Dimension finie. 1. Famille libre Combinaison linéaire (rappel) 1.2. Définition

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1 Dimesio fiie Vidéo partie. Famille libre Vidéo partie 2. Famille géératrice Vidéo partie 3. Base Vidéo partie 4. Dimesio d'u espace vectoriel Vidéo partie 5. Dimesio des sous-espaces vectoriels Fiche d'exercices Espaces vectoriels de dimesio fiie Les espaces vectoriels qui sot egedrés par u ombre fii de vecteurs sot appelés espaces vectoriels de dimesio fiie. Pour ces espaces, ous allos voir commet calculer ue base, c est-à-dire ue famille miimale de vecteurs qui egedret tout l espace. Le ombre de vecteurs das ue base s appelle la dimesio et ous verros commet calculer la dimesio des espaces et des sous-espaces.. Famille libre.. Combiaiso liéaire (rappel) Soit E u -espace vectoriel. Défiitio. Soiet v, v 2,..., v p, p vecteurs d u espace vectoriel E. Tout vecteur de la forme u = λ v + λ 2 v λ p v p (où λ, λ 2,..., λ p sot des élémets de ) est appelé combiaiso liéaire des vecteurs v, v 2,..., v p. Les scalaires λ, λ 2,..., λ p sot appelés coefficiets de la combiaiso liéaire..2. Défiitio Défiitio 2. Ue famille {v, v 2,..., v p } de E est ue famille libre ou liéairemet idépedate si toute combiaiso liéaire ulle est telle que tous ses coefficiets sot uls, c est-à-dire λ v + λ 2 v λ p v p = λ =, λ 2 =,... λ p =. Das le cas cotraire, c est-à-dire s il existe ue combiaiso liéaire ulle à coefficiets o tous uls, o dit que la famille est liée ou liéairemet dépedate. Ue telle combiaiso liéaire s appelle alors ue relatio de dépedace liéaire etre les v j.

2 DIMENSION FINIE. FAMILLE LIBRE 2.3. Premiers exemples Pour des vecteurs de, décider si ue famille {v,..., v p } est libre ou liée reviet à résoudre u système liéaire. Exemple. Das le -espace vectoriel 3, cosidéros la famille 4 2 2, 5,. 3 6 O souhaite détermier si elle est libre ou liée. O cherche des scalaires (λ, λ 2, λ 3 ) tels que λ + λ 2 + λ 3 = ce qui équivaut au système : λ + 4λ 2 + 2λ 3 = 2λ + 5λ 2 + λ 3 = 3λ + 6λ 2 = O calcule (voir u peu plus bas) que ce système est équivalet à : λ 2λ 3 = λ 2 + λ 3 = Ce système a ue ifiité de solutios et e preat par exemple λ 3 = o obtiet λ = 2 et λ 2 =, ce qui fait que =. 3 6 La famille 4 2 2, 5, 3 6 est doc ue famille liée. Voici les calculs de la réductio de Gauss sur la matrice associée au système : Exemple Soiet v =, v 2 =, v 3 =. Est-ce que la famille {v, v 2, v 3 } est libre ou liée? Résolvos le système liéaire correspodat à l équatio λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = : λ + 2λ 2 + 2λ 3 = λ λ 2 + λ 3 = λ + λ 3 = O résout ce système et o trouve comme seule solutio λ =, λ 2 =, λ 3 =. La famille {v, v 2, v 3 } est doc ue famille libre. Exemple 3. Soiet v = 2 3, v 2 = et v 3 = 5 8. Alors {v, v 2, v 3 } forme ue famille liée, car 3v + v 2 v 3 =..4. Autres exemples Exemple 4. Les polyômes P (X ) = X, P 2 (X ) = 5 + 3X 2X 2 et P 3 (X ) = + 3X X 2 formet ue famille liée das l espace vectoriel [X ], car 3P (X ) P 2 (X ) + 2P 3 (X ) =.

3 DIMENSION FINIE. FAMILLE LIBRE 3 Exemple 5. Das le -espace vectoriel (, ) des foctios de das, o cosidère la famille {cos, si}. Motros que c est ue famille libre. Supposos que l o ait λ cos +µ si =. Cela équivaut à x λ cos(x) + µ si(x) =. E particulier, pour x =, cette égalité doe λ =. Et pour x = π 2, elle doe µ =. Doc la famille {cos, si} est libre. E revache la famille {cos 2, si 2, } est liée car o a la relatio de dépedace liéaire cos 2 + si 2 =. Les coefficiets de dépedace liéaire sot λ =, λ 2 =, λ 3 =..5. Famille liée Soit E u -espace vectoriel. Si v, la famille à u seul vecteur {v} est libre (et liée si v = ). Cosidéros le cas particulier d ue famille de deux vecteurs. Propositio. La famille {v, v 2 } est liée si et seulemet si v est u multiple de v 2 ou v 2 est u multiple de v. Ce qui se reformule aisi par cotrapositio : «La famille {v, v 2 } est libre si et seulemet si v est pas u multiple de v 2 et v 2 est pas u multiple de v.» Démostratio. Supposos la famille {v, v 2 } liée, alors il existe λ, λ 2 o tous les deux uls tels que λ v + λ 2 v 2 =. Si c est λ qui est pas ul, o peut diviser par λ, ce qui doe v = λ 2 λ v 2 et v est u multiple de v 2. Si c est λ 2 qui est pas ul, alors de même v 2 est u multiple de v. Réciproquemet, si v est u multiple de v 2, alors il existe u scalaire µ tel que v = µv 2, soit v + ( µ)v 2 =, ce qui est ue relatio de dépedace liéaire etre v et v 2 puisque : la famille {v, v 2 } est alors liée. Même coclusio si c est v 2 qui est u multiple de v. Gééralisos tout de suite cette propositio à ue famille d u ombre quelcoque de vecteurs. Théorème. Soit E u -espace vectoriel. Ue famille = {v, v 2,..., v p } de p 2 vecteurs de E est ue famille liée si et seulemet si au mois u des vecteurs de est combiaiso liéaire des autres vecteurs de. Démostratio. C est essetiellemet la même démostratio que ci-dessus. Supposos d abord liée. Il existe doc ue relatio de dépedace liéaire λ v + λ 2 v λ p v p =, avec λ k pour au mois u idice k. Passos tous les autres termes à droite du sige égal. Il viet λ k v k = λ v λ 2 v 2 λ p v p, où v k e figure pas au secod membre. Comme λ k, o peut diviser cette égalité par λ k et l o obtiet v k = λ λ k v λ 2 λ k v 2 λ p λ k v p, c est-à-dire que v k est combiaiso liéaire des autres vecteurs de, ce qui peut ecore s écrire v k Vect \{v k } (avec la otatio esembliste A \ B pour l esemble des élémets de A qui appartieet pas à B). Réciproquemet, supposos que pour u certai k, o ait v k Vect \ {v k }. Ceci sigifie que l o peut écrire v k = µ v + µ 2 v µ p v p, où v k e figure pas au secod membre. Passat v k au secod membre, il viet = µ v + µ 2 v 2 + v k + + µ p v p, ce qui est ue relatio de dépedace liéaire pour (puisque ) et aisi la famille est liée.

