Corrigés des exercices sur le dipôle RC

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1 ORRIG XRIS TS /0 DIPOL R orrigés es exercices sur le ipôle R orrigé e l exercice Uiliser la loi aiivié es ensions e. Pour les ensions u AB e u BM e les connexions à l inerface acquisiion voir figure ci-conre. voie 3. La loi aiivié es ensions onne : u G u AB + u BM. On peu onc, à l aie u logiciel e raiemen e onnées compaible avec l inerface (par exemple Généris associé à l inerface SAO 4 ), racer u AB u G - u BM. 4.. Le conensaeur es échargé à la ae 0 : onc u (0) 0 V. La seule courbe qui passe par l origine es abscisses représene u c ( ( cf schéma ). D aure par la ension u G éan consane, sa représenaion graphique es une roie parallèle à l axe es abscisses (cf schéma ). La roisième courbe ( écroissane ) correspon nécessairemen à u BM.(. 4.. On li sur le graphe u BM.( s ),0 V ; u AB ( s ) 5,0 V e u G.( s ) 6,0 V. es valeurs son cohérenes avec la loi aiivié es ensions : u BM. ( s ) + u AB ( s ) u G ( s ) 6,0 V 4.3. D après la loi Ohm, appliquée en convenion u BM ( récepeur, on a i( u BM (/ R. On en éui que i( es posiif car u BM ( es posiif après le graphique e que R es posiif. Le couran circule onc ans le sens posiif qui oriene le circui. Les élecrons circulan ans le sens opposé au sens u couran son arrachés à l armaure A, iniialemen neure ( conensaeur échargé ) e éposées sur l armaure B iniialemen neure égalemen : onc q A > 0 e q B < 0. u AB ( u G ( i( u AB u BM voie orrigé e l exercice Repérer la charge e la écharge un conensaeur : éerminaion e la capacié..a e b. D après la loi Ohm en convenion récepeur on a à ou insan : u BN R..i. e qui onne : i u BN /R. La ension u BN représene onc, au coefficien muliplicaif /R près, l inenié i u couran. A D aure par, la relaion charge-ension pour le conensaeur en convenion récepeur onne à ou insan : q A.u AB. Donc u AB représene onc au coefficien muliplicaif près la charge q A porée par l armaure A. q A u AB. la relaion charge-inensié en convenion récepeur pour un conensaeur, s écri : i q A u BN. n enan compe e la relaion q A.u AB, on en ire en remplaçan q A par son expression ans la relaion charge inensié : q A ( u AB ) u i AB 3.a.Tension u AB à la écharge : la ension éan coninue aux bornes u conensaeur on a u AB (0 + ) u AB (0 - ). Or u AB (0 - ) u PN 6,0 V : en effe, après la loi aiivié es ensions, on a u PN u AB (0 - ) + u BN ( 0 - ) ; le conensaeur éan complèemen chargé à la ae 0 - ( cf énoncé ), la ension u AB (0 - ) ne varie pas à cee ae, onc u i(0 - ) AB ( 0- ) 0 A. Il en résule que après la loi Ohm : u BN ( 0 - ) R i(0 - ) 0 V. On en éui onc bien que u AB (0 - ) u PN 6,0 V. où, en enan compe e la coninuié e u AB, u AB (0 + ) u PN 6,0 V. La seule courbe on l oronnée à l origine es 6 es onc la courbe qui représene la ension u AB à la écharge e l axe es oronnées u graphe es graué en vols. 3.b. Tension u AB à la charge Le conensaeur éan iniialemen échargé, on a u AB (0 + ) 0 V ( ae 0 + ébu e la charge ). La ension u AB à la charge correspon onc à la courbe A ( axe es oronnées en V )

