Physique Numérique TP4 Intégration Numérique

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1 Physique Numérique TP4 Victor Lavi Itroductio Das ce TP, o s itéresse aux méthodes umériques de calcul d itégrales. O étudiera plus précisémet la méthode des trapèzes, e ue et deux dimesios. Das u premier temps, o testera cette méthode sur diverses foctios coues afi d e vérifier le bo foctioemet. O appliquera esuite cette méthode au calcul d iterféreces par des fetes d oug de diverses sources (poctuelle, aeau, galaxie,... ). Calcul d itégrale umérique results/results_si.data -.98 results/results_si.data Valeur de l itegrale Valeur de l itegrale (a) Calcul umérique de π si(x)dx (b) Calcul umérique de π si(x)dx.7764 results/results_expx.data -.69 results/results_cos.data Valeur de l itegrale Valeur de l itegrale (c) Calcul umérique de 5 5 e x dx (d) Calcul umérique de π π cos(x)dx Figure : Calcul umérique de diverses itégrales e foctio du pas d itégratio Victor Lavi

2 Trapeze D. O s itéresse d abord das cette questio au calcul d itégrales à ue dimesio. O a tracé e figure le résultat du calcul umérique de diverses itégrales e foctio du pas d itégratio. O remarque qu o obtiet gééralemet ue précisio de l ordre de à partir de = : la covergece est assez rapide das u premier temps puis raletit très fortemet. Ceci est particulièremet visible sur des foctios très cocetrées sur u même itervalle, comme x e x. O otera aussi que l itégrale de x cos(x) sur [ π;π] (ormalemet ulle) est calculée avec ue très grade précisio, même si est peu élevé. E effet, la foctio état paire et l itervalle d itégratio cetré, il est probable que les erreurs positives et égatives se compeset. O pourra oter que ces résultats ot été obteus avec des réels e double précisio. E effet, e simple précisio, des variatios dûes à la limite de précisio apparaîsset lorsqu o augmete ou qu o augmete trop la taille de l itervalle d itégratio.. results/error_si.data. results/error_expx.data... Erreur de calcul.. Erreur de calcul Itervale d itegratio (a) Erreur sur le calcul de π si(x)dx e foctio de (b) Ecart etre π et x x e x dx selo x Figure : Erreurs de calcul umérique d itégrales O s est itéressés das u deuxième temps plus directemet à l erreur commise par l algorithme. La figure présete les résultats obteus. E particulier, la figure a présete l évolutio de l erreur du calcul de π si(x)dx e foctio du pas. O remarque que l erreur deviet iférieure à 4 aux aletours de = 3, mais qu augmeter deviet de mois e mois profitable. O a aussi essayé de représeter l écart etre π et e x dx, e foctio de l itervalle d itégratio, à fixé ( = 4). La foctio état très cetrée, o remarque qu o approche très rapidemet de la valeur attedue (o a déjà ue précisio de 7 sur [ 5;5]). Cepedat, si o cotiue d augmeter la taille de l itervalle, le pas d itégratio fiit par être trop faible pour échatilloer correctemet la foctio, ce qui provoque ue augmetatio de l erreur pour x > 5. O fera doc attetio à adapter correctemet le pas d itégratio à l itervalle d itégratio cosidéré, aisi qu aux variatios de la foctio. Victor Lavi

3 results/results_sixy.data Pas d itegratio m Pas d itegratio -3.5 Figure 3: Erreur sur le calcul de π π si(xy)dxdy e foctio de et m (log) Trapeze D. O s itéresse désormais à la gééralisatio de la méthode des trapèzes e deux dimesios. De la même faço que pour la partie précédete, o a tracé l erreur obteue sur le calcul de l itégrale π π si(xy)dxdy e foctio de la valeur attedue (calculée umériquemet par u logiciel tiers). Le résultat est préseté e figure 3. Comme attedu, l erreur dimiue lorsqu o augmete et m. E particulier, o obtiet de meilleurs résultats si o augmete les deux de maière similaire, ce qui est dû au fait que la foctio est symétrique e x et y. O remarque que si ou m est faible, alors l erreur globale est assez élevée, idépedammet de l autre paramètre. Ecore ue fois, o predre et m aux aletours de afi d obteir u résultat précis à au mois 3. O otera que, comme précédemmet, le calcul est fait e double précisio. E simple précisio, o remarque que les erreurs s accumulet et provoquet ue divergece lorsque ou m deviet trop élevé. E effet, lorsque les variatios de f e peuvet plus être représetées e simple précisio, o perd la symétrie de f et les erreurs (réduites à des erreurs umériques) e se compeset plus, ce qui provoque ue accumulatio des erreurs et ue divergece. 3 Applicatio aux iterféreces.3 results/iterfereces.data 4.3 results/iterfereces.data (a) Figure d iterférece au voisiage de x = (b) Figure d iterférece avec axe x dilaté Figure 4: Figures d iterférece Iterféreces. O applique maiteat l algorithme réalisé à la questio précédete au calcul d ue figure d iterférece. Les figures obteues sot présetées e 4. O a e particulier tracé la figure au voisiage de x = (e figure 4a) puis e dilatat l axe e figure 4b. Victor Lavi 3

