3 Révisions : Dénombrement BCPST 2 - Lycée F1

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1 FEUILLE 3 Révisios : Déombremet BCPST - Lycée F1 Modèles de base Exercice 1: [Idicatios] [Correctio] Soiet, p des etiers Quel est le cardial des esembles suivats : 1 1; p a A = {(i 1,, i p i 1; où les i sot à disticts b P = {(i 1,, i i 1; où les i sot à disticts 3 C = {{i 1,, i p = 1,, p, i 1; où les i sot à disticts Exercice : [Idicatios] [Correctio] 1 Soiet, p N Quel est le ombre de p uplets (i 1,, i p N p tels que : a 1 i 1 < i < < i p b 1 i 1 i i p c i 1 + i + + i p = avec = 1 p, i 0 d i 1 + i + + i p = Applicatios : a Quel est le ombre de solutios de x+y+z+t = 50, avec x, y, z, t N? b Quel est le ombre de solutios de x+y +z +t = 50, avec x, y, z, t N? c Quel est le ombre de solutios de x + y + z = 40, avec x, y, z N? 3 Établir les foctios Pytho (d argumet p et permettat de simuler l esemble des p-listes demadées das la questio 1 (et accessoiremet de les compter Exercice 3: [Idicatios] [Correctio] "Modèle des ures" : Ue ure cotiet boules umérotées 1 Combie y a t-il de maières d effectuer a tirages avec remise où l o tiet compte de l ordre des tirages? b tirages sas remise où l o tiet compte de l ordre des tirages? c tirages sas remise, et sas se soucier de l ordre des tirages? Costruire des foctios Pytho d argumet et permettat de simuler l esemble des résultats de chacu de ces tirages Exercice 4: [Idicatios] [Correctio] Compter le ombre de résultats possibles e effectuat tirages avec remise das ue ure cotieat boules umérotées sas se soucier de l ordre des tirages? Exercice 5: [Idicatios] [Correctio] "Modèle des boites" : O dispose de boites discerables Combie y a t-il de maières de répartir 1 boules discerables etres elles das ces boites, avec la possibilité de mettre plusieurs boules das la même boite? boules idiscerables etres elles das ces boites? 3 boules idiscerables das ces boites, avec au mois ue boule par boite? 4 boules idiscerables etres elles das ces boites, sas mettre deux boules das la même boite? Cocrètemet Exercice 6: [Idicatios] [Correctio] Les mousquetaires ot mélagé leur bottes das le couloir de l Auberge D Artaga se lève le premier et pred deux bottes au hasard De combie de maières différetes peut-il associer 1 ue vraie paire? deux bottes quelcoques? 3 deux bottes droites? 4 deux bottes apparteat à deux persoes différetes? Exercice 7: [Idicatios] [Correctio] O coviet d appeler " mot " importe quelle suite fiie de lettre, même si celui-ci e figure pas das le dictioaire 1 Combie de mots de 8 lettres peut-o écrire avec les lettres A,B,C? Parmi eux combie cotieet : a au mois ue lettre A? b exactemet ue lettre A? c exactemet 3 lettres A, lettres B et 3 lettres C? d autat de lettre A que de lettre B? Exercice 8: [Idicatios] [Correctio] U paquet cotiet 3 feuilles vertes, rouges et 5 blaches O aimerait e faire u livret de 10 pages 1 O suppose que les feuilles e sot distiguables que par leur couleur Détermier le ombre d agecemet possibles tels qu o altere a les feuilles colorées avec les feuilles blaches b les feuilles vertes avec les feuilles rouges Repredre la questio e supposat que toutes les feuilles sot différetes 1 Feuille 3: Révisios : Déombremet

