Optimisation non linéaire

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1 Optimistio o liéire Nio Silerio Support e cours proisoire pour l uité e leur Mthémtiques et sttistiques estié ux clsses u BTS Comptbilité-Gestio e l ECG. Itrouctio Au lycée, ue gre prtie u cours e mthémtiques est coscrée à l étue e foctios. Ds ce chpitre, ous erros à quoi peuet serir ces cocepts s l prtique, pour résoure es problèmes optimistio à trers l étue étillée e ombreux exemples. Ds u problème optimistio il s git, l pluprt u temps, e étermier le miimum ou le mximum ue foctio. Ceci requiert géérlemet l recherche extremums pr l étue e l ériée première e l foctio à optimiser. Rppels 1. L foctio f' ( x) lim fx ( + h) fx ( ) est ppelée l ériée e l h 0 h foctio f pr rpport à x. Elle est ecore otée fx ( ). L ériée e f' est ppelée ériée secoe e f et est otée f'' ou fx ( ).. Soit c ue costte, u etier positif, f( x) et gx ( ) eux foctios, lors pour tout ombre réel x, o : 1

2 [ c] 0 [ x ] x 1 (1) () [ cf( x) ] c [ fx ( )] (3) [ fx ( ) ± g( x) ] [ fx ( )] ± [ gx ( )] (4) [ fx ( )gx ( )] fx ( ) [ gx ( )] + gx ( ) [ fx ( )] (5) fx ( ) gx ( ) gx ( ) [ fx ( )] f( x) [ gx ( )] [ gx ( )] (6) y 3. Si ue foctio f érible met u extremum (miimum ou mximum) u poit x x 0, lors s ériée s ule e ce poit : f' ( x 0 ) 0. f[ g( x) ] et u g( x) lors y f( u) et y y u u 4. Si ue foctio f est érible s u iterlle ], b[ cotet x 0, si f' ( x 0 ) 0 et si f' ( x) chge e sige pour x 0, lors f présete u extremum reltif pour. 5. Soit f' ( x 0 ) 0 ; lors f u mximum u poit x x 0 si f'' ( x 0 ) < 0 et u miimum si f'' ( x 0 ) > 0. x 0 (7) Exemples PROBLÈME 1 : Détermier les imesios u rectgle tel que so ire soit mximle pour u périmètre fixe e 100 m. Optimistio o liéire

3 SOLUTION : Soit y x l logueur u rectgle (e mètres) y l lrgeur u rectgle (e mètres) A l ire u rectgle (e mètres crrés) L ire est ue foctio à eux ribles, à soir l logueur x et l lrgeur y : x Axy (, ) x y et puisque le périmètre u rectgle ut 100, lors 100 x + y, c est-à-ire que y 50 x. Remplços cette expressio s l formule e l ire, o obtiet lors ue formule e l ire qui e épe plus que ue seule rible Ax ( ) x ( 50 x) x + 50x Nous sommes e présece ue foctio o liéire à ue rible qu il s git e mximiser. x est ue logueur qui e peut ps être égtie ; e plus, elle e peut ps épsser l leur e 50 mètres. Il fut que ous trouios oc le mximum e l foctio A(x) pour les leurs e x comprises s l iterlle [0, 50]. Clculos l ériée e l ire Ax ( ) x + 50 L ériée s ulle pour x 5. Clculos l ériée secoe Ax ( ) qui est toujours égtie. Pr coséquet, ous sommes bie e présece u mximum. Le rectgle e périmètre 100 yt ue ire mximle est oc u crré ot les côtés mesuret 5 m et yt ue surfce e 65 m. PROBLÈME : À prtir e tôles e imesio 500 mm sur 800 mm, il fut prouire es boîtes rectgulires ot le olume est mximl. Optimistio o liéire 3

