Correction du TD 3 : Séries numériques

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1 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Correctio du TD : Séries umériques Exercice A chaque fois, puisqu'o demade la covergece et la valeur, o reviet à la somme partielle : esuite, soit o recoaît ue série usuelle, soit o calcule la somme par télescopage O recoaît ue série géométrique, o écrit : O recoaît ue série géométrique de paramètre, avec < doc elle coverge absolumet De plus : + 0 O doit recoaître ici ue série géométrique dérivée, e écrivat : e 0 e 0 e + 0 e e O recoaît ue série géométrique dérivée de paramètre e e, avec e < doc elle coverge absolumet De plus : 0 e e e e e O recoaît ue série géométrique dérivée secode ; il faut savoir trasformer pour faire apparaître : [ ] O fait doc apparaître ue série géométrique dérivée secode et ue série géométrique dérivée : O recoaît ue série géométrique dérivée secode et ue série géométrique dérivée de même paramètre, avec < doc elle coverge absolumet De plus O fait apparaître ue série géométrique dérivée :

2 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques O recoaît ue série géométrique dérivée de paramètre absolumet De plus + 6, avec 5 O fait apparaître ue série géométrique dérivée : + < doc elle coverge + O recoaît ue série géométrique dérivée de paramètre, avec < doc elle coverge absolumet De plus O fait apparaître des séries géométriques dérivées secode, première et o dérivée : [ ] O recoaît des séries géométriques dérivées secode et première et ue série géométrique de même paramètre, avec < doc elle coverge absolumet De plus O fait apparaître des séries expoetielles : + [ ] + +!! ! +! +! O simplie les factorielles, mais das la première somme, cela doe!, qui 'existe que si Il faut doc traiter à part le terme pour : !!! +!

3 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques O eectue, pour remettre la factorielle correctemet, les chagemets d'idice das la première somme, et das la deuxième somme, et o fait esuite partir les séries de 0 : +! p p 0 0 p! + p! + 0 0! +! + 0 0! 0!! O recoaît trois séries expoetielles, qui coverget absolumet De plus : +! e + e + e 5e 8 Comme o e recoaît aucue série usuelle, sas autre idicatio questios précédete de l'éocé qui a trasformé le terme gééral ou carrémet fait calculer la somme, par exemple par récurrece, o doit toujours essayer de télescoper : il faut doc faire apparaître le terme gééral sous la forme v + v ou bie v v : l O e déduit par télescopage que : l doc la série diverge l [ ] l l l l l 9 De même qu'à la questio précédete, comme o e recoaît aucue série usuelle, o cherche à télescoper : l [ ] + l + l [ ] l + l l + l l + l l + l l l + [ ] l l + O recoaît u télescopage, o e déduit que : l + l l + doc la série coverge et : l lp + p l + l l + l 0 Avec les factorielles, o pese à la série expoetielle? Essayos e explicitat le coeciet biomial avec des factorielles : l 7!!!!! 7! 7! 7!! Pour faire apparaître ue série expoetielle, il faut faire apparaître! : o pose pour cela le chagemet d'idice : : 7!! p 0 7 +! 7! p 0!

4 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques O recoaît ue série expoetielle, la série coverge doc absolumet et : 7! 7! 7 e e! Exercice A chaque fois o demade seulemet la ature mais pas la valeur, o va doc utiliser les théorèmes de comparaiso : pour cela o vérie que la série est à termes positifs puis o cherche d'abord u équivalet simple du terme gééral : s'il e permet pas de coclure, o tetera la égligeabilité devat le terme gééral de la série de Riema La série est à termes positifs, o cherche u équivalet de so terme gééral ; il est sous forme factorisée, le umérateur est simple, o s'itéresse au déomiateur : + + avec lim + doc : + et + Les deux séries sot à termes positifs, par théorème de comparaiso elles sot de même ature E la série de terme gééral coverge comme série géométrique de paramètre avec <, doc la série de terme gééral + coverge avec lim doc : et Les deux séries sot à termes de sige costat, par théorème de comparaiso elles sot de même ature E la série de terme gééral diverge comme série de Riema de paramètre / avec, doc la série de terme gééral diverge Le terme gééral est positif à partir d'u certai rag le umérateur l'est toujours, le déomiateur est la somme d'u terme qui ted vers et d'u terme supérieur à doc ted vers, o cherche u équivalet du terme gééral ; il est sous forme factorisée, o s'itéresse au umérateur puis au déomiateur : e + + e avec par quotiet pas de croissaces comparées ici!! e + lim + e doc D'autre part / + / + / avec lim + / : e eet, o sait que doc / / /

