Code_Aster. Algorithme non linéaire quasi-statique (STAT_NON_LINE)

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1 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 1/29 Algorthme non lnéare quas-statque (STAT_NON_LINE) Résumé : L'opérateur STAT_NON_LINE [U ] du Code_Aster permet dans le cas d'une sollctaton quas-statque d'ntégrer dvers types de non-lnéartés provenant du comportement du matérau, de grandes transformatons géométrques ou des condtons de contact/frottement. On décrt c l'algorthme de résoluton global employé. L'ntégraton des relatons de comportement proprement dte est décrte dans les documents [R ] et [R ], (par exemple [R ] pour l'élasto-plastcté), auxquel on pourra se reporter pour plus de détals. Pour les calculs en grandes transformatons géométrques, on pourra consulter par exemple le document [R ] sur l'élastcté non lnéare en grands déplacements, ou les documents [R ], [R ] sur la thermoélastoplastcté à écroussage sotrope. Pour le contact frottement, l exste tros documents : [R ] sur le contact dscret sans frottement, [R ] pour la formulaton hybrde par des éléments de contact/frottement, et [R ] sur le contact en grands glssements avec la méthode XFEM. Pour tout ce qu concerne le plotage, l faut se référer au document [R ].

2 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 2/29 Table des Matères 1 Présentaton Généraltés Types de non lnéartés Comportements non lnéares Grandes transformatons Contact unlatéral Poston du problème quas-statque non lnéare Méthode de résoluton Prncpe de la méthode de Newton Adaptaton de la méthode de Newton au problème posé Résoluton sans condtons aux lmtes dualsées Résoluton avec des condtons aux lmtes dualsées Phase de prédcton Méthode d Euler Lnéarsaton Matrce tangente de prédcton Vecteur second membre des varables de commande Vecteur second membre du chargement mécanque Système lnéare en prédcton Varantes de la prédcton Phase de correcton de Newton Prncpe Chox des matrces Actualsaton des nconnues Crtères de convergence Dfférence des matrces en prédcton et correcton Cas des chargements suveurs Utlsaton d une matrce évolutve tangente-sécante Prncpes et ntérêts Applcaton Recherche lnéare Prncpe Mnmsaton d'une fonctonnelle Méthode de mnmsaton Applcaton à la mnmsaton de l'énerge Détermnaton du pas d'avancement Calcul de Méthode sécante (METHODE= CORDE ) Méthode mxte (METHODE= MIXTE )...27

3 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 3/29 3 Plotage Bblographe Hstorque des versons du document...28

4 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 4/29 1 Présentaton 1.1 Généraltés STAT_NON_LINE est l'opérateur de Code_Aster permettant d'effectuer des calculs mécanques non lnéares lorsque les effets d'nerte sont néglgés. Le calcul ne porte a pror que sur les varables mécanques (déplacements, contrantes, varables nternes) en excluant tout couplage avec d'autres phénomènes physques (thermque,...). Par conséquent, les champs assocés nfluant sur le comportement mécanque (champs thermques, hydrques, métallurgques) sont calculés au préalable par d'autres opérateurs (THER_LINEAIRE [U ], THER_NON_LINE [U ]), vore par d'autres codes (par exemple CODE_SATURNE pour la mécanque des fludes,...). Il y a une excepton en ce qu concerne la modélsaton thermo-hydro-mécanque (modélsaton dte 'THM') pour laquelle STAT_NON_LINE trate l'ensemble du problème couplé des équatons de dffuson de la thermque, de la presson du(des) flude(s) et de l'équlbre mécanque [R ]. Remarque : Il faut noter que lorsque l on parle d nstant de calcul dans ce document, on fat quasment toujours référence à un pseudo-temps, qu n a pas de sgnfcaton physque et qu ne sert qu à paramétrer l algorthme ncrémental. Toutefos l nstant a une sgnfcaton physque en vsco-plastcté et quand les varables de commande en dépendent. 1.2 Types de non lnéartés Comportements non lnéares Les relatons de comportement non lnéares sont décrtes dans les documents [R ], pour les comportement généraux, et [R ] pour les géo-matéraux. Dans STAT_NON_LINE, deux famlles de comportements sont dsponbles : Celle qu correspond au mot-clé facteur COMP_ELAS (COMPortement ELAStque) condut au travers de l'équaton d'équlbre à un système non lnéare dépendant explctement du champ de déplacements u par rapport à la confguraton de référence, et paramétré par l'nstant de calcul (à travers entre autres l'évoluton thermque). Pour plus de détals, on pourra se reporter, par exemple, au document [R ] concernant l'élastcté non lnéare en grandes transformatons (hyper-élastcté). L'autre famlle, qu correspond au mot-clé facteur COMP_INCR (COMPortement INCRémental), est assocée à des relatons de comportement exprmées par une équaton dfférentelle mplcte (par exemple l'élasto-plastcté, la vsco-plastcté, l'hypo-élastcté). Dans ce cas, la relaton de comportement est ntégrée comme présentée par exemple en [R ] : en relant un ncrément de déplacement u calculé à partr d'un état mécanque donné (l'état mécanque étant représenté par un champ de déplacements u, un champ de contrantes et un champ de varables nternes ) au champ de contrantes à l'nstant t du calcul. L'équaton d'équlbre condut donc à un système non lnéare en u, mas qu est également paramétré par l'nstant de calcul à travers les données du problème (varaton du chargement mécanque et évoluton thermque par exemple). Dans les deux cas, on calcule la soluton de proche en proche. Ce n'est théorquement pas ndspensable dans le cas élastque non lnéare, mas l se peut que la non lnéarté de la soluton recherchée sot trop forte pour l'algorthme de résoluton utlsé, et qu'l sot ndspensable, pour des rasons numérques, d'opérer pas à pas. Il faut néanmons avor à l'esprt la dfférence fondamentale entre les deux approches. Le cas élastque suppose l'exstence d'un état de référence par rapport auquel la déformaton élastque est écrte : cet état correspond à un état sans déformaton n contrante. C'est la valeur «absolue» du chargement qu crée la déformaton. Le cas ncrémental s'appue sur l'état précédemment calculé et «ouble» toute référence aux états antéreurs horms celle donnée par les varables nternes. Dans ce cas, c'est la varaton du chargement qu modfe l'état

