Pépinière académique de mathématiques Stage des 24 et 25 février 2011 Élèves de terminale présentés par leurs établissements au Concours général

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1 Pépiière académique de mathématiques Stage des 4 et 5 février 0 Élèves de termiale présetés par leurs établissemets au Cocours gééral Orgaisatio géérale et emploi du temps Jeudi 4 février 0 heures à h 45 Groupe Groupe Groupe 3 Algèbre et ombres AV Géométrie et calcul CH heures à h 45 Repas Équatios BB h 45 à 3 h 45 Réflexios sur le calcul formel (RB) 3 h 45 à 5 h 5 Équatios BB Géométrie et calcul 5 h 35 à 7 heures CH Vedredi 5 février Algèbre et ombres AV Équatios BB Géométrie et calcul CH Algèbre et ombres AV 9 h 30 à 0 h 30 Iversio (PM) 0 h 30 à h 5 Géométrie des trasformatios AA h 5 à 3 h 5 Repas Foctios CW & DPG Suites & Arithmétique GD & MP 3 h 5 à 5 heures 5 h 0 à 7 heures Suites & Arithmétique GD & MP Foctios CW & DPG Géométrie des trasformatios AA Suites & Arithmétique GD & MP Foctios CW & DPG Géométrie des trasformatios AA Iterveats : Claude DESCHAMPS (Olympiade fraçaise de mathématiques), Bruo BAUDIN (Lycée Camille Pissarro, PONTOISE), Catherie HOUARD (Lycée Camille Pissarro, PONTOISE), Moique TALEB (Lycée Hoche, VERSAILLES), Ae ALLARD (Lycée Les Pierres Vives, CARRIERES SUR SEINE), Geeviève DELYON (Lycée Lakaal, SCEAUX), Maud PARTIER (Lycée Charles de Gaulle, POISSY), Christie WEILL (Lycée Dumot d Urville, MAUREPAS), Daièle PERRET-GENTIL (Lycée Hoche, VERSAILLES), Richard BREHERET (Lycée Galilée, CERGY), Alexadra VIALE (Lycée Émilie de Breteuil, MONTIGNY LE BRETONNEUX), Michel OLIVIER (Lycée Evariste Galois, SARTROUVILLE Resposables : Domiique BARTH, Mohamed KRIR (Uiversité de Versailles Sait Queti), Marie-Fraçoise BOURDEAU, Pierre MICHALAK, Évelye ROUDNEFF (Ispectio, Rectorat de Versailles), Orgaisatio : Frédérique CHAUVIN (Rectorat de Versailles), Florece GOEHRS (U.V.S.Q.) Pépiière CG février 0 Page

2 Algèbre et théorie des ombres Exercice a. Trouver trois ombres etiers aturels a, b et c disticts ou o tels que. 4 a b c b. Détermier tous les etiers aturels tels qu il existe ombres etiers aturels x, x,, x tels que.... Cocours gééral 990 x x x Exercice x N a. Soit ue suite de ombres réels telle que, pour tout ombre etier aturel, o a : x0 x... x x0 x... x. Motrer que, pour tout etier aturel, il existe u etier aturel m tel que : mm x0 x... x. p p p b. Si et p sot deux ombres etiers aturels o uls, o pose Sp,.... Détermier les etiers aturels o uls p tels que, quel que soit l etier aturel o ul p, S p, soit le carré d u ombre etier aturel. Cocours gééral 99 - Exercice Exercice 3 Trouver tous les etiers x tels que le produit des chiffres de l'écriture décimale de x est égal à x 0x. Olympiades iteratioales 968 Exercice 4 p Pour tout etier aturel, o ote I le ombre d etiers p tels que a. Démotrer que pour tout, I vaut ou 3. b. Démotrer qu il existe ue ifiité d etiers pour lesquels I vaut 3 et doer le plus petit d etre eux. Cocours gééral Exercice Exercice 5 O cosidère das cet exercice tous les tableaux carrés à 9 cases das lesquelles sot placés das u certai ordre tous les etiers de à 9. Par exemple : A u tel tableau o associe les produits des élémets de ses liges (56, 7, 90 das l'exemple ci-dessus) et les produits de ses coloes (54, 80, 84 das l'exemple ci-dessus).. (a) Etat doé u tel tableau, motrer qu'il a au mois ue lige dot le produit des élémets est supérieur ou égal à 7. (b) Doer u tableau de ce type dot les trois liges ot u produit de leurs élémets iférieur ou égal à 7.. Etat doé u tableau de ce type, motrer qu'il a au mois ue lige ou ue coloe dot le produit des élémets est supérieur ou égal à 90. Cocours gééral 007, exercice Pépiière CG février 0 Page