5 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques et par ecadremet, la quatité du milieu ted vers 0 O e déduit que / + / puis e + / + / / Les deux séries sot à termes positifs au mois à partir d'u certai rag, par théorème de comparaiso elles sot de même ature E la série de terme gééral diverge comme série de / Riema de paramètre avec, doc la série de terme gééral e + / + diverge Le terme gééral est positif, o cherche u équivalet du terme gééral ; il est sous forme factorisée, o s'itéresse au umérateur puis au déomiateur : + l l + l + par équivalet usuel l + x x, avec 0 0 D'autre part : avec lim + doc + l + + puis / / Les deux séries sot à termes positifs, par théorème de comparaiso elles sot de même ature E la série de terme gééral coverge comme série de Riema de paramètre avec >, doc la série de terme gééral l / + + coverge 5 Remarque : aucu équivalet plus simple 'est possible ici O cherche alors à démotrer la égligeabilité du terme gééral devat / Vérios si e e O pose X, o sait que Aisi, o a bie e e o X lim X e X 0 par croissaces comparées doc lim e 0 Les deux séries sot à termes positifs, et la série de terme gééral coverge comme série de Riema de paramètre, avec >, doc par théorème de comparaiso la série de terme gééral e coverge 6 Le terme gééral 'est pas de sige costat : o va alors devoir e predre la valeur absolue pour avoir u terme gééral positif, et chercher la covergece absolue : si o obtiet la covergece absolue, o pourra coclure à la covergece Par cotre si o e l'obtiet pas, o e saura rie sur la covergece simple La valeur absolue du terme gééral est : l e l e Il 'y a pas de meilleur équivalet à obteir : o a ue forme factorisée, et chaque facteur est sous forme totalemet simpliée aucue somme Comme le terme gééral e permet pas de coclure avec les séries usuelles, o compare au terme gééral d'ue série de Riema covergece : : l e 6 l e 0 5

6 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques par croissaces comparées, doc l e o Les deux séries sot à termes positifs, et la série de terme gééral coverge comme série de Riema de paramètre, avec >, doc par théorème de comparaiso la série de terme gééral l e coverge O e déduit que la série de terme gééral l e coverge absolumet, doc coverge 7 Cette série est à termes positifs, et o de peut pas trouver d'équivalet plus simple : o attaque avec la égligeabilité devat : l l / et cela e marche pas Mais comme o a au déomiateur u /, o va essayer de comparer à / / : l l 0 / doc o obtiet bie : l o / Les deux séries sot à termes positifs, et la série de terme gééral coverge comme série de / Riema de paramètre /, avec / >, doc par théorème de comparaiso la série de terme gééral l coverge Exercice Etudios la foctio f déie sur [0, ] par fx x x : f est polyômaile doc dérivable et f x x d'où le tableau de variatios suivat : x f x fx Aisi, f]0; [ ]0; ] ]0; [ : o dit que l'itervalle ]0; [ est stable par f Nous allos aisi pouvoir prouver par récurrece que tous les termes de la suite u restet das l'itervalle ]0; [ : Motros doc par récurrece sur que pour tout N, 0 < u < : Iitialisatio : pour 0, d'après l'éocé 0 < u 0 < doc la la propriété est vraie au rag 0 Hérédité : supposos qu'il existe N xé tel que 0 < u <, alors : u + fu f]0; [ ]0; [ car ]0; [ est stable par f et la propriété est vraie au rag + Coclusio : pour tout N, 0 < u < 6

7 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Etudios à préset les variatios de u : comme u 0 'est pas ue valeur coue, o cherche le sige de u + u par u calcul explicite sio o aurait prouvé par récurrece l'iégalité u + < u ou bie u + > u : u + u u u u u < 0 doc la suite u est décroissate E u est décroissate et miorée par 0 doc coverge vers ue limite l E passat à la limite das l'égalité de récurrece, o a : l l l l 0 l 0 doc la suite u coverge et sa limite est 0 O cherche la covergece et la valeur doc o reviet à la somme partielle Comme o e recoaît pas de série usuelle o 'a même pas l'expressio de u!, o doit la calculer, soit par télescopage, soit à l'aide d'ue idicatio de l'éocé ou, ici, les deux E eet l'éocé doe u + u u, o peut doc isoler u das cette égalité : ce qui doe : u 0 u u u + u u + u 0 u p+ u 0 0 u 0 0 doc la série de terme gééral u coverge, et sa somme est 0 u u 0 Exercice O doit prouver que l'ue est croissate, l'autre décroissate, et que leur diérece ted vers 0 : Etudios les variatios de v p : v p+ v p S p+ S p p+ + + p+ p+ + p+ p + doc la suite v p est croissate Etudios les variatios de w p : + p+ p + p + p + p + p + p + p + p + p + > 0 w p+ w p S p++ S p+ p+ + p+ + p+ p+ + p+ p + p + p + < 0 doc la suite w p est décroissate + p+ p + p + + p + + p + p + p + p + 7