2 ORRIG XRIS TS /0 DIPOL R 3.c. Inensié i à la charge La loi aiivié es ensions appliquée au ébu e la charge ( 0 + ) onne : u PN u AB (0 + ) + u BN ( 0 + ). Or u AB (0 + ) 0 V. Donc u BN ( 0 + ) u PN 6,0V. On en éui après la loi Ohm : i(0 + ) u BN ( 0 + )/R 6,0/ ,0.0-3 A. es onc la courbe B qui correspon à i. ( axe es oronnées graué en A ). 3.. Inensié i à la écharge : penan la écharge, la ension aux bornes u ipôle R es nulle. Donc u AB (0 + ) + u BN ( 0 + ) 0. On en éui que u BN ( 0 + ) - 6,0 V. D après la loi Ohm, on a i(0 + ) u BN ( 0 + )/R -6,0 / 000-3,0.0-3 A. u AB ( V) La courbe D correspon onc à l inensié i lors e la écharge ( axe es oronnées graué en A ). 4. Déerminons la consane e emps par la méhoe e la angene à l origine en uilisan la courbe u AB ( à la charge par exemple. On li graphiquemen la consane e emps : 0,36 s. On en éui / R. D où : 0,36 / 000,8.0-4 F. orrigé e l exercice 3 Décharge un conensaeur ans une résisance : éablissemen e l équaion ifférenielle ; issipaion énergie.. q A (0).u (0) ,0,.0-3. (0) u (0) c ,0 3,6.0-3 J 3,6 mj. 3. La ension aux bornes u ipôle R es nulle à la écharge. On en éui, après la loi aiivié es ensions, qu à ou insan : u + u R 0 4. On monre facilemen ( cf cours ) que : i 5. quaion ifférenielle : n uilisan la loi Ohm u R R.i, la relaion ensions u + u R 0, on obien : i e la loi aiivié es u + R Trauisons que la foncion u ( A exp ( - / ) es soluion e l équaion ifférenielle. alculons pour cela la érivée e u : - A exp ( - / ). e qui onne en remplaçan la érivée par son expression ans l équaion ifférenielle : A exp ( - / ) + R. (- A exp ( - / ) ) On en éui que quelque soi : A ( - R. 0. ) exp ( - / ) 0. Deux possibiliés : A 0 : ce qui onne u 0 quelque soi, soluion qui correspon à un conensaeur non chargé iniialemen : c es onc une soluion inaccepable ans le cas présen. - R. 0 : ce qui onne R. n enan compe e la coniion iniiale u (0), on obien A. On a onc u ( exp ( - / R. ) 7. R. 000 x ,4 s. 8. La relaion inensié ension pour un conensaeur en convenion récepeur onne : i(.. u c - exp ( - / R. ). On en éui : i( - exp ( - / ). R. R

3 ORRIG XRIS TS 3/0 DIPOL R 9. i(0) - 6, ,0.0-3 A - 3,0 ma. Le signe négaif e l inensié à R 000 la ae 0 monre que le couran e écharge circule ans le sens opposé au sens + choisi sur le circui ( cf figure ci-conre ). 0. u ( exp ( - / R ). Donc u ( en vers 0 V quan en vers l infini. i( - exp ( - / ). Donc i( en égalemen vers 0 A quan en vers l infini. R. 6 V u ( i( sens u couran e écharge - 3,0 ma Au passage par la ae 0 s, la foncion u ( es coninue u (0 + ) u (0 - ) 6,0 V : Au passage par la ae 0, la foncion i( es par conre isconinue i(0 - ) 0 e i(0 + ) -3,0 ma (i(0 - ) i(0 + ) ).. L énergie emmagasinée par le conensaeur à la ae 0, a pour expression : (0 ) u (0) x 36 3,6.0-3 J 3,6 mj. Lorsque en vers l infini, l énergie emmagasinée en vers 0 J car u en vers 0 V ( quesion 0 ) : la écharge es alors erminée. Donc l énergie issipée es égale à (0) - ( ) 3,6 mj. On peu expliquer la coninuié e u à la ae 0 s e la façon suivane : la issipaion énergie ne peu êre insananée car la puissance issipée serai infinie. Donc l énergie emmagasinée ne peu subir e isconinuié, il en es onc e même e la ension u car es proporionnelle à u. orrigé e l exercice 4 Décharge un conensaeur ans un aure conensaeur. A la fin e la charge la ension aux bornes u conensaeur vau u G. On en éui : Q u G,0.0-6 x,.0-5. L énergie emmagasinée es : u G 0,5 x,0.0-6 x 7,.0-5 J.a. omme il n y a pas e fuies e charges élecriques, on peu écrire Q Q + Q où Q e Q son les charges élecriques porées par e ans l éa équilibre élecrique final aein à la fin e la écharge. n enan compe u fai que Q U e Q U, on obien : Q U + U ( + ).U. On en éui que : U Q,.0-5 / ( 4,0.0-6 ) 3,0 V +.b. On en éui : Q U,0.0-6 x 3,0 3,0.0-6 e Q Q - Q, , , c. L énergie emmagasinée par l ensemble es eux conensaeur ans l éa final es : + u G + u G ( + ).u G 0,5.x 4,0.0-6,0.0-6 J 3. On consae que es inférieur à. Il y a onc pere énergie lors e la écharge u conensaeur. ee pere énergie es ue à une issipaion énergie par effe joule ans les fils e connexion qui relien e.

