Caractérisation de la rigidité des assemblages d éléments de meuble par la simulation numérique

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1 Caractérsaton de la rgdté des assemblages d éléments de meuble par la smulaton numérque Par Luc CHEVALIER 1, Heba MAKHLOUF et enoît JACQUET-FAUCILLON 3 Problème classque en géne cvl où les assemblages entre poutres, poutrelles et autres éléments de structures sont réalsées avec des rvets, des boulons, des soudures la détermnaton de la rgdté de la lason, ntermédare entre «l encastrement parfat» et la «rotule lbre» est un problème délcat. Le monde de l ameublement, qu utlse depus mons longtemps les technques numérques pour détermner rgdtés et résstances des meubles, est confronté à une problématque du même tpe. L objet de cet artcle, en deux partes, est de présenter l approche mult-échelle utlsée afn de défnr pus de prendre en compte dans un calcul éléments fns de tpe poutres, l effet du comportement des assemblages entre montants de meubles. La présente parte I, présente la démarche de caractérsaton de la «rgdté» d un assemblage parfat, c est-àdre pour lequel les deux montants sont parfatement soldares l un à l autre comme s ls avaent été collés ou s ls consttuaent un solde unque. C est l occason de fare un pont sur le comportement non sotrope d un matérau courant tel que le bos (épcéa en l occurrence) ans que sur la mse en œuvre de smulaton par éléments fns va pluseurs modèles (poutre, 3D) et enfn de se remémorer les bases de la RDM. La prochane parte II, s attachera à répondre au problème scentfque posé : caractérser l nfluence des composants d assemblage (vs, écrou noé, tourllons ) dans la «rgdté» de l assemblage réel avec prse en compte du serrage de la vs, du contact unlatéral entre les montants. Cette caractérsaton permettra de défnr des éléments fns 0D (ponctuels) pour représenter une joncton entre deux poutres d une modélsaton éléments fns d un meuble. Contexte de l étude et problème posé Etude MSME/FCA en cours : «essas vrtuels pour l ndustre du meuble» Le traval présenté consttue une contrbuton à une collaboraton de recherche entre le laboratore «Modélsaton et Smulaton Mult-Echelle» (MSME UMR 808 CNRS) de l Unversté de Pars-Est Marne-la-Vallée et le pôle «Ameublement» du FCA. Il a été réalsé dans le cadre d un stage étudant à l ESIPE et se poursut actuellement dans le cadre d une thèse. FCA réalse de nombreux essas normalsés sur les meubles produts par l ndustre de l ameublement. Ces essas sont coûteux et ne permettent que a posteror de connaître la capacté des meubles testés à résster aux efforts applqués. Le FCA souhate donc développer une stratége de modélsaton mécanque de ces essas au bénéfce des ndustrels du meuble. Dans l ndustre mécanque, ce tpe de modélsaton repose généralement sur la méthode des éléments fns qu s est développée d abord pour des secteurs dont les enjeux étaent de tpe sécurtare (tel que l aéronautque, l automoble ), à forte valeur ajoutée, ou pour lesquels, les prototpes avec crash tests sont mpossbles ou très onéreux. Le secteur de l ameublement, aux ressources en nvestssement mons mportantes, n a pas ntégré l approche par smulaton numérque auss vte que l automoble, l aéronautque ou le géne cvl mas dot ntégrer des dffcultés lées à l usage de matéraux au comportement non-standard (bos ansotrope, plastque hperélastque, mousses, tssus ). Problématque : décrre le comportement d un assemblage entre deux éléments de façon compatble avec la théore des poutres Dans une structure de tpe «lt superposé» par exemple, les montants, les rambardes, les échelons et même les lattes de lts sont des consttuants très élancés et peuvent être modélsés 1 Luc Chevaler est Professeur à l Unversté Pars-Est Marne-la-Vallée, Drecteur de l école d ngéneurs ESIPE Heba Makhlouf est doctorante au laboratore MSME UMR 808 CNRS à l Unversté Pars-Est Marne-la- Vallée 3 enoît Jacquet-Faucllon est Professeur Agrégé à l Unversté Pars-Est Marne-la-Vallée, l drge la formaton d ngéneurs en Géne Mécanque de l ESIPE 1

2 par des poutres dans un calcul de résstance ou de rgdté. Lorsque ces éléments sont en bos la caractérsaton du comportement est déjà un problème délcat. Le fbrage du bos condut à une ansotrope du comportement ; la présence de nœuds de talle et d orentaton varable dans la planche ndut de l hétérogénété de comportement ; la zone de prélèvement de la planche dans l arbre et son orentaton par rapport aux anneaux du tronc ; l orgne géographque de l arbre sont autant de facteurs qu condusent à de la dsperson et de la varablté de comportement du meuble. Cela peut nécesster une approche probablste dans la smulaton de la résstance des meubles Fgure 1 : Vue du lt haut et modélsaton à base de poutres (sans lattes n échelle) avec déformée sous chargement horzontal au pont 4. Ic les encastrements entre les poutres sont supposés parfats (les angles drots restent drot). Au-delà de la dffculté de caractérsaton du comportement des poutres en elles-mêmes (matérau bos ansotrope), la manère dont les poutres sont assemblées entre-elles possède auss un effet sur la rgdté : dans le cas des lts superposés en épcéa, les assemblages sont réalsés va des tourllons (gouplles en bos) pour la mse en poston et des vs généralement assocées à des écrous métallques ou des nserts dans le montant en bos. La poston des tourllons et des vs, leur nombre, l effort de serrage dans les vs tout rend l assemblage plus ou mons rgde et l étude utlse la smulaton par éléments fns en 3D sur un assemblage tpe pour quantfer cette rgdté et l nfluence des composants tourllon, vs, nsert. Dans un second temps, on souhate auss que cette nformaton pusse être rendue compatble avec une smulaton de tpe «poutre» (vor fgure 1) où chaque montant est représenté par une lgne et où l assemblage est rédut à un pont ntersecton entre les lgnes moennes des poutres qu sont assemblées. Démarche proposée : à partr de calculs 3D, dentfer les termes d une matrce de souplesse [S] entre les déplacements relatfs et les efforts de lasons Pluseurs équpes de recherche ont tenté expérmentalement de caractérser le comportement d un assemblage en solant un «bout» de montant et un bout de garde-corps par exemple, et en réalsant un essa pour le déformer comme on peut vor sur la fgure c-dessous. Cette approche smple est évdemment assez mprécse et vte lmtée car : () la relaton entre θ et δ suppose que le montant est nfnment «rgde» ; () le résultat obtenu est assez sensble au chox de d ce qu rejont le pont () ; () la mse en œuvre pour quantfer l effet d efforts dans le plan horzontal est assez délcate ; (v) tester de manère sstématque la

