ESD 20163c_04 : Différents types de raisonnement

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1 ESD 2013c_04 : Différets types de raisoemet 1. Le sujet A. L exercice proposé au cadidat O cosidère la suite défiie pour tout apparteat à N par : u = 4u 3 avec u Dire si les affirmatios suivates sot vraies ou fausses et justifier : (a) Pour tout etier aturel, est u ombre premier. 3 (b) Pour tout etier aturel, u = (c) u est impair si et seulemet si est différet de 0. u 2. Détermier la plus petite valeur de l etier aturel tel que u soit supérieur à 10. B. Extrait du programme de l eseigemet spécifique et de spécialité de mathématiques de la classe termiale de la série scietifique Notatios et raisoemet mathématiques : E complémet des objectifs rappelés ci-dessous, le travail sur la otio d équivalece doit aturellemet être poursuivi (propriété caractéristique, raisoemet par équivalece) et l o itroduit le raisoemet par récurrece. Pour ce qui cocere le raisoemet logique, les élèves sot etraîés, sur des exemples : à utiliser correctemet les coecteurs logiques «et», «ou» et à distiguer leur ses des ses courats de «et», «ou» das le lagage usuel ; à utiliser à bo esciet les quatificateurs uiversel, existetiel (les symboles, e sot pas exigibles) et à repérer les quatificatios implicites das certaies propositios et, particulièremet, das les propositios coditioelles ; à distiguer, das le cas d ue propositio coditioelle, la propositio directe, sa réciproque, sa cotraposée et sa égatio ; à utiliser à bo esciet les expressios «coditio écessaire», «coditio suffisate» ; à formuler la égatio d ue propositio ; à utiliser u cotre-exemple pour ifirmer ue propositio uiverselle ; à recoaître et à utiliser des types de raisoemet spécifiques : raisoemet par disjoctio des cas, recours à la cotraposée, raisoemet par l absurde C. Le travail à exposer devat le jury 1. Expliquez e quoi cet exercice répod aux recommadatios du paragraphe «Notatios et raisoemet mathématiques» iséré das le programme de la classe de termiale scietifique. 2. Présetez ue correctio de cet exercice telle que vous l exposeriez devat ue classe de termiale S e mettat e valeur les différets types de raisoemet utilisés. 3. Proposez deux exercices, u au iveau lycée et u au iveau collège, sur le thème «différets types de raisoemet». Vous motiverez vos choix e idiquat les compéteces que vous cherchez à développer chez les élèves. 0 = G. Julia, 201 /

2 2. Elémets de correctio Cet exercice propose l étude de quelques propriétés d ue suite arithmético-géométrique dot tous les termes sot des etiers. L eseigat exploite cette situatio à la frotière etre «suites umériques» et «arithmétique» pour etraîer les élèves à la pratique du raisoemet. 1. Difficile de dire «e quoi cet exercice répod aux recommadatios» officielles. Cela déped à 99 % de ce qu e fait cocrètemet l eseigat Le choix de l étude d ue suite d etiers est délibéré : cette situatio pourrait évetuellemet se prêter à l itroductio du raisoemet par récurrece. Mais e même temps, les questios posées vot motrer que la pratique de ce type de raisoemet est loi d être systématique das ce gere de circostaces. O recoaîtra d abord l utilisatio d u cotre exemple pour ifirmer ue propositio et esuite, le choix sera relativemet varié, o verra ça. L exercice e couvre cepedat pas l esemble des thèmes poités das les programmes officiels, rie de plus ormal. L utilisatio correcte des coecteurs logiques «et», «ou» par exemple maque à l appel (a). Faux Utilisatio d u cotre-exemple pour ifirmer ue propositio uiverselle. u2 est pas u ombre premier. 3 ulia201 Il existe u etier aturel tel que pas u ombre premier. u 3 est Cette questio fourit l occasio de travailler sur la faço de formuler la égatio d ue propositio (otammet de s itéresser aux quatificateurs présets das ue propositio et das sa égatio) 1. (b) Vrai. Deux raisoemets différets peuvet être mis e œuvre. U raisoemet par récurrece. U raisoemet par implicatio directe utilisat ue propriété caractéristique des suites géométriques : u = 4u 4 = 4 u 1 O remarque que la relatio de récurrece peut s écrire : ( ) O défiit alors la suite (v ) par : v u pour tout etier. = + 1 Pour tout etier aturel : v 1 = u+ 1 = ( 4u 3) = 4( u ) = 4v +. ulia201 Doc la suite (v ) est ue suite géométrique de raiso 4. So premier terme état égal à 5, pour tout etier aturel so terme de rag est v 5 4 u est u = + 1 = = et celui de la suite ( ) v (c) Vrai. Cette questio se prête à u travail avec les élèves sur les différetes propositios (égatio, réciproque, cotraposée) d ue propositio doée. O vérifie que : Si est strictemet positif alors c est u etier impair. E effet, u a u prédécesseur : u = 4u 3 est différece d u etier pair et d u etier impair. Si = 0 alors u 0 est u etier pair (par hypothèse) Peut-o coclure pour autat que «u est impair si et seulemet si est différet de 0»? G. Julia, 201 /