4 DIMENSION FINIE. FAMILLE LIBRE 4.6. Iterprétatio géométrique de la dépedace liéaire Das 2 ou 3, deux vecteurs sot liéairemet dépedats si et seulemet s ils sot coliéaires. Ils sot doc sur ue même droite vectorielle. Das 3, trois vecteurs sot liéairemet dépedats si et seulemet s ils sot coplaaires. Ils sot doc das u même pla vectoriel. v 2 v e 3 v 2 v 3 e 2 v e Propositio 2. Soit = {v, v 2,..., v p } ue famille de vecteurs de. Si cotiet plus de élémets (c est-à-dire p > ), alors est ue famille liée. Démostratio. Supposos que v v 2 v =.. v 2 v 22 v 2 =..... v p = v p v 2p.. L équatio doe alors le système suivat v v 2 x v + x 2 v x p v p = v x + v 2 x v p x p = v 2 x + v 22 x v 2p x p =. v x + v 2 x v p x p = C est u système homogèe de équatios à p icoues. Lorsque p >, ce système a des solutios o triviales (voir le chapitre «Systèmes liéaires», derier théorème) ce qui motre que la famille est ue famille liée. v p Mii-exercices.. Pour quelles valeurs de t, t, t 2 t est ue famille libre de 2? Même questio avec la famille t t2 t de 3. t 2 2. Motrer que toute famille coteat ue famille liée est liée. 3. Motrer que toute famille iclue das ue famille libre est libre. 4. Motrer que si f : E F est ue applicatio liéaire et que {v,..., v p } est ue famille liée de E, alors {f (v ),..., f (v p )} est ue famille liée de F. 5. Motrer que si f : E F est ue applicatio liéaire ijective et que {v,..., v p } est ue famille libre de E, alors {f (v ),..., f (v p )} est ue famille libre de F.

5 DIMENSION FINIE 2. FAMILLE GÉNÉRATRICE 5 2. Famille géératrice Soit E u espace vectoriel sur u corps. 2.. Défiitio Défiitio 3. Soiet v,..., v p des vecteurs de E. La famille {v,..., v p } est ue famille géératrice de l espace vectoriel E si tout vecteur de E est ue combiaiso liéaire des vecteurs v,..., v p. Ce qui peut s écrire aussi : v E λ,..., λ p v = λ v + + λ p v p O dit aussi que la famille {v,..., v p } egedre l espace vectoriel E. Cette otio est bie sûr liée à la otio de sous-espace vectoriel egedré : les vecteurs {v,..., v p } formet ue famille géératrice de E si et seulemet si E = Vect(v,..., v p ) Exemples Exemple 6. Cosidéros par exemple les vecteurs v =, v 2 = et v 3 = xy car tout vecteur v = de 3 peut s écrire z xy = x + y + z Les coefficiets sot ici λ = x, λ 2 = y, λ 3 = z. z de E = 3. La famille {v, v 2, v 3 } est géératrice Exemple 7. 2 Soiet maiteat les vecteurs v =, v 2 = de E = 3. Les vecteurs {v, v 2 } e formet pas ue famille 3 géératrice de 3. Par exemple, le vecteur v = est pas das Vect(v, v 2 ). E effet, si c était le cas, alors il existerait 23 λ, λ 2 tels que v = λ v + λ 2 v 2. Ce qui s écrirait aussi = λ + λ 2, d où le système liéaire : λ + λ 2 = λ + 2λ 2 = λ + 3λ 2 = Ce système a pas de solutio. (La première et la derière lige impliquet λ =, λ 2 =, ce qui est icompatible avec la deuxième.) Exemple 8. Soit E = 2. Soiet v = et v2 =. La famille {v, v 2 } est géératrice de 2 car tout vecteur de 2 se décompose comme xy = x + y. Soiet maiteat v = 2 et v 2 =. Alors {v, v 2 } est aussi ue famille géératrice. E effet, soit v = x y u élémet quelcoque de 2. Motrer que v est combiaiso liéaire de v et v 2 reviet à démotrer l existece de deux réels λ et µ tels que v = λv + µv 2. Il s agit doc d étudier l existece de solutios au système : 2λ + µ = x λ + µ = y Il a pour solutio λ = x y et µ = x + 2y, et ceci, quels que soiet les réels x et y. Ceci prouve qu il peut exister plusieurs familles fiies différetes, o icluses les ues das les autres, egedrat le même espace vectoriel. Exemple 9. Soit [X ] l espace vectoriel des polyômes de degré. Alors les polyômes {, X,..., X } formet ue famille géératrice. Par cotre, l espace vectoriel [X ] de tous les polyômes e possède pas de famille fiie géératrice..

