BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

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1 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba, M. Fructus, B. Harigto, J.-P. Keller, M.-F. Lallemad, A. Lluel, J.-P. Logé, S. Moiier, P.-L. Morie, S. Pelleri, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbro et A. Wari 4, CC BY-NC-SA 3. FR Derière mise à jour : le 6/8/4

2 Itroductio L épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la maière suivate : 5 miutes de préparatio sur table. 5 miutes de passage à l oral. Chaque sujet proposé est costitué de deux exercices : u exercice sur 8 poits issu de la baque publique accessible sur le site u exercice sur poits. Les deux exercices proposés portet sur des domaies différets. Ce documet cotiet les 3 exercices de la baque pour la sessio 5 : 58 exercices d aalyse ( exercice à exercice 58). 37 exercices d algèbre (exercice 59 à exercice 95). 8 exercices de probabilités (exercice 96 à exercice 3). Das l optique d aider les futurs cadidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la baque est proposé, das ce documet, avec u corrigé. Il se peut que des mises à jour aiet lieu e cours d aée scolaire. Cela dit, il e s agira, si tel est le cas, que de mises à jour mieures : reformulatio de certaies questios pour plus de clarté, relevé d évetuelles erreurs, suppressio évetuelle de questios ou d exercices. Nous vous coseillos doc de vérifier, e cours d aée, e vous coectat sur le site : si ue ouvelle versio a été mise e lige, la date de la derière mise à jour figurat e haut de chaque page. Si tel est le cas, les exercices cocerés serot sigalés das le préset documet. Remerciemets à David DELAUNAY pour l autorisatio de libre utilisatio du fichier source de ses corrigés des exercices de l aciee baque, diffusés sur so site NB : la présete baque itègre des élémets issus des publicatios suivates : A. Atibi, L. d Estampes et iterrogateurs, Baque d exercices de mathématiques pour le programme 3-4 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT, 7 (3) exercices. D. Delauay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 4. L équipe des examiateurs de l oral de mathématiques des CCP, filière MP. Cotact : Valérie BELLECAVE, coordoatrice des oraux de mathématiques des CCP, filière MP. vbellecave@gmail.com CC BY-NC-SA 3. FR Page

3 BANQUE ANALYSE EXERCICE aalyse Éocé exercice. O cosidère deux suites umériques (u ) N et (v ) N telles que u v. + Démotrer que u et v sot de même sige à partir d u certai rag.. Détermier le sige, au voisiage de l ifii, de : u = sh Corrigé exercice ( ) ta. Puisque u v, o peut écrire, au voisiage de +, u = v + o(v ). + o(v ) = ε v avec lim ε =. + ( lim ε = doc il existe etier N tel que : N, N ε +. Et doc N, o(v ) = ε v v O e déduit que N, v + v u v + v. (*) Soit N tel que N. Premier cas : Si v Alors d après (*), u v et doc u. Deuxième cas cas : Si v Alors d après (*), u v et doc u. O e déduit qu à partir du rag N, u et v sot de même sige. Autre méthode : u v + (ε ) / u v = ε v avec lim = + (ε ) / u = ( + ε )v avec lim = + ). c est à dire N, v o(v ) v. lim ε = doc il existe u etier tel que : N, = ε +. Doc, N, = ε. O e déduit que N, = + ε >. (**) D après (*) et (**), pour, u et v sot de même sige.. Au voisiage de +, sh( ) = + ( ) o 3 et ta = + O e déduit, d après., qu à partir d u certai rag, u est égatif. ( ) ( o 3 ). Doc u CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

4 EXERCICE aalyse Éocé exercice O pose f(x) = (x + ) (3 x).. Décomposer f(x) e élémets simples et e déduire la primitive G de f défiie sur l itervalle ] ; 3[ telle que G() =.. Détermier le développemet e série etière e de la foctio f et précisez le rayo de covergece. 3. Déduire de ce développemet la valeur de G (3) (). Corrigé exercice O pose f(x) = (x + ) (3 x).. E utilisat les méthodes habituelles de décompositio e élémets simples, o trouve : f(x) = 6 x (x + ) x. Les primitives de f sur ] ; +3[ sot doc les foctios F défiies par : F (x) = ( ) x + 6 l 3 x 4 + C avec C R. (x + ) De plus, F () = C = 8. Doc, x ] ; 3[, G(x) = ( ) x + 6 l 3 x 4 (x + ) D après le cours, x et x sot développables e série etière à l origie. x + (x + ) Le rayo de covergece de ces deux développemets e série etière vaut. () O a x ], [, + x = ( ) x. = Et, x ], [, ( + x) = ( ) + x ( obteu par dérivatio du développemet précédet). = Efi, 3 x = ( 3 x ). 3 Doc x est développable e série etière à l origie. 3 x Le rayo de so développemet e série etière vaut 3. () Et, o a x ] 3; 3[, 3 x = x 3 3 = O e déduit que f est développable e série etière. O ote R le rayo de covergece de ce développemet e série etière. D après () et (), R. Or lim x Doc R =. f(x) = + doc R. Et x ] ; [, f(x) = 6 =( ) x + 4 =( ) ( + )x ( ( ) C est-à-dire x ] ; [, f(x) = + ( ) ( + ) = = x 3. ) x. 3. D après le cours, les coefficiets d u développemet e série etière sot ceux de la série de Taylor associée. Doc, si o pose N, a = ( ) + ( ) ( + ) , alors, N, a = f ().! ( Aisi, G (3) () = f () () =!a = ) 4 + = CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

