LOIS DE PROBABILITÉS CONTINUES

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1 LOIS DE PROBABILITÉS CONTINUES Probabiliés Sujes de Bac Eercice (Cenre éranger Groupe, juin 23) Une enreprise desser une région monagneuse. En chemin, les véhicules peuven êre bloqués par des incidens eérieurs comme des chues de pierres, la présence de roupeau sur la roue, ec, Un auocar par de son enrepô. On noe D la variable aléaoire qui mesure la disance en kilomères que l auocar va parcourir jusqu à ce qu il survienne un inciden. On adme que D sui une loi eponenielle de paramère λ =, appelée aussi loi de durée de vie sans 82 vieillissemen. A On rappelle que la loi de probabilié es alors définie par p( D A) = e d. 82 Dans ou l eercice les résulas numériques seron arrondis au millième. ) Calculer la probabilié que la disance parcourue sans inciden soi : a) comprise enre 5 e km ; b) supérieure à 3 km. 2) Sachan que l auocar a déjà parcouru 35 kilomères sans inciden, quelle es la probabilié qu il n en subisse pas non plus au cours des prochains 25 kilomères? 3) Déerminaion de la disance moyenne parcourue sans inciden. A a) Au moyen d une inégraion par parie, calculer I (A) = e d ; où A es un 82 nombre réel posiif. b) Calculer la limie de I(A) lorsque A end vers +. (Cee limie représene la disance moyenne cherchée). 4) L enreprise possède N auocars. Les disances parcourues par chacun des auocars enre l enrepô e le lieu où survien l inciden son des variables aléaoires deu à deu indépendanes e de même loi eponenielle de paramère λ =. 82 d es un nombre réel posiif, on noe X d la variable aléaoire égale au nombre d auocars ayan subi aucun inciden après avoir parcouru d kilomères. a) Monrer que X d sui une loi Binomiale de paramères N e e λd. b) Donner le nombre moyen d auocars n ayan subi aucun inciden après avoir parcouru d kilomères

2 Eercice 2 (La Réunion, juin 23) Ce eercice compore 3 quesions indépendanes. Une quesion compore 4 affirmaions repérées par les leres a., b., c., d.. Aucune jusificaion n'es demandée pour ce eercice. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle es vraie ou fausse. Vous inscrirez en oues leres «VRAI» ou «FAUX»dans la case correspondane du ableau donné en annee à rendre avec la copie. ) Une urne conien 75 boules blanches e 25 boules noires. L'epérience élémenaire consise à irer une boule. Les boules on oues la même probabilié d'êre irées. On effecue n irages indépendans e avec remise, n désignan un enier supérieur à. Soi X la variable aléaoire prenan pour valeur le nombre de boules blanches irées. a. X sui une loi binomiale de paramères n e 4. b. P(X = ) = 2 2 n c. P (X < 5) = P (X > 5) d. E(X) =,75 n 2) Une maladie aein % d'une populaion donnée. Un es de dépisage de cee maladie a les caracérisiques suivanes : Chez les individus malades, 99 % des ess son posiifs e % négaifs. Chez les individus non malades, 98 % des ess son négaifs (les aures éan posiifs). Un individu es choisi au hasard dans cee populaion e on lui applique le es. On noe M l'événemen : «l'individu es malade» e T l'événemen : «le es praiqué es posiif». a. P M(T) + P (T) =, M b. P M(T) + P (T) = P(T) M c. P(T) = 2, d. Sachan que le es es posiif, il y a deu chances sur rois pour que l'individu esé ne soi pas malade. 3) La durée d'aene en secondes à la caisse d'un supermarché es une variable aléaoire Y qui sui la loi eponenielle de paramère,. Alors : a. La densié de probabilié de Y es la foncion f définie sur [ ; + [ par : f() = e,. b. Pour ou réel posiif, P(Y ) = e,. c. La probabilié d'aendre moins de 3 minues à cee caisse es, à, près, égale à,6. d. Il y a plus d'une chance sur deu que l'aene à cee caisse soi supérieure à une minue