4 ORRIG XRIS TS 4/0 DIPOL R orrigé e l exercice 5 ue énergéique e la charge un conensaeur.. es la relaion inensié-ension en convenion récepeur pour le conensaeur :.. P( u (.i( relaion vue en ière S e valable en régime variable. i.3. e ( P ') ' 0 (. u i u u c ( '). ( ') ' c ( ').( ) '. c ( '). ' ( ) ( ) ( ) Or u '. c( ). On en éui e ( ' '.. ' 0 ' ' [ u c ] ( ') 0 ' 0 On en éui que : e ( u ) - c ( (0 ) u c ( car u (0) 0 V ( le conensaeur es iniialemen échargé )... La courbe a correspon à u c ( car c es la seule courbe croissane à parir e la valeur 0 ( éa iniial échargé) enan vers une valeur asympoique ( charge complèe u conensaeur ). La courbe c correspon à i( car c es la seule courbe pour laquelle l oronnée à l origine es maximale : en effe, à la ae 0, la pene e la courbe u ( éan maximale, i (0) (0) es maximale. Par éliminaion la courbe b représene les variaion e P. Uniés sur l axe es oronnées e la courbe i(. alculons i(0). A la ae 0 ( ébu e la charge ), la loi aiivié es ensions s écri : u (0 ) + u R (0) u PN.. n enan compe que u (0 ) 0 V ( conensaeur échargé à la ae 0, on en éui : u R (0) u PN. Que vau u PN? Pour le rouver, on raisonne e la façon suivane : au bou un emps suffisammen long u R 0 ( car i 0 A graphique c ) e u u PN - u R u PN 4,0 V ( après la loi aiivié es ensions e par lecure graphique sur la courbe a ). On en éui que u R (0) 4,0 V. D après la loi Ohm i (0) u R (0) / R 4,0 / 000,0.0-3 A,0 ma. L axe es oronnées es onc graué en ma. Uniés sur l axe es oronnées e la courbe P( La courbe P( passe par un maximum à la ae 0,5 s. P(0,5 s) u (0,5 s). i(0,5 s). Par lecure graphique sur les courbes a e c, on obien u (0,5 s).,8 V e i (0,5 s ), ma.on en éui : P(0,5),8 x,,0 mw. L axe es oronnées onc graué en mw. u c ( en V P( en mw i( en ma u c ( 0,5 s ),8 V ) i ( 0,5 s ), V ) 0,8 s 0,5 s emps (s).. L énergie emmagasinée à la ae s es l inégrale éfinie e la foncion P( enre les aes 0 e s. lle peu êre éerminée graphiquemen en calculan l aire sous la courbe P( enre les abscisses 0 e s ( aire hachurée sur la graphe b..3. La consane e emps peu-êre éerminée graphiquemen : soi par la méhoe e la angene à l origine sur le graphe u c i( ou sur le graphe i(. soi par la méhoe u 63 % sur la courbe u ( ou par la méhoe u 37 % sur la courbe i(. Par lecure graphique on peu lire 0,8 s sur la courbe a. e qui correspon bien à la valeur héorique :

5 ORRIG XRIS TS 5/0 DIPOL R R. 000 x ,8 s. 3. P( éan la érivée e e (, elle représene le coefficien ireceur e la angene au poin abscisse à la courbe e (. On a racé sur le graphe e ( iverses angenes à la courbe e l on consae que lorsque croî à parir e 0, le coefficien ireceur e la angene croî à parir e la valeur 0, passe par un maximum pour 0,5 s ( angene en poinillés sur le graphe ci-après) puis écroî jusqu à enre vers 0 pour es valeurs suffisammen élevées e. Les variaions analysées son onc ou à fai en accor avec le graphe P(, ce qui jusifie son allure. 3.. La valeur e l énergie emmagasinée lorsque la charge es erminée es la valeur asympoique e e ( que l on peu lire graphiquemen sur l axe es oronnées : e (finale ) 3,3 mj L énergie finale emmagasinée a pour expression e (finale ) u c ( finale) avec u c (finale ) 4,0 V. Numériquemen : e (finale ) x 4,0 3,.0-3 J. Les eux valeurs son rès voisines ce qui cohéren. e (finale ) 3,3 mj orrecion e l exercice 6 ension riangulaire aux bornes un conensaeur voie. La masse M u monage es à la joncion u coneur ohmique e u conensaeur ( cf figure ). La connexion à la voie perme e visusaliser la ension u, mais par conre la connexion à la voie visualise la ension - u R : il fau onc inverser la voie pour visualiser u R représenée sur le schéma. q -q. La relaion enre i e u R es u R R i ( loi Ohm en convenion récepeur ). M 3. La ension u R visualise au coefficien muliplicaif /R près l inensié i u couran. 4. La relaion enre i e u es : i(.. ( relaion charge-inensié q qu il fau savoir émonrer à parir es relaions charge-inensié ( i ) e e la relaion charge-ension ( q.u ). 5.. Dans l inervalle e emps [T ; T ], la ension u es une foncion affine e.,4 DIV 5.. es le coefficien ireceur e la roie représenaive e u c ( ans l inervalle [T ; T ]. n observan la figure e en enan compe e la sensibilié vericale sur la voie ( V/DIV ) e e la sensibilié horizonale ( ms/div), on obien : +,3 DIV 0,5DIV voie inversée (,3 -(-,3)) x,4 x 0-3 3,8.0 3 V.s - -,3 DIV