5 EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. O pose g(x) = e x et h(x) = + x. Calculer, pour tout etier aturel k, la dérivée d ordre k des foctios g et h sur leurs esembles de défiitios respectifs.. O pose f(x) = ex + x. E utilisat la formule de Leibiz, cocerat la dérivée ème d u produit de foctios, détermier, pour tout etier aturel et pour x R\ { }, la valeur de f (x). 3. Démotrer, das le cas gééral, la formule de Leibiz, utilisée das la questio précédete. Corrigé exercice 3. g est de classe C sur R et h est de classe C sur R\ { }. O prouve, par récurrece, que : x R, g (k) (x) = k e x et x R\ { }, h (k) (x) = ( )k k! ( + x) k+.. g et h sot de classe C sur R\ { } doc, d après la formule de Leibiz, f est de classe C sur R\ { } et x R\ { } : f () (x) = k= ( k ) g ( k) (x)h (k) (x) = k= ( ) k k e x ( )k k! ( + x) k+ =!ex k= ( ) k k ( k)!( + x) k+. 3. Notos (P ) la propriété : Si f : I R et g : I R sot fois dérivables sur I alors, fg est fois dérivable sur I et : ( ) x I, (fg) () (x) = f ( k) g (k) (x). k k= Prouvos que (P ) est vraie par récurrece sur. La propriété est vraie pour = et pour = (dérivée d u produit). Supposos la propriété vraie au rag. Soit f : I R et g : I R deux foctios + fois dérivables sur I. Les foctios f et g sot, e particulier, fois dérivables sur I et doc par hypothèse de récurrece la foctio fg l est aussi avec x I, (fg) () (x) = k= ( k ) f ( k) g (k) (x). Pour tout k {,..., }, les foctios f ( k) et g (k) sot dérivables sur I doc par opératio sur les foctios dérivables, la foctio (fg) () est ecore dérivable sur I. Aisi la foctio fg est ( + ) fois dérivable et : x I,(fg) (+) (x) = k= ( k ) ( f (+ k) (x)g (k) (x) + f ( k) (x)g (k+) (x)). E décomposat la somme e deux et e procédat à u décalage d idice sur la deuxième somme, o ( ) + ( ) obtiet : x I, (fg) (+) (x) = f (+ k) (x)g (k) (x) + f (+ k) (x)g (k) (x). k k k= C est à dire (( ) ( )) ( ) (fg) (+) (x) = + f (+ k) (x)g (k) (x) + f (+) (x)g () (x) + k k k= ( ) ( ) ( ) + Or, e utilisat le triagle de Pascal, o a + =. ( ) ( k ) k ( ) ( k ) + + O remarque égalemet que = = et = =. + + ( ) + O e déduit que (fg) (+) (x) = f (+ k) (x)g (k) (x). k Doc (P + ) est vraie. k= k= ( ) f () (x)f (+) (x). CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

6 EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4. Éocer le théorème des accroissemets fiis.. Soit f : [a; b] R et soit x ]a, b[. O suppose que f est cotiue sur [a; b] et que f est dérivable sur ]a; x [ et sur ]x ; b[ Démotrer que, si f admet ue limite e x, alors f est dérivable e x et f (x ) = lim x x f (x). 3. Prouver que l implicatio : ( f est dérivable e x ) = (f admet ue limite fiie e x ) est fausse. Idicatio : o pourra cosidérer la foctio g défiie par : g(x) = x si x Corrigé exercice 4. Théorème des accroissemets fiis : Soit f : [a, b] R. O suppose que f est cotiue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = f (c)(b a). si x et g() =.. O pose l = lim f (x). x x Soit h tel que x + h [a, b]. E appliquat le théorème des accroissemets fiis, à la foctio f, etre x et x + h, o peut affirmer qu il existe c h strictemet compris etre x et x + h tel que f(x + h) f(x ) = f (c h )h. Quad h (avec h ), o a, par ecadremet, c h x. Doc lim h (f(x + h) f(x )) = lim f (c h ) = lim f (x) = l. h x x O e déduit que f est dérivable e x et f (x ) = l. h 3. La foctio g proposée das l idicatio est évidemmet dérivable ) sur ], [ et ], + [.. g est égalemet dérivable e car ( h (g(h) g()) = h si ( ) ( ) h Or lim h si = car h si h. h h h h Doc, g est dérivable e et g () =. Cepedat, x R\ {}, g (x) = x si ( ) x si x x Doc g a pas de limite e. ( ) cos x ( ). x (car x si( ) x ). mais x cos x ( ) admet pas de limite e. x CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

7 EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5. O cosidère la série de terme gééral u = (a) Cas α (l ) α où et α R. E utilisat ue mioratio très simple de u, démotrer que la série diverge. (b) Cas α > Étudier la ature de la série. Idicatio : O pourra utiliser la foctio f défiie par f(x) =. Détermier la ature de la série 3 Corrigé exercice 5. (a) Cas α 3, l doc (l ) α. O e déduit que : 3, u. ( ( e + ) ) e (l( + )). x(l x) α. Or diverge. Doc, par critère de mioratio pour les séries à termes positifs, o e déduit que u diverge. (b) Cas α > La foctio f : x est décroissate et positive sur [; + [ doc : x(l x) α + f() et f(x) dx sot de même ature. Puisque X l(x) f(x) dx = t=l x l dt, o peut affirmer que : tα O e déduit que : f() coverge α >.. O pose, pour tout etier aturel, u = Au voisiage ( de +, + + ( ( e + ) ) e (l( + )). ) = e e l(+ ) = e e ( +o( )) = e e +o( ) e = e ( O e déduit qu au vosiage de +, e + ) De plus, au voisiage de +, l ( + ) = l + l Doc l ( + ) + l. Et comme e, o e déduit que u + Or, d après.(b), l diverge. + e e. ( l. f(x) dx coverge α >. + o ) = l + ( + o Doc, par critère d équivalece pour les séries à termes positifs, u diverge. ( ). ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

8 EXERCICE 6 aalyse Éocé exercice 6 Soit (u ) N ue suite de réels strictemet positifs et l u réel positif strictemet iférieur à. u +. Démotrer que si lim = l, alors la série u coverge. + u u + Idicatio : écrire, judicieusemet, la défiitio de lim = l, puis majorer, pour assez grad, u + u par le terme gééral d ue suite géométrique.. Quelle est la ature de la série!? Corrigé exercice 6. Par hypothèse : ε >, N N/ N, u + u l ε. () Preos ε = l. Fixos u etier N vérifiat (). Alors N, N = u + u Et doc, N, u + u O pose q = + l + l.. O a q ], [. l l. O a alors N, u + qu. O e déduit, par récurrece, que N, u q N u N. Or q N u N = u N q N q et q coverge car q ], [. N N N Doc, par critère de majoratio des séries à termes positifs, u coverge.. O pose : N, u =!. N, u > et N, u + u = Or l( + ) doc lim + + Doc u coverge. ( + ) = l(+ e ). u + = e <. u CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

