Nicolas GAYTON Maître de Conférences

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1 Fablté des Matéraux et des Structures èmes Journées Natonales de Fablté Mars 2010 Toulouse Applcaton des méthodes fablstes au tolérancement statstque des Ncolas GAYTON Maître de Conférences P. Beaucare - E. Duc M. Lemare Ncolas GAYTON 1/17

2 Introducton Le taux de non-conformté : un ntérêt ndustrel majeur CLIENT Exgences fonctonnelles du clent FOURNISSEUR Concepton des sous-ensembles Exgences qualté du clent x ppmnon conforme P D Calcul de permet de : Exstence d une probablté appelée Taux de non conformté [ ] P = Prob( Y ) valder les ntervalles de tolérance de chaque pèce prmare en accord avec l exgence qualté du clent sur le produt fnal fabrquer le juste nécessare en terme de qualté maîtrser ces rebus de fabrcaton D Ncolas GAYTON 2/17

3 Introducton Fablté des structures / Cotaton fonctonnelle Fablté des structures E, b, h l q Foncton de performance G = f f ( q, E, b, h, l ) Probablté de défallance : P = Prob( f f ( q, E, b, h, l)) 0) f adm max Fablté système Optmsaton mécano-fablste Cotaton fonctonnelle Chaîne de cotes Y Part 1 Part 2 x1 x2 Y ( x, x ) = x + x Taux de Non conformté TNC=Prob( Y [ Y ; Y ]) mn max Taux de Non Conformté de la foncton Cotaton fonctonnelle Monte Carlo, FORM/SORM, RBDO Ncolas GAYTON 3/17

4 Introducton Probablté de défallance / taux de non conformté La probablté de défallance est le taux de non-conformté assocé à l exgence fonctonnelle de tenue mécanque P = Prob( f f ( q, E, b, h, l)) 0) f max - Pettes séres vore fabrcaton untare - Varables aléatores de dstrbutons connues - Peu de données TNC=Prob( Y [ Y ; Y ]) mn max - Très grandes séres, fabrcaton par lots - Varables aléatores de caractérstques statstques fluctuantes avec le temps - Beaucoup de données Ncolas GAYTON 4/17

5 Plan de la présentaton Introducton Calcul du TNC avec prse en compte des varabltés des lots de fabrcaton Applcatons Applcaton académque Applcatons à l analyse du tolérancement de connectons électrques pour l aéronautque (RADIALL SA) Applcaton à l analyse du tolérancement d un système avec jeux Conclusons Ncolas GAYTON 5/17

6 Calcul du TNC Termnologe Une dmenson X Un lot de fabrcaton moyenne T USL, LSL t C, C nomnal ( r) ( r) p pk µ σ δ Bornes sup, nf Intervalle de tolérance C, C p pk Ecart-type Décalage de moyenne Capabltés C p Deux exgences de capablté t t / 2 δ = C pk = 6σ 3σ Un lot de fabrcaton est conforme s : C C et C C p p pk pk Exgence fonctonnelle : Y [ Y Y ] Y = f ( X1,..., X n ) mn max Lnéare, non-lnéare, explcte avec jeu, non-explcte CAO, non explcte MEF, Ncolas GAYTON 6/17

7 Calcul du TNC TNC condtonnel / TNC Taux de non-conformté condtonnel ou «ponctuel» : Probablté sachant les décalages de moyenne et écart-type de chaque dmenson [ ] P = D, Prob( Y Y σ δ mn Ymax ) Monte Carlo, FORM/SORM, fablté système Hypothèse gaussenne de chaque dmenson, dstrbuton statstque entèrement défne par : ( δ, σ ) Cas des méthodes de la lttérature ne prenant pas en compte les varabltés sur les lots de fabrcaton Taux de non-conformté dynamque : Prend en compte les varabltés sur (, ) δ σ P = Ε(P ( δ, σ )) D D δ, σ Dc n = P ( δ, σ ) f ( δ, σ )dσ dδ D δ, σ = 1 Domane de conformté Taux de non-conformté au pre des cas Densté conjonte de probablté de foncton du process de fabrcaton P max P ( δ, σ ) D D δ, σ δ, σ Dc ( δ, σ ) Ncolas GAYTON 7/17

8 Calcul du TNC Densté de probablté conjonte Process avec écart-type constant et décalage de moyenne aléatore Process parfatement stable (unforme) (gaussen) (unforme) Process avec écart-type et décalage de moyenne aléatores (gaussen) Ncolas GAYTON 8/17

