Correction du TD 3 : Séries numériques

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Correction du TD 3 : Séries numériques"

Transcription

1 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Correctio du TD : Séries umériques Exercice A chaque fois, puisqu'o demade la covergece et la valeur, o reviet à la somme partielle : esuite, soit o recoaît ue série usuelle, soit o calcule la somme par télescopage O recoaît ue série géométrique, o écrit : O recoaît ue série géométrique de paramètre, avec < doc elle coverge absolumet De plus : + 0 O doit recoaître ici ue série géométrique dérivée, e écrivat : e 0 e 0 e + 0 e e O recoaît ue série géométrique dérivée de paramètre e e, avec e < doc elle coverge absolumet De plus : 0 e e e e e O recoaît ue série géométrique dérivée secode ; il faut savoir trasformer pour faire apparaître : [ ] O fait doc apparaître ue série géométrique dérivée secode et ue série géométrique dérivée : O recoaît ue série géométrique dérivée secode et ue série géométrique dérivée de même paramètre, avec < doc elle coverge absolumet De plus O fait apparaître ue série géométrique dérivée :

2 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques O recoaît ue série géométrique dérivée de paramètre absolumet De plus + 6, avec 5 O fait apparaître ue série géométrique dérivée : + < doc elle coverge + O recoaît ue série géométrique dérivée de paramètre, avec < doc elle coverge absolumet De plus O fait apparaître des séries géométriques dérivées secode, première et o dérivée : [ ] O recoaît des séries géométriques dérivées secode et première et ue série géométrique de même paramètre, avec < doc elle coverge absolumet De plus O fait apparaître des séries expoetielles : + [ ] + +!! ! +! +! O simplie les factorielles, mais das la première somme, cela doe!, qui 'existe que si Il faut doc traiter à part le terme pour : !!! +!

3 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques O eectue, pour remettre la factorielle correctemet, les chagemets d'idice das la première somme, et das la deuxième somme, et o fait esuite partir les séries de 0 : +! p p 0 0 p! + p! + 0 0! +! + 0 0! 0!! O recoaît trois séries expoetielles, qui coverget absolumet De plus : +! e + e + e 5e 8 Comme o e recoaît aucue série usuelle, sas autre idicatio questios précédete de l'éocé qui a trasformé le terme gééral ou carrémet fait calculer la somme, par exemple par récurrece, o doit toujours essayer de télescoper : il faut doc faire apparaître le terme gééral sous la forme v + v ou bie v v : l O e déduit par télescopage que : l doc la série diverge l [ ] l l l l l 9 De même qu'à la questio précédete, comme o e recoaît aucue série usuelle, o cherche à télescoper : l [ ] + l + l [ ] l + l l + l l + l l + l l l + [ ] l l + O recoaît u télescopage, o e déduit que : l + l l + doc la série coverge et : l lp + p l + l l + l 0 Avec les factorielles, o pese à la série expoetielle? Essayos e explicitat le coeciet biomial avec des factorielles : l 7!!!!! 7! 7! 7!! Pour faire apparaître ue série expoetielle, il faut faire apparaître! : o pose pour cela le chagemet d'idice : : 7!! p 0 7 +! 7! p 0!

4 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques O recoaît ue série expoetielle, la série coverge doc absolumet et : 7! 7! 7 e e! Exercice A chaque fois o demade seulemet la ature mais pas la valeur, o va doc utiliser les théorèmes de comparaiso : pour cela o vérie que la série est à termes positifs puis o cherche d'abord u équivalet simple du terme gééral : s'il e permet pas de coclure, o tetera la égligeabilité devat le terme gééral de la série de Riema La série est à termes positifs, o cherche u équivalet de so terme gééral ; il est sous forme factorisée, le umérateur est simple, o s'itéresse au déomiateur : + + avec lim + doc : + et + Les deux séries sot à termes positifs, par théorème de comparaiso elles sot de même ature E la série de terme gééral coverge comme série géométrique de paramètre avec <, doc la série de terme gééral + coverge avec lim doc : et Les deux séries sot à termes de sige costat, par théorème de comparaiso elles sot de même ature E la série de terme gééral diverge comme série de Riema de paramètre / avec, doc la série de terme gééral diverge Le terme gééral est positif à partir d'u certai rag le umérateur l'est toujours, le déomiateur est la somme d'u terme qui ted vers et d'u terme supérieur à doc ted vers, o cherche u équivalet du terme gééral ; il est sous forme factorisée, o s'itéresse au umérateur puis au déomiateur : e + + e avec par quotiet pas de croissaces comparées ici!! e + lim + e doc D'autre part / + / + / avec lim + / : e eet, o sait que doc / / /