3 Exercice Géométrie et calcul. Soit u et v deux ombres complexes. Motrer que u + v u + v + u v.. Soit u, u, u 3, u 4 quatre ombres complexes. Motrer que : u + u + u 3 + u 4 u + u + u + u 3 + u + u 4 + u + u 3 + u + u 4 + u 3 + u 4 Cocours gééral 986 Exercice a. Soit z et z deux ombres complexes tels que zz et z z. O désige par A, B, M et M les poits d affixes respectives,, z et z. Motrer que le quadrilatère AMBM est e gééral u trapèze isocèle dot o calculera la logueur des côtés o parallèles. Préciser les cas particuliers. b. Soit O et O deux poits disticts du pla et (C ), (C ) les cercles de cetres O, O et de rayos d, où d désige la logueur OO. Deux poits mobiles P et Q se déplacet respectivemet sur les cercles (C ) et (C ) de faço que : PQ d OO ou de part et d autre de la droite et que les poits P et Q soiet sur la droite OO. Démotrer que le milieu I du segmet [PQ] décrit ue lige de iveau de l applicatio f : M MO MO lorsque P décrit le cercle (C ). Cocours gééral Exercice Exercice 3 Pour tout triagle ABC, o ote :. so cercle exiscrit das l agle du triagle de sommet A ;. A, B, C les poits de cotact de avec les droites (BC), (CA) et (AB) ; 3. S(ABC) l aire de la portio du pla délimitée par les segmets [AB ], [AC ] et l arc C A B de. Motrer qu il existe des triagles ABC, de périmètre p doé, pour lesquels l aire S(ABC) est maximale. Pour u tel triagle, doer ue valeur approchée, à u degré près, de la mesure de l agle du triagle ABC de sommet A. Cocours gééral Exercice 5 Pépiière CG février 0 Page 3

4 Exercice 4 Soit (C) u cercle de rayo. a. Détermier les triagles ABC iscrits das le cercle (C) pour lesquels la somme est maximale. AB BC CA b. Détermier les quadrilatères ABCD iscrits das le cercle (C) pour lesquels la somme AB AC AD BC BD CD est maximale. Cocours gééral 99 - Exercice Exercice 5 Le cercle circoscrit à u triagle ABC a pour rayo R et cetre O, so cercle iscrit a pour rayo r et cetre I. Motrer que si ABC est isocèle alors OI RR r Olympiades iteratioales 96 Exercice 6 Soit ABC u triagle. Si P est u poit du pla, o ote L, M, N les projetés orthogoaux de P respectivemet sur les droites (BC), (CA) et (AB). Détermier le poit P pour lequel la quatité BL CM AN est miimale. Cocours gééral 994 Pépiière CG février 0 Page 4

5 Équatios Exercice Soit u etier aturel o ul. Résoudre l'équatio cos x si x. Olympiades iteratioales 96 Exercice Existe-t-il etiers aturels cosécutifs a 0, a,., a ragés das l ordre croissat et vérifiat : a0 a... a a a... a? (o pourra étudier les variatios de la foctio f défiie sur R par f ( x) x x... x x... x et étudier l équatio f( x) 0) Cocours gééral Exercice Exercice 3 P x xq x x R x x x x x S( x) Soit P, Q, R et S des polyômes tels que Prouver que est racie de P. Olympiades des Etats-Uis 989 Exercice 4 Trouver tous les polyômes f à deux variables tels que : (i) Pour tous réels t, x, y : f tx, ty t f x, y, où est u etier (f est u polyôme homogèe de degré ) ; f ab, c f bc, a f ca, b 0 ; (ii) Pour tous réels a, b, c : (iii) f, 0 Olympiades iteratioales 975 Exercice 5 O écrit à la suite ombres, de telle sorte que pour tout triplet (a, b, c ) de ombres cosécutifs de cette ac suite : b a c Le premier ombre écrit est 00, le derier est Quel est le quizième? 0 Exercice 6 Le polyôme P défii par 4 3 toutes iférieures à. Exercice 7 P x x x px q a ses quatre racies réelles. Motrer qu elles sot Les quatre ombres réels a, b, c, d sot tels que a 45 a, b 45 b, c 45 c, d 45 d. Motrer que abcd 004. Pépiière CG février 0 Page 5

