X 1 = { X si X est impair 0 sinon

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1 Corrigé ECRICOME 998 par Pierre Veuillez Das tout le problème, X désige ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, P et à valeurs das N et E(X l espérace de X si elle eiste. O ote A l évéemet X pred ue valeur paire (o écrira doréavat pour abréger X est pair. O rappelle que 0 est pair. O pose : a P (A. O dit que X a la propriété P si et seulemet si a > /. O défiit deu variables X 0 et X : X 0 { X si X est pair 0 sio X { X si X est impair 0 sio O dit que X a la propriété Q si et seulemet si E(X > E(X 0 Prélimiaires O a X 0 + X X (que X soit pair ou impair { si X est pair O ote Y la variable aléatoire qui vaut si X est impair Pour motrer les relatios, o liste les deu cas : si X est pair alors X 0 X et X 0 et Y doc ( + Y X X X 0 et ( Y X 0 X si X est impair alors X 0 0 et X X et Y doc ( + Y X 0 X 0 et ( Y X X X Coclusio : Das tous les cas X 0 ( + Y X et X ( Y X Partie A Das cette partie, o suppose que X suit ue loi géométrique de paramètre p (0 < p < et o pose q p. Comme X (Ω N alors A X est pair se décompose e A + k (X k (icompatibles Doc Coclusio : a + + P (A P (X k q k p p q k k p ( q q car q < p ( q avec q p q ( q ( + q q q + q q + Et o a doc a q q < 0 et a < q+ (q+ Coclusio : X e vérifie pas la propriété P + q k O détermie la loi de X : Les valeurs de X sot {k + / k N} {0} k N : P (X k + P (X k + q k p et P (X 0 P (X 0 P (X pair a k Pf03-c Page / 7

2 Pour la série Espérace, la covergece absolue équivaut à la covergece simple car les termes sot positifs 0 + M (k + P (X k + k0 coverge car q < doc X a ue espérace et Coclusio : E(X M (k + q k p k0 p M k ( q M k + p k0 E (X p q + ( q ( q q + ( + q ( q k0 q k p q M + ( q + p q p q + ( q or q p q + p ( q ( + q q + ( q ( + q 3 Comme X 0 X X alors X 0 a égalemet u espérace et O peut alors comparer à l espérace de X : E (X 0 E (X E (X p q + ( + q ( q ( + q q ( + q ( q q ( + q ( q E (X E (X 0 q + ( + q ( q q ( + q ( q q q + ( + q ( q (q ( + q ( q > 0 Coclusio : E (X > E (X 0 et X vérifie la propritété Q Partie B Pour tout etier aturel, o pose p P (X et o suppose que la suite (p N est strictemet décroissate. Pf03-c Page / 7