6 ORRIG XRIS TS 6/0 DIPOL R 5.3. Dans l inervalle e emps [T ; T ], La érivée e u éan consane, l inensié i. es égalemen consane e il en es e même e u R R.i, ce qui explique que le graphe u R es un segmen e roie parallèle à l axe es emps D après la loi Ohm : i u R R 0,5 (DIV)x ( 0,5 V/DIV),0.0 3,5.0-4 A 0,5 ma i, , , F 66 nf 6. i. change e signe après T, car change brualemen e signe à la raversée e la ae T. orrigé e l exercice 7 Tension en créneaux appliquée à un ipôle R. onnexions ( cf figure )... Le conensaeur se chargean penan l inervalle e emps [0, T/ ], la charge q augmene e il en es onc e même e u. La loi aiivié es ensions onne : u e u + u S cse ans [0, T/ ]. Donc u augmenan, u S R.i oi iminuer e en vers 0 ( car u en vers u e ), onc i iminue au cours u emps ans [0, T/ ] e en vers 0 A u S (0) u e (0) - u (0). Le conensaeur éan iniialemen échargé, on a u (0) 0. Il en résule que u S (0) u e (0) 5,0 V.. R.,.0 3 x 0.0-9,.0-5 s. La périoe T /f 0-3 s. On en éui : u S ( T,.0 5 4, On en éui que T/.. On en conclu qu au bou une emipérioe T/, le conensaeur es complèemen chargé ( T/ > 5 ).3. On en éui l allure e u S ( ans [0, T/ ] voie u q voie T/ T 3.. La loi aiivié es ensions onne : u e (T/ + ) u (T/ + ) + u S (T/ + ) 0 V. On en éui que : u S (T/ + ) - u (T/ + ). La coninuié e u onne u (T/ + ) u (T/ - ) 5,0 V. On en éui que : u S (T/ + ) - 5,0V < 0. D aure par, comme le conensaeur se écharge ans l inervalle e emps [T/ ; T ]., u iminue e sachan que u S ( ) - u ( ), il en résule que u S augmene ans l inervalle [T/ ; T ]. 3.. Voir schéma compléé ci-avan. Qui se éui e la quesion 3..

7 ORRIG XRIS TS 7/0 DIPOL R 3.3. e V u S ( - 5V T/ T T 3T 4T u ( B. On ferme l inerrupeur K La ioe es supposée iéale ce qui signifie qu elle se compore comme un fil sans résisance lorsqu elle es passane ; 4. La ioe es bloquée si u S ( > 0 V. La ioe es passane si u S 0 V. Pour 0 < < T/ on a u e 5,0 V e u S > 0 V: la ioe es bloquée e se compore comme un inerrupeur ouver. La ension u S présene onc les mêmes variaions que ans le circui u paragraphe A. Pour T/ < < T u e u R + u 0 V ( le ipôle R es alors en cour-circui ) e u éan posiif, u R ne peu êre que négaif : la ioe es onc passane e, comme elle es iéale, la ension à ses bornes es nécessairemen nulle e onc la ension u S 0. On a alors une ension u S ie reressée on les variaions son onnées ci-après sur l inervalle [0, 4T ]. u S ( T T 3T 4T xercice 8 : sockage énergie : le flash élecronique. 00 éclairs inensié lumineuse e e urée maximale, corresponen à une énergie emmagasinée e 8/ 9,0 kj. Un éclair inensié e e urée maximale libère onc une énergie e 9,0.0 3 / J si l on suppose que l énergie emmagasinée par le conensaeur es inégralemen ransformée en énergie lumineuse.. L énergie emmagasinée par le conensaeur sous une ension U vau : U'.On en éui : / U x 90 / 300,0.0-3 F,0 mf 3. La consane e emps u circui e charge es elle que 5 s. D où /5, s. 4. D après la relaion R., on éui : R /, / (,0.0-3 ),.0 3 Ω, kω. xercice 9 : principe e foncionnemen une minuerie I Éue u circui R. Pour les connexions voir schéma.. D'après la loi 'aiivié es ensions: u AB + u BD Soi : u R + u Loi 'Ohm: u R R.i + K P i( R q( A B u voie M L D

8 ORRIG XRIS TS 8/0 DIPOL R Orienons le circui ( cf schéma ) e écrivons les iverses relaions u conensaeur en convenion récepeur. Les q relaions u conensaeur s écriven : i (relaion charge inensié ) ; q.u ( (relaion charge-ension ) (. La combinaison es eux relaions précéenes onne : i ( )) u. e qui onne i. c( ( car es une u consane ). n enan compe e la loi aiivié, on obien : R.. c( ) + u (, équaion ifférenielle e la charge u conensaeur. u 3.a. u ( A ( e / ) A A.e / La érivée e u s écri : ( ) A.e / Insérons, ces expressions ans l'équaion ifférenielle. Il vien : R.. A.e / + A A.e /. On obien : ( A ) + ( A - AR. )..e / 0 quelque soi. Pour que cee égalié soi vérifiée, il fau e il suffi que : A e A ( - e 0 ). On obien onc : R. 3.b. L'équaion ifférenielle éablie es : R.. n régime permanen, u ( es consane, onc u c( + u (. R. ) 0 soi u c( 0. Il vien u (. Donc u 30 V. 3.c. es appelée consane e emps. Analyse imensionnelle : loi Ohm R I U [ U ] [ Q] [R ] [] I [ U ] [ Q] [] I. Or I s'exprime en secones (s). 4. Q Δ R ( car A es ifféren Relaion charge ension : Soi soi [I] [Q].[T]. D où : [R ] [T]. R es onc homogène à un emps. U l 0 V Régime ransioire Régime permanen à s 5. R ,0 s

9 ORRIG XRIS TS 9/0 DIPOL R 6.a. La ae o es éfinie par la relaion : u ( 0 ) U l.( Il en résula que : o / e U l U l Il vien : o o / e ) On en éui : ln U l. D où : 0. ln U l / e o 30 6.b. Applicaion numérique : 0 0,0 ln s Graphiquemen, on vérifie que pour on a bien u U l. ( cf consrion sur le graphe ci-avan ). 6.c. D'après le graphe e (, varie «rès peu» ans la parie où 0 >>. La comparaison enre e U l evien imprécise, ainsi l'allumage e la lampe n'aura pas la même urée à chaque fois éan proporionnel à, si l on augmene R ou, alors augmene. La urée 'allumage e la lampe augmene. onsane e emps 'une minue: R. soi R R kω U l 8.a) Lorsqu'on appuie sur le bouon poussoir, on cour-circuie le conensaeur (écharge insananée), alors u 0 V. On a u < U l. Si la lampe es éjà allumée: la lampe rese allumée, e on a ainsi remis la minuerie à zéro. Si la lampe es éeine, elle s'allume. II Méhoe 'uler u. L'équaion ifférenielle éablie es : R. c( ) + u (. On en éui : u ( R. u c( u. ( u ( ) soi c( (30 u ( ) R 0,0 u c(. Par hypohèse : Δu c( ( + Δ - ( (. On en éui u ( + Δ ) - u ( Δ Δ u u ( + Δ ) u ( + c( ). Δ u c(. Δ. D où : 3. u u () u (0) + ( ). Δ 0 u () 0 +,50 3,00 V u u (4) u () + ( ). Δ u (4) 3,00 +,35 5,70 V (s) u ( 0 3,00 5,70 8,4 0,3,3 4, 9,6 u (,50,35,,09 0,99 0,89 0,80 0,5 ( ) u (30 u ( )) 0,0 ( ) u (30 u (4 )) 0,0 ( ) u (30 3,00 ),35 V.s ( ) u (30 5,70 ), V.s 0,0 0,0 4 4

10 ORRIG XRIS TS 0/0 DIPOL R 3. La courbe racée en uilisan la méhoe 'uler es assez proche e la courbe expérimenale. Les valeurs calculées son cepenan légèremen supérieures aux valeurs expérimenales. ourbe obenue par la méhoe uler 4. Pour améliorer la précision e la méhoe 'uler, il fau iminuer la valeur u pas Δ, mais cela présene l'inconvénien e evoir faire plus e calculs.