6 DIMENSION FINIE 3. BASE Lies etre familles géératrices La propositio suivate est souvet utile : Propositio 3. Soit = v, v 2,..., v p ue famille géératrice de E. Alors = v, v 2,..., v q est aussi ue famille géératrice de E si et seulemet si tout vecteur de est ue combiaiso liéaire de vecteurs de. Démostratio. C est ue coséquece immédiate de la défiitio de Vect et de Vect. Nous chercheros bietôt à avoir u ombre miimal de géérateurs. Voici ue propositio sur la réductio d ue famille géératrice. Propositio 4. Si la famille de vecteurs {v,..., v p } egedre E et si l u des vecteurs, par exemple v p, est combiaiso liéaire des autres, alors la famille {v,..., v p } \ {v p } = {v,..., v p } est ecore ue famille géératrice de E. Démostratio. E effet, comme les vecteurs v,..., v p egedret E, alors pour tout élémet v de E, il existe des scalaires λ,..., λ p tels que v = λ v + + λ p v p. Or l hypothèse v p est combiaiso liéaire des vecteurs v,..., v p se traduit par l existece de scalaires α,..., α p tels que Alors, le vecteur v s écrit : Doc v p = α v + + α p v p. v = λ v + + λ p v p + λ p α v + + α p v p. v = λ + λ p α v + + λ p + λ p α p vp, ce qui prouve que v est combiaiso liéaire des vecteurs v,..., v p. Ceci achève la démostratio. Il est clair que si l o remplace v p par importe lequel des vecteurs v i, la démostratio est la même. Mii-exercices.. À quelle coditio sur t, la famille t, ( t t ) t 2 t t est ue famille géératrice de 2? t 2. Même questio avec la famille t 2 de 3. t t 2 3. Motrer qu ue famille de vecteurs coteat ue famille géératrice est ecore ue famille géératrice de E. 4. Motrer que si f : E F est ue applicatio liéaire surjective et que {v,..., v p } est ue famille géératrice de E, alors f (v ),..., f (v p ) est ue famille géératrice de F. 3. Base La otio de base gééralise la otio de repère. Das 2, u repère est doé par u couple de vecteurs o coliéaires. Das 3, u repère est doé par u triplet de vecteurs o coplaaires. Das u repère, u vecteur se décompose suivat les vecteurs d ue base. Il e sera de même pour ue base d u espace vectoriel.

7 DIMENSION FINIE 3. BASE 7 v = λ v + λ 2 v 2 λ 2 v 2 v 2 λ v v 3.. Défiitio Défiitio 4 (Base d u espace vectoriel). Soit E u -espace vectoriel. Ue famille = (v, v 2,..., v ) de vecteurs de E est ue base de E si est ue famille libre et géératrice. Théorème 2. Soit = (v, v 2,..., v ) ue base de l espace vectoriel E. Tout vecteur v E s exprime de faço uique comme combiaiso liéaire d élémets de. Autremet dit, il existe des scalaires λ,..., λ uiques tels que : Remarque. v = λ v + λ 2 v λ v.. (λ,..., λ ) s appellet les coordoées du vecteur v das la base. 2. Il faut observer que pour ue base = (v, v 2,..., v ) o itroduit u ordre sur les vecteurs. Bie sûr, si o permutait les vecteurs o obtiedrait toujours ue base, mais il faudrait aussi permuter les coordoées. 3. Notez que l applicatio φ : E (λ, λ 2,..., λ ) λ v + λ 2 v λ v est u isomorphisme de l espace vectoriel vers l espace vectoriel E. Preuve du théorème 2. Par défiitio, est ue famille géératrice de E, doc pour tout v E il existe λ,..., λ tels que v = λ v + λ 2 v λ v. Cela prouve la partie existece. Il reste à motrer l uicité des λ, λ 2,..., λ. Soiet µ, µ 2,..., µ d autres scalaires tels que v = µ v + µ 2 v µ v. Alors, par différece o a : (λ µ )v + (λ 2 µ 2 )v (λ µ )v =. Comme = {v,..., v } est ue famille libre, ceci implique λ µ =, λ 2 µ 2 =,..., λ µ = et doc λ = µ, λ 2 = µ 2,..., λ = µ Exemples Exemple.. Soiet les vecteurs e = et e2 =. Alors (e, e 2 ) est ue base de 2, appelée base caoique de Soiet les vecteurs v = 3 et v2 = 2. Alors (v, v 2 ) formet aussi ue base de 2.

8 DIMENSION FINIE 3. BASE 8 ye 2 v = λ v + λ 2 v 2 e 3 λ 2 v 2 v 2 λ v e 2 e 2 v e 3. De même das 3, si e =, e 2 =, e 3 =, alors (e, e 2, e 3 ) formet la base caoique de 3. Exemple Soiet v =, v 2 = et v 3 =. Motros que la famille = (v 4, v 2, v 3 ) est ue base de 3. Das les deux premiers poits, ous rameos le problème à l étude d u système liéaire.. Motros d abord que est ue famille géératrice de 3 a. Soit v = a 2 u vecteur quelcoque de 3. O a 3 cherche λ, λ 2, λ 3 tels que a a 2 a 3 xe v = λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3. Ceci se reformule comme suit : 2 3 λ + 2λ 2 + 3λ 3 = λ 2 + λ λ 3 3 =. 4 Ceci coduit au système suivat : λ + 2λ 2 + 3λ 3 = a 2λ + 9λ 2 + 3λ 3 = a 2 λ + 4λ 3 = a 3. Il ous restera à motrer que ce système a ue solutio λ, λ 2, λ 3. e 2λ + 9λ 2 + 3λ 3 λ + 4λ 3 2. Pour motrer que est ue famille libre, il faut motrer que l uique solutio de est Ceci équivaut à motrer que le système a ue uique solutio λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = λ = λ 2 = λ 3 =. λ + 2λ 2 + 3λ 3 = 2λ + 9λ 2 + 3λ 3 = λ + 4λ 3 = λ = λ 2 = λ 3 =. 3. Nous pouvos maiteat répodre à la questio sas explicitemet résoudre les systèmes. Remarquos que les deux systèmes ot la même matrice de coefficiets. O peut doc motrer simultaémet que est ue famille géératrice et ue famille libre de 3 e motrat que la matrice des coefficiets est iversible. E effet, si la matrice des coefficiets est iversible, alors (S) admet ue solutio (λ, λ 2, λ 3 ) quel que soit (a, a 2, a 3 ) et d autre part (S ) admet la seule solutio (,, ). Cette matrice est 2 3 A = Pour motrer qu elle est iversible, o peut calculer so iverse ou seulemet so détermiat qui vaut det A = (le détermiat état o ul la matrice est iversible). Coclusio : est ue famille libre et géératrice ; c est ue base de 3. (S) (S )