3 Les propositios «= 0» et «> 0» sot les égatios l ue de l autre, de même que «u est pair» et «u est impair». Il e est aisi lorsqu o cosidère ue partitio d u esemble e deux sous esembles : la égatio de l apparteace à ue partie est l apparteace à l autre partie. La réciproque de «si est strictemet positif alors u est impair» est «si u est impair, alors est strictemet positif». La cotraposée de «si u est impair, alors est strictemet positif» est : «si = 0 alors u est pair», ce qu o a effectivemet vérifié. Pour démotrer qu ue propositio coditioelle est vraie, o peut démotrer que sa cotraposée est vraie. O a bie démotré l équivalece demadée. 2. Exhaustivité : Recherche exhaustive du premier idice tel que : u >10, e l occurrece l idice 9. De la faço dot la questio est posée, il y a rie d autre à faire. Si la questio était formulée aisi : «Détermier le plus petit etier 0 tel que pour tout etier 0, u 10» il resterait à justifier que tous les termes d idice 9 sot eux aussi 10 (par u argumet de croissace de la suite par exemple). Raisoemet par équivalece logique, sachat que u = e exploitat la croissace stricte de la foctio logarithme épérie : 10 u l( 10 ) l 5 u ulia l 4 L usage d ue calculatrice motre que l( 10 ) l 5 8 < < 9 de sorte que : l 4 u E variate de la même démarche, le solveur de la calculatrice détermie l esemble des solutios das R de l l iéquatio 5 4 x à savoir l itervalle 5, +. L etier 9 est le plus petit ulia201 2l 2 etier apparteat à cet esemble G. Julia, 201 /

4 3. Voir par exemple REDCM pages 105 à 108. Je sigale cepedat u documet importat sur le thème «types de raisoemet», et bie au-delà d ailleurs, à lire absolumet : _ pdf Il s agit là d u documet de référece. 3. Commetaires C1. Il y a lieu d etraîer les élèves à comparer différets types de raisoemet, sas pour autat sombrer das u jordaisme faço Molière. Par exemple, à propos de la questio 1.c : «Supposos qu il existe u etier strictemet positif tel que u soit pair. Alors le ombre impair 3 vérifierait 3 = 4u u et serait ue différece de deux ombres pairs, ce qui est absurde» est u raisoemet recevable, mais à quoi bo mettre de l absurde là où l o peut s e passer? La comparaiso de différets raisoemets devrait ameer à faire u tri : l essetiel est bie sûr que le raisoemet soit correct. Mais il est aussi importat de s iterroger sur sa simplicité et so efficacité. Das la résolutio d ue questio il est utile de sélectioer tel ou tel autre type de raisoemet e foctio de ces deux critères. C2. (Pour aller plus loi) Les affirmatios suivates sot-elles vraies ou fausses? 1. Si u est divisible par 7, alors u + 3 est divisible par u est divisible par 7 si et seulemet si + 2 est divisible par Si u est divisible par 11, alors u + 5 est divisible par Il existe u etier tel que u est divisible par 11. Ecore u peu plus loi 1 5. N est l esemble des etiers aturels :{ ; 1 ; 2 ;...} f est ue applicatio surjective et g ue applicatio ijective. Motrer que, si ( ) g( ) aturel, alors f = g. 0. Soiet f et g deux applicatios de N vers N telles que f pour tout etier 1 Exercice trouvé das des aales de l excellet cocours caadie CIPAS. Il permet d exploiter à bo esciet les cocepts d ijectivité et de surjectivité d ue applicatio, cocepts qui e sot plus explicitemet au programme des classes de lycée. U bo test cepedat pour u cadidat au CAPES. G. Julia, 201 /

5 L écra ci-cotre peut être exploité pour traiter les affirmatios 1 et 3 Et celui-ci peut être exploité pour traiter les affirmatios 2 et 4. Je laisse au lecteur le plaisir de termier G. Julia, 201 /