4 SOLUTION Soit y b x x l logueur e l tôle rectgulire, 800 mm b l lrgeur e l tôle rectgulire, 500 mm x l logueur e l boîte, e mm y l lrgeur e l boîte, e mm l huteur e l boîte, e mm Le olume est ue foctio à trois ribles, à soir l logueur x, l lrgeur y et l huteur : Il fut remrquer que ( x + ) et que b y+ où o tire que x -- et y b. Remplços ces eux expressios s l formule u olume V( x, y, ) x y V( x, y, ) -- ( b ) b b + 3 ( + b) + b O obtiet lors ue formule u olume qui e épe plus que ue seule rible, à soir, puisque et b sot eux costtes V ( ) 3 ( + b) + b Nous sommes e présece ue foctio o liéire à ue rible qu il s git e mximiser. est ue logueur qui e peut ps être égtie ; e plus, elle e peut ps épsser l leur e 400 mm. Il fut que ous trouios oc le 4 Optimistio o liéire

5 mximum e l foctio V() pour les leurs e comprises s l iterlle [0, 400]. Clculos l ériée u olume Détermios les éros e l ériée. Pour cel ous clculos le iscrimit e l équtio u seco egré e et pr coséquet, les eux rcies possibles sot c est-à-ire V ( ) 6 ( + b) + b b 4c 4( + b) 4 6 b b 4b 4( + b b) ( + b) ( + b) et ( + b) + + b b ( + b) + b b b + + b b b + b b comme 800 mm et b 500 mm Optimistio o liéire 5

6 oit être rejeté puisque b 500 et que b y+. Afi e étermier si l leur 100 fourit u mximum pour V ( ), ous clculos l ériée secoe V ( ) [ 6 ( + b) ] + b ( + b) < 0 et pr coséquet pour 100, ous obteos bie u mximum pour le olume e l boîte. Les imesios optimles pour l boîte sot oc x mm y b mm 100mm V xy mm 3 9l PROBLÈME 3 : Soit poits P i e cooroées (x i, y i ). Il fut étblir les formules ot les roites e régressio (roites es moires crrés) e y e x. SOLUTION : y x+b y i x i +b P i x i 6 Optimistio o liéire

7 Ds ce problème il s git e trouer les cœfficiets et b ue roite y tel que l somme es crrés es istces epuis les poits P i jusqu à l roite y soit miimle. L écrt e l roite y pr rpport à u poit P i est oé pr e i y i ( x i + b) si ous mesuros l istce le log e l xe es y epuis le poit P i jusqu à l oroée u poit x i sur l roite y. U tel écrt peut être égtif ou positif et c est pourquoi ous e miimisos ps l somme e écrts, mis l somme es crrés es écrts. O isi E e i ( y i ( x i + b) ) ( y i x i b) i 1 i 1 i 1 (1) Le but est e miimiser E e foctio e et e b ; x i et y i étt es oées costtes. Clculos l ériée e E pr rpport à b E b L ériée s ulle si côtés pr et o obtiet y b ( i x i b ) ( y i x i b) i 1 Remplços () s (1) : i 1 y + x + b i i i 1 i 1 y i x + b i. Diisos les eux i 1 i 1 y x+ b b y x ou () E ( y i x i ( y x) ) ( y i x i y + x) i 1 i 1 [( y) x ( i x) ] y i i 1 Optimistio o liéire 7

8 E e épe plus que e. Clculos oc s ériée pr rpport à pour trouer l leur qui miimise E E i 1 [( y i y) x ( i x) ] ( x i x) [( y i y) x ( i x) ] i 1 ( x i x) ( y i y) + ( x i x) i 1 i 1 Il y u extrémum si E 0, c est-à-ire si 1 COVARIANCE Nous sos que l rice Vx ( ) -- x. L corice ( i x) 1 est éfiie isi : Co( x, y) -- x. ( i x) ( y i y) (3) peut ecore s écrire ( x) ( y i y) x i i 1 x i i ( x) i 1 i 1 (3) Co ( x, y) Vx ( ) (4) Aisi oc l roite e régressio e y e x psse pr le poit moye Co( x, y) e cooroées ( x, y) et pour pete et b y x. Vx ( ) PROBLÈME 4 : À quelle itesse eriet rouler toutes les oitures sur utoroute pour que le ébit soit mximl? Nous supposos que les oitures ot ue logueur moyee l e 5m et que toutes les oitures roulet à ue 8 Optimistio o liéire