3 poston des tourllons ou vs, du couple de serrage des vs... s avère assez vte laboreux expérmentalement. Fgure : Représentaton schématque d un test de rgdté réalsé sur un assemblage. L effort F donne un moment M dans l angle qu vaut en d.f (c d 10mm) et le déplacement δ mesuré par le comparateur permet d estmer la rotaton θ à δ/d : les auteurs en déduse que la rgdté en rotaton de l assemblage vaut k θ = M/θ = d F/δ En s appuant sur la smulaton numérque 3D (utlsaton de SoldWorks) nous allons résoudre ce problème et lever les réserves de () à (v). D abord par smulaton numérque, mposer des efforts sur l assemblage dans n mporte quelle drecton est un jeu d enfant : ext la réserve (). De même, à partr du moment où les optons du logcel retenu le permettent, tester l nfluence du nombre et des postons des éléments d assemblage est possble en plotant le modèle CAO par une table de valeurs modfable sous excel : ext réserve (v). En ce qu concerne l nfluence de la dstance d ou de la talle des montants, la soluton consste à s appuer sur le prncpe de superposton (valable seulement s le comportement est lnéare) et de détermner la contrbuton de l assemblage en fasant la dfférence entre la rgdté d un «con parfat» (le montant et le garde-corps seraent parfatement collé ou adhérant dans le modèle) avec la rgdté du «con réel» (c'est-à-dre avec vs, tourllons, contact, serrage ). Dans les deux cas «parfat» ou «réel», les éléments assemblés (montants et garde-corps, sont de même géométre et sont affectés des mêmes caractérstques mécanques. Cette approche est donc ndépendante de la longueur d chose pour les «bouts» de montants. Elle condut à une matrce qu pourrat obtenue être expérmentalement à condton que les éléments d assemblage soent fxés sur des montants nfnment rgdes. Cette procédure lève à la fos la réserve () et la réserve (). Dans cette 1 ère parte nous allons détaller l approche permettant la constructon de la matrce de rgdté de l assemblage «con parfat». Dans la nde parte, publée dans un numéro ultéreur de Technologe, nous présenterons l nfluence des éléments d assemblage (vs, tourllon ) sur la réponse du «con réel» et son mplémentaton dans un code de calcul à base de poutres. Parte I : Etude de la rgdté d un «con» parfat Les dmensons du «con» retenues pour l ensemble de l étude (vor fgure 3). Le montant vertcal est à secton carrée de 57 mm de coté, le garde-corps possède une secton rectangulare 0 mm x 140 mm. Les deux éléments sont en épcéa. 3

4 Fgure 3 : Smulaton éléments fns sous SoldWorks d un assemblage «con parfat» entre deux éléments du lt-haut La longueur des éléments est telle que les lgnes moennes des deux poutres se coupent en O à une hauteur h = 477mm par rapport à l encastrement en A et à une dstance d = 48.5 mm du pont d applcaton des forces en. Dans cette 1 ère parte, les problèmes que nous sommes amenés à résoudre sont élastques auss les valeurs des charges mportent peu pour l évaluaton des rgdtés. Néanmons pour obtenr des déformée réalstes nous chosssons d mposer des efforts X, Y et Z de 1000 N (valeur normalsée des tests de valdaton des meubles) et des moments L, M et N de N.mm (qu correspondent à cet effort multplé par un ½ bras de lever de 1000 mm (le mètre correspond à la dmenson caractérstque des lts). I.A Modélsaton par éléments fns d un assemblage entre un montant et un garde corps La géométre du modèle est conforme à celle présentée à la fgure 3. Le montant est encastré en A (les nœuds de la surface sont fxes) et les chargements correspondant aux cas d'étude seront mposés en va les surfaces. Dans cette parte, nous développerons plus précsément les problématques lées aux données matérelles, au mallage et nous dégagerons les ndcateurs de qualté du modèle (qualté des éléments fns, vérfcaton de la convergence des résultats et estmaton de l'erreur). Caractérsaton du comportement du matérau Le bos est assmlé à un matérau orthotrope pusque ses proprétés mécanques dffèrent selon les tros drectons défnes par rapport au sens des fbres. Par la sute l'axe x (longtudnal) est à assocé à la drecton des fbres et les axes et z, respectvement radal et tangentel, selon les deux autres drectons perpendculares. Fgure 4 : Les tros drectons prncpales relatves aux fbres et aux anneaux de crossance du bos. 4