3 Eercice 3 (Ce eercice fai parie de ceu qui on éé publiés sous la responsabilié de l Inspecion Générale de Mahémaiques) Un quincaillier achèe des ampoules à rois fournisseurs dans les proporions suivanes : 2 % au premier fournisseur, 5 % au deuième fournisseur e 3 % au roisième fournisseur. Le premier fournisseur fabrique 97 % d ampoules sans défau, le deuième fournisseur fabrique 98 % d ampoules sans défau, le roisième fournisseur fabrique 95 % d ampoules sans défau. ) On choisi une ampoule au hasard dans le sock. On noe : D l événemen «l ampoule es défecueuse», F l événemen «l ampoule provien du premier fournisseur», F 2 l événemen «l ampoule provien du deuième fournisseur» e F 3 l événemen «l ampoule provien du roisième fournisseur». a) Calculer la probabilié de l événemen D, noée P(D). b) Sachan que l ampoule choisie es défecueuse, quelle es la probabilié P D (F) qu elle provienne du premier fournisseur? Donner la valeur eace e une valeur approchée à 3 près de P D (F). 2) On suppose que la probabilié qu une ampoule soi sans défau es de,969. On mone 2 ampoules sur un lusre. Calculer la probabilié R qu une ampoule au plus soi défecueuse. On donnera une valeur approchée à 3 près de R. 3) La durée de vie en heures d une ampoule, noée T, sui une loi de durée de vie sans vieillissemen (ou loi eponenielle) de paramère λ = /5 = Selon cee loi, pour ou de [ ; + [, ( ) = P T λ e d. a) Quelle es la probabilié P qu une ampoule dure plus de 25 heures? Donner la valeur eace de P. b) Quelle es la probabilié P 2 qu une ampoule dure plus de 5 heures? Donner la valeur eace de P 2. c) Quelle es la probabilié P 3 qu une ampoule dure plus de 5 heures, sachan qu elle a déjà duré 25 heures? Donner la valeur eace de P 3. Eercice 4 (France méropoliaine, juin 24) On s inéresse à la durée de vie, eprimée en semaines, d un composan élecronique. On modélise cee siuaion par une loi de probabilié p de durée de vie sans vieillissemen définie sur l inervalle [ ; + [ : la probabilié que le composan ne soi plus en éa de marche au bou de semaines es λ p ([ ; [ ) = λe d. Une éude saisique, monran qu environ 5 % d un lo imporan de ces composans son p ; 2 =,5. encore en éa de marche au bou de 2 semaines, perme de poser ([ [) ln2 ) Monrer que λ =. 2 2) Quelle es la probabilié qu un de ces composans pris au hasard ai une durée de vie supérieure à 3 semaines? On donnera la valeur eace e une valeur approchée décimale au cenième près. 3) On adme que la durée de vie moyenne d m de ces composans es la limie quand A end vers + de A λe λ d. λa λa A λ Ae e a) Monrer que e λ + λ d =. λ b) En déduire d m ; on donnera la valeur eace e une valeur approchée décimale à la semaine près λ

