Chapitre 8 wicky-math.fr.nf Suites. Exercices : Suites. 4.u n = n u n = cos n π ) 6.u n =n 2 n + 1. u n+1 = u n 1.

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1 1 Défiir ue suite Exercices : Suites Exercice 1. Pour chacue des suites suivates, trouver la foctio f à valeurs réelles telle que, pour tout, u =f), puis calculer les termes deu 0 àu 5 1.u = + 5.u = 1 + [.u = si + 1) π ] 4.u = u = cos π ) 6.u = + 1 Exercice. Pour chacue des suites suivates, trouver la foctio f à valeurs réelles telle que, pour tout, u +1 =fu ) et calculer les termes deu 1 àu 5 u 0 = 5 1. u +1 = u u 0 =. u +1 = u 1. u + 1 { u0 = 1 u +1 =u + 1) 4. u { u0 = 1 u +1 = u + 1 Ses de variatio Exercice. Etudier le ses de variatio de la suite u ) das chacu des cas suivats : 1.u = + 1.u =.u = 5) 4.u = + 1, 1 5.u = si π ) 6.u = 1) + 7.u 0 = et, N,u +1 =u 8.u = u = u = ) Limite d ue suite Exercice 4. Etudier la limite évetuelle des suites u ) suivates : 1.u = 5 4, N.u = 1, N.u = 1 +, N 4.u = 5.u = 1 ) + ), N si π ), N 6.u = 1), N 1

2 Exercice 5. La suite u ) est défiie par u = Démotrer que, pour tout N,u <. E déduire la limite de la suite u ) Exercice 6. Détermier la limite de la suite u ) défiie par : u = si + cos + 5 Exercice 7. O cosidère la suite u ) défiie par récurrece par : u 0 = 1 u 1 = u + =6u +1 5u 1. Calculeru,u etu 4. Résoudre l équatio du secod degré suivate :x = 6x 5. Détermier deux réelsaetb tels que :u =A 5 +B 4. E déduireu 10 4 Suites arithmétiques Exercice 8. O cosidère la suite u ) défiie par : u = 5 1. Calculeru 0,u 1 etu. Démotrer que u ) est ue suite arithmétique dot o précisera la raiso.. Que vautu 100? Calculer la sommes=u 0 +u 1 + +u 100 Exercice 9. O cosidère la suite u ) défiie par : u = + 1) 1. Calculeru 0,u 1 etu.. La suite est-elle arithmétique? Si oui, préciser sa raiso.. Que vautu 99? Calculer la sommes= Exercice 10. La suite u ) est arithmétique de raisor= 8. O sait queu 100 = 650. Que vautu 0? Exercice 11. Calculer la somme suivate :S= Exercice 1. La suite u ) est arithmétique de raisor. O sait queu 50 = 406 etu 100 = Calculer la raisor etu 0.

3 . Calculer la sommes= i=100 u i i=50 Exercice 1. Lequel des deux ombres suivats est le plus grad? A = ) B = ) Exercice 14. O cosidère la suite u ) défiie par la relatio u = 1. Démotrer que la suite u ) est arithmétique de raisor que l o précisera. Préciser so ses de variatio.. Représeter graphiquemet la suiteu ). O se limitera aux ciq ou six premiers termes) 5 Suites géométriques Exercice 15. O cosidère ue suite géométrique u ) de premier termeu 1 = 1 et de raisoq= 1. Calculeru,u etu 4. Calculeru 0. Calculer la sommes= i=0 u i i=1 Exercice 16. U étudiat loue ue chambre pour as. O lui propose deux types de bail. 1 1 er cotrat : U loyer de 00=C pour le premier mois puis ue augmetatio de 5=C par mois jusqu à la fi du bail. ème cotrat : U loyer de 00=C pour le premier mois puis ue augmetatio de % par mois juqu à la fi du bail. 1. Calculer, pour chacu des deux cotrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.. Calculer, pour chacu des deux cotrats, le loyer du derier mois i.e du 6 ème mois).. Quel est le cotrat globablemet le plus avatageux pour u bail de as? Exercice 17. Détermier u ombrextel que les trois ombres : 5 x 16 soiet trois termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso égative. Exercice 18. Calculer la valeur exacte de la somme : S = Exercice 19. Calculer les sommes suivates : S 1 = et S = Exercice 0. O cosidère la suite défiie par :u =. Calculeru 0,u 1 etu. La suite u ) est-elle arithmétique? géométrique? 1. U bail est u cotrat de locatio