5 Les dfférences entre les proprétés mécanques entre les drectons radale et tangentelle est fable au regard des dfférences entre l'une ou l'autre de ces drectons avec la drecton longtudnale. Auss nous assmlerons l'épcéa à un matérau sotrope transverse dont les proprétés mécanques sont smétrques par rapport à la drecton des fbres. Un matérau sotrope transverse est caractérsé par cnq constantes ndépendantes E x, E, G x, ν x et ν xz dentfées à partr de l'expresson de la lo de Hooke généralsée suvante où x est l'axe longtudnal des fbres. Avec : E = Ez, Gx = Gxz, G 1 νx νzx Ex E E z νx 1 ν z εxx Ex E Ez σ xx ε z 1 σ ν ν xz ε zz E σ x Ez E z zz = ε z 1 σ z ε zx G σ z zx εx 1 σ x G zx G x z E = (1 + v ) z et ν E x ν x =, x xz E x ν (1) = ν, νx νzx =, νz = νz Le modèle de comportement rensegné dans le logcel est un modèle lnéare élastque orthotrope relatf à un repère de référence dont l'axe x est celu des fbres (l faut évdemment veller à orenter ce repère pour chaque pèce afn d'algner l'axe x avec la drecton voulue pour les fbres). Les valeurs des proprétés mécanques de l'épcéa ont été rensegnées à partr de bases de données ssues de la lttérature et valdées par des essas mécanques de flexon 3 ponts réalsés au laboratore MSME. Grâce à une technque de mesure de champ de déformaton, ces essas permettent d dentfer en même temps, le module élastque longtudnal E x = MPa mas auss le module de csallement G x ou G xz = 450 MPa. (a) Fgure 5 : (a) Proprétés mécanques. (b) Repères permettant d'orenter les drectons des deux pèces du "con" (b) 5

6 Prncpe de la méthode des éléments fns en mécanque Un problème d'analse des soldes déformables peut être résolu s l'on parvent à connaître le champ de déplacement en tout pont du mleu (les champs de déformaton et de contrante sont ensute calculés à partr du champ de déplacement). La complexté de ce champ et des géométres des composants mécanques rendent vte ces calculs "délcats". La méthode aux éléments fns consste à smplfer la résoluton en approxmant le champ contnu par un champ approché (lu auss contnu). Il repose sur deux prncpes : la dscrétsaton et l'nterpolaton. La dscrétsaton consste à restrendre le calcul à un nombre fn de ponts du mleu (les nœuds du mallage). Le champ de déplacement est ans défn en chaque nœud. Ce sont les valeurs nodales. Les valeurs du champ de déplacement dans chaque malle jognant un groupe de nœuds est approché par nterpolaton des valeurs nodales à l'ade de fonctons mathématques appelées fonctons de formes ou foncton d'nterpolaton. La structure fnale est ans reconsttuée en consdérant toutes les malles composant le mleu. Domane réel Essas et mesures Modélsaton Domane de la smulaton Écart dû à la modélsaton Champ contnu Résultats "contnus" Dscrétsaton Smulaton EF Valeurs nodales u( x,, z ) = u v( x,, z ) = v w( x,, z ) = w Champ approché Interpolaton Écart dû à la dscrétsaton Écarts total Résultats EF Fgure 6 : Démarche de modélsaton et écarts entre réel et modèles La qualté de l'approxmaton, écart entre le champ approché par la modélsaton et le champ contnu, peut être quantfée par l'erreur entre ces deux champs. 6

7 Le modèle est de qualté lorsqu'l permet d'aboutr précson suffsante (une erreur admssble pour l'étude donnée) pour un temps de calcul mnmal. Pour un moen de calcul donné (défne par la pussance de calcul de l'ordnateur), ce temps de calcul dépend du nombre de calculs à réalser, lu-même lé au nombre de degrés de lberté (ddl) de la structure et donc du nombre de nœuds (3 ddl par nœud en 3D avec des éléments volumques). Éléments fns proposés par le logcel : Le malleur volumque de SoldWorks Smulaton est un malleur dt "lbre" car l n'mpose aucune contrante à l'utlsateur (le nombre d'éléments n'est a pror pas défn). Lors de la dscrétsaton, l recourt unquement à des éléments de tpe tétraédrques permettant un mallage automatque de pèces de forme complexe : la peau de la pèce est mallée à l'ade d'éléments trangulares pus les éléments sont construts vers l'ntéreur du domane. Le seul élément fn généré est le tétraèdre. Les éléments tétraédrques proposés peuvent être lnéares ou quadratques, appelés respectvement dans le "jargon" de l'édteur malle "de qualté moenne" et malle "de haute qualté". Les éléments sont défns par leur nombre de nœuds et par les fonctons de forme permettant d'nterpoler le champ de déplacement. Le cadre classque des éléments fns est lmté des fonctons polnômales des coordonnées. Les éléments tétraédrques lnéares dsposent de 4 nœuds aux sommets donc de 1 ddl (3 translatons à chaque nœud dans le repère structural). Les éléments ou quadratques dsposant de 10 nœuds (4 aux sommets et un nœud au mleu de chaque arête sot, au total, 6 nœuds médans) sot 30 ddl. z z x Déformaton z x x z x (a) Élément tétraédrque lnéare z Déformaton z x x z x (b) Élément tétraédrque quadratque Fgure 7 : éléments tétraédrques avant et après déformaton, (a) lnéare, (b) quadratque Qud de la foncton de forme? Comme ntrodut précédemment, la méthode des éléments fns en mécanque consste, après dscrétsaton, à détermner aux nœuds le champ de déplacement (valeurs nodales ) pus à défnr par nterpolaton entre ces nœuds un champ contnu et approché du champ contnu (fgure 6). La contnuté du champ approché est assuré par des fonctons mathématques d'nterpolaton appelées "fonctons de forme". Au ème nœud, est la valeur de déplacement et est la foncton de forme assocée à ce nœud. Les fonctons de forme représentent le "pods" assocé à chacun des nœuds de l'élément et permettent de décrre l'évoluton du champ à l'ntéreur du domane d'nterpolaton. Illustrons l'nfluence des fonctons de forme sur un cas smple (éléments lnéques à ou 3 nœuds) afn de dégager des premères conclusons (fgure 8). 7

