Intégration et probabilités ENS Paris, TD 12 Convergence de variables aléatoires Corrigé

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1 Itégratio et probabilités ENS Paris, TD 12 Covergece de variables aléatoires Corrigé Exercice du TD 11 à préparer Exercice 0. Soit (X, 1) ue suite de v.a. i. i.d. de loi expoetielle de paramètre Motrer que limsup X / l() = 1 p.s. 2. O pose Z = max(x 1,...,X )/ l(), motrer que limif Z 1 p.s. 3. Motrer que pour ue suite ( k ) k 0 bie choisie, limsup k Z k 1 p.s. E déduire que lim Z = 1 p.s. 1. Soit a 0, alors pour tout ε > 0 l évèemet {limsupx / l() > a} est imbriqué etre deux limsup d évèemets : lim sup {X (a ε)l()} {limsup X / l() > a} limsup{x > al()}. P[X al()] = 1 a, et les évèemets sot idépedats, doc d après Borel-Catelli e preat des ε apropriés [ ] { X P lim sup 1 si a < 1 l() > a = 0 si a > 1, doc limsup X l() = 1 p.s. 2. Soit ɛ (0,1) et posos A = {Z 1 ɛ}. Motrer que P(A ) coverge. O a P(A ) = P(X i (1 ɛ)l() pour 1 i ) = P(X 1 (1 ɛ)l()) = ( 1 e (1 ɛ)l()) ( = 1 1 ) ( ( = exp 1 ɛ l 1 1 )) ( ) 1 1 ɛ exp 1 ɛ exp( ɛ ). Doc P(A ) coverge. D après le lemme de Borel-Catelli, p.s., pour tout suffisammet grad o a Z 1 ɛ, ce qui coclut. 3. Posos B = {Z 1 + ɛ}. U calcul proche de celui de la questio précédete doe : ( P(B ) = ) 1+ɛ 1 ɛ. Pour des questios, demade de précisios ou explicatios, hésitez pas à m evoyer u mail à igor.kortchemski@es.fr, ou bie à veir me voir au bureau V4. 1

2 La série de terme gééral 1/ ɛ e coverge pas, il faut doc ruser u peu. Fixos η > 0 et posos k = (1 + η) k. Alors k P (B k ) coverge et d après le lemme de Borel-Catelli, p.s., pour tout k suffisammet grad o a Z k 1 + ɛ. O ecadre esuite 1 : (1 + η) k (1 + η) k+1 et o écrit : Z = max(x 1,...,X ) l() max(x 1,...,X k+1 ) l() max(x 1,...,X k+1 ) l( k+1 ) = Z l( k+1 ) l( k ) k+1 k + 1 k. Il s esuit que limsup Z = 1 p.s. Compte teu de la questio 2, il e découle que lim Z = 1 p.s. 0 Petites questios Vrai ou faux? 1. Soiet (X ) 1 ue suite de variables aléatoires réelles et X ue variable aléatoire réelle défiies sur (Ω,A,P). O suppose que X X e loi. Motrer que f (X ) f (X) e loi pour toute foctio cotiue f : R R. 2. Soit (µ ) 0 ue suite de mesures de probabilité et µ ue mesure positive. Alors il y a covergece étroite des µ vers µ si et seulemet si, pour toute foctio f cotiue à support compact, o a la covergece f dµ f dµ. 3. Si la suite de variables aléatoires (X ) 0 coverge e loi vers X, alors E[X ] E[X]. 1. Vrai : si g : R R est cotiue borée, alors g f est cotiue borée et doc E[g(f (X ))] E[g(f (X))]. 2. L implicatio est vraie (elle implique que µ est ue mesure de probabilité, et o coclut par ue propriété du cours), mais la réciproque est fausse (predre µ = δ ). 