9 DIMENSION FINIE 3. BASE 9 Exemple 2. Les vecteurs de : e =. e 2 =.... e =. formet ue base de, appelée la base caoique de. Remarque. L exemple se gééralise de la faço suivate. Pour motrer que vecteurs de formet ue base de, il suffit de motrer la chose suivate : la matrice A costituée des composates de ces vecteurs (chaque vecteur format ue coloe de A) est iversible. Applicatio : motrer que les vecteurs 2 3 v =... v 2 = v =... 2 formet aussi ue base de. Voici quelques autres exemples : Exemple 3.. La base caoique de [X ] est = (, X, X 2,..., X ). Attetio, il y a + vecteurs! 2. Voici ue autre base de [X ] : (, + X, + X + X 2,..., + X + X X ). 3. L espace vectoriel M 2 () des matrices 2 2 admet ue base formée des vecteurs : M = M 2 = M 3 = M 4 =. a b E effet, importe quelle matrice M = de M c d 2 () se décompose de maière uique e M = am + bm 2 + cm 3 + dm C est u bo exercice de prouver que les quatre matrices suivates formet aussi ue base de M 2 () : 3 M = M 2 = M 3 = M 4 = Existece d ue base Voyos maiteat u théorème d existece d ue base fiie. Das la suite, les espaces vectoriels sot supposés o réduits à {}. Théorème 3 (Théorème d existece d ue base). Tout espace vectoriel admettat ue famille fiie géératrice admet ue base Théorème de la base icomplète Ue versio importate et plus géérale de ce qui précède est le théorème suivat : Théorème 4 (Théorème de la base icomplète). Soit E u -espace vectoriel admettat ue famille géératrice fiie.. Toute famille libre peut être complétée e ue base. C est-à-dire qu il existe ue famille telle que soit ue famille libre et géératrice de E. 2. De toute famille géératrice o peut extraire ue base de E. C est-à-dire qu il existe ue famille telle que soit ue famille libre et géératrice de E.

10 DIMENSION FINIE 3. BASE 3.5. Preuves Les deux théorèmes précédets sot la coséquece d u résultat ecore plus gééral : Théorème 5. Soit ue famille géératrice fiie de E et ue famille libre de E. Alors il existe ue famille de telle que soit ue base de E. Le théorème 4 de la base icomplète se déduit du théorème 5 aisi :. O sait qu il existe ue famille géératrice de E : otos-la. O applique le théorème 5 avec ce et ce. 2. O applique le théorème 5 avec = et la famille de l éocé. E particulier, le théorème 3 d existece d ue base se démotre comme le poit (2) ci-dessus avec = et ue famille géératrice de E Preuves (suite) Nous avos : Théorème 5 = Théorème 4 = Théorème 3. Il ous reste doc à prouver le théorème 5. La démostratio que ous e doos est u algorithme. Démostratio. Étape. Si est ue famille géératrice de E, o pose = et c est fii puisque est ue famille géératrice et libre, doc ue base. Sio o passe à l étape suivate. Étape. Comme est pas ue famille géératrice, alors il existe au mois u élémet g de qui est pas combiaiso liéaire des élémets de. (E effet, par l absurde, si tous les élémets de sot das Vect, alors serait aussi ue famille géératrice.) O pose = {g }. Alors la famille vérifie les propriétés suivates : (i) E : la famille est strictemet plus grade que. (ii) est ue famille libre. (E effet, si était pas ue famille libre, alors ue combiaiso liéaire ulle impliquerait que g Vect.) O recommece le même raisoemet à partir de : si est ue famille géératrice de E, alors o pose = {g } et o s arrête. Sio o passe à l étape suivate. Étape 2. Il existe au mois u élémet g 2 de qui est pas combiaiso liéaire des élémets de. Alors la famille 2 = {g 2 } = {g, g 2 } est strictemet plus grade que et est ecore ue famille libre. Si 2 est ue famille géératrice, o pose = {g, g 2 } et c est fii. Sio o passe à l étape d après.... L algorithme cosiste doc à costruire ue suite, strictemet croissate pour l iclusio, de familles libres, où, si k egedre pas E, alors k est costruite partir de k e lui ajoutat u vecteur g k de, de sorte que k = k {g k } reste ue famille libre. L algorithme se termie. Comme la famille est fiie, le processus s arrête e mois d étapes qu il y a d élémets das. Notez que, comme est ue famille géératrice, das le pire des cas o peut être ameé à predre =. L algorithme est correct. Lorsque l algorithme s arrête, disos à l étape s : o a s = où = {g,..., g s }. Par costructio, s est ue famille fiie, libre et aussi géératrice (car c est la coditio d arrêt). Doc est ue base de E. Exemple 4. Soit [X ] le -espace vectoriel des polyômes réels et E le sous-espace de [X ] egedré par la famille = {P, P 2, P 3, P 4, P 5 } défiie par : P (X ) = P 2 (X ) = X P 3 (X ) = X + P 4 (X ) = + X 3 P 5 (X ) = X X 3 Partos de = et cherchos telle que soit ue base de E. Étape. Comme est pas géératrice (vu que = ), o passe à l étape suivate. Étape. O pose = {P } = {P }. Comme P est o ul, est ue famille libre. Étape 2. Cosidéros P 2. Comme les élémets P et P 2 sot liéairemet idépedats, 2 = {P, P 2 } est ue famille libre.