2 Exercice 9: [Idicatios] [Correctio] De combie de faços peut-o placer 15 plas de pesées discerables das 3 pots, avec 5 plas das le premier pot et 7 plas das le deuxième pot? Exercice 10: [Idicatios] [Correctio] Combie y a-t-il de faço de répartir 1 5 hommes et 4 femmes sur u bac comportat 9 places umérotées de 1 à 9 de telle maière que les femmes occupet les places paires? 3 hommes et 3 femmes autour d ue table rode sas qu ue femme e soit à coté d ue autre femme (O rappelle qu il y a i début i fi sur ue table rode Exercice 11: [Idicatios] [Correctio] Trois persoes A, B, C se partaget 7 pièces de 1 euros 1 Combie de partages sot possibles? Combie y a-t-il de partages où chaque persoe reçoit quelque chose? 3 Repredre la questio 1 avec pièces Exercice 1: [Idicatios] [Correctio] Das combie de ombres etre 1000 et 9999 recotre-t-o 1 zéro fois le ombre 3? ue fois le ombre 3? 3 trois fois le ombre 7? Exercice 13: [Idicatios] [Correctio] Combie peut-o dessier de carrés o vides (ie o réduits à u poit e utilisat la grille de taille? Ci-dessous par exemple ue grille de taille 3 3 : Exercice 16: [Idicatios] [Correctio] Soit E u esemble à élémets 1 Etat doé A ue partie de E à p élémets, détermier le cardial des esembles suivats : a M = {B P(E : B A b N = {B P(E : B A = c R = {B P(E : A B Pour tout p, détermier le cardial de l esemble {(A, B (P(E : A = p et B A = 3 E déduire le cardial de l esemble {(A, B (P(E : B A = Exercice 17: [Idicatios] [Correctio] 1 Dire avec Pytho quel est le ombre d etiers compris etre 1 et 1470 qui e sot divisibles i par, i par 5, i par 7 Cofirmer ce résultat par votre propre calcul Exercice 18: [Idicatios] [Correctio] O cosidère A = {(i, j i, j = 1,, 5 et les propriétés suivates : P 1 : i + j est pair P : j est impair P 1 : i est pair P 1 : i j < 16 P 1 : i = j 1 Combie d élémets de A vérifiet la propriété (P 1 et P et P 3 Combie d élémets de A vérifiet la propriété (P 1 et P 3 et P 4 3 Combie d élémets de A vérifiet la propriété (P et P 3 et P 5 Coefficiets biomiaux Exercice 14: [Idicatios] [Correctio] O cosidère les esembles E = {a, b, c et F = {1,, 3, 4, 5 1 Combie existe-t-il d applicatios de E das F? Combie existe-t-il d applicatios f de E das F telles que f(a = 1? 3 Combie existe-t-il d applicatios ijectives de E das F? 4 Combie existe-t-il d applicatios surjectives de E das F? 5 Combie existe-t-il d applicatios de E F das F 3? Exercice 15: [Idicatios] [Correctio] Soit N Combie y a-t-il de surjectios d u esemble de cardial + 1 das u esemble de cardial? Exercice 19: [Idicatios] [Correctio] Soit N Calculer 1 C 1 = ( et C = ( 1 ( S 1 = =0 ( [ ] =0 et =0 ] [ 1 S =0 ( +1 3 Applicatio : Motrer qu il y a autat de parties de E = {1,, de cardial pair d élémets que de parties de cardial impair Exercice 0: [Idicatios] [Correctio] Soit N 1 À l aide de la formule de Pascal, calculer = ( 1 1 Calculer de deux maières différetes combie de mots de lettres o peut former avec lettres A et lettres B, puis retrouver la formule ( id : O pourra par exemple cosidérer le ombre exact de B au début du mot Feuille 3: Révisios : Déombremet

3 Exercice 1: [Idicatios] [Correctio] Soiet p, N, où p 1 À l aide de la formule de Pascal, motrer que ( ( p = +1 Calculer S = =p =p ( ( p (O rappelle que ( + 1 ( p = (p Exercice : [Idicatios] [Correctio] Formule de Vadermode 1 Motrer que, pour tout etier, m N et 0, m +, o a E déduire que =0 i=0 ( ( m = i i ( ( = ( m + Exercice 3: [Idicatios] [Correctio] Amélie mote les escaliers de so immeuble pour aller à so appartemet Au départ, elle est tout e bas (marche 0 Elle peut, selo so humeur, moter d ue ou deux marches d u coup sas jamais redescedre 1 Pour tout etier aturel N, o ote a le ombre de faços dot elle peut echaîer les frachissemets d ue ou deux marches pour arriver à la marche a Détermier ue relatio de récurrece etre a +, a +1 et a b E déduire l expressio de a e foctio de pour tout etier N Soit N O appelle s le ombre de sauts de deux marches que peut faire Amélie pour atteitre la marche uméro a Quelles sot les valeurs possibles pour s? b Calculer e foctio de s le ombre de pas écessaires pour atteidre la case uméro c Détermier le ombre de faços d atteidre la marche uméro, e faisat s sauts de deux marches d E déduire, e foctio de, la valeur de Quelques problèmes =0 ( Exercice 4: [Idicatios] [Correctio] "ue alterative au Problème de Galilée" Georges et Méré jouet au 41 sur le comptoir d u bar Ue discussio s egage sur deux paradoxes 1 Pourquoi, e laçat 3 dés, obtiet-o plus souvet ue somme de 10 que 1 alors qu il y a autat de combiaiso pour obteir chaque résultat? Est-il plus fréquet d obteir au mois u 6 e laçat 6 fois u dé que d obteir au mois deux 6 e laçat 1 fois u dé? (Vous pouvez utiliser Pytho pou répodre aux questios Exercice 5: [Idicatios] [Correctio] O jette 4 dés Das combie de cas la somme de deux dés est-elle égale à la somme des deux autres? (O pourra faire le raisoemet "à la mai" ou avec Pytho Exercice 6: [Idicatios] [Correctio] O dispose de a lettres A et b lettres B, avec ces = a + b lettres o forme u " mot " 1 Combie de mots disticts peut-o former? Gééraliser au cas de lettres 3 E déduire la formule : (x 1 + x + + x = r 1+r + +r =! r 1!r! r! xr1 1 xr xr Exercice 7: [Idicatios] [Correctio] 1 Combie y a-t-il d etiers compris etre 1 et dot le cube se termie par 11? Cofirmez le résultat obteu à l aide de Pytho Exercice 8: [Idicatios] [Correctio] Nombre de déragemets O se doe objets umérotés de 1 à que l o souhaite rager sur places umérotées de 1 à O appelle déragemet sas coïcidece tout placemet de ces objets sas qu aucu d eux e soit à la place de so uméro 1 Calculer le ombre D de déragemets sas coïcidece O appelle déragemet avec coïcidece tout placemet de ces objets où exactemet objets sot à la place de leur uméro O ote D, le ombre de déragemet avec coïcideces possibles Justifier les égalités ci-dessous : a D, = 1 ; D, 1 = 0 b D, = ( D c D, =! =0 3 Applicatio : Si u facteur distribue le courrier à 5 persoes au hasard Combie y a-t-il de possibilités pour a qu aucue des persoes e reçoive so courrier? b Au mois deux persoes recoivet leur courrier? 3 Feuille 3: Révisios : Déombremet