4 Eercice 5 (Liban, juin 24) Le personnel d un rès grand hôpial es répari en rois caégories : les médecins, les soignans (non médecins) e le personnel AT (adminisraif ou echnique). 2 % des personnels son des médecins e 7 % son des soignans. 67 % des médecins son des hommes e 92 % des soignans son des femmes. On donnera une valeur approchée de ous les résulas à -4 près. ) On inerroge au hasard au membre du personnel de ce hôpial. a) Quelle es la probabilié d inerroger une femme soignane? b) Quelle es la probabilié d inerroger une femme médecin? c) On sai que 8 % du personnel es féminin. Calculer la probabilié d inerroger une femme AT. En déduire la probabilié d inerroger une femme sachan que la personne inerrogée fai parie du personnel AT. 2) Tou le personnel de ce hôpial a un emps de raje domicile-hôpial au plus égal à une heure e on suppose que la durée eace du raje es une variable aléaoire uniformémen réparie sur [ ; ]. On inerroge au hasard un membre du personnel de ce hôpial. Quelle es la probabilié pour que la personne inerrogée ai une durée de raje comprise enre 5 min e 2 min? 3) Une enreprise souhaie envoyer un courrier publiciaire à 4 personnes qui ravaillen dans ce hôpial. Elle a la lise du personnel mais ne connaî pas la foncion de chacun. Elle choisi au hasard 4 noms de la lise (en raison de la aille de la populaion, on considère qu il s agi de 4 irages successifs indépendans avec remise). Quelle es la probabilié que, sur les 4 courriers envoyés, eacemen soien reçus par des médecins? Eercice 6 (Polynésie, juin 24) Le laboraoire de physique d un lycée dispose d un parc oscilloscopes ideniques. La durée de vie en années d un oscilloscope es une variable aléaoire noée X qui sui la «loi de durée de vie sans vieillissemen» (ou encore la loi eponenielle de paramère λ avec λ > ). Toues les probabiliés seron données à -3 près. ) Sachan que p ( X > ) =,286, monrer qu une valeur approchée à -3 près de λ es,25. On prendra,25 pour valeur de λ dans la suie de l eercice. 2) Calculer la probabilié qu un oscilloscope du modèle éudié ai une durée de vie inférieure à 6 mois. 3) Sachan qu un appareil a déjà foncionné hui années, quelle es la probabilié qu il ai une durée de vie supérieure à di ans? 4) On considère que la durée de vie d un oscilloscope es indépendane de celle des aures appareils. Le responsable du laboraoire décide de commander 5 oscilloscopes. Quelle es la probabilié qu au moins un oscilloscope ai une durée de vie supérieure à ans? 5) Combien l éablissemen devai-il acheer d oscilloscopes pour que la probabilié qu au moins l un d enre eu foncionne plus de ans soi supérieure à,999? - 4 -

5 Eercice 7 (La Réunion, juin 24) Pour chaque quesion, une seule des quare proposiions es eace. Le candida indiquera sur la copie le numéro de la quesion e la lere correspondan à la réponse choisie. Aucune jusificaion n es demandée. Une réponse eace rappore poin ; une réponse ineace enlève un demi-poin ; l absence de réponse es compée poin. Si le oal es négaif, la noe es ramenée à. Première parie Pour réaliser des éiquees de publiposage, une enreprise uilise deu banques de données : B, conenan 6 adresses, don 2 son erronées e 5 88 son eaces, B 2, conenan 4 adresses, don 2 son erronées e 3 8 son eaces. ) On prélève au hasard, avec remise, éiquees parmi les 6 réalisées à l aide de B. La probabilié qu eacemen rois de ces éiquees comporen une adresse erronée es : A : B : C : D : ) Parmi les éiquees, on en choisi une au hasard. Sachan que l éiquee compore une adresse eace, la probabilié qu elle ai éé réalisée à l aide de B es : A :,98 B :, 4,95, 6,98 C :,6,98 D :,6,98 +,6,2, 6,98 +, 4,95 Deuième parie La durée de vie, eprimée en heures, d un robo ménager jusqu à ce que survienne la première panne es modélisée par une loi de probabilié p de durée de vie sans ; + (loi eponenielle de paramère λ =,5). vieillissemen définie sur l inervalle [ [ Ainsi la probabilié que le robo ombe en panne avan l insan es : ( [ ; [ ) λ λ p = e d. ) La probabilié qu un robo ai une durée de vie supérieure à 2 5 heures es : A : e B : 5 4 e C : e D : e 2) La durée de vie moyenne d un robo ménager es donnée par la formule λ E = lim λe d +. λ a) L inégrale λe d es égale à : A : λ 2 2 e λ B : λ λ e λ λ e + C : λe λe λ D : λ λ e λ λ e λ b) La durée de vie moyenne des robos, eprimée en heures, es : A : 3 5 B : 2 C : 253,24 D : 3-5 -