8 L Nœud L Nœud 3 L/ Nœud 0 Nœud 1 0 Nœud 1 Élément à nœuds Élément à 3 nœuds Fgure 8 : Éléments 1D à et 3 nœuds de longueur L Il exste pluseurs méthodes pour construre les fonctons de forme. Pour llustrer cet artcle nous utlserons la méthode drecte : les fonctons de forme sont des polnômes complets (chos dans le trangle de Pascal) de degré mnmum aant un nombre de coeffcents égal au nombre de varables nodales. Ans les polnômes d'nterpolaton sont drectement lés au nombre de nœuds. Dans le cas d'éléments lnéares, le champ de déplacement s'écrt : pour l'élément lnéare à nœuds, le polnôme est de degré 1 (lnéare) : pour l'élément lnéare à 3 nœuds, le polnôme est de degré (quadratque) : Les condtons nodales (au ème nœud, la valeur de déplacement est ) permettent de détermner les coeffcents. Par exemple, dans le cas de l'élément à nœuds,: Condtons nodales Coeffcents obtenus : et. et Le champ de déplacement s'écrt sot: Le champ approché s'écrvant dans notre cas : Il vent par dentfcaton les fonctons de forme : Rappelons que la déformaton de tracton ε(x) s obtent par la dérvée du déplacement : du ε = et par sute la contrante en élastcté est donnée par la lo de Hooke : σ = Eε. dx Dès lors, on comprend que la déformaton, dérvée du champ de déplacement lnéare, est une constante sur chaque élément fn (dérvée d'un polnôme de degré 1) alors que dans le cas d'un élément quadratque, la déformaton sera représentée par une foncton affne (dérvée d'un polnôme de degré ). Les contrantes, proportonnelles aux déformatons s le comportement est élastque lnéare auront les mêmes proprétés., et 8

9 (a) Fgure 9 : (a) Poutre de Gallléo soumse à son propre pods et à une charge accrochée en. (b) Contrante longtudnale dans la poutre. La lgne représente la soluton contnue et les barres la soluton par éléments fns qu est une foncton en escaler. Il faut un grand nombre d éléments lnéares pour que la soluton EF approche la soluton exacte. Ans pour décrre la varaton de contrante lnare dans l exemple d une poutre soumse à son propre pods, l faudra dsposer d'un grand nombre d éléments lnéares qu décrront la varaton par une foncton en escaler (fgure 9) alors qu un seul élément quadratque permettrat drectement d'obtenr la «bonne» forme de la répartton de la contrante. Indcateurs de qualté des éléments du mallage Afn de permettre au logcel d'évaluer la matrce de radeur avec une bonne précson, la forme de chaque élément du mallage dot être la plus régulère possble (la plus proche de la forme "déale"). Les malleurs automatques dsposent d'algorthme de vérfcaton permettant de lmter les "dégénérescences" sans toutefos les annuler. Il faut, pour chaque mallage, avor un œl attentf aux ndcateurs de qualté des éléments du mallage et sur la localsaton des éléments "mauvas" et reprendre parfos la man pour corrger ceux-c. On retendra comme ndcateurs de qualté des éléments l'élancement et la dstorson. L'élancement, appelé également rato, est détermné par le rapport entre la plus grande et la plus pette dmenson d'un élément. Un élancement mportant condut à un élément "plat" plus proche de l'élément trangulare que de l'élément tétraédrque (fgure 10). L'élancement déal est de 1 mas en pratque l'élancement toléré maxmal dépend du champ à étuder : nféreur à 3 dans le cas d'analse de contrante et nféreur à 10 dans le cas d'analse des déplacements. (b) Élément dont l'élancement est proche de 1 Élément dont l'élancement est mportant Fgure 10 : Éléments dont l'élancement est déal et éléments dont l'élancement est mportant Les éléments dont l'élancement est mportant sont généralement localsés aux extrémtés, le long des arrêtes curvlgnes et au nveau des raccordements (d'où la nécessté d'affner le mallage aux "transtons"). 9

10 La dstorson angulare des éléments tétraédrques quadratques dot être lmtée pour ne pas condure à une matrce sngulère. En effet, des angles trop mportants ou des nœuds mal placés (notamment les nœuds médans dovent rester à peu près médans) condusent à des erreurs sgnfcatves. En concluson, le mallage de notre modèle est de qualté les éléments ne sont pas dstordus et sont cohérents en terme d'élancement notamment en rason de la smplcté géométrque du modèle (vor fgure 1). Indces de qualté du modèle : convergence et estmaton de l'erreur Quantfé et maîtrser la qualté du modèle nécesste de détermner l'erreur relatve à l' écart entre le champ approché par dscrétsaton et le champ contnu. Ce derner n'est généralement pas calculable (snon le recourt à la dscrétsaton serat nutle). Il est toutefos possble d'amener l'erreur à un nveau auss fable que nécessare en fasant tendre le nombre de nœuds vers l'nfn afn de fare converger les résultats vers la soluton théorquement exacte. Cec peut être réalsé en augmentant le nombre d'éléments (le mallage est affné) ou en augmentant le nombre de nœuds par éléments (par exemple en passant d'un élément lnéare à quadratque). Outre de nombre de ddl, la convergence des résultats dépend drectement de la manère dont sont nterpolées les valeurs nodales pour obtenr le champ approché contnu. Auss le chox du tpe des fonctons de forme permet de converger plus ou mons rapdement. Pour une talle de malle donnée, le mallage (les éléments) sera à peu prêt dentque que les éléments tétraédrques soent lnéares ou quadratques. Par contre le nombre de nœuds et donc de ddl sera très dfférent : plus mportant pour les éléments quadratques. Pour notre modèle nous avons examné, pour les deux tpes d'éléments tétraédrques dont nous dsposons, la capacté de ceux-c à décrre la structure en étudant la convergence des résultats dans le cas crtque de charge (force suvant ) en fasant varer le nombre d'éléments dans le mallage va la talle mposée. Nous avons étudé la convergence en traçant pour les deux tpes d'éléments l'évoluton de l'énerge totale de déformaton en foncton du nombre de nœuds et l'estmaton de l'erreur relatve entre le modèle contnu théorque et le modèle dscrétsé (fgure 11). L énerge de déformaton W se calcule par la relaton : 1 W = trace σ. ε( u) dv où σ et ε(u) sont respectvement les matrces des contrantes et des V ( ) déformatons du problème contnu. Pour la formulaton par éléments fns on a coutume de mettre ces matrces sous formes de colonnes : T σ = σ σ σ σ σ σ T { xx zz x xz z} { xx zz x xz z} ε ( u) = ε ε ε ε ε ε Ans l expresson de l énerge de déformaton devent : 1 T W = σ. ε( u) dv V Chaque soluton éléments fns correspondant à un mallage donné permet de calculer une estmaton de cette énerge de déformaton : 1 T We = σ e ( ue) ε e( ue) dv V u e est le déplacement soluton du problème éléments fns ( e en référence de la talle de l élément), ε ( u ) est la déformaton qu en dérve et σ ( u ) est la contrante obtenue va la e e e e 10

