EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES

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1 EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICE 1 : 1) Ecrire u programme qui revoie le lacer d u lacer de dé équilibré 2) Trasformer le programme précédet pour qu il simule ue série de 100 lacers d u dé équilibré 3) Le trasformer à ouveau pour qu il affiche la somme et la moyee des résultats de ces lacers 4) Ecrire u script qui revoie la lacer d u dé pipé tel que : La probabilité d obteir 6 est égale à 1 2 Toutes les autres valeurs sot équiprobables 5) Ecrire u script qui simule ue série de 100 lacers d u dé o équilibré telle que la probabilité d avoir l as est 1 3,la probabilité d avoir «six» est 1, et les probabilités 3 d avoir 2,3,4 ou 5 est obteu et qui affiche cette série de 100 lacers et doe le ombre de ième EXERCICE 2 : simulatio du temps d attete du succès O effectue des lacers successifs d u dé hoête O ote X la variable aléatoire égale au ombre de lacers écessaires à l obtetio du a) Ecrire u script qui simule cette expériece et affiche la valeur de X 1 b) Ecrire u script qui simule cette expériece et affiche la valeur de X 2 ième 6 c) Ecrire u script qui simule cette expériece et affiche la valeur de X pour ue valeur de l etier aturel o ul doé par l utilisateur d) O effectue m fois le lacer de ce dé hoête (la valeur de l etier aturel m o ul doé par l utilisateur) Soit X la variable aléatoire égale au ombre de lacers écessaires à l obtetio du premier 6 ou 0 si le 6 e sort jamais au cours de ces m lacers e) Ecrire u script qui simule cette expériece et affiche la valeur de X EXERCICE 3 : Ecrire u script qui permet de simuler le tirage avec remise de 100 boules das ue ure coteat des boules de couleurc1 ouc 2 ou C 3 e proportio respectivemet 1, 1, 1 et qui affiche le ombre de boules de chaque couleur à l issue des 100 tirages

2 EXERCICE 4 : O lace ue pièce équilibrée (la probabilité d obteir pile et celle d obteir face état doc toutes les deux égales à 1 ) et o ote Z la variable aléatoire égale au rag du lacer où l o 2 obtiet le premier pile. Après cette série de lacers, si Z a pris la valeur k (k IN*), o remplit ue ure de k boules umérotées 1, 2,..., k, puis o extrait au hasard ue boule de cette ure. O ote X la variable aléatoire égale au uméro de la boule tirée après la procédure décrite cidessus. O décide de coder l évéemet «obteir u pile» par 1 et l évéemet «obteir u face» par 0. 1) Compléter le programme suivat pour qu il affiche la valeur prise par Z lors de la première partie de l expériece décrite ci-dessus. 2) Quelle istructio faut-il rajouter avat la derière lige de ce programme pour qu il simule l expériece aléatoire décrite das ce problème et affiche la valeur prise par la variable aléatoire X? EXERCICE 5 : U mobile se déplace sur les poits à coordoées etières d u axe d origie O. Au départ, le mobile est à l origie. Le mobile se déplace selo la règle suivate : s il est sur le poit d abscisse k à l istat, alors, à l istat ( + 1) il sera sur le poit d abscisse (k + 1) avec la probabilité 1 ou sur le 3 poit d abscisse 0 avec la probabilité 2 3 Pour tout de, o ote X l abscisse de ce poit à l istat et l o a doc X0 = 0. Par ailleurs, o ote T l istat auquel le mobile se trouve pour la première fois à l origie (sas compter so positioemet au départ). Par exemple, si les abscisses successives du mobile après so départ sot 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, alors o a T = 1. Si les abscisses successives sot : 1, 2, 3, 0, 0, 1, alors o a T = 4. 1) Compléter le programme suivat pour qu il simule l expériece aléatoire étudiée et affiche la valeur prise par X pour ue valeur de etrée par l utilisateur.

3 2) Modifier le programme précédet pour qu il simule l expériece aléatoire décrite das ce problème et affiche la valeur prise par la variablet au lieu de celle de la variable X EXERCICE 6 : O lace idéfiimet ue pièce doat "Pile" avec la probabilité p 0,1 et "Face" sio. O suppose que les lacers sot mutuellemet idépedats. Pour tout etier aturel k, supérieur ou égal à 2, o dit que le k ième lacer est u chagemet s'il amèe u résultat différet de celui du ( k 1) ième lacer. Pour tout etier aturel 2 o ote X la variable aléatoire égale au ombre de chagemets surveus durat les premiers lacers. O décide de coder l évéemet «obteir u pile» par 0 et l évéemet «obteir u face» par 1. 1) Ecrire ue foctio scilab qui simule u lacer de pièce 2) Itégrer cette foctio das u script qui demade les valeurs de et p à l utilisateur et affiche la valeur prise par la EXERCICE 7 : Ecrire u script qui simule ue série de 20 lacers de deux dés équilibrés bleu et rouge Soit X la variable aléatoire qui pred pour valeur le uméro idiqué par le dé bleu Soit Y la variable aléatoire qui pred pour valeur le uméro idiqué par le dé rouge Ecrire u script qui affiche les valeurs prises par la variable aléatoire max( XY, ) Ecrire u script qui affiche les valeurs prises par la variable aléatoire X Y max( XY, )

