Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6

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1 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page sur 6 Exercce : ) Calculer, et ) E dédure, et ) Détermer les eters pour lesquels est a) u réel, b) est u magare pur, c) égal à Exercce : Ecrre sous forme algébrque chacu des ombres complexes suvats : ( ) ( ) ( 5 )( 7 ) ( )( ) ( 5 ) z = + + z = + z = + z = + Exercce : Calculer ( + ) E dédure que ( ) + est réel Exercce : Ecrre sous forme algébrque chacu des ombres complexes suvats : 8 5 z = z = + z = z = + z5 = Exercce 5 : Pour quelles valeurs du paramètre réel λ, le ombre complexe z= ( λ+ ) ( λ+ 5 ( λ 7) ) est l u magare pur? Exercce 6 : Quelles codtos dovet vérfer les réels a et b pour que le ombre complexe z= a b a+ b a a+ b sot u ombre réel? ( ( ))( ( )) Exercce 7 : Résoudre das!, les équatos suvates : z ( a) z = z + ( b) ( z )( z + + ) = ( c) z ( z + ) = z ( d ) = z + Exercce 8 : Résoudre das!, les systèmes suvats : z+ z = 7 z z = z+ z = z+ z = 7 Exercce 9 : Résoudre das!, chacue des équatos suvates : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a z z+ 5= b z + z+ 6= c 9z 6z+ 7= d z + z+ = Exercce : ) Résoudre l équato ( E) z + z+ = O ote j la soluto de (E) dot la parte magare est postve ) Motrer que j = j = et que j = j

2 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page sur 6 ) Doer les valeurs de j suvat les valeurs de l eter aturel Exercce : O cosdère l équato ( E) z z + z = ) Trouver ue soluto etère de (E) z z + z = z az + bz+ c ) Motrer qu l exste des réels a, b et c tels que ( )( ) ) Résoudre alors l équato (E) das! Exercce : chaque pot M d affxe z du pla complexe, o assoce le pot M d affxe z' = ( z )( + z) Détermer l esemble des pots M pour lesquels M appartet à l axe magare Exercce : chaque pot M d affxe z du pla complexe, o assoce le pot M d affxe z' = ( z )( z ) Détermer l esemble des pots M pour lesquels M appartet à l axe magare Exercce Soet, B, C et D les pots d affxes respectves z = 5+, z = 8+, z = et z D = Démotrer que BCD est u parallélogramme : a) e comparat les affxes de deux vecteurs b) e comparat les affxes de deux mleux Exercce 5 Soet, B et C les pots d affxes respectves Démotrer que les pots, B, C sot algés B z = +, z = + et z = 5 B C C Exercce 6 : Détermer les modules des ombres complexes suvats : z = + z = z = 6 z = 5+ ( 6 )( 5 ) + z5 = z z6 = z7 = + Exercce 7 : ) Détermer géométrquemet l esemble des pots M d affxe z du pla complexe vérfat : a) z = z b) z+ = ) Doer, das chaque cas, ue équato cartésee de l esemble trouvé Exercce 8 : chaque pot M d affxe z du pla complexe, o assoce le pot M d affxe ) O ote le pot d affxe et B celu d affxe Iterpréter géométrquemet le module de z ' ) Détermer géométrquemet l esemble des pots M tels que z ' = Doer ue équato cartésee de cet esemble z + z ' = + z

3 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page sur 6 Exercce 9 : BC Podchéry Le pla est rapporté au repère orthoormal( O, u,! v! ) O predra ue uté graphque de cm O déft l applcato f qu à tout pot M d affxe z du pla assoce le pot M d affxe z avec ) O cosdère les pots, B, C d'affxes respectves z = +, z B = et z C = Détermer les affxes des pots ', B ', C ' mages respectves de, B, C par f Placer les pots, B, C, ', B ', C ' das le repère ) O pose z = x+ y (avec x et y réels) Détermer la parte réelle et la parte magare de z ' e focto de x et y ) Motrer que l'esemble des pots M varats par f est la drote (D) d'équato Tracer (D) Quelle remarque peut-o fare? ) Sot M u pot quelcoque du pla et M ' so mage par f Motrer que M ' appartet à la drote (D) z' z z z z z 5) a) Motrer que, z, o a = + + E dédure que le ombre z 6 b) E dédure que, s M' M, les drotes (O) et (MM ') sot parallèles 6) U pot quelcoque N état doé, commet costrure so mage N '? O pourra étuder deux cas, suvat que N appartet ou o à (D) Effectuer la costructo sur la fgure y = x z' z est réel z ( ) + z+ 5 z z ' = 6 Exercce : (Extrat du BC tlles Ju ) Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal drect O,! u,! v ( ) L uté graphque est cm O ote le ombre complexe de module et d argumet π O appelle J le pot d affxe ) O cosdère les pots, B, C, H d affxes respectves a=, b= +, c= et h= Placer ces pots sur ue fgure qu sera complétée au fur et à mesure de l exercce ) Motrer que J est le cetre du cercle crcoscrt au tragle BC Précser le rayo du cercle ) Das la sute de l exercce, o admet que H est l orthocetre du tragle BC Placer H sur la fgure ) O ote G le cetre de gravté du tragle BC Détermer l affxe g du pot G Placer G sur la fgure 5) Motrer que le cetre de gravté, le cetre du cercle crcoscrt et l orthocetre du tragle BC sot algés oter L orthocetre d u tragle est le pot de cocours des hauteurs du tragle Le cetre de gravté d u tragle est le pots de cocours des médaes du tragle Il est stué au ters féreur de chacue d elle