9 EXERCICE 7 aalyse Éocé exercice 7. Soiet (u ) N et (v ) N deux suites de ombres réels positifs. Motrer que : u v = u et v sot de même ature. + ( ). Étudier la covergece de la série (i ) si ( ). + 3 l (i est ici le ombre complexe de carré égal à ) Corrigé exercice 7. Puisque u v, o peut écrire, au voisiage de +, u = v + o(v ). + o(v ) = ε v avec lim ε =. + Doc, il existe u etier N tel que N, ε /. Et doc, N, o(v ) = ε v v, c est-à-dire, N, v o(v ) v. O e déduit que N, v u 3 v. (*) Premier cas : Si v coverge D après (*), N, u 3 v. Doc, par critère de majoratio des séries à termes positifs, u coverge. Deuxième cas : Si v diverge D après (*), N, v u. Doc, par critère de mioratio des séries à termes positifs, u diverge. Par symétrie de la relatio d équivalece, o obtiet le résultat. ( ) (i ) si. O pose, u = ( ). + 3 l si( u = ) ( ). + 3 l De plus u + 3 l = v O a 5 4 v = 4 l, doc lim 5 4 v =. O e déduit que v coverge. + D après., u coverge. Doc u coverge absolumet. De plus, la suite (u ) est à valeurs das C, doc u coverge. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

10 EXERCICE 8 aalyse Éocé exercice 8 Soit (u ) N ue suite décroissate positive de limite ulle.. (a) Démotrer que la série ( ) k u k est covergete. Idicatio : o pourra cosidérer (S ) N et (S + ) N avec S = (b) Doer ue majoratio de la valeur absolue du reste de la série ( ) k u k. ( ) k u k.. (a) Étudier la covergece simple sur R de la série de foctios ( ) e x. (b) Étudier la covergece uiforme sur [, + [ de la série de foctios ( ) e x. Corrigé exercice 8. (a) S + S = u + u +, doc (S ) est décroissate. De même S +3 S +, doc (S + ) est croissate. De plus S S + = u + et lim u + =, doc lim (S S + ) =. + + O e déduit que les suites (S ) N et (S + ) N sot adjacetes. Doc elles coverget et ce vers ue même limite. Comme (S ) N et (S + ) N recouvret l esemble des termes de la suite (u ), o e déduit que la suite (S ) N coverge aussi vers cette limite. Ce qui sigifie que la série ( ) k u k coverge. (b) Le reste R = k=+ ( ) k u k vérifie N, R u +.. O pose x R, N, a (x) = ( ) e x. O a alors N, a (x) = ( ) u (x) avec u (x) = e x. (a) Soit x R. Si x <, alors lim a (x) = +, doc a (x) diverge grossièremet. + Si x, alors (u (x)) est positive, décroissate et lim u (x) =. + Doc d après.(a), a (x) coverge. Doc a coverge simplemet sur [, + [. (b) Comme a coverge simplemet sur [, + [, o peut poser x [, + [, R (x) = Alors, comme, x [, + [, (u (x)) est positive, décroissate et d après.(b), que : x [, + [, R (x) e (+)x +. k= k=+ a k (x). lim u (x) =, o e déduit, + Et doc x [, + [, R (x). (majoratio idépedate de x) + Et comme lim + + =, alors (R ) coverge uiformémet vers sur [, + [. C est à dire a coverge uiformémet sur [, + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page

11 EXERCICE 9 aalyse Éocé exercice 9. Soit X u esemble, (g ) N ue suite de foctios de X das C et g ue foctio de X das C. Doer la défiitio de la covergece uiforme sur X de la suite de foctios (g ) vers la foctio g.. O pose f (x) = + + e x. (a) Étudier la covergece simple de la suite de foctios (f ) N. (b) La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur [, + [? (c) Soit a >. La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur [a; + [? (d) La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur ], + [? Corrigé exercice 9. Soit g : X C et g : X C. Dire que (g ) coverge uiformémet vers g sur X sigifie que : ε >, N N / N, N = x X, g (x) g(x) ε. Ou ecore, (g ) coverge uiformémet vers g sur X. (a) O pose x R, f (x) = +. + e x Soit x R. Si x =, alors f () = + +, doc lim f () =. + Si x, alors lim f () = car f (x) e x. + + lim + ( sup g (x) g(x) x X O e déduit { que (f ) coverge simplemet sur R vers la foctio f défiie par : si x f(x) = si x = ) =. (b) N, f est cotiue sur R et f o cotiue e doc (f ) e coverge pas uiformémet vers f sur R. (c) Soit a >. O a : x [a, + [, f (x) f(x) = f (x) + (majoratio idépedate de x)? + e a + Par ailleurs lim = (car + e + + e a + e a a ). + Doc (f ) coverge uiformémet vers f sur [a, + [. (d) O remarque que N, f est borée sur ], + [ car x ], + [, f (x) + +. D autre part, f est borée sur [, + [, doc, N, f (x) f(x) existe. sup x ],+ [ O a f ( ) f( ( + )e ) = doc + Or sup f (x) f(x) f ( ) f( ) doc ; x ],+ [ Doc (f ) e coverge pas uiformémet vers f sur ], + [. lim f ( ) f( ) = e. + sup f (x) f(x). x ],+ [ + CC BY-NC-SA 3. FR Page

12 EXERCICE aalyse Éocé exercice O pose f (x) = ( x + ) e x + xe x. + x. Démotrer que la suite de foctios (f ) N coverge uiformémet sur [, ].. Calculer lim + Corrigé exercice ( x + ) e x + xe x dx. + x. Pour x [, ], lim + f (x) = (x + )e x. La suite de foctios (f ) coverge simplemet vers f : x (x + )e x sur [, ]. O a x [, ], f (x) f(x) = (x + ) x(e x e x ), et doc : x [, ], f (x) f(x) e + x. Ce majorat idépedat de x ted vers quad +, doc la suite de foctios (f ) coverge uiformémet vers f sur [, ].. Par covergece uiforme sur le segmet [, ] de cette suite de foctios cotiues sur [, ], o peut itervertir limite et itégrale. O a doc lim (x + ) ex + xe x dx = (x + )e x dx. + + x Puis, e effectuat deux itégratios par parties, o trouve (x + )e x dx = e 3. CC BY-NC-SA 3. FR Page