3. Faux : o pred (Ω,F,P) = ([0,1],B(R),dx) et X (t) la foctio tete telle que X (0) = 0,X (1/) =,X (2/) = 0. Alors X coverge p.s. vers 0 mais E[X ] = 1 E[0]. U autre exemple davatage probabiliste : soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi telles que P(X 1 = 1) = P(X 1 = 1) = 1/2. O ote Z = X 1 + X X et soit T = if 1;Z = 1. O pose fialemet : W = Z mi(,t ). Aisi, (W ) est la marche aléatoire issue de 0 qui fait des sauts ±1 qui reste e 1 ue fois qu elle l a atteit. Il est possible de vérifier que T < p.s. de sorte que (W ) coverge presque sûremet vers 1. Or il est facile de vérifier que pour tout 1, E[W ] = 0, de sorte que E[W ] e coverge pas vers E[1]. Avec le lagage du secod semestre, cela fourit l exemple d ue martigale qui coverge p.s. mais pas das L 1. Quels sot les lies etre ces différetes covergeces : e loi, presque sûre, e probabilité, L 1, L p pour p > 1? - Covergece p.s. implique covergece e probabilité qui implique covergece e loi. - Covergece L p pour p 1 implique covergece e probabilité. 2

3 - Covergece L q implique covergece L p pour q > p. Il est très fortemet recommadé de trouver des cotre-exemples pour les réciproques qui e sot pas vraies e gééral. O a cepedat les réciproques partielles suivates : - Covergece e probabilité implique la possibilité d extraire ue sous-suite qui coverge p.s. - E redéfiissat les variables sur u même espace de probabilité, il est possible de trasformer covergece e loi vers coverge p.s., c est le théorème de représetatio de Skorokhod vu e cours pour les variables réelles (Attetio : c est u résultat très subtil). - Covergece p.s. avec équiitégrabilité implique covergece L 1 (voir Exercice 6). 1 Covergeces e loi Exercice 1. (Lemme de Slutsky) Soiet (X ) 1, (Y ) 1 deux suites de variables aléatoires réelles, et X,Y deux variables aléatoires réelles défiies sur (Ω,A,P), telles que X X e loi et Y Y e loi. 1. O suppose que les variables X et Y sot idépedates pour tout 1 et que les variables X et Y sot idépedates. Motrer que (X,Y ) (X,Y ) e loi. 2. Est-il toujours vrai que (X,Y ) (X,Y ) e loi? 3. Lemme de Slutsky O suppose que Y est costate p.s. Motrer que (X,Y ) (X,Y ) e loi. 1. D après le théorème de Lévy, il suffit de motrer que Φ (X,Y )(t,t ) Φ (X,Y ) (t,t ) pour tout (t,t ) R 2. Et l o a par idépedace, Φ (X,Y )(t,t ) = Φ X (t)φ Y (t ) Φ X (t)φ Y (t ) = Φ (X,Y ) (t,t ). 2. Il est pas vrai e gééral que (X,Y ) (X,Y ) e loi. E effet, cosidéros les variables aléatoires X = Z = Y pour tout 1, avec Z gaussiee cetrée. La variable Z état symétrique, o a X Z e loi. Si (X,Y ) ( Z,Z) e loi, alors X +Y Z+Z e loi (car la foctio (x,y) x+y est cotiue), c est à dire 2Z = 0 e loi, ce qui est pas. 3. Il suffit de motrer que E(F(X,Y )) E(F(X,Y )) pour ue foctio F cotiue à support compact. Soit a R tel que Y = a p.s. O a alors Y a e probabilité (résultat importat à savoir prouver). Et E(F(X,Y )) E(F(X,a)) E(F(X,Y )) E(F(X,a)) + E(F(X,a)) E(F(X,a)). La foctio x R F(x,a) est cotiue et borée doc E(F(X,a)) E(F(X,a)) 0. De plus, la foctio F est uiformémet cotiue. Pour ε > 0, o peut trouver δ tel que F(x,y) F(x,y ) ε pour x x + y y δ. Alors, e otat M u majorat de F, o a E(F(X,Y )) E(F(X,a)) E( F(X,Y ) F(X,a) ) E( F(X,Y ) F(X,a) 1 { Y a δ}) + E( F(X,Y ) F(X,a) 1 { Y a <δ}) 2MP( Y a δ) + ε. Aisi, limsup E(F(X,Y )) E(F(X,a)) ε et ceci état vrai pour tout ε, o e déduit que E(F(X,Y )) E(F(X,a)) 0, puis le résultat. 3