4 Ceci permet d observer que, si l o se place loi de x =, le développemet limité au premier ordre qui prédit des frages rectiliges est plus valable. O voit e effet apparaître des arcs d hyperbole..3 results/iterfereces.data Figure 5: Figure d iterférece avec source large R max = Domaie de cohérece. O essaie désormais d augmeter la taille de la source pour observer l effet de décohérece. La figure obteue pour ue source beaucoup plus large est présetée e figure 5. A première vue, la figure d iterférece est idetique à la précédete. Cepedat, ceci est du au fait que le logiciel utilisé pour tracer la courbe (GNUplot) étaloe automatiquemet les couleurs pour afficher le miimum e oir et le maximum e blac. Si o regarde plus précisemmet les valeurs obteues, o remarque que l amplitude des frages est beaucoup plus faible que précédemmet, avec des miima plus élevés. Ceci se traduit e pratique par u cotraste plus faible..5 results/cotrast.data results/cotrast.data Cotraste Cotraste Rayo de la source Rayo de la source (a) Cotraste de la figure e foctio de R max (b) Erreur du cotraste à faible pas d itégratio Figure 6: Calcul du cotraste Cotraste. NOTE: Toutes les valeurs du cotraste sot multipliées par u facteur oublié das la foctio d itesité. Pour éviter le problème recotré das la questio précédete, o se propose maiteat d étudier directemet le cotraste de la figure. O a tracé e figure 6a l évolutio du cotraste e foctio de la taille de la source. O remarque que le cotraste est e effet pratiquemet ul à la taille de la source cosidérée das la questio précédete. Victor Lavi 4

5 O a aussi tracé e figure 6b la même courbe que précédemmet mais avec u pas d itégratio plus faible, pour redre compte des erreurs de calcul. O observe e effet que, pour ue source suffisamet grade, les erreurs s accumulet et le cotraste, ormalemet presque ul, oscille de maière imprévisible. results/cotrast_rd.data Rmax d Figure 7: Variatio du cotraste e foctio de R et d O peut aussi tracer la variatio du cotraste o seulemet e foctio de R (rayo de la source) mais aussi de l écart etre les fetes d, comme e figure 7. Ceci motre que R et d ot ue ifluece similaire sur le cotraste, et qu il faut doc coveablemet choisir d e foctio de R si o veut observer ue galaxie (R fixé) par exemple. Sources circulaires. O s itéresse maiteat à diverses formes de sources à symétrie circulaire, et à u moye de les distiguer. O a par exemple comparé ue source circulaire uiforme comme celle étudiée précedemmet à ue source e aeau (d itesité ulle au cetre). O a cherché à distiguer ces sources par la première valeur de d (écartemet etre les fetes) aulat le cotraste. O trouve ue valeur de d 3. pour ue source circulaire uiforme et d.7 pour ue source e aeau. 3 results/spiral.data 3 resources/elliptical.data (a) Galaxie spirale (b) Galaxie elliptique Figure 8: Sources e forme de galaxie Victor Lavi 5

6 Sources diverses. Pour cette partie, des images e oir et blac (obteues sur Google) ot été pré-traitées (grâce à u programme OCaml) afi d e extraire les doées d itesité lumieuse e chaque poit. Ceci ous doe plusieurs formes de sources, présetées e figure 8. O charge ces fichiers e Fortra à l aide de la foctio load_file. Pour obteir ue différece etre les deux sources, il faut se placer à ue valeur de D (distace source-écra) très élevée, ce qui permet de faire varier le cotraste plus précisémet (la différece de forme état très faible etre les deux sources). O obtiet alorsd 67.5 pour la galaxie spirale, et d 57.7 pour la galaxie elliptique, à D =. O peut cepedat se demader si ces résultats ot vraimet du ses, car o se situe aux limites du modèle et des capacités de représetatio. Victor Lavi 6

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