5 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 5/29 du système : en partculer, l faut une varaton du champ de température pour créer des déformatons thermques Grandes transformatons Dans les cas où l hypothèse des pettes perturbatons (déplacements et déformatons modérés) n'est pas vérfée, la méthode de résoluton du problème dot alors ntégrer l évoluton de la géométre du problème, manpuler une cnématque partculère et utlser une formulaton adéquate de la lo de comportement. En pratque, l hypothèse des pettes déformatons peut être applquée tant que le carré du module de la déformaton reste nféreur à la précson des calculs envsagés. De même, l hypothèse des pettes rotatons peut être applquée tant que le produt entre le carré de l angle de rotaton et le module de la déformaton reste nféreur à la précson des calculs envsagés. Dverses alternatves exstent au sen du Code_Aster ; notre objectf n est pas c d en fare une présentaton détallée et nous renvoyons aux dfférents documents tratant spécfquement chaque problématque : Relaton de comportement élastque non lnéare en grands déplacements : [R ], Modélsaton élastoplastque avec écroussage sotrope en grandes déformatons : [R ]. Los de comportement en grandes rotatons et pettes déformaton : [R ], Poutres en grands déplacements : [R ], Éléments de coques volumques en non lnéare géométrque : [R ], Elasto(vsco)plastcté, métallurge et grandes déformatons : [R ], Lo de Rousseler en grandes déformatons : [R ], D'autre part, l exste une fonctonnalté relatvement générale du code qu permet un tratement smple de problématques grandes déformatons : l argument PETIT_REAC du mot clé DEFORMATION sous le mot clé facteur COMP_INCR. Le prncpe de la modélsaton PETIT_REAC consste smplement à réactualser la géométre du problème au cours des tératons de Newton. Ren d autre n est modfé par rapport au cas pettes perturbatons. Les lmtatons de cette formulaton sont décrts dans [bb4] et sur la documentaton [R ] : elle peut être employée sous les hypothèses suvantes : le comportement est sotrope les déformatons élastques sont fables devant les déformatons plastques les rotatons restent fables (nféreures à 10 ) on adopte une dscrétsaton en temps suffsamment fne. Le prncpal nconvénent tent au fat qu elle n est pas ncrémentalement objectve.e. pas nvarante par rotaton rgde de la structure. De plus, l absence de la contrbuton géométrque dans la matrce tangente peut parfos rendre la convergence dffcle Contact unlatéral Pour le contact frottement, l exste tros documents : [R ] sur le contact dscret sans frottement, [R ] pour la formulaton hybrde par des éléments de contact/frottement, et [R ] sur le contact en grands glssements avec la méthode XFEM. 1.3 Poston du problème quas-statque non lnéare En conséquence du paragraphe 1.1, on vot qu'l est légtme de consdérer que le problème non lnéare a comme nconnue un déplacement et qu l est paramétré par le temps. Sot donc le problème non lnéare quasstatque suvant, expresson du prncpe des travaux vrtuels : { vt. L nt u,t = v T. L ext t v tel que B.v=0 B.u = u d Équaton 1 t où : t représente la varable d'nstant u est le champ de déplacement prs à partr d'une confguraton de référence v est le champ de déplacement vrtuel cnématquement admssble

6 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 6/29 La relaton B.u = u d t correspond aux condtons aux lmtes mposées en déplacements (déplacements mposés, lasons entre degrés de lberté,...). B est un opérateur lnéare de l'espace des champs de déplacements sur un espace de fonctons défnes sur une parte du bord de la structure, u d est une foncton donnée sur cette parte. La premère équaton (Équaton 1) est l expresson classque du prncpe des travaux vrtuels. L ext est le chargement mécanque extéreur auquel est soums la structure (presson, force mposée,...) et L nt représente les forces nternes du problème de mécanque quas-statque non lnéare. Dans le cas lnéare, on a L nt u,t = K.u, où K est la matrce de rgdté de la structure. En fat, plus précsément, L nt u,t est relé au champ de contrantes σ par l'opérateur du traval des déformatons vrtuelles Q T [ 2.2.1] suvant la relaton Équaton 2 L nt u,t =Q T u : Équaton 2 En petts déplacements, Q T est ndépendant des déplacements ; pour les grands déplacements, ce n est plus le cas, se reporter à [R ] par exemple. On se donne une dscrétsaton de l ntervalle de temps à calculer t [t 0,,t,,t n ] Équaton 3 Le champ de contrantes à l'nstant t s'écrt u,t,t,h 1, s l'on note T le champ de températures et H 1 l'hstore passée de la structure. Pour les comportements élastques, l'hstore n'ntervent pas : l'ensemble H 1 est donc vde. Pour les comportements ncrémentaux, l'hstore est l'ensemble des états (champs de déplacements, contrantes et varables nternes) à l'nstant précédent : H 1 ={u 1, 1, 1,t 1 }. Dans le cas général, la dépendance de l'opérateur L nt est, comme nous l'avons vu dans le [ 1.1], mplcte par rapport au temps : elle résulte de l'ntégraton de la relaton de comportement dans le temps (pour les problèmes d'élasto-plastcté par exemple). La dépendance explcte par rapport au temps apparaît notamment dans le cas de relatons de comportement prenant en compte un phénomène d'écroussage par le temps (tmehardenng) ou dans le cas du vellssement. La dualsaton des condtons aux lmtes de Drchlet B.u = u d t condut au problème suvant [R ] : { Lnt u,t B T. = L ext t B.u = u d t Équaton 4 Les nconnues sont à présent, à tout nstant t, le couple u,, où représente les multplcateurs de Lagrange des condtons aux lmtes de Drchlet [R ]. Le vecteur B T. s'nterprète comme l'opposé des réactons d'appu aux nœuds correspondants. La formulaton du problème quas-statque consste à exprmer l'équlbre de la structure (les forces nternes sont égales aux forces externes) pour une sute d'nstants de calcul {t } 1 I qu paramètrent le chargement : { Lnt u,t B T. = L ext t B.u = u d t Équaton 5

