Chapitre I Eléments de la théorie des réacteurs

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1 hapte I Eléments de la théoe des éacteus L'objectf de ce cous est de pemette un dmensonnement des éacteus en fonctonnement dves et ans éalse une cetane conveson en optmsant leu fonctonnement. Défnton Un éacteu est toute poton d espace où peut avo leu une tansfomaton chmque ou bologque. Il exste dvese manèe de éalse patquement une éacton, pou l étude fondamentalement au laboatoe ou pou l explote ndustellement. Pluseus ctèes de classement des éacteus sont possbles : - Mode d ntoducton des éactfs et d élmnatons des poduts (cculaton du mélange éactonnel) - Evoluton dans le temps - Degés de mélange à l ntéeu du éacteu. - Etc. 1. Types de éacteus 1.1. Réacteu dscontnu ou Femé e sont des éacteus qu ne possèdent n entée (non almenté) n sote (pas de soutage) Réacteu gté 1.2.Réacteu ontnu ou Ouvet e sont des éacteus qu possèdent une entée (almenté) et une sote (soutage). On dstngue dans cette catégoe deux types de éacteu : Réacteu pafatement agté ou mélangé et éacteu non agté (aucun mélange) ou éacteu pston. Entée Sote Réacteu ontnu Pafatement gté (RP) 1

2 Entée Sote Réacteu Pston (RP) Les éacteus possédant une entée ou une sote sont appelés éacteu sem-femé ou fedbatch, en généal on les classe dans la catégoe des éacteus femés. 2. Ectue du blan généale matèe su un volume du éacteu Débt Entant + Débt de Poducton = Débt Sotant + ccumulaton dans pa la éacton de dans le temps F E + n = F S + dn Ou : F E : flux de l élément à l entée du éacteu [mole/s] F S : flux de l élément à la sote du éacteu [mole/s] : volume du éacteu [m 3 ] : vtesse spécfque du éactf pa appot au volume [mole / s.m 3 ] υ coeffcent stéshométque algébque (< 0 pou les éactfs et > 0 pou les poduts ) F Q n E E E S on consdèe un seul consttuant F Q S dn S S d. d d 2

3 Sot une concentaton à l entée E = 0 et une concentaton à la sote de S =. L expesson du blan massque généale pou un éacteu sotheme à debt constant Q E =Q S =Q sea égale à : Q 0 dn Q d Q d 2.1.pplcaton aux dfféents types de éacteus Blan massque pou un Réacteu Femé (Batch Reacto) Le éacteu est pafatement mélangé, en phase lqude la concentaton est unfome dans tout le volume du éacteu Blan su le consttuant en consdeant le éacteu ente : E + P = S + cc Les temes d'entée (E) et de sote (S) sont nuls (pas d'échange de matèe avec l'extéeu). Il este : v = dn Poducton = ccumulaton = d( ) = d + d d On consdèe le volume du éacteu constant 0 Sot la éacton : P S on s'ntéesse au éactf, on peut éce le blan pa appot à, et y fae nteven la conveson X avec dans ce cas pécs υ = -1 (pa appot au éactf). L expesson du blan massque d un éacteu femé s éct sous la fome suvante: - = d S on péfèe tavalle en conveson, on peut auss éce : n = n 0 (1-X ) dx - = -n o Pa ntégaton, on peut calcule le temps pemettant d'obten une concentaton F ou un taux de conveson X F de la éacton (2) t s o d n o 0 X dx t s est appelé temps de séjou pou un éacteu femé Blan massque pou un Réacteu ontnu a- Pou un Réacteu ontnu Pafatement gté 3

4 La concentaton est unfome dans tout le volume du éacteu et est égale à la concentaton de sote. On n'a donc que deux valeus de concentatons (ou de conveson) : celle d'entée et celle de sote. On fea un blan su un consttuant su tout le éacteu. Le blan content des temes d'entée et sote, mas pas d'accumulaton, ca on tavalle en égme pemanent. E + P = S + cc d. F e + ν = F + s F e + ν = F s + d d + d On suppose que le volume du éacteu est constant, 0 d On consdèe que le égme est statonnae 0 L équaton c-dessus du blan sea écte sous la fome : F e + ν = F s On peut éce le blan su en foncton des concentatons, ou en foncton de la conveson: F e + ν s = F s s est la valeu de la vtesse en sote de éacteu Q e e + ν s = Q s s avec : ν = -1 On suppose que le dédt Q est constant en entée et en sote Q e = Q s = Q Q o τ est appelé le temps de passage du éacteu. Il est défn pa : τ = /Q o τ 4

