CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS

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1 ONSEVAOIE NAIONA DES AS E MEIES BASES SIENIFIQUES (os physques pour l'électronque, l'électrotechnque, l'automatsme ours PH Dder E UYE Décembre 5

2 ABE DES MAIEES APPES D EEOINEIQUE...4. Introducton Matéraux en électrcté hamp électrque et dfférence de potentel ourant électrque os fondamentales o des malles o des nœuds Générateurs déaux Générateur de tenson déal Générateur de courant déal... 7 ES DIPOES PASSIFS EEMENAIES...8. Introducton aractérstque d un dpole es dpôles passfs élémentares ésstance Bobne d nducton ondensateur os générales des dpôles passfs....5 Assocaton de dpôles de même nature....6 os des dpôles en régme snusoïdal....7 Dagrammes de Fresnel....8 Notaton complexe et mpédance complexe PUISSANE E ENEGIE Défntons as partculers Energe consommée dans une résstance Energe dans une bobne Energe dans un condensateur Pussance acte, réacte et complexe dans un dpole quelconque Force électromotrce et force contre électromotrce Générateur et force électromotrce écepteur et force contre électromotrce Adaptaton d mpédance MEHODES D ANAYSE DES ESEAUX Introducton Méthode des courants des malles héorème de Mllman héorème de superposton héorème de héenn et de Norton Grandeurs caractérstques d un dpôle héorème de héenn héorème de Norton héorème de Kennely FAEU DE QUAIE E IUI ESONNAN Oscllatons lbres dans un crcut Facteur de qualté d un crcut...4

3 5.. Défnton Facteur de qualté d un élément réactf réel Généralsaton du facteur de qualté e crcut résonnant sére ES QUADIPOES Défntons Descrpton matrcelle du quadrpôle Matrces mpédances Matrces admttances Matrces hybrdes Matrce de transfert ou matrce chaîne Schémas équalents du quadrpôle eprésentaton matrcelle mpédance eprésentaton matrcelle admttance eprésentaton matrcelle hybrde Assocaton de quadrpôles Assocaton sére Assocaton parallèle Assocaton en cascade Fonctons de transfert d un quadrpôle FIAGE, DIAGAMMES DE BODE Introducton au fltrage Défntons Echelle logarthmque et dagramme de Bode Fonctons de transfert de base Intégrateur Dérateur Intégrateur réel ou fltre passe bas du premer ordre Dérateur réel Fltre passe-haut du premer ordre fltre passe bas du second ordre Fonctons de transfert quelconques

4 APPES D EEOINEIQUE. Introducton électrocnétque étude la crculaton des courants électrques dans les crcuts électrques composés d un ensemble d éléments appelés composants comme les générateurs (ples,, les composants passfs (résstance, bobne d nducton, condensateur et les composants actfs (transstor, amplfcateur opératonnel,. es éléments sont relés entre eux par des fls conducteurs.. Matéraux en électrcté es électrons se déplacent dans les soldes plus ou mons faclement selon le matéraux. a charge d un électron est égale à,6. -9 oulomb. On dstngue 3 types de matéraux : es conducteurs : matéraux dans lesquels un champ très fable sufft à fournr une énerge permettant le déplacement des électrons lbres (porteurs de charges arrachés à chaque atome. On a un à deux électrons lbres en moyenne par atome. a concentraton en électrons dépend du matérau ; par exemple pour le cure, on a 8 électrons par m 3. es solants : pas d électron lbre. a qualté de l solant dépend de la pureté du matérau es sem-conducteurs : la concentraton en électrons dépend du matérau et de la température. es électrons sont dsposés dans des bandes permses séparées par des bandes dtes nterdtes. Une certane quantté d énerge permet de fare passer des électrons d une bande permse plene (bande de alence ers la bande de (bande de conducton générant ans des trous électrquement équalents à des charges postes dans la bande de alence. es sem-conducteurs sont utlsés dans la plupart des crcuts actfs..3 hamp électrque et dfférence de potentel S on applque une dfférence de potentel V AB V V entre deux ponts A et B, les charges se déplacent à A cause du champ électrque E. e champ est drgé ers les potentels décrossants (potentel éleé ers potentel fable. On a la relaton : V AB V A V B B A Edr es dfférences de potentel s exprme en olt et le champ électrque E s exprme en olt par mètre. B.4 ourant électrque e débt de charge ou courant électrque est donné par la relaton : dq I dt 4

5 I s exprme en ampère. es los du courant électrque ont été étudée par Ampère ( au début du 9 ème sècle. Par conenton le sens du courant est le sens contrare du déplacement des électrons..5 os fondamentales Un réseau ou crcut électrque est un ensemble de conducteurs relant entre eux des éléments appelés composants : résstance, condensateur, bobne de self-nducton, dode, transstor, Dans un réseau électrque, on dstngue : - le nœud : pont de raccordement entre au mons deux conducteurs - la branche : porton du réseau comprs entre deux nœuds - la malle : parte du réseau qu se referme sur elle même.5. o des malles Sot le réseau suant : V A -V B V F -V A M A B V A V B V V B -V E V F V E V D F E D noeuds : A-B--D-E-F branches : AB-B-D- DE-BE-EF-FA malles : ABEFA ABDEFA BDEB V E -V F Sot une charge q se déplaçant le long d une malle ; chaque nœud de la malle se troue à un potentel ben défn par rapport à un nœud d orgne ou de référence commune M dont le potentel est appelée masse. q se déplace le long de la malle ABEFA et subt des aratons d énerge potentelle le long du parcours. On a : q( V V V V V V V V q( A B B E E F F A 5

6 car la charge q est reenue au pont ntal. B V V 3 D A V On chost un sens arbtrare de parcours sur la malle : par exemple le sens des agulles d une montre. es dfférences de potentel sont des grandeurs algébrques et ont des orentatons arbtrares. Par conenton, les dfférences de potentel des flèches parcourues dans le même sens que le parcours seront comptées postement. V 6 V 4 V A V B F E On a c : V 5 Défnton : a somme des dfférences de potentel le long d une malle est nulle. ette lo est baptsée lo des malles ou premère lo de Krschhoff. Mathématquement on a :.5. o des nœuds e mouement des charges, créant le courant est soums aux los de la physque : conseraton de l énerge, de la quantté de mouement et de la charge (de la matère. 5 4 N 3 On chost un sens arbtrare pour chaque courant. Par conenton, les courants se drgeant dans le même sens que les flèches seront comptées postement. Sot le nœud N un pont de raccordement de pluseurs conducteurs traersés par des courants. En un nœud, l ne peut y aor accumulaton de charges. On a donc c : Défnton : a somme des courants entrant est égale à la somme des courants sortant. ette lo est baptsée lo des nœuds ou seconde lo de Krschhoff. Mathématquement on a : 6