7 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 7/29 Ce qu revent à annuler en u,,t le vecteur R u,, t dt vecteur résdu d équlbre, défn par Équaton 6: R u, λ, t = Lnt u,t B T. L ext t B.u u d t Équaton 6 L'état de la structure en t 0 est supposé connu. On effectue I ncréments (ou pas) de charge défns sur la Fgure a. pas de charge 1 2 I n nstant t 0 t 1 t 2... t I -1 t I Fgure a Les nconnues sont calculées de façon ncrémentale par l'algorthme de résoluton global (même pour les comportements élastques). À partr de u 1, 1, soluton satsfasant l'équlbre en t 1, on détermne u et qu permettront d'obtenr la soluton en t : { u =u 1 u = 1 Équaton 7 Les ncréments u et sont d'abord estmés en lnéarsant le problème par rapport au temps autour de u 1, 1,t 1 (phase dte de prédcton ou d'euler [bb 1]). Pus on utlse une méthode de Newton ou une de ses varantes pour résoudre l'équaton Équaton 5 de manère tératve (on calcule une sute u n, n ). Pour les relatons de comportement ncrémentales, on a beson de connaître en t 1 le champ de contrantes 1 et le champ de varables nternes 1 (Cf. [R ] pour un exemple). 2 Méthode de résoluton 2.1 Prncpe de la méthode de Newton La méthode de Newton est une méthode classque de résoluton des équatons du type recherche de zéro (Équaton 8) : F x = 0 Équaton 8 où F est une foncton vectorelle (non lnéare) du vecteur x. Elle consste à construre une sute de vecteurs {x n } n convergeant vers la soluton x. Pour trouver le nouvel téré x n 1, on approche F x n 1 par un développement lmté à l'ordre 1 autour de x n et on exprme que F x n 1 dot être nul : sot : 0= F x n 1 F x n F ' x n x n 1 x n Équaton 9 F ' x n x n 1 x n = F x n ou encore x n 1 = x n [F ' x n ] 1 F x n Équaton 10 Rappel : F ' x n est l'applcaton lnéare tangente assocée à la foncton x dans la drecton h est défne comme : F. La dérvée au pont

8 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 8/29 F ' x h = lm 0 F x h F x. La matrce de F ' x dans les bases choses pour les espaces vectorels concernés s'appelle la matrce jacobenne de F au pont x. Lorsque F est une foncton d'un espace vectorel euclden à valeurs réelles, F ' x est une forme lnéare, et on peut montrer qu'l exste un vecteur (unque), noté F x et appelé le gradent de F, tel que : F ' x h = h T F x (produt scalare de h et du gradent). Lorsque l'on est proche de la soluton, la convergence de la méthode de Newton est quadratque (le nombre de 0 après la vrgule dans l'erreur double à chaque tératon : par exemple). Mas cette méthode (utlsant la vrae tangente) a pluseurs nconvénents : Elle nécesste le calcul de la tangente à chaque tératon, ce qu est d autant plus coûteux que la talle du problème est grande (surtout dans le cas où on utlse un solveur drect), S l'ncrément est grand, la tangente (dte cohérente ou consstante) peut condure à des dvergences de l'algorthme, Elle peut ne pas être symétrque, ce qu oblge à utlser des solveurs partculers. C'est pour cette rason que l'on peut utlser d'autres matrces à la place de la matrce tangente : la matrce élastque, une matrce tangente obtenue antéreurement, la matrce tangente symétrsée,... [ 2.2.1]. 2.2 Adaptaton de la méthode de Newton au problème posé Résoluton sans condtons aux lmtes dualsées S l'on ouble dans un premer temps les condtons aux lmtes de Drchlet, on dot résoudre un système de la forme : L nt u, t = L méca Équaton 11 où L méca désgnera désormas, à l'nstant t, le chargement mécanque L ext afn de le dstnguer du chargement thermque. Notons que le chargement mécanque L méca = L méca u peut dépendre des déplacements u dans le cas des forces dtes «suveuses» comme la presson ou la force centrfuge (vor [ 2.2.6]). En utlsant les notatons du [ 2.1], cela revent à annuler la foncton vectorelle R défne par : R u,t = L nt u,t L méca Équaton 12 Les forces nternes L nt peuvent symbolquement être notées Q T., où Q T est la matrce assocée à l'opérateur dvergence (expresson du traval du champ de déformatons vrtuelles), avec u,t,t,h 1. Les forces nternes s exprment alors : L nt k = Q T. k = u : w k.d Équaton 13 et les forces du chargement mécanque : où L méca k = f. w k.d t. w k.d Équaton 14 w k désgne la foncton de base assocée au k ème degré de lberté de la structure, f désgne les forces volumques s applquant à l nstant t sur, t désgne les forces surfacques s applquant à l nstant t sur la frontère de.

9 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 9/29 L'applcaton de la méthode de Newton condut à résoudre une sute de problèmes lnéare du type ( numéro de l'tératon de Newton, celu de la varable d'nstant) : n est le K n. u n 1 = L méca L nt,n Équaton 15 On note u n 1 =u n 1 u n l'ncrément de déplacement entre deux tératons de Newton successves. La matrce K n est la matrce de rgdté tangente en u n et le vecteur L nt,n représente les forces nternes à la n ème tératon de Newton du ème pas de charge. La quantté L méca L nt,n représente les forces non équlbrées, que l'on appelle le «résdu d équlbre». La matrce K n est la matrce de l'applcaton lnéare tangente de la foncton R, elle vaut donc : K n = R n u = L u n, t u nt,n L méca,n u n,t u n u,t En l'absence de forces suveuses [ 2.2.6], le second terme est nul. La matrce K n u n des forces nternes par rapport aux déplacements : K n = L nt,n u u n,t Équaton 16 est donc la dérvée au pont Équaton 17 Une pette erreur dans l'évaluaton des forces nternes peut avor des conséquences graves, car c'est leur calcul exact qu garantt, s l'on converge, que ce sera vers la soluton cherchée. Par contre, l n'est pas toujours nécessare d'utlser la vrae matrce tangente, dont le calcul et la factorsaton sont coûteux. Par exemple, une varante de la méthode utlse la matrce élastque K 0. La méthode utlsant la vrae matrce tangente K n (dte auss matrce cohérente ou consstante) s'appelle la méthode de Newton ; les méthodes utlsant d'autres matrces (comme par exemple la matrce élastque K 0 ) sont appelées méthodes de Newton modfées ou méthodes de quas-newton. Le chox entre une matrce tangente (la dernère obtenue ou une matrce précédente) et une matrce élastque est effectué dans le Code_Aster par l'ntermédare du mot-clé MATRICE= 'TANGENTE' ou MATRICE= 'ELASTIQUE' du mot-clé facteur NEWTON. De plus, l est possble d utlser une matrce de décharge, c est-à-dre d une matrce à varables nternes constantes (l évoluton des non lnéartés n est donc pas prse en compte dans cette matrce), en dessous d un certan pas de temps, pour certanes los de comportement. On se reportera à la documentaton [U ] pour l utlsaton de cette fonctonnalté. La méthode de Newton à matrce tangente consstante peut s'llustrer smplement à l'ade du schéma de la [Fgure a].