5 'est le temps ms pou tate un volume de éactfs égal au volume du éacteu. On défnt un aute temps ts, le temps de séjou moyen du flude. es deux temps (τ et t s ) sont égaux s le débt est unfome dans le éacteu. b- Pou un Réacteu Pston RP Ic, la concentaton est unfome su une secton de éacteu, mas vae axalement, ente l'entée et la sote. Dans cette tanche de fable épasseu, on peut suppose que les concentatons sont unfomes En généal, X est nulle en entée de éacteu. omme la concentaton vae tout le long du éacteu, nous écvons le blan su une tanche de éacteu. On s'ntéesse au égme pemanent. E + P = S F + ν d = F + df F et F +df sont les flux en entée et sote de tanche d Ecvons le blan su le éactf su la tanche d : F + ν d = F + df - d = df Sot : - d = d(q ) ou - d = -F 0 d X o Qd d o o 0 X dx L expesson de τ est comme pou un éacteu femé. 3. ssocaton de éacteus 3.1.Réacteus en sée : 5

6 Le débt dans les condtons de éféences, Q 0, est le même pou tous les éacteus. Le volume total tot est la somme des volumes des éacteus. Le temps de passage total est donc : Q tot 0 joute des éacteus en sée pemet d'augmente le temps de passage, donc la conveson. 3.2.Réacteus en paallèle : Q 0 Il a été démonté que, pou des éacteus de même type, le fonctonnement optmal est obtenu pou des temps de passage égaux dans les dfféentes banches. S les τ sont égaux, les convesons sont auss égales et égales à la conveson de sote (X = X). tot tot Q Q Qtot joute des éacteus en paallèle pemet d'augmente la capacté de poducton à X donnée. 6

7 Tavaux Dgés N 1 Execces1 La éacton + B P a leu en phase lqude. Elle est évesble et du second ode. Les concentatons de et de B sont égales et l on dése attende une conveson de 99 %. Une expéence de laboatoe monte que cette conveson est obtenue au bout de 10 mn dans un éacteu femé. Quel est le temps de passage nécessae en éacteu agté pou obten les mêmes pefomances avec les mêmes fludes? Même queston pou un éacteu pston Execce 2 Sot la éacton en phase lqude suvante : B Se déoulant dans un éacteu ouvet pafatement agté (STR) en égme pemanent de volume constant de 10 m 3. a. Ece le blan matèe de qu se décompose dans ce STR s la éacton est de peme ode. b. alcule le taux de conveson X pou un débt volumque constant Q de 0,3 l/s, et une constante de vtesse de 2, mn -1. c. alcule le taux pou les mêmes condtons s la tansfomaton se déoule mantenant Execce 3 dans un éacteu pston en égme pemanent. Une éacton homogène en phase gazeuse > B une vtesse d expesson = / 2 en mole / l. s et à 215. S le taux de conveson est de 80 %, calcule, apès avo donné l expesson des blans espectfs, le temps de séjou ou de passage pou les éacteus suvants : Réacteu femé Réacteu pafatement ouvet agté en égme pemanent Réacteu à écoulement pston en égme pemanent Opéants à une tempéatue de 215, une pesson de 5 atm et un volume constant Execce 4 Une éacton évesble de pemèe ode est éalsée dans un éacteu pafatement agté. La concentaton du substat ntodut dans le RP est de 0. L équaton du blan massque de la éacton est sous fome : d Q o k Ou Q c est le débt, k constante de la vtesse de la éacton,, concentaton du substat dans le éacteu à l nstant t, volume du éacteu, =/Q temps de passage. L équaton peut s éce sous la fome suvante : 7

