejette H 0 Sous H : o imose as que tous les juges aiet la même robabilité de discerer i.e les π j euvet être différets. Les réoses e ourrot lus être vues comme des exérieces i.i.d. et o e eut lus exrimer simlemet la loi de la statistique de test. E résumé : le calcul du risque de deuxième esèce est lus valide! Pricie Procédure : O e chage as la structure robabiliste du test triagulaire à choix libre même hyothèse, même statistique. O ose ue questio différete aux juges e vue de chager le schéma cogitif du testeur : o esère alors augmeter le ombre de boes réoses sous H i.e dimiuer le risque β : test lus uissat. Déroulemet de l éreuve : ar exemle, our évaluer la discerabilité de deux roduits et du oit de vue de l, et sachat qu objectivemet <, o osera les questios suivates si o résete X, Y, Z} =,, } : quel est l échatillo le lus acide? X, Y, Z} =,, } : quel est l échatillo le mois acide?... au lieu de demader quel est l échatillo sigulier? Que se asse-t-il alors? Sous H 0, rie : les juges e disceret rie et réodet au hasard. Sous H, o suose que les ersoes qui disceret ue différece le fot lus ou mois suremet et o as totalemet suremet le modèle est lus fi que le récédet. /6 /6.. Éreuve à choix forcés k-fc : Heuristique Le modèle cogitif de Thurstoe léas ercetifs d u juge sur des roduits et :.. Éreuve à choix forcés k-fc : Heuristique Le modèle cogitif de Thurstoe À la résetatio d u échatillo du tye deux fois, ue fois, 4 cas sot à evisager : Cas : Les réoses cocordet : a sigulier : Z Vrai le lus acide : Z Vrai b sigulier : X Faux le lus acide : Y Faux croît e b de σ avec la caacité discrimiatoire d u juge La courbe rouge rerésete la distributio des ercetios du juge our. La courbe bleu rerésete la distributio des ercetios du juge our. X Y Z Cas : Les réoses e cocordet as : a sigulier : X Faux le lus acide : Z Vrai X Y Z b X Z sigulier : Z Vrai le lus acide : Y Faux... mais le cas a est beaucou lus fréquet que le cas b. Z Y X Y E ratique, o augmete la caacité d u juge à ercevoir ue différece losrqu il y e a ue le test est alors lus uissat. 4/6 5/6

5 Pricie.4. Méthode Séquetielle de Wald : Objectif : défiir ue rocédure de test our cotrôler simultaémet les risques α et β tout e miimisat le ombre d essais à faire. Validité : bo our les tests triagulaires et -FC. Pricie : O e red as la décisio à la fi de toutes les éreuves, mais au cours des essais successifs l iformatio s ajoute au cours du tems, o arrête dès que la roortio de réoses eche suffisammet das u ses ou das l autre. E ratique : O fixe α e.g 5% et β e.g 0% et e.g.o trace esuite deux droites arallèles : b de boes réoses rejette H 0 o cotiue accete H b d éreuves β l Dsu D if : = α l l β D if l α D su : = l 0 l 0 + l 0 l l 0 0 l 0 l l 0 0 Cela défiit trois zoes : tat que le chemi reste das la bade cetrale o cotiue les observatios, dès qu o retre das ue des deux zoes décisioelle rejet ou accetatio de H 0, o arrête le test. E ratique.4. Méthode Séquetielle de Wald : O fixe u ombre maximum d éreuves. Si o atteit sas avoir atteit ue des deux zoes de décisio accetatio ou rejet, o juge ar raort au milieu de la bade verticale délimitée ar, D su et D if : si le obteu est suérieur au milieu, o obtiet u rejet de H 0 au iveau α. s il est iférieur, ue accetatio de H 0 au iveau α... sas garatie sur β. b de boes réoses rejette H 0 accete H 0 Dsu D if b d éreuves Remarque : ombre effectif d éreuves o récisémet maîtrisé... O e eut as resecter a riori arfaitemet l équilibre etre les ordres de résetatio biais ossible. o avace ar groue de six éreuves, ou résetatios aléatoires. 6/6 7/6.5. Éreuve d aariemet : Gééralités.5. Éreuve d aariemet : Gééralités Cotexte et objectifs Déroulemet Objectifs : O disose de > roduits. O souhaite tester l idiscerabilité globale etre eux, sas asser ar des comaraisos à via les méthodes récédetes Situatios : Ce test s alique gééralemet our : la recoaissace de stimuli qualitativemet différets e.g saveurs à la frotière de l ifralimiaire. Cotrôle de la o-équivalece ou de l équivalece de roduits. Exemle : lusieurs siros d orage utilisat différets édulcorats le test de roduits ar u jury de juges éreuve ar juge le test d u juge sur roduits éreuves our le même juge L éreuvre : O résete témois idetifiés uis J échatillos certais e double, trile, etc... extraits des témois. O demade alors, our chaque échatillo, de l associer à u témoi. Présetatio des roduits : Si ossible, réseter les roduits le même ombre de fois et das la même ositio. Ceci eut imliquer des ordoacemets au hasard, si o a as assez d éreuves our arcourir toutes les ossibilités. Exemle : = astis,, C disticts ar les roortios de badiae, d ais vert et de réglisse. O résete J = 4 échatillos à chacu de = 8 juges, l u des échatillos état u roduit doublé. Il y a 6 séqueces d échatillos résetées : Problème d effectif : seulemet 8 juges. Pour éviter les biais : o tire au sort les roduits o doublés das la moitié des échatillos = 9 et o iverse leur ordre das l autre moitié. 8/6 9/6