7 .6 Générateurs déaux.6. Générateur de tenson déal Un générateur de tenson déal délre une dfférence de potentel ndépendante du courant qu l délre. On représente ce générateur par les symboles suants : E E ancenne représentaton nouelle représentaton e générateur de tenson n exste pas et en pratque, la dfférence de potentel en sorte d un générateur de tenson décrot en foncton du courant de sorte..6. Générateur de courant déal Un générateur de courant déal délre un courant ndépendamment de la dfférence de potentel entre ses bornes. On représente ce générateur par les symboles suants : I I ancenne représentaton nouelle représentaton 7

8 ES DIPOES PASSIFS EEMENAIES. Introducton es composants utlsés en électronque présentent des bornes électrques ou pôles permettant leur connexon dans un réseau. On dstngue : - les dpôles ( pôles comme les résstances, les condensateurs, les bobnes, les ples, les dodes, - les quadrpôles (4 pôles comme par exemple les transformateurs, les fltres.. aractérstque d un dpole Sot un dpole traersé par un courant électrque I et dont la dfférence de potentel entre ses bornes est U. a caractérstque de ce dpole est la courbe If(U. Suant l allure de cette courbe, on peut dstnguer dfférentes famlles de dpole. Dpole lnéare : la caractérstque If(U est une drote d équaton IaUb. Par exemple, les résstances et les générateurs de tenson et de courant déaux sont des dpoles lnéares. S la caractérstque If(U n est pas une drote le dpole est non lnéare Dpole passf : un dpôle est passf s son ntensté de court-crcut est nulle et s la dfférence de potentel à ses bornes est nulle en crcut ouert. Dt autrement, pour un dpole passf, on a I s U.es tros crcuts passfs prncpaux sont la résstance, la bobne d nducton et la capacté. Dans les autres cas, on dt que le dpole est actf. Exemple : I ( e dpole est lnéare et passf (l s agt d une résstance e dpole est non lnéare et passf (dode e dpole 3 est lnéare et actf (générateur de tenson non parfat e dpole 4 est lnéare et actf (générateur de tenson parfat (3 ( U 8

9 .3 es dpôles passfs élémentares.3. ésstance Une résstance est un dpôle consttué par un matérau conducteur et caractérsé par sa résstance exprmée en ohm ( Ω a résstance s obtent comme sut : l ρ s Où ρ est la résstté en Ω m 8 6 Pratquement ρ are entre et Ωm., l est la longueur et s est la secton du conducteur. Il exste également des résstances dont la résstance are en foncton d un paramètre comme la température (thermstance..3. Bobne d nducton a bobne d nducton est un dpôle consttué d un conducteur métallque enroulé autour d un support cylndrque. orsqu un courant traerse celle-c, elle produt un champ magnétque dans l espace enronnant e coeffcent d nducton ou nductance qu s exprme en henry (H est le suant : s µ N l N est le nombre de spres. s est la secton du conducteur métallque en m et l est la longueur du support cylndrque. µ en H/m est la perméablté : µ µ µ 7 µ 4π est la perméablté dans le de et µ est la perméablté relate mleu/de. Une bobne pure n exste pas. En pratque, elle est toujours en sére aec une pette résstance..3.3 ondensateur e condensateur est formé de deux plaques métallques séparées par un solant. a répartton de charge sur une plaque nflue sur la répartton des charges sur l autre plaque. e condensateur est caractérsé par sa capacté qu s exprme en farad (F: S ε e S est la surface de l armature du condensateur et e est la dstance entre les deux armatures. ε est la permttté en F/m : ε ε ε ε 8,84. est la permttté du de et ε est la permttté relate mleu/de. ertans auteurs utlsent la termnologe résstor pour ben dstnguer le nom du dpôle. Dans ce document, nous utlserons le mot résstance pour désgner le dpôle et sa aleur. 9

10 omme farad représente une très grande capacté, on utlse généralement les sous-multples comme le mcrofarad ( µf 6 F, le nanofarad ( µf 9 F et le pcofarad( pf F..4 os générales des dpôles passfs Il exste deux chox pour l orentaton du courant et de la dfférence de potentel DIPOE onenton récepteur DIPOE onenton générateur Nous allons mantenant rappeler les los générales des 3 types de dpôles passfs élémentares : résstance, bobne et condensateur : d dt dt d G dt dt en ohms (Ω en henry en farad remarques : d Dans une bobne, le courant ne peut pas subr une araton brutale : mplquerat une dfférence de dt potentel. De la même façon, la dfférence de potentel aux bornes d un condensateur ne peut pas arer brutalement d nstantanément : mplquerat un courant. dt En contnu, la bobne est un court-crcut et le condensateur est un crcut ouert.

11 .5 Assocaton de dpôles de même nature en sére : d d dt dt d dt dt dt dt Généralsaton : Généralsaton : Généralsaton : en parallèle : dt dt dt d d dt dt d dt Généralsaton : Généralsaton : Généralsaton :

12 .6 os des dpôles en régme snusoïdal Après aor rappelé les los générales, nous allons nous ntéresser au régme snusoïdal qu est le régme de fonctonnement le plus souent utlsé en électronque. Sot un courant arant en foncton du temps selon la lo snusoïdale suante : ( t I sn( t θ I est l ampltude maxmum du sgnal en ampère. (t snθ I I t I Sot Φ( t t θ la phase du courant foncton lnéare en foncton du temps en radan. θ est la phase à l orgne : θ Φ( En dérant Φ par rapport au temps on obtent la pulsaton w : dφ en radan/seconde dt a fréquence f est le nombre de pérodes par seconde. f s obtent en dsant la pulsaton par π dφ f en seconde - ou Hertz π dt π On a la relaton suante entre la fréquence f et la pérode : f Pour éter des calculs fastdeux lors de l étude des assocatons de dpoles en sére et en parallèle on utlse deux méthodes pratques: - le dagramme de Fresnel - la notaton complexe.7 Dagrammes de Fresnel D une manère générale, un dagramme de Fresnel permet de représenter une foncton snusodale x ( t X sn( t ϕ par un ecteur x OM.