11 DIMENSION FINIE 4. DIMENSION D UN ESPACE VECTORIEL Étape 3. Cosidéros P 3 : ce vecteur est combiaiso liéaire des vecteurs P et P 2 car P 3 (X ) = X + = P (X )+P 2 (X ) doc {P, P 2, P 3 } est ue famille liée. Cosidéros alors P 4. U calcul rapide prouve que les vecteurs P, P 2 et P 4 sot liéairemet idépedats. Alors 3 = {P, P 2, P 4 } est ue famille libre. Il e reste que le vecteur P 5 à cosidérer. Il s agit, pour pouvoir coclure, d étudier l idépedace liéaire des vecteurs P, P 2, P 4, P 5. Or u calcul rapide motre l égalité P + P 2 P 4 P 5 =, ce qui prouve que la famille {P, P 2, P 4, P 5 } est liée. Doc avec les otatios de l algorithme, s = 3 et 3 = {P, P 2, P 4 } est ue base de E. Mii-exercices.. Trouver toutes les faços d obteir ue base de 2 avec les vecteurs suivats : v = 3, v2 = 3 3, v3 =, v 4 = 2, v5 = Motrer que la famille {v, v 2, v 3, v 4 } des vecteurs v = 2 3, v 2 = 23, v 3 = géératrice du sous-espace vectoriel d équatio 2x y + z = de 3. E extraire ue base. 2, v 4 4 = est ue famille 3. Détermier ue base du sous-espace vectoriel E de 3 d équatio x + 3y 2z =. Compléter cette base e ue base de 3. Idem avec E 2 vérifiat les deux équatios x + 3y 2z = et y = z. 4. Doer ue base de l espace vectoriel des matrices 3 3 ayat ue diagoale ulle. Idem avec l espace vectoriel des polyômes P [X ] vérifiat P() =, P () =. 4. Dimesio d u espace vectoriel 4.. Défiitio Défiitio 5. U -espace vectoriel E admettat ue base ayat u ombre fii d élémets est dit de dimesio fiie. Par le théorème 3 d existece d ue base, c est équivalet à l existece d ue famille fiie géératrice. O va pouvoir parler de la dimesio d u espace vectoriel grâce au théorème suivat : Théorème 6 (Théorème de la dimesio). Toutes les bases d u espace vectoriel E de dimesio fiie ot le même ombre d élémets. Nous détailleros la preuve u peu plus loi. Défiitio 6. La dimesio d u espace vectoriel de dimesio fiie E, otée dim E, est par défiitio le ombre d élémets d ue base de E. Méthodologie. Pour détermier la dimesio d u espace vectoriel, il suffit de trouver ue base de E (ue famille à la fois libre et géératrice) : le cardial (ombre d élémets) de cette famille doe la dimesio de E. Le théorème 6 de la dimesio prouve que même si o choisissait ue base différete alors ces deux bases auraiet le même ombre d élémets. Covetio. O coviet d attribuer à l espace vectoriel {} la dimesio Exemples Exemple 5.. La base caoique de 2 est,. La dimesio de 2 est doc Les vecteurs 2, formet aussi ue base de 2, et illustret qu ue autre base cotiet le même ombre d élémets. 3. Plus gééralemet, est de dimesio, car par exemple sa base caoique (e, e 2,..., e ) cotiet élémets. 4. dim [X ] = + car ue base de [X ] est (, X, X 2,..., X ), qui cotiet + élémets.

12 DIMENSION FINIE 4. DIMENSION D UN ESPACE VECTORIEL 2 Exemple 6. Les espaces vectoriels suivats e sot pas de dimesio fiie : [X ] : l espace vectoriel de tous les polyômes, (, ) : l espace vectoriel des foctios de das, = (, ) : l espace vectoriel des suites réelles. Exemple 7. Nous avos vu que l esemble des solutios d u système d équatios liéaires homogèe est u espace vectoriel. O cosidère par exemple le système O vérifie que la solutio géérale de ce système est Doc les vecteurs solutios s écrivet sous la forme x Ceci motre que les vecteurs 2x + 2x 2 x 3 + x 5 = x x 2 + 2x 3 3x 4 + x 5 = x + x 2 2x 3 x 5 = x 3 + x 4 + x 5 =. x = s t x 2 = s x 3 = t x 4 = x 5 = t. x 2 x 3 x 4 x 5 = s t s t t v = = s s + t t = s t et v 2 = + t. egedret l espace des solutios du système. D autre part, o vérifie que v et v 2 sot liéairemet idépedats. Doc (v, v 2 ) est ue base de l espace des solutios du système. Ceci motre que cet espace vectoriel est de dimesio Complémets Lorsqu u espace vectoriel est de dimesio fiie, le fait de coaître sa dimesio est ue iformatio très riche ; les propriétés suivates motret commet exploiter cette iformatio. Le schéma de preuve sera : Lemme = Propositio 5 = Théorème 6. Lemme. Soit E u espace vectoriel. Soit ue famille libre et soit ue famille géératrice fiie de E. Alors Card Card. Ce lemme implique le résultat importat : Propositio 5. Soit E u -espace vectoriel admettat ue base ayat élémets. Alors :. Toute famille libre de E a au plus élémets. 2. Toute famille géératrice de E a au mois élémets. E effet, soit ue base de E telle que Card =.. O applique le lemme à la famille cosidérée géératrice ; alors ue famille libre vérifie Card Card =. 2. O applique le lemme à la famille cosidérée maiteat comme ue famille libre, alors ue famille géératrice vérifie = Card Card. Cette propositio impliquera bie le théorème 6 de la dimesio : Corollaire. Si E est u espace vectoriel admettat ue base ayat élémets, alors toute base de E possède élémets. La preuve du corollaire (et doc du théorème 6 de la dimesio) est la suivate : par la propositio 5, si est ue base quelcoque de E, alors est à la fois ue famille libre et géératrice, doc possède à la fois au plus élémets et au mois élémets, doc exactemet élémets.