6 Exemle : les astis.5. Éreuve d aariemet : Gééralités Hyothèses.5. Éreuve d aariemet : Test d idiscerabilité globale Hyothèse ulle : Les aariemets se fot totalemet au hasard Chaque roduit est distribué das sa lige selo la distributio uiforme,, Hyothèse alterative : Les aariemets o totalemet au hasard L ue au mois des distributio théorique robabilité e lige est as uiforme ttetio : si deux roduits sot systématiqueet cofodus e.g est ris our alors o eut rejeter H 0 même si les roduits e sot as correctemet idetifiés. Ce test doit doc davatage être utilisé our s assurer de la o-discrimiabilité redre α lutôt grad. 0/6 /6.5. Éreuve d aariemet : Test d idiscerabilité globale La statistique de test Test : test d adéquatio des liges à la distributio uiforme. Statistique du χ : Pour chaque lige k =,,, o a sous H 0 kl D k = k kl k k = k l= l= }} effectif observé effectif attedu effectif attedu χ Les affectatios des roduits état idéedates, les degrés de libertés des D k s additioet. O a sous H 0 toujours : D = D k χ k= Régio de rejet : Sous H l écart etre les effectifs observés et attedus doit être grad. La régio de rejet de iveau α est de la forme : R α = D > χ α } χ.5. Éreuve d aariemet : Test d idiscerabilité globale Exemle : Résultats du test sur les astis Tableaux des l= kl k k : La robabilité critique de la loi du χ 6 associée à cette observatio est 0 4. O rejette doc l aariemet au hasard avec ue robabilité très faible de se tromer. ttetio : Chaque D k ermet u test d aariemet cocerat le seul roduit k. Mais ce test est soumis à la même réserve que le global : so alterative est as que le roduit est recou... α χ α /6 /6

7 .5. Éreuve d aariemet : Test de cofusio de deux des roduits Loi multiomiale Pricie : gééralisatio de la loi biomiale avec ue éreuve aléatoire avec J issus. Éreuve aléatoire : Soit X ue v.a. omiale à J modalités E,, E J } et o ote J i = PE i = E Ei. O a alors i= i = et la variable aléatoire E. Mult,, EJ Lorsque J = et [0, ] : X Mult =. J, = er = i,. Défiitio O ote Y i le ombre de fois que se réalise l évèemet E i e réétitios idéedates de X. O a Y E Y =. =. Mult, Y J i= EJ O a PY =,, Y J = k = sio.de lus!! J! J J si + + J = et 0 EY = VarY = Diag t 4/6.5. Éreuve d aariemet : Test de cofusio de deux des roduits alyse statistique Pour tester si deux roduits et sot cofodus, o ote les évèemets : i = le ième juge classe our } i = le ieme juge classe our } i C = i i c O ote le ombre d éreuves qui mettet e jeu le roduit. i Modélisatio : O ose X i = i i C Mult; où = C cotiet resectivemet la roortio de juges qui classet vers, vers et vers u autre roduit. ˆP Estimatio : o estime ar la moyee emirique ˆP = ˆP =. ˆP i= C C roximatio : o a our suffisammet grad TCL multidimesioelle C ˆP C, C C C C C Ce qui imlique ˆP ˆP, + 5/6.5. Éreuve d aariemet : Test de cofusio de deux des roduits Test Questio : lors de sa résetatio, est il classé autat vers que vers, ou lus? test de comaraiso de deux roortios. H 0 : est autat classé vers que vers H 0 : = 0 Hyothèse : H : est lus classé vers H : > 0 Loi de la statistique de test : Sous H 0 o a = = : ˆP ˆP 0, ˆP ˆP 0, O eut estimer icou ar ˆP = ˆP + ˆP das la variace et o a la statistique de test suivate T = ˆP ˆP ˆP + ˆP 0, Le test : Régio de rejet est du tye R α = [cα, + [ i.e o rejette lorsque T > u α }. Exemle : O a ˆ ˆ = 4 = 0.5 ; 4 ˆ +ˆ = +0 = et et t isi H 0 est as rejeté au iveau α = 5%... 6/6