Équirépartition d une suite de nombres

Transcription

1 Équirépartitio d ue suite de ombres Thomas Chomette Farouk Boucekkie Observez doc le premier chiffre des 2 pour 3 :, 2, 4, 8, 6, 32, 64, 256, 52, 24, 2 48, 4 96, 8 92, 6 384, 32768, 65536, 372, 26244, , 48576, 29752, 49434, , , , , , , , , etc... Que remarquez-vous? U petit paradoxe... O obtiet 9 fois le chiffre, 6 fois le chiffre 2, 3 fois le chiffre 3, 3 fois le chiffre 4, 3 fois le chiffre 5, 3 fois le chiffre 6, fois le chiffre 7, 3 fois le chiffre 8, fois le chiffre 9. L expériece semble ous motrer que apparaît ettemet plus fréquemmet que les autres. Pourtat, il paraît clair qu il y a «autat» de ombres commeçat par, que par 2, 3,...Par coséquet, l ituitio voudrait qu o obtiee, au mois asymptotiquemet, autat de ombres commeçat par que par chacu des autres chiffres. Pour expliquer ce paradoxe apparet, trois voies aturelles s offret à ous :. Aller jusqu à 3 est isuffisat, les effets asymptotiques prévus par l ituitio e se révèlet clairemet que pour très grad. 2. Cette bizarrerie est ue propriété très spécifique de la suite des 2, qui se comporte de maière cotraire aux probabilités ituitives. 3. L ituitio se trompe et il faut essayer de voir rigoureusemet ce qui se passe. La première hypothèse est aisée à réfuter...si o possède des moyes de calcul suffisats (u ordiateur et u logiciel de calcul, par exemple). Das ce cas, o costate que le phéomèe de prédomiace relative des se poursuit, avec u taux tedat vers eviros 3,/ (cotre les / prévus par l ituitio.) Costatos au passage que c est déjà à peu près ce qu o obtiet au bout de 3 valeurs. La secode hypothèse peut être réfutée e s itéressat à d autres suites, par exemple toutes les suites de la forme M, pour M R +. O costate

2 exactemet le même phéomèe, et plus surpreat, le taux de comme premier chiffre ted pour tout M vers la même valeur approximative de 3,/. Maifestemet il y a quelque chose à trouver! Pour tracher cette questio, il va falloir défiir propremet cette idée de «probabilité» d apparitio de ombres. 2 Là où l ituitio s égare Le problème pricipal de l ituitio das ce type de questio est le suivat : o voudrait faire des raisoemets probabilistes sur N tout etier, fodés sur le fait que, si l o tire u ombre au hasard, tous les etiers sot équiprobables. Ce qui est impossible!! E effet, tiros au hasard u etier aturel, et cosidéros des probabilités à valeurs das [, ], ( état la probabilité de tirer importe quel ombre de N.) Supposos que tous les ombres aiet la même probabilité o ulle d apparaître α ], [, preos N > /α. La probabilité d apparitio d u ombre compris etre et N est alors (N + )α qui est strictemet supérieur à! Par coséquet, toute probabilité sur N telle que les etiers soiet équiprobables implique que cette probabilité commue soit. Et o e peut doc rie coclure sur le type de problème à partir duquel ous sommes partis... E fait, la seule défiitio evisageable de la «proportio» recherchée est à fixé : Card{p, 2 p a pour premier chiffre } Ce qui ous itéresse alors est de savoir si cette quatité a u comportemet asymptotique itéressat quad. Pour répodre à cette questio, ous allos ous rameer à [, ], où les probabilités marchet beaucoup mieux, car elles sot doées par des itégrales bie défiies. Remarquos d abord que tout ombre X R + s écrit sous la forme X = log(x), le log état etedu de base, ici. O a alors X = log(x) E(log(X)). E(log(X)), et le premier chiffre de X est doc celui de log(x) E(log(X)) De plus, X E(X) <, et la foctio t t est ue foctio croissate. Par coséquet, le premier chiffre de X déped de la positio de X E(X) das [, ], suivat le tableau suivat : 2