6 Géométrie des trasformatios Exercice Soit ABC u triagle, tel que AB > BC ; O ote M et L les poits de (AC) teles que (BM) soit ue médiae du triagle et (BL) ue bissectrice. La parallèle à (AB) respectivemet à (BC) passat par M respectivemet par L coupe (BL) respectivemet (BM) e D respectivemet e E. Motrer que (ED) est perpediculaire à (BL). Exercice Soit ABCD u quadrilatère covexe. O suppose que (AD) et (BC) e sot pas parallèles et que AD = BC. Soit E u poit de [AD] et F u poit de [BC] tels que AE = CF. O ote P, Q et R les poits d itersectio respectifs de (AC) et (BD), de (AC) et (EF), de (BD) et (EF). Motrer que quad E varie les cercles circoscrits aux triagles PQR ot u poit commu autre que P. Exercice 3 Puissace d'u poit par rapport à u cercle Soit Γ u cercle de cetre O et de rayo R, M u poit quelcoque du pla et D ue droite passat par M recotrat le cercle Γ e A et B. Il s'agit de démotrer que le produit scalaire MA.MB est idépedat de la droite D.. E cosidérat le poit A' de diamétralemet opposé à A. Démotrer que MA.MB MO R. Coclure. Cet ivariat est appelé puissace du poit M par rapport au cercle et o le ote P Γ (M).. Quel est l esemble des poits du pla tels que P Γ (M) = 0? P Γ (M) < 0? P Γ (M) >0? 3. Applicatio : O cosidère u triagle ABC d orthocetre H ; Soit A, B et C les pieds des hauteurs de ce triagle, respectivemet issues de A, B et C. Démotrer que : HA HA = HB HB = HC HC. 4. Soit quatre poits A, B, C et D, dot trois d'etre eux e sot pas aligés et tels que (AB) et (CD) se coupet e M. Démotrer que les poits A, B, C, D sot cocycliques si, et seulemet si MA.MB MC.MD Exercice 4 Iversio géométrique Soit O u poit d u pla P euclidie et k u réel o ul et P* le pla privé de O. M' (OM) Alors pour tout poit M de P*, il existe u uique poit M de P* tel que. OM.OM' k L applicatio f de P* das lui-même qui, à tout poit M associe l uique poit M de la droite (OM) tel que OM.OM' k, est appelée iversio de pôle O et de rapport k.. a) Soit M u poit de P* et M = f(m). Détermier f(f(m)). O dit que f est ivolutive. b) Quels sot les poits ivariats de f?. Soit O, A et B trois poits aligés du pla deux et deux disticts. Costruire l image D de C par l iversio de pôle O qui trasforme A e B. 3. Soit M et N deux poits du pla, M et N leurs images par l iversio f de pôle O et de rapport k. Exprimer la distace M N e foctio de k, MN, OM et ON. 4. a) Image d ue droite : Soit ue droite e passat pas par O et H le projeté orthogoal de O sur. Soit M u poit de. Démotrer que so image M par f appartiet au cercle de diamètre [OH'] où H' désige l'image de H par f. Démotrer que f ()=. b) Image d u cercle : Démotrer que l image das ue iversio f d u cercle passat par le pôle d iversio est ue droite parallèle à la tagete e O à. Pépiière CG février 0 Page 6

7 Exercice 5 Théorème de Ptolémée L objet de cet exercice est de démotrer le théorème de Ptolémée : «u quadrilatère covexe est iscriptible, si et seulemet si la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagoales». Idicatio : O pourra cosidérer l image des poits B, C et D das ue iversio de pôle A et utiliser les résultats de l exercice, questio 3. Exercice 6 Ue formule pour calculer des aires plaes L espace est rapporté à u repère orthoormal (O; i ; j ; k) Soit p u pla, de vecteur ormal uitaire. O pose. k = cos, et l o désige par P 0 le pla de repère (O; i ; j ).. O suppose das cette questio que P et le pla P 0 e sot pas parallèles. Soit D la droite d itersectio des plas P et P 0, A et B des poits de D, C u poit de P, C le projeté orthogoal de C sur le pla P 0 et efi H le projeté orthogoal de C sur la droite (AB). (a) Justifier le fait que H est égalemet le projeté orthogoal de C sur la droite (AB). (b) E déduire ue relatio etre les logueurs CH, C H et l agle, puis etre les aires S et S des triagles ABC et ABC. Pépiière CG février 0 Page 7

8 Foctios Exercice (Tchébychev) Pour réaliser des approximatios de foctios à l aide de foctios polyômes, il faut bie maîtriser ces derières qui partet vite vers l ifii. 3. À tout ombre réel o associe la foctio f défiie sur, par f x x x. Motrer qu il existe u ombre positif m tel que l esemble des images des élémets de l itervalle,par f soit l itervalle m, m.. Étudier la foctio m. E déduire qu il existe u ombre réel positif 0 tel que pour tout réel x élémet de, 0 4 ab de ombres réels, o associe la foctio f défiie sur : f x 3. À tout couple, 3 f x ax bx. Pour quelle valeur maximale de a peut o réaliser la coditio : pour tout x élémet de, : f x. Doer u exemple de foctio coveable. 4. Même questio pour les foctios 3 x ax bx cx d Exercice Cordes horizotales de logueur doée de la représetatio graphique d ue foctio cotiue. O cosidère ue foctio f cotiue sur 0, telle que f 0 f. Motrer que pour tout etier aturel supérieur ou égal à, il existe u ombre c iférieur à tel que f c f c. O pourra pour cela cosidérer la foctio f défiie par f x f x f x. La représetatio graphique de f a doc des cordes horizotales de logueur, pour tout aturel o ul., par:. Motrer que si o remplace par, où est pas l iverse d u aturel, o obtiet pas u théorème. Predre par exemple la foctio défiie sur Exercice 3 0, par x f x cos x cos. Soit f ue applicatio de N das N telle que, pour tout etier aturel, f f f Motrer que, pour tout etier aturel, f ( ) Olympiades iteratioales 977 Pépiière CG février 0 Page 8