13 M t ϕ orgne des phases e ecteur x OM tourne autour du pont d orgne à la tesse angulare. Sa longueur est égale à X et l angle entre l axe orgne des phases et x est égal à t ϕ. En pratque, comme tous les ecteurs consdérés tournent autour de aec la même tesse angulare, on smplfe la représentaton en consdérant les ecteurs à l nstant t. On notera le ecteur x [ X ϕ] es dagrammes de Fresnel permettent de représenter graphquement et par des ecteurs I ϕ ] et [ V ϕ] dans une base orthonormée. [ eprenons l expresson du courant ( t I sn( t θ. Supposons pour smplfer les notatons que la phase à l orgne θ. On a donc t I sn t ( Nous allons applquer les los d ohm aux dpôles résstance, bobne et condensateur. as de la résstance : I sn t V sn t aec V es deux ecteurs et sont en phase V I I I as de la bobne : d dt d dt ( I sn t π I cos t V sn( t aec V I Pour la bobne, le ecteur est en aance de π sur le ecteur. V I I as du condensateur : dt I tdt sn I cos sn( π I t V t aec V 3

14 Pour le condensateur, le ecteur π est en retard de sur le ecteur. I Pour les untés,, I V et sont homogènes à des ohms (Ω. orsque,, la bobne se comporte comme un court-crcut. et condensateur se comporte comme un crcut ouert. orsque,, la bobne se comporte comme un crcut ouert et, le condensateur se comporte comme un court crcut. Nous allons mantenant nous nteresser à l assocaton de dpoles de nature dfférentes. as de l assocaton d une résstance et d une capacté en sére :, le I I sn t sn t I I π dt cos t sn( t V sn( t ϕ I w ϕ I le ecteur est la somme des ecteurs et ϕ est l angle entre les ecteurs et I On a : V I I I tan ϕ ϕ arctan 4

15 as de l assocaton d une résstance et d une bobne en sére : I I sn t sn t d π I cos t I sn( t dt V sn( t ϕ I ϕ I le ecteur est la somme des ecteurs et ϕ est l angle entre les ecteurs et On a : V I I I I tan ϕ ϕ arctan.8 Notaton complexe et mpédance complexe Dans le cas du régme snusodal, on utlse les nombres complexes pour smplfer les calculs des dpôles de nature dfférente. Une grandeur snusodale (courant ou dfférence de potentel est caractérsé par deux nombres : l ampltude et la phase Φ (t t θ. Il est donc naturel de représenter une grandeur snusodale par un nombre complexe lorsque le crcut est lnéare et que les opératons à effectuer sont auss lnéares. Défnton : un crcut est lnéare s : soums à un courant ( t I cos t, la dfférence de potentel est ( t V cos( t ϕ soums à un courant ( t I sn t, la dfférence de potentel est ( t V sn( t ϕ alors soums à la combnason lnéare λ ( t µ ( t, la dfférence de potentel est de la forme λ t µ ( ( t 5

16 λ µ λ µ Posons λ et µ j. a dfférence de potentel assocée à la combnason lnéare t ( j ( t (cos t j sn t I exp( j est la suante : ( t I t ( t ( t j( t V [ cos( t ϕ j sn( t ϕ ] V exp( j t jϕ Dans le reste de ce document, on se lmtera à l étude des crcuts lnéares aec des opérateurs lnéares (addton, multplcaton par constante, dératon, ntégraton. S le courant est de la forme t I cos t ( ( parte réelle de (t, la dfférence de potentel ( t ( t V (cos t ϕ ( ( t ( t ( t V (sn t ϕ I( (t parte réelle de (t De même la dfférence de potentel. assocé au courant t I sn t I ( ( est ( t On défnt l mpédance complexe d un dpôle comme sut : exp( j arg( aec I exp( j et V exp( j t j t ϕ e module de l mpédance complexe est égal à : V I et l argument de l mpédance complexe est égal à : On a donc : V exp( jϕ I as de la résstance : Nous aons u que On a : arg( ϕ I exp( j t mpédance complexe de la résstance est donc : On retroue les résultats obtenus en utlsant le dagramme de Fresnel. as de la bobne : d dt 6

17 d calculons : dt d dt d d I cos( t j sn( t dt dt I [ sn( t j cos( ] t I j cos( t sn( t j ji cos( t j sn( t j [ ] dérer reent donc à multpler par j On a : d dt j j I exp( j t mpédance complexe de la bobne est donc : j ette expresson peut auss s écrre π π π π exp j comme exp j cos j sn j as du condensateur : dt calculons dt : dt I t dt cos( j I sn( t dt I I sn( t j cos( t I j cos( t sn( t j I cos( t j sn( t j j [ ] ntégrer reent donc à dser par j On a : dt I j j exp( j t mpédance complexe du condensateur est donc : j 7

18 ette expresson peut auss s écrre exp j π comme π π π exp j cos j sn j j omme dans le paragraphe précédent sur le dagramme de Fresnel, nous allons mantenant étuder l assocaton de dpoles de nature dfférentes en utlsant les mpédances complexes. as de l assocaton d une résstance et d une capacté en sére : snusodal > I exp( j > > j t. j On retroue le module et l argument de exp( jϕ : et tanϕ as de l assocaton d une résstance et d une bobne en sére : snusodal > I exp( j > > j t [ j ]. On retroue le module et l argument de exp( jϕ : et tan ϕ S ( t I cos( t, on a la relaton ( t ( 8

19 [ j] I exp( j t exp( jϕ I exp( jt I exp( jt jϕ ( t ( I cos( t ϕ En résumé : S ( t I cos( t ( et ( t ( S ( t I sn( t I( et ( t I( On retroue aec les mpédances complexes les même los que celles étables pour l assocaton de dpôles de même nature : On a ans u que l utlsaton de l mpédance complexe permet de remplacer les équatons dfférentelles par des équatons algébrques ce qu smplfe grandement l étude de l assocaton de crcuts de nature dfférente en régme snusodal. 9

20 3 PUISSANE E ENEGIE 3. Défntons S on applque une dfférence de potentel A B entre deux ponts A et B, les charges se déplaçant de B ers A subssent une araton d énerge potentelle Pour une charge élémentare dq se déplaçant de B ers A, le traal ou l énerge potentelle dw s exprme comme sut : dw dq pendant le temps dt e déplacement de la charge élémentare dq sous l effet du champ électrque ndut par la dfférence de potentel dq entre les ponts A et B en un temps dt ndut un courant. dt D ou l énerge potentelle : dw dt e traal fourn (cas d un générateur ou reçu (cas d un récepteur par l élément du crcut entre A et B entre les nstants t et t est : Défnton : la pussance nstantanée rapport au temps. dw p dt W (t p t t p peut donc auss être défne comme sut : p dt W en Joules fourne ou reçue par le dpole entre A et B est la dérée de W par a pussance nstantanée p est le produt de la dfférence de potentel (t par le courant (t. S p >, le dpôle est récepteur ; s < le dpôle est générateur. p Défnton : la aleur moyenne d une foncton quelconque (t sur l nteralle de temps t est xmoy x( t dt t t t t S x(t est pérodque de pérode, alors on a : xmoy x( t dt S x(t est snusodale, alors x MOY x t Par conenton, on utlsera des lettres mnuscules pour les arables et des lettres majuscules pour les constantes

21 a pussance moyenne P est l énerge fourne ou reçue sur l nteralle de temps t t P t t t dw t t t t t dt S et sont snusodaux de pérode, le calcul de la pussance moyenne P se fat sur l nteralle de temps P dw dt P en watts Défnton : la aleur effcace d une foncton pérodque x(t de pérode est : xeff x ( t dt S la foncton x(t est snusodale, on a : x( t X sn t ( cos t X xeff X sn tdt X dt D où x EFF X 3. as partculers 3.. Energe consommée dans une résstance as V et I contnus : V I a pussance moyenne est égale à la pussance nstantanée P : t V P VIdt VI I t t t énerge dsspée thermquement sur l nteralle de temps t t est : t W VIdt VI( t t t as et snusodaux : I sn t et V sn t I sn t p I sn t I cos t énerge dsspée W pendant une pérode est : W cos t pdt I dt