6 Eercice 8 (Suje Naional, sepembre 24) Un récipien conien un gaz consiué de deu sores de paricules : 75 % de paricules A e 25 % de paricules B. Les paricules son projeées sur une cible formée de deu comparimens K e K2. L epérience es modélisée de la manière suivane : - Une paricule au hasard parmi les paricules de ype A enre dans K avec la probabilié 3 e dans K2 avec la probabilié Une paricule au hasard parmi les paricules de ype B enre dans chacun des comparimens avec la probabilié 2. Parie A ) Soi une paricule au hasard. Déerminer la probabilié de chacun des événemens suivans : A : «la paricule isolée es de ype A e elle enre dans K» ; A2 : «la paricule isolée es de ype A e elle enre dans K2» ; B : «la paricule isolée es de ype B e elle enre dans K» ; B2 : «la paricule isolée es de ype B e elle enre dans K2» ; C : «la paricule enre dans K» ; C2 : «la paricule enre dans K2». 2) On procède 5 fois de suie e de façon indépendane à l épreuve décrie en inroducion. Le nombre de paricules éan rès grand, on admera que les proporions 75 % e 25 % resen consanes. Calculer la probabilié de l événemen E suivan : «il y a eacemen deu paricules dans K2». Parie B Un récipien conien le gaz décri précédemmen. Les paricules A son radioacives e se p la proporion de paricules A ransformen sponanémen en paricules B. On noe ( ) dans le gaz. Ainsi, à l insan =, on a p ( ) =,75. Plus généralemen, si es eprimé en années, on a ( ),75 p = e λ où λ es une consane réelle. La demi-vie des paricules de ype A es égale à 573 ans. 5 ) Calculer λ ; on prendra une valeur approchée à près par défau. 2) Au bou de combien d années, % des paricules de ype A se seron-elles ransformées en paricules de ype B? 3) Déerminer la valeur de pour laquelle il y aura auan de paricules de ype A que de paricules de ype B (on arrondira à l unié). Temps au bou duquel le nombre de paricules resanes es la moiié du nombre iniial

7 Eercice 9 (Amérique du Sud, novembre 25) Les paries A e B son indépendanes Alain fabrique, en amaeur, des appareils élecroniques. Il achèe pour cela, dans un magasin, des composans en apparence ous ideniques mais don cerains présenen un défau. On esime que la probabilié qu un composan vendu dans le magasin soi défecueu es égale à,2. Parie A On adme que le nombre de composans présenés dans le magasin es suffisammen imporan pour que l acha de 5 composans soi assimilé à 5 irages indépendans avec remise, e on appelle X le nombre de composans défecueu acheés. Alain achèe 5 composans. ) Quelle es la probabilié qu eacemen deu des composans acheés soien défecueu? Donner une valeur approchée de cee probabilié à près. 2) Quelle es la probabilié qu au moins un des composans acheés soi défecueu? Donner une valeur approchée de cee probabilié à 2 près. 3) Quel es, par lo de 5 composans acheés, le nombre moyen de composans défecueu? Parie B On suppose que la durée de vie T (en heures) de chaque composan défecueu sui une loi 4 eponenielle de paramère λ = 5 e que la durée de vie T 2 (en heures) de chaque composan non défecueu sui une loi eponenielle de paramère λ 2 = (on pourra se reporer au formulaire ci-dessous). ) Calculer la probabilié que la durée de vie d un composan soi supérieure à heures : a) si ce composan es défecueu ; b) si ce composan n es pas défecueu. Donner une valeur approchée de ces probabiliés 2 près. 2) Soi T la durée de vie (en heures) d un composan acheé au hasard. Démonrer que la probabilié que ce composan soi encore en éa de marche après heures de foncionnemen es : P( T ) =,2e +,98e. (on rappelle que la probabilié qu un composan vendu dans le magasin soi défecueu es égale à,2). 3) Sachan que le composan acheé es encore en éa de foncionner heures après son insallaion, quelle es la probabilié que ce composan soi défecueu? Donner une valeur approchée de cee probabilié à 2 près. Formulaire : Loi eponenielle (ou de durée de vie sans vieillissemen) de paramère λ sur [ ; + [ : b λ λ a Pour a b, P([ a ; b]) = e d ; pour c c, ( [ ; [ ) 4 λ λ P c + = e d