4 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page sur 6 Exercce : BC mérque du ord 6 Das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal drect ( O, u,! v! ) (uté graphque cm), o cosdère les pots, B et C d'affxes respectves z =, z = + et z = B C Parte ) Doer la forme trgoométrque de z pus z Placer les pots, B et C ) Détermer la ature du quadrlatère OBC ) Détermer et costrure l'esemble D des pots M du pla tels que z = z Parte B tout pot M d'affxe z tel que z z, o assoce le pot M ' d'affxe z déf par ) Détermer l mage du pot B ) Détermer les pots fxes de l applcato ) a) ROC avec e pré requs : le module d'u ombre complexe z vérfe Démotrer que z, z, z z = z z et z, = z z b) Démotrer que pour tout ombre complexe z dstct de, B z z z ' = z = z z z ' = z c) O suppose das cette questo que M est u pot quelcoque de D, où D est l'esemble déf à la questo ) de la parte Démotrer que le pot M ' assocé à M appartet à u cercle Γ dot o précsera le cetre et le rayo Tracer Γ Exercce : O cosdère le pla complexe ( O, u,! v! ) Par lecture graphque, détermer u argumet de chacue des affxes des pots, B, C, D et E Exercce : Détermer le module et u argumet de chacu des ombres complexes suvats : z = + z = z = z = 6 z = 5 Exercce : Ecrre les ombres suvats sous forme expoetelle : z =, z =, z =, z = Exercce 5 : Ecrre les ombres suvats sous forme algébrque : e e e π e π π π = = = = z z z z Exercce 6 : Ecrre sous forme expoetelle les ombres complexes z = + et z = Ecrre esute la forme expoetelle du produt zz

5 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page 5 sur 6 Exercce 7 : Ecrre les ombres suvats sous forme expoetelle : π π s cos ( ) + z = + z = z = π π cos + s Exercce 8 : O cosdère les ombres complexes z = 6 et z = z ) Ecrre sous forme algébrque le quotet z z ) Ecrre sous forme expoetelle z, z et z π π ) E dédure les valeurs exactes de cos et s Exercce 9 : mérque du sud Novembre 7 Le pla complexe est mu d'u repère orthoormal drect ( O, u,! v! ) Sot f l applcato qu à tout pot M du pla d affxe o ulle assoce le pot M d affxe ) Sot E le pot du pla d affxe ze = Détermer le pot d affxe E, mage de E par f ) Détermer l esemble des pots M tels que M = M ) O ote et B les pots d affxes respectves et Sot M u pot dstct des pots O, et B z' = z+ z a) Motrer que, pour tout ombre complexe z dfféret de, et, o a : M ' B MB b) Doer ue expresso de e focto de M ' M!!!!" c) Doer ue expresso de l agle oreté M '!!!! ", BM ' d) Sot Δ la médatrce du segmet [B] ( ) e focto de (! M!!!",! BM!!! " ) z' + z+ = z' z Motrer que s M est u pot de Δ dstct de O, alors M est auss u pot de Δ

6 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page 6 sur 6 Exercce : Le pla complexe est mu d'u repère orthoormal drect ( O, u,! v! ) O predra pour uté graphque 5 cm + O pose z = et, pour tout eter aturel, z+ = z ) O ote le pot du pla d'affxe z Calculer z, z, z, z et vérfer que z est u ombre réel Placer les pots,,,, sur ue fgure )!, o pose u = z Etablr que!, u = ) partr de quel rag tous les pots apparteet-ls au dsque de cetre O et de rayo,? z+ z ) a) Etablr que, pour tout eter aturel, = E dédure la ature du tragle O + z+ b) Pour tout eter aturel, o ote L la logueur de la lge brsée - O a as : L = Exprmer L e focto de Quelle est la lmte de la sute (L )? Exercce BC tlles Guyae Sept Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal drect ( O, u,! v! ) L uté graphque est cm O ote le ombre complexe de module et d argumet π O complétera le graphque au fur et à mesure sur ue feulle de paper mllmétré O cosdère la focto f qu à tout ombre complexe z assoce ( ) ) Calculer l mage de + f z = z + z+ 9 ) Résoudre das l équato f ( z ) = 5 Mettre les solutos sous forme expoetelle O ote et B les pots dot les affxes sot les deux solutos La parte magare de l affxe de est postve Costrure les pots et B ) Sot λ u ombre réel Détermer l esemble des valeurs de λ pour lesquelles l équato f ( z) deux solutos complexes cojuguées ) Sot ( F ) l esemble des pots du pla complexe dot l affxe z vérfe f ( z) 8 = Prouver que ( F ) est le cercle de cetre Ω d affxe et de rayo Costrure ( F ) 5) Sot z!, z = x + y, x, y " a) Motrer que la forme algébrque de f ( z ) est x y + x+ 9+ ( xy+ y) b) O ote ( E ) l esemble des pots du pla complexe dot l affxe z est telle que f ( ) réel Motrer que ( ) Tracer les deux drotes = λ admet z est u ombre E est la réuo de deux drotes D et D dot o précsera les équatos ) Détermer les pots d tersecto des esembles ( E) et ( F )