13 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Soit X ue partie de R, (f ) N ue suite de foctios de X das R covergeat simplemet vers ue foctio f. O suppose qu il existe ue suite (x ) N d élémets de X telle que la suite (f (x ) f (x )) N e tede pas vers. Démotrer que la suite de foctios (f ) N e coverge pas uiformémet vers f sur X. si (x). Pour tout x R, o pose f (x) = + x. (a) Étudier la covergece simple de la suite (f ) N. (b) Étudier la covergece uiforme de la suite (f ) N sur [a, + [ (avec a > ), puis sur ], + [. Corrigé exercice. Par cotraposée : si (f ) coverge uiformémet vers f alors : il existe u etier N tel que N, f f = sup f (x) f(x) existe et lim f f x X + =. Or, N, x X doc N, N = f (x ) f(x ) f f. Or lim f f + =. Doc lim f (x ) f(x ) =. + C est-à-dire la suite (f (x ) f(x )) coverge vers.. (a) Soit x R. Si x =, alors f () =. Si x, alors lim f (x) = car f (x) + x. Doc la suite (f ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur R. (b) Soit a >. x [a, + [, f (x) f(x) = f (x) Cette majoratio est idépedate de x et + a. lim + + a =. O e déduit que la suite de foctios (f ) coverge uiformémet vers la foctio ulle sur [a, + [. O pose, N, x = π. O a N, x ], + [ et f (x ) f(x ) = qui e ted pas vers quad +. + π 4 O e déduit, d après., que la suite de foctios (f ) e coverge pas uiformémet sur ], + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

14 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Soit (f ) ue suite de foctios de [a, b] das R. O suppose que la suite de foctios (f ) coverge uiformémet sur [a, b] vers ue foctio f, et que, N, f est cotiue e x, avec x [a, b]. Démotrer que f est cotiue e x.. O pose : N, x [; ], g (x) = x. La suite de foctios (g ) N coverge-t-elle uiformémet sur [; ]? Corrigé exercice. Soit x [a, b]. Prouvos que f est cotiue e x. Soit ε >. Par covergece uiforme, il existe u etier N tel que N, N = ( x [a, b], f(x) f (x) ε). E particulier pour = N, o a x [a, b], f(x) f N (x) ε. (*) Or la foctio f N est cotiue e x doc α > tel que : x [a, b], x x α f N (x) f N (x ) ε. (**) D après l iégalité triagulaire, x [a, b], f(x) f(x ) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x ) + f N (x ) f(x ). Alors d après (*) et (**), x [a, b], x x α f(x) f(x ) 3ε. O e déduit que f est cotiue e x.. La suite (g ) N coverge simplemet sur [, ] vers la foctio g : x N, g est cotiue e alors que g est discotiue e. { si x [, [ si x = D après la questio précédete, o e déduit que (g ) N e coverge pas uiformémet vers g sur [, ]. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

15 EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. Soit (g ) ue suite de foctios de X das C, X désigat u esemble o vide quelcoque. O suppose que, pout tout N, g est borée et que la suite (g ) coverge uiformémet sur X vers g. Démotrer que la foctio g est borée.. O cosidère la suite (f ) N de foctios défiies sur R par : { x si x f (x) = si x > x Prouver que (f ) N coverge simplemet sur R. La covergece est-elle uiforme sur R? Corrigé exercice 3. N, g est borée sur X, c est-à-dire : N, M R + / x X, g (x) M. (*) Notos que ce majorat M déped de. (g ) coverge uiformémet vers g sur X. Ce qui sigifie que : ε >, N N / N, N = x X, g (x) g(x) ε. () Preos ε = et fixos u etier N vérifiat () pour ce choix de ε. Alors, N, N = x X, g (x) g(x). E particulier, x X, g N (x) g(x). (**) Or, d après l iégalité triagulaire, x X, g(x) g(x) g N (x) + g N (x). Doc, d après (*) et (**), x X, g(x) + M N. Ce qui sigifie que g est borée sur X.. N, f () =, doc lim f () =. + Soit x R. lim + = doc, N N tel que, N, N = < x. Fixos u tel etier N. Alors N, N = f (x) = x. Doc lim + f (x) = x. O e déduit que (f ) N coverge simplemet sur R vers la foctio f défiie par : { si x f(x) = x si x =. De plus, N, f est borée car x R, f (x). Or f est pas borée sur R doc, d après la questio précédete, (f ) N e coverge pas uiformémet sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

16 EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4. Soit a et b deux réels doés avec a < b. Soit (f ) N ue suite de foctios cotiues sur [a, b], à valeurs réelles. ( b ) Démotrer que si la suite (f ) N coverge uiformémet sur [a, b] vers f, alors la suite f (x) dx coverge vers b a f (x) dx.. Justifier commet ce résultat peut être utilisé das le cas des séries de foctios. ( + ) 3. Démotrer que x dx =. Corrigé exercice 4 = =. Comme la suite (f ) N coverge uiformémet sur [a, b] vers f, et que, N, f est cotiue sur [a, b], alors f est cotiue sur [a, b]. Aisi, N, f f est cotiue sur le segmet [a, b]. O pose alors, N, f f = sup f (x) f(x). x [a,b] b b b b O a f (x) dx f(x) dx = (f (x) f(x)) dx f (x) f(x) dx (b a) f f. (*) a a Or (f ) coverge uiformémet vers f sur [a, b], doc Doc d après (*), b lim + a a f (x) dx = b a f(x) dx. a lim f f + =.. O suppose que N, f est cotiue sur [a, b] et f coverge uiformémet sur [a, b]. O pose S = f k. k= f coverge uiformémet sur [a, b], doc coverge simplemet sur [a, b]. O pose alors, égalemet, x [a, b], S(x) = f k (x). k= f coverge uiformémet sur [a, b] sigifie que (S ) coverge uiformémet sur [a, b] vers S. De plus, N, S est cotiue sur [a, b], car S est ue somme fiie de foctios cotiues. O e déduit que S est cotiue sur [a, b]. Et d après., Or b Doc a lim S (x)dx = lim Ou ecore b + a b + k= lim a k= b a + k= S (x) dx = f k (x)dx = f k (x) dx = b a b a f k (x) dx = b a k= S(x) dx. b a S(x) dx. b a k= Ce qui sigifie que b f k (x) dx coverge et a f k (x)dx car il s git d ue somme fiie. f k (x) dx. b k= a f k (x) dx = b a k= f k (x) dx. Bila : La covergece uiforme de la série de foctios f où les f sot cotiues sur [a, b] permet d itégrer terme à terme, c est-à-dire : b a = f (x) dx = b = a f (x) dx. a N CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