22 I I I p ( t ( t u ( t t W I et I VI P En régme snusodal, pusque P V I EFF EFF I I EFF et V V EFF, on a la relaton entre P,V EFF, I EFF 3.. Energe dans une bobne as et snusodaux : d π I sn( t et I cos( t I sn t dt I sn( tcos( p t I sn( t W W t t I t t I pdt I sn( tcos( t dt sn( t dt car sn α snα cosα t t I [ cos( t ] ( cos( cos( t t t 4 t alculons l énerge stockée pus resttuée par la bobne pendant une pérode Entre et 4, l are soutendue par (t p est poste ; la bobne stocke de l énerge. Elle se comporte en récepteur. alculons l énerge stockée pendant cette phase. On a : W I π I cos( cos stockéee

23 Entre 4 et, l are soutendue par (t p est négate ; la bobne resttue de l énerge. Elle se comporte en générateur. alculons l énerge resttuée pendant cette phase. On a : I π π I W resttuée cos.. cos Pendant la durée, l énerge dépensée par la bobne est nulle. On dt que le dpôle est purement réactf. énerge stockée (sous forme magnétque pendant 4 est resttuée ntégralement pendant le quart de pérode suant. I I (t p (t u(t /4 / t 3..3 Energe dans un condensateur as et snusodaux : I sn( t et I I π dt cos( t sn t w w I p sn( t cos( t W W t t t I I pdt t t dt t dt sn( cos( sn( car sn α sn I 4 t t t α cosα t I I [ cos( t ] ( cos( cos( ( cos( cos( t t t t t 4 4 alculons l énerge resttuée pus stockée par le condensateur pendant une pérode Entre et 4, l are soutendue par (t p est négate ; le condensateur resttue de l énerge. Il se comporte en générateur. 3

24 alculons l énerge resttuée pendant cette phase. On a : I π I W resttuée cos.. cos( 4 4 Entre 4 et, l are soutendue par (t p est négate ; le condensateur stocke de l énerge. Il se comporte en récepteur. alculons l énerge stockée pendant cette phase. On a : W stockée I π π I cos.. cos Pendant la durée, l énerge dépensée par le condensateur est nulle. omme la bobne, le condensateur est un dpôle purement réactf. énerge resttuée pendant 4 est stockée (sous forme électrque ntégralement pendant le quart de pérode suant. I (t p (t u(t /4 / t En résumé : phase Bobne condensateur à I a bobne stocke I (magnétque e condensateur resttue 4 à 4 a bobne resttue I I e condensateur stocke (électrque 4

25 as de l assocaton d une bobne et d un condensateur : assocaton d une bobne et d un condensateur parfat est tel que pendant chaque phase, l énerge stockée dans la bobne est égale à l énerge resttuée par le condensateur et ce ersa. ette échange mplque la relaton : I I sot pulsaton de résonance échange d énerge se fat donc au rythme de la pulsaton de résonance. Nous reendrons sur les crcuts résonnants dans un prochan chaptre. 3.3 Pussance acte, réacte et complexe dans un dpole quelconque I cos t et V cos( t ϕ a pussance acte est la pussance moyenne. On a : P dt V I t t dt cos( cos( ϕ VI (cos( t cos( dt ϕ ϕ omme cos( ϕt dt et cos( ϕ dt cosϕdt cosϕ On obtent : V I P cosϕ en Watt (W cos ϕ est le facteur de pussance du dpole. On défnt également la pussance réacte Q : V I Q snϕ en VoltAmpère réactf (VA Il est à noter que la pussance réacte Q est nulle pour une résstance car on a ϕ 5

26 En résumé : P ésstance Bobne ondensateur I Q I I Exprmons la pussance acte P et la pussance réacte Q en foncton du courant et de la dfférence de potentel u. Sot I cos t et V cos( t ϕ I exp( j I exp( j t t * V exp( j texp( j V exp( j texp( jϕ ϕ * VI exp( j texp( j texp( jϕ VI exp( jϕ * V I * exp( j texp( j texp( jϕ VI exp( jϕ * * VI (exp( jϕ exp( jϕ V I j snϕ Ans, on a donc les relatons suantes : P 4 * * ( En utlsant le même rasonnement, on obtent Q 4 j * * ( a pussance réacte proent des éléments réactfs du crcut. Fnalement nous pouons défnr la pussance complexe d un crcut par : V I V I ϕ * ( cosϕ j snϕ exp( j P P jq 6

27 3.4 Force électromotrce et force contre électromotrce 3.4. Générateur et force électromotrce Un générateur conertt une énerge (mécanque, chmque,lumneuse, en une énerge électrque. Sot dw p dt dt l énerge fourne par le générateur au crcut dw l énerge dsspée par effet Joule dans le générateur dw dt dw l énerge reçue de l extéreur par le générateur. En applquant la lo de conseraton de l énerge, on a la relaton suante : dw dw dw dw dw dw <> dt dw Dsons l expresson par dt : dt dw dt dw Sot e la force électromotrce du générateur. dt On a alors la relaton : e générateur e On défnt le rendement η du générateur comme le rapport de l énerge fourne par le générateur sur l énerge reçue : energe fourne dw dw dw dw η energe reçue dw dw dw e S les pertes sont fables ( << e, alors le rendement η est proche de écepteur et force contre électromotrce Un récepteur transforme une énerge électrque en une énerge (mécanque, chmque, et chaleur (énerge dsspée par effet Joule. 7

28 Sot dw p dt dt l énerge reçue par le récepteur dw l énerge dsspée par effet Joule dans le récepteur (chaleur. dw dt dw l énerge transformée (mécanque, chmque, par le récepteur. En applquant la lo de conseraton de l énerge, on a la relaton suante : dw dw dw <> dt Dsons l expresson par dt : dt dw dw dt dw Sot e la force contre électromotrce du générateur. dt On a alors la relaton : e récepteur e On défnt le rendement η du récepteur comme le rapport de l énerge transformée (mécanque, chmque, sur l énerge reçue par le récepteur : energe transformée dw dw e η energe reçue dw dw dw e S les pertes sont fables ( << e, alors le rendement η est proche de. 3.5 Adaptaton d mpédance Enoncé du problème : entre une source est une charge on troue souent une chane de quadrpoles. es quadrpoles seront étudés dans un prochan chaptre. objectf de l adaptaton d mpédance est de permettre que le maxmum de pussance dsponble à la sorte d un crcut sot transms au crcut suant. a fgure suante montre un exemple d une chane de quadrpoles. A Source er crcut ème crcut 3ème crcut harge B 8