4 Exercice 2. Soit (X, 1) ue suite de variables aléatoires réelles défiies sur (Ω,A,P) idépedates et de même loi µ. O pose M = max(x 1,...,X ). 1. O suppose que µ est la loi uiforme sur [0,1]. Motrer que la suite ((1 M )) 1 coverge e loi quad et expliciter la loi limite. 2. O suppose que µ est la loi de Cauchy stadard c est-à-dire que µ(dx) = (π(1 + x 2 )) 1 dx. Motrer que la suite (M 1 ) 1 coverge e loi et expliciter la loi limite. Rappel : arcta(x) = π 2 1 x + o( 1 x ) quad x Pour tout 1, la variable aléatoire (1 M ) est à valeurs das [0,]. O a doc, pour tout t < 0, P((1 M ) t) = 0. Soit t 0 fixé. Pour tout t, o a ( P((1 M ) t) = P M 1 t ) ( = 1 P M < 1 t ) ( = 1 1 t. ) Doc P((1 M ) t) (1 e t )1 {t 0}, et la foctio t (1 e t )1 {t 0} est la foctio de répartitio de la loi expoetielle de paramètre 1. Aisi, la suite ((1 M )) 1 coverge e loi vers ue variable aléatoire expoetielle de paramètre Soit t 0. O a doc P(M 1 ( ) ( ) P t P 0 = P(M M M 0) = 1 2, t) 0 quad. Soit maiteat t > 0. O a P(M 1 t) = P(M 1 D après ce qui a été fait précédemmet, P(M 1 ( ) P t,m M > 0 t,m > 0) + P(M 1 t,m 0). t,m 0) 0. Et ( = P M ) t = 1 t dx π(1 + x 2 ) = 1 1 ( ( π π 2 + arcta t ( 1 exp t ), π car arcta(x) = π 2 1 x +o( 1 x ) quad x. Aisi, la suite (M 1 ) 1 coverge e loi vers ue variable aléatoire expoetielle de paramètre π 1. )) 2 Covergeces e probabilité Exercice 3. (Problème du collectioeur) Soit (X k,k 1) ue suite de variables aléatoires idépedates uiformémet distribuées sur {1, 2,..., }. Soit T = if{m 1 : {X 1,...,X m } = {1,2,...,}} le premier temps où toutes les valeurs ot été observées. 4

5 1. Soit τ k = if{m 1 : {X 1,...,X m } = k}. Motrer que les variables (τ k τ k 1 ) 2 k sot idépedates, et détermier leurs lois respectives. 2. E déduire que T /(log) 1 e probabilité. 1. O a τ 1 = 1. Soit (t 2,...,t ) (N ) 1. O veut calculer P(τ 2 τ 1 = t 2,...,τ τ 1 = t ). E posat t 1 = 1 o a P(τ2 τ1 = t 2,...,τ τ 1 = t ) 1{ = X t t k = σ(k),x t t k +1 {σ(1),...,σ(k)},..., = σ S P σ S 1 =! = k=1 } X t t k +t k+1 1 {σ(1),...,σ(k)} {X t t = σ()} ( k 1 ( k 1 ) tk 1 ) tk 1 ( )( + 1 k k 1 ) tk 1 Doc les variables aléatoires (τ k τ k 1 ) 2 k sot idépedates, et ot respectivemet pour loi ( )( ) i k k 1 δ i. i 1 Cette loi est la loi de G k + 1 où G k suit la loi géométrique de paramètre (k 1)/. 2. O a T = τ 1 + (τ k τ k 1 ) et doc où H est la série harmoique et Doc pour tout ε > 0, Var(T ) = E(T ) = 1 + Var(τ k τ k 1 ) = + 1 k = 1 + H 1, (k 1)/ (( + 1 k)/) 2 C2. P( T E(T ) εlog()) Var(T ) ε 2 2 log() 2 C ε 2 log() 2. Doc (T E(T ))/(log()) 0 e probabilité. Or E(T ) log() quad. Doc pour tout ε > 0 o a { T log() 2εlog()} { T E(T ) εlog()} pour assez grad. O obtiet aisi le résultat. Exercice 4. 5