8 d 1 t k a) s vaes comme = 10e 2t, détemne la concentaton du substat dans le éacteu au temps (t) Execce 5 Pou calcule le temps nécessae (temps de séjou) pou tansfome 100 moles de glucose en éthanol dans un fementeu, on peut suppose pou smplfe que le fementeu est un éacteu batch (éacteu femé) de volume constant égal à 0,01 m 3. ette hypothèse smplfcatce pemet d estme le temps t nécessae pou attende un taux de conveson fnal X f de 0,3. Selon cette hypothèse, le temps t ( temps de séjou) est donné pa : Ou t = N 0 X f dx 0. N 0 : est le nombe de mole de glucose au début de la fementaton, le volume du fementeu, X le taux de conveson, X f le taux fnal de conveson de la éacton et la vtesse de éacton de la fementaton. 1- Ece l équaton de blan de matèe du éactf (glucose) de concentaton ntale o qu se décompose selon la éacton; sans vaaton de volume dans le éacteu femé unfome. Retouve l expesson du temps de séjou t donnée c-dessus. 2a- alcule le temps t en mnute s la vtesse de éacton est du peme ode et est de la fome: = k 0 (1-X) Ou ; k est la constante de éacton et 0 la concentaton ntale. On donne : k = 1 h -1, 0 = 10 4 mole/m 3 2b- alcule le temps t en mnute s la éacton est de type enzymatque et est de la fome avec = 0 (1-X) k K 1 2 On donne : k = 1h -1, 0 = 10 4 mole/m 3, et K 2 = 10-5 m 3 /mole 8

9 Execce 6 onsdéant la éacton suvante : B + 2 ette éacton se déoule dans un éacteu femé de 100 ltes à la tempéatue de 90. Les mesues suvantes sont pses au cous du temps : temps (s) oncentaton mole/m 3 5 3,7 2,9 2,4 2,00 1,8 1,6 1,4 1,3 1,2 1,1 Détemne l ode ans que la constante de vtesse de la éacton S le taux de conveson de la éacton est de 80%, calcule le temps de séjou t S du éactf. Execce 7 Une poducton d une matèe P est envsagée selon le schéma éactonnel suvant : P La éacton de constante cnétque k est du peme ode pa appot à obét à l'expesson suvante : k = exp ( / T) h -1 avec T en kelvn. On dspose d'un éacteu d'un volume de 3 m 3. 1/ Justfe que k s'expme en unté de temps -1. 2/ La poducton est d'abod étudée dans un éacteu femé. En une jounée on envsage 4 cycles de fabcaton de 6 heues compenant chacun 1 heue pou les opéatons de chagement, vdange et nettoyage La concentaton ntale 0 dans le éacteu est de 2 mol.l -1. La tempéatue chose est de 60 a/ alcule le taux de conveson de à la fn d'un cycle. b/ En dédue le nombe de moles de P podutes à la fn d'une jounée. 3/ On décde d'étude la poducton avec le même éacteu de 3 m 3 fonctonnant en contnu. La concentaton de l'almentaton E est de 2 mol.l -1. Le débt d'almentaton Q est de 1 m 3.h -1. a/ pat de l'éctue du blan du éacteu contnu, calcule le taux de conveson de à la sote du éacteu X S. b/ En dédue la poducton jounalèe en P. Poblème Un pocédé de fabcaton est en généal conçu autou d'une ou pluseus éactons chmques. La connassance de base, themodynamque et cnétque, de ces éactons est cetes essentelle, mas c'est le géne de la éacton chmque qu va pemette de concevo les éacteus ndustels, de calcule leus dmensons et d'optmse leus condtons de fonctonnement. e poblème abode cetans aspects du géne de la éacton chmque dans un contexte elatvement smple : on se popose de découv le pncpe de fonctonnement de tos types de éacteus, leu mode de calcul, ans que leus ctèes de chox. On consdéea dans tout ce poblème que le mleu éactf est lqude, de volume constant, et compote en généal n composés, supposés consttue ente eux une soluton déale. e mleu est le sège de m éactons chmques epéées pa l'ndce k ( 1 k m). La k ème éacton 9