4 CORRECTIONS EXERCICE 1 : 1) Ecrire u programme qui revoie le lacer d u lacer de dé équilibré OU 2) Trasformer le programme précédet pour qu il simule ue série de 100 lacers d u dé équilibré 3) Le trasformer à ouveau pour qu il affiche la somme et la moyee des résultats de ces lacers 4) Ecrire u script qui revoie le lacer d u dé pipé tel que : La probabilité d obteir 6 est égale à 1 2 Toutes les autres valeurs sot équiprobables doc de probabilité ) Ecrire u script qui simule ue série de 100 lacers d u dé o équilibré telle que la probabilité d avoir l as est 1 3,la probabilité d avoir «six» est 1, et les probabilités 3 d avoir 2,3,4 ou 5 est obteu et qui affiche cette série de 100 lacers et doe le ombre de

5 ième EXERCICE 2 : simulatio du temps d attete du succès O effectue des lacers successifs d u dé hoête O ote X la variable aléatoire égale au ombre de lacers écessaires à l obtetio du a) Ecrire u script qui simule cette expériece et affiche la valeur de X 1 ième 6 b) Ecrire u script qui simule cette expériece et affiche la valeur de X 2 c) Ecrire u script qui simule cette expériece et affiche la valeur de X pour ue valeur de l etier aturel o ul doé par l utilisateur

6 d) O effectue m fois le lacer de ce dé hoête (la valeur de l etier aturel m o ul doé par l utilisateur) Soit X la variable aléatoire égale au ombre de lacers écessaires à l obtetio du premier 6 ou 0 si le 6 e sort jamais au cours de ces m lacers Ecrire u script qui simule cette expériece et affiche la valeur de X Rappel : Pour le trait droit : AltGr6

7 EXERCICE 3 : Ecrire u script qui permet de simuler le tirage avec remise de 100 boules das ue ure coteat des boules de couleurc 1, C2 ou C3 e proportio respectivemet 1, 1, 1 et qui affiche le ombre de boules de chaque couleur à l issue des 100 tirages EXERCICE 4 : O lace ue pièce équilibrée (la probabilité d obteir pile et celle d obteir face état doc toutes les deux égales à 1 ) et o ote Z la variable aléatoire égale au rag du lacer où l o 2 obtiet le premier pile. Après cette série de lacers, si Z a pris la valeur k (k IN*), o remplit ue ure de k boules umérotées 1, 2,..., k, puis o extrait au hasard ue boule de cette ure. O ote X la variable aléatoire égale au uméro de la boule tirée après la procédure décrite cidessus. O décide de coder l évéemet «obteir u pile» par 1 et l évéemet «obteir u face» par 0. 1) Compléter le programme suivat pour qu il affiche la valeur prise par Z lors de la première partie de l expériece décrite ci-dessus. 2) Quelle istructio faut-il rajouter avat la derière lige de ce programme pour qu il simule l expériece aléatoire décrite das ce problème et affiche la valeur prise par la variable aléatoire X?

8 EXERCICE 5 : U mobile se déplace sur les poits à coordoées etières d u axe d origie O. Au départ, le mobile est à l origie. Le mobile se déplace selo la règle suivate : s il est sur le poit d abscisse k à l istat, alors, à l istat ( + 1) il sera sur le poit d abscisse (k + 1) avec la probabilité 1 ou sur le 3 poit d abscisse 0 avec la probabilité 2 3 Pour tout de, o ote X l abscisse de ce poit à l istat et l o a doc X0 = 0. Par ailleurs, o ote T l istat auquel le mobile se trouve pour la première fois à l origie (sas compter so positioemet au départ). 1) Compléter le programme suivat pour qu il simule l expériece aléatoire étudiée et affiche la valeur prise par X pour ue valeur de etrée par l utilisateur. 2) Modifier le programme précédet pour qu il simule l expériece aléatoire décrite das ce problème et affiche la valeur prise par la variablet au lieu de celle de la variable X

9 EXERCICE 6 : O lace idéfiimet ue pièce doat "Pile" avec la probabilité p 0,1 et "Face" sio. O suppose que les lacers sot mutuellemet idépedats. Pour tout etier aturel k, supérieur ou égal à 2, o dit que le k ième lacer est u chagemet s'il amèe u résultat différet de celui du ( k 1) ième lacer. Pour tout etier aturel 2 o ote X la variable aléatoire égale au ombre de chagemets surveus durat les premiers lacers. O décide de coder l évéemet «obteir u pile» par 0 et l évéemet «obteir u face» par 1. 1) Ecrire ue foctio scilab qui simule u lacer de pièce 2) Itégrer cette foctio das u script qui demade les valeurs de et p à l utilisateur et affiche la valeur prise par la variable aléatoire X

10 EXERCICE 7 : Ecrire u script qui simule ue série de 20 lacers de deux dés équilibrés bleu et rouge Soit X la variable aléatoire qui pred pour valeur le uméro idiqué par le dé bleu Soit Y la variable aléatoire qui pred pour valeur le uméro idiqué par le dé rouge Ecrire u script qui affiche les valeurs prises par la variable aléatoire max( XY, ) Ecrire u script qui affiche les valeurs prises par la variable aléatoire X Y