6 1. Motrer qu ue suite de variables aléatoires réelles X coverge e probabilité vers ue variable aléatoire X si et seulemet si de toute sous-suite de cette suite o peut extraire ue sous-sous-suite qui coverge ps vers X. 2. Motrer que si ue suite de variables aléatoires réelles X coverge e probabilité vers ue variable aléatoire X et si f : R R est cotiue, alors f (X ) coverge e probabilité vers f (X). 1. L implicatio est claire, car d après u résultat du cours o peut extraire ue sous-suite covergeate p.s. vers X pour toute suite de variables aléatoires covergeat e probabilité vers X. Pour la réciproque, raisoos par l absurde e supposat qu il existe ɛ > 0 et ue extractrice φ telle que P( X φ() X < ɛ) > ɛ pour tout 1. Par hypothèse, il existe ue extractice ψ telle que X φ(ψ()) coverge e probabilité vers X quad. Ceci cotredit le fait que P( X φ(ψ()) X < ɛ) > ɛ pour tout D après la première questio, il suffit de motrer que si φ est ue extractrice, il existe ue extractrice ψ telle que f (X φ(ψ()) ) coverge p.s. vers f (X). D après la première questio, il existe ue extractrice ψ telle que X φ(ψ()) coverge p.s. vers X. La coclusio e découle par cotiuité de f. Exercice 5. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires réelles et X ue v.a. réelles défiies sur (Ω,A,P). O suppose que X X e probabilité sous P. Motrer que si Q est ue mesure de probabilité sur (Ω,A) absolumet cotiue par rapport à P, alors X X e probabilité sous Q. La fao la plus rapide de faire cette exercice est d utiliser ce qu o coait déjà : d après Rado-Nikodym o peut trouver ue foctio f mesurable positive qui vérifie A A, Q(A) = f 1 A dp, et de plus f dp = 1 <, doc f est itégrable. Esuite, par l absolue cotiuité de l itégrale, ε > 0, δ > 0, A A, P(A) < δ Q(A) < ε. Et efi, soit η > 0, pour assez grad P[ X X > η] < δ, doc pour assez grad Q[ X X > η] < ε. 3 Covergeces L p Exercice 6. (Uiforme itégrabilité) Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires réelles sur (Ω,A,P). O dit que la suite (X ) est uiformémet itégrable (ou equiitégraable ou u.i.) si lim sup E[ X 1 { X >M}] = 0. M 1 1. Motrer que si (X ) 1 est domiée par ue v.a. Y itégrable, alors (X ) 1 est u.i. 2. Motrer que si (X ) 1 est u.i. alors mais que la réciproque est fausse. supe[ X ] <, 1 6

7 3. O suppose que (X ) 1 est u.i. Motrer que ε > 0, δ > 0, A A, P(A) < δ supe[ X 1 A ] < ε. 1 Motrer que la réciproque est vraie à coditio de supposer supe[ X ] <. 4. Soit p > 1, motrer que si (X ) 1 est borée das L p (ie supe[ X p ] < ), alors (X ) 1 est u.i. 5. O suppose que X X p.s. (a) O suppose que X X das L 1, motrer que (X ) 1 est u.i. (b) Réciproquemet, o suppose que (X ) 1 est u.i. i. Motrer que X est itégrable. ii. Motrer que la suite (X X) 1 est u.i. iii. E déduire que X X das L 1. Ceci est biesûr rémiscet de l exercice 8 du TD Pour tout, X Y, doc pour tout par covergece domiée. E[ X 1 { X >M}] E[ Y 1 { Y >M} ] 0 2. Si (X ) 1 est u.i. alors lim M sup 1 E[ X 1 { X >M}] = 0, o peut aisi trouver M 0 tel qu o ait sup 1 E[ X 1 { X >M 0 }] = K 0 <. O a alors supe[ X ] K 0 + M 0 <. 