9 Exercice 4 Soit f ue applicatio de l esemble Z des etiers relatifs das l esemble R des réels. O suppose que f est miorée et vérifie : pour tout etier relatif, f( ) f f. Motrer que l applicatio f est costate. Cocours gééral 993 Exercice 5 Détermier toutes les foctios de l esemble des ombres réels strictemet positif das lui-même qui vérifiet les coditios suivates : (i) Pour tous réels strictemet positifs x et y, f xfy yf x (ii) lim f( x) 0 x Exercice 6 f :0,R ue foctio umérique défiie et cotiue sur l itervalle [0,]. Soit O suppose que f(0) f() 0 et, que pour tout x réel de l itervalle. Démotrer que l équatio ( ) 0 Olympiades iteratioales , 0, 3 f x f( x) 0. 0,. f x a au mois sept solutios das l itervalle. Doer u exemple de foctio f vérifiat les hypothèses ; o pourra se coteter d ue représetatio graphique claire. Cocours gééral 005- exercice Exercice 7 Détermier toutes les applicatios f de l esemble R + des réels positifs ou uls das lui-même vérifiat les trois propriétés : (i) pour tous réels x et y de R +, f xf y f( y) f x y ; (ii) f 0 ; (iii) pour tout x 0,, 0 f x. Pépiière CG février 0 Page 9

10 Suites et Arithmétique Exercice S Soit u N ue suite réelle vérifiat, pour tout etier aturel, la relatio : u + = u + u Motrer qu il existe u etier p o ul tel que la relatio : u + p = u ait lieu pour tout etier aturel. Cocours gééral 998 Exercice Exercice S Soit u N la suite de ombres etiers défiie par : u u u0 0 et, pour tout etier aturel, et u u. Calculer u Détermier le ombre d idices, iférieurs ou égaux à 990, tels que u = Soit p u ombre etier aturel et N = ( p ). Calculer u N. Exercice S3 Cocours gééral 990 Exercice Soit u la suite umérique défiie par la doée de ses deux premiers termes u 0 et u tels que 0 u0 et 0u et la relatio de récurrece : u u u.. Motrer que la suite u est covergete et détermier sa limite.. Motrer qu à partir d u certai rag 0, la suite u est mootoe (o e demade pas de détermier 0 qui déped des valeurs iitiales de u 0 et u. Cocours gééral 99 Exercice 4 Exercice A Soit a, b, c et d des etiers positifs impairs vérifiat les coditios : (i) abc d ; (ii) ad bc ; (iii) Il existe deux etiers k et m tels que a d k et b c m. Motrer que a. Olympiades iteratioales 984 Exercice A Détermier tous les couples m, d etiers strictemet positifs tels que 3 soit u etier. m Olympiades iteratioales 994 Exercice A3 Trouver tous les etiers a, b et c tel que a b c et a b c soit u diviseur de abc. Olympiades iteratioales 99 Pépiière CG février 0 Page 0

11 Exercice A4 Pour tout etier strictemet positif, o désige par S ( ) le plus grad etier tel que, pour tout etier strictemet positif k S( ), peut s écrire comme la somme de k carrés parfaits. a. Prouver que S ( ) 4 pour tout 4. b. Trouver u etier tel que S ( ) 4. c. Prouver qu il existe ue ifiité d etiers tels que S ( ) 4. Olympiades iteratioales 99 Exercice A5 989 Soit m u etier aturel impair strictemet supérieur à. Trouver le plus petit etier positif tel que divise m. Proposé à l OIM 989 Exercice A6 Soit u etier tel que. Motrer que si 0 k, alors 3 k k k k est u ombre premier pour tout etier k tel que est u ombre premier pour tout etier k tel que 0 k. Olympiades iteratioales 987 Exercice A7 Soit u etier tel que 6. O cosidère les ombres a, a,, a k iférieurs à et premiers avec et o suppose que : a a a3a... ak ak et a a 0. Prouver qu alors est u ombre premier ou ue puissace de. Olympiades iteratioales 99 Pépiière CG février 0 Page