Circuits résistifs simples

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1 Chpitre 2 Ciruits résistifs simples Ce hpitre présente les tehniques de se d nlyse de iruits. Ces tehniques vont permettre de simplifier les iruits pour en fire l nlyse. On verr en prtiulier les lois de Kirhhoff ; e sont deux lois de se néessire pour fire l nlyse de iruits életriques. On verr ussi deux méthodes qui permettent de rpidement luler l tension ou le ournt : l méthode du diviseur de tension, et le diviseur de ournt. De plus, les différentes méthodes de mesurer l tension et le ournt dns un iruits seront présentées, insi qu une méthode pour simplifier des résistnes, l trnsformtion Y. 2.1 Définitions Avnt de présenter les lois de Kirhhoff, il fut donner quelques définitions. Le onept de noeud et de oule doit être ien ompris vnt d être ple d ppliquer les tehniques plus vnées d nlyse de iruits. Noeud : un point où se joignent 2 éléments ou plus. L figure 2.1 montre un exemple de iruit ynt 4 noeuds. Le noeud onnete l soure de 15V à l résistne de 10Ω. Le noeud onnete l résistne de 10Ω et l résistne de 20Ω. Le noeud onnete l résistne de 20Ω et l résistne de, et le noeud d onnete l résistne de à l soure. Dns e s-i, il y seulement 2 éléments rnhés à hque noeud. Mille (oule) : en ommençnt à un noeud, on tre un hemin fermé à trvers les éléments en pssnt seulement 1 fois pr un noeud, pour retourner u noeud initil : est une oule. 1

2 d 15V 10Ω 20Ω Figure 2.1 Exemple de iruit ve noeuds L figure 2.2 montre une exemple de iruits ve des oules. Dns e s-i, il y 3 oules : 1) l oule d, 2) l oule d, et 3) l oule d. Dns hque s, on trverse les noeuds une seule fois V 3 10 d Figure 2.2 Exemple de iruit ve noeuds et oules Éléments en série Lors de l nlyse de iruits, il est importnt de ien omprendre si des éléments sont en série ou en prllèle. En premier, on regrde ux éléments en série : deux éléments sont en série s ils sont trversés pr le même ournt. Des éléments en série sont rnhés ensemle à un noeud, où il n y que es deux éléments. L figure 2.3 montre un exemple de résistnes en série. Bien que l figure montre des résistne, ç pourrit être des soures de tension, ou des pitnes, pr exemple. Dns le premier s, le même ournt trverse les deux résistnes (il y seulement 2 éléments rnhés u noeud). Dns le deuxième s, il y 3 éléments rnhés u noeud, et don le ournt se sépre à e noeud. Ce n est ps le même ournt dns l résistne et R 2. Dns le troisième s, puisque l résistne R 2 n est ps rnhée à quelque hose d utre, uun ournt ne peut iruler dns l résistne R 2. Tout le ournt qui irule dns psse dns R 3, don es deux résistnes sont en série. Griel Cormier 2 GELE2112

3 R 2 R 2 R 2 i i i R 3 R 3 ) et R 2 en série ) et R 2 ne sont ps en série ) et R 3 sont en série Éléments en prllèle Figure 2.3 Exemple de resistnes en série Tout omme les éléments en série, il est importnt de ien omprendre omment des éléments sont rnhés en prllèle. Des éléments sont rnhés en prllèle si leur deux noeuds sont rnhés ensemle. Ils ont don l même tension. L figure 2.4 montre des exemples d éléments qui sont en prllèle. Dns les deux premiers s, les deux résistnes sont rnhées ux même noeuds. Dns le deuxième s, est un peu plus diffiile à dire, mis les deux résistnes ont qund même l même tension. Dns le troisième s, les résistnes ne sont ps en prllèle. R 2 R 2 R 3 R 2 ) et R 2 en prllèle ) et R 2 sont en prllèle ) R 2 et R 3 ne sont ps prllèles Figure 2.4 Exemple de resistnes en prllèle 2.2 Lois de Kirhhoff Les lois de Kirhhoff sont les deux lois de se de l nlyse de iruits életriques. Une des lois s pplique ux noeuds, et l utre s pplique ux oules Loi de Kirhhoff des ournts L loi de Kirhhoff des ournts est : Griel Cormier 3 GELE2112