1 Pour u cotre-exemple à la réciproque, il suffit de predre des approximatios de la mesure de dirac, ou e terme de v.a. P[X = ] = 1 et P[X = 0] = Soit ε > 0, comme (X ) est u.i., o peut trouver M 1 tel que sup 1 E[ X 1 { X >M 1 }] < ε/2. Esuite, si A A, E[ X 1 A ] = E[ X 1 A { X >M 1 }] + E[ X 1 A { X M 1 }] ε 2 + M 1P(A). Doc avec δ = 2M ε o a le résultat souhaité. Pour la réciproque, si M > supe[ X ] 1 δ, alors par l iégalité Markov P[X > M] < δ et par l hypothèse E[ X 1 { X >M}] < ε 1 M > supe[ X ]. δ 4. O suppose que sup X p <, et o va essayer d appliquer le critère précédet. Par Hölder ou Jese E[ X ] X p, doc la première hypothèse est vérifiée. Maiteat par Hölder : E[ X 1 A ] X p P(A) 1/q, ( ) q ε avec q < puisqu o a pris p > 1, et avec δ = sup X o a la relatio voulue. p 5. O suppose que X X p.s. 7

8 (a) O suppose que X X das L 1, o va à ouveau utiliser le critère de la questio 3. Comme E[ X ] E[ X ], la suite est borée et o a la première hypothèse. Preos ε > 0, et soit N > 0 tq > N, E[ X X ] < ε/2. O peut trouver δ 1 et δ 2 tels que P(A) < δ 1 max 1 i N E[ X i 1 A ] < ε, P(A) < δ 2 E[ X 1 A ] < ε 2. Esuite si > N, o a E[ X 1 A ] E[ X X ] + E[ X 1 A ] ε. (b) Réciproquemet, o suppose que (X ) 1 est u.i. i. Par Fatou, E[ X ] limife[ X ] supe[ X ] < ii. O utilise à ouveau le critère de la questio 3., mais je ai pas evie de le faire ue troisième fois. iii. Soit ε > 0 et M 2 > 0 tel que sup 1 E[ X X 1 { X X >M 2 }] < ε. La suite de v.a. X X 1 { X X M 2 } coverge vers 0 p.s. et est domiée par M 2, doc par covergece domiée E[ X X ] = E[ X X 1 { X X >M 2 }] + E[ X X 1 { X X M 2 }] ε + o(1), ce qui achève la démostratio. 3 À faire pedat les vacaces 1. Mager beaucoup de magret de caard. 2. Pour préparer l exame, réviser le cours et ce qui a été fait e TD. Chercher des exercices exames des aées précédets (les éocés sot dispoibles sur le site d eseigemet du DMA partie Archives pédagogiques, puis Aales d exames). 4 Complémets (hors TD) Exercice Soit m ue mesure de probabilité sur (R,B(R)). Pour tout 1, o défiit ue mesure de probabilité m sur (R,B(R)) par : m = m([k/,(k + 1)/[)δ k/. k Z Motrer que (m, 1) coverge étroitemet vers m. 2. E déduire que si (X ) 1 est ue suite de variables aléatoires, chaque X état de loi géométrique de paramètre e 1/, alors la suite (X /) 1 coverge e loi vers ue variable aléatoire expoetielle de paramètre 1. 8

9 1. Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur u espace (Ω,A,P) de loi m. Alors o voit que pour tout 1, la variable aléatoire Y = X / ( x désige la partie etière de x) suit la loi m. Et Y X p.s. Doc Y X e loi, ce qui sigifie que m m étroitemet. 2. O pose m(dx) = e x 1 {x>0} dx. Alors o vérifie que pour tout 1, m est la loi de la variable aléatoire X /. E effet, (k+1)/ P(X = k) = e k/ e (k+1)/ = e x dx = m ({k/}). k/ Exercice 8. Soiet (X ) 1 ue suite de variables aléatoires costates, respectivemet égales p.s. à x R, et X ue variable aléatoire réelle. Motrer que X X e loi si et seulemet si il existe x R tel que X est de loi δ x et x x quad. Si x x et si X est de loi δ x alors pour toute foctio cotiue g : R R o a E(g(X )) = g(x ) g(x) = E(g(X)), ce qui sigifie que X X e loi. Si X X e loi alors F X (t) F X (t) pour tout t D où D est l esemble des