8 Eercice (Nouvelle-Calédonie, novembre 25) Ce eercice compore deu paries indépendanes. La parie I es la démonsraion d un résula de cours. La parie II es un Q.C.M. Parie I : Quesion de cours Soien A e B deu évènemens indépendans. Démonrer que A e B son indépendans. Parie II Pour chacune des quesions suivanes, une e une seule des quare proposiions es eace. Le candida indiquera sur sa copie le numéro de la quesion e la lere correspondan à la réponse choisie. Aucune jusificaion n es demandée. Une réponse eace rappore poin, une réponse fausse enlève,5 poin, l absence de réponse es compée poin. Si le oal de cee parie es négaif, la noe correspondan à la parie II es ramenée à zéro. ) Une urne compore cinq boules noires e rois boules rouges indiscernables au oucher. On erai simulanémen rois boules de l urne. Quelle es la probabilié d obenir deu boules noires e une boule rouge? A B ) Au cours d une épidémie de grippe, on vaccine le iers d une populaion. Parmi les grippés, un sur di es vacciné. La probabilié qu une personne choisie au hasard dans la populaion soi grippée es,25. Quelle es la probabilié pour un individu vacciné de cee populaion de conracer la grippe? A 2 B 3 4 3) Un joueur lance une fois un dé bien équilibré. Il gagne si le dé marque. Il gagne si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les aures cas. Soi X la variable aléaoire égale au gain du joueur. Quelle es la variance de X? C C D D A 2 B 3 C 6 D 7 4) La durée d aene T, en minues, à un péage d auoroue avan le passage en caisse es une variable aléaoire qui sui une loi eponenielle de paramère λ =. On a donc pour ou 6 réel > : P ( T ) λe λ < = d avec λ =, où désigne le emps eprimé en minues. 6 Sachan qu un auomobilise a déjà aendu 2 minues, quelle es la probabilié (arrondie à 4 près) que son emps oal d aene soi inférieur à 5 minues? A,289 B,3935 C,5654 D,

9 Eercice (Anilles, juin 26) Parie A Soi X une variable aléaoire coninue qui sui une loi eponenielle de paramère λ. On rappelle que ( ) densié associée. a λ λ P X a = e d. La courbe donnée en annee représene la foncion ) Inerpréer sur le graphique la probabilié P ( X ). 2) Indiquer sur le graphique où se li direcemen le paramère λ. On pose λ =,5. Parie B ) Calculer P ( X ), en donner une valeur eace puis une valeur approchée à 3 près par ecès. 2) Calculer P ( X 2). 3) Déduire des calculs précédens l égalié suivane : P ( X ) 4) Calculer l inégrale,5 e,5 obien ainsi l espérance mahémaique de la variable X. 2 =,73 à 3 près. d. Déerminer la limie quand end vers + de F() ; on Parie C Une machine ouil fabrique des cylindres. On mesure l écar, en diièmes de millimères, enre le diamère des cylindres e la valeur de réglage de la machine. On suppose que ce écar sui une loi eponenielle de paramère λ =,5. Si l écar es inférieur à, le cylindre es accepé. Si l écar es compris enre e 2, on procède à une recificaion qui perme d acceper le cylindre dans 8 % des cas. Si l écar es supérieur à 2, le cylindre es refusé. ) On prélève au hasard un cylindre dans la producion. a) Monrer que la probabilié qu il soi accepé es égale à,95 à 3 près. b) Sachan qu il es accepé, quelle es la probabilié qu il ai subi une recificaion? 2) On prélève de manière indépendane di cylindres de la producion. On suppose que le nombre de cylindres es suffisammen imporan pour assimiler ce irage à un irage successif avec remise. a) Quelle es la probabilié que les di cylindres soien accepés? b) Quelle es la probabilié qu au moins un cylindre soi refusé? - 9 -