11 lo de comportement. Il est établ théorquement que l énerge de la soluton exacte est une borne supéreure de toute soluton par éléments fns car elles sont cnématquement admssbles (c est-à-dre qu elles vérfent strctement les condtons lmtes en déplacement). De plus, l est établt théorquement que l énerge de déformaton totale obtenue par éléments fns converge vers l énerge de déformaton du problème contnu lorsque la talle de l élément tend vers 0 : We W e 0 Concluson de cette secton Nous constatons que les éléments quadratques donnent un melleur résultat que les éléments lnéares : la convergence est plus rapde et l'erreur plus fable à nombre de ddl dentque. Dans la sute de l'étude nous avons retenu d utlser des éléments quadratques avec une erreur relatve égale de 1,5 % correspondant, dans notre cas, à une talle de malle de 6mm et qu condut au mallage présenté à la fgure 1. (a) 100 = 805,3x -0,4415 (b) (c) 10 1 = 68,9x -0, Nombre de noeuds Fgure 11 : Influence du raffnement du mallage, (a) convergence de l'énerge totale de déformaton en foncton du tpe d'élément tétraédrque. L asmptote donne une estmaton de l énerge «exacte», (b) densté du mallage pour une même talle d'élément. On peut vor qu à mallage égal, le nombre de ddl est ben supéreur en quadratque (envron 6 fos), (c) Erreur relatve pour dfférents mallages. En rouge les éléments lnéares pour lesquels l erreur est supéreur à celle des éléments Erreur % quadratque (en bleu) même s le nombre de ddl est dentque. 11

12 Fgure 1 : Détal du mallage pour une erreur relatve de 1,5% sur l énerge de déformaton globale. La talle de l élément max est de 6mm avec une tolérance de 5%. I. Détermnaton de la rgdté du «con» parfat Décomposton des efforts en 6 cas : X, Y, Z et L, M, N et évaluaton des déformées par une soluton smplfée RDM Afn de caractérser complètement les effets d un chargement sur la déformaton du «con», nous avons ms en œuvre 6 cas de charges totalement ndépendants. Par superposton, ces 6 cas peuvent reconsttuer n mporte quelle confguraton de chargement qu fat travaller l assemblage. Ans, le torseur le plus général des efforts applqués au pont s écrt : F = X x + Y + Z z { Fext } = M = Lx + M + N z Nous allons successvement étuder l nfluence de chacune de composantes sur la déformaton de la structure ; d une part en utlsant les résultats connus de RDM (vor modélsaton sur la fgure 13) et d autre part en explotant les résultats de calculs par éléments fns. Fgure 13 : Modélsaton RDM d un assemblage «con parfat» entre deux éléments du lt-haut (bout de montant de hauteur h et bout de garde-corps de longueur d). Ix, I et Iz sont les moments quadratques des sectons drotes. Notons que le montant (1) est à secton carrée et non pas le garde-corps (). J est le moment polare de torson, s agssant de sectons rectangulares on se réfèrera aux tableaux dsponbles dans la lttérature pour l estmaton de ces grandeurs. E et G sont respectvement les modules élastques en tracton et en csallement du matérau. 1

13 Une premère sére d efforts X, Y et N génèrent des déplacements u et v (suvant les axes x et ) et une rotaton γ de la secton en (autour de z ). Ces tros déplacements peuvent se détermner assez smplement par la RDM, notamment par le théorème de Castglano et ses méthodes dérvées. Il faut noter que contrarement à la pratque usuelle en RDM, nous ne néglgeons pas l effet de l effort tranchant. En effet, l ansotrope du bos est assez sévère et le rato entre le module d Young longtudnal et le module de csallement G est de l ordre de 5. Auss les déplacements dus au csallement seront-ls du même ordre que ceux due à la flexon. Cela revent donc à consdérer que les sectons drotes restent drotes mas pas perpendculare à la lgne moenne déformée comme dans l hpothèse de ernoull : on utlse la théore naturelle des poutres dtes auss poutres de Tmoshenko. Par exemple, pour un effort X applqué en, s on prend en compte l effet de l effort tranchant et du moment fléchssant, on a : avec : u W = X M f T M f ( ) T ( ) M f ( x) T ( x) W = + ds = + d + + dx E I G S E I G S E I G S Ce qu condut à : A x z x (1) x 1z 1x 1 () x z x M M T T M M T T f f f f u = + d + + dx E (1) 1xI1z X G xs1 X E () xiz X G xs X Cette dernère expresson s ntègre assez faclement en utlsant (ou pas) les tableaux des ntégrales de Mohr. Ce qu donne : u 3 h h = + 3E I G S 1x 1z 1x 1 Pour le calcul du déplacement v et de la rotaton γ, l convent d utlser le théorème de la charge fctve (on applque un effort Y pour le calcul de v= W/ Y pus on annule Y en fn de calcul) ou le théorème de la charge untare : M f ( X ) M f ( Y ) T ( X ) T ( Y) M f ( X ) M f ( Y) T ( X ) T ( Y) v = + d + + dx E (1) 1xI1z Y G1 xs1 Y E () xiz Y G xs Y Ce qu donne : v h d = E I 1x 1z X X De même, à l ade d un couple fctf N en, on obtent la rotaton γ : γ = h E1 x I1 z X 13

