Divisibilité et congruences. Corrigés d exercices

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1 Dvsblté et cogrueces Corrgés d exercces Les exercces du lvre corrgés das ce docuet sot les suvats : Page 445 : N 1, 5 Page 459 : N 45 Page 449 : N 10 Page 460 : N 51, 5, 55, 57 Page 451 : N 16 Page 461 : N 61, 6 Page 458 : N 9, 0, 1, 4, 8 N 1 page Supposos que k sot u dvseur cou à + 4 et Coe 5+ 1= 5( + 4) + 1, alors k dvse écessareet 1 O e dédut édateet que k est égal à 1 ou 1 S l eter k dvse + 4 et alors { 1;1} k D après la questo précédete, les eters + 4 et sot preers etre eux O e dédut édateet : La fracto est rréductble N 5 page Les dvseurs propres de 84 das sot : 1,, 4, 71 et 14 Leur soe vaut S = = 0 Les dvseurs propres de S das sot :1,, 4, 5, 10, 11, 0,, 44, 55 et 110 Leur soe T vaut : T = = 84 O costate que la soe des dvseurs propres de S est égale à l eter tal : 84 ATTENTION! Ce résultat a re de gééral! Par exeple, les dvseurs propres de 10 sot 1, et 5 et leur soe vaut 8 Elle adet elle-êe coe dvseurs propres 1, et 4 dot la soe vaut 7 Lycée Féelo Sate-Mare 1/1 M Lchteberg Verso d août 01

2 Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 N 10 page Coe suggéré das l éocé, ous allos dstguer deux cas selo la parté de l eter aturel S est par Nous posos = k O a alors = 4k Mas l eter k peut être lu-êe par ou par S k = q alors = 4k = 4 4q = 16q et est doc dvsble par 8 (le reste de la dvso eucldee de par 8 vaut doc 0) S k = q+ 1 alors = 4k = 4 ( q+ 1) = 16q + 16q+ 4 = 8( q + q) + 4 et le reste de la dvso eucldee de par 8 vaut 4 S est par Nous posos = k+ 1 O a alors ( ) = k+ 1 = alors ( ) ( ) ( ) S k q = k+ 1 = 4q+ 1 = 16q + 8q+ 1= 8 q + q + 1 et le reste de la dvso eucldee de par 8 vaut 1 S k = q+ 1 alors = ( k+ 1) = ( 4q+ ) = 16q + 4q+ 9 = 8( q + q+ 1) + 1 et le reste de la dvso eucldee de par 8 vaut 1 E déftve : Le reste de la dvso eucldee de par 8 peut predre les valeurs 0, 1 ou 4 4 S l eter est par, l e va de êe de Or est le carré de O a vu à la questo précédete que le carré d u eter par adettat toujours 1 coe reste das sa dvso eucldee par 8 O e coclut doc que : Lorsque est par, le reste de la dvso eucldee de 4 par 8 vaut 1 N 16 page Sas la calculatrce, o peut procéder coe sut (l est bo, de teps à autre, de refare quelques ultplcatos ) O a facleet 7 1= 91 doc, édateet : 70 1 = 910 Coe 1000 = et que l o a : 90 = , o e dédut édateet : 1000 = = = Le reste de la dvso eucldee de 1000 par 1 est égal à 1 Lycée Féelo Sate-Mare /1 M Lchteberg Verso d août 01

3 Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 D après la questo précédete, o a : ( 1), sot 10 1 ( 1) Sot ecore : 10 1( 1) O e dédut alors, pour tout eter aturel : 10 ( 1) ( 1) O dot doc dstguer deux cas : S est par, o a ( 1) = 1 et 10 1( 1) eucldee de 10 par 1 est égal à 1 Das ce cas, le reste de la dvso S est par, o a ( 1) = 1 et 10 1( 1), sot 10 1 ( 1 ) le reste de la dvso eucldee de 10 par 1 est égal à 1 Das ce cas, S est par, le reste de la dvso eucldee de 10 par 1 est égal à 1 et s est par, le reste de la dvso eucldee de 10 par 1 est égal à 1 O peut, das cette questo procéder de dverses faços 1 ère éthode O peut, assez «aturelleet, utlser le résultat de la questo précédete ( 1) E effet, o a : = Quel que sot l eter aturel, et + 1 sot de partés dfféretes : l u est par et l autre par As, l u est cogru à 1 odulo 1 tads que l autre est cogru à = 0 odulo 1 E d autres teres, odulo 1 Leur soe est doc cogrue à ( ) elle est dvsble par 1 èe éthode O peut auss rearquer que l o a : ( ) = + = Or, à la preère questo, o a vu que le reste de la dvso eucldee de 1000 par 1 est égal à 1 O e dédut édateet que 1001 est dvsble par 1 et qu l e va + évdeet de êe pour = Pour tout eter aturel, est dvsble par 1 N 9 page Les dvseurs postfs de 0 sot : 1,,, 5, 6, 10, 15 et 0 Leur soe vaut : s = = 7 Les dvseurs postfs de 140 sot : 1,, 4, 5, 7, 10, 14, 0, 8, 5, 70 et 140 Leurs soe vaut : t = = 6 s O a : = = = = t Lycée Féelo Sate-Mare /1 M Lchteberg Verso d août 01