17 3. La série etière x est de rayo de covergece R = doc cette série de foctios coverge [ ormalemet et doc uiformémet sur le compact, ] ], [. [ De plus, N, x x est cotiue sur ; ]. ( + ) O e déduit alors, e utilisat., que : x + dx = x dx = + + =. = = = = CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

18 EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5 Soit X ue partie de R ou C.. Soit f ue série de foctios défiies sur X à valeurs das R ou C. Rappeler la défiitio de la covergece ormale de f sur X, puis de la covergece uiforme de f sur X.. Démotrer que toute série de foctios, à valeurs das R ou C, ormalemet covergete sur X est uiformémet covergete sur X. 3. La série de foctios! z est-elle uiformémet covergete sur le disque fermé de cetre et de rayo R R +? Corrigé exercice 5. O suppose que N, f est borée sur X. O pose alors N, f = sup f (t). t X f coverge ormalemet sur X f coverge. O pose N, S = f k. k= f coverge uiformémet sur X la suite de foctios (S ) coverge uiformémet sur X.. O suppose que f coverge ormalemet sur X. Les foctios f sot doc borées sur X et la série umérique f coverge. Or, x X, f (x) f. Doc, par comparaiso des séries à termes positifs, la série f (x) est absolumet covergete et doc covergete, puisque les foctios f sot à valeurs das R ou C. Aisi la série de foctios f coverge simplemet sur X. O peut doc poser x X, N, R (x) = Alors, x X, R (x) = k=+ f k (x) Or f coverge ormalemet sur X doc + k=+ k=+ lim f k (x). f k (x) + k=+ k=+ f k =. f k. (majoratio idépedate de x) O e déduit alors que la suite de foctios (R ) coverge uiformémet vers sur X. Comme R = S S, la suite (S ) coverge uiformémet vers S sur X. C est-à-dire f coverge uiformémet sur X. 3. O pose, N, a =!. N, a + = + a. Doc lim + a + a =. O e déduit que série etière! z a u rayo de covergece égal à +. Cette série etière coverge doc ormalemet sur tout compact de C. E particulier, cette série etière coverge ormalemet et doc uiformémet, d après., sur tout disque de cetre O et de rayo R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

19 EXERCICE 6 aalyse Éocé exercice 6 O cosidère la série de foctios de terme gééral u défiie par : ( N, x [, ], u (x) = l + x ) x. O pose, lorsque la série coverge, S(x) = =. Démotrer que S est dérivable sur [, ].. Calculez S (). Corrigé exercice 6. Soit x [, ]. Si x =, u () = et doc u () coverge. [ ( l + x ) x ]. ( ) + o x, alors u (x) +. coverge doc, par critère de comparaiso des séries à termes positifs, u (x) coverge Si x, comme au voisiage de +, u (x) = x Or absolumet, doc coverge. O e déduit que la série des foctios u coverge simplemet sur [, ]. La foctio S est doc défiie sur [, ]. N, u est de classe C sur [, ] et x [, ], u (x) = x + = x (x + ). Doc N, x [, ], u (x). O e déduit que u = Or coverge. sup u (x) x [,]. Doc u coverge ormalemet, doc uiformémet sur [, ]. O peut alors affirmer que la foctio S est de classe C. Elle est doc dérivable sur [, ]. (. E vertu de ce qui précède, S () = u () = + ). = = N ( Or + ) = N +. N + = Doc S () =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

20 EXERCICE 7 aalyse Éocé exercice 7 Soit A C et (f ) N ue suite de foctios de A das C.. Démotrer l implicatio : ( la série de foctios ) f coverge uiformémet sur A ( la suite de foctios (f ) N coverge uiformémet vers sur A ). O pose : N, x [; + [, f (x) = x e x. Prouver que f coverge simplemet sur [; + [. f coverge-t-elle uiformémet sur [; + [? Justifier. Corrigé exercice 7. O suppose que f coverge uiformémet sur X. O e déduit que f coverge simplemet sur X. O pose alors, x X, S(x) = f k (x) et N, S (x) = f k (x). k= k= f coverge uiformémet sur X, c est-à-dire (S ) coverge uiformémet vers S sur X, c est-à-dire lim S S =, avec S S = sup S (x) S(x). + x X O a N, x X, f (x) = S (x) S (x) S (x) S(x) + S(x) S (x). Doc N, x X, f (x) S S + S S (majoratio idépedate de x). Or lim S S =, doc lim ( S S + S S ) =. + + Doc (f ) coverge uiformémet vers sur X.. O pose : N, x [; + [, f (x) = x e x. Soit x [; + [. Si x = : N, f () = doc f () coverge. Si x : Or ( ). lim + f (x) =, doc au voisiage de +, f (x) = o coverge doc, par critère de domiatio, f (x) coverge. O e déduit que f coverge simplemet sur [; + [. N, f est cotiue sur [; + [ et lim f (x) =, doc f est borée sur [; + [. x + Comme f est borée (f = ), o e déduit que N, f est borée. De plus, la suite de foctios (f ) coverge simplemet vers la foctio ulle. E effet, si x = alors f () = et si x, lim f (x) =. + O a N, f ( ) = e. ( ) ( ) Or, N, f = f sup f (t) ; doc sup f (t) e. t [;+ [ t [;+ [ Aisi, sup f (t). t [;+ [ + O e déduit que (f ) e coverge pas uiformémet vers la foctio ulle sur [; + [. Doc, d après., f e coverge pas uiformémet sur [; + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page