10 n coespond au blan :, k 0. Les coeffcents stoechométques, k sont algébques : 1 leu sgne obét à la conventon usuelle su les poduts et éactfs d'une tansfomaton chmque. La vtesse spécfque d'une éacton chmque k, notée k, est expmée en quantté de matèe pa unté de temps et de volume. I- On consdèe tout d'abod un "éacteu élémentae", c'est-à-de une encente de volume constant, utlsée pou éalse une ou pluseus éactons chmques dans des condtons désées. l'nstant t, on suppose que ce éacteu content n (t) moles de chaque consttuant ( = 1,..n) dont les concentatons espectves (t) sont supposées unfomes dans tout le volume. e éacteu est almenté pa un débt molae F E (t) en chaque consttuant ; pa alleus chaque consttuant est souté avec un débt molae F S (t). On suppose également que ce éacteu fonctonne dans des condtons sothemes. 1- Monte que la vaaton au cous du temps de la concentaton molae de chaque consttuant dans le éacteu peut s'éce sous la fome : m d 1, k k FE FS 2- On envsage tout d'abod le cas patcule : F E = 0 et F S = 0 pou tout et à tout nstant. Le système physcochmque étudé est l ouvet ou femé? Est-l solé? es quel type d'état asymptotque tend-l losque t? 3- On se place mantenant dans le cas généal où les débts molaes F E et F S ne sont pas tous nuls. Dans le cas où les débts molaes F E et F S sont constants dans le temps, le système tend asymptotquement ves un état statonnae. Défn ce teme avec pécson. II- Les éacteus dts déaux consttuent des modèles de éféence pou la descpton des éacteus éels. Dans ce poblème, on dstnguea les tos gandes classes suvantes : - le éacteu femé pafatement agté RFP - le éacteu contnu pafatement agté RP - le éacteu tubulae ou éacteu pston RP On désgnea pa le volume total de chacun des éacteus. Dans le cas du éacteu femé pafatement agté (RFP), F E = 0 = F S {1,, n} Le mélange éactonnel est ntodut dans le éacteu à l'nstant t = 0 et souté à l'nstant t f. Tout au long de l'opéaton, les concentatons espectves (t) évoluent de la valeu ntale 0 à f la valeu fnale. Les éacteus ouvets (RP) et (RP) sont tavesés pa un écoulement de débt volumque total Q supposé unfome et constant. On note le appot /Q et on le nomme temps de séjou. On suppose que la composton de l'almentaton E de ces éacteus est mantenue constante (les concentatons E des composés dans l'almentaton sont constantes) et qu'ls fonctonnent dans des condtons statonnaes (les concentatons ntenes et les concentatons de soutage S des composés espectvement dans le éacteu et dans le soutage sont constantes). Dans le cas des éacteus pafatement agtés (RFP et RP), le mleu est supposé avo une composton unfome en tout pont et dentque à celle du flux sotant du éacteu dans le cas du RP.. k1 10

11 Dans le cas du éacteu pston RP, au contae, les espèces chmques se déplacent tout au long du éacteu en se tansfomant pogessvement. Dans cette pate, on examne le cas patcule où une seule éacton (m = 1), de vtesse spécfque 1, peut se podue dans le mleu. 4- Pou le éacteu de type RFP, établ la elaton : t f = f d 0 1,1 valable pou tout S E 5- Pou le éacteu de type RP, établ la elaton : valable pou tout., Le éacteu pston RP est consdéé comme une sute de "éacteus élémentaes" dsposés en sée et de volume d. Justfe la elaton dfféentelle valable en tout pont à l'état statonnae : d, 1 1 d (1) avec d = d Q Remaque : on peut auss consdée comme le temps ms pa un élément de flude ente l'entée E du éacteu et la poston consdéée. Intége ensute la elaton dfféentelle (1) su l'ensemble du éacteu pston pou touve = S d E,1 1 III- On se popose de compae les pefomances des tos types de éacteus pésentés dans la pate c-dessus su le cas pécs d'une éacton. 7- Sot un éacteu de 100 ltes de type RP. e éacteu est le sège d'une seule éacton : 1 2, d'ode 0 pa appot à 2 et d'ode nconnu pa appot à 1. La concentaton de 1 dans l'almentaton est (2) E = 0,1 mol.l -1. On donne c-apès les ésultats d'une étude expémentale elatve à ce éacteu dans laquelle on a détemné la concentaton soutage pou dfféentes valeus du débt volumque total Q. Flux (en L.mn -1 ) 10 1/ /8,1 30 1/5,6 50 1/3, /2,4 S 1 E 1 0S en 1 dans le Donne l'expesson de la lo de vtesse dans l hypothèse d un ode égal à 1. alcule les valeus de la constante de vtesse k1 pou les cnq valeus de Q epotées dans le tableau. onclue. Donne la valeu numéque moyenne de cette constante de vtesse en pécsant l unté. 11

12 8- Sachant que l'on veut tate un débt de 50 L mn -1 du mélange éactonnel pécédent (concentaton ntale en 1 : 0,1 mol.l -1 ), détemne quel taux de tansfomaton de 1 en 2 pemettent d'attende : a- un RP de 100 L ; b- deux RP de 50 L chacun dsposés en sée. 9- vec un éacteu pston de 100 L, toujous pou un débt de 50 L mn 1, le taux de tansfomaton obtenu est de 95%. En epenant l expesson du temps de séjou, etouve cette valeu. ommente. On penda e -2,8 = 0,06 12

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