9 même itesse costte et respectet toutes ue istce e sécurité s ec le éhicule qui les précèe. SOLUTION : Nous éfiissos le ébit comme étt le ombre e cpots e oitures psst ue lige fictie pr uité e temps. l l l s s s l t t L oiture frchisst cette lige à l istt t+ t prcouru ue istce égle à t pet le lps e temps t. Or cette oiture étit à l istt t à ue istce [ t ( + t) t ()]( s + l) e l lige fictie, où t () ésige le ombre moye e éhicules psst l lige à l istt t. Pr coséquet s ( + l) t et t s+ l (1) Détermios mitet l istce e sécurité s. Elle se compose e l istce e freige f et e l istce prcourue pr l oiture pet le temps e réctio u chuffeur r. E suppost que le freige suit u mouemet uiformémet écéléré, ous sos que l itesse ue oiture suit l loi t t + 0 () étt l ccélértio costte, l itesse iitile(à l istt t 0). E itégrt (), ous obteos 0 x t t+ x 0 (3) x 0 étt l cooroée e l oiture à l istt t 0. Optimistio o liéire 9

10 De l équtio () o tire t obtiet isi que ous remplços s (3). O ( x x 0 ) ( 0 ) + 0 ( 0 ) 0 L istce e freige ut oc f (4) et l istce e sécurité s écrit s f + r t. Remplços cette expressio s (1) : t + l Pour trouer le ébit mximum, ous érios pr rpport à t + l t + l t t + l L ériée s ule si le umérteur s ule, c est-à-ire si Pour coître, ous ous reportos à ue brochure e l sécurité routière qui iique les leurs suites (sur route sèche) : itesse 40km/h 50km/h 60km/h 100km/h 10km/h 130km/h istce e freige t + l t l l 8m 1m 18m 48m 7m 108m 10 Optimistio o liéire

11 Exercices o résolus À prtir e ces leurs et e l formule (4), ous clculos ue leur pprochée moyee e. E fit, e (4) ous sos que , f oc pr exemple pour ue itesse e 100km/h [ ( ) ] 48 8m s Si ous estimos l logueur es oitures à 5m, le ébit est oc mximl lorsque toutes les oitures roulet à l m s 3km h O estime souet le temps e réctio à 0.5s, ce qui ous fit ue istce e sécurité égle à t m Le ébit mximl est lors e à l heure s + l oitures Exercices o résolus 1. Toto ispose e 40 m e fil brbelé pour clôturer ue prcelle rectgulire ot u côté est élimité pr u mur. Quelles sot les imesios u rectgle mximist l ire e l prcelle e utilist les 40 m e fil? Rép. L logueur est e 0 m et l lrgeur e 10 m.. O eut costruire ue boîte ouerte à prtir ue plque e tôle e 16 cm sur 30 cm e coupt qutre crrés égux e chcu es cois et e replit les côtés restts. Quelle oit être l tille es crrés isi écoupés pour que le olume e l boîte soit mximl? Rép. Les côtés e chque crré mesuret mximl est e cm cm 3 et le olume 3. Refire le problème 3, mis cette fois-ci il fut clculer l roite e régressio e x e y. Optimistio o liéire 11

12 Référeces Référeces [1] H. Ato, Clcul ifféretiel et itégrl, Les Éitios Reyl Goulet Ic., 1995 [] N. Piskouo, Clcul ifféretiel et itégrl, Éitios Mir, 1980 [3] G. Pgès, C. Bouit, E psst pr hsr, Vuibert, Optimistio o liéire