4 L somme des ournts à un noeud est 0. Ou, d une une fçon, l somme des ournts qui entrent dns un noeud est égle à l somme des ournts qui sortent du noeud. Il fut ppliquer une onvention pour utiliser ette loi : Si un ournt qui entre dns un noeud est positif (), lors un ournt qui sort du noeud est négtif ( ). Si un ournt qui entre dns un noeud est négtif ( ), lors un ournt qui sort du noeud est positif (). On peut utiliser l une des deux onventions préédentes, mis il fut être onsistent Loi de Kirhhoff des tensions L loi de Kirhhoff des tensions est : L somme des tensions dns une oule est 0. Pour utiliser l loi de Kirhhoff orretement, il fut ssigner un signe ( ou ) à hque tension dns l oule. Si on pplique un signe positif à une hute de tension, il fudr ppliquer un signe négtif à une husse de tension, et vie-vers Applition des lois de Kirhhoff Lors de l pplition des lois de Kirhhoff, il fut être onsistnt dns l utilistion des signes. Comme exemple, on reprend le iruit de l figure 2.1, mis ette fois on joute des tensions et ournts à hque élément. Ce iruit est donné à l figure 2.5. Noter qu on indiqué que le ournt sort de l soure de tension, e qui fit du sens. Pre qu il n y qu une seule soure dns le iruit, ette soure doit fournir de l puissne, et don le ournt doit sortir de l orne positive. i d 15V 10Ω 20Ω v 3 v 1 v 2 Figure 2.5 Exemple de iruit Autour de l oule du iruit de l figure 2.5, on jouté des signes et pour hque élément (suf l soure, pre qu il est déjà donné). L diretion de es signes Griel Cormier 4 GELE2112

5 n est ps importnte pour le moment ; e qui est importnt, est omment on érit les signes en pplint l loi de Kirhhoff. Pour ommener l nlyse du iruit, on v fire le tour de l oule, en ommençnt pr n importe quel élément, et fire l somme des tensions. Dns e s-i, on hoisit une onvention : si le ournt entre dns le, on érit pour le signe de l tension. On otient l éqution suivnte, en ommençnt pr l soure de tension : 15 v 3 v 2 v 1 = 0 (2.1) On ppliqué l loi de Kirhhoff des tensions : l somme des tensions dns une oule doit donner 0. De plus, on respeté l onvention hoisie : si le ournt entre dns l orne de l élément, on érit un dns l éqution de l tension. Cependnt, dns l éqution 2.1, on 3 inonnues. Pour résoudre ette éqution, il fut trouver d utres équtions. Dns e s-i, on utilise l loi d Ohm : v 1 = 10i v 2 = 20i v 3 = 50i (2.2) Remrquer le signe pour v 2 ; puisque le ournt entre dns l orne négtive, il fut utiliser dns l éqution qui relie l tension u ournt. On peut ensuite érire les équtions 2.2 dns l éqution 2.1 pour otenir : 15 50i ( 20i) 10i = 0 (2.3) L seule inonnue est le ournt i, qu on résout pour trouver i = A. Le signe de i nous indique l diretion du ournt. Puisqu on trouvé que i est positif, ei veut dire que le sens hoisit du ournt est orret. Si on urit trouvé un signe négtif, le ournt irit dns le sens ontrire. Ave le ournt lulé, on peut luler l tension dns hque élément. v 1 = (10)(0.1875) = 1.875V v 2 = (20)(0.1875) = 3.75V v 3 = (50)(0.1875) = 9.375V (2.4) D près es luls, l tension v 2, qui est l tension v, est négtive. On pourrit ussi exprimer ette tension pr v = 3.75V, une tension positive. On peut fire un iln de puissne pour s ssurer que tous les luls sont orrets. On prend le ournt qui entre dns l orne positive omme une tension positive (selon Griel Cormier 5 GELE2112