poits de cotiuité de F (D est dese car le complémetaire d u esemble déombrable). Pour tout t R, o a F X (t) {0,1} et doc F X (t) {0,1} pour tout t D. Comme F X est croissate, il existe x R tel que X est de loi δ x. Soit O u ouvert coteat x. Alors lim if P(X O) P(X O) = 1. Aisi limif P(X O) = 1 ce qui sigifie que x O à partir d u certai rag. O a doc bie x x quad. Exercice 9. Soit (Ω,F,P) u espace probabilisé. O suppose que Ω est déombrable et que la tribu F est P (Ω). Motrer que les covergeces presque-sûr et e probabilité sot équivaletes sur cet espace (pour des variables aléatoires à valeur das u espace métrique (E,d)). O éumère Ω = {ω i } i 1. Soit X et (X ) des variables aléatoires défiies sur (Ω,F,P) telles que X (P ) X. Pour motrer que X coverge p.s. vers X, il suffit de motrer que pour tout k > 1 P({ω, lim supd(x (ω),x(ω)) 1/k}) = 0. Soit ω i Ω tel que P({ω i }) > 0. D après la covergece e probabilité de X vers X, o a P({ω,d(X (ω),x(ω)) 1/k}) 0. Aisi, à partir d u certai rag, ω i {ω,d(x (ω),x(ω)) ε}. O e déduit que pour tout ω i de probabilité strictemet positive, limsupd(x (ω i ),X(ω i )) 1/k. La déombrabilité de Ω permet de coclure. 9

10 Exercice 10. ( ) Soit (Y ) 0 ue suite de variables aléatoires réelles suivat respectivemet ue loi gaussiee N(m,σ 2 ) avec m R et σ > 0. Motrer que cette suite coverge e loi vers ue variable réelle Y si et seulemet si les deux suites (m ) 0 et (σ ) 0 coverget vers respectivemet m et σ, et idetifier la loi limite. O rappelle que la foctio caractéristique d ue gaussiee N (m,σ 2 ) de moyee m et de variace σ 2 est Φ m,σ 2(t) = exp(imt σ 2 t 2 /2). La réciproque découle aisi immédiatemet du théorème de Lévy (petite remarque : lorsque σ = 0, la gaussiee N (m,σ 2 ) est par covetio costate égale à m). Pour l implicatio, supposos que Y coverge e loi vers Y. Le théorème de Lévy garatit que exp(im t σ 2 t 2 /2) coverge pour tout réel t lorsque, et doc que exp( σ 2 t 2 /2) coverge (e preat le module). Il s esuit que σ 2 coverge vers σ 2 R { }. Or E[exp(itY )] coverge vers E[exp(itY )] qui est ue foctio cotiue e t, ce qui exclut le cas σ 2 = (car alors E[exp(itY )] 1 t=0 ). Il s esuit que exp(im t) coverge pour tout réel t lorsque. Motros que cela etraîe la covergece de la suite (m ). Si o sait a priori que la suite (m ) est borée, c est facile : si m et m sot deux valeurs d adhérece o a exp(imt) = exp(im t) pour tout t R, ce qui etraîe m = m. Supposos la suite (m ) o borée et motros qu o arrive à ue cotradictio. O extrait ue sous-suite (m k ) qui coverge vers + (o fait le même raisoemet pour ). Alors pour tout A > 0, d après le théorème de Portmateau : P(Y A) limsupp(y k A) 1/2 k puisque pour k suffisammet grad o a P(Y k A) P(Y k m k ) = 1/2. La cotradictio souhaitée arrive e faisat tedre A. Exercice 11. ( ) D où viet le om Théorème de portmateau? Portmateau veut dire grosse valise e aglais. Le Théorème de portmateau a été ommé aisi e raiso des ombreuses équivaleces présetes das so éocé : ce est pas u mot-valise mais u theorème-valise. Fi 10