29 étude des quadrpoles nous montrera que l ensemble en amont de AB peut être remplacé par un générateur de force électromotrce e d mpédance complexe et l ensemble en aal de AB par une mpédance complexe. On est donc ramené au problème suant : sot le schéma suant : e Aec jx et jx Détermnons la relaton entre et pour aor le maxmum de pussance acte transmse. a pussance acte transmse à est égale à : * * P ( 4 * * * * * * ( c c.. comme c. et c. 4 * * ( c c 4 c * * car c c c alculons le courant complexe et son conjugué e et.. c e e * * * ( ( *. * d où * c c e * e * * c ( ( X c X c * P c ( ( X X c e c la pussance P est foncton de, c, X et X c 9

30 dp P are de à ± pour X c allant de à. P passe par un maxmum pour dx c dp ( ( c e X X c dx ( ( X X dp lorsque dx c P est alors égale à : ( c c X X c P c e ( c Détermnons mantenant c dp ette aleur s obtent lorsque d c dp e ( ( d c c ( 4 pour aor la pussance maxmale transmse c c c dp d c c c c ( ( c c Ans, pour aor un transfert maxmal de pussance, l faut * c oncluson : une charge est adaptée à un générateur d mpédance nterne complexe lorsque son mpédance complexe c est égale à l mpédance nterne conjuguée du générateur. Pour cette égalté, on a e P 8 c 3

31 V V 3 4 MEHODES D ANAYSE DES ESEAUX 4. Introducton analyse des réseaux en régme établ ou permanent repose sur les los ntrodutes dans les chaptres précédents : - la lo des malles : la somme des dfférences de potentel le long d une malle est nulle : exemple : V B A D V 6 V 4 F E V 5 - lo des nœuds : la somme des courants entrant est égale à la somme des courants sortant exemple : N lo des dpôles passfs - lo d assocaton de dpôle en parallèle et en sére 3

32 4. Méthode des courants des malles ette méthode est basée sur la lo des malles. on recherche le nombre de malles ndépendantes. On a la relaton suante : M B ( N aec M le nombre de malles ndépendantes, B le nombre de branches et N le nombre de nœuds du réseau. on attrbue à chaque malle un courant de malle et un sens de parcours 3 on écrt pour chaque malle l équaton de malle dont les nconnus sont les courants en utlsant la lo des malles 4 on résout le système d équatons 5 on calcule les courants crculant dans chaque branche à partr des courants de malle 6 on en dédut la dfférence de potentel entre deux nœuds en utlsant les los des dpôles exemple : sot le réseau suant : A z z B z e m z 3 z 4 e m m 3 nœuds A, B,. N3 branches (e,z, (z, (z 3, (z 4, (e,z 5 B5 d ou MB-(N-5-(3-3 malles ndépendantes : malle m : composée de e,z et z 3 malle m : composée de z,z 4 et z 3 malle m 3 : composée de e,z 4 et z 5 3

33 on attrbue à chaque malle un courant de malle et un sens de parcours m m m 3 5 Ans, chaque courant peut s exprmer à partr des 3 courants de malle : m m 3 - m -m 4-5 m -m 3 5 m 3 3 équatons des malles : e - z - z 3 3 -z -z 4 4 z 3 3 -e z z 5 5 On remplace les courants par les courants de malles m. On obtent fnalement les équatons suantes : e ( z z 3 m z 3 m z 3 m (z z 3 z 4 m z 4 m 3 -e z 4 m - (z 4 z 5 m 3 Il faut noter qu un sgne mons sgnfe que le courant crcule en sens nerse de celu de la fgure. omme nous aons un système à tros équatons et tros nconnus, l est possble de le résoudre en utlsant la méthode de substtuton ou la règle de Kramer (approche matrcelle. ette technque présente l aantage de détermner tous les courants dans l ensemble des branches. es calculs pour un réseau complqué sont cependant lourds. 4.3 héorème de Mllman e théorème s énonce comme sut : le potentel en un nœud quelconque d un réseau est égal au rapport des deux termes suants : - au numérateur, la somme des produts des potentels des nœuds adjacents par les nductances relant ces nœuds au nœud consdéré - au dénomnateur, la somme de toutes les admttances connectées au nœud consdéré. N Y Y remarque : s un générateur de courant est connecté sur le nœud, l dot ben entendu être prs en compte. 33

34 e théorème est une conséquence drecte de la lo des de Krchhoff : nœuds A A N A B B N B N D D N D D B A on a donc la relaton suante : D D N N B B N A A N en posant I I Y, on obtent : D D B B A A D B A N Y Y Y Y Y Y Y Y ( D B A D D B B A A N Y Y Y Y Y Y Y Y z A z B D A B A B N z D z D D B A Exemple : 3 on a la relaton suante : ( ( 3 Y Y Y et donc 3 ( Y Y Y Y Y e courant du générateur de courant est compté postement s l se drge ers le noeud z z z héorème de superposton e théorème résulte des proprétés des crcuts lnéares us précédemment. héorème : s un crcut est soums à pluseurs sources d exctaton, la réponse de ce crcut est égale à la somme algébrque des réponses à chacune des sources d exctaton prse séparément. 34

35 Exemple : sot le réseau suant A e e B Nous allons décomposer ce réseau en autant de sous-réseau qu l y a de générateurs. Dans cet exemple l y a deux générateurs. Pour chaque sous-réseau, on ne garde qu un seul générateur ; les autres générateurs sont remplacés par des court-crcuts s ce sont des générateurs de tenson ou par des crcuts ouerts s ce sont des générateurs de courant. e A B Dans ce premer sous-réseau nous aons remplacé e par un court-crcut. AB e AB e e A B e Dans le second sous-réseau nous aons remplacé e par un court-crcut. AB e AB e e En applquant le théorème de superposton on obtent : e e Applcaton numérque : e V, e -V, 5 Ω, 4 Ω, 6 Ω.. 8A,.8A. 7A remarque : dans ce cas smple, l utlsaton du théorème de Mllman aurat fourn drectement ce résultat. 35

36 es théorèmes de héenn et de Norton sont des conséquences drectes du théorème de superposton 4.5 héorème de héenn et de Norton 4.5. Grandeurs caractérstques d un dpôle Un dpôle est caractérsé par tros grandeurs caractérstques : - dfférence de potentel à de : e lorsque - courant de court crcut : lorsque N - mpédance de sorte ou l admttance de sorte Y 4.5. héorème de héenn ensemble du crcut se trouant à gauche des deux nœuds A et B peut être remplacé par un générateur de tenson déal de force électromotrcee en sére aec une mpédance nterne. A A e B B a force électromotrce e est égale à la dfférence de potentel AB mesurée à de et l mpédance nterne l mpédance ue des bornes A et B lorsque l on annule toutes les sources d exctaton du crcut (tous les générateurs de tenson déaux sont remplacés par des courts-crcuts et les générateurs de courant déaux sont remplacés par des crcuts ouerts. est héorème de Norton ensemble du crcut se trouant à gauche des deux nœuds A et B peut être remplacé par un générateur de courant en parallèle aec une admttance N Y. N A A N N Y N B B e théorème de Norton est le théorème dual du théorème de héenn. e courant est le courant de sorte lorsque l on court crcute les bornes A et B. N 36