4 Bcpst Lycée Fraçois 1 er FE 3 - Révisios : Déombremet Idicatios Exercice 4 [Correctio] O peut par exemple se rameer à l étude de l esemble E = {(1,, 1,,,,,,, N 1 + N + N = N 1 fois N fois N fois Exercice 6 [Correctio] Les mousquetaires sot 4 e tout Exercice 1 [Correctio] Attetio, il faut peser à retirer les ombres etre 0 et 999 Exercice 15 [Correctio] Cosidérer la liste des + 1 images des élémets de l esemble de départ Exercice 17 [Correctio] Calculer le cardial de l esemble M M 5 M 7, où M i désige l esemble des multiples de i das 1; 1470 Exercice 19 [Correctio] Calculer S 1 + S et S 1 S Exercice 1 [Correctio] Se rameer à la questio précédete : peser à dire que = ( + 1 1! Exercice 4 [Correctio] 1 Observer les résultats obteus pour chaque dé Exercice 8 [Correctio] 1 O passe par l évéemet cotraire O ote A i l esemble des permutatios pour lesquelles l objet i est à la place i Le ombre cherché est doc le cardial de l esemble A 1 A A Peser à la formule du crible 4 Feuille 3: Révisios : Déombremet

5 Bcpst Lycée Fraçois 1 er FE 3 - Révisios : Déombremet Solutios Exercice 1 1 card 1; r = p 0 si p > a carda =! si p ( p! b C est le ombre de permutatios de élémets, c est-à-dire! ( 3 C est le ombre de combiaiso de p élémets parmi, c est-à-dire p Exercice 1 a 1 i 1 < i < < i p : Méthode 1 : Cet esemble est e bijectio avec l esemble des choix de p élémets parmi : Chaque combiaiso de p élémets parmi correspos à u seul et uique classemet de ces ombres par ordre croissat Le ( cardial est doc p Méthode : O représete e lige poits qui représetet chacu u etier Esuite, o choisit de placer etre ces poits p 1 traits de séparatio de la maière suivate : { { i 1 {{ i L esemble demadé est doc e bijectio avec toutes les cofiguratios de poits et de traits ci-dessus Il s agit doc du ombre de choix de ( 1 p 1 traits das 1 emplacemets, d où p 1 b 1 i 1 i i p : Méthode 1 : Chaque élémet de Ω = {(i 1,, i p N p 1 i 1 i p peut être modélisé par le schéma suivat : cases sas croix et p avec ue croix {{ {{ i 1 {{ i {{ i 3 où i est le ombre de cases sas croix etre le début (à gauche et la ème croix (ou la fi, et ceci pour allat de 1 à p De plus, comme i 1 1, la première croix est forcémet placée après la première case Compter le ombre de possibilités reviet doc à choisir le ombre de choix possibles de placemets des p croix parmi les + p 1 cases libres, d où ( +p 1 p possibilités Méthode : L esemble est e bijectio avec {(i 1,, i p 1 i 1 < i + 1 < < i p + p 1 + p 1 So cardial est doc ( + p 1 p 5 Feuille 3: Révisios : Déombremet

6 c i 1 + i + + i p = avec = 1 p, i 0 : Méthode 1 : L esemble est e bijectio avec {( x 1, x,, x p 1 0 < x 1 < < x p 1 < i 1 i 1+i i 1+i p 1 c est-à-dire avec {(x 1,, x p 1 1 x 1 < < x p 1 1 Sot cardial est doc ( 1 p 1 Méthode : O représete e lige poits qui représetet chacu u etier Esuite, o choisit de placer etre ces poits p 1 traits de séparatio de la maière suivate : {{ {{ i 1 + i + + i p = L esemble demadé est doc e bijectio avec toutes les cofiguratios de poits et de traits ci-dessus Il s agit doc du ombre de choix de ( 1 p 1 traits das 1 emplacemets, d où p 1 Méthode 3 : O représete e lige poits qui représetet chacu u etier Esuite, o choisit de placer etre ces poits p 1 traits de séparatio de la maière suivate : {{ {{ i 1 + i + + i p = L esemble demadé est doc e bijectio avec toutes les cofiguratios de poits et de traits ci-dessus Il s agit doc du ombre de choix de ( 1 p 1 traits das 1 emplacemets, d où p 1 d i 1 + i + + i p = : Méthode 1 : L esemble est e bijectio avec {( x 1, x,, x p 1 0 x 1 x p 1 i 1 i 1+i i 1++i p 1 Sot cardial est doc ( + p 1 p 1 Méthode : (e fait, même idée État doée que, das le représetatio avec les poits, o e peut pas mettre deux barres au même edroit (qui représeterait i = 0, o choisit de rajouter des poits de la maière suivate : +p {{ {{ i i + 1 i p + 1 = + p Pour assurer le foctioemet, il fait p poits supplémetaires Cette fois ci, o a doc toujours p 1 traits à placer parmis + p 1 places Méthode 3 : cases sas croix et p avec ue croix {{ {{ i 1 i ( a 50 1 ( 3 = 49 3 = = ( b ( 3 = 53 3 = = 3 46 c C est u peu plus subtil Il faut raisoer sur les valeurs de y, qui peut aller de 0 à 40/ = 0, doc le ombre de possibilités est S = 0 y=0 = 0 y=0 = 0 y=0 card {(x, z N x + z = 40 y ( 40 y+ 1 1 (41 y = (0 + 1 = = Feuille 3: Révisios : Déombremet