4 Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 N 0 page 458 E utlsat u prograe doat les dvseurs d u eter postfs (cf l algorthe AlgoBox correspodat four sur paaathset), o obtet : Dvseurs de 15 : 1,, 5, 9, 15, 7, 45 et 15 Leur soe vaut : 40 Dvseurs de 819 : 1,, 7, 9, 1, 1, 9, 6, 91, 117, 7 et 819 Leur soe vaut : 1456 O a alors : = = = = Les eters 15 et 819 sot as N 1 page 458 O a facleet : ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) = = + = + O costate as que, pour tout eter, est le produt de tros, eters cosécutfs Lorsque ous dsposos de deux eters cosécutfs, l u des deux est par Il e va à fortor de êe lorsque ous dsposos de tros eters cosécutfs Lorsque ous dsposos de tros eters cosécutfs, l u des tros est u ultple de tros E déftve, le produt ( 1) ( 1) de 6 Le résultat est as établ + est ultple de et de Il s agt doc d u ultple Pour tout eter, est dvsble par 6 N 4 page O suppose que 1 dvse Das ces codtos, 1 dvse égaleet 7 ( + 4) = 14+ 8= 1( + 1) + 5 Coe 1( + 1) + 5 est u ultple de 1 alors écessareet 5 e est égaleet u S est u ultple de 1 alors 5 e est égaleet u Supposos ateat que 5 sot u ultple de 1 Il exste doc u eter k tel que 5= 1k, sot = 1k+ 5 O a alors : ( ) ( ) 7+ 4 = 7 1k = 1 7k = 1 7k+ 9 = 1 7k+ 1 = 1 7k+ Lycée Féelo Sate-Mare 4/1 M Lchteberg Verso d août 01

5 As, est be u ultple de 1 Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 S 5 est u ultple de 1 alors e est égaleet u N 8 page 458 Le rapport 11 6 est eter s, et seuleet s, + 1 dvse Or, o a : 11 6 = 4( + 1) 10 = 4( + 1) ( + 10) As, + 1 dvse 11 6 s, et seuleet s, + 1 dvse + 10 La codto écessare équvaut à 9, sot, état u eter aturel, 4 Pour = 0, + 1= 1 et + 10 = 10 1 dvse 10 et o retet la valeur 0 pour Pour = 1, + 1= 4 et + 10 = 11 4 e dvse pas 11 et o e retet pas la valeur 1 pour Pour =, + 1= 7 et + 10 = 1 7 e dvse pas 1 et o e retet pas la valeur pour Pour =, + 1= 10 et + 10 = 1 10 e dvse pas 1 et o e retet pas la valeur pour Pour = 4, + 1= 1 et + 10 = 14 1 e dvse pas 14 et o e retet pas la valeur 4 pour Le rapport pour = 0 Rearque : o pouvat égaleet trodure la focto f défe sur + par : f ( x) O otre facleet que cette focto est strcteet crossate O a f ( ) 11x 6 = x = 6 et l f, 67 x , f ( ) = = =,7 ] ;[, f ( 4) = = = 1,5 ] ;[ et, faleet, f ( 5) = = > O e dédut alors que pour tout eter aturel strcteet supéreur à 5, o aura f ( ) = ; l f ( x) ] ;4[ D où f ( ) + 1 x + O retrouve as le résultat précédet as avec ue approche plus aalytque va l troducto de la focto f ( x) = Or f () 1 = = = 1,5 ] 1;[, f ( ) = = ] ;[ N 44 page 459 Coe 5 1( 6), o a édateet : 5 ( 6) pus 5 ( 6) Or, o a : ( 1) ( 1)( 1) = = + + Lycée Féelo Sate-Mare 5/1 M Lchteberg Verso d août 01