5 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques et par ecadremet, la quatité du milieu ted vers 0 O e déduit que / + / puis e + / + / / Les deux séries sot à termes positifs au mois à partir d'u certai rag, par théorème de comparaiso elles sot de même ature E la série de terme gééral diverge comme série de / Riema de paramètre avec, doc la série de terme gééral e + / + diverge Le terme gééral est positif, o cherche u équivalet du terme gééral ; il est sous forme factorisée, o s'itéresse au umérateur puis au déomiateur : + l l + l + par équivalet usuel l + x x, avec 0 0 D'autre part : avec lim + doc + l + + puis / / Les deux séries sot à termes positifs, par théorème de comparaiso elles sot de même ature E la série de terme gééral coverge comme série de Riema de paramètre avec >, doc la série de terme gééral l / + + coverge 5 Remarque : aucu équivalet plus simple 'est possible ici O cherche alors à démotrer la égligeabilité du terme gééral devat / Vérios si e e O pose X, o sait que Aisi, o a bie e e o X lim X e X 0 par croissaces comparées doc lim e 0 Les deux séries sot à termes positifs, et la série de terme gééral coverge comme série de Riema de paramètre, avec >, doc par théorème de comparaiso la série de terme gééral e coverge 6 Le terme gééral 'est pas de sige costat : o va alors devoir e predre la valeur absolue pour avoir u terme gééral positif, et chercher la covergece absolue : si o obtiet la covergece absolue, o pourra coclure à la covergece Par cotre si o e l'obtiet pas, o e saura rie sur la covergece simple La valeur absolue du terme gééral est : l e l e Il 'y a pas de meilleur équivalet à obteir : o a ue forme factorisée, et chaque facteur est sous forme totalemet simpliée aucue somme Comme le terme gééral e permet pas de coclure avec les séries usuelles, o compare au terme gééral d'ue série de Riema covergece : : l e 6 l e 0 5

6 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques par croissaces comparées, doc l e o Les deux séries sot à termes positifs, et la série de terme gééral coverge comme série de Riema de paramètre, avec >, doc par théorème de comparaiso la série de terme gééral l e coverge O e déduit que la série de terme gééral l e coverge absolumet, doc coverge 7 Cette série est à termes positifs, et o de peut pas trouver d'équivalet plus simple : o attaque avec la égligeabilité devat : l l / et cela e marche pas Mais comme o a au déomiateur u /, o va essayer de comparer à / / : l l 0 / doc o obtiet bie : l o / Les deux séries sot à termes positifs, et la série de terme gééral coverge comme série de / Riema de paramètre /, avec / >, doc par théorème de comparaiso la série de terme gééral l coverge Exercice Etudios la foctio f déie sur [0, ] par fx x x : f est polyômaile doc dérivable et f x x d'où le tableau de variatios suivat : x f x fx Aisi, f]0; [ ]0; ] ]0; [ : o dit que l'itervalle ]0; [ est stable par f Nous allos aisi pouvoir prouver par récurrece que tous les termes de la suite u restet das l'itervalle ]0; [ : Motros doc par récurrece sur que pour tout N, 0 < u < : Iitialisatio : pour 0, d'après l'éocé 0 < u 0 < doc la la propriété est vraie au rag 0 Hérédité : supposos qu'il existe N xé tel que 0 < u <, alors : u + fu f]0; [ ]0; [ car ]0; [ est stable par f et la propriété est vraie au rag + Coclusio : pour tout N, 0 < u < 6

7 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Etudios à préset les variatios de u : comme u 0 'est pas ue valeur coue, o cherche le sige de u + u par u calcul explicite sio o aurait prouvé par récurrece l'iégalité u + < u ou bie u + > u : u + u u u u u < 0 doc la suite u est décroissate E u est décroissate et miorée par 0 doc coverge vers ue limite l E passat à la limite das l'égalité de récurrece, o a : l l l l 0 l 0 doc la suite u coverge et sa limite est 0 O cherche la covergece et la valeur doc o reviet à la somme partielle Comme o e recoaît pas de série usuelle o 'a même pas l'expressio de u!, o doit la calculer, soit par télescopage, soit à l'aide d'ue idicatio de l'éocé ou, ici, les deux E eet l'éocé doe u + u u, o peut doc isoler u das cette égalité : ce qui doe : u 0 u u u + u u + u 0 u p+ u 0 0 u 0 0 doc la série de terme gééral u coverge, et sa somme est 0 u u 0 Exercice O doit prouver que l'ue est croissate, l'autre décroissate, et que leur diérece ted vers 0 : Etudios les variatios de v p : v p+ v p S p+ S p p+ + + p+ p+ + p+ p + doc la suite v p est croissate Etudios les variatios de w p : + p+ p + p + p + p + p + p + p + p + p + > 0 w p+ w p S p++ S p+ p+ + p+ + p+ p+ + p+ p + p + p + < 0 doc la suite w p est décroissate + p+ p + p + + p + + p + p + p + p + 7