7 3 O propose les programmes suivats : 1 def b_suites_strict_croissates (p,: """ Red les p- listes strictemet croissates de ombres etiers compris etre 1 et et leur ombre """ 3 L =[[ x] for x i rage (1,-p + ] 4 for i rage (,p +1 : 5 Laux =[] 6 for l i L: # est la liste de toutes les possibilités d idices [i1,, i_( -1 ] 7 # Valeurs possibles de i : de l [ -1]+1 à -p+ 8 for x i rage (l [ -1]+1,-p+ +1 : # Si l [ -1] est déjà trop grad, il e se passe rie et l est élimié 9 Laux +=[ l+[x]] 10 L= Laux 11 # O compte le ombre de résultats 1 retur (L,le (L 1 def b_suites_croissates (p,: """ Red les p- listes croissates de ombres etiers compris etre 1 et et leur ombre """ 3 L =[[ x] for x i rage (1, +1 ] 4 for i rage (,p +1 : 5 Laux =[] 6 for l i L: # est la liste de toutes les possibilités d idices [i1,, i_( -1 ] 7 # Valeurs possibles de i : de l[ -1] à 8 for x i rage (l[ -1], +1 : 9 Laux +=[ l+[x]] 10 L= Laux 11 # O compte le ombre de résultats 1 retur (L,le (L 1 def listes_sommes_o_ulles (p,: """ Red les p- listes d etier strictemet positifs dot la somme fait et leur ombre """ 3 L =[[ x] for x i rage (1,+ -p] 4 5 # O costruit la liste de toutes les possibilités jusqu à i_( p -1 6 for i rage (,p: 7 Laux =[] 8 for l i L: # est la liste de toutes les possibilités d idices [i1,, i_( -1 ] 9 # Valeurs possibles de i : de 1 à - sum (L 10 for x i rage (1,-sum (l +1 : 11 Laux +=[ l+[x]] 1 L= Laux # le derier est forcémet -( somme des autres 15 Laux =[] 16 for l i L: 17 ip=-sum (l 18 if ip!=0: 19 Laux +=[ l+[ ip ]] 0 L= Laux 1 # O compte le ombre de résultats 3 retur (L,le (L 1 def listes_sommes (p,: """ Red les p- listes d etier >=0 dot la somme fait et leur ombre """ 3 L =[[ x] for x i rage ( +1 ] 4 5 # O costruit la liste de toutes les possibilités jusqu à i_( p -1 6 for i rage (,p: 7 Laux =[] 8 for l i L: # est la liste de toutes les possibilités d idices [i1,, i_( -1 ] 9 # Valeurs possibles de i : de 1 à - sum (L 10 for x i rage (-sum (l +1 : 11 Laux +=[ l+[x]] 1 L= Laux # le derier est forcémet -( somme des autres 15 Laux =[] 16 for l i L: 7 Feuille 3: Révisios : Déombremet

8 17 Laux +=[ l+[-sum (l]] 18 L= Laux 19 0 # O compte le ombre de résultats 1 retur (L,le (L O peut tester avec l exemple 1 de la questio : 1 listes_sommes_o_ulles (4,50 O obtiet bie Exercice 3 1 a! b ( (! c 8 Feuille 3: Révisios : Déombremet

9 O propose les programmes suivats : 1 # tirages avec remise et ordre 3 def tirages_avec_remise (,: 4 """ Simule tirages avec remise de boules umérotées de 1 à """ 5 L =[[ i +1] for i i rage (] 6 for _ i rage ( -1 : # o passe das la boucle -1 fois 7 Laux =[] 8 for l i L: # chaque liste l déjà crée, o rajoute toutes les possibilités 9 for j i rage (1, +1 : 10 Laux +=[ l+[j]] 11 L= Laux 1 retur (L 1 # tirages sas remise et avec ordre 3 def tirages_sas_remise (,: 4 """ Simule tirages avec remise de boules umérotées de 1 à """ 5 L =[[ i +1] for i i rage (] 6 for _ i rage ( -1 : # o passe das la boucle -1 fois 7 Laux =[] 8 for l i L: # chaque liste l déjà crée, o rajoute toutes les possibilités 9 # O créer la liste de tous les ombres possibles restats 10 Possibles =[p for p i rage (1, +1 ] 11 for x i l: 1 Possibles remove (x 13 # maiteat, Possibles est costitué de tous les complémets acceptables pour l 14 for j i Possibles : 15 Laux +=[ l+[j]] 16 L= Laux 17 retur (L 1 # tirages sas remise et sas ordre 3 def tirages_sas_remise_sas_ordre (,: 4 # O commece par simuler tous les tirages avec ordre 5 LOrdre = tirages_sas_remise (, 6 # O va élimier ceux qui sot redodats 7 LO =[ LOrdre [0]] 8 prit ( LO 9 for l i LOrdre : 10 # O vérifie si l est das LO das le désordre 11 Preset = False 1 prit ( l est,l 13 prit ( LO est, LO 14 for liste i LO : # o parcourt LO 15 Egal = True 16 for x i l: 17 if ot (x i liste : 18 Egal = False 19 # Sio, tous les élémets de l sot das liste Comme il y a pas de doublos possibles, c est fii 0 1 if Egal == True : # Sigifie que l est déjà représeté Preset = True 3 if Preset == False : 4 LO +=[ l] 5 retur ( LO Exercice 4 Comme les tirages sas avec remise et sas ordre, l esemble des résultats possibles est e bijectio avec l esemble E = {(1,, 1,,,,,,, N 1 + N + N = N 1 fois N fois N fois Autremet dit, il y autat de solutios que de répartitio des ombres N 1, N,, N de somme O peut doc se rameer aux exercices précédemmet traités Le ombre de possibilités est doc de ( ( ( 1 1 = 1 ( Feuille 3: Révisios : Déombremet

