Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels

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Christophe Soucy
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1 Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. Cours I : SUITES NUMERIQUES / Défiitio I Quelques rappels Défiitio : Ue suite u est ue applicatio de l esemble N ou ue partie de N das R qui à chaque élémet de N associe u uique élémet oté u, appelé terme d idice de la suite u. / Commet défiir ue suite a/ Défiitio explicite Défiitio : Ue suite u est dite explicite s'il est possible de calculer directemet u à partir de. O ote alors u = g avec g ue foctio défiie sur N (et le plus souvet sur R + égalemet). Ex : : u = ; (%i49) u[]:=/(+); (%i5) u[5]; (%o5) /6 (%i5) makelist([,u[]],,,5); (%o5) [[,],[,/],[,/3],[3,/4],[4,/5],[5,/6]] (%i5) wxplotd([discrete,makelist(,,,),makelist(u[],,,)],[style,poits]) b/ Suite défiie par récurrece Défiitio : Ue suite est défiie par récurrece si le terme u peut être défii à partir de u : u = f u avec f ue foctio défiie le plus souvet sur R Ex : Soit u tel que u + =.5 u + et u = Lecture graphique de u ; u... Costruire les droites d équatio y = x et y = x. Détermier graphiquemet u, u, u 3.

2 Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. (%i56) f(x):=.5-.5*x; (%i54) v[]:;v[]:=f(v[-]); (%i58) load(dyamics); (%i63) evolutio(f(x),,); (%i73) f(x):=-.*x; x(+) (%i65) staircase(f(x),,); (%i77) f(x):=-+.5*x; x(+) x(+) / Ses de variatio d ue suite Notatio : sigifie «il existe» et «quelque soit» Défiitio : - Ue suite u est strictemet croissate si : N N, tel que N, u < u - Ue suite (u ) est strictemet décroissate si : Ex : Etudier le ses de variatio des suites :. u défiie sur N par u = ² +. u défiie sur N par u + = u, u =

3 Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. 3 II Suites arithmétiques et géométriques (rappels) a. Suite arithmétiques Défiitio : Ue suite (u ) est ue suite arithmétique si : r est appelé la raiso de la suite. Calcul direct de u : O a alors u = u + r N, u + = u + r Somme de termes cosécutifs, S : S= u + u u S = b de termes premier terme + derier terme Cas particulier : S=++ + = Ex : Motrer que la suite u défiie par u = + est arithmétique. Calculer S = u 5 u 6. b. Suite géométriques Défiitio : Ue suite (u ) est ue suite géométrique si : q est appelé la raiso de la suite. Calcul direct de u : O a alors u = u q Somme de termes cosécutifs : S= u + u u S = premier terme b termes q q cas particulier : +q+q²+ +q = q q (q ) Ex : Motrer que la suite (u ) défiie par u = /3 est géométrique. Calculer S=u5+ +u6.

4 Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. 4 III Limite d ue suite / Notio de limite d ue suite Défiitio : Pour ue suite umérique (u ), il y a 3 types de limites : - (u ) coverge vers ue limite fiie L. (u ) est dite covergete. u + = -,5 u (u ) admet ue limite + ou -. (u ) est dite divergete. u + = -+,5 u (u ) admet pas de limite. (u ) est dite divergete. u = u Propriété : Soit ue suite (u ) défiie par u = f(). Si f(x) admet ue limite L e +, alors o dit que la suite (u ) admet la limite L e + Ex : Soit u = l. Calculer la limite de (u ).

5 Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. 5 / Applicatio aux suites géométriques Propriété : Soit ue suite géométrique (u ) défiie par sa raiso q (q>) et so premier terme u =, u = q. O a alors : si q >, lim + q = + si q=, + lim q = si q <, lim + q = Remarque : O retrouve ces limites e écrivat : q = e l(q). Si q>, l(q) >... Ex : Soit u = défiie sur N. Calculer sa limite et détermier le plus petit etier tel que u < -3 3/ Suites croissates majorées Propriété : Si ue suite (u ) est croissate et majorée alors elle coverge. Propriété : Si ue suite (u ) est décroissate et miorée alors elle coverge. Ex : Soit u = Démotrer que u est croissate et majorée. Coclure. III Ordre et comparaiso de limites de suites / Compatibilité avec l ordre. Théorème : Soit deux suites (u ) et (v ) telles que : lim u = L et lim v = L ' Si à partir d u certai rag N, o a toujours : u v alors L L / Théorèmes de comparaiso Théorème : Soit u réel L. Si à partir d u certai rag N o a u L v et lim v = alors lim u = L

6 Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. 6 Exemple icotourable: Soit (u ) telle que : u u et u = 3. a/ Démotrer par récurrece que u. b/ E déduire la limite de u. c/ Trouver p tel que si p alors u < -3. Théorème (dit des gedarmes): Soiet trois suites (u ) (v ) et (w ). Si à partir d u certai rag N, o a : v u w et lim + v = lim + w =L alors lim + u =L Ex: soit (u ) défiie sur N par u = limite. si. Etudier la covergece de cette suite. E déduire sa 3/ Suites adjacetes Défiitio : Deux suites (u ) et (v ) sot dites adjacetes ssi - (u ) est croissate - (v ) est décroissate - lim v u =. Propriété : Deux suites adjacetes sot covergetes vers ue même limite L. Méthode du Héro pour approximer : Soit (u ) et (v ) défiies par : u =, u = u v et v = u Démotrer que (u ) et (v ) sot adjacetes et coclure.

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