3 O a A + k0 (X k doc P (A + k0 p et de même P ( Ā + k0 p + Et comme p > p + alors... + k0 p est ue limite et le passage à la limite das l iégalité stricte doera ue iégalité large. P (A P ( Ā + k0 p p + p 0 p > 0 Et comme P ( Ā P (A alors a > 0 et a >. Coclusio : X vérifie doc la propriété P O suppose maiteat que X a ue espérace. a : X 0 a ue espérace si + k:kpair kp (X 0 k+0p (X 0 0 coverge absolumet ( coverge car les termes sot positifs O retrouve ces termes das l espérace de X, ou bie o les complète, ou bie o reviet àau sommes partielles : E complètat : Soit a k k si k pair et 0 si k impair. O a aisi M k:kpair kp (X 0 k M k a kp (X 0 k. Pour tout k etier, a k k et P (X 0 k P (X k (pour k 0 doc a k P (X 0 k kp (X k. La série k 0 kp (X k état covergete, par majoratio de termes positifs, k 0 a kp (X 0 k coverge égalmet et X 0 a ue espérace. Par les sommes partielles : M k:kpair kp (X 0 k M k:kpair kp (X k E (X car o rajoute des termes positifs. La série k:kpair kp (X 0 k est doc croissate (termes positifs et majorée par E (X doc covergete. Et X 0 a doc ue espérace. Efi, comme X X X 0, X a égalemet ue espérace. b : O compare E (X 0 et E (X e passat par X 0 ( + Y X X + XY et X ( Y X X XY X 0 et X ayat ue espérace, XY e a ue égalemet. E (X E (X 0 E (X E (XY E (X E (XY E (XY Doc E (X > E (X 0 E (XY < 0 Coclusio : X vérifie Q si et seulemet si E(Y X < 0 Partie C O suppose ici que la variable aléatoire X est e fait à valeurs das l itervalle etier [0, 0] et doc que, pour tout etier, p 0 Pour calculer E (XY o utilise le théor-ème de trasfert avec XY X si X est pair et X si X est impair. L alterace ± est obteue das pm par pm :-pm iitialisé à pour que la première valeur (après pm :-pm soit + pour k0. La somme état accumulée das S. type Tablearray[0..0] of real ; var T :table ; k,pm :iteger ;S :real ; procedure ENTRE LOI(Var T : Table ; var k :iteger ; begi for k :0 to 0 do begi writel( P(X,k,? ; readl(t[k] ; ed ; ed ; Pf03-c Page 3/ 7

4 begi ENTRE LOI(T ; S :0 ;pm :- ; for k :0 to 0 do begi pm :-pm ; S :S+pm*k*T[k] ; ed ; if (S<0 the writel( X vérifie Q else writel( X e vérifie pas Q ed. Partie D Le but de cette partie est d étudier le cas où X suit ue loi biomiale B(, p avec et 0 < p < /. Soit f la foctio de deu variables défiie sur l ouvert U ], + [ ] 0, [ de R par : (, y f(, y y( y y ep[( l( y] a : f est de classe C e (, y de U tels que y > 0 comme composée et produit de foctios C doc sur U. f (, y y ep [( l ( y] + y ep [( l ( y] l ( y y ep [( l ( y] [ + l ( y] f ( (, y ep [( l ( y] + y ep [( l ( y] y y ep [( l ( y] [ y y ( ] y ( y ep [( l ( y] y b : Soit g (u l( u + u g est dérivable sur ], [ et g (u u doc g est strictemet croissate sur u u [0, [ et comme g (0 0, g > 0 sur ]0, [. Coclusio : pour tout u de ]0, [ : l ( u < u Sur l ouvert U, si f a u etremum alors les deu dérivées partielle premières s aulet, et doc { { ( y 0 /y et comme 0 + l ( y 0 + l ( y 0 y Mais comme y ] 0, [ alors y ]0, [ et doc l ( y < y et + y y y 0 Coclusio : f a pas d etremum sur U. l ( y < Das cette questio, p est u réel vérifiat : 0 < p <. O réalise ue suite d épreuves de Beroulli idépedates, de probabilité de succès p et de probabilité d échec q p. Pour tout élémet de N, o défiit l évéemet : F au cours des premières épreuves, o obtiet u ombre pair de succès et o pose u P (F. Soit S l évémet succès au ième et E pour l échec. Pf03-c Page 4/ 7