13 DIMENSION FINIE 4. DIMENSION D UN ESPACE VECTORIEL 3 Il reste à éocer u résultat importat et très utile : Théorème 7. Soiet E u -espace vectoriel de dimesio, et = (v,..., v ) ue famille de vecteurs de E. Il y a équivalece etre : (i) est ue base de E, (ii) est ue famille libre de E, (iii) est ue famille géératrice de E. La preuve sera ue coséquece du théorème 6 de la dimesio et du théorème 4 de la base icomplète. Autremet dit, lorsque le ombre de vecteurs cosidéré est exactemet égal à la dimesio de l espace vectoriel, l ue des deux coditios être libre ou bie géératrice suffit pour que ces vecteurs détermiet ue base de E. Démostratio. Les implicatios (i) = (ii) et (i) = (iii) découlet de la défiitio d ue base. Voici la preuve de (ii) = (i). Si est ue famille libre ayat élémets, alors par le théorème de la base icomplète (théorème 4) il existe ue famille telle que soit ue base de E. D ue part est ue base de E qui est de dimesio, doc par le théorème 6, Card =. Mais d autre part Card = Card + Card (par l algorithme du théorème 4) et par hypothèse Card =. Doc Card =, ce qui implique que = et doc que est déjà ue base de E. Voici la preuve de (iii) = (i). Par hypothèse, est cette fois ue famille géératrice. Toujours par le théorème 4, o peut extraire de cette famille ue base. Puis par le théorème 6, Card =, doc = Card Card =. Doc = et est bie ue base. Exemple 8. Pour quelles valeurs de t les vecteurs (v, v 2, v 3 ) suivats formet ue base de 3? v = v 2 = 3 v 3 = 4 t t Nous avos ue famille de 3 vecteurs das l espace 3 de dimesio 3. Doc pour motrer que la famille (v, v 2, v 3 ) est ue base, par le théorème 7, il suffit de motrer que la famille est libre ou bie de motrer qu elle est géératrice. Das la pratique, il est souvet plus facile de vérifier qu ue famille est libre. À quelle coditio la famille {v, v 2, v 3 } est libre? Soiet λ, λ 2, λ 3 tels que λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 =. Cela implique le système λ + λ 2 + λ 3 = λ + 3λ 2 + λ 3 = 4λ + tλ 2 + tλ 3 = Ce système est équivalet à : λ + λ 2 + λ 3 = 2λ 2 = (t 4)λ 2 + (t 4)λ 3 =. λ + λ 3 = λ 2 = (t 4)λ 3 = Il est clair que si t 4, alors la seule solutio est (λ, λ 2, λ 3 ) = (,, ) et doc {v, v 2, v 3 } est ue famille libre. Si t = 4, alors par exemple (λ, λ 2, λ 3 ) = (,, ) est ue solutio o ulle, doc la famille est pas libre. Coclusio : si t 4 la famille est libre, doc par le théorème 7 la famille (v, v 2, v 3 ) est e plus géératrice, doc c est ue base de 3. Si t = 4, la famille est pas libre et est doc pas ue base Preuve Il ous reste la preuve du lemme. La démostratio est délicate et hors-programme. Démostratio. La preuve de ce lemme se fait e raisoat par récurrece. O démotre par récurrece que, pour tout, la propriété suivate est vraie : «Das u espace vectoriel egedré par vecteurs, toute famille ayat + élémets est liée.»

14 DIMENSION FINIE 4. DIMENSION D UN ESPACE VECTORIEL 4 Iitialisatio. O vérifie que la propriété est vraie pour =. Soit E u espace vectoriel egedré par u vecteur oté g, et soit {v, v 2 } ue famille de E ayat deux élémets. Les vecteurs v et v 2 peuvet s écrire comme combiaisos liéaires du vecteur g ; autremet dit, il existe des scalaires α, α 2 tels que v = α g et v 2 = α 2 g, ce qui doe la relatio : α 2 v α v 2 = E. E supposat v 2 o ul (sio il est évidet que {v, v 2 } est liée), le scalaire α 2 est doc o ul. O a trouvé ue combiaiso liéaire ulle des vecteurs v, v 2, avec des coefficiets o tous uls. Doc la famille {v, v 2 } est liée. Hérédité. O démotre maiteat que si la propriété est vraie au rag ( 2), alors elle vraie au rag. Soit E u espace vectoriel egedré par vecteurs otés g, g 2,..., g, et soit {v, v 2,..., v, v + } ue famille de E ayat + élémets. Tout vecteur v j, pour j =, 2,..., +, est combiaiso liéaire de g, g 2,..., g, doc il existe des scalaires α j, αj 2,..., α j tels que : v j = α j g + α j 2 g α j g. Remarque. O est cotrait d utiliser ici deux idices i, j pour les scalaires (attetio! j est pas u exposat) car deux iformatios sot écessaires : l idice j idique qu il s agit de la décompositio du vecteur v j, et i idique à quel vecteur de la famille géératrice est associé ce coefficiet. E particulier, pour j = +, le vecteur v + s écrit : v + = α + g + α + 2 g α + g. Si v + est ul, c est termié, la famille est liée ; sio, v + est o ul, et au mois u des coefficiets α + j est o ul. O suppose, pour alléger l écriture, que α + est o ul (sio il suffit de chager l ordre des vecteurs). O costruit ue ouvelle famille de vecteurs de E de telle sorte que ces vecteurs soiet combiaisos liéaires de g, g 2,..., g, c est-à-dire appartieet au sous-espace egedré par {g, g 2,..., g }. Pour j =, 2,...,, o défiit w j par : w j = α + v j α j v + = (α + k= α j k α j α+ k )g k. Le coefficiet de g est ul. Doc w j est bie combiaiso liéaire de g, g 2,..., g. O a vecteurs qui appartieet à u espace vectoriel egedré par vecteurs ; o peut appliquer l hypothèse de récurrece : la famille {w, w 2,..., w } est liée. Par coséquet, il existe des scalaires o tous uls λ, λ 2,..., λ tels que λ w + λ 2 w λ w =. E remplaçat les w j par leur expressio e foctio des vecteurs v i, o obtiet : α + λ v + α + λ 2 v α + λ v (λ α + + λ α )v + = E Le coefficiet α + a été supposé o ul et au mois u des scalaires λ, λ 2,..., λ est o ul ; o a doc ue combiaiso liéaire ulle des vecteurs v, v 2,..., v, v + avec des coefficiets qui e sot pas tous uls, ce qui prouve que ces vecteurs formet ue famille liée. Coclusio. La démostratio par récurrece est aisi achevée. Mii-exercices. Dire si les assertios suivates sot vraies ou fausses. Justifier votre répose par u résultat du cours ou u cotre-exemple :. Ue famille de p vecteurs das u espace vectoriel de dimesio est géératrice. 2. Ue famille de p > vecteurs das u espace vectoriel de dimesio est liée. 3. Ue famille de p < vecteurs das u espace vectoriel de dimesio est libre. 4. Ue famille géératrice de p vecteurs das u espace vectoriel de dimesio est libre. 5. Ue famille de p vecteurs das u espace vectoriel de dimesio est pas ue base. 6. Toute famille libre à p élémets d u espace vectoriel de dimesio se complète par ue famille ayat exactemet p élémets e ue base de E.