8 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques E étudios la limite de leur diérece : w p v p p+ + + p+ p + p + 0 p O e déduit bie que les suites v p et w p sot adjacetes O e déduit que les suites S p et S p+ coverget vers la même limite, et repreet tous les termes de la suite S p d'u côté les termes pairs, de l'autre les termes impairs : la suite S p est doc covergete vers cette limite commue E puisque la suite S des suites partielles de cette série coverge, la série de terme gééral + coverge Dire que cette série coverge absolumet sigie que la série de terme gééral + coverge : ce 'est pas le cas puisqu'o recoaît ue série de Riema divergete, doc la série de terme gééral + coverge, mais e coverge pas absolumet Exercice 5 La suite u est récurrete : o prouve les iégalités par récurrece Motros doc par récurrece sur que pour tout N, u > 0 : Iitialisatio : pour 0, d'après l'éocé u 0 > 0 doc la la propriété est vraie au rag 0 Hérédité : supposos qu'il existe N xé tel que u > 0, alors : u + u e u > 0 comme produit de deux facteurs strictemet positifs, et la propriété est vraie au rag + Coclusio : pour tout N, u > 0 Comme u 0 'est pas ue valeur coue, o étudie le sige de u + u par calcul direct : u + u u e u u Etudios le sige de la foctios gx xe x x xe x sur R + : O sait que x > 0 doc x < 0 doc e x < d'où e x < 0 ; doc par produit, gx < 0 Aisi, N, u + u gu < 0 car u > 0 d'après et la suite u est décroissate De plus elle est miorée par 0 doc elle coverge vers ue limite l E passat à la limite das l'égalité de récurrece, o a : l le x le l l 0 le l 0 l 0 ou e l l 0 Pour calculer cette somme, il faut faire apparaître u télescopage, pas du tout évidet ; O va alors se servir du résultat à trouver : o remarque que c'est le résultat du télescopage v 0 v + v v + 0 8

9 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques et o essaie alors de calculer : v v + lu lu + lu lu e u lu lu le u u u et o peut doc coclure que : u 0 v v + v 0 v + 0 Remarque : o aurait aussi pu, dès le départ, composer par l la relatio de récurrece pour faire apparaître v et obteir : lu + lu u doc v + v u qui permet de trouver sas diculté le télescopage O pred la limite : v 0 lu 0 est ue costate réelle, et la limite de v + lu + déped de la limite de u : O a vu que u coverge et comme elle vérie u + fu avec fx xe x ue foctio cotiue, sa limite est u poit xe de f, doc ue solutio de l'équatio : xe x x xe x 0 x 0 ou [e x 0 e x x l 0 x 0] O e déduit que u a pour limite 0, puis par composée v lu a pour limite, tout comme v + E par somme : 0 u v 0 v + et la série de terme gééral u est doc divergete vers Exercice 6 Pour obteir la covergece sas la valeur o utilise les théorèmes de comparaiso La série est à termes positifs, o cherche u équivalet du terme gééral : celui-ci est sous forme factorisée, o s'itéresse aux facteurs + et +, les deux autres état sous forme la plus simple possible : avec + + lim + lim + doc : et + + +, + et e + + Les deux séries sot à termes positifs, par théorème de comparaiso elles ot la même ature Or la série de terme gééral coverge comme série de Riema avec > 0, doc la série de terme gééral ++ coverge O met au même déomiateur pour idetier : a + b + + c + a b + + c a b + + c a + b + c + a + b + c + a + + 9

10 Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques O idetie : a a + b + c 0 a + b + c 0 a c b a b + b b 0 a b c D'où o obtiet : Pour tout p, S p p p+ + p+ + p + + p + + [ + ] p + + p p p + + p + + p + p + + p + O a déjà calculé la somme partielle, il reste à predre sa limite : doc la série coverge et S p p + + p + p ++ 0