37 admttance Y est l admttance ue des bornes A et B lorsque l on annule toutes les sources d exctaton du N crcut. On a : Y N 4.6 héorème de Kennely e théorème permet de transformer pour un crcut trpôle un montage en étole en un montage en trangle. Montage étole Montage trangle z z z z 3 z 3 3 N z ette transformaton auss utle dans l étude des quadrpoles comme les fltres en et en Π héorèmes : ransformaton trangle étole ransformaton étole trangle Y YY Y Y Y 3 Démonstraton du théorème de Kennely trangle ers étole : Applquons la règle d assocaton des dpôles en sére et en parallèle après aor débranché le pole du crcut extéreur. On obtent la relaton : ( ( 3 3 En débranchant le pole 3 du crcut extéreur, on obtent : 37

38 ( 3 3 ( 3 3 En débranchant le pole du crcut extéreur, on obtent : ( (3 3 3 En sommant les équatons (, ( et (3, on obtent : ( ( (4 3 3 En calculant (4-(3 on a : En calculant (4-( on a : En calculant (4-( on a :

39 5 FAEU DE QUAIE E IUI ESONNAN 5. Oscllatons lbres dans un crcut Sot le crcut composé d une bobne et d un condensateur parfat : V onsdérons que l nterrupteur est dans la poston et que le condensateur est complètement chargé W emmaga sn ée V A l nstant t, on commute l nterrupteur dans la poston On a la relaton suante : dt d dt d dt Une soluton à cette équaton est de la forme V cos( t ϕ est la pulsaton propre du crcut A l nstant t, on a ( t V et ( t d V sn( t ϕ dt ( t ϕ ( t V V V Ans, on a donc les expressons suantes : V cos( t et V sn( t omme dans le cas du crcut sére, le crcut parallèle parfat entretent donc les oscllatons sans amortssement. En pratque, les bobnes réels contennent une fable résstance en sére et les oscllatons sont amortes à cause des pertes par effet Joules. 39

40 5. Facteur de qualté d un crcut 5.. Défnton En pratque, les bobnes réels contennent une fable résstance en sére (résstance du fl bobné r es condensateurs réels possède également une résstance parallèle de forte aleur qu caractérse les pertes délectrques (courants de futes Plus fables seront les pertes melleur sera l élément. On défnt le facteur de qualté d un élément Q comme sut : energe Q π energe maxmale emmagasne dsspée par perode e facteur de qualté est sans unté. énerge est emmagasnée dans les éléments réactfs (bobne ou condensateur et l énerge est dsspée par effet Joule (résstance. 5.. Facteur de qualté d un élément réactf réel as de la bobne réelle : Une bobne réelle est composée d une bobne pure en sére aec une résstance de fable aleur. r sot le courant ( t I cos( t crculant dans ce crcut. 4

41 Nous aons u dans le chaptre «Pussance et Energe» que la quantté maxmale d énerge que peut emmagasner une bobne est : I W énerge dsspée dans la résstance par effet Joules pendant une pérode ( aec π / est égale à : W D ri On a donc : Q W I π π π. W ri r D r Plus la résstance r est pette, plus le facteur de qualté Q de la bobne réelle est grand. as du condensateur réel : Un condensateur réel est composée d un condensateur parfat en parallèle aec une résstance de forte aleur. sot la dfférence de potentel ( t V cos( t aux bornes de ce crcut. Nous aons u dans le chaptre «Pussance et Energe» que la quantté maxmale d énerge que peut emmagasner un condensateur est : W I I omme on a V, l énerge W peut auss s écrre : W V énerge dsspée dans la résstance par effet Joules pendant une pérode ( aec π / est égale à : V W D I On a donc : Q W π W V π π. V D 4

42 Plus la résstance est grande, plus le facteur de qualté Q du condensateur réel est grand. a noton de facteur de qualté peut être étendue à tout type de crcut assocant une résstance et une bobne ou un condensateur 5..3 Généralsaton du facteur de qualté Sot un crcut sére dont l mpédance est de la forme s jx s s j Xs e facteur de qualté de ce crcut est : Q X s s Sot un crcut parallèle dont l admttance est de la forme Y P jx P j Xp p le facteur de qualté de cette mpédance est : Q X P P On peut érfer que les expressons obtenues précédemment se dédusent drectement de ces deux formules générales. Exemple : assocaton d une bobne d nductance et d une résstance en sére On a : s et X s, le facteur de qualté est égal à Q X s s 5.3 e crcut résonnant sére Sot l assocaton en sére d une bobne d un condensateur et d une résstance : 4

43 (t (t e générateur (t mpose la pulsaton du crcut. mpédance complexe est la suante : j j j Son module est égal à : Q Sa phase est la suante : arctan arg( Q A la pulsaton de résonance, le courant est maxmum et donc le module de l mpédance complexe est le plus fable possble. ette pulsaton s obtent pour On a alors,. et sont donc en phase. Nous aons u que le facteur de qualté d une bobne en sére aec une résstance est égal à Q Q herchons à exprmer en foncton de,, et Q : j j j jq car 43

44 π, arg(, arg( π, arg( Q Q Q > Q Q arg( π arg( arctanq π étude d un tel crcut est ntéressante lorsque la pulsaton est proche de la pulsaton de la résonnance δ (aec très pett deant alculons alors le terme ( On a donc (. δ δ jq lorsque proche de δ est le désaccord relatf (écart de pulsaton par rapport à la pulsaton 44

45 S le facteur de qualté Q est très éleé ( c est à dre <<, le crcut est équalent à un nterrupteur ouert (hors résonance ou fermé (en résonance. alculons la pussance consommée dans le crcut au osnage de la résonance lors d une attaque en tenson exp( ( t j V t. ( 4 * * P et t ( On a alors : * * *.. 4 P * * * * V V aec 4 δ Q On obtent fnalement : 4 δ Q V P Pour V P P : pussance consommée dans la résstance 4 δ Q P P Détermnons les pulsatons et pour lesquelles P P 4 4 δ δ Q Q Q ± δ 45

46 δ Q δ Q δ Q P P P δ δ est appelée bande passante ou largeur de bande à 3 db. est l nteralle de pulsaton pour lequel la pussance est supéreure à P /. Phénomène de surtenson : orsque, les dfférences de potentel aux bornes de la bobne et du condensateur peuent être très grandes : on a V et donc ( t exp( j t V j j exp( j t jq V exp( j t jq V exp( j t jv Q exp( j t jq j j On a ben : et sont de même ampltude VQ et en opposton de phase à la pulsaton de résonnance. S le facteur de qualté est grand, l ampltudevq peut auss être éleée d ou rsque de claquage du condensateur! Applcaton numérque : 5Ω, mh et nf. V V 6 On a rd / s f 59kHz π Q 46