15 DIMENSION FINIE 5. DIMENSION DES SOUS-ESPACES VECTORIELS 5 5. Dimesio des sous-espaces vectoriels Tout sous-espace vectoriel F d u -espace vectoriel E état lui même u -espace vectoriel, la questio est de savoir s il est de dimesio fiie ou s il e l est pas. Preos l exemple de l espace vectoriel E = (, ) des foctios de das : il cotiet le sous-espace vectoriel F = [X ] des (foctios) polyômes de degré, qui est de dimesio fiie ; et aussi le sous-espace vectoriel F 2 = [X ] de l esemble des (foctios) polyômes, qui lui est de dimesio ifiie. 5.. Dimesio d u sous-espace vectoriel Nous allos voir par cotre que lorsque E est de dimesio fiie alors F aussi. Théorème 8. Soit E u -espace vectoriel de dimesio fiie.. Alors tout sous-espace vectoriel F de E est de dimesio fiie ; 2. dim F dim E ; 3. F = E dim F = dim E. Démostratio. Soit E u espace vectoriel de dimesio et soit F u sous-espace vectoriel de E. Si F = {} il y a rie à motrer. O suppose doc F {} et soit v u élémet o ul de F. La famille {v} est ue famille libre de F, doc F cotiet des familles libres. Toute famille libre d élémets de F état ue famille libre d élémets de E (voir la défiitio des familles libres), alors comme E est de dimesio, toutes les familles libres de F ot au plus élémets. O cosidère l esemble K des etiers k tels qu il existe ue famille libre de F ayat k élémets : K = k {v, v 2,..., v k } F et {v, v 2,..., v k } est ue famille libre de F Cet esemble K est o vide (car K) ; K est u sous-esemble boré de (puisque tout élémet de K est compris etre et ) doc K admet u maximum. Notos p ce maximum et soit {v, v 2,..., v p } ue famille libre de F ayat p élémets. Motros que {v, v 2,..., v p } est aussi géératrice de F. Par l absurde, s il existe w u élémet de F qui est pas das Vect(v,..., v p ), alors la famille {v,..., v p, w} e peut pas être libre (sio p e serait pas le maximum de K). La famille {v,..., v p, w} est doc liée, mais alors la relatio de dépedace liéaire implique que w Vect(v,..., v p ), ce qui est ue cotradictio. Coclusio : (v,..., v p ) est ue famille libre et géératrice, doc est ue base de F. O a aisi démotré simultaémet que : F est de dimesio fiie (puisque (v, v 2,..., v p ) est ue base de F). Aisi dim F = p, doc dim F dim E (puisque toute famille libre de F a au plus élémets). De plus, lorsque p =, le p-uplet (v, v 2,..., v p ), qui est ue base de F, est aussi ue base de E (car {v, v 2,..., v p } est alors ue famille libre de E ayat exactemet élémets, doc est ue base de E). Tout élémet de E s écrit comme ue combiaiso liéaire de v, v 2,..., v p, d où E = F Exemples Exemple 9. Si E est u -espace vectoriel de dimesio 2, les sous-espaces vectoriels de E sot : soit de dimesio : c est alors le sous-espace {} ; soit de dimesio : ce sot les droites vectorielles, c est-à-dire les sous-espaces u = Vect{u} egedrés par les vecteurs o uls u de E ; soit de dimesio 2 : c est alors l espace E tout etier. Vocabulaire. Plus gééralemet, das u -espace vectoriel E de dimesio ( 2), tout sous-espace vectoriel de E de dimesio est appelé droite vectorielle de E et tout sous-espace vectoriel de E de dimesio 2 est appelé