3 X E(log(X)) appartiet à Le premier chiffre de X est [, log(2)[ [log(2), log(3)[ 2 [log(3, log(4)[ 3 [log(4), log(5)[ 4 [log(5), log(6)[ 5 [log(6), log(7)[ 6 [log(7), log(8)[ 7 [log(8), log(9)[ 8 [log(9), [ 9 Quad o calcule log(2), o trouve approximativemet ceci rappelle furieusemet la probabilité asymptotique qu o a trouvée par os expérimetatios du paragraphe précédet! Or, les 2 dot le premier chiffre est sot ceux tels que 2 E(2 ) [, log(2)[. Imagios à préset, ituitivemet, que les 2 E(2 ) se «répartisset bie» das [,]. La «proportio» de ceux qui serot das le segmet [, log(2)[ sera alors, ituitivemet égale à log(2) (rapport etre les logueurs de [, log(2)[ et de [, ].) La suite de ce texte va ous permettre de redre rigoureuse cette ituitio qui, cette fois, est pas trompeuse. 3 Equirépartio d ue suite Cosidéros ue suite (u ) N d élémets du segmet [ ; ]. O cherche à établir u critère qui permet de savoir si la suite se «répartit bie» das le segmet. C est à dire qu elle va ou o parcourir «l esemble du segmet», ce de maière «uiforme». Ceci a a priori pas u ses très précis, e effet différets poits de vue ous amèet à plusieurs types de réposes. 3. Visio esembliste La suite (u ) N peut-elle predre toutes les valeurs possibles? O sait, depuis Cator, que ce est pas possible : il existe plusieurs types d ifiis disticts, c est-à-dire plusieurs types d esembles ifiis o équipotets (tels que l o e puisse pas établir de bijectio etre eux). E particulier le cardial du segmet [ ; ] est pas déombrable. La meilleure faço de le voir est de dire la chose suivate : la suite (u ) N costruite, o va exhiber u réel de l itervalle [ ; ] qui est pas atteit par la suite. Soit doc x le réel dot le développemet décimal est défii par : Le ième chiffre de x après la virgule est si le ième chiffre de u après la virgule est o ul, c est sio. Alors par défiitio, x et u ot des développemet décimaux qui diffèret au 3

4 ième chiffre après la virgule, doc des développemet décimaux disticts. E particulier x u, ce pour tout. Le poit de vue esembliste est doc pas le bo : aucue suite e parcourt l esemble du segmet [ ; ]. 3.2 Visio topologique L esemble des valeurs prises par la suite (u ) N peut-il être dese das [ ; ]? (c est à dire que tout élémet de [; ] est ite d ue suite prise parmi ces valeurs.) Ce critère est déjà plus pertiet : il est vérifié par certaies suites, mais pas toutes (ue suite costate e le vérifie pas, par exemple). U bo exemple de suite dese est costruit comme suit : O sait que l esemble des ratioels de [; ] est dese das [; ], et que cet esemble est déombrable, o peut doc uméroter ses élémets. Cosidéros doc la suite (u ) où u est le ième ratioel de [; ]. Cette suite est dese, et otos que est atteit qu ue fois. Mais ue telle défiitio est pas dyamique, c est-à-dire qu elle e pred pas e compte l ordre das lequel les termes de la suite se suivet. Par exemple, repreos otre suite (u ) précédete, et costruisos (v ) telle que : v 2 = et v 2+ = u Tous les ratioels de [; ] sot atteits, la suite est doc dese, mais o se red bie compte qu il y aura ue accumulatio de termes e, la répartitio e sera pas du tout uiforme. Au cotraire, si l o e pred la valeur qu e les idices qui sot premiers, o aura ue accumulatio beaucoup mois rapide, même si au fial il y aura ue ifiité de valeurs ulles (l opératio correspod à ue permutatio des etiers aturels). O a doc trois exemples de suites deses qui e se répartisset pas de la même faço. 3.3 Équirépartitio Fialemet, o va demader à la suite de «visiter tous les lieux avec la même fréquece». C est ue otio bie plus forte que la desité : ue suite équirépartie est dese, mais l iverse est pas vrai (cf cotre-exemple précédet). Ituitivemet, la otio d équirépartitio se compred assez facilemet e imagiat que otre segmet [ ; ] est ue pellicule photographique, et que la suite laisse sur so passage des petites tâches de lumière. La otio de desité correspod à l idée qu au bout d u temps ifii, il y a pas de zoe oire, aussi petite soit-elle. Alors que la otio d équirépartitio correspod à ue pellicule qui ted à être uiformémet éclairée. 4