6 l référene hoisie dns et exemple). Les puissnes sont : p S = v S i = (15)(0.1875) = W p 1 = i 2 = (10)(0.1875) 2 = W p 2 = R 2 i 2 = (20)(0.1875) 2 = W p 3 = R 3 i 2 = (50)(0.1875) 2 = W (2.5) Le seul élément qui fournit de l puissne est l soure, e qui fit du sens, puisque des résistnes ne peuvent ps fournir de puissne. Si on fit l somme des puissnes, on trouve que l puissne fournie égle l puissne onsommée. Tout est don orret. On urit otenu les même résultts si on urit inversé les ornes des tensions. Si on urit hoisit v 2 = v u lieu de v 2 = v, on urit trouvé les mêmes vleurs de tension (v serit positif, omme on lulé plus hut). Exemple 1 Pour le iruit suivnt, 10Ω i o 120V 6A 1. Cluler i o, 2. Vérifier les luls pour s ssurer que P f ournie = P onsommee. L première hose à fire est d indiquer les noeuds, tensions et ournts dns le iruit. L figure suivnte montre un exemple ve es vleurs indiquées. Il y trois noeuds dns e iruit. Noter le sens des ournts. Puisque le sens de i o est déjà donné, et que le sens du ournt de 6A est donné ussi, u noeud, il fut qu il y it un ournt qui sorte de e noeud. Il ne reste que le ournt qui trverse l résistne de. Cependnt, on urit pu mettre le ournt dns le sens ontrire, et on otiendrit les même réponses (tout en fisnt ttention ux signes). Pour luler le ournt de sortie i o, on pplique les lois de Kirhhoff. On peut ppliquer l loi de Kirhhoff des ournts u noeud, en utilisnt l onvention qu un ournt qui entre dns un noeud est positif : i o i 1 6 = 0 Griel Cormier 6 GELE2112

7 v o 10Ω 120V i o v 1 i 1 v 2 6A Cei nous donne une éqution ynt deux inonnues. On peut utiliser l loi de Kirhhoff des tensions pour otenir une utre équtions. Si on utilise l mille, en fisnt l somme des tensions ve l onvention qu un ournt qui entre dns le est positif, À l ide de l loi d Ohm, on peut simplifier : 120 v o v 1 = i o 50i 1 = 0 On mintennt 2 équtions et 2 inonnues. On peut résoudre filement e système d équtions : i 1 = i o 6 et don, i o 50(i o 6) = 0 60i o = 180 i o = 3 Le ournt i o = 3A. De plus, le ournt i 1 = 3A. On peut ussi résoudre e système d éqution simples ve Mthd : Given i o i 1 6= Find( i o, i 1 ) 10i o 50i 1 = Griel Cormier 7 GELE2112

8 Ave es luls, on peut mintennt fire le iln de puissne. p 10Ω = Ri 2 = (10)( 3) 2 = 90W p = Ri 2 = (50)(3) 2 = 450W p 120V = vi = (120)( 3) = 360W p 6A = vi = (50)(3)(6) = 900W onsomme onsomme onsomme fournit Noter que l tension ux ornes de l soure de 6A est l même que elle ux ornes de l résistne de, puisqu ils sont en prllèle. On peut fire le iln. L puissne onsommée totle est = 900W, tndis que l puissne fournie totle est 900W. Tout est orret. Remrquer que l soure de 120V onsomme de l puissne dns e s-i. Exemple 2 On v fire un exemple d un iruit ynt une soure dépendnte. Soit le iruit de l figure suivnte. Cluler l tension v o. 5Ω 500V i v o 20Ω 5i On proède de l même fçon que d hitude : on identifie les noeuds, puis on ssigne les tensions et ournts ux éléments. Une fçon de fire est montrée à l figure suivnte. v 1 5Ω 500V i v o i o 20Ω v 2 5i Il y 3 noeuds. On pplique l loi de Kirhhoff des ournts u noeud, puisque est là où se renontrent les 3 ournts. On otient l éqution suivnte, où on pplique l Griel Cormier 8 GELE2112

9 onvention qu un ournt qui entre dns le noeud est positif : i i o 5i = 0 On peut résoudre pour otenir i o = 6i On pplique lors l loi de Kirhhoff des tensions à l mille, ve l onvention qu un ournt qui entre dns le est positif : 500 5i 20i o = 0 On deux équtions, et deux inonnues, qu on résout pour otenir : i = 4 A i o = 24 A et l tension de sortie v o est : v o = 20i o = 480 V Exemple 3 Soit le iruit de l figure suivnte. Cluler les ournts i s, i 1 et i 2. 4Ω 3Ω d 120V i s i 1 18Ω i 2 6Ω De fçon générle, pour solutionner e genre de prolème, on proède pr étpes. On v simplifier le iruit le plus possile en se rpprohnt de l soure. Pr près, on refit les étpes à l inverse pour tout luler. Griel Cormier 9 GELE2112

10 Puisque l soure est rnhée entre les noeuds et, on v simplifier en premier le iruit entre les noeuds et. On simplifie en premier l rnhe à droite du iruit. Les deux résistnes de ette rnhe sont en série, don il est file de les ominer. On effetue l simplifition suivnte : 3Ω d Résistnes en série 6Ω 9Ω Pr près, on peut simplifier le iruit omplet entre les noeuds et. Résistnes en prllèle 18Ω 9Ω R eq L résistne équivlente R eq est otenue en ppliqunt l éqution pour deux résistnes en prllèle : R eq = (18)(9) 18 9 = 6Ω Le iruit devient mintennt : Il est importnt de noter que dns l figure préédente, v x 4Ω 120V i s v 1 6Ω on n ps indiqué le ournt i 1. Le ournt i 1 n pprît plus pre qu on modifié Griel Cormier 10 GELE2112

11 l élément entre les noeuds et. Cependnt, l tension v 1 est l même tension que elle qu on vit vnt de fire l simplifition. On peut mintennt fire des luls. On pplique l loi de Kirhhoff des tensions utour de l oule, et l loi d Ohm (ve les même onventions que d hitude) i s 6i s = 0 On otient : i s = 12 A L tension v 1 (qui est l tension v ) peut mintennt être lulée : v 1 = R eq i s = (6)(12) = 72 V Ave l tension v 1, on peut luler les ournts voulus en fisnt les luls dns les iruits dns l ordre inverse des simplifitions. Puisque l tension v 1 est l même que dns le iruit originl, le ournt i 1 est tout simplement l tension v 1 divisée pr l résistne : i 1 = v 1 18 = = 4 A Pour luler le ournt i 2, on oserve que l tension v 1 est l tension ux ornes de l résistne de 9Ω qu on lulé à l première étpe de l simplifition. Le ournt est otenu en pplint l loi d Ohm : i 2 = v 1 9 = 72 9 = 8 A C est le ournt qui irule dns l résistne de 3Ω et dns elle de 6Ω. On peut fire le iln de puissne pour vérifier les luls. p 4Ω = Ri 2 = (4)(12) 2 = 576W p 18Ω = Ri 2 = (18)(4) 2 = 288W p 3Ω = Ri 2 = (3)(8) 2 = 192W p 6Ω = Ri 2 = (6)(8) 2 = 384W p 120V = vi = (120)(12) = 1440W onsomme onsomme onsomme onsomme fournit L somme de l puissne onsommée est égle à l somme de l puissne fournie. Griel Cormier 11 GELE2112

12 2.3 Diviseur de tension Le diviseur de tension est une méthode pour élérer le lul de tensions dns un iruit. Le iruit doit être de l forme donnée à l figure 2.6. Il ne doit ps voir une utre résistne en prllèle ve ou R 2. i v 1 V s v 2 R 2 Figure 2.6 Ciruit diviseur de tension L méthode du diviseur de tension permet de rpidement luler v 1 ou v 2 en fontion de l soure v s. On ommene en ppliqunt l loi de Kirhhoff des tensions à l oule : et on otient v s i R 2 i = 0 (2.6) v s = i( R 2 ) (2.7) i = v s R 2 (2.8) À prtir de l dernière éqution, on peut luler l tension ux ornes de hque résistne. v 1 = i = v R s 2 (2.9) R v 2 = R 2 i = 2 v R s 2 (2.10) Au lieu de fire tout le lul ve l loi de Kirhhoff, on peut ppliquer diretement l éqution 2.9 ou 2.10, si on un iruit de l forme de l figure 2.6. Ces équtions nous disent ussi que v 1 et v 2 sont un pourentge de l tension totle v s. 2.4 Diviseur de ournt Le diviseur de ournt est une méthode pour élérer le lul de ournts dns un iruit simple. Le iruit doit être de l forme donnée à l figure 2.7. Le ournt i s peut Griel Cormier 12 GELE2112