47 5rd / s Q f 795Hz π V V Q V V!! c 47

48 6 ES QUADIPOES 6. Défntons D une manère générale, un quadrpôle est décrt comme sut : A AB A B A B D c D D BD Pour un quadrpole passf, on a : A B D AB A D BD ependant, le terme quadrpôle est plutôt utlsé pour un crcut dont les bornes sont groupées par pare. Alors le courant entrant dans le pôle d une pare ressort par l autre pôle de la même pare. Nous aons le schéma équalent suant : 6. Descrpton matrcelle du quadrpôle Pour reler les 4 paramètres du quadrpôle ( les deux courants et les deux dfférences de potentel, l exstent 4 représentatons matrcelles dfférentes: - matrces mpédances - matrces admttances - matrces hybrdes - matrces de transfert 6.. Matrces mpédances équatons sont suffsantes pour décrre le quadrpôle On a : 48

49 f (, g(, es deux équatons sont : unté des mpédances sont les ohms ( Ω. ndce est relatf à la tenson et ndce j est relatf au courant. Sous forme matrcelle nous aons : j.. est le ecteur colonne des tensons et est le ecteur colonne des courants. est la matrce mpédance de dmenson x Défnton : un quadrpole est dt récproque s les termes de la seconde dagonale sont égaux :. ette proprété est caractérstque des quadrpôles composés d éléments passfs (sans générateur de courant et de tenson. Défnton : S de plus, les termes de la premère dagonale sont égaux :, on dt que le quadrpole est symétrque. Exemple : quadrpôle en 3 Nous aons les deux relatons suantes en applquant la lo des malles : ( ( ( ( 3 Ans, on a :

50 e quadrpole est récproque. Il est symétrque à la condton que Nous allons mantenant nous nteresser à l nterprétaton physque de chacun des dfférents coeffcents de la matrce mpédance. est l mpédance ue de l entrée en lassant la sorte du quadrpole en crcut ouert ( est l mpédance ue de la sorte en lassant l entrée du quadrpôle en crcut ouert ( est l mpédance de transfert nerse ou transmpédance nerse obtenue aec l entrée du quadrpôle en crcut ouert ( est l mpédance de transfert drecte ou transmpédance obtenue aec la sorte du quadrpôle en crcut ouert ( es défntons des coeffcents permettent de calculer et de mesurer smplement ceux-c. Exemple : (sute quadrpôle en 3 cas 3 5 3

51 3 cas Nous retrouons les résultats calculés précédemment. Exemple : quadrpôle en p 3 - omme dans l exemple précédent, nous allons consdérer successement les cas et. cas 3 - // ( (

52 Pour détermner ce coeffcent, nous deons calculer la relaton entre et. On a : ( ( 3 Sot 3 D ou 3 cas ( ( // Pour détermner ce coeffcent, nous deons calculer la relaton entre et. On a : ( ( 3 Sot 3 D ou 5

53 3 En résumé, nous aons : ( ( 3 3 e quadrpole est donc récproque. Il est symétrque s ( ( Matrces admttances On utlsent les deux équatons suantes pour décrre le quadrpôle : Y Y Y Y - unté des admttances Y j sont les ohms tenson. Sous forme matrcelle nous aons : ( Ω. ndce est relatf au courant et ndce j est relatf à la Y Y Y Y. Y. est le ecteur colonne des courants et est le ecteur colonne des tensons. Y est la matrce admttance de dmenson x On a la relaton suante entre Y, la matrce admttance et..y..y I où I est la matrce dentté. Ans, nous aons :, la matrce mpédance d un quadrpôle. Y a matrce Y est l nerse de la matrce. e passage de l une à l autre mplque d nerser la matrce. 53

54 On a les relatons entre les éléments de la matrce admttance Y et la matrce mpédance : [ ]. Y Y Y Y Y. Nous allons mantenant nous nteresser à l nterprétaton physque de chacun des dfférents coeffcents de la matrce admttance. Y Y est l admttance ue de l entrée lorsque la sorte du quadrpôle est en court-crcut ( Y Y est l admttance ue de la sorte lorsque l entrée du quadrpôle est en court-crcut ( Y Y est l admttance de transfert nerse obtenue aec l entrée du quadrpôle en court-crcut ( Y Y est l admttance de transfert drecte obtenue aec la sorte du quadrpôle en court-crcut ( es défntons des coeffcents permettent de calculer et de mesurer smplement ceux-c. Exemple : (sute quadrpôle en p 3 Sot Y, Y et Y 3, 3 - Sot le courant crculant dans l admttance Y 3. On a Y 3 ( es équatons assocées à la matrce admttance sont les suantes : 54

55 Y Y Y3 ( Y 3 ( Y Y3 Y Y3 D où les éléments de la matrce admttance suants : Y Y Y et Y Y Y3 Y3 Y Y3 es éléments de la matrce admttance peuent être érfés en utlsant les relatons entre les éléments de la matrce admttance Y et ceux de la matrce mpédance calculés au paragraphe précédent Matrces hybrdes On utlsent les deux équatons suantes pour décrre le quadrpôle : h h h h Sous forme matrcelle nous aons : h h h h. H. H est la matrce hybrde de dmenson x es matrces hybrdes sont utlsées en partculer dans l étude des transstors. Nous aons : h h est l mpédance d entrée lorsque la sorte du quadrpôle est en court-crcut ( h h est le gan en tenson nerse lorsque l entrée du quadrpôle est ouerte ( 55

56 h h est le gan en courant obtenu aec la sorte du quadrpôle en court-crcut ( h h est l admttance de sorte lorsque l entrée du quadrpôle est ouerte ( 6..4 Matrce de transfert ou matrce chaîne ette matrce est très pratque pour la mse en cascade des quadrpôles. 3 générateu r charge es relatons défnssant la matrce de transfert sont les suantes : D A B matrce de transfert Sot sous forme matrcelle : A B. D Attenton : contrarement aux autres représentatons matrcelles, pour la matrce de transfert on utlse le courant (courant sortant du quadrpole à la place du courant (courant entrant dans le quadrpole e formalsme permet de smplfer les calculs lorsque nous assocerons pluseurs quadrpoles en cascade. A et D sont sans dmenson B est une mpédance en ohm et une admttance en ohm - 56

57 6.3 Schémas équalents du quadrpôle es schémas se dédusent drectement des relatons matrcelles mpédance, admttance et hybrde eprésentaton matrcelle mpédance 6.3. eprésentaton matrcelle admttance Y Y Y Y Y Y Y Y eprésentaton matrcelle hybrde h h h h h h h h 6.4 Assocaton de quadrpôles Suant l assocaton de quadrpôles, nous chosrons la matrce la plus approprée. 57