6 Mas ( 1)( 1) Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 + est le produt de tros eters cosécutfs Nécessareet l u d eux (au os) est par et exacteet l u d eux est u ultple de As, ce produt est dvsble par 6 : ( 1)( + 1) 0( 6) et doc + 5 0( 6) Le résultat est as établ +, 5 est dvsble par 6 N 45 page 459 Pour tout eter aturel, o pose : P : «+ est dvsble par 7» Italsato Pour = 0, o a : + = + = + = + 4= 7 qu est be dvsble par 7 La proprété est talsée (la proprété P 0 est vrae) Hérédté Sot u eter aturel quelcoque fxé O suppose que la proprété P est vrae et o s téresse à la proprété P + 1 ( + 1) + 1 ( + 1) + O va doc étuder la dvsblté par 7 de + ( + 1) + 1 ( + 1) O a : + = Coe la proprété P est vrae, + peut s écrre : + = 7k (où k est u eter aturel), sot = 7k O a alors : ( + 1) + 1 ( + 1) = = 9 7k + ( ) = 7 9k = 7 9k 7 = ( k ) + + As, ( + 1) + 1 ( + 1) + + est be dvsble par 7 : la proprété est hérédtare ( P + 1 est vrae) Cocluso géérale Pour tout eter aturel, P est vrae Le résultat est as établ + 1, + + est dvsble par 7 Lycée Féelo Sate-Mare 6/1 M Lchteberg Verso d août 01

7 Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 N 51 page 460 O a : 8 = 114 = = 8 = = 605 = 5 11 = = 5 11 = 67 6 = 11 = = 11 = = = = = = = = = = N 5 page O a d abord : 8 = 14 = 7 = 7 Lycée Féelo Sate-Mare 7/1 M Lchteberg Verso d août 01

8 Pus : Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août = 6 = 1 = 7 = 7 8 = 7 et 16 = 7 E utlsat les décopostos précédetes, l vet : 8 = 7 = 7 a ( ) b = 7 7= 7 7= 7 16 = 7 = 6 7 d O a d abord : 88 = L éocé ous précse que 101 est preer O e dédut doc édateet : c ( ) 88 = = N 55 page état le seul dvseur preer de, sa décoposto e facteurs preers est doc de la fore : α = avec α * Les dvseurs de sot de la fore où est u eter aturel coprs etre 0 et α L eter adet doc α + 1 dvseurs Coe adet 5 dvseurs, o e dédut que α 4 vaut 4 et que vaut = 81 Les dvseurs de sot : 1,, 9, 7 et 81 4 = = 81 N 57 page Sot p u dvseur preer de d O a doc : d = p s où s est u eter aturel o ul Mas d état u dvseur de, o a : = d t où t est u eter aturel o ul O a doc : = d t = p s t As, p est u dvseur preer de et apparaîtra doc das sa décoposto e facteurs preers qu est uque Nécessareet, p est l u des p { } p p1, p,, p Lycée Féelo Sate-Mare 8/1 M Lchteberg Verso d août 01

9 Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 Nous supposos que p apparaît das la décoposto e facteurs preers de d avec u β exposat égal à β O a doc : d = p d' où β est supéreur ou égal à 1 et où p e dvse pas d ' Rasoos par l absurde e supposat que l o a : β > α 1 α 1 1 O a : 1 α 1 α α p p p p p 1 p β = α α + + = d t = p d' t Coe o a supposé β > α, o peut splfer par p α et o obtet : = p p p p p = p d' t α1 α α α 1 + α 1 β α α + p p β α α1 α α 1 α+ 1 α O e coclut alors que apparaît das la décoposto e facteurs preers de p p p p p, ce qu est absurde (ucté de la décoposto e facteurs preers) Faleet, o a : β α S p fgure das la décoposto de d e facteurs preers alors so exposat est féreur ou égal à α D après la questo 1, u dvseur preer de d est égaleet u dvseur preer de (Atteto! La récproque est fausse!) As, das la décoposto e facteurs preers de d apparasset que des dvseurs de S p apparaît pas, par exeple, l sufft, forelleet de lu attrbuer u exposat ul Alors, la décoposto de d e facteurs preers est de la fore : d = p β p β p β 1 1 Avec, évetuelleet, tout ou parte des β uls D après la questo précédete, o sat auss que l o a : β E déftve : α d = p β p β p β 1 1 1,,,, 0 β α avec { } 4 D après la questo précédete, pour obter u dvseur de, l sufft de chosr les eters β O a vu égaleet que, pour fxé, β pouvat predre porte quelle valeur etre 0 et α, sot α + 1 valeurs Pour β 1 o a doc α chox possbles, pour β o a doc α + 1 chox possbles, etc Ces chox état dépedats, pour les eters β, o a ( α1+ 1) ( α + 1 ) ( α + 1) chox possbles C est le obre total de dvseurs de 1 Le obre de dvseurs de = p α 1 p α p α est égal à : ( α1+ 1) ( α + 1 ) ( α + 1) Lycée Féelo Sate-Mare 9/1 M Lchteberg Verso d août 01