10 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 10/29 L ext L nt,2 F R 2 R 1 L nt,1 L nt, u u u u u Fgure a Résoluton avec des condtons aux lmtes dualsées Lorsque l'on prend en compte les condtons de déplacements mposés par dualsaton 1, le système à résoudre s'écrt : { Lnt u,t B T méca. = L d Équaton 18 B.u = u On utlsera le symbole quanttés. pour noter les ncréments depus l'équlbre précédent (en t 1 ) des dfférentes On va utlser une méthode de Newton pour résoudre ce système. Cependant, l'expérence montre que la convergence de la méthode de Newton est fortement dépendante d'un chox judceux de l'estmaton ntale : «plus l'estmaton ntale est proche de la soluton, plus l'algorthme converge vte». Pour amorcer le processus tératf de la méthode, l est donc utle de détermner un «bon» ncrément ntal u 0, 0. Pour cela, on lnéarse par rapport au temps le problème contnu : c'est ce qu'on appelle la phase de prédcton (ou d'ntalsaton). On enchaîne avec la boucle des tératons de Newton qu permet, à la convergence, d'obtenr les valeurs de u,, et donc celles de u, Phase de prédcton Méthode d Euler Lnéarsaton On lnéarse le système Équaton 18 par rapport au temps autour de u 1, -1 ; en tenant compte de l'équlbre obtenu à l'nstant t -1. On utlsera le symbole pour noter les ncréments depus l'équlbre précédent { u 0 =u 1 u Équaton 19 t =t 1 t 1 Dans le cas où les condtons de déplacements mposés sont tratées par élmnaton (opérateur AFFE_CHAR_CINE), le système à résoudre est donné par Équaton 11.

11 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 11/29 On commence par lnéarser les forces nternes L nt u,t L nt u,t L nt u 1,t 1 Lnt u u 1. u 0 Lnt t t 1. t Équaton 20 La lnéarsaton des réactons d appu B T. est mmédate car on suppose que la matrce B est constante (elle ne dépend pas des déplacements ou du temps). Comme 0 = 1, on a : B T. =B T. 1 B T. Équaton 21 On suppose que le chargement mécanque ne dépend pas du temps (les charges suveuses sont exclues) et que les condtons lmtes de Drchlet sont auss lnéares, donc : { L méca =L méca méca 1 L u d d d =u 1 u Équaton 22 En ré-njectant Équaton 19, Équaton 20, Équaton 21 et Équaton 22 dans Équaton 18 on obtent pour l équaton d équlbre le système suvant L nt u 1,t 1 Lnt u u 1. u 0 Lnt t t 1. t B T. 1 B T. =L méca méca 1 L Équaton 23 On a équlbre à l nstant t 1, donc L nt u 1,t 1 B T méca. 1 =L 1 Équaton 24 Et l reste : L nt u u 1. u 0 B T. = L méca Lnt t t 1. t Équaton 25 De même pour la parte qu concerne les condtons lmtes de Drchlet: B. u 0 = u d Équaton 26 On obtent le système d équatons permettant de calculer des valeurs prédctves u 0, 0 : { nt L u u 1 u 0 B T. 0 = L méca Lnt t B. u 0 d = u t 1. t Équaton Matrce tangente de prédcton La quantté Lnt u u désgne la dérvée partelle à 1 t constant de L nt, elle peut se développer : K 1 = Lnt u u 1 = QT : u u 1 QT u u 1 : Équaton 28 La matrce K 1 est appelée matrce tangente de prédcton.

12 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 12/29 Remarques : La dépendance de la matrce Q T par rapport aux déplacements est néglgée dans l'hypothèse des petts déplacements : le terme QT u u 1, dt terme de rgdté géométrque, dsparaît donc de l Équaton 28. On peut remplacer formellement la matrce K 1, dérvée de L nt par rapport à u en u 1 par la matrce élastque K 0 ( PREDICTION= ELASTIQUE ). Pour les développeurs, précsons que le calcul de la matrce tangente lors de la phase de prédcton est effectué va l'opton de calcul RIGI_MECA_TANG Vecteur second membre des varables de commande Une varable de commande est une quantté scalare foncton du temps et de l espace donnée a pror par l utlsateur va le mot-clef AFFE_VARC dans l opérateur AFFE_MATERIAU. C est une donnée du problème et non une nconnue. La quantté Lnt t t désgne la dfférentelle partelle à 1 u constant de L nt =Q u : t,v commande t par rapport à t. Cette notaton partculère a pour but d attrer l attenton sur le fat que t = commande t V commande. comme on le vot dans la sute. Les contrantes peuvent var.comm. V t dépendre des varables de commande V commande. S on prend comme exemple la varable de commande décrvant la température, t = t T. T. La t dépendance de σ par rapport au temps et par rapport à la température permet d écrre : L nt t t 1 = T Q : =Q t : t t 1. t T t 1. T Équaton 29 car t Q =0. Le vecteur L varc, dont l expresson est donnée par l Équaton 30, est l ncrément de chargement de température (attenton au changement de sgne!) que l on a généralsé à toutes les varables de commandes : température, rradaton, phases métallurgques (vor [R ] ), L varc = Lnt t = QT : t t 1. t V =varc Q T : V commande t 1. V commande Équaton 30 On ne tent pas compte actuellement pour la phase de prédcton de la dépendance explcte des contrantes par rapport au temps et donc le premer terme de l Équaton 30 vaut zéro. Et donc fnalement : L varc = V =varc Q T : V commande t 1. V commande Équaton 31 varc L ncrément de chargement des varables de commande L, ssu de la dérvaton des forces nternes par rapport aux varables de commande est une estmaton de l'effet d'une varaton des varables de commandes. Dans le cas de la température, s l'on note K le module de compresson hydrostatque et le coeffcent de dlataton thermque, l'ncrément de chargement thermque s'écrt (pusque L nt =Q T. et ther = 3 K T.I d où I d est la matrce dentté) :

13 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 13/29 L ther = QT : T t 1. T = 3 K T. Q T : I d Équaton 32 Dans le cas élastque, ce sont les forces nternes assocées à une dlataton thermque (ce n'est pas à proprement parler un chargement, cela s'assmle plutôt à l'effet d'une déformaton ntale). Cette estmaton est utlsée dans la phase de prédcton et dans le crtère d'arrêt. S les dlatatons thermques font sortr la structure du domane élastque (plastcté par exemple), cette estmaton sera corrgée lors des tératons de Newton Vecteur second membre du chargement mécanque méca L'ncrément de chargement mécanque L est composé des charges mortes (ndépendantes de la géométre, comme la pesanteur). En réalté, l exste des cas (le premer ncrément de charge, par exemple) où méca est nconnu. On rappelle que l ncrément de chargement (Équaton 22) s écrt : L 1 L méca =L méca méca L 1 Équaton 33 On a équlbre à l nstant t 1, donc en applquant l Équaton 24 : L méca =L méca L nt u 1,t 1 B T. 1 Équaton 34 L expresson des forces nternes au pas de temps précédent L nt u 1, t 1 mplque sot de sauvegarder ce vecteur du calcul précédent s l exste (reprse d un calcul antéreur), sot d ntégrer la lo de comportement à partr de l état ntal donné par l utlsateur (ce qu peut être coûteux). Par souc de smplcté et d effcacté, on chost de ne pas réntégrer la lo de comportement et on exprme smplement les forces nternes comme les forces nodales en prenant les contrantes connues à cet nstant, sot : L nt u 1,t 1 Q T. 1 Équaton 35 D où la nouvelle expresson Remarque : L méca =L méca Q T. 1 B T. 1 Équaton 36 L approxmaton exprmée par l Équaton 35 demande à l utlsateur de prendre garde à la cohérence entre le champ des contrantes, les champs de déplacements et de varables nternes ( DEPL, SIGM et VARI dans ETAT_INIT ). vs-à-vs de l ntégraton de la lo de comportement dans le cas d une reprse de calcul Système lnéare en prédcton En ré-njectant K 1, L varc et L méca dans l Équaton 27, le système d équatons en prédcton s'écrt : { K 1. u 0 B T. 0 = L méca Q T. 1 B T varc. 1 L B. u 0 d Équaton 37 = u On remarquera alors que l expresson fat désormas ntervenr les multplcateurs de Lagrange à l ncrément 1, qu sont parfos nconnus (au premer ncrément de charge, par exemple). Ce qu veut dre qu avec l Équaton 36, on a déplacé le problème de la connassance des forces nternes à l nstant t 1 vers l gnorance des multplcateurs de Lagrange à ce même nstant! Mas on va vor que le fat que les condtons lmtes sont lnéares nous «sauve». S l on note 0 = 0 et 1 = 1 la «vrae» soluton de la premère équaton :

14 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 14/29 Et s l on écrt On a donc : K 1. u 0 B T. 0 = L méca Q T. 1 B T. 1 L varc 0 1 = 0 K 1. u 0 B T. 0 =L méca Q T. 1 L varc Équaton 38 Équaton 39 Équaton 40 Comme les condtons aux lmtes en déplacements mposés sont lnéares et donc que la matrce B est d constante, les multplcateurs de Lagrange 1 sont lés aux déplacements mposés «vras» u et donc : En posant : B. u 0 = u d u d = u d d u 1 Équaton 41 Équaton 42 La matrce B est lnéare, donc : d B.u 1 = u 1 Équaton 43 On modfe donc ans l équaton d mposton des condtons lmtes B. u 0 = u d =u d d u 1 =u d B.u 1 Équaton 44 Fnalement, le système se ré-écrt en concaténant l expresson de l équaton d équlbre Équaton 40 et l équaton d mposton des condtons aux lmtes Équaton 44 pour obtenr { K 1. u 0 B T. 0 =L méca Q T varc. 1 L B. u 0 = u d Équaton 45 B.u 1 Remarque : Un cas partculer concerne l'utlsaton d'une exctaton de type TYPE_CHARGE: ' DIDI ' sgnfant Drchlet dfférentel, c'est-à-dre par rapport à l'état ntal. Cela consste, pour les condtons aux lmtes de type blocages, à mposer, non pas B.u=u d, mas B. u u 0 =u d. Dans ce cas, le système à résoudre dans la phase de prédcton pour le nouvel ncrément de charge est : { K 1. u 0 B T. 0 =L méca L varc Q T. 1 B. u 0 d = u Varantes de la prédcton Il exste d autres optons de prédcton dsponbles dans STAT_NON_LINE. On peut utlser une matrce élastque à la place de la matrce tangente en vtesse, c est l opton PREDICTION= ELASTIQUE (RIGI_MECA). On peut utlser un ncrément de déplacement précédemment calculé à la place de l estmaton, c est l opton PREDICTION= DEPL_CALCULE. Dans ce cas on ne fat aucune nverson de système et le u 0 est drectement donné. Vor documentaton [U ] pour son usage.

15 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 15/29 On peut utlser un ncrément de déplacement extrapolé par rapport au pas précédent. On calcule l estmaton de l ncrément de déplacement à partr de l ncrément total obtenu comme soluton au pas de temps précédent (pondéré par le rapport des pas de temps). On projette cette estmaton sur l ensemble des champs cnématquement admssbles (.e. satsfasant les condtons aux lmtes de Drchlet) selon la norme donnée par la matrce élastque, qu dot donc être calculée. C est l opton PREDICTION= EXTRAPOL Phase de correcton de Newton Prncpe On dot trouver les valeurs u, des ncréments de déplacements et paramètres de Lagrange depus les valeurs u 1, -1 obtenues à l'équlbre précédent (nstant t 1 ). On prend comme valeurs ntales u 0, 0 obtenues à l'ssue de la phase de prédcton, avant de commencer les tératons de la méthode de Newton. À chaque tératon, on dot résoudre un système permettant de détermner u n 1, n 1, ncréments des déplacements et des paramètres de Lagrange depus le résultat u n, n de l'tératon précédente d après l Équaton 17 : { K n. u n 1 B T. n 1 = L méca F nt u n B T n. B. u n 1 = 0 Équaton 46 Le vecteur des forces nternes F nt u n est calculé à partr des contrantes n. Celles-c étant calculées à partr des déplacements u n par l'ntermédare de la relaton de comportement du matérau [ 1.1]. En fat, dans le cas des comportements ncrémentaux, n est calculé à partr de ( 1, 1 ) et de l'ncrément de déformaton u n 1 ndut par l'ncrément de déplacement u n 1 =u n u n 1 u Chox des matrces Comme dans la phase de prédcton, on n'est pas oblgé d'utlser la vrae matrce tangente K n. En partculer, l'opérateur STAT_NON_LINE autorse l'utlsaton de la matrce élastque K 0, ou la réactualsaton de la matrce tangente tous les 0 pas de temps (mot-clé REAC_INCR) ou toutes les n 0 tératons de Newton (mot-clé REAC_ITER). Ans, la matrce K n K m, avec m n. peut-être remplacée par une matrce K j, avec j, ou une matrce Attenton : une matrce trop "rade" ne pose pas de problèmes de stablté mas peut produre une convergence très lente ; une matrce trop "souple" peut condure à dvergence, l est consellé dans ce cas de fare de la recherche lnéare [ 2.3]. Il est dffcle de donner une règle permettant de savor quand on dot réactualser la matrce tangente : cela dépend fortement du degré de non lnéarté du problème et de la talle des ncréments de charge. En décharge, l est recommandé sot d'utlser la matrce élastque pour la phase de prédcton et de résoluton, sot d utlser la matrce élastque pour la phase de prédcton pus la matrce tangente pour la résoluton. Les fgures c-après llustrent les dverses possbltés de réactualsaton de la matrce tangente : matrce élastque K 0 utlsée à chaque tératon Fgure a, matrce tangente réactualsée à chaque tératon et à chaque pas de temps, matrce tangente réactualsée tous les 0 pas de temps ( 0 =1 c), et matrce tangente réactualsée toutes les n 0 tératons de Newton ( n 0 =2 c) Fgure d

16 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 16/29 R u Fgure a: Utlsaton de la matrce élastque R u Fgure b: Utlsaton de la vrae matrce tangente réévaluée à chaque tératon

17 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 17/29 L +1 R L Fgure c: Utlsaton de la matrce tangente réévaluée à chaque pas de temps R u Fgure d: Utlsaton de la matrce tangente réévaluée toutes les 2 tératons de Newton u

18 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 18/29 La méthode de Newton modfée (utlsant une autre matrce que la matrce tangente consstante) converge mons vte que la méthode de Newton classque, mas est mons coûteuse. Elle est d'autant plus économque que le nombre de degrés de lberté du système est élevé. C'est pourquo on peut conseller, lorsque le système est de grande talle, de garder la même matrce tangente pendant quelques tératons. Enfn, n'oublons pas de sgnaler que dans certans cas, c'est le calcul avec la matrce élastque qu est le plus rapde en termes de temps de calcul, même s le nombre d'tératons effectuées est beaucoup plus mportant (ce sont des tératons bon marché pusque la matrce n'est calculée et factorsée qu'une seule fos) ; de plus, c'est la matrce élastque qu'l est recommandé d'utlser lors des décharges. Il faut effectuer à chaque tératon de Newton le calcul éventuel de la nouvelle matrce tangente K n et des «forces nodales» L nt,n B T. n. Pour les développeurs, précsons que ces opératons sont effectuées par l'opton de calcul FULL_MECA ou RAPH_MECA s la matrce tangente n'est pas recalculée Actualsaton des nconnues L'actualsaton des déplacements et de leurs ncréments se fat comme sut, celle des paramètres de Lagrange est effectuée de manère dentque : { u n 1 = u n n 1 u u n 1 = u n n 1 u Équaton Crtères de convergence Il exste tros crtères de convergence : Le crtère RESI_GLOB_MAXI consste à vérfer que la norme nfne du résdu, est nféreure à la valeur spécfée par l'utlsateur. Q T. n B T. n L méca Équaton 48 Il n'est pas consellé d'utlser ce crtère seul, car on ne peut pas faclement avor une dée des ordres de grandeurs absolus admssbles. Le crtère RESI_GLOB_RELA (chos par défaut) revent à vérfer que le résdu est suffsamment pett, comme précédemment, et cec relatvement à une quantté représentatve du chargement. Q T. n B T. n L méca Équaton L méca L varc B T. n 49 étant la précson relatve souhatée donnée par l'utlsateur (ou la valeur par défaut de 10-6 ) et la norme du maxmum. On peut remarquer que, dans le cas d utlsaton de RESI_GLOB_RELA, le crtère peut devenr snguler s le chargement extéreur L méca L varc B T. n devent nul. Cec peut arrver en cas de décharge totale de la structure. S un tel cas de fgure se présente (.e. chargement 10 6 fos plus pett que le plus pett chargement observé jusqu au présent ncrément), le code utlse alors le crtère RESI_GLOB_MAXI avec comme valeur celle observée à la convergence de l ncrément précédent. Lorsque le chargement redevent non nul, on revent au crtère ntal. Le trosème crtère est le crtère RESI_REFE_RELA : l dée de ce crtère est de construre une force nodale de référence, qu servra à estmer terme à terme, la nullté (approchée) du résdu : j {ddls } Q T. n B T. n méca ref Équaton L j.f j 50 Plus précsément, la force nodale de référence peut être est construte à partr de la donnée d une ampltude de référence A ref qu peut être : une contrante

19 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 19/29 une presson, une température dans le cas de la THM une force généralsée dans le cas des poutres ou des coques S on prend comme exemple une contrante mécanque. L ampltude de référence donnée par l utlsateur ref. A partr de cette ampltude de contrante de référence, on défnt le tenseur test : l est nul pour toutes ces composantes, sauf la j-ème qu vaut ref. On défnt alors, pour chaque nœud de chaque élément la force nodale suvante (le but étant de donner une dée de l mportance d une composante en un pont de Gauss de la contrante sur la force nodale) : N M j =1 R e = 1 N B, j test j Équaton 51 =1 Avec N le nombre de ponts de Gauss de l élément, M le nombre de composantes du tenseur de contrante ; l exposant α servant à noter l évaluaton de quantté au pont de Gauss, sont les pods des ponts de Gauss. La force nodale de référence est alors défne par : F ref e =mn R Équaton e Γ 52 où est l ensemble des éléments connectés au nœud. La convergence est décrétée réalsée lorsque tous les crtères spécfés par l'utlsateur sont vérfés smultanément. Par défaut, on fat un test sur le résdu global relatf (RESI_GLOB_RELA) et le nombre maxmum d'tératons de Newton (ITER_GLOB_MAXI) Dfférence des matrces en prédcton et correcton Il est mportant de soulgner que la matrce tangente ssue de l'opton RIGI_MECA_TANG (phase de prédcton) et la matrce tangente ssue de l'opton FULL_MECA (phase de correcton) ne sont en général pas dentques. Supposons que l on a attent la convergence pour l nstant t 1 et que l on cherche mantenant à obtenr l équlbre pour l nstant suvant t. La matrce ssue de RIGI_MECA_TANG provent d une lnéarsaton des équatons d équlbre par rapport au temps autour de u 1, -1.e. autour de l équlbre à l nstant t 1. C est donc la matrce tangente du système convergé à l nstant t 1. Par contre, la matrce ssue de FULL_MECA provent d une lnéarsaton des équatons d équlbre par rapport au déplacement autour de u n, n.e. autour de l équlbre à l nstant t. On peut nterpréter les dfférences entre RIGI_MECA_TANG et FULL_MECA en d autres termes. On peut ans montrer que la matrce ssue de RIGI_MECA_TANG correspond à l'opérateur tangent du problème contnu en temps, dt auss problème en vtesse (et rele la vtesse de contrante à la vtesse de déformaton), alors que la matrce ssue de FULL_MECA correspond à l'opérateur tangent du problème dscrétsé en temps [bb1]. Le document [R ] donne l'expresson dans chacun des deux cas pour la relaton d'élasto-plastcté de Von Mses à écroussage sotrope. On rappelle que le tratement d'une relaton de comportement [R ] consste à : n n Calculer les contrantes et les varables nternes à partr de l'état ntal 1, 1 et de l'ncrément de déplacement u n, Calculer les forces nternes L nt,n =Q T. n, Calculer (éventuellement) la matrce tangente (opton RIGI_MECA_TANG pour la phase de prédcton, opton FULL_MECA pour les tératons de Newton) Cas des chargements suveurs Un chargement suveur (en mécanque) est un chargement qu dépend de la géométre de la structure, comme par exemple la presson qu s'exerce dans la drecton opposée à la normale (ou les forces d'nerte dans un repère non galléen). Ans, lorsque la structure se déforme avec l'évoluton de la charge, le chargement, exprmé dans un repère absolu, est transformé. Les charges qu ne dépendent pas de la géométre de la structure sont appelées des charges mortes ou fxes (par exemple, la pesanteur). Pour ndquer

20 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 20/29 qu'une charge dot être tratée comme une charge suveuse dans STAT_NON_LINE, on ndque TYPE_CHARGE='SUIV' sous le mot-clé EXCIT. Un chargement mécanque L méca t comportant des charges suveuses s'écrt L fxe t L suv u,t fxe suv (l'exposant désgne c les charges mortes, et les charges suveuses). Le système d'équatons à résoudre devent alors : { Lnt u,t B T. = L fxe t L suv u,t d Équaton 53 B.u = u Les opératons de dérvaton permettant d'écrre la phase de prédcton et les tératons de la méthode de Newton font donc ntervenr les dérvées de L suv par rapport aux déplacements u.la phase de prédcton devent : { K L suv 1 u u 1. u 0 B T. 0 = L fxe L suv varc L B. u 0 d = u Équaton 54 Et les tératons de Newton consstent à résoudre le système : { K n Lsuv u u n. u n 1 B T. n 1 = L fxe L suv u n L nt u n B T n. B. u n 1 = 0 Équaton 55 Ans, au début de chaque pas de charge (prédcton) et à chaque tératon de Newton, on dot calculer une matrce de "rgdté" L suv / u u n et un vecteur L suv u n lés aux chargements suveurs. Les seules charges qu peuvent être tratées comme des charges suveuses dans l'état actuel de l'opérateur STAT_NON_LINE sont : La presson pour les modélsatons 3D, 3D_SI, D_PLAN, D_PLAN_SI, AXIS, AXIS_SI, C_PLAN, C_PLAN_SI [R ], Le chargement de pesanteur pour les éléments CABLE_POULIE [R ], éléments à tros nœuds comportant une poule et deux brns de câbles : la force de pesanteur s'exerçant sur l'élément dépend des longueurs respectves des deux brns, La force centrfuge en grands déplacements, qu pour une vtesse de rotaton est donné par :. [ OM ].d =. [ OM 0 u ].d ; Le chargement de pesanteur pour toutes les modélsatons THM des mleux poreux non saturés [R ] : en effet, la masse volumque dépend des varables nodales u, pet T pour tenr compte des relatons de comportement des géomatéraux Utlsaton d une matrce évolutve tangente-sécante Prncpes et ntérêts La méthode décrte dans ce paragraphe s applque exclusvement aux problèmes fortement non-lnéares, où une méthode de Newton classque échoue pour tout type de chox de matrce, pour la phase de prédcton ou de correcton. Typquement, la méthode de Newton habtuelle est mse en défaut pour les problèmes mal-posés provenant de l utlsaton des los de comportement adoucssantes (vor par exemple R ).

21 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 21/29 Dans ces stuatons, une non-convergence se manfeste lorsque l algorthme ne parvent pas à chosr entre pluseurs solutons admssbles, dans un ncrément de (pseudo)-temps donné. Ce défaut de convergence au nveau global se tradut le plus souvent au nveau local (.e. au pont d ntégraton) par une alternance répétée entre un état non-dsspatf (élastque) et un état dsspatf (plastcté, endommagement, ) au cours des tératons de Newton consécutves. Une des stratéges consste à utlser la noton de plotage (vor R ) pour paller les nsuffsances de Newton. L autre stratége consste à modfer la matrce tangente. C est cette dernère stratége que l on détalle c. En suvant l état de chaque pont d ntégraton d une tératon à l autre, on put repérer les ponts responsables d une non-convergence globale. Une fos ces ponts repérés, on décde de modfer la matrce en espérant que cette modfcaton permettra une convergence globale. σ σ pc Domane élastque Domane nélastque sécante 1 2 tangentesécante tangente ε pc ε Fgure a: Lo de comportement adoucssante, utlsaton d une matrce mxte tangente-sécante L approche baptsée tangente-sécante, actvée sous le mot-clef COMP_INCR avec TANGENTE_SECANTE= OUI, se justfe par le rasonnement suvant : s la méthode de Newton utlsant la matrce tangente cohérente ne converge pas, c est souvent parce qu un certan nombre (varable) de ponts d ntégraton change d état (non-dsspatf/dsspatf) entre deux tératons globales de Newton. Au nveau local (vor Fgure a), cela veut dre qu on contnue à alterner entre le domane 1 ( pc ) et le domane 2 ( pc ). A cause du changement de pente entre 1 et 2, l utlsaton d une matrce sécante ou tangente cohérente condut à une approxmaton très pauvre, d où l ntérêt de la modfer. Le chox que l on présente consste à construre la matrce tangente comme une combnason lnéare entre la matrce tangente cohérente et la matrce sécante, les deux étant détermnées par les los de comportement. Actuellement, l approche n est dsponble que pour la lo de comportement adoucssante ENDO_ISOT_BETON Applcaton Pour gérer l amorçage de l opton tangente-sécante, on ntrodut une varable nterne supplémentare par rapport aux varables nternes exstantes, V n 1 (avec n le nombre de varables nternes du modèle utlsé). Cette varable tradut l alternance éventuelle entre l état élastque et l état adoucssant d un pont de Gauss. On l ntalse à la premère tératon de Newton de chaque nouveau pas de temps, pus on la fat évoluer pour

22 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 22/29 savor, en chaque pont de Gauss, le nombre d alternances successves entre les deux états. En ayant cette nformaton, on peut estmer qu à partr d un certan seul (par exemple S 0 =3 alternances), l algorthme de Newton ne pourra plus converger pour l ncrément de temps courant et qu l est nécessare de modfer la matrce tangente. Pour modfer la matrce, on s appue drectement sur la manère dont la matrce tangente cohérente dans ENDO_ISOT_BETON est construte (vor [R ]). Il s agt de fare la somme entre la parte dsspatve et la parte non dsspatve. C tg =C sc C end Équaton 56 où C tg est la matrce tangente, C sc la matrce sécante (parte non-dsspatve) et C end la correcton endommageante (parte dsspatve). Pour la matrce modfée C t s, on remplace l expresson dans l Équaton 56 par C t s =C sc V n 1.C end Équaton 57 où V n 1 est une foncton de V n 1 avec des valeurs entre 0 et 1. La foncton retenue dans la sute est la suvante η V n 1 = 1 A V n 1 S 0 Équaton 58 où A est une constante et S 0 le seul sur la valeur du nombre d alternances successves subes à partr duquel la matrce tangente est modfée. Pour V n 1 =S 0 la matrce reste tangente cohérente et pour V n 1 >> S 0, elle devent sécante. Des valeurs jugées satsfasantes pour ces paramètres sont A=1,5 et S 0 =3 (valeurs par défaut). Le chox sur l évoluton de la valeur de V n 1 est prmordal pour la performance de l algorthme. On chost une augmentaton de V n 1 de G=1,0, V n 1 V n 1 G pour chaque nouvelle alternance entre un état élastque et un état endommageant, pus une dmnuton de V n 1 de P, V n 1 V n 1 P, lorsque l état reste endommageant deux fos de sute. L objectf de l utlsaton de P est de permettre le retour à la matrce tangente cohérente lorsqu un pont de Gauss reste endommageant sur pluseurs tératons, pusque la matrce tangente cohérente rend la convergence quadratque, à condton qu on sot près de la soluton. La valeur du taux de dmnuton P par rapport au taux d augmentaton G, est crucale pour le comportement de l algorthme évolutf. L dée globale consste à augmenter V n 1, lorsqu on est lon de la soluton pour avor un opérateur plus proche du sécant que du tangent cohérent, pus une fos «proche» de la soluton, de basculer en matrce tangente cohérente (qu est la melleure au sens de Newton).Le rapport P/G (mot-clef TAUX_RETOUR 0.05 par défaut) représente le trosème paramètre de l algorthme, en plus de A (mot-clef AMPLITUDE) et S 0 (mot-clef SEUIL). 2.3 Recherche lnéare La recherche lnéare exposé c concerne la recherche lnéare en l absence de plotage. Pour la descrpton de la recherche lnéare en présence de plotage, on se reportera à la documentaton [R ] Prncpe L'ntroducton de la recherche lnéare dans l'opérateur STAT_NON_LINE résulte d'un constat : la méthode de Newton avec matrce consstante ne converge pas dans tous les cas de fgure, notamment lorsque l'on part trop lon de la soluton. D'autre part, l'utlsaton de matrces autres que la matrce tangente consstante peut, lorsqu'elles sont trop "souples", condure à dvergence. La recherche lnéare permet de se prémunr contre de telles dvergences. Elle consste à consdérer u n 1, n 1, non plus comme l'ncrément des déplacements et des paramètres de Lagrange, mas comme une drecton de recherche dans laquelle on va chercher à mnmser une fonctonnelle (l'énerge de la structure). On trouvera un pas d'avancement dans cette drecton, et l'actualsaton des nconnues consstera à fare :

23 Ttre : Algorthme non lnéare quas-statque (opérateur [...] Date : 07/05/2009 Page : 23/29 { u n 1 = u n n 1. u Équaton 59 n 1 = n n 1. En l'absence de recherche lnéare (par défaut) le scalare est ben sûr égal à Mnmsaton d'une fonctonnelle Afn de meux se convancre du ben fondé de la recherche lnéare, on peut nterpréter la méthode de Newton comme une méthode de mnmsaton d'une fonctonnelle (dans le cas où les matrces tangentes sont symétrques). Nous nsstons sur le fat que les équatons obtenues sont rgoureusement celles de la méthode de Newton exposée dans le [ 2.2.2] et que seule la façon d'y parvenr est dfférente. "Oublons" pour smplfer l'exposé la dualsaton des condtons aux lmtes de Drchlet et plaçons-nous dans l'hypothèse des pettes déformatons. On consdère la fonctonnelle : J : V R u J u = w u d f. u d t.u d Équaton 60 où la densté d'énerge lbre w permet de reler le tenseur des contrantes au tenseur des déformatons lnéarsées par la relaton = w dans le cas de l hyperlastcté (on généralse cette stuaton aux autres non lnéartés dans la sute du document). La fonctonnelle J étant convexe, trouver le mnmum de J est équvalent à annuler son gradent, sot : J u.v = 0 v V Équaton 61 Ce qu est exactement le Prncpe des Travaux Vrtuels pusque : J u.v = u : v d f. v d t. v d Équaton 62 Ans, résoudre les équatons ssues du Prncpe des Travaux Vrtuels (base du problème formulé dans le [ 1.3]) est équvalent à mnmser la fonctonnelle J qu représente l'énerge de la structure (énerge nterne dmnuée du traval des forces extéreures f et t ) Méthode de mnmsaton La mnmsaton se fat de façon tératve, classquement en deux temps à chaque tératon : Calcul d'une drecton de recherche le long de laquelle on va chercher l'téré suvant, Calcul du melleur pas d'avancement dans cette drecton : u n 1 = u n. Dans un problème de mnmsaton, l'dée naturelle est d'avancer dans la drecton opposée au gradent de la fonctonnelle, qu est localement la melleure drecton de descente pusque cette drecton est normale aux lgnes d'sovaleurs et drgée dans le sens des valeurs décrossantes Fgure a