58 6.4. Assocaton sére ' ' ' Quadrpole Q' ' '' '' Quadrpole Q'' '' '' '' '' On a les relatons suantes : ' " et ' " ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' " " " " " " " " " " omme ' " et ' " nous pouons écrre les relatons suantes pour le quadrpole équalent : ( ' ( ' " " ( ' ( ' " " Ans sous forme matrcelle, la matrce mpédance du quadrpole équalent est égal à la somme des matrces mpédances : [ ] [ ' ] [ " ] On ajoute terme à terme les éléments de même ndce Assocaton parallèle 58

59 ' ' ' Quadrpole Q' ' '' '' Quadrpole Q'' '' '' '' '' On a les relatons suantes : ' " et ' " ' Y ' ' Y ' ' Y ' ' Y ' ' ' " Y" " Y" " Y" " Y" " " omme ' " et ' " nous pouons écrre les relatons suantes pour le quadrpole équalent : Y Y Y Y ( Y ' ( Y ' Y" Y" ( Y ' ( Y ' Y" Y" Ans sous forme matrcelle, la matrce admttance du quadrpole équalent est égal à la somme des matrces admttances : [ Y ] [ Y' ] [ Y" ] On ajoute terme à terme les éléments de même ndce Assocaton en cascade ' ' '' '' Quadrpole Q'' Quadrpole Q' ' '' ' '' ' '' '' Nous allons chercher à détermner la matrce de transfert du quadrpôle résultant de cette assocaton. haque quadrpôle est défn par sa matrce de transfert : A' B' A" Quadrpole Q : ' Quadrpole Q : " ' D' " B" D" 59

60 Dans cette assocaton, nous aons les relatons suantes entre les courants et entre les dfférences de potentel : ' " ' " ' ' " " On a donc les relatons suantes pour le premer quadrpôle : ' A' ' B' ' A' " B' " ' ' ' D' ' ' " D' " Pour le second quadrpole, nous aons : ' " A" " B" " A" B" ' " " " D" " " D" D où : A ( A" " B" " ( A" " B" " ' ' B'( " " D" " D'( " " D" " Ans on en dédut les relatons entre,, et : ( A' A" B' " ( A' B" B' D" ( ' A" D' " ( ' B" D' D" A' A" B' " ' A" D' " A' B" B' D" ' B" D' D" a matrce du quadrpole Q obtenu par la mse en cascade de deux quadrpoles Q et Q est égale au produt matrcel des matrces et : [ ] [ '][. " ] outes ces assocatons de quadrpoles se généralsent à un nombre n de quadrpoles. 6.5 Fonctons de transfert d un quadrpôle e générateur charge 6

61 En utlsant la matrce mpédance, on a les relatons suantes : equaton ( equaton ( e equaton (3 equaton (4 es grandeurs ntéressantes sont : gan en tenson du quadrpole. e gan est sans dmenson (réel ou complexe gan en courant E mpédance d entrée S mpédance de sorte Gan en courant est toujours nféreur à pour un quadrpole passf. En combnant les équatons ( et (4, on obtent : D où : equaton (5 On peut obserer que le gan en courant dépend de la charge Gan en tenson On a exprmer en foncton de à partr des équatons (,(4 et (5. (4 > (5 > 6

62 ( > [ ( ] En posant ( est le détermnant de la matrce mpédance On obtent fnalement : Impédance d entrée E c est l mpédance ue de l entrée du quadrpole ( ( > E Impédance de sorte S est l mpédance ue de la sorte du quadrpole obtenue en annulant le générateur à l entrée du quadrpole. Pour détermner cette mpédance, l conent d annuler le générateur S ( et (3 > ( > S 6

63 63

64 7 FIAGE, DIAGAMMES DE BODE 7. Introducton au fltrage En régme snusoïdal permanent nous aons u que les mpédances des bobnes et des condensateurs dépendent de la fréquence. Par conséquence, les coeffcents des dfférentes matrces de défnton des quadrpoles (matrce Y H mpédance, admttance, hybrde ou de transfert, les fonctons de transfert ( V et I et les mpédances d entrée E et de sorte S sont auss dépendantes de la fréquence. Nous allons utlser cette dépendance pour construre des fltres. 7.. Défntons Un fltre est un quadrpôle transmettant un sgnal sans atténuaton ou aec une atténuaton de aleur donnée dans une bande de fréquence détermnée. ourbe de réponse en fréquence du module de la foncton de transfert V d un quadrpôle : V O O f f f es fréquences de coupure f et f correspondent aux fréquences pour lesquelles le module de la foncton de transfert V Il exste dfférentes catégores de fltres selon l allure de leur courbe de réponse en fréquence : - le fltre passe bas V O Exemple : O f f 64

65 a pente de la courbe de réponse dépend de l ordre du fltre. a bande passante est égale à - le fltre passe haut f V O Exemple : O f f - le fltre passe-bande V O O f f f a bande passante est égale à - le fltre coupe-bande f f V O O f f f 65

66 7. Echelle logarthmque et dagramme de Bode étude des fltres portent sur la foncton de transfert complexe suante : e module On a : V V exp( jϕ V qu peut se mettre sous la forme V et la phase ϕ de la foncton de transfert V sont foncton de la pulsaton πf et V ( ϕ ( arg( arg( Au leu d étuder les courbes de réponse en fréquence du module de la foncton de transfert étuder le gan GV obtenu à partr de V par changement d échelle : V, on préfère GV log V e changement d échelle est résumé sur ce tableau : A log A log A -n -3 -, / 3 n -n ,5 3 n -n n e changement d échelle permet d étaler les ampltudes de fables aleurs. Ben que comme réalser le changement d échelle V le gan G V sot sans dmenson, on utlse le mot «décbel» pour sgnfer que l on a log ( Note : on utlse auss le décbel pour exprmer les pussances : la pussance en Décbel Watt (dbw s exprme comme sut en foncton de la pussance en Watt P : P db log P Nous aons u précédemment que la fréquence de coupure correspond à la fréquence pour laquelle le module de la foncton de transfert V. En utlsant la relaton entre V et G V on a : 66

67 G V log log G 3dB Ans la fréquence de coupure correspond à la fréquence pour laquelle le gan de la foncton de transfert G V G 3dB Défnton : es deux courbes V ( f( G et ϕ( f( consttuent le dagramme de Bode du fltre. En abscsse, les fréquences ou pulsatons sont représentées sur une échelle logarthmque. Nous allons or dans le prochan paragraphe qu l est possble de tracer très rapdement les courbes de réponse du module et la phase des fonctons de transfert sous forme de dagrammes asymptotques. es dagrammes s applquent très rapdement sur des fonctons smples (ntégrateur pur, crcut du premer et du second ordre mas auss sur des fonctons quelconques à condton de les décomposer en fonctons smples. es drotes asymptotques s obtennent faclement en fasant tendre ers et ers l nfn. 67