4 6 Approfodissemet Exercice 1. Les rayos cosmiques produiset cotiuellemet das l atmosphère du carboe 14, qui est u élémet radioactif. Durat leur vie, les tissus des aimaux et végétaux cotieet la même proportio de carboe 14 que l atmosphère. Cette proportio de carboe 14 décroit après la mort du tissu de 1, 4% par siècle. 1. Détermier les pourcetages de la proportio iitiale de carboe 14 coteu das le tissu au bout de 1000 as, 000 as et as.. Exprimer le pourcetage de la proportio iitiale de carboe 14 coteu das le tissu au bout dek 10 aées.. U fossile e cotiet plus que 10% de ce qu il devait coteir e carboe 14. Doer ue estimatio de so âge. Exercice. Les V.H.F voleurs fortemet hiérarchisés) avaiet tous, das leur bade, u grade différet. Comme ils avaiet, ue uit, volé u lot d appareils photographiques, leur chef déclara : «Le mois gradé e predra u. Celui du grade immédiatemet supérieur, deux. Celui du troisième grade, trois. Et aisi de suite.» Mais les voleurs se révoltèret cotre cette ijustice : «Nous e predros ciq chacu, dit le plus audacieux». Et aisi fut fait. Combie d appareils les V.H.F avaiet-ils volés? Exercice. Ue etreprise décide de verser à ses igéieurs ue prime auelle de 500=C. Pour e pas se dévaluer, il est prévu que chaque aée la prime augmete de % par rapport à l aée précédete. O ote u ) la suite des primes avecu 1 = Calculeru, puisu i.e la prime versée par l etreprise la ème aée et la ème aée). Préciser la ature de la suite u ) aisi que sa raisoq. U igéieur compte rester 0 as das cette etreprise à partir du momet où est versée la prime.. Calculer la prime qu il touchera à la 0 ème aée i.eu 0 ) 4. Calculer la somme totales des primes touchées sur les 0 aées. i.es= i=0 u i ) i=1 Exercice 4. O dispose d u capitalc 0 de 1500=C. Le 1 er javier 000, o place ce capital sur u compte à itérêts composés de % par a. 1. Calculer le capitalc 1 obteu au bout d u a.. Calculer le capitalc 7 obteu au bout de 7 as. De quel pourcetage a augmeté le capital pedat ces 7 aées? 4. Combie d aées faut-il laisser cet arget sur le compte afi d avoir u capital d au mois 000=C? Exercice 5. O cosidère la sommes= Trouver, à l aide de la calculatrice, l etiertel que = Combie y-a-t-il de termes das la sommes?. Calculer la sommes Exercice 6. O cosidère la suite u ) défiie, pour tout etier aturelpar : u 0 = u +1 = u Calculeru 1 etu. La suite u ) est-elle arithmétique? Géométrique? Ni l u i l autre? 4

5 . Démotrer, par récurrece, que pour tout etier aturel, o a : 0<u. O cosidère la suite v ) défiie pour tout etier aturelpar : v = u 1 u + a) Calculerv 0,v 1 etv. Démotrer que la suite v ) est géométrique. b) Exprimerv e foctio de c) Exprimeru e foctio dev. Que vautu 10? Exercice 7. O cosidère la suite géométrique défiie de la faço suivate : u 1 et u +1 = u N 1. Calculeru,u etu 4. Exprimeru e foctio de, pour tout N. Calculer ue valeur approchée deu 64.. La légede du jeu d échec : le roi demada à l iveteur du jeu d échec de choisir lui-même sa récompese. Celui-ci répodit : «place 1 grai de blé sur la première case de l échiquier, deux grais sur la deuxième, quatre grais sur la troisième, et aisi de suite jusqu à la 64 ème case». Le roi sourit de la modestie de cette demade. Calculer ue valeur approchée du ombre total de grais de blé que le roi devra placer sur l échiquier. Exercice ABC est u triagle rectagle. La logueur de so plus petit côté est 1 et les logueurs de ses côtés sot trois termes cosécutifs d ue suite arithmétique. Détermier ces logueurs.. ABC est u triagle rectagle. La logueur de so plus petit côté est 1 et les logueurs de ses côtés sot trois termes cosécutifs d ue suite géométrique. Détermier ces logueurs. Exercice 9. Calculer les sommes suivates : I = ) somme despremiers etieers aturels impairs P = somme despremiers etiers aturels pairs Exercice 0. Calculer la somme suivate : S = Exercice 1. Résoudre l équatio : 1 x + 1 x x 8 = 0. Idicatio : regrouper les termes par deux. Idicatio : calculer la somme puis remarquer que sixest solutio alorsx<0 5

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