Exercices : Série 1 Corrigés

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1 Exercices : Série 1 Corrigés 1 Durée nécessaire pour doubler le PIB par habian Déniions : y 0 : PIB par ravailleur au débu y T : PIB par ravailleur après T années g : aux de croissance [%] r : aux de croissance [%/100] ; par exemple : g = 2% r = 002 Capialisaion discrèe : y 0 (1 + r) T = y T y 0 (1 + r) T = 2y 0 (1 + r) T = 2 T ln(1 + r) = ln 2 Selon l'approximaion de Taylor de premier ordre, ln (1 + r) es approximaivemen égal à r si r es proche de zéro rt ln 2 rt 007 T 007 r = 70 g Capialisaion coninue : y 0 e rt = 2y 0 e rt = 2 rt = ln 2 T = ln 2 r T 007 r = 70 g Série 1 Prof A Eyquem - Ass D Saubli 1

2 2 Modèle de Solow (de base) Foncion de dépar (foncion de producion) Y = F (K, L ) = K 05 L 05 (1) a La foncion de producion a des rendemens d'échelle consans si la condiion suivane es saisfaie λy = F (λk, λl ), λ > 0 (2) Nous vérions cee condiion (2) pour la foncion de producion présene (1) : λf (K, L ) = (λk ) 05 (λl ) 05 λf (K, L ) = λ K 05 L 05 λf (K, L ) = λk 05 L 05 les rendemens d'échelle son donc consans Remarque : Rendemens d'échelle décroissans : λy > F (λk, λl), λ > 0 Rendemens d'échelle croissans : λy < F (λk, λl), λ > 0 b Les produciviés marginales son decroissanes si les dérivées secondes de la foncion de producion par rappor aux faceurs de producion son negaives Par rappor à K : 2 F (K, L ) K 2 P MK = F (K, L ) = 05K 05 L 05 K = P MK K = ( 05)05K 15 L 05 < 0 Par rappor à L : 2 F (K, L ) L 2 les propriéés son donc vériées P ML = F (K, L ) = 05K 05 L 05 L = P ML L = ( 05)05K 05 L 15 < 0 Série 1 Prof A Eyquem - Ass D Saubli 2

3 c Nous divisons la foncion de producion par L F (K, L ) = K05 L 05 = K 05 L L f(k ) = y = k 05 ( ) 05 L 05 K = L d Les valeurs des paramères son n = 0, g = 0 (sans inérê, vu que la echnologie ne fai pas parie de la foncion de producion), δ = 5% 005, s A = 10% 01 e s B = 20% 02 L'équaion de Solow des pays A e B sans progrès echnique : k +1 k = 1 (1 + n) [skα ()k ] A l'éa saionnaire, k rese consan (k +1 = k ) Donc : Inroduire les valeurs données : sk α ()k = 0 k = Capial par ravailleur dans le pays A : k A = Capial par ravailleur dans le pays B : k B = Revenu par ravailleur dans le pays A : Revenu par ravailleur dans le pays B : ( s 1 α ( = ( = y A = k α A = 4 05 = 2 y B = k α B = = 4 La consommaion par ravailleur (la par du revenu qui n'es pas épargnée) dans le pays A : c A = (1 s A )y A = (1 01)2 = 18 La consommaion par ravailleur dans le pays B : c B = (1 s B )y B = (1 02)4 = 32 Série 1 Prof A Eyquem - Ass D Saubli 3

4 3 Solow avec progrès echnologique, analyse graphique Voir les graphiques de la Figure 1 Dans le graphique 1a, la réducion du aux de croissance de la populaion baisse la pene da la foncion (n + g + δ) k vers (n + g + δ) k Le niveau du capial par ravailleur eecif sera plus hau au nouvel éa saionnaire ( k k ) Par conséquen, le niveau du revenu par ravailleur eecif augmene aussi (ỹ ỹ ) Figure 1 monre l'évoluion du revenu (graphique 1b), du revenu par ravailleur (graphique 1c) e du revenu par ravailleur eecif (graphique 1d) ln + croissance ransioire (n'=0) (a) Diagramme de Solow (b) Evoluion du revenu ln ln ransioire 0 croissance ransioire (c) Evoluion du revenu par ravailleur (d) Evoluion du revenu par ravailleur eecif Figure 1 Réducion du aux de croissance démographique à 0 Remarque : Au niveau du revenue (Y ) le aux de croissance de long erme baisse de g + n à g + n Direcemen après le choc, le aux de croissance peu êre supérieur ou inférieur à Série 1 Prof A Eyquem - Ass D Saubli 4