16 DIMENSION FINIE 5. DIMENSION DES SOUS-ESPACES VECTORIELS 6 pla vectoriel de E. Tout sous-espace vectoriel de E de dimesio est appelé hyperpla de E. Pour = 3, u hyperpla est u pla vectoriel ; pour = 2, u hyperpla est ue droite vectorielle. Le théorème 8 précédet permet de déduire le corollaire suivat : Corollaire 2. Soit E u -espace vectoriel. Soiet F et G deux sous-espaces vectoriels de E. O suppose que F est de dimesio fiie et que G F. Alors : F = G dim F = dim G Autremet dit, sachat qu u sous-espace est iclus das u autre, alors pour motrer qu ils sot égaux il suffit de motrer l égalité des dimesios. Exemple 2. Deux droites vectorielles F et G sot soit égales, soit d itersectio réduite au vecteur ul. Exemple 2. Soiet les sous-espaces vectoriels de 3 suivats : F = xyz 3 2x 3y + z = 2 et G = Vect(u, v) où u = et v = Est-ce que F = G?. O remarque que les vecteurs u et v e sot pas coliéaires, doc G est de dimesio 2, et de plus ils appartieet à F, doc G est coteu das F. 2. Pour trouver la dimesio de F, o pourrait détermier ue base de F et o motrerait alors que la dimesio de F est 2. Mais il est plus judicieux ici de remarquer que F est coteu strictemet das 3 (par exemple le vecteur de 3 est pas das F), doc dim F < dim 3 = 3 ; mais puisque F cotiet G alors dim F dim G = 2, doc la dimesio de F e peut être que O a doc démotré que G F et que dim G = dim F, ce qui etraîe G = F Théorème des quatre dimesios Théorème 9 (Théorème des quatre dimesios). Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie et F, G des sous-espaces vectoriels de E. Alors : dim(f + G) = dim F + dim G dim(f G) Corollaire 3. Si E = F G, alors dim E = dim F + dim G. Exemple 22. Das u espace vectoriel E de dimesio 6, o cosidère deux sous-espaces F et G avec dim F = 3 et dim G = 4. Que peut-o dire de F G? de F + G? Peut-o avoir F G = E? F G est u sous-espace vectoriel iclus das F, doc dim(f G) dim F = 3. Doc les dimesios possibles pour F G sot pour l istat,, 2, 3. F + G est u sous-espace vectoriel coteat G et iclus das E, doc 4 = dim G dim(f + G) dim E = 6. Doc les dimesios possibles pour F + G sot 4, 5, 6. Le théorème 9 des quatre dimesios ous doe la relatio : dim(f G) = dim F + dim G dim(f + G) = dim(f + G) = 7 dim(f + G). Comme F + G est de dimesio 4, 5 ou 6, alors la dimesio de F G est 3, 2 ou. Coclusio : les dimesios possibles pour F + G sot 4, 5 ou 6 ; les dimesios correspodates pour F G sot alors 3, 2 ou. Das tous les cas, F G {} et e particulier F et G e sot jamais e somme directe das E. La méthode de la preuve du théorème 9 des quatre dimesios implique aussi : Corollaire 4. Tout sous-espace vectoriel F d u espace vectoriel E de dimesio fiie admet u supplémetaire. Preuve du théorème 9.

17 DIMENSION FINIE 5. DIMENSION DES SOUS-ESPACES VECTORIELS 7 Notez l aalogie de la formule avec la formule pour les esembles fiis : Card(A B) = Card A + Card B Card(A B). Nous allos partir d ue base F G = {u,..., u p } de F G. O commece par compléter F G e ue base F = {u,..., u p, v p+,..., v q } de F. O complète esuite F G e ue base G = {u,..., u p, w p+,..., w r } de G. Nous allos maiteat motrer que la famille {u,..., u p, v p+,..., v q, w p+,..., w r } est ue base de F + G. Il est tout d abord clair que c est ue famille géératrice de F + G (car F est ue famille géératrice de F et G est ue famille géératrice de G). Motros que cette famille est libre. Soit ue combiaiso liéaire ulle : p q r α i u i + β j v j + γ k w k = () i= j=p+ O pose u = p i= α iu i, v = q j=p+ β j v j, w = r k=p+ γ kw k. Alors d ue part u + v F (car F est ue base de F) mais comme l équatio () équivaut à u + v + w =, alors u + v = w G (car w G). Maiteat u + v F G et aussi bie sûr u F G, doc v = q j=p+ β j v j F G. Cela implique β j = pour tout j (car les {v j } complètet la base de F G). La combiaiso liéaire ulle () deviet p i= α iu i + r k=p+ γ kw k =. Or G est ue base de G, doc α i = et γ k = pour tout i, k. Aisi F+G = {u,..., u p, v p+,..., v q, w p+,..., w r } est ue base de F + G. Il e reste plus qu à compter le ombre de vecteurs de chaque base : dim F G = Card F G = p, dim F = Card F = q, dim G = Card G = r, dim(f + G) = Card F+G = q + r p. Ce qui prouve bie dim(f + G) = dim F + dim G dim(f G). k=p+ Mii-exercices. 3, 2 2. Soiet F = Vect et G = Vect 3 2. Das 3 t, o cosidère F = Vect foctio de t. 7 7, t 65,, G = Vect. Motrer que F = G.. Calculer les dimesios de F, G, F G, F + G e 3. Das u espace vectoriel de dimesio 7, o cosidère des sous-espaces F et G vérifiat dim F = 3 et dim G 2. Que peut-o dire pour dim(f G)? Et pour dim(f + G)? 4. Das u espace vectoriel E de dimesio fiie, motrer l équivalece etre : (i) F G = E ; (ii) F + G = E et dim F + dim G = dim E ; (iii) F G = { E } et dim F + dim G = dim E. 5. Soit H u hyperpla das u espace vectoriel de dimesio fiie E. Soit v E \ H. Motrer que H et Vect(v) sot des sous-espaces supplémetaires das E. Auteurs du chapitre D après u cours de Sophie Chemla de l uiversité Pierre et Marie Curie, repreat des parties d u cours de H. Ledret et d ue équipe de l uiversité de Bordeaux aimée par J. Queyrut, et u cours de Eva Bayer-Fluckiger, Philippe Chabloz, Lara Thomas de l École Polytechique Fédérale de Lausae, mixé, révisé et complété par Araud Bodi. Relu par Viaey Combet.