14 Ces résultats sont cohérents pusqu avec un effort suvant l axe x, l est assez naturel que seule la poutre (1) fléchsse (pas de termes en E I z ). De plus, le déplacement u est ben dans le sens de X mas la flexon de la poutre (1) nclne la poutre () vers le bas et on obtent un déplacement v négatf ans qu une rotaton γ de la secton en dans le sens négatf (vor fgure XYZ). γ u v X X = 1000 N u = 3,878 mm v = -4,786 mm A γ = -0,011 rd ou x Fgure 14 : Allure de la déformée de l assemblage «con parfat» sous une charge horzontale X. Compte tenu des dmensons et des caractérstques élastques des matéraux, les déplacements sont de l ordre de quelques mllmètres et la rotaton de l ordre du ½ degré. Il s agt ben de «petts» déplacements par rapport à la talle de la structure étudée. On renouvelle ces calculs de RDM successvement avec une charge Y pus un couple N. Pour l effort Y, les déplacements et la rotaton s exprment : u h d = Y ; v E I 1x 1z 3 hd d d = + + E I 3E I G S 1x 1z x z x Y Et pour le couple N, les déplacements et la rotaton s exprment : u h = N ; v E I 1x 1z hd d = + E I E I 1x 1z x z hd d ; γ = + E I E I 1x 1z x z h d N ; γ = + E I E I 1x 1z x z Le sens des déplacements et des rotatons correspond ben à l dée que l on peut se fare de l allure des déformées (vor fgure c-dessous). N Y γ Y u v Y = 1000 N u = -4,786 mm v = 9,43 mm A x γ = 0,018rd ou 1.49 Fgure 15 : Allure de la déformée de l assemblage «con parfat» sous l effet d un effort vertcal Y. 14

15 γ u v N N = N.mm u = -5,584 mm v = 10,89 mm A x γ = 0,075 rd ou Fgure 16 : Allure de la déformée de l assemblage «con parfat» sous l effet d un couple horzontal N. A ce nveau, on peut utlser le théorème de superposton et écrre les relatons entre les déplacements u, v et γ et les efforts X, Y et N sous forme matrcelle c-dessous. On pourra noter que la matrce 3x3 caractérse la «souplesse» du con et qu elle est smétrque : 3 h h h d h + 3E1 xi1z G1 xs1 E1 xi1z E1x I1z u X 3 h d hd d d hd d v = Y E1x I1z E1 xi1z 3E xiz G xs E1 xi1z E xiz γ N h hd d h d + + E I E I E I E I E I 1x 1z 1x 1z x z 1x 1z x z Dans le cas des charges Z, L et M, le problème n est plus plan et de la flexon cohabte avec de la torson dans le montant ou dans le garde corps. Pour ces deux cas, les caractérstques G 1 J 1 et G J vont donc ntervenr dans les déplacements et rotatons. De plus, suvant les sollctatons, la poutre () travalle en flexon autour de et non autour de z, l faut donc être vglant sur la notaton du moment quadratque I. Après calculs, les déplacements dus à l effort Z valent : w 3 3 hd h d h d = G J 3E I 3E I G S G S hd d β = + Z G1 xzj1 ExI 1xz 1 1x 1 x 1xz 1 xz Z h ; α = Z ; E I 1 x 1 α>0 w β<0 Z A Z = 1000 N w = 159,6 mm α = 0,011 rd ou β = -0,3910 rd ou z x Fgure 17 : Allure de la déformée de l assemblage «con parfat» sous l effet d un effort horzontal Z. 15

16 Le garde corps est sollcté en flexon suvant sa plus pette épasseur et la structure est donc beaucoup plus souple, ce qu explque les valeurs mportantes de w et de β par rapport aux valeurs calculées dans le 1 er groupe de sollctatons. Néanmons pour une structure de 400 mm de talle caractérstque, 0 mm de flèche reste un «pett déplacement». Les déplacements dus au couple L valent : w Et ceux dus au couple M valent : w h h d = L ; α = + L E1x I 1 E1x I1 G xz J hd d = + G J E I 1xz 1 x M ; β = 0 h d ; α = 0 ; β = + G J E I 1xz 1 x M α w β=0 L L = Nmm w = 5,584 mm A α = 1,446 rd ou β = 0 z x Fgure 18 : Allure de la déformée de l assemblage «con parfat» sous l effet d un couple L. M α=0 w β M = Nmm A w = -195,504 mm α = 0 z x γ = 0,5554 rd ou 31.8 Fgure 19 : Allure de la déformée de l assemblage «con parfat» sous l effet d un couple M. Là encore, la souplesse du garde-corps en flexon et la forte valeur du couple M condusent à des déplacements très mportants qu sortent du cadre de la RDM en pettes déformatons. Cela peut tout à fat être corrgé en prenant des valeurs plus fables des couple L, M et N pour ces calculs. Néanmons, pusque le problème est lnéare, ces résultats permettent tout de même une évaluaton des souplesses qu peuvent auss se mettre sous forme matrcelle : 3 3 hd h d h d h hd d G1 xz J1 3E1 xi1 3E xi G1 xzs1 G xzs E1 xi 1 G1 xz J1 ExI w Z h h d α 0 = + L E1 xi1 E1 xi1 Gxz J β M hd d h d G1 xz J1 ExI G1 xz J1 E xi 16