6 5. Je propose deux méthodes de résolutio suivat que l o s itéresse à la propositio telle qu elle est éocée ou à sa cotraposée. Méthode 1 : où l o est ameé à evisager ue récurrece forte. Puisque f est surjective, tout etier aturel k est image par f d au mois u etier. Pour chaque k, soit x k le plus petit des etiers d image k par f (ce choix a pour seul effet de particulariser pour chaque k u uique, écessairemet disticts puisque f est ue x etier d image k). O défiit aisi ue suite d etiers ( k ) k N applicatio, tels que pour tout etier aturel k : f ( xk ) = k. O va démotrer, par récurrece forte, que pour tout etier aturel k : f ( x ) k = g( ) Iitialisatio : f ( x ) = g( x ) 0. Doc : f ( x ) = g( ) =. k x k = 0 x 0. Hérédité : Soit k u etier aturel. Supposos que pour tout etier j tel que 0 j k : f ( x ) = j = g( ). O se propose de motrer que, au rag suivat k + 1, la double égalité est ecore vérifiée. O cosidère l esemble : { ( x ) ; 0 j k + 1} { g( x j ) ; 0 j k + 1} = { 0 ; 1... ; k} { g( xk + 1) } ulia201 f ( x ) = j = g( ). j x j Puisque g est ijective, ( x k +1 ) appartiet pas à { 0 ; 1... ; k} c'est-à-dire que : k g( x ) Puisque g f : f ( x ) k + g( x ) E coséquece : f ( x ) k + g( x ) k + 1 = 1 = k +1 j x j g j. D après l hypothèse de récurrece : vu que pour tout etier j tel que g est distict de toutes les images g( x j ) 0 j k k + 1 = 1 k k +1. L hérédité est aisi assurée. Aisi, pour tout etier aturel k : f ( x ) = k = g( ) ulia201 k x k. 0 j k : : g ( x k +1 ) Ceci motre que tout etier aturel k a au mois u atécédet par g : l applicatio g est surjective. Etat à la fois ijective et surjective, cette applicatio est bijective. (NB. f et g coïcidet pour tous les etiers x k. Mais cela e veut pas dire pour autat que prouve que { x k ; k N } = N, o e peut pas coclure pour le momet.) g état ue bijectio de N sur N, elle admet ue applicatio réciproque l applicatio réciproque que pour tout etier aturel k : ( k ) = ( ) k Pour tout etier aturel k : f g ( k) = f ( xk ) = k L applicatio f est réciproque de g x k g k = x ) o. Aisi : f o g = IdN g. f = g, car rie e g (telle par défiitio de Or, la réciprocité est ivolutive (l applicatio réciproque de la réciproque est l applicatio elle-même : ( g ) 1 = g ). Par uicité de la bijectio réciproque d ue bijectio : f = g. G. Julia, 201 / 2017

7 Méthode 2 : utilisatio de la cotraposée. La cotraposée de la propositio 5 est : Soiet f et g deux applicatios de N vers N telles que f est ue applicatio surjective et g ue applicatio ijective. Si f g, alors il existe u etier tel que : ( ) g( ) f <. C est ce que l o va chercher à démotrer. O suppose que f g. Il existe au mois u etier p tel que f ( p) g( p). Si ( p) g( p) f <, il y a rie à démotrer. U etier coveable est cet etier p lui-même. Si ( p) g( p) f > : Puisque f est surjective, il existe ( p) + 1 k = 0 ; 1 ;...; f ( p) : ( x ) k atécédets il peut a priori y e avoir plusieurs de ( p) f etiers : x0 ; x1 ;...; x f ( p) 1 ; x f ( p) = p tels que pour f k =. (o décrète que le derier d etre eux est l etier p, puisque c est u des f ). Puisque g est ijective, les f ( p) + 1 etiers ( x k ) est au mois égal à f ( p) : max ( g( xk ) ( )) f ( p) 0 k f p. ( ) g( p) f ( p) g sot tous disticts. Le plus grad d etre eux Puisque g x f ( p) = <, ce est pas e x f ( p) que ce maximum est atteit. Ce maximum 0 ; 1...; f p : f ( x j ) = j et est doc atteit avat. Il existe u etier j apparteat à { ( ) } g( x j ) = max ( g( x k ) ( )). 0 k f p Pour cet etier là : g( x j ) = max ( g( xk ) ( )) f ( p) 0 k f p > j. Doc : ( x j ) g( x j ) ulia U etier coveable est das ce cas cet etier x j. Ce qui démotre la propositio cotraposée. f <. Par exemple, imagios que : ( ) 10 ; ( 22) 7 f 22 = g =. O cosidère des atécédets x x,..., x,..., x 22 0, = 0, g x1,..., g x9,..., g x10 = par f des oze premiers etiers aturels 0, 1,..., 10. Leurs images par g : g ( x ) ( ) ( ) ( ) 7 sot oze etiers aturels disticts. Le plus grad d etre eux est au mois égal à 10. Mais ce plus grad, ce est pas g ( x 10 ) qui est égal à 7. Parmi les dix premiers x 0, x1,..., x9 il y e a u dot l image par g est max( g ( x k ) ) 0 k tadis que so image par f est l u des etiers 0, 1,..., 9. L image par f de cet etier est strictemet plus petite que so image par g. E coclusio, das l esemble des applicatios de N vers N, sauf cas d égalité, ue applicatio surjective e peut pas être supérieure à ue applicatio ijective. G. Julia, 201 /