10 Exercice 5 1 O peut faire ue liste : à chaque boule o associe sa boite, autremet dit, c est la cardial de 1,, autremet dit, Le programme suivat doe l esemvble des possibilités : 1 def repartitio_boules_discerables (,: """ red l esemble des possibilités de répartitio de boules das boites avec plusieurs possibilités das la même boite """ 3 4 L =[[ x] for x i rage (1, +1 ] # Iitialisatio : la boule 1 choisit sa boite 5 for i i rage (, +1 : # o passe e revue chaque boule 6 aux =[] 7 for l i L: 8 for j i rage (1, +1 : # tous les uméros de boite sot possibles 9 aux +=[ l+[j]] 10 L= aux 11 retur ([L,le (L] et le programme suivat red ue simulatio au hasard : 1 import radom as rd 3 def choisit_repartitio_boules_discerable (,: 4 """ Red ue possibilité au hasard parmi l esemble de toutes les répartitios possibles de boules das boites """ 5 retur ([ rd radit (1, for _ i rage (1, +1 ] O peut expliquer u résultat possible sous forme de schéma : qui désige boules das la première boite, 1 boule das la deuxième, aucue das la troisème, etc Il faut doc choisir à quelle positio o met le trait (Attetio, il e faut placer que 1 traits, le coteu du derier tiroir état forcémet cou lorsque l o a rempli les -1 premiers Le tout est e bijectio avec l esemble {(i 1,, i 1 0 i 1 i i 1 où i désige la positio du èmè trait, ou ecore l esemble des solutios de avec les i j potetiellemet uls i i = Le ombre de possibilités est doc ( et les programmes sot les mêmes que pour l exercice 3 O peut faire le même gere de bijectio que pour la questio précédete, au détail près qu il faut avoir au mois ue boule das chaque tiroir, d où l esemble {(i 1,, i 1 1 i 1 < i < < i 1 1 où i désige la positio du ème trait ( ( 1 + ( 1 1 Le ombre de possibilités est doc = 1 ( Le modèle précédet e foctioe plus Par cotre, o peut, pour chaque boite, dire si elle cotiet ou o ue boule L esemble des résultats est doc e bijectio avec l esemble {(i 1,, i i = 0; 1 et i i = C est l esemble de toutes les permutatios du -uplet (1, 1,, 1, 0, 0 Il fois! ( y a doc!(! = possibilités Deuxième possibilité : Chaque boule choisit sa boite Exercice 6 1 Il y a 4 vraies paires! 10 Feuille 3: Révisios : Déombremet

11 Pour associer deux bottes quelcoques, o pioche importe lesquelles das le tas de 8 chaussures : ( 8 = 8 possibilités 3 Il y a 4 bottes droites Il faut e pioches deux parmi celles-ci, d où ( 4 = 6 possibilités 4 Pour associer deux bottes appartemet à deux persoes différetes, o e pred déjà ue première, (doc 8 possibilités Il e reste maiteat 7, dot 6 appartieet à d autres persoes O a doc e tout 8 6 = 48 possibilités Exercice 7 1 Pour chaque emplacemet, o choisit la lettre voulue Cela doe 3 8 possibilités a C est l évéemet cotraire de "pas de lettre A" O a doc possibilités b O choisit l emplacemet de la lettre A et les 7 lettres restates sot à choisir parmis B,C Il y a doc 8 7 possibilités c Ce sot toutes les permutatios du mot AAABBCCC Autremet dit, il 8! y a = 560 possibilités 3!!3! d O compte les possibilités et leurs permutatios O trouve 1 + 8! 6! + 8!!!4! + 8! 3!3!! + 8! 4!4! = 437 Exercice 8 1 a Alterace feuilles colorées / feuilles blaches sas distictio : Il y a 5 feuilles colorées (C et 5 feuilles blaches (B Il y a doc deux situatios possibles : o commece par les feuilles blaches ou par les feuilles colorées C B C B C B ou B C B C B C O pourrait peser qu il y a ques deux solutios, mais attetio, o distigue ecore les feuilles colorées etre elles Das chaque cas, il faut doc ecore compter le ombre d agecemet des feuilles colorées, qui correspod au choix des emplacemets des rouges das les 5 emplacemets possibles (Foctioe aussi avec les verts bie etedu : ( 5 Il y a doc que ( 5 = 0 possibilités b Alterace feuilles vertes / feuilles rouges sas distictio : L alterace des feuilles colorées e peut être que V R V R V Là aussi, o pourrait peser qu il y a qu ue seulle possibilité, mais attetio, il faut ecore placer les feuilles blaches! O a doc ( 10 5 = 5 possibilités 11 Feuille 3: Révisios : Déombremet