5 n + g On ne peu pas dire si le recul de n vers n es compensé par la croissance ransioire ou pas 4 Maximiser la consommaion Foncion de dépar (foncion de producion) Y = F (K, A L ) = K α (A L α Les valeurs des paramères son α = 03, δ = 4% 004 e n + g = 3% 003 En = 25 En divisan le oure, on suppose que l'économie es à l'éa saionnaire e que K /Y numéraeur e le dénominaeur par L (A L ), on obien k /y = 25 ( k /ỹ = 25) a A l'éa saionnaire la condiion suivane es saisfaie : sỹ = (n + g + δ) k s = (n + g + δ) k ỹ Inroduire les valeurs des paramères données : s ES = ( )25 = 0175 b Prendre la dérivée première de la foncion de producion : P MK = F (K, A L ) K = αk α 1 (A L α muliplier e diviser par K P MKES = α Kα 1 (A L α K K = α Y K = = 012 c Nous rouvons le k qui maximise c el que l'économie es à l'éa saionnaire (règle d'or) : max c = (1 s)f( k ) q sf( k ) = (n + g + δ) k Inroduire la resricion dans la foncion objecif : c = f( k ) (n + g + δ) k Prendre la dérivée première e mere égal à zéro : c k = f ( k ) (n + g + δ) = 0 α k (α 1) = (n + g + δ) Série 1 Prof A Eyquem - Ass D Saubli 5

6 ( k = α n + g + δ Inroduire les valeurs des paramères données : ( k OR = Le aux d'épargne correspondan à : α 1 03 = 8 s OR = (n + g + δ) k 1 α OR = ( )81 03 = 03 Cee dernière équaion vien de la déniion de k à l'éa saionnaire : k = ( d Calculer le niveau du revenu par ravailleur eecif : ỹ OR = k α OR = 8 03 = 1866 s 1 α n+g+δ P MKOR = αkα 1 (A L α K K = αỹ OR k OR = = 007 Comme les rendemens marginaux son décroissans, un niveau de k plus élevé implique un niveau de P MK plus bas k OR > k ES P MK OR < P MK ES e Comme vu précédemmen, ( k OR ỹ OR 8 > k ES 007 < 012 ) = K,OR Y,OR : ỹ OR = k α OR k OR ỹ OR = k 1 α OR = 807 = 4287 Série 1 Prof A Eyquem - Ass D Saubli 6

7 f La courbe dans le diagramme de ransiion (Figure 2) bouge vers le hau lorsque s augmene L'inersecion avec la bissecrice ( k 1+1 = k ) e le niveau de capial par ravailleur eecif von donc êre plus élevés Figure 2 Diagramme de ransiion Série 1 Prof A Eyquem - Ass D Saubli 7

8 Le diagramme de Solow (Figure 3) monre l'ee de l'augmenaion du aux d'épargne e le nouvel éa saionnaire avec la consommaion maximale ( c OR ) Figure 3 Diagramme de Solow 5 Solow avec dépenses gouvernemenales a Equilibre sur le marché des biens e services : Y = C + I + G Inroduire C = (1 s ψσ)y e G = σy : Isoler I : Y = (1 s ψσ)y + I + σy I = (s + ψσ σ)y = [s (1 ψ)σ]y L'éa saionnaire es déerminé par le aux d'invesissemen (qui es égal au aux d'épargne) e les aures variables exogènes : ( s (1 ψ)σ k = 1 α ( ) α s (1 ψ)σ y 1 α = k α = Série 1 Prof A Eyquem - Ass D Saubli 8

9 Ee d'une augmenaion des dépenses publiques sur le revenu par ravailleur : y σ = α 1 α }{{} >0 ( s (1 ψ)σ ) α 1 α 1 } {{ } >0 ψ 1 < 0 } n {{ + δ } <0, car ψ < 1 Remarque : s (1 ψ)σ ne peu pas êre négaif car le aux d'invesissemen ne peu pas êre négaif au niveau agrégé Donc, si G augmene (σ ), le revenu par ravailleur d'éa saionnaire baisse b I = [s (1 ψ)σ + γσ]y L'éa saionnaire es déerminé par le aux d'invesissemen (qui es égal au aux d'épargne) e les aures variables exogènes : ( s (1 ψ)σ + γσ k = 1 α ( ) α s (1 ψ)σ + γσ y 1 α = k α = Ee d'une augmenaion des dépenses publiques sur le revenu par ravailleur : y σ = α 1 α }{{} >0 ( s (1 ψ)σ + γσ ) α 1 α 1 } {{ } >0 ψ + γ 1 }{{} >0, si e seulemen si ψ+γ>1 Donc, une augmenaion des dépenses publiques (σ ) engendre une augmenaion du revenu par ravailleur d'éa saionnaire si e seulemen si ψ + γ > 1 Série 1 Prof A Eyquem - Ass D Saubli 9

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