9 Applcatons Applcaton académque X1 X 2 Part 1 Part 2 Foncton f Exgence fonctonnelle Y = X 1 + X 2 Y [ 9,5 10,5] Process parfatement stable Y Exgences de capabltés ( r) ( r) p pk T = 6, T = 4 t1 = t2 = 0, C = C = 1 ( = 1, 2) Résultat de la lttérature 521ppm (valeurs arbtrares) Process avec écart-type constant et décalage de moyenne aléatore (unforme) Borne supéreure 1551ppm Ncolas GAYTON 9/17

10 Applcatons Applcaton académque Process avec écart-type et décalage de moyenne aléatores (unformes) 521ppm 1551ppm Borne supéreure Ncolas GAYTON 10/17

11 Applcatons Applcaton à une chaîne de cote lnéare Y = f ( X ) = 17 = 1 k X k = ± 1 Exgence fonctonnelle : Y S Dm. T t C = C C ( r) ( r) (0) p pk p U dst U dst. Dmensons 4,5,12,13 tr à 100% des pèces, écarttype nul, décalage de moyenne aléatore unforme Dmensons 1-3, 6-11,14-17 : Décalages de moyenne et écarttype dstrbués unformément U dst U dst Ncolas GAYTON 11/17

12 Applcatons Applcaton à une chaîne de cote lnéare P D Calcul de P D δ, σ explcte Calcul de P D par smulaton de Monte Carlo S Plus l exgence de recouvrement S augmente, plus l y a d assemblages non conformes Méthode au pre des cas très pénalsante mas facle à calculer et nécesstant mons d nvestssement dans la connassance du processus de fabrcaton Méthode dynamque mons pénalsante et tenant compte de la connassance du process de fabrcaton Ncolas GAYTON 12/17

13 Applcatons Applcaton à une chaîne de cote non lnéare Exgence fonctonnelle : Y S Foncton f non lnéare composée de 14 cotes Dm T t C = C C ( r) ( r) (0) p pk p 1 10,53 0,2 1,1 1,6 2 0,1 0,2 1,1 1, ,06 1,1 1,6 4 0,643 0,015 1,1 1,6 Dmensons Décalages de moyenne et écart-type dstrbués unformément 5 0 0,2 1,1 1,6 6 0,72 0,04 1,1 1,6 7 1,325 0,05 1,1 1,6 8 0,75 0,04 1,1 1, ,04 1,1 1,6 10 3,02 0,06 0,86 1, ,72 0,04 0,86 1, ,04 0,86 1, ,97 0,04 0,86 1, ,4 0,06 0,86 1,36 Ncolas GAYTON 13/17

14 Applcatons Applcaton à une chaîne de cote non lnéare P D Calcul de P D δ, σ par méthode FORM Calcul de P D par smulaton de Monte Carlo S Plus l exgence de débattement admssble S augmente, plus l y a d assemblages conformes Méthode au pre des cas très pénalsante mas facle à calculer Méthode dynamque mons pénalsante et tenant compte de la connassance du process de fabrcaton Ncolas GAYTON 14/17

15 Applcatons Applcaton à un système avec jeu fonctonnel Serrage admssble : t P = D, Pr ob( d1, d2 / J1( d1, d2) t J2( d1, d2) δ σ t ) Se reformule par l ntersecton de tros expressons lnéares avec test unquement des cas extrêmes. Dmensons Décalages de moyenne et écart-type dstrbués unformément Ncolas GAYTON 15/17

16 Applcatons Applcaton à un système avec jeu fonctonnel P D Calcul de P D δ, σ par méthode de Genz Calcul de P D par smulaton de Monte Carlo t Aucun serrage toléré Plus le serrage toléré est mportant mons l y a d assemblage non conforme Mêmes conclusons que sur les applcatons précédentes quand à l ntérêt d nvestr dans la connassance du process de fabrcaton Ncolas GAYTON 16/17

17 Conclusons La parallèle fablté des structures / cotaton fonctonnelle (analyse des tolérance) est clar ouvrant un nouveau champs d applcaton des méthodes courantes. Des spécfctés à prendre en compte : très grande sére Des bases de données de mesures mportantes à exploter Une méthode dynamque a été mse en place pour prédre le TNC dès la phase de concepton. Intérêt consdérable de connassance du process de fabrcaton dans l évaluaton du TNC. Possblté de prse en compte des outls mult-emprentes, des pèces mult-fournsseurs Perspectves : couplage avec un modeleur géométrque. Chaîne de cote lnéare Système de transmsson de couple Ncolas GAYTON 17/17

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