12 Alterace feuilles colorées / feuilles blaches avec distictio : O est toujours e présece des cas C B C B C B ou B C B C B C Cette fois ci, pour chaque cas, il faut teir compte o seulemet de l emplacemet des feuilles rouges das les 5 emplacemets : ( 5 mais aussi des permutatios des feuilles blaches etre elles : puis, de la permutatios des feuilles rouges etre elles : et des feuilles vertes etre elles : D où 5!! 3! ( 5 5!! 3! = possibilités Alterace feuilles colorées / feuilles blaches avec distictio : Comme avat, o pred pour chaque cas sas distictio, il faut ecore compter toutes les permutatios possibles, d où Exercice 9 15! = !7!3! ( !! 3! = possibilités Exercice 10 1 Il s agit de répartir les 4 femmes sur les 4 places paires et les 5 hommes sur les 5 places impaires Il y a doc 4!5! = 4 10 = 880 possibilités O peut uméroter les chaises autour de la table Il faut doc par exemple placer les femmes soit sur toutes les places paires ( 3! hommes 3! femmes possibilités puis teir compte de la rotatio autour de la table (O peu compredre qu u placemet est le même que celui ou la successio des persoes est la même, mais décalée d ue ragée Il faut doc diviser par 3 décalages le ombre trouvé Il y a doc au total 3!3! = 1 possibilités 3 Exercice 11 1 O cherche le cardial de l esemble {( A, B, b c A + B + C = 7 Or, 7 7 i {( A, B, c A + B + C = 7 = {(i, j, c C = 7 i j Le ombre de pargages possibles est doc 7 7 i 1 = i=0 j=0 7 (7 i + 1 = i=0 7 8 i=0 i=0 j=0 7 i = 8 i=0 7(7 + 1 = 36 Il s agit simplemet de faire le calcul précédet avec des bores différetes Le ombre de pargages possibles est doc 5 6 i 1 = i=1 j=1 5 (6 i = i=0 5 6 i=0 5 i = 6 i=0 5(5 + 1 = 1 3 O cherche le cardial de l esemble {( A, B, b c A + B + C = Or, i {( A, B, c A + B + C = = {(i, j, c C = i j Le ombre de pargages possibles est doc i 1 = i=0 j=0 i=0 j=0 +1 ( i + 1 = = i=0 =1 ( + 1( + Exercice 1 1 Il s agit de faire les listes de 4 chiffres parmis 10 1 possibilités, sas que zéro e soit le premier, d où = 583 O fait ue 4-liste d élémets parmis 0 9 et : o compte les élémets coteat exactemet u seul 3 : choix de la place du 3 reste : 3-liste parmis 9 ombres 1 Feuille 3: Révisios : Déombremet

13 puis o retire parmis eux les élémets etre 0 et 999, ie ceux où 0 est à la première place : même pricipe, mais avec ue 3-liste : d où 3 9 choix de la place du 3 reste : 3-liste parmis 9 ombres = = 9 (4 9 3 = Exercice 13 Les carrés peuvet être de cotés de logueur allat de 1 à A u carré, il correspod u et u seul sommet "e haut à gauche" (O suppose la feuille orietée devat ous de maière habituelle Pour u carré de logueur 1;, les choix de sommets possibles correspodet à tous les oeuds "e haut à gauche du grillage" aisi répartis : Il y a doc ( + 1 carrés de côté Au total, o a ( + 1 = = j = j=1 ( + 1( carrés possibles 4 Il y e a pas Exercice 15 L esemble des surjectios est e bijectio avec l esemble des permutatios des (+1-uplets (1,,, a où a 1; (Les images des premiers élémets avec ue image forcémet redodate Il y a doc possibilités ( + 1! Exercice 16 1 a M est e bijectio avec P(A Aisi, M = A = p b N est e bijectio avec P(A c Aisi, N = Ac = p c R est e bijectio avec P(A c Aisi, R = ( Ac = p card{(a, B (P(E : A = p et B A = = p 3 ( card{(a, B (P(E : B A = = p = (1 + = 3 p Exercice def bdivisibles (: b =0 3 for x i rage (1,: 4 if x//!= x/ ad x //5!= x/5 ad x //7!= x /7: # x est divisible par aucu des trois 5 b +=1 6 retur (b O obtiet pour bdivisibles( p=0 Exercice 14 1 C est le cardial de l esemble {(i, j, i, j, = 1,, 5 = 1, 5 5 Il y a doc 5 3 applicatios Par le même pricipe que précédemmet, o trouve 5 = 5 applicatios 3 Si les applicatios sot ijectives, cela sigifie que l o e retrouve pas deux fois le même ombre Le ombre d applicatios possibles est A 3 5 = 5!! = = Feuille 3: Révisios : Déombremet