10 2 y Eercice 2 (Liban, juin 26) La durée de vie d un robo, eprimée en années, jusqu à ce que survienne la première panne es une variable aléaoire qui sui une loi eponenielle de paramère λ, avec λ >. Ainsi, la probabilié qu un robo ombe en panne avan l insan es égale à ( ) λ λ P X = e d. ) Déerminer λ, arrondi à près, pour que la probabilié P ( X > 6) soi égale à,3. Pour la suie de l eercice, on prendra λ =,2. 2) À quel insan, à un mois près, la probabilié qu un robo ombe en panne pour la première fois es-elle de,5? 3) Monrer que la probabilié qu un robo n ai pas eu de panne au cours des deu premières,4 années es e. 4) Sachan qu un robo n a pas eu de panne au cours des deu premières années, quelle es, à 2 près, la probabilié qu il soi encore en éa de marche au bou de si ans? 5) On considère un lo de robos foncionnan de manière indépendane. Déerminer la probabilié que, dans ce lo, il y ai au moins un robo qui n ai pas eu de panne au cours des deu premières années. - -

11 Eercice 3 (Nouvelle-Calédonie, mars 27) Pour chaque quesion une seule des quare proposiions es eace. Le candida indiquera sur la copie le numéro de la quesion e la lere correspondan à la réponse choisie. Aucune jusificaion n es demandée. Une réponse eace rappore les poins aribués à la quesion, une réponse ineace enlève la moiié des poins aribués à la quesion, l absence de réponse es compée poin. Si le oal es négaif la noe es ramenée à. A. Un sac conien 3 boules blanches, 4 boules noires e boule rouge, indiscernables au oucher. On ire, au hasard, successivemen, rois boules du sac, en remean chaque boule irée dans le sac avan le irage suivan. Quesion : La probabilié de irer rois boules noires es : a) b) 9 8 c) 2 3 d) Quesion 2 : Sachan que Jean a iré 3 boules de la même couleur, la probabilié qu il ai iré 3 boules rouges es : a) b) 8 3 c) d) 92 B. Soi f la foncion définie sur [ ; ] par f ( ) = + m où m es une consane réelle. Quesion 3 : f es une densié de probabilié sur l inervalle [ ; ] lorsque : a) m = b) m = 2 c) m = e 2 d) m = e C. La durée de vie en années d un composan élecronique sui une loi eponenielle de paramère,2. Quesion 4 : La probabilié que ce composan élecronique ai une durée de vie sricemen supérieure à 5 ans es : a) b) e e c) 5e,2 d) ( e ) - -

12 Eercice 4 (Nouvelle-Calédonie, novembre 27) Un responsable de magasin achèe des composans élecroniques auprès de deu fournisseurs dans les proporions suivanes : 25 % au premier fournisseur e 75 % au second. La proporion de composans défecueu es de 3 % chez le premier fournisseur e de 2 % chez le second. On noe : D l évènemen «le composan es défecueu» ; F l évènemen «le composan provien du premier fournisseur» ; F 2 l évènemen «le composan provien du second fournisseur». ) a) Dessiner un arbre pondéré. b) Calculer p ( D F ), puis démonrer que p ( D ) =,225. c) Sachan qu un composan es défecueu, quelle es la probabilié qu il provienne du premier fournisseur? Dans oue la suie de l eercice, on donnera une valeur approchée des résulas à 3 près. 2) Le responsable commande 2 composans. Quelle es la probabilié qu au moins deu d enre eu soien défecueu? 3) La durée de vie de l un de ces composans es une variable aléaoire noée X qui sui une loi de durée de vie sans vieillissemen ou loi eponenielle de paramère λ, avec λ réel sricemen posiif. p X > 5 =,325, déerminer λ. a) Sachan que ( ) Pour les quesions suivanes, on prendra λ =,225. b) Quelle es la probabilié qu un composan dure moins de 8 ans? plus de 8 ans? c) Quelle es la probabilié qu un composan dure plus de 8 ans sachan qu il a déjà duré plus de 3 ans? - 2 -