5 Défiitio 3. Ue suite (u ) N à valeurs das [ ; ] est dite équirépartie si et seulemet si pour tout couple de réels a < b de [ ; ], la suite d etiers de terme gééral A = Card {p, u p [ a ; b ]} est asymptotiquemet équivalete à (b a). Ue suite (u ) N à valeurs das R est dite équirépartie modulo si et seulemet si la suite de terme gééral u E(u ), à valeurs das [ ; [, est équirépartie (E désige la foctio partie etière). Remarque 3.2 O peut remplacer das les défiitios précédetes tous les itervalles fermés par des segmets ouverts ou semi-ouverts. Voyez-vous pourquoi? (Idicatio : regardez ce qui se passe si a = b.) Cela ous sera utile lors de la coclusio de ce texte... Remarque 3.3 E fait, o peut défiir la otio d équirépartitio sur importe quel espace X mui d ue mesure positive fiie µ. Pour simplifier, supposos que µ(x) = (c est-à-dire que µ est ue «mesure de probabilités»). Ue suite (u ) N à valeurs das X est équirépartie si et seulemet si, pour tout sous-esemble Y de X mesurable, la suite de terme gééral y = Card {p, u p Y } est asymptotiquemet équivalete à µ(y ). 4 Le critère de Weyl La otio d équirépartitio est fortemet rattachée à la théorie de l itégrale de Riema. L idée sous-jacete est que la suite (u ) N est représetative, qu elle revoie la même moyee sur ue foctio que l itégrale de Riema. Plus précisémet, o a le Théorème 4. Ue suite (u ) N à valeurs das [ ; ] est équirépartie si et seulemet si pour toute foctio f Riema-itégrable, o a : f (u k ) = Démostratio : Soiet a b deux réels de l itervalle [ ; ]. soit [ a ;b ] la foctio idicatrice de l itervalle [ a ; b ], c est-à-dire la foctio : { si x [ a ; b ] x sio La foctio [ a ;b ] est e escalier doc Riema-itégrable, et d itégrale [ a ;b ] (t)dt = b a dt = b a Or [ a ;b ] (u k ) = Card {p, u p [ a ; b ]} par défiitio de la foctio [ a ;b ]. Doc (u ) N est équirépartie si et seulemet si, pour tous réels a b 5

6 [ a ;b ] (u k ) = [ a ;b ] (t)dt Si la suite (u ) N est équirépartie, o a doc la propriété aocée pour toute foctio de type [ a ;b ], et l o veut ceci pour toute foctio f Riemaitégrable. Toute foctio e escalier pouvat s écrire comme ue combiaisos liéaire de foctios idicatrices de segmets, la propriété est doc ecore vraie pour toute foctio e escalier. Efi, toute foctio Riema-itégrable est ite uiforme d ue suite de foctios e escalier. Autremet dit, si f est ue foctio Riema-itégrable, alors pour tout ε >, o peut trouver ue foctio e escalier ϕ ε telle que pour tout x [ ; ] o ait f(x) ϕ ε (x) < ε. Soit doc f ue telle foctio ε > et ϕ ε e escalier vérifiat la propriété d approximatio de f. Alors pour tout, o a : f (v k ) ϕ ε (v k ) < ε = ε et Comme o a déjà ϕ ε (t)dt < εdt = ε ϕ ε (v k ) = ϕ ε(t)dt o e déduit qu à partir d u rag o a (pour ) ϕ ε (v k ) ϕ ε (t)dt ε Par l iégalité triagulaire, o a doc obteu u etier tel que pour f (v k ) < 3ε Ceci état vrai pour tout réel ε strictemet positif, o e déduit f (v k ) = Réciproquemet, si la suite (u ) N vérifie, pour toute foctio f Riemaitégrable, f (u k ) = alors ceci est vrai e particulier pour les foctio idicatrices d itervalles (qui sot Riema-itégrables), et doc la suite est équirépartie. 6

