n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

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1 Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = ) Doer u miorat de cette suite. 2) Détermier le ses de variatio de la suite (u ). 3) Motrer que, pour tout etier, u 2. 4) a) Justifier que la suite (u ) coverge. b) Que peuto dire de sa limite? Exercice 3 (u ) est la suite défiie sur V* par u = a) Calculer u, u 2 et u 3. ² + + ² ² + = ² + k k= b) Quel est le ombre de termes de la somme défiissat u? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grad? c) E déduire que, pour tout etier aturel o ul, ² ² + u ² ² +

2 Exercice 4 : Suites mêlées Soit a u réel et les suites (u ) et (v ) défiies par u 0 = a, v 0 = 3 a et pour tout 4 pour tout de u + = 5 (u + 4v ) et v + = 5 (3u + 2v ) ) A l aide d u tableur ou d u autre logiciel, cojecturer le comportemet des deux suites à l ifii. Sembletil dépedre de la valeur de a? 2) Emettre ue cojecture sur la suite (w ) défiie sur V par w = 3u + 4v. Démotrer cette cojecture. 3) E déduire v e foctio de u puis exprimer u + e foctio u seulemet. 4) E déduire les limites de (u ) et (v ). Exercice 5 : Approximatio de e O pose, pour apparteat à V* : u = +! + 2! + 3! +.. +! et v = u + ) Vérifier que u = 2, v = 3.Calculer u 2 et v 2. 2) a) Etudier le ses de variatio de chaque suite.! b) Comparer u et v et e déduire que la suite (u ) est majorée par v et la suite (u ) miorée par (u ). c) E déduire que ces suites coverget et motrer qu elles ot la même limite l. 3) Pour fixé das V* o pose, f(x) = + x! + x² + + x 2!! ex et g(x) = f(x) + x pour 0 x.! a) Calculer f(0) et vérifier que f() = u e. b) Etudier les variatios de f et g sur [0 ;] et e déduire que pour tout, e e! u e. c) E déduire la valeur exacte de l et justifier que pour tout de V*, u e v. d) Ecrire puis programmer u algorithme qui affiche u ecadremet de e à ue précisio 0 k (k V*) aisi que la plus petite valeur de pour laquelle il est obteu. Qu obtietto pour k = 6? k = 2? 2

3 Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) a) O a pour > 0, si π Doc u Or lim = lim = 0 Doc selo le théorème des gedarmes lim u = 0 Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = ) Doer u miorat de cette suite. 2) Détermier le ses de variatio de la suite (u ). 3) Motrer que, pour tout etier, u 2. 4) a) Justifier que la suite (u ) coverge. b) Que peuto dire de sa limite? ) 0 est u miorat évidet de u. 2) u + u = ( + ) 3 > 0 Doc (u ) est croissate. 3) Motros par récurrece que u 2. Soit P la propositio u 2. u = 2 Doc P est vraie. 3

4 Supposos P vraie pour etier fixé. u + = u + (+) 3 L hypothèse de récurrece au rag doe : u 2 O a doc u ( + ) 3 Or Comme 0 alors 2 + ( + ) 3 2 ( + ) 3 Doc u + 2 ( + ) 3. Doc la propositio P + est vraie. Doc selo le pricipe de récurrece, la propositio P est héréditaire O a doc bie pour, u 2. u 2 2 La suite (u ) est croissate et majorée par 2. Doc la suite (u ) est covergete. Pour, o a 0 u 2 Comme (u ) est covergete, e faisat tedre vers l ifii, o a : 0 lim u 2. Remarque : la limite de la suite (u ) se omme la costate d Apéry du om d u mathématicie qui a motré que cette limite est u ombre irratioel. lim (u ),

5 Exercice 3 (u ) est la suite défiie sur V* par u = a) Calculer u, u 2 et u 3. ² + + ² ² + = ² + k k= b) Quel est le ombre de termes de la somme défiissat u? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grad? c) E déduire que, pour tout etier aturel o ul, d) Détermier alors la limite de la suite (u ). ² ² + u ² ² + a) u = u 2 = u 3 = ² + = 2 2 2² ² + 2 = = = = ² ² ² + 3 = = b) u est défiie par ue somme de termes. Le plus petit de ces termes est Le plus grad de ces termes est ² +. ² +. c) Pour k, o a ²+ ²+ k ² + Et par suite, ² + ² + k (car la foctio iverse est ² + décroissate sur ]0 ; + [). E multipliat membre à membre par l etier aturel > 0, o obtiet : ² + ² + k ² + Et e sommat pour k = à, o obtiet : ² ² + ² + k ² ² + k= Soit fialemet l ecadremet demadé : ² ² + u ² ² + 5

6 d) ² ² + = e) Doc lim + + et ² ² + = + ² ² = et lim ² + + ² ² + = Doc d après le théorème des gedarmes, o obtiet lim + u =. Exercice 4 : Suites mêlées Soit a u réel et les suites (u ) et (v ) défiies par u 0 = a, v 0 = 3 a et pour tout 4 pour tout de u + = 5 (u + 4v ) et v + = 5 (3u + 2v ) ) A l aide d u tableur ou d u autre logiciel, cojecturer le comportemet des deux suites à l ifii. Sembletil dépedre de la valeur de a? 2) Emettre ue cojecture sur la suite (w ) défiie sur V par w = 3u + 4v. Démotrer cette cojecture. 3) E déduire v e foctio de u puis exprimer u + e foctio u seulemet. 4) E déduire les limites de (u ) et (v ). ) a 6 u() v() 0 6 4,5 2,4,8 2 0,96 0,72 3 0,384 0, ,536 0,52 5 0,0644 0, , , , , , , , , , , a u() v() 0 0,75 0,4 0,3 2 0,6 0,2 3 0,064 0, ,0256 0, ,0024 0, , , , , , , , , ,8643E 0 0,

7 Il semble que lim u = lim v = 0 quelle que soit la valeur de a. 7

8 2) u() v() w() 0 0,75 0 0,4 0, ,6 0, ,064 0, ,0256 0,092,9429E 6 5 0,0024 0,00768,9776E 6,9602E 6 0, , ,9602E 7 0, , , , , , , ,8643E 05 6,9602E 6,963E 6,963E 6 Il semble que w = 0. Soit P la propositio w = 0 pour tout etier. w 0 = 3 u v 0 = 3a a = 0 ; doc P 0 est vraie. Supposos P vraie pour u etier fixé. w + = 3 u v + = 3 5 (u + 4v ) (3u + 2v ) = u v w + = 3u + 4v = w = 0 par hypothèse de récurrece. D après le pricipe de récurrece, P est vraie pour tout etier. 3) w = 0 doc 3u + 4v = 0 soit v = 3 4 u u + = 5 (u + 4v ) = 5 (u 3u ) = 2 5 u Doc (u ) est ue suite géométrique de raiso 2 5. Comme < 2 5 < alors lim u = 0 et lim v = 0 Exercice 5 : Approximatio de e O pose, pour apparteat à V* : u = +! + 2! + 3! +.. +! et v = u +! ) Vérifier que u = 2, v = 3.Calculer u 2 et v 2. 8

9 2) a) Etudier le ses de variatio de chaque suite. b) Comparer u et v et e déduire que la suite (u ) est majorée par v et la suite (u ) miorée par (u ). c) E déduire que ces suites coverget et motrer qu elles ot la même limite l. 3) Pour fixé das V* o pose, f(x) = + x! + x² + + x 2!! ex et g(x) = f(x) + x pour 0 x.! a) Calculer f(0) et vérifier que f() = u e. b) Etudier les variatios de f et g sur [0 ;] et e déduire que pour tout, e e! u e. c) E déduire la valeur exacte de l et justifier que pour tout de V*, u e v. d) Ecrire puis programmer u algorithme qui affiche u ecadremet de e à ue précisio 0 k (k V*) aisi que la plus petite valeur de pour laquelle il est obteu. Qu obtietto pour k = 6? k = 2? ) u = +! = + = 2 et v = u +! = 2 + = 3 u 2 = +! + 2! = = 5 2 et v 2 = u 2 + 2) a) u + u = b) v + v = u ! = = 4 (+)! > 0 : doc la suite (u ) est strictemet croissate. (+)(+)! u! = (+)! + (+)(+)!! v + v =! + + (+)² = + ( + )² (+)! (+)² = + + ² 2 ²! (+)² v + v =! (+)² < 0 : la suite (v ) est strictemet décroissate. c) v u =! > 0 Doc v > u u < v : doc la suite (u ) est majorée par v. 9

10 v > u : doc la suite (v ) est miorée par u. c) La suite (u ) état croissate et majorée coverge doc vers ue limite l. La suite (v ) état décroissate et miorée coverge doc vers ue limite l. Par passage à la limite das la relatio u = v + Les suites (u ) et (v ) coverget doc vers la même limite l., o obtiet directemet l = l.! 3) a) f(0) = e 0 = et f() = +! + 2! + 3! +.. +! e = u e b) f (x) = + x +. + x ( )! ex + x +. + x f (x) = x! ex < 0 Doc f est décroissate sur [0 ;].! ex g (x) = f (x) +! =! ( x e x ) du sige de x e x Pour 0 x, 0 x et e 0 e x e (la foctio expoetielle état croissate sur [0 ;]) D où : e e x e 0 (la foctio iverse état décroissate sur [ ;e]). Doc 0 x e x Par suite x e x 0 et 0 x e x Doc g (x) 0 sur [0,] ; soit g croissate sur [0 ;]. Comme 0 et f est décroissate sur [0 ;], doc f(0) f(). Soit u e ou ecore u e Comme 0 et g est croissate sur [0 ;], doc g(0) g(). Soit u e +! Ou ecore u e e! O a bie l ecadremet, pour, e e! u e. c) Comme lim e e! v e = u + = e, d après le théorème des gedarmes l = lim u = e.! e e e! +! e! e 0

11 Pour >, < et e 0 Doc v e 0 D où l ecadremet : u e v. d) Pour k = 6, o obtiet : Pour k = 2, o obtiet :

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