14 La formule A B = A + B A B doe, pour trois esembles, M M 5 M 7 = M + M 5 + M 7 M M 5 M 5 M 7 M 7 M + M M 5 M 7 Or, M = 1470 = 735, M 5 = = 94, M 7 = = 10, M M 5 = = 147, M 5 M 7 = = 4, M 7 M = = 105, M M 5 M 7 = = 1 E coclusio, o obtiet M M 5 M 7 = 966 et fialemet, le ombre d etiers o divisibles par,5,ou 7 etre 1 et 1470 est = 504 Exercice 18 Méthode 1 : O établit la liste des élémets de A qui vérifiet chaque propriété et o utilisera la formule du crible Méthode : O fait u tableau des couples (i, j et o différecie les propriétés avec des sigles ou des couleurs : j/i désige les élémets P Exercice 19 1 Méthode 1 : Très rapidemet, avec la formule du biôme : (1+x = O pred w = 1 et x = 0, o obtiet C 1 = et C = 0 =0 ( x Exercice 0 1 O sait bie que, pour tout + 1, o a ( 1 1+( 1 =( si =, o costate que cette formule est ecore valable avec ( 1+( 1 =1+0=(, d où, pour tout p, ( ( 1 1 = ( 1 E réijectat das la somme, o a ( 1 1 = ( ( ( 1 = = = ( ( 1 = = = ( 1 ( = = 1 = ( ( 1 ( = Méthode 1 : Si o a placé les lettres A parmis les possibilités, les lettres B complètet automatiquemet O a doc ( mots possibles Méthode : Le ombre de possibilités est décomposé de la maière suivate : S = {{ card {( B {{ B A =0 ( fois = 1 = =0 1 choix de l emplacemet des A = ( 1 1 S 1 + S = C 1 = et S 1 S = C = 0 S 1 = S = 1 3 C est la traductio e terme combiatoire de la questio précédete : S 1 est le ombre de parties de cardial pair et S de cardial impair 14 Feuille 3: Révisios : Déombremet

15 Exercice 1 1 O sait bie que, pour tout p + 1, o a ( p+( =( +1 Exercice 1 O utilise le développemet e formule de Newto de (x + y m+ = (x + y m (x + y si = p, o costate que cette formule est ecore valable avec ( p p+( =1+0=( p, d où, pour tout p, ( ( p = +1 ( E réijectat das la somme, o a ( p = ( (+1 ( =p =p ( p =p = ( +1 ( =p =p = +1 ( ( = =p = ( ( +1 p ( = +1 = =p = =p = (p + 1 ( ( + 1 ( ( p p ( ( + 1 ( p p =p =(( +1 ( +1 =p = (p = ( p ( =p Grâce à la questio précédete, o sait que +1 ( +1, d où =p ( p ( p =p = + p+ ( +1 (+1 ( ( + = (p + 1 ( +1 p + = ( (+( p+ 1 ( = + et p+ =p ( p = ou deux maières distictes de choisir élémets parmis m + : choisir les élémets parmis m et parmis Das l égalité précédete, o remplace par, et o pose m = o trouve i=0 ce qui est l idetité cherchée ( ( = i i ( Exercice 3 1 a O fixe N et o ote E + l esemble de toutes les possibilités pour aller de 0 à + Pour simplifier ceci, o peut décomposer e deux sous-esembles : E + = A B où A = "la marche précédete est + 1" et B ="la marche précédete est " De cette déocmpositio, o déduit a + = a +1 + a b Sachat que a 1 = 1 et a = 3 (a est ue suite de Fiboacci ( 5 1 a = 1 ( a s peut predre les valeurs de 0 à b Nombre de pas écessaires pour aller à : s + ( s = s saut de sauts de 1 c Soit S s l esemble des sauts possibles sachat qu il y a s sauts de deux marches O peut modéliser ceci par ue liste de s élémets choisis parmis 1 et Pour désiger le ombre de marches frachies Il y a doc ( s s tels choix possibles (choix de l emplacemet des das cette liste 15 Feuille 3: Révisios : Déombremet

16 d Le problème se décompose de la maière suivate : D ue part, O ote P l esemble de toutes les possibilités O va décomposer ceci e foctio du ombre s du saut de deux marches O a Aisi, D autre part, o rappelle que D où =0 P = s=0 S s ( s cardp = cards s = s s=0 ( ( = cardp = a s=0 1 ( Exercice 4 1 U algorithme Pyhto (ou u comptage à la mai permet de costater que si o distigue les 3 dés, o a 7 possibilités pour obteir ue somme de 10, alors qu o e a seulemet 5 pour 1 E revache, si o e distigue pas les dés, o a bie 6 possibilités pour chacu Or, e réalité, les dés sot bie discticts (S ils avaiet chacu ue couleur différete, cela e chagerait pas les résultats Au mois u 6 : cotraire de pas de 6 Il y a = telles possibilités Au mois deux 6 : c est le cotraire de "0 ou exactemet u 6" jamais de 6 : 5 1 possibilités Exactemet u 6 : possibilités D où au fial = possibilités La répose est sas appel! Exercice 5 Voyos tout d abord commet obteir ces sommes : Effectuos ue légère aalyse : Si les dés sot tous disticts : Somme égale à (4, 1, 3, (5, 1, 4, (6, 1, 5, (6, 1, 4, 3 (5,, 4, 3 (6,, 5, 3 (6, 3, 4, 5 Avec les permutatios, o a 7 4! possibilités Si exactemet dés sot égaux : Somme égale à (3, 1,, (5, 1, 4, (4, 4, 6, (4, 4, 5, 3 (6, 4, 5, 5 Avec les permutatios, o a 5 4!! possibilités Si exactemet 3 dés sot égaux : alors le quatrième doit être égaux aux trois autres C est impossible Si exactemet 4 dés sot égaux : Somme égale à (1, 1, 1, 1 (,,, (3, 3, 3, 3 (4, 4, 4, 4 (5, 5, 5, 5 (6, 6, 6, 6 O a 6 possibilités E coclusio, o a 7 4! + 5 4!! + 6 = 34 possibilités 16 Feuille 3: Révisios : Déombremet

