( ) n n n. x x x n n n x

Transcription

1 Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg sur 8 I) Présttio Itroductio Itrpoltio d ) Défiitio Téorèm: (voir TD itro d l foctio potill pr suits géométriqus) L'équtio différtill f ' = f vc l coditio iitil f = dmt u uiqu solutio dérivl sur R O l'ppll foctio potill ctt solutio t o l ot p ) Solutio pprocé vc l métod d Eulr O sit qu si f st dérivl, lors o f ( ) f ( ) f '( ) E l ppliqut ici, o otit f ( + ) f ( ) + f ( ) = ( + ) f ( ) Ctt pproimtio st d utt millur qu st ptit ) O prt d t o «vc» pr ps d Pr récurrc, o motr qu pour tout tir, o : ( + ) ( + ) f f ) O ot lors u ( ), l suit ( ) f ( ) C st u suit géométriqu d riso + c) O s plc mitt ds l cs où =, c'st-à-dir qu l o prt du poit ( ;) pour costruir l cour O «vc» toujours pr ps d Pour =, o f + f ( ) = + = + = + dot ls cours «covrgt» qud td vrs l ifii vrs l cour d l foctio f solutio d l équtio différtill ' = t = d) O otit isi u fmill d foctios polôms f Rmrqu : Ctt fmill st u o pproimtio + Mis, il toujours u rc proliqu vrs l ut ou vrs l s suivt l prité d Cs polôms s ult tous u fois Touts ls cours préstt u smétri (il ou ctrl)!!!! ) E prticulir lim f ( ) + = = + Vlurs pprocés d : 5 f(),5,4883,59374,7484,7694,784593,78684 L clcultric do comm pproimtio : 78888

2 Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg sur 8 3) Démostrtio d l istc: (à fir ds l cpitr sur ls suits) Utilistio d du suits djcts issus d l métod d Eulr (ors progrmm mis ds l documt d ccompgmt) Pour tout R, o défiit ls suits ( u ( )) t ( v ( )) = + t = pr u v Lmm : Iéglités d Broulli Pour tout rél Pour tout rél > t pour tout tir, < t pour tout tir, Rppl, pour tout tir, o ) Motros qu l suit ( ) u = = + = + + ( + ) u st croisst à prtir d u crti rg + Pour ds tirs tls qu > lors + st o ul, c qui prmt d fctorisr pr u+ = + = + = + ( ) + ( )( ) Or, pour suffismmt grd, o <, cl découl du fit qu lim = + ( + )( + ) + ( + )( + ) D'près l duièm iéglité d Broulli ppliqué vc X =, + ( + )( + ) o otit qu pour tout ssz grd, = = ( + )( + ) Cl prouv qu l suit ( u ) ) Motros qu l suit + + D'où, u+ + = u + + ( ) Pour tout tir tl qu > lors O déduit qu l suit ( ) c) Motros fi qu l suit ( u v ) st i croisst à prtir d'u crti rg v st décroisst à prtir d u crti rg u st o ul, c qui ous prmt d écrir v v st décroisst à prtir d u crti rg td vrs Pour tout tir tl qu > lors v ( ) st o ul, c qui ous prmt d écrir = u u = v : ( )

3 Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg 3 sur 8 Comm qu >, X <, o put écrir l duièm iéglité d Broulli vc u = v u Pr illurs, il st clir qu = v u u Comm, o otit v v Comm v u v X = t o otit u =, o filmt motré qu v v u v v étt décroisst à prtir d u crti rg, ll st mjoré Notos M u d Efi, l suit ss mjorts, o doc v u M u v td i vrs D près l téorèm ds gdrms, l suit ( ) O doc motré qu ls suits ( u ( )) t ( v ( )) sot djcts à prtir d u crti rg Pr coséqut, cs du suits covrgt vrs l mêm limit Notos f ctt limit commu Nous llos mitt motrr qu ctt foctio st i l solutio du prolèm différtil f ' = f f ( ) = Comm pour tout tir, u ( ) =, il st clir qu f = Motros mitt qu f st dérivl t égl à s dérivé Pour tout tir, >, t tout o ul, o : + u ( + ) = + = + + = u Or, lorsqu st suffismmt grd, o : + > D près l prmièr iéglité d Broulli, o put doc écrir : t u ( + ) u + + E psst à l limit qud td vrs l ifii, o otit : t f ( ) f ( ) f ( + ) f O doc motré qu t f ( ) + + f ( ) f E rmplçt pr t pr +, l iéglité dvit : f ( + ) f ( ) f O doc otu: f f ( + ) E psst à l limit qud td vrs pr vlurs positivs, o otit qu f ( ) f lim = f >

4 Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg 4 sur 8 Si < <, o otit d () t () qu ( ) f f lim 4) Uicité : (C c st u ROC) Prélimiir : ( ) f f f + f t = f L foctio f st doc dérivl t égl à s dérivé Si u foctio st solutio d l équtio différtill ' t ( ) E fft, cosidéros f u tll foctio t posos g = f f ( ) O : g ' f ' f f f ' f f f f O déduit qu l foctio g st costt égl à g f f Filmt, pour tout rél, f f ( ) =, c qui mpêc f d s ulr = = = Démotros mitt l uicité d l solutio : Soit t = = lors ll s ul jmis = = = f g du solutios d l équtio différtill f O pos = g f ' g f g ' f g f g O : ' = = = g g f ( ) O déduit qu l foctio st costt égl à ( ) = = g ( ) O déduit qu f t g sot égls D où l uicité d l solutio 5) Plus géérlmt, solutios d ' = ' = t = Téorèm: U foctio f st solutio d l'équtio différtill ' = ( ) si t sulmt si ll st d l form λ p, où λ R Il st évidt qu f λ p( ) = st solutio d l équtio différtill Réciproqumt, o cosidèr u solutio f d l équtio différtill Comm p s ul jmis, o put cosidérr l foctio g défii pr g f p( ) f p( ) O g ' = = p ( ) L foctio g st doc costt, otos λ ctt costt O doc f λ p( ) f = p( ) =