8 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques E étudios la limite de leur diérece : w p v p p+ + + p+ p + p + 0 p O e déduit bie que les suites v p et w p sot adjacetes O e déduit que les suites S p et S p+ coverget vers la même limite, et repreet tous les termes de la suite S p d'u côté les termes pairs, de l'autre les termes impairs : la suite S p est doc covergete vers cette limite commue E puisque la suite S des suites partielles de cette série coverge, la série de terme gééral + coverge Dire que cette série coverge absolumet sigie que la série de terme gééral + coverge : ce 'est pas le cas puisqu'o recoaît ue série de Riema divergete, doc la série de terme gééral + coverge, mais e coverge pas absolumet Exercice 5 La suite u est récurrete : o prouve les iégalités par récurrece Motros doc par récurrece sur que pour tout N, u > 0 : Iitialisatio : pour 0, d'après l'éocé u 0 > 0 doc la la propriété est vraie au rag 0 Hérédité : supposos qu'il existe N xé tel que u > 0, alors : u + u e u > 0 comme produit de deux facteurs strictemet positifs, et la propriété est vraie au rag + Coclusio : pour tout N, u > 0 Comme u 0 'est pas ue valeur coue, o étudie le sige de u + u par calcul direct : u + u u e u u Etudios le sige de la foctios gx xe x x xe x sur R + : O sait que x > 0 doc x < 0 doc e x < d'où e x < 0 ; doc par produit, gx < 0 Aisi, N, u + u gu < 0 car u > 0 d'après et la suite u est décroissate De plus elle est miorée par 0 doc elle coverge vers ue limite l E passat à la limite das l'égalité de récurrece, o a : l le x le l l 0 le l 0 l 0 ou e l l 0 Pour calculer cette somme, il faut faire apparaître u télescopage, pas du tout évidet ; O va alors se servir du résultat à trouver : o remarque que c'est le résultat du télescopage v 0 v + v v + 0 8

9 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques et o essaie alors de calculer : v v + lu lu + lu lu e u lu lu le u u u et o peut doc coclure que : u 0 v v + v 0 v + 0 Remarque : o aurait aussi pu, dès le départ, composer par l la relatio de récurrece pour faire apparaître v et obteir : lu + lu u doc v + v u qui permet de trouver sas diculté le télescopage O pred la limite : v 0 lu 0 est ue costate réelle, et la limite de v + lu + déped de la limite de u : O a vu que u coverge et comme elle vérie u + fu avec fx xe x ue foctio cotiue, sa limite est u poit xe de f, doc ue solutio de l'équatio : xe x x xe x 0 x 0 ou [e x 0 e x x l 0 x 0] O e déduit que u a pour limite 0, puis par composée v lu a pour limite, tout comme v + E par somme : 0 u v 0 v + et la série de terme gééral u est doc divergete vers Exercice 6 Pour obteir la covergece sas la valeur o utilise les théorèmes de comparaiso La série est à termes positifs, o cherche u équivalet du terme gééral : celui-ci est sous forme factorisée, o s'itéresse aux facteurs + et +, les deux autres état sous forme la plus simple possible : avec + + lim + lim + doc : et + + +, + et e + + Les deux séries sot à termes positifs, par théorème de comparaiso elles ot la même ature Or la série de terme gééral coverge comme série de Riema avec > 0, doc la série de terme gééral ++ coverge O met au même déomiateur pour idetier : a + b + + c + a b + + c a b + + c a + b + c + a + b + c + a + + 9

10 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques O idetie : a a + b + c 0 a + b + c 0 a c b a b + b b 0 a b c D'où o obtiet : Pour tout p, S p p p+ + p+ + p + + p + + [ + ] p + + p p p + + p + + p + p + + p + O a déjà calculé la somme partielle, il reste à predre sa limite : doc la série coverge et S p p + + p + p ++ 0