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Suites et séries numériques

Suites et séries numériques Maths MP Cours Table des matières Suites et séries umériques Quelques prélimiaires. Les yeux fermés........................................... De quoi parle-t-o?........................................3

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal chapitre VIII eercices et problèmes de sythèse algorithmique et turbo-pascal Algèbre liéaire et probabilités : Chaîes de Marov (esco 93) Partie A 4 3 O cosidère la matrice M = 8 6 ) a) Détermier les valeurs

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ECOLE DE HUTES ETUDES COMMERCILES DU NORD Cocors d'admissio sr classes préparatoires MTHEMTIQUES Optio scietifiqe Mardi 9 mai 6 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qalité de la rédactio,

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Cryptographie et algorithmique

Cryptographie et algorithmique F.Gaudo 1 er ovembre 2010 Table des matières 1 Avat de commecer 2 2 Préformattage d'u texte pour aalyse 3 2.1 Élimiatio de la poctuatio et des espaces das u texte................. 3 2.2 Formatage du texte

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé :

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé : http://maths-scieces.fr OPÉRATIONS FINANIÈRES A INTÉRÊTS OMPOSÉS I) Itérêts et valeur acquise Défiitio U capital est placé à itérêts composés lorsque le motat des itérêts produits à la fi de chaque période

Plus en détail

PRÉPAS TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP 100% Pour assimiler le programme, s entraîner et réussir son concours

PRÉPAS TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP 100% Pour assimiler le programme, s entraîner et réussir son concours % PRÉPAS EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALD TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP Pour assimiler le programme, s etraîer et réussir so

Plus en détail

Solutions particulières d une équation différentielle...

Solutions particulières d une équation différentielle... Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes

Plus en détail

Chapitre 1: Récursivité

Chapitre 1: Récursivité Chapitre 1: Récursivité 1 Rappel : la otio de foctio Cette sectio est u bref rappel de la otio de foctio e iformatique, et so utilisatio e Pytho 11 Défiitio E iformatique, ue foctio est ue routie qui retoure

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

20. Algorithmique & Mathématiques

20. Algorithmique & Mathématiques L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

Chapitre 16 : Espaces vectoriels

Chapitre 16 : Espaces vectoriels PCSI Préparatio des Khôlles -4 Chapitre 6 : Espaces vectoriels Exercice type Soit E=R[X] et F ={P E, P(X)=XP (X)+P()}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. : O a bie F E. Si P =est le polyôme

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

Introduction : Mesures et espaces de probabilités

Introduction : Mesures et espaces de probabilités Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

REQUÊTES. Il est possible de créer des formulaires ou des états à partir de requête.

REQUÊTES. Il est possible de créer des formulaires ou des états à partir de requête. Cliclasolutio Aée 2006/2007 REQUÊTES Utilité des requêtes QUESTIONNER LA BASE DE DONNÉES La foctio classique d'ue requête est de répodre à ue questio sur la base de doées. "Quels sot les cliets habitat

Plus en détail

Probabilités exercices corrigés

Probabilités exercices corrigés Termiale S Probabilités Exercices corrigés Combiatoire avec démostratio Ragemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets 6 Dés pipés 7 Pièces d or 8 Agriculteur pas écolo 9 Boules Jeux 6

Plus en détail

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces

Plus en détail

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état Approximatio de la solutio d ue équatio différetielle ordiaire avec impulsios qui dépedet de l état F. Dubeau A. Ouasafi A. Sakat CRM-276 Jauary 21 Départemet de mathématiques et d iformatique, Uiversité

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire SPECIALITE TS ( PHYSIQUE ) : FICHE CURS 6 1/5 MDES PRPRES DE IBRATI Ce qu'il faut reteir Modes propres de vibratio ; iterprétatio odulatoire 1. Productio d u so à l aide d u istrumet de musique U istrumet

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquece 9 Itervalles de fluctuatio, estimatio Objectifs de la séquece Das le chapitre 2, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires X F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales

Plus en détail

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe 1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios

Plus en détail

1. ) Le filtrage. 2. 2. ) La récursivité. 4. 3. ) Types de données abstrait. 10 4. ) Les piles. 10 5. ) Résolution d équations. 12

1. ) Le filtrage. 2. 2. ) La récursivité. 4. 3. ) Types de données abstrait. 10 4. ) Les piles. 10 5. ) Résolution d équations. 12 1. ) Le filtrage. 1.1. ) Les filtres gardés. 3. ) La récursivité. 4.1. ) Notio de récursivité. 4.. ) La costructio "let rec". 5.3. ) Termiaiso. 6.4. ) Déboguage. 6.5. ) Récursivité croisée ou récursivité