5 Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg 5 sur 8 II) Propriétés lgériqus ) Propriété fodmtl Téorèm : ( ) f = p( ) ( + ) = Soit f u foctio dérivl sur R tll qu f = Ls ssrtios suivts sot lors équivlts: f u v f u f v pour tous réls u t v Tout foctio trsformt ls somms produit st u potill Démostrtio : Soit u rél qulcoqu O défiit lors ls foctios L foctio L foctio L foctio g pr g = f ( + ) f f ( ) g st dérivl t g ' f '( ) f ' f ( ) f ( ) f f ( ) g g st doc solutio d l équtio différtill g st doc d l form = + = + = λ ' = Comm d plus, g f ( ) f f ( ) f ( ) f ( ) Et doc qu f ( + ) = f f ( ) pour tous réls t ( ) O f ( + ) = f f ( ) pour tous réls t E dérivt pr rpport à d cqu côté, o otit f '( ) f ' f ( ) = = =, o déduit qu g st l foctio ull E prticulir pour =, o f '( ) f '( ) f ( ) E ott = f '( ), o otit l résultt ) L omr, ottio «puissc» Nottio : o ot l omr p( ) Coséqucs, = pour tout p = p( ) = p() p() p() = p() = + p p Pr logi vc ls formuls ds puisscs ( ) O put dir «potill d» ou «puissc» O rtrouv p() = 3) Coséqucs Pour tout,, o : = + = + = = = = ( ) =, o décidé d otr l foctio p =

6 Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg 6 sur 8 III) Etud t rprésttio d l foctio potill ) Sig d pour tout, R = = Comm o vu plus, qu ll s ulit jmis, o put coclur qu pour tout R, > ) Vritios d l foctio potill S dérivé étt égl à strictmt croisst, qui, o vit d l voir, st strictmt positiv, l foctio potill st 3) Limits + t ) Prélimiir Pour tout R, Démostrtio: = = + Etudios l foctio f défii pr f = sur R f ' Comm l foctio potill st croisst, ctt qutité st positiv si L foctio f st doc croisst + Comm f = =, o doc motré qu f st positiv t doc qu sur R Comm >, o évidmmt ussi sur R ) Limit + lim + Démostrtio: Comm = + c) Limit lim = Démostrtio:, l résultt st évidt Comm pour tout R, o ussi E prticulir, si <, t sot positifs t o put pssr u ivrss: Comm >, o l'iéglité < E psst à l limit, o otit lim =

7 Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg 7 sur 8 4) Tlu d vritio O vu précédmmt ls vritios t ls limits O put doc drssr l tlu ds vritios : 5) Cour rprésttiv + + 6) Logritm épéri Pour tout rél strictmt positif k, l'équtio = k dmt u uiqu solutio ds R Ctt solutio st pplé logritm épéri d k, oté l Démostrtio : TVI 7) Autrs limits ) Approimtio ffi u voisig d E utilist l limit du tu d ccroissmts, lim = Au voisig d, +,,,3,4,5,6 -, -, -,3 -,4 -,5 ^,,,3,5,6,8,9,8,7,7,6 +,,,3,4,5,6,9,8,7,6,5 ) Compriso à l foctio idtité lim = + t lim = + ( k ) O vu qu pour tout R Doc pour tout + Et pour tout,, c'st à dir R R 4 + Comm pour tout R, utilist l téorèm ds gdrms, 4 o otit lim lim = O otit l'utr limit post X = BAC Frc métro spt 5 Etud d u foctio fist itrvir l foctio potill

8 Trmil S Cpitr 3 L foctio potill Pg 8 sur 8 IV) Equtio différtill ' + = ) Rppl : résolutio d l équtio ssocié ' = (voir précédmmt) Téorèm: Ls solutios dérivls sur R d l'équtio différtill ' = ( ) sot d l form λ p, où λ R ) Résolutio d l équtio complèt ' = ) Solutio géérl Téorèm: Ls solutios dérivls sur R d l'équtio différtill ' = + sot d l form λ p ( ), où λ R ) L foctio costt g égl à st u solutio d l'équtio différtill ) Soit f u utr solutio d l'équtio différtill = f g = f g = f + ( g + ) = ( f g ) = O défiit lors l foctio pr ' ' ' Mis lors st solutio d l'équtio réduit f ' = f O vu qu l foctio s'écrivit ds c cs = λ Et doc f s'écrit f = + g = λ ) Solutio soumis à coditio Téorèm: ( α ) L'équtio différtill ' = + vc l coditio iitil f = β dmt u uiqu solutio dérivl sur R Ell st d l form λ p ( ), où λ R st à détrmir Livrs «Mts u quotidi» Equtios différtills Ss scod mmr «p 83 Dttio u cro 4» «p 88 Dmiqu d popultio modèl potil d Mltus» Avc scod mmr «p 78 U pplictio qui v vous rfroidir» «p 89 Dmiqu d popultio modèl logistiqu à popultio limité d Vrulst»