17 Exercice 6 1 Méthode 1 : Il s agit simplemet de choisir l emplacemet des A das le mot, ( d où possibilités a Méthode : O cherche toutes les permutatios possibles du mot A {{ A B {{ B a fois b fois Avec la méthode, si o ote A 1,, A les lettres et r 1,, r leur ombre d occurece, il est facile de voir qu il s agit de toutes les permutatios du mot A 1 A 1 A A, c est à dire r 1 fois r fois! r 1!r! r! où = r r est le ombre total de lettres 3 Explicatios sur l exemple (x 1 + x : Développer l expressio (x 1 + x = (x 1 + x (x 1 + x fois reviet à trouver toutes les combiaisos possibles de x i x j résultat du produit des membres Cela se présete doc sous la forme (x 1 + x = =0 a x 1x où a est le ombre de fois où l o retrouve l expressio x 1x das le développemet O peut iterpréter a comme le ombre de mots possibles écrits avec les lettres A 1 et A E effet, à u mot à lettre e A 1, A possible correspod exactemet u choix de x 1, x das les parethèses : Par exemple, le mot A 1 A 1 A A 1 correspod au choix de x 1 das la première parethèse, A 1 das la deuxième parethèse, A das la troisième parethèse, etc! E coclusio, a = et la formule est démotrée r 1!r! r! Exercice 7 1 O peut écrire = a + 10b + 100c, a, b, c N, avec 0 a, b 9 Doc : 3 = a a b + 100K (où K = 10b c 3 +3ab +3a c+300ac +300b c+3000bc +60abc N Par coséquet, 3 se termie par 11 si et seulemet si a a b se termie par 11 Si a a b se termie par 11, alors a 3 se termie par 1, et doc, forcémet, o a : a = 1 (examier tous les cubes des ombres de 0 à b se termie par 11 si et seulemet si 3b se termie par 1, ce qui se produit si et seulemet si b = 7 (examier tous les triples des ombres de 0 à 9 Aisi, 3 se termie par 11 si et seulemet si a = 1 et b = 7 Or, , sigifie que s écrit avec 10 chiffres o tous uls, commeçat évetuellemet par u ou plusieurs zéros Il y a doc 10 8 tels ombres Exercice 8 1 O calcule ceci grâce à la formule du crible O ote A i l esemble des permutatios pour lesquelles l objet i est à la place i Le ombre cherché est doc le cardial de l esemble A 1 A A Or, d après la formule du crible (pricipe d iclusio - exclusio, o a card (A 1 A A = ( 1 +1 i 1<<i =1 = ( 1 +1 i 1<<i (! =1 = = ( 1 +1( =1 =1 ( 1 +1! (! A i1 A i élémets e place Il faut placer les autres Il faut passer au complémetaire Le ombre de permutatios totale état!, Coclusio, le ombre de déragemets sas coïcidece est (! 1 ( 1 +1 ( 1, ou oté autremet, o obtiet e fait!!! =1 =0 17 Feuille 3: Révisios : Déombremet

18 a b D, = 1 : parce que tous les élémets sot à "leur" place Il y a qu ue seule telle possibilité D, 1 = 0 : parce que si 1 élémets sot à "leur" place, le derier élémet a comme seule possibilité que la place restate, qui est celle de ( so uméro Il y a doc pas de déragemet possible représete le choix des élémets à mettre à "leur" place et les autres sot à dérager sas coïcidece c Notos S l esemble des permutatios de élemets Il s agit de faire ue partitio de S grâce au ombre d élémets fixes Aisi, card (S = card =0 = D, =0 Or, o sait que card {permutatios ayat exactemet élémets fixes S est! 3 a O calcule le ombre de déragemets sas coïcidece de 5 objets : ( D 5 = 5! ! 1 3! + 1 4! 1 5! = = 44 La probabilité est doc de 44 5! = = b C est 5! D 5,0 D 5,1 Or, o viet de calculer D 5,0 et, d après la formule de la questio précédete, o a D 5,1 = ( 5 1 D4 Il faut doc calculer D 4 ( D 4 = 4! ! 1 3! + 1 4! = = 9 Aisi, le ombre de cas possibles est 5! D 5,0 D 5,1 = = et la probabilité est 31 0, Feuille 3: Révisios : Déombremet