21 EXERCICE 8 aalyse Éocé exercice 8 O pose : N, x R, u (x) = ( ) x. O cosidère la série de foctios u.. Étudier la covergece simple de cette série. O ote D l esemble des x où cette série coverge et S(x) la somme de cette série pour x D.. (a) Étudier la covergece ormale, puis la covergece uiforme de cette série sur D. (b) La foctio S est-elle cotiue sur D? Corrigé exercice 8. La série de foctios étudiée est ue série etière de rayo de covergece R =. E x =, il y a covergece par le critère spécial des séries alterées. E x =, la série diverge (série harmoique). O a doc D = ], ].. (a) x D, u (x) = ( ) x. u = sup u (x) = x ],] et diverge. Doc ( ) x e coverge pas ormalemet sur D. ( ) x e coverge pas uiformémet sur D o plus car, sio, o pourrait employer le théorème de la double limite e et cela etraîerait la covergece absurde de la série (b) E tat que somme d ue série etière de rayo de covergece, S est cotiue sur ], [. (*) Pour étudier la cotiuité e, o peut se placer sur [, ]. x [, ], la série umérique u (x) satisfait le critère spécial des séries alterées ce qui permet de majorer so reste. O a, x [, ], k=+ Et, lim + + =. Doc, u coverge uiformémet sur [, ]. u k (x) u +(x) = x+ +. (majoratio idépedate de x) + Les foctios u état cotiues sur [, ], la somme S est alors cotiue sur [, ]. Doc, e particulier, S est cotiue e. (**) Doc, d après (*) et (**), S est cotiue sur D.. CC BY-NC-SA 3. FR Page

22 EXERCICE 9 aalyse Éocé exercice 9. Démotrer que la série z. O pose : z C, f (z) =! = est absolumet covergete pour tout z C. z!. Démotrer que (z, z ) C, f (z) f (z ) = f (z + z ), sas utiliser le fait que f (z) = e z. 3. E déduire que : z C, f (z) et f (z) = f ( z). Corrigé exercice 9. Pour z =, la propriété est immédiate. Pour z, o pose u (z) = z!. O a u + (z) u (z) = z + <. Le critère de d Alembert assure alors l absolue covergece voulue.. Soit (z, z ) C. Par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes, ( ) z k z k Or k! ( k)! = z k z k = (z + z ).! k! k=( k= + ) ( z + ) z (z + z ) Doc =.!!! = = = C est-à-dire, o a bie f(z)f(z ) = f(z + z ). 3. Soit z C. Puisque f(z)f( z) = f() =, o peut affirmer f(z) et ( + = ) ( z +! = f(z) = f( z). ) (z ) =! = k= z k (z ) k k! ( k)!. CC BY-NC-SA 3. FR Page

23 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Doer la défiitio du rayo de covergece d ue série etière de la variable complexe.. Calculer le rayo de covergece de chacue des séries etières suivates : (a) (!) ()! z+. (b) ( ) z Corrigé exercice. Soit a z ue série etière. Le rayo de covergece R de la série etière a z est l uique élémet de R + {+ } défii par : R = sup {r R + /(a r ) est borée}. O peut aussi défiir le rayo de covergece de la maière suivate :! R R + {+ } tel que : i) z C, z < R = a z coverge absolumet. ii) z C, z > R = a z diverge. R est le rayo de covergece de la série etière a z. Pour ue série etière de la variable réelle, la défiitio est idetique.. (a) Notos R le rayo de covergece de (!) ()! z+. O pose, N, z C, u (z) = (!) ()! z+. Pour z =, u () coverge. Pour z, u + (z) u (z) = z. Doc lim u + (z) + u (z) D après la règle de d Alembert, Pour z <, la série umérique u (z) coverge absolumet. Pour z >, la série umérique diverge grossièremet. O e déduit que R=. (b) Notos R le rayo de covergece de ( ) z. Posos, N, a = ( ). = z 4. O a, N, z C, a z z et le rayo de covergece de la série etière z vaut. Doc R. (*) De même, N, z C, z a z et le rayo de covergece de la série Doc R. (**) D après (*) et (**), R =. z vaut. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

24 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Doer la défiitio du rayo de covergece d ue série etière de la variable complexe.. Soit (a ) N ue suite borée telle que la série a diverge. Quel est le rayo de covergece de la série etière a z? Justifier. 3. Quel est le rayo de covergece de la série etière ( ) ( ) l ( + ) z? Corrigé exercice. Soit a z ue série etière. Le rayo de covergece R de la série etière a z est l uique élémet de R + {+ } défii par : R = sup {r R + /(a r ) est borée}. O peut aussi défiir le rayo de covergece de la maière suivate :! R R + {+ } tel que : i) z C, z < R = a z coverge absolumet. ii) z C, z > R = a z diverge. R est le rayo de covergece de la série etière a z. Pour ue série etière de la variable réelle, la défiitio est idetique.. La série umérique a z diverge pour z =. Doc R. (*) De plus, la suite (a ) état borée doc la suite (a ) est borée. Doc {r R + /(a r ) est borée}. Doc R. (**) D après (*) et (**), R =. 3. Notos R le rayo de covergece de O pose, N, a = ( ( ) ( ) l N, a l Or b ( + ) = b. ( ) ( ) l ( + ) z. + ). + et diverge doc b diverge. Doc, par critère de mioratio pour les séries à termes positifs, a diverge. (***) De plus, N, a = a ( l + ) car x [, + [, l( + x) x. Doc (a ) est borée. (****) D après (***) et (****), o peut appliquer. et o e déduit que R =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