17 Ces résultats assocés aux précédents sur la parte lée aux efforts X, Y et N peuvent se snthétser dans une unque matrce 6x6 qu sera la matrce de souplesse du con que nous noterons [S ]. Elle permet de calculer toutes composantes du torseur des petts déplacements en pour n mporte quel torseur d effort exprmé en. Elle est donc fortement dépendante du chox fat pour la dstance d (et h) : ce pont sera éclarc plus lon. 3 h h h d h E1 xi1z G1 xs1 E1 xi1z E1 xi 1z 3 h d hd d d hd d E1 xi1z E1 xi1z 3ExI z G xs E1 xi1z ExI z 3 3 hd h d h d h hd d G1 xz J1 3E1 xi1 3ExI G1 xz S1 G xzs E1 xi 1 G1 xz J1 ExI S = h h d E1 xi1 E1 xi1 G xz J hd d h d G1 xz J1 ExI G1 xz J1 E xi h hd d h d E1 xi1z E1 xi1z ExIz E1 xi1z E xi z Ces résultats vont mantenant être comparés aux résultats des calculs éléments fns réalsés sur le modèle 3D du «con». Identfcaton des petts déplacements de corps soldes par la méthode des mondres carrés applquée aux déplacements ssus du calcul EF Pour procéder à la comparason entre les résultats de la RDM et ceux du calcul éléments fns, l est nécessare d analser le champ de déplacements de la face du modèle éléments fns sur laquelle on applque la charge afn d en dédure le torseur des petts déplacements qu «passe au meux» de ce champs. En effet, l faut rappeler qu un torseur décrt un pett «déplacement de corps solde» alors que le résultat du calcul éléments fns peut fare apparaître un gauchssement de la secton en ; à peu près sûrement dans le cas de la sollctaton due au couple L qu ndut de la torson dans la poutre () qu n est pas crculare. Les résultats d un calcul éléments fns 3D donnent le champ de déplacement en fournssant les composantes u, v et w du vecteur déplacement de chaque nœud M (vor fgure 0). Fgure 0 : Récupératon des coordonnées des nœuds du mallage et des déplacements des nœuds du mallage dans un tableau pour effectuer les sommes et construre la matrce [A] et les dfférentes colonnes (Y) Pour fare la comparason avec les calculs de RDM de la secton précédente, l faut trouver le déplacement de corps solde moen de la secton et la rotaton moenne : le plus smple est donc de mnmser l écart entre les déplacements donnés par le calcul éléments fns et le champ de déplacement de corps solde défn par un torseur au pont : 17

18 { U } secton Ψ = α x + β + γ z = u = u x + v + w z S la face avat ce déplacement de corps solde, le nœud M de coordonnées (x,, z ) aurat un déplacement défn par : Ψ = α x + β + γ z { Usecton } = um = ( u ) ( ) ( ) + β Z γy x + v αz + w + αy z Où : Y = - et Z = z - z. L éventuel X est nul c car les ponts M et sont dans la même face x =cte. S on compare ce déplacement avec celu obtenu par éléments fns, on peut défnr l écart e tel que : ( β γ ) ( α ) ( α ) = e u Z Y u v Z v w Y w Chercher le melleur déplacement de corps solde revent à mnmser la somme des e sur l ensemble des nœuds en dérvant cette somme Σ par rapport chacun des paramètres cherchés : c est la méthode des mondres carrées ben connue. {( β γ ) ( α ) ( α ) } N N e u Z Y u v Z v w Y w = 1 = 1 Σ = = Σ = 0 Nu + β Z γ Y u = 0 u Σ = 0 Nv α Z v = 0 v Σ = 0 Nw + α Y w = 0 w Σ = 0 { Z ( v αz v ) + Y ( w + αy w )} = 0 α Σ = 0 { Z ( u + β Z γy u )} = 0 β Σ = 0 { Y ( u + β Z γy u )} = 0 γ Le sstème d équatons ans obtenu peut se mettre sous forme matrcelle [A].(X) = (Y) N Z Y u 0 N 0 Z 0 0 v u v 0 0 N Y 0 0 w w = α β γ Z Z Y Z Zu Y Y Z Y Yu Z Y ( Y Z ) ( Y w Zv ) M 18

19 Ans, on peut vor que la connassance des coordonnées Y et Z des ponts M qu sont les nœuds de la face en pour le mallage du «con» permet de construre la matrce 6x6 [A] et qu à l ssue du calcul par éléments fns, la connassance des déplacements u, v et w permet de construre la colonne (Y) de drote. Ce sstème lnéare s nverse faclement et donne les composantes du torseur des petts déplacements en : (X) = [A] -1.(Y) On peut donc détermner le déplacement de corps solde moen de la secton en pour les 6 cas de charge élémentare et comparer avec les résultats de la secton précédente. Notons qu un mallage unque étant utlsé pour les 6 calculs éléments fns, la matrce [A] n est calculée qu une seule fos alors que la colonne (Y) dot être assemblée à partr des résultats de chacun des 6 calculs. Fgure 1 : Allures des déformées du con parfat pour les 6 stutatons élémetares de chargement. Effets des forces X, Y et Z en haut et des couples L, M et N en bas. 19

20 En utlsant les mêmes dmensons et les mêmes proprétés mécanques que pour les calculs de RDM on dentfe les 6 torseurs suvants : Cas X Calcul EF (mm-rd) Calcul RDM (mm-rd) Ecart relatf EF-RDM Cas L Calcul EF (mm-rd) Calcul RDM (mm-rd) u 3,938 3,877 1,54% u 0, v -4,963-4,785 3,59% v 0, Ecart relatf EF-RDM w -0, w 16,65 5,584 66,46% α 0, α 1,67 1,446 1,53% β 0, β -0,058 0 γ -0,0116-0,011 3,77% γ 0, Cas Y Calcul EF (mm-rad) Calcul RDM (mm-rad) Ecart relatf EF-RDM Cas M Calcul EF (mm-rd) Calcul RDM (mm-rd) u -4,963-4,785 3,59% u -0, v 10,8 9,43 1,81% v 0, Ecart relatf EF-RDM w -0,003 0 w -08,68-195,50 6,31% α 0, α -0,019 0 β 0, β 0,590 0,555 5,88% γ 0,05 0,018 13,48% γ 0, Cas Z Calcul EF (mm-rd) Calcul RDM (mm-rd) Ecart relatf EF-RDM Cas N Calcul EF (mm-rd) Calcul RDM (mm-rd) Ecart relatf EF-RDM u -0, u -5,803-5,584 3,77% v -0, v 1,566 10,899 13,6% w 169,4 159,63 5,78% w -0, α 0,030 0, ,01% α 0, β -0,417-0,391 6,3% β 0, γ -0, γ 0,0317 0,074 13,50% Tableau : Comparason des composantes du torseur des petts déplacements de la secton en obtenus par calculs éléments fns (colonne ) sur la modélsaton 3D du con (ces calculs ne donnent pas de composantes franchement nulles ; on peut consdérer la composante comme nulle lorsque le pourcentage par rapport au module est nféreur à 0.5%). La colonne 3 donne les composantes obtenues par les calculs analtques de RDM de la secton précédente et la colonne 4 donne l écart relatf des composantes non nulles. Pour chaque cas, la ère colonne présente le résultat de la détermnaton du torseur des petts déplacements ssus de la méthode des mondres carrés à partr des résultats de calcul par éléments fns (EF3D). Notons que le nombre de chffres présentés n est pas sgnfcatf mas unquement donné afn de montrer que la smltude des résultats entre RDM et les EF3D peut-être très bonne. Dans la 3 ème colonne on rappelle les résultats obtenus par la RDM et la dernère colonne donne le pourcentage d écart des composantes sgnfcatves. On peut remarquer que la plupart de ces pourcentages ne sont que de quelques % : ls ne dépassent pas 15% horms deux cas smétrques : la composante w dû au moment L et l angle α du cas de charge Z pour lesquels la RDM donne une soluton dfférente du calcul 3D de plus de 60%! L écart sur le cas Z est dffcle à justfer car d un pont de vue théorque, pusque le gardecorps est plus mnce dans la drecton z et que la charge Z génère de la flexon dans cette épasseur, la géométre est plus proche de celle requse pour valder les hpothèses d élancement de la théore des poutres. Il est rassurant que le cas du moment L donne sur la composante smétrque un écart du même ordre : on obtent ans une matrce globale de souplesse smétrque ce qu est rassurant. 0

21 Concluson : constructon de la matrce de rgdté du con réel ssue du calcul EF Muns de ces valeurs, ssues d un calcul éléments fns 3D, on peut mettre en place la matrce de souplesse du «con parfat» notée [S ]. Compte tenu des smltudes entre les calculs RDM et les résultats de smulaton par éléments fns, et s on met à part la composante (w,l) ou (α,z), cette matrce est très proche numérquement de celle détermnée à la secton précédente par la RDM (un nombre de chffres non sgnfcatfs a été lassé délbérément afn de dscuter de l mportance de l écart entre RDM et EF et auss de la smétre de la matrce). [S (EF)] = 3,9385E-03-4,9635 E -03 -,659E-08 1,3779E-09-3,0698E-11-1,1605E-05-4,9635E-03 1,0819 E -0-3,3448E-06 9,4957E-09 8,53E-09,513E-05-4,485E-08-3,547 E -06 1,6943E-01 (mm/n) 3,395E-05-4,1736E-04-7,6165E-09 (mm/n-mm) 4,1131E-10 1,1089 E -08 3,0190E-05,530E-06-4,391E-08,5574E-11 8,5714E-11 7,959 E -09-4,1738E-04-5,1558E-08 1,1801E-06 1,861E-11-1,1605E-05,5196 E -05-7,9959E-09 (rd/n),3668e-11 1,781E-11 6,3491E-08 (rd/n-mm) [S (RDM)] = 3,8777E-03-4,7855 E ,1168E-05-4,7855E-03 1,0406 E ,1799E ,5963E-01 (mm/n) 1,1168E-05-3,9101E-04 0 (mm/n-mm) 0 0 1,1168E-05,8493E ,9101E ,1107E ,1168E-05,1799 E (rd/n) 0 0 5,4918E-08 (rd/n-mm) Le découpage par éléments fns ntrodut une mprécson numérque qu fat que les découplages ms en évdence par l étude RDM ne sont plus parfats. Certans termes de la matrce de souplesse [S ] peuvent néanmons être consdérés comme nuls (les termes en rouge) s ls sont «petts» devant les autres. Pour cela l faut ben fare attenton à comparer des termes de même nature et l convent de découper la matrce 6x6 en quatre blocs 3x3. En effet, les untés de tous les termes ne sont pas dentques et on ne peut mettre en évdence les termes prépondérants que dans chaque sous matrce 3x3 de même unté Une autre conséquence du découpage par éléments fns c est la perte de la smétre et notamment pour le terme «non nul» S wl par rapport à S αz. En néglgeant les termes nuls et en smétrsant le terme précédent en prenant sa valeur moenne, on a : [S (EF)] = 3, , , , , , , (mm/n) 3, , (mm/n-mm) 0 0 3, , , , , , (rd/n) 0 0 6, (rd/n-mm) En comparant la matrce EF «nettoée» et la matrce RDM,, on constate que l écart est très fable et que la modélsaton RDM est une très bonne approxmaton même pour un matérau fortement ansotrope. Seul le terme S wl (dem S αz ) présente un écart mportant déjà ms en évdence plus haut dans la comparason des torseurs des petts déplacements. 1

22 L nverse de la matrce de souplesse est la matrce de radeur [K ] du con parfat que nous pourront comparer avec celle du con «réel» ncluant les éléments d assemblage (vs, écrou, tourllons) afn de détermner la contrbuton de ces derners dans le comportement du con dans la parte II de cet artcle. La matrce de radeur vaut : [K (EF)] = (N/mm) (N/rd) (N-mm /mm) (N.mm/rd) Références bblographques ; J. Charles (1994). Wood Propertes. Encclopeda of Agrcultural Scence, 4, A. Chateauneuf (010) Comprendre les éléments fns Ellpses collecton "Technosup" L. Chevaler, (007) Mécanque des sstèmes et des mleux déformables - Ellpses J-C Craveur, D.Marceau, (001) De la CAO au calcul DUNOD collecton "L'usne nouvelle" L. Gornet, Généraltés sur les matéraux compostes - Centrale Nantes : P. M. Kurowsk, (01). Engneerng Analss Wth SoldWorks Smulaton T. Ncholls, R. Crsan (00) Stud of the stress-stran state n corner jonts and boxtpe furnture usng FEA. Holz als Roh- und Werkstoff,60, J. R. Steffen, (011). Analss of Machne Elements Usng SoldWorks Smulaton