5 a : ( F, F est u système complet d évéemets doc P (F + P (F P F (F + + P ( F PF (F + E u seul lacé, la parité du ombre de succès e chage que si l o a Succès. Doc P (F + P (F P F (E + F + P ( F PF (S + P (F P (E + F + P ( F P (S+ car le + ième lacer est idépedat des premiers et efi u + u q + ( u p ( p u + p ( u Et pour 0 : ( p u 0 + p ( u 0 p avec u P (F P (E q Coclusio : N : u + ( p u + p ( u b : O a doc u + ( p u + p suite arithmético-géométrique. O détermie c tel que c ( p c + p pc p c Et v u c vérifie v + u + c ( p u + p ( p c p ( p v La suite v est géométrique de raiso ( p et de prmier terme v 0 u 0 c Doc pour tout etier : v ( p et Coclusio : pour tout etier : u ( p + (vérificatio pour 0 et 3 O se place maiteat das le cas aocé au début de la partie D : X suit ue loi biomiale B(, p avec et 0 < p < /. a : O a a P (A P (X paire P (le ombre de succès est pair u Coclusio : a u Et comme 0 < p < / alors p > 0 et ( p + > Doc a > Coclusio : X vérifie la propriété P. b : Pour avoir ± suivat la parité, o utilise ( k et E (Y X ( k kp (X k k0 ( ( k k p k q k k k0 avec la trasformatio k ( ( k k pour k qui aurait dû être suggèrée! ( E (Y X ( k p k q k + 0 k k ( réideé h k : ( p h+ q h h h0 ( p ( p h q h k h0 p (q p p ( p Pf03-c Page 5/ 7

6 Coclusio : E (XY p ( p Hypothèse à vérifier : X est à valeurs das N et a ue espérace doc E(X E(X 0 E (XY p ( p f(, p Et comme p > 0 alors E(X E(X 0 > 0 et Coclusio : X a la propriété Q c : O cosidère l applicatio partielle : g est dérivable sur ] 0, [ et y 0 y + 0 affie g (y + 0 g (y g : y g(y f(, y défiie sur ]0, [ ( g (y f (, y y ( y ep [( l ( y] y ( y ( y et g maimum e ( M g ( ( où elle vaut Coclusio : g admet u maimum M ( > 0 doc e particulier sur [, + [ et d : φ est C e tel que 0 et ( φ ( l + ( ( l + ( ( l + φ ( ( ( ( ( > 0 Et e + : φ ( l ( + 0 Pf03-c Page 6/ 7

7 Coclusio : φ > 0 sur [, + [ et lim + φ ( 0 O a φ est strictemet croissate sur [, + [ et lim + φ ( 0 doc φ < 0 sur [, + [. O compare M + et M e faisat aparaître φ ( ( l ( ( ( l ( < ( M + < M + ( ( l < ( l + φ ( + < φ ( ce qui est vrai car φ est strictemet décroissate sur [, + [ et que et + e sot élémets. Coclusio : La suite (M k k est strictemet décroissate. e : Coclusio : La suite M est décroissate et miorée par 0 doc covergete. Sa limite est ue forme idétermiée ( M ( [ ( ep ( l ] ( [( ep + ] ε ( avec ε ( 0 ep [ + ε (] e quad + Coclusio : lim + M e La suite M est décroissate, M Coclusio : pour tout k : e < M k 4 ( et lim 4 + M doc e 4 O suppose que deu joueurs Alai et Béatrice jouet à pile ou face avec ue pièce désiquilibrée, la probabilité d obteir face état égale à p (0 < p <. Ue pièce est lacée fois (, les lacers successifs sot supposés idépedats. Alai empoche u gai égal au ombre de faces apparues si ce ombre de faces est pair et Béatrice, u gai égal au ombre de faces apparues si ce ombre est impair. a : O a vu que das ces coditio (probabilité de succès -Face- p <, le ombre de succès (de Pile X avait la propriété P doc que la probabilité d obteir u ombre pair de Face est supérieur à celle d u ombre impair. Coclusio : Alai a plus de chaces de gager que Béatrice b : Les gais d Alai et Béatrice sot respectivemet X 0 et X. Das ces coditios, X a la propriété Q. Coclusio : L espérace de gai de Béatrice est supérieur à celui d Alai. c : M est l écart d espérace de gai maimum etre Béatrice et Alai, (pour différetes pièces. L écart d espérace est doc das tous les cas iférieur à. 4 Ce qui est miime au regard des gais possibles ( ou pour l u et pour l autre. Pf03-c Page 7/ 7