25 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Que peut-o dire du rayo de covergece de la somme de deux séries etières? Le démotrer.. Développer e série etière au voisiage de, e précisat le rayo, la foctio f : x l ( + x) + l ( x). La série obteue coverge-t-elle pour x = 4? x =? x =?. Corrigé exercice. O ote R a et R b les rayos de covergece respectifs de a z et b z. O ote R est le rayo de covergece de la série etière somme de a z et b z, c est- à-dire le rayo de covergece de la série etière (a + b )z. O a toujours R mi(r a, R b ). De plus, si R a R b alors R = mi(r a, R b ). Preuve : O suppose par exemple que R a R b. Soit z C tel que z < mi(r a, R b ) = R a. Comme z < R a, alors a z coverge absolumet. De même, comme z < R b, alors b z coverge absolumet. De plus, N, (a + b )z a z + [b z. (*) Or ( a z + [b z ) coverge car somme de deux séries covergetes. Doc, par critère de majoratio pour les séries à termes positifs et e utilisat (*), o e déduit que (a + b )z coverge, c est-à-dire (a + b )z coverge absolumet. Doc z D (O, R). O e déduit que R mi(r a, R b ). (**) O suppose maiteat que R a R b, c est-à-dire R a < R b. Soit z C tel que R a < z < R b. z < R b, doc b z coverge. z > R a, doc a z diverge. Doc (a + b )z diverge (somme d ue série covergete et d ue série divergete). O e déduit que z R. O a doc prouvé que z C, R a < z < R b z R. Doc R R a. C est-à-dire R mi(r a, R b ). (***) Doc, d après (**) et (***), R = mi(r a, R b ).. Pour x <, l( + x) = = ( ) x. Pour x < +, l( x) = x. = D après., le rayo de covergece de ( ) x vaut. Doc le domaie de validité du développemet e série etière à l origie de f cotiet [ coteu das, ]. ], [ et est CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

26 Et, pour x < +, f(x) = ( ) x. = Pour x = 4 : la série etière ( ) x coverge car 4 <. Pour x = : la série etière ( ) x diverge car elle est la somme d ue série covergete ( appartiet au disque de covergece de la série etière ( ) x ) et d ue série divergete (série harmoique). Pour x = : la série etière ( ) x coverge comme somme de deux séries covergetes. E effet : D ue part, ( ) x. ( ) ( ) coverge car appartiet au disque de covergece de la série etière D autre part, ( ) = ( ) comverge d après le critère spécial des séries alterées ( la suite ( ) N est bie positive, décroissate et de limite ulle). CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

27 EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3 Soit (a ) N ue suite complexe telle que la suite ( ) a+ admet ue limite. a N. Démotrer que les séries etières a x et ( + )a + x ot le même rayo de covergece. O le ote R.. Démotrer que la foctio x Corrigé exercice 3 = a x est de classe C sur l itervalle ] R, R[.. Pour x, posos u (x) = a x et v (x) = ( + )a + x. a + O pose l = lim. a u + (x) v + (x) O a, alors, lim = l x et lim = l x. u (x) v (x) O e déduit que le rayo de covergece des deux séries etières a x et a x vaut R = /l (avec R = + das le cas l = et R = das le cas l = + ).. Soit R le rayo de covergece de a z. O pose, N, z ] R, R[, f (z) = a z. Soit r [, R[. O pose D r = [ r, r]. i) f coverge simplemet sur D r. ii) N, f est de classe C sur D r. iii) D après., f est ue série etière de rayo de covergece R. Doc, d après le cours, f coverge ormalemet doc uiformémet sur tout compact iclus das ] R, R[, doc coverge uiformémet sur D r. O e déduit que r [, R[, S : x Doc, S est de classe C sur ] R, R[. = a x est de classe C sur D r. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

28 EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4. Détermier le rayo de covergece de la série etière x ()!. O pose S(x) = = x ()!.. Doer le développemet e série etière e de la foctio x ch(x) et précisez le rayo de covergece. 3. (a) Détermier S(x). (b) O cosidère la foctio f défiie sur R par : f() =, f(x) = ch x pour x >, f(x) = cos x pour x <. Démotrer que f est de classe C sur R. Corrigé exercice 4. Pour x, posos u = x ()!. lim u + + u = lim + O e déduit que la série etière. x R, ch(x) = +. = x ( + )( + ) =. x ()! x ()! 3. (a) Pour x, o peut écrire x = t et alors S(x) = coverge pour tout x R et doc R = +. et le rayo de covergece du développemet e série etière de ch est égal à Pour x <, o peut écrire x = t et alors S(x) = x ()! = + = = = x + ()! = = t ()! = ch(t) = ch x. ( ) t ()! = cos(t) = cos x. (b) La foctio f est autre que la foctio S. S est de classe C sur R car développable e série etière à l origie avec u rayo de covergece égal à +. Doc f est de classe C sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

29 EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5. Démotrer que, pour tout etier, la foctio t + t + t est itégrable sur [, + [. e t + dt. O pose u = + t + t. Calculer lim e t u. + Corrigé exercice 5. f : t + t + t est défiie et cotiue par morceaux sur [, + [. e t De plus, t [, + [, f (t) + t = ϕ(t). Or ϕ(t) t et t est itégrable sur [, + [, doc ϕ est itégrable sur [, + [. t Doc, par critère de majoratio pour les foctios positives, f est itégrable sur [, + [. Or f est cotiue sur [, ] doc f est itégrable sur [, + [. +. i) La suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, + [ vers la foctio f défiie par : + t si t [, [ f(t) = + e si t = si t ], + [ ii) Les foctios f et f sot cotiues par morceaux sur [, + [. iii) t [, + [, f (t) ϕ(t) avec ϕ itégrable sur [, + [. Alors, d après le théorème de covergece domiée, Or + Doc, f(t) dt = lim u = π + 4. dt + t = π 4. lim u = + lim + + f (t) dt = + f(t) dt. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

