TD n o 1 : suites numériques

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1 MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : Plusieurs des exercices ci-dessous e sot d ailleurs tirés. Il est crucial, pour toute la partie du cours sur les séries umériques, d être à l aise avec les suites umériques, les otios de limite et de cotiuité et les développemets limités. Vérifiez doc cette aisace à l aide des QCM, exercices, cours et complémets du site. Exercice : Quelques exemples Doer des exemples des situatios suivates :. Ue suite décroissate positive e tedat pas vers. 2. Ue suite borée o covergete. 3. Ue suite positive o borée e tedat pas vers Ue suite o mootoe qui ted vers. 5. Deux suites divergetes (u ) et (v ) telles que (u v ) soit covergete. Exercice 2 : Des suites défiies par récurrece Soit f ue foctio cotiue de [,] das [,] telle que f() =, f() = et x ],[, f(x) < x.. O défiit par récurrece ue suite (u ) : { u [,],, u + = f(u ). Motrer que la suite (u ) coverge et doer sa limite. 2. O défiit par récurrece ue suite (v ) : { v = /2,, v + = v 2 v. Motrer que la suite (v ) coverge et doer sa limite.

2 Exercice 3 : Applicatios cotractates Soit I u itervalle fermé de R, F ue applicatio de I das lui-même et ρ u ombre réel de [,[. O suppose que F vérifie : x,y I, F(x) F(y) ρ x y. Motrer que la suite (u ) défiie par u I et u + = F(u ) coverge, et que sa limite est l uique poit fixe de F. O pourra commecer par motrer que (u ) est ue suite de Cauchy. Exercice 4 : Limite d u produit Rappeler la démostratio du résultat suivat. Soiet (u ) et (v ) des suites de ombres complexes. Si (u ) et (v ) coverget, alors (u v ) coverge et lim u v = (lim u ) (lim v ). Exercice 5 : Calcul de limites à l aide des foctios usuelles Calculer la limite, si elle existe, des suites suivates.. u = + 3+2i 2. u =. 3. u = + 4. u = (log ( 4 )+ ) u =! 6. u = ta(/)cos(2+) 7. u = (+)2 (+) ilog(2) 8. u = log 9. u = log(2 +3 2) log( /3 ). u = (e 2 ) Exercice 6 : Développemets limités Doer u développemet limité pour (u ) (lorsque ted vers l ifii) avec u reste e o(/ 2 ), das chacu des cas suivats :. u = u = log( + ) 2 3. u = +2 ( 4. u = + ) +2

3 Exercice 7 : Bore supérieure, bore iférieure Pour chacu des esembles suivats, détermier s il est majoré, s il est mioré, s il a u maximum, s il a u miimum, et le cas échéat détermier ses bores supérieures et iférieures.. A = {( ) N} 2. B = {( ) / N } 3. C = {( ) N } 4. D = { + N} E = {,m N } m Exercice 8 : Suites extraites Soit (u ) ue suite complexe.. Motrer que si les suites extraites (u 2 ) et (u 2+ ) coverget vers la même limite, alors (u ) coverge. 2. Motrer que si les suites extraites (u 2 ), (u 2+ ) et (u 3 ) coverget, alors (u ) coverge aussi. Exercice 9 : Ue somme téléscopique. Détermier trois réels A,B,C tels que pour tout x R différet de, et o ait : x(x 2 ) = A x + B x + C x+ 2. E utilisat cette relatio pour x = 2,3,,, détermier pour chaque etier 2 ue expressio simple de S := k=2 k(k 2 ) = 2(2 2 ) + 3(3 2 ) + + ( 2 ) 3. E déduire que la suite (S ) coverge et détermier sa limite. Exercice : Suites adjacetes. Pour chacu des couples suivats, motrer que les suites (u ) et (v ) sot adjacetes. (a) u = k et v 2 = u +. k=

4 (b) u = k= k 3 et v = u + 2. (c) u = a >, v = b > a, v + = u +v 2 et u + = u v. 2. O défiit à préset les suites (u ) et (v ) par u = k= k! et v = u +!. (a) Motrer que ces suites sot adjacetes. Leur limite commue est otée e (c est exp() = e ). (b) Motrer que e est pas ratioel (o pourra raisoer par l absurde : e supposat que e = p/q, o peut oter que, pour tout N, o a!u <!p/q <!v ; choisir tel que!p/q soit etier permet alors de coclure). Exercice : Moyees de Césaro Soit (u ) ue suite de ombres complexes. O ote :, S = (u +...+u ).. Motrer que si (u ) coverge das C, alors (S ) coverge vers la même limite. 2. Exhiber ue suite (u ) divergete telle que (S ) coverge. 3. Soit (u ) ue suite de ombre réels strictemet positifs telle que u + Motrer que (u / ) coverge vers la même limite. u coverge. Exercice 2 : Limite supérieure et limite iférieure Soit (u ) ue suite borée de ombres réels. O défiit les suites i et s par : N, i = if{u k t.q. k } et s = sup{u k t.q. k }.. Motrer que (i ) et (s ) coverget. La limite de i est appelée limite iférieure de la suite (u ) et est otée limif u. Celle de s est appelée limite supérieure de la suite (u ) et est otée limsup u. 2. Motrer qu il existe ue sous-suite de (u ) covergeat vers limif u et ue autre covergeat vers limsup u. Cela doe doc ue autre démostratio du théorème de Bolzao-Weierstrass. 3. Motrer que (u ) coverge si et seulemet si (i ) et (s ) coverget das R vers la même limite.

5 MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier Greoble TD o 2 : Séries à termes positifs Exercice 3 : Nature de séries Détermier la ature des séries de terme gééral :. u = e 5 + ; 2. u = ; 3. u = e + ; 4. u = e + ; ( 5. u = l + ) 6. u = e 4+si ; 7. u = l(+ ) + ; 6. u = 2 ( ( ); 8. u = l ; ( 9. u = + ) ( );. u = e ;. u = e ; ( 2. u = ) ( 2); 3. u =! ( ); 4. u = l e si cos (l( ) ) 2 ). α ( ) (discuter selo la valeur du réel α); ( ) 5. u = ta ; Exercice 4 : Trasformatio I Soit (u ) ue suite de ombres positifs telle que u coverge. Motrer que la série u u + coverge. Exercice 5 : Série à terme gééral défii par ue récurrece Soit (u ) la suite défiie par u = et u + = siu +. Motrer que pour tout N o a u [,], puis motrer que la série u coverge.

6 Exercice 6 : Séries à terme gééral positif décroissat Soit (u ) ue suite positive décroissate telle que u coverge. Motrer que pour tout ε > il existe N N tel que pour tout > N o ait ( N)u ε. E déduire que u ted vers quad ted vers +. Doer u exemple de suite positive (v ) telle que v coverge et v e ted pas vers. Exercice 7 : Trasformatio II Soit (u ) ue suite à termes positifs, et otos v =. + 2 u. Motrer par des exemples que la divergece de u e permet pas de détermier la ature de v. O suppose das la suite que u coverge et o va motrer que v diverge. 2. Traiter le cas où 2 u e ted pas vers Traiterlecasoù 2 u + eappliquatl iégalitédecauchy-schwarzà N = u /2 v /2. Exercice 8 : Trasformatio III dérivée logarithmique Soit (u ) ue suite réelle positive. Pour tout N o ote S = u p. Comparer la ature des séries u et u S (idicatio : o pourra cosidérer logs + logs ). p=

7 MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier Greoble TD o 3 : séries à termes quelcoques Exercice 9 : Natures de séries Détermier la ature des séries de terme gééral :. u = ( ) l ; ( ) 2. u = ( ) + ( ) ; 3. u = ( ) +( ) ; 4. u = ( ) e foctio de a C; +a ( ) 5. u = ; +( ) ( ( ) 6. u = si 7. u = 8. u = cos(3) l() ; ) ; ( ) ; 9. u = ( ) cos(). l(l()) Exercice 2 : Liéarisatios Rappeler la formule d Euler sur les polyômes trigoométriques puis détermier la ature des séries de terme gééral :. u = si3 () ; 2. u = sik ()cos l () où k,l N sot fixés et k et l de parités différetes ou bie si k = l; 3. u = si(). Exercice 2 : Comparaiso avec ue itégrale E utilisat la comparaiso avec ue itégrale, étudier e foctio de α R la ature des séries suivates :

8 . (l) α ; 2. (l)(l(l)) α. Idicatio : o pourra das le premier cas calculer la dérivée de x (lx) β. Exercice 22 : Petits o Soit (u ) ue suite à termes réels.. Doer u exemple tel que u coverge et u 2 diverge. 2. O suppose maiteat que u et u 2 coverget et que f est ue applicatio de R das R deux fois dérivable e, telle que f() =. Motrer que f(u ) coverge. Exercice 23 : Calcul de sommes Motrer que les séries suivates coverget et calculer leurs sommes :. ( ) 2. =3 = 2 +2! 3. = cos()! Exercice 24 : Formule de Taylor avec reste itégral O ote f la foctio x l(+x) défiie sur ],+ [ et o fixe λ ],].. Motrer que la série de terme gééral u = ( ) λ (où ) coverge. 2. Motrer que sa somme vérifie 3. E déduire la somme de = + = ( ) λ ( ) et de =2 = l(+λ) 2. Exercice 25 : Calcul de x Soit x u ombre réel, avec x <.. Motrer que x et x coverget. 2. Doer des expressios fermées (c est-à-dire sas sige ) de N = x et N x. =

9 3. E déduire la valeur de x. 4. Motrer que les séries suivates coverget et calculer leurs sommes : ( (a) ( 2)3 +( 3)2 ) (b) ( 2 2)3 = = Exercice 26 : Attetio à la semi-covergece Soit u ue série covergete à termes complexes. Motrer que la série u coverge. Exercice 27 : U pot-pourri Soiet a et b deux réels. O cosidére la série u avec u = a +b.. Osuppose b.pourquellesvaleursdealasérieest-elleabsolumetcovergete? 2. Même questio pour b >. 3. O suppose a =. Pour quelles valeurs de b la série est-elle covergete? 4. Représeter das le pla les poits de coordoées (a,b) tels que la série est absolumet covergete, covergete, divergete. Exercice 28 : Règle de Raabe-Duhamel Soit (u ) ue suite de réels strictemet positifs. O suppose qu il existe a > et b > tels que : u + = a ( ) u +O. b. Pour tout N, o pose v = a u. Motrer que la série de terme gééral l v + v coverge. 2. E déduire la ature de la série de terme gééral u. Exercice 29 : Attetio à l ordre de sommatio. O cosidère la série semi-covergete u ( ). Motrer que pour toute limite l [,+ ],opeuttrouveruebijectioϕ : N Ntellequelasérie u ϕ() coverge vers l.

10 MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier Greoble TD o 4 : Itégrabilité des foctios à valeurs positives Exercice 3 : Rappels de primitives Pour chacue des itégrales suivates, détermier les itervalles I tels que l itégrale soit bie défiie lorsque a et b sot das I calculer alors la valeur de l itégrale, détermier si I est compact ou o, si supi (resp. ifi) appartiet pas à I détermier la limite de l itégrale, si elle existe lorsque b ted vers supi (resp. lorsque a ted vers ifi).. b a t dt avec N 2. b P(t) dt, avec P polyôme de degré d a 3. b a eαt dt avec α C 4. b a t dt 5. b a t dt 6. b a t/3 dt 7. b a dt +t 2 Exercice 3 : Ue fractio ratioelle. Détermier trois réels A,B,C tels que pour tout x > : 2. Calculer pour X > : x(x+)(x+2) = A x + B x+ + C x+2 I(X) = X dx x(x+)(x+2) 3. Quelle est la limite lorsque X + de I(X)? Que peut-o doc dire de l itégrale impropre + dx? x(x+)(x+2) Exercice 32 : Chagemet de variable Soit X [,+ [. Calculer I(X) = X dt puis détermier la limite de I(X) lorsque cht X +.

11 Exercice 33 : Itégratio par parties Détermier ue primitive F de la foctio f : [,+ [ [,+ [ t t 2 e t E déduire que l itégrale impropre + f(t) dt coverge, et détermier sa valeur. Exercice 34 : Nature d itégrales impropres Détermier la ature de chacue des itégrales impropres suivates lx x+e x lx x+e x lx x+e x six x 2 + dx +x 2 six ; lx x e x (x+2 x 2 +4x+) ( 3 x 3 + x 2 +) e x 2 x x (lx) 3 2+six+si 2 x 3 x4 +x 2 e x2 lx x Exercice 35 : Limite et covergece de l itégrale. Soit f : [,+ [ [,+ [ ue foctio cotiue par morceaux telle que f(t) l quad t +, avec l > ou l = +. Motrer que + f(t)dt diverge. 2. Doer u exemple de foctio cotiue par morceaux g : [,+ [ [,+ [ telle que g(t) quad t + et + g(t) dt coverge. Exercice 36 : Deux équivalets. Détermier la ature des itégrales impropres e t t dt et + e t t dt.

12 + e t 2. Pour tout x >, o pose f(x) = dt. Calculer sa limite e +. x t 3. Utiliser ue itégratio par parties pour motrer que : f(x) x + e x x. 4. Motrer que : f(x) x + l x. Exercice 37 : Dérivée logarithmique Soit f : [,+ [ ],+ [ ue foctio cotiue. Pour tout x [,+ [ o ote F(x) = x f(t)dt. Motrer que les itégrales impropres + f(t)dt et + f(t) dt ot même ature. F(t) Exercice 38 : Tiré de l exame de rattrapage 2 Pour tout etier o pose u = (+)π π cos 2 x (+)π +x dx, v si 2 x = π +x dx. Calculer a := u +v et vérifier que la série a diverge. 2. E utilisat ue itégratio par parties, motrer que pour tout > o a u v 2π 2 3. Déduire des résultats précédets que u et v sot deux séries divergetes. 4. Si α est u paramètre réel, o pose f α (x) = si2 x (+x) α x Détermier les valeurs de α pour lesquelles la foctio f α est itégrable sur [,+ [.

13 MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier Greoble TD o 5 : Itégrales impropres, cas gééral Exercice 39 : + si(t) dt est pas absolumet covergete π t Pour tout, o pose : (+)π si(t) u = dt. t π. Détermier u réel a > tel que pour tout x [π + π,π + 3π ], si(x) a E déduire u réel b > tel que u b pour tout E déduire que + si(t) dt est divergete. π t Exercice 4 : Nature d itégrales impropres Détermier la ature de chacue des itégrales impropres suivates cosx l(x) si(x ) l(x) six x+e x e ix x /2 +x /4 si(x) cos 2 x x si 3 (x) x+2 si 2 (x) x( x 2 )l x Exercice 4 : + f(t α ) dt pour ue foctio périodique de moyee ulle Soit f ue foctio cotiue sur R, périodique, de période, et telle que f(t) dt =. O rappelle qu ue foctio cotiue sur u itervalle compact est borée sur cet itervalle.. Motrer que la foctio f est borée sur R, et e déduire que la foctio F défiie par F(x) = x f(t) dt est borée sur R. 2. Motrer que + f(t) dt coverge pour tout a ],[. t a 3. E déduire que + f(t α ) dt coverge pour tout α >. 4. Motrer que + si( t) dt est divergete.