10 Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 N 61 page 461 α β La décoposto e facteurs preers de est de la fore : = où α et β sot deux eters aturels o uls 1+ α 1+ β D après l exercce 57, le obre total de dvseurs de vaut ( )( ) 1 O a c : ( α)( β) = 4 Coe α et β sot o uls, o a écessareet : 1+ α et 1+ β S u de ces deux égaltés est strcte alors o a ( 1+ α)( 1+ β) > 4 Ce qu est absurde pusque ( 1+ α)( 1+ β) = 4 O a doc 1+ α = et 1+ β =, c'est-à-dre : α = β = 1 Faleet : 1 1 = = 6 Rearque : les 4 dvseurs de sot : 1,, et 6 O a c : ( 1+ α)( 1+ β) = 6 Coe 1+ α et 1+ β, l vet : { 1+ α = et1+ β = } ou { 1 α et1 β } 1 er cas : 1+ α = et1+ β = 1 Alors α = 1et β = Doc = = 18 Les 6 dvseurs de sot : 1,,, 6, 9 et 18 èe cas : 1+ α = et1+ β = 1 Alors α = etβ = 1 Doc = = 1 Les 6 dvseurs de sot : 1,,, 4, 6 et 1 1 = = 18 ou 1 = = 1 + = + = O a c : ( 1+ α)( 1+ β) = 18 Coe 1+ α et 1+ β, l vet : { 1+ α = et1+ β = 9} ou { 1+ α = 9et1+ β = } ou { 1+ α = et1+ β = 6} ou { 1+ α = 6et1+ β = } 1 er cas : 1+ α = et1+ β = Alors α = 1et β = 8 Doc = = 11 Les 18 dvseurs de sot : 1,,, 6, 9, 18, 7, 54, 81, 16, 4, 486, 79, 1 458, 187, 4 74, et 1 1 Lycée Féelo Sate-Mare 10/1 M Lchteberg Verso d août 01

11 Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 èe cas : 1+ α = 9et1+ β = 8 1 Alors α = 8etβ = 1 Doc = = 768 Les 18 dvseurs de sot : 1,,, 4, 6, 8, 1, 16, 4,, 48, 64, 96, 18, 19, 56, 84 et 768 èe cas : 1+ α = et1+ β = 6 5 Alors α = etβ = 5 Doc = = 97 Les 18 dvseurs de sot : 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 7, 6, 54, 81, 108, 16, 4, 4, 486 et 1 1 èe cas : 1+ α = 6et1+ β = 5 Alors α = 5etβ = Doc = = 88 Les 18 dvseurs de sot : 1,,, 4, 6, 8, 9, 1, 16, 18, 4,, 6, 48, 7, 96, 144 et = = 11, 8 1 = = 768, 5 = = 97 ou 5 = = 88 N 6 page 461 Sot l eter aturel cherché O a 8 = 7 A partr de là (cf l exercce 57), o peut obter dverses cobaso d exposats apparassat das la décoposto e facteurs preers de (par exeple 6- ou 1-1-6) Nous allos rasoer sur le obre de facteurs preers apparassat das la décoposto e facteurs preers de l eter Supposos qu l y at qu u obre preer das la décoposto de Pusque l o α cherche le plus pett eter possble, ce facteur est égal à : = Mas alors, d après 7 l exercce 57, o a 8 = 1+ α, sot : α = 7 O obtet alors : = qu est très grad : 7 = Supposos ateat qu l y at deux obres preers das la décoposto de Pusque α β l o cherche le plus pett eter possble, ces facteur sot égaux à et : = Pour obter l eter de cette fore le plus pett possble, o va poser α > β D après l exercce 57, o a 8 = ( 1+ α )( 1+ β ) Coe α > β, o a : 1+ α > 1+ β A partr de 8 = 14 = 4 7, o obtet deux possbltés : 1 1 = < = 1 78 < Rearque : o pouvat «drecteet» obter cette deuxèe soluto e otat que le obre sera d autat plus pett que la soe des exposats (qu doe le obre total de facteurs apparassat das le produt) est fable As la soluto 6- est elleure que la soluto 1-1 car 6+ < 1+ 1 Lycée Féelo Sate-Mare 11/1 M Lchteberg Verso d août 01

12 Dvsblté et cogruece Corrgés d exercces / Verso d août 01 Supposos ef qu l y at tros obres preers das la décoposto de Pusque l o α β γ cherche le plus pett eter possble, ces facteur sot égaux à, et 5 : = 5 Coe 8 = 7, deux des tros exposats serot égaux à 1 et le trosèe à 6 Le plus pett eter est alors obteu avec α = 6 et β = γ = 1 6 O obtet : 5 = = 960 < 1 78 Le plus pett eter aturel adettat exacteet 8 dvseurs est 960 Rearque : les 8 dvseurs de 960 sot : 1,,, 4, 5, 6, 8, 10, 1, 15, 16, 0, 4, 0,, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 10, 160, 19, 40, 0, 480 et 960 Lycée Féelo Sate-Mare 1/1 M Lchteberg Verso d août 01