Plus en détail

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation 1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus

Plus en détail

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4 UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»

Plus en détail

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire

Intérêt simple CHAPITRE. Sommaire HAPTRE térêt simple Sommaire A B D E F G H J K L Notio d itérêt Formule fodametale de l itérêt simple Durée de placemet exprimée e mois Durée de placemet exprimée e jours alculs sur la formule fodametale

Plus en détail

Chapitre 1: Calcul des intérêts

Chapitre 1: Calcul des intérêts Chapitre 1: Calcul des itérêts Ce chapitre vise à familiariser le lecteur avec les otios suivates : Itérêt Taux d itérêt omial Taux d itérêt périodique Valeur acquise Valeur actuelle Capitalisatio Le lecteur

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

Ressources pour le lycée général et technologique

Ressources pour le lycée général et technologique éduscol Ressources pour le lycée gééral et techologique Ressources pour la classe termiale géérale et techologique Probabilités et statistique Ces documets peuvet être utilisés et modifiés libremet das

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009 Bcclurét S Nouvelle - Clédoie Mrs 009 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml direct ( O, u, v) d uité grphique cm O cosidère les poits et B d ffixes respectives

Plus en détail

Document ressource. Les états de surface

Document ressource. Les états de surface Lycée Vaucaso Tours Documet ressource Les états de surface PTSI Objectifs : Coaître les élémets caractéristiques d u état de surface, savoir lire les spécificatios ormalisées associées et coaître les moyes

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

Questions Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1

Questions Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1 Questios Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1 Expliquer la otio de variable et défiir les différets types de variables Décrire les échelles de classificatio et trasformer les doées pour passer

Plus en détail

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das

Plus en détail

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire 13 Chapitre Chapitre 13 Statistiques et probabilités Les statistiques et les probabilités occupet ue place importate das l eseigemet de certaies classes préparatoires Les pricipales foctios écessaires

Plus en détail

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D PRÉPARATION À L AGRÉGATION EXTERNE DE MATHÉMATIQUES DE L UNIVERSITÉ RENNES 1 1 ANNÉE 2009/2010 1. ESPACE PROBABILISÉ - VARIABLE ALÉATOIRE 1.1 ESPACE PROBABILISÉ

Plus en détail

CHAPITRE 22. Machines à sous

CHAPITRE 22. Machines à sous CHAPITRE 22 Machies à sous 22. Corrigé possible du texte 22.. Eocé du problème et défiitio du modèle statistique associé O étudie ici u modèle statistique avec observatios icomplètes : o dispose d observatios

Plus en détail

Chapitre 1 Calculs algébriques dans... 3. Chapitre 2 Logique... 27. Chapitre 3 Fonctions numériques... 41. Chapitre 4 Calcul intégral...

Chapitre 1 Calculs algébriques dans... 3. Chapitre 2 Logique... 27. Chapitre 3 Fonctions numériques... 41. Chapitre 4 Calcul intégral... Avt-propos Cet ouvrge est coçu pour permettre u étudits des clsses préprtoires ECE d order leur première ée ds les meilleures coditios e fcilitt l trsitio vec l eseigemet secodire Aisi, l ojectif est i

Plus en détail

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 1 I. Itroductio Les différets modèles mathématiques costruits pour étudier les phéomèes où iterviet le

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles BTS Mécaique et Automatismes Idustriels Statistiques iféretielles, Aée scolaire 2005 2006 Statistiques iféretielles 1. Itroductio vocabulaire Pour étudier ue populatio statistique, o a recours à deux méthodes

Plus en détail

Exercices de mathématiques

Exercices de mathématiques MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris

Plus en détail

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4 1 Déombremet Table des matières 1 Déombrer des listes 2 1.1 Permutatio................................ 2 1.2 Arragemet............................... 3 1.3 -liste.................................... 4

Plus en détail

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester

Plus en détail

HEC. Gilles Mauffrey. METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmation linéaire, programmation dynamique, simulation, statistique élémentaire

HEC. Gilles Mauffrey. METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmation linéaire, programmation dynamique, simulation, statistique élémentaire HEC Gilles Mauffrey METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmatio liéaire, programmatio dyamique, simulatio, statistique élémetaire La Modélisatio LA MODELISATION Modèle et typologie des modèles. La otio

Plus en détail

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1 Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques

Plus en détail