30 EXERCICE 6 aalyse Éocé exercice 6 Pour tout, o pose I = +. Justifier que I est bie défiie. ( + t ) dt.. Étudier la mootoie de la suite (I ) N et détermier sa limite. 3. La série ( ) I est-elle covergete? Corrigé exercice 6 Posos : N, t [, + [, f (t) = ( + t ).. N, f est cotiue sur [, + [. De plus, f (t) + t. Or, alors t est itégrable sur [, + [. t Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur [, + [. Or f est cotiue sur[, ], doc f est itégrable sur [, + [.. t [, + [, ( + t ) + ( + t ) car + t. Doc e itégrat, N, I + I. Doc (I ) N est décroissate. Remarque : (I ) N est décroissate et clairemet positive ce qui ous assure la covergece de la suite (I ) N. Détermios la limite de la suite (I ) N. i) N, f est cotiue par morceaux sur [, + [. ii) La suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, + [ vers la foctio f défiie sur [; + [ par : f() = et x ], + [, f(x) =. De plus, f est cotiue par morceaux sur [, + [. iii) t [, + [, N, u (t) = ϕ(t) avec ϕ itégrable sur [, + [. + t E effet, ϕ(t) t et t est itégrable sur [, + [, doc ϕ est itégrable sur [, + [. t Or ϕ est cotiue sur [, ], doc ϕ est itégrable sur [, + [. + Doc, d après le théorème de covergece domiée, lim I = + lim + + f (t) dt = + f(t) dt =. 3. D après les questios précédetes, la suite (I ) N est positive, décroissate et coverge vers. Doc, par applicatio du théorème spécial des séries alterées, o peut affirmer la covergece de la série ( ) I. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

31 EXERCICE 7 aalyse Éocé exercice 7 N, o pose f (x) = e x + x et u = f (x) dx.. Étudier la covergece simple de la suite de foctios (f ) N sur [, ].. Soit a ]; [. La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur [a; ]? 3. La suite de foctios (f ) N coverge-t-elle uiformémet sur [, ]? 4. Trouver la limite de la suite (u ) N. Corrigé exercice 7. Soit x [, ]. Si x =, f () =. e x Si x ], ], pour au voisiage de +, f (x) + x, doc lim f (x) =. + O e déduit { que la suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, ] vers la foctio f défiie par : si x ], ] f(x) = si x =. Soit a ]; [. N, x [a, ], f (x) f(x) = f (x) Doc sup f (t) f(t) e a t [a,] + a. e a Or lim + + =, doc lim a sup f (t) f(t) = + t [a,] O e déduit que (f ) N coverge uiformémet vers f sur [a, ]. e a + (majoratio idépedate de x). a 3. Les foctios f état cotiues sur [, ] et la limite simple f e l état pas, o peut assurer qu il y a pas covergece uiforme sur [, ]. 4. i) Les foctios f sot cotiues par morceaux sur [, ]. ii) (f ) coverge simplemet vers f sur [, ], cotiue par morceaux sur [, ]. iii) De plus, x [, ], f (x) e x = ϕ(x) avec ϕ : [, ] R + cotiue par morceaux et itégrable sur [, ]. D après le théorème de covergece domiée, o peut doc affirmer que : lim u = + lim + f (x) dx = f(x) dx =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

32 EXERCICE 8 aalyse Éocé exercice 8 N.B : les deux questios sot idépedates.. La foctio x e x est-elle itégrable sur ], + [? x 4. Soit a u réel strictemet positif. La foctio x l x est-elle itégrable sur ], + [? + x a Corrigé exercice 8. Soit f : x e x x 4. f est cotiue sur ], + [. f(x) = e x (x )(x + ) e (x ). Or x est itégrable sur ], 3] (foctio de Riema itégrable sur ], 3] car (x ) < ). Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur ], 3]. (*) e x f(x) + x = g(x). Or lim x + x g(x) = doc, au voisiage de +, g(x) = o( x ). Comme x est itégrable sur [3, + [, o e déduit que g est itégrable sur [3, + [. x Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur [3, + [. (**) D après (*) et (**), f est itégrable sur ], + [.. Soit a u réel strictemet positif. l x O pose x ], + [, f(x) =. + x a f est cotiue sur ], + [. f(x) l x = g(x). ( Or lim x g(x) = doc, au voisiage de, g(x) = o x x Or x x est itégrable sur ], ] (foctio de Riema itégrable sur ], ] car < ). Doc g est itégrable sur ], ]. Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur ], ]. Doc, f est itégrable sur ], ] (*) l x f(x) + x a = h(x). Premier cas : si a >. ( ) lim x +a h(x) = lim x a l x =, doc, au voisiage de +, h(x) = o. x + x + x +a Or x est itégrable sur [, + [ (foctio de Riema itégrable sur [, + [ car + a > ). x +a Doc, h est itégrable sur [, + [. Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur [, + [. (**). D après (*) et (**), f est itégrable sur ], + [. Deuxième cas : si a x [e, + [, f(x) x a. ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

33 Or x o itégrable sur [e, + [.(foctio de Riema avec a ) xa Doc, par règle de mioratio pour les foctios positives, f o itégrable sur [e, + [ Doc, f o itégrable sur ], + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 33

34 EXERCICE 9 aalyse Éocé exercice 9 O pose : x ]; + [ et t ]; + [, f(x, t) = e t t x.. Démotrer que, x ], + [, la foctio t f(x, t) est itégrable sur ]; + [. O pose alors, x ]; + [, Γ(x) = + e t t x dt.. Démotrer que, x ]; + [, Γ(x + ) = xγ(x). 3. Démotrer que Γ est de classe C sur ]; + [ et exprimer Γ (x) sous forme d itégrale. Corrigé exercice 9. Soit x ], + [. La foctio t e t t x est défiie, positive et cotiue par morceaux sur ], + [. f(x, t) tx et t t x = est itégrable sur ], ] (foctio de Riema avec x < ). t + t x Doc, par critère d équivalece pour les foctios positives, t f(x, t) est itégrable sur ], ]. (*) De plus, lim t + t f(x, t) =, doc, pour t au voisiage de +, f(x, t) = o( t ). Or t est itégrable sur [, + [ (foctio de Riema itégrable). t Doc t f(x, t) est itégrable sur [, + [. (**) Doc, d après (*) et (**), t f(x, t) est itégrable sur ], + [. A. Par itégratio par parties e t t x dt = [ e t t x] A A + x e t t x dt. ε ε O passe esuite à la limite quad ε + et A + pour obteir la relatio demadée. 3. i) t ], + [, la foctio x f(x, t) est dérivable et (x, t) ], + [, f x (x, t) = l(t)e t t x. ii) Pour tout x >, t f (x, