TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.

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1 Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée TD10. Loi des grads ombres, théorème cetral limite. 1. Soit (U ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates toutes de loi uiforme sur l itervalle [0, 1]. Soit f : [0, 1] R ue foctio cotiue. Que peut-o dire de f(u 1 ) f(u ) lorsque ted vers +? Solutio de l exercice 1. La foctio f, cotiue sur le segmet [0, 1], y est borée. Aisi, les variables aléatoires (f(u )) 1 sot idépedates, de même loi et admettet u momet d ordre 1. O peut leur appliquer la loi forte des grads ombres (puisque la foctio f est borée, les variables admettet u momet d ordre 2 et o est même das le cas dot o a étudié la démostratio e cours) pour trouver que f(u 1)+...+f(U ) coverge presque sûremet, lorsque ted vers l ifii, vers E[f(U 1 )] = 1 0 f(t) dt. Cette méthode est parfois utilisée pour calculer des valeurs approchées d itégrales et s appelle la méthode de Mote-Carlo. 2. O cosidère ue suite de jets idépedats d u dé équilibré. O désige par X k le résultat du k-ème jet et par Y le plus grad résultat observé au cours des premiers jets. Y = max 1 k X k a) Que peut-o dire des propriétés de covergece de la suite (Y )? b) O pose : N = Card{k : X k = 6} pour tout N. Etablir la covergece presque sûre de la suite ( N ) N. Solutio de l exercice 2. a) Il est assez évidet que la suite va coverger presque sûremet vers 6 : Y vaut 6 à partir de la première observatio d u 6, et la probabilité qu o e fasse aucu 6 est ulle. Formalisos ceci P( k N : X k = 6) = 1 Or (ω : k N : X k (ω) = 6) (ω : lim Y (ω) = 6), d où ( ) P lim Y = 6 = 1 et la covergece presque sûre de Y vers 6. 1

2 b) N la variable aléatoire qui compte le ombre de 6 peut se réécrire N = k=1 1 X k =6. La suite de variables aléatoires (Z k := 1 (Xk =6)) est idépedate idetiquemet distribuée. Et 1 (X1 =6) suit ue loi de Beroulli de paramètre P(X 1 = 6) = 1, elle 6 possède doc ue espérace. D après la loi forte des grads ombres, o a N = Z Z p.s A l approche des électios, u istitut de sodage cotacte successivemet des idividus. Notre modèle est le suivat : les appels sot idépedats et chaque idividu répod qu il va voter pour le cadidat A avec probabilité p A (et pour le cadidat B avec probabilité p B = 1 p A ). Le but est d estimer le paramètre p A du modèle. a) Soit N A () le ombre de réposes e faveur du cadidat A collectées e appels. Que dire de la covergece de la suite N A()? b) L applicatio de l iégalité de Tchebychev à la variable aléatoire N A() permet-elle de retrouver ce résultat? c) Déduire de cette même iégalité u itervalle I(, δ) tel que P (p A I(, δ)) 1 δ U tel itervalle est appelé itervalle de cofiace pour le paramètre p A. Solutio de l exercice 3. Itroduisos ue suite X k de Beroullis idépedates de paramètre p A telle que X k pred la valeur 1 si le k-ème idividu appelé se prooce pour le cadidat A, et 0 das le cas cotraire. a) O ote que N A () = k=1 X k et doc d après la loi forte des grads ombres, N A () = X 1 + X X p.s p A car la suite (X k ) est iid et que X 1 admet pour espérace p A. b) O a [ ] NA () E [ ] NA () Var = p A = 1 2 Var(X 1) = p A(1 p A ) doc l iégalité de Tchebychev appliquée à la variable aléatoire N A() tout ε > 0, ( ) N A () P p A ε p A(1 p A ) ε 2 doe, pour 2

3 Si o avait ( ) t=0 P N A () p A ε < par applicatio du lemme de Borel- Catelli (cf exercice 5 TD 8), o obtiedrait la covergece presque sûre de N A() vers p A. Mais l iégalité obteue par l iégalité obteue e ous doe pas ue majoratio par le terme gééral d ue série covergete, doc est pas suffisate pour obteir la covergece presque sûre... c) Utiliser l iégalité de Tchebychev va toutefois ous permettre de costruire u itervalle de cofiace de iveau 1 δ pour p A, c est-à-dire ue régio qui cotiee p A avec probabilité au mois 1 δ. Pour cela o choisit das l iégalité de Tchebychev ci-dessus ε tel que p A(1 p A ) = δ. Pour cette valeur de ε o a alors ε ( ) N A () P p A ε 1 δ E remarquat que ε = 1, o peut poser δ [ N A () I(, δ) = 1 pa (1 p A ) ; N A() δ p A (1 p A ) + 1 ] pa (1 p A ) δ 4. Soit f : [0, 1] R ue foctio cotiue. Pour tout 0, o défiit la foctio b : [0, 1] R par la formule ( ) ( ) k x [0, 1], b (x) = f x k (1 x) k. k a. Motrer que la suite de foctios (b ) 0 coverge simplemet vers f, c est-à-dire x [0, 1], lim b (x) = f(x). b. Motrer que la covergece est uiforme, c est-à-dire que lim sup{ b (x) f(x) : x [0, 1]} = 0. O a démotré le théorème de Stoe-Weierstrass : toute foctio cotiue sur u segmet y est uiformémet approximable par ue suite de foctio polyômiales. Plus précisemmet o a approximé f par ue famille de polyômes de Berstei Solutio de l exercice 4. 3

4 a) Soit x [0, 1]. O observe que b (x) = E[f(B/)], où B suit la loi biomiale de paramètres et x. Cosidéros doc (X ) 1 ue suite de v.a.i.i.d. de loi de Beroulli de paramètre x. O a b (x) = E [ f ( X X )]. D après la loi des grads ombres, X X ted presque sûremet, quad ted vers l ifii, vers E[X 1 ] = x. Puisque f est cotiue, f ( X X ) ted doc presque sûremet vers f(x). Efi, puisque f est cotiue sur [0, 1], elle est borée. La covergece presque sûre de f ( X X ) vers f(x) est doc domiée par le supremum de f et le théorème de covergece domiée permet d affirmer que [ ( )] X X b (x) = E f f(x). b) O cherche à majorer la différece b (x) f(x) idépedammet de x. [ ( ) ] X X b (x) f(x) E f f(x) [ ( ) X X E f f(x) 1 X X [ ( ) X X +E f f(x) 1 X X x α ] x <α où l iégalité ci-dessus est vraie pour tout α. O se fixe ε > 0. Par uiforme cotiuité de f (f est cotiue sur u segmet), il existe u α > 0 tel que y x α f(y) f(x) ε/2. O a doc pour ce choix de α, b (x) f(x) ( ) X X 2 f P x α +ε/2 }{{} A(x) Il suffit maiteat de majorer A(x) par u petit ombre idépedammet de x : pour cela il faut appliquer l iégalité de Tchebychev. Pour tout x [0, 1], o a : A(x) 1 V ar(x α 2 1 ) = 1 (x (1 x)) 1. α 2 1 α 2 Doc e preat assez grad, o peut redre aussi petit que l o veut sup x A(x) ce qui fiit la preuve. ] 5. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi de Poisso de paramètre 1. Soit S = ( k=1 X k. Rappeler la loi de S et calculer la limite de la suite e ). k k! 1 4

5 Solutio de l exercice 5. Ue somme de v.a. de Poisso idépedates est ue v.a. de Poisso dot le paramètre (qui est aussi l espérace et la variace) est la somme de ceux des v.a. qu o a ajoutées. Aisi S suit ue loi de Poisso de paramètre. E particulier, k si k N, alors e = P(S k! = k). E sommat, o obtiet ( e k k! ) = P(S ) = P(S / 1). La loi des grads ombres ous dit que S / E[X 1 ] = 1 p.s. Aisi S / est proche de 1, mais ce résultat e ous dit pas s il est u peu plus grad ou u peu plus petit. Pour avoir des iformatios sur S / 1, (et e particulier so sige), o applique le théorème de la limite cetrale : S loi N (0, 1). D après le corrolaire du cours, o e déduit que, si Y suit ue loi ormale stadard, alors, lorsque, P(S / 1) = P( S 0) P(Y 0) = 1/2. L égalité P(Y 0) = 1/2 découle du fait que Y est symétrique. Aisi, o a motré que ( ) e k 1/2. k! 6. a) Soit (p ) 0 ue suite de réels das ]0, 1[ telle que lim + p = λ > 0. Soit (X ) 0 ue suite de v.a. telles que pour tout : X B(, p ) et X ue v.a. de loi de Poisso paramètre λ. Motrer que (X ) 0 coverge e loi vers X. b) Soit (X ) 0 ue suite de v.a. réelles idépedates de même loi N (0, 1). Etudier le comportemet asymptotique e loi de la suite Y = 1 k=1 kxk Solutio de l exercice 6. a) Afi de motrer la covergece e loi de (X ) 0 vers X. Motros que φ X (t) + φ X (t) pour tout t R, où φ X desige la foctio caractéristique d ue variable aléatoire X. 5

6 φ X (t) = ( 1 p + p e i t ) = exp ( l(1 p + p e i t) ) = exp ( p (1 e i t) + p ε ) exp ( p (1 e i t) ) + eλ(eit 1) = φ X (t). où ε + 0 b) Vu la forme de la variable de Y, o est teté d appliquer la loi des grads ombres. Cepedat o e peut pas l appliquer car les variables kx k e sot pas idetiquemet distribuées. O va doc à ouveau utiliser les foctios caractéristiques afi de démotrer u résultat de covergece e loi. Les variables aléatoires X sot idépedates, doc Y est ue variable gaussiee de moyee 0 et de variace (+1) doc : 2 2 φ Y (t) = e (+1) 2 2 t 2 /2 + e t2. O a doc motré que (Y ) 1 coverge e loi vers ue loi ormale cetrée réduite N (0, 1 2 ). 7. O suppose que l itervalle de temps etre deux voitures successives à u passage à iveau (peu fréqueté) suit ue loi expoetielle de moyee 30 miutes. O suppose de plus qu il y a idépedace etre les itervalles de temps séparat les istats de passage de voitures. Calculer (ue valeur approchée) de la probabilité qu il y ait plus de 50 voitures qui emprutet le passage à iveau ue jourée doée. Solutio de l exercice 7. Soit (X ) 0 ue suite de v.a. i.i.d suivat la loi expoetielle de paramètre 1/30. O a alors E[X 1 ] = 30 et V ar(x 1 ) = 900. X représete le temps (e miutes) qui sépare le passage de la ( 1)ième voiture de la ième voiture. O cosidère esuite S = X X. S doe l istat de passage de la ième voiture. O veut détermier P[S ]. Or o a [ ] S P[S ] = P F 50 ( ) 2, 50 où F est la foctio de répartitio ( de ) la loi ormale cetrée réduite, l approximatio état 2 doée par le TCL. De plus F 50 F ( 0.283) = 1 F (0.283). E utilisat ue table ou u logiciel o obtiet F (0.283) O a doc P[S ]

7 8. Soit f : R R ue foctio cotiue borée. Motrer qu o a ( ) k k lim + e f k! = 1 + f(t)e t2 2 dt. 2π Solutio de l exercice 8. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates de loi de Poisso de paramètre 1. O a E[X 1 ] = 1 et Var(X 1 ) = 1. D ue part, le théorème cetral limite assure que la suite ( ) X X e loi vers la loi ormale cetrée réduite. Aisi, puisque f est cotiue et borée, [ ( )] lim E X X f = 1 + f(t)e t2 2 dt. 2π 1 coverge D autre part, pour tout 1, la variable aléatoire X X suit la loi de Poisso de paramètre. Aisi, [ ( )] X X ( ) k E f = e k f k!. E comparat ces deux égalités, o a la covergece voulue. 9. Soiet (X ) 1 des variables aléatoires idépedates idetiquemet distribuées et de carré itégrable. O suppose que leur loi a la propriété suivate : X 1 + X 2 a même loi que 2X 1. a) Exprimer, pour tout 0, la loi de X X 2 e foctio de celle de X 1. b) Détermier la loi commue des variables aléatoires (X ) 1. Solutio de l exercice 9. a) O va motrer par récurrece que X X 2 a même loi que 2 X 1, pour tout 1. Pour = 1, c est l hypothèse. Supposos le résultat démotré jusqu au rag et démotros le au rag + 1. O écrit X X 2 +1 = (X X 2 ) + (X X 2 +1). La v.a. X X 2 +1 est idépedate de X X 2 (car les X sot idépedates et o utilise des paquets d idices disjoits) et de même loi. Par l hypothèse de récurrece, ces deux v.a. ot même loi que 2 X 1. Mais alors leur somme a même loi que 2 X X 2 = 2 (X 1 + X 2 ), qui a bie même loi (d après l hypothèse pour = 1) que 2 +1 X 1. Ce qui achève la preuve par récurrece. b) Comme X 1 est de carré itégrable, X 1 est itégrable. L hypothèse etraie alors que E[X 1 ] + E[X 1 ] = 2E[X 1 ], et doc E[X 1 ] = 0. Soit σ 2 = E[X 2 1]. O applique le théorème de la limite cetrale : X X 7 loi N (0, σ2 ).

8 O a la même covergece pour les sous-suites, et e particulier : X X 2 2 loi N (0, σ2 ). Or, d après la questio précédete, le terme de gauche a même loi que X 1, qui suit doc la loi N (0, σ 2 ). 8