7 Corollaire 4.2 Ue suite (v ) N est équirépartie modulo si et seulemet si, pour toute foctio f Riema-itégrable et périodique, o a f (v k ) = Démostratio : E effet, la suite (v ) N est équirépartie modulo si et seulemet si la suite de terme gééral u = v E(v ) est équirépartie das [ ; ], si et seulemet si pour toute foctio f Riema-itégrable f (u k ) = Si f est périodique, o a alors f(v ) = f(u ) pour tout, et doc o a le résultat aocé. Iversemet, si pour toute foctio f Riema-itégrable et périodique, o a f (v k ) = cela sigifie que la suite (u ) N vérifie la propriété voulue, doc est équirépartie, et doc (v ) N est équirépartie modulo. Théorème 4.3 (Critère de Weyl) La suite (v ) N est équirépartie modulo si et seulemet si, pour tout etier m o ul, exp (2iπmv k ) = Démostratio : Là ecore, l u des deux ses est évidet : si la suite (v ) N est équirépartie modulo, alors d après le résultat précédet, pour toute foctio f Riema-itégrable et périodique, o a f (u k ) = C est doc le cas e particulier pour le foctio x exp (2iπmx) (m etier o ul). Réciproquemet, o utilise le théorème de Stoe-Weierstrass périodique (l esemble des polyômes trigoométriques est dese das celui des foctios périodiques cotiues, doc das l esemble des foctios périodiques Riemaitégrable). Si la suite vérifie, pour tout etier m > : exp (2iπmv k ) = alors c est aussi vrai pour toute foctio périodique et Riema-itégrable, d itégrale ulle. Il suffit pour coclure de voir qu o peut décomposer toute 7

8 foctio périodique et Riema-itégrable e somme d ue foctio costate et d ue foctio d itégrale ulle sur [ ; ]. Corollaire 4.4 Soit α u irratioel. alors la suite de terme gééral α est équirépartie modulo. Démostratio : Soit α u irratioel. O va motrer que la suite (α) N vérifie le critère de Weyl. Toute la difficulté repose das la remarque suivate : pour m et k deux etiers, o a exp (2iπmkα) = (exp (2iπmα)) k. O obtiet exp (2iπmkα) = (exp (2iπmα)) k (exp (2iπmα)) = exp(2iπ mα) exp (2iπmα) (somme d ue suite géométrique, la raiso état différete de puisque α, et (exp (2iπmα)) doc mα, est irratioel, doc o etier.) Et le rapport exp (2iπmα) est boré : (exp (2iπmα)) exp (2iπmα) + (exp (2iπmα)) exp (2iπmα) = 2 exp (2iπmα) O e déduit exp (2iπmkα) = D après le critère de Weyl, la suite (α) N est doc équirépartie modulo. 5 Coclusio Comme o l a vu das la visio ituitive e fi du 2, la questio importate est celle de l équirépartitio modulo de la suite.log(2). Utilisos doc le Corollaire 4.4, e motrat par l absurde que log(2) est irratioel. Supposos doc que log(2) = p/q avec p Z et q N. O a alors 2 = p/q, et par suite 2 q = p = 5 p.2 p Par coséquet p = q =, par uicité de la décompositio e ombres premiers. C est doc impossible, et log(2) est bie irratioel. La suite.log(2) E(.log(2)) est doc bie équirépartie das [; ], et o a doc Card{p tels que p.log(2) E(p.log(2)) [; log(2)[}.log(2) 8

9 Ce qui équivaut à Card{p, 2 p a pour premier chiffre } = log(2). Aisi, la proportio des 2 p de premier chiffre pour p iférieur à u doé a u ses et ted bie vers la valeur expérimetalemet trouvée. Le paradoxe apparet est levé. Notos par ailleurs que le même raisoemet est valable pour la suite M pour presque tous les M R +, et doe alors le même résultat. Quelles sot les exceptios? Qu e est-il avec la suite 2 2? Remerciemet : Ce texte est issu de la lecture par le premier auteur d u texte de Fraçois Fayard, que ous remercios vivemet! 9