13 provenir d une soure de ournt, ou de n importe quel genre de iruit. Mis et R 2 doivent être deux résistnes en prllèle. Il ne peut ps y voir d utre élément. i s v i 1 i 2 R 2 Figure 2.7 Ciruit diviseur de ournt L méthode du diviseur de ournt permet de rpidement luler i 1 et i 2 en fontion du ournt i s qui entre dns le noeud ommun. On peut ominer les résistnes prllèles : R eq = R 2 R 2 (2.11) Puisque les résistnes sont en prllèle, elles ont l même tension. L tension ux ornes de l résistne équivlente est : v = i 1 = R 2 i 2 = R eq i s = R 2 R 2 i s (2.12) À prtir de l dernière éqution, on otient les équtions suivntes : R 2 i 1 = i R s 2 (2.13) R i 2 = 1 i R s 2 (2.14) Ces équtions sont de l même forme que les équtions du diviseur de tension, suf qu on inversé l résistne et R 2. Ces équtions nous indiquent quel pourentge de i s se retrouve dns les résistnes et R Pont de Whetstone Le pont de Whetstone est un iruit utilisé pour mesurer des résistnes. Le shém est montré à l figure 2.8. Griel Cormier 13 GELE2112

14 i 1 i 2 R 2 V i 3 A i g i x R 3 R x Figure 2.8 Pont de Whetstone Dns e iruit, l résistne R 3 est une résistne vrile. L résistne R x est l résistne à mesurer. Les résistnes et R 2 sont des résistnes onnues. Pour trouver l résistne inonnue R x, on juste R 3 jusqu à e que l mpèremètre indique un ournt nul (i g = 0). Si le ournt i g est nul, il fut que : 1. Le ournt i 1 = i 3, et le ournt i 2 = i x, 2. L tension u noeud est égle à l tension u noeud (v = v, ou v = 0). Étnt donné es deux onditions, on : i 1 = R 2 i 2 (2.15) R 3 i 3 = R x i x (2.16) Pr sustitution, on otient R 3 i 1 = R x i 2 (2.17) Si on divise l éqution 2.15 pr l éqution 2.17, on otient l reltion suivnte : R 3 = R 2 R x R x = R 2 R 3 (2.18) 2.6 Trnsformtion Y On vu omment simplifier des iruits en série et en prllèle, et ei permet de simplifier l mjorité des iruits. Cependnt, il existe une utre forme de iruit qu on ne peut ps simplifier selon les méthodes vues jusqu à présent. On esoin d un simplifition ppelée Y. Soit un iruit de l forme donnée à l figure 2.9. Les résistnes ne sont ps en série, pre que lorsqu elles seront rnhées à quelque hose, elles ne seront ps trversées pr Griel Cormier 14 GELE2112

15 R R R R 2 R 3 Figure 2.9 Trnsformtion Y le même ournt. De plus les résistnes ne sont ps en prllèle, pre qu elles ne sont ps rnhées u deux mêmes noeuds. Pour fire l trnsformtion de l forme à l forme Y, on utilise les équtions suivntes : R = R R R R (2.19) R R 2 = R R R R (2.20) R R 3 = R R R R (2.21) Pour psser de Y à, on utilise les équtions suivntes : R = R 2 R 2 R 3 R 3 (2.22) R = R 2 R 2 R 3 R 3 R 2 (2.23) R = R 2 R 2 R 3 R 3 R 3 (2.24) Griel Cormier 15 GELE2112

16 Exemple 4 Pour le iruit suivnt, luler le ournt et l puissne de l soure. 5Ω 40V 100Ω 25Ω 125Ω 40Ω 37.5Ω Il y deux dns e iruit. On doit en trnsformer un des deux en Y pour trouver l résistne équivlente. On hoisit elui du hut. L trnsformtion est l suivnte : 100Ω 125Ω 25Ω R 2 R 3 où les résistnes sont lulés selon : = (100)(125) = (100)(25) R 2 = = 10Ω (125)(25) R 3 = = 12.5Ω Le iruit devient lors elui de l figure suivnte. Noter qu ve ette trnsformtion, on mintennt deux groupes de résistnes en série. L résistne de 12.5Ω est en série ve l résistne de 37.5Ω, et l résistne de 40Ω est en série ve l résistne de 10Ω. On otient deux résistnes de en prllèle. Griel Cormier 16 GELE2112

17 5Ω 40V 10Ω 12.5Ω En série = 40Ω 37.5Ω En série = On peut mintennt effetuer l simplifition suivnte. 5Ω i 40V En prllèle = 25Ω L prohine étpe est de ominer toutes es résistnes. Il ne reste qu un iruit 5Ω 40V i 25Ω En série = 80Ω simple : une soure de tension de 40V rnhée à une résistne de 80Ω. Le ournt fournit pr l soure est : i = v R = = 0.5 A et l puissne : p = vi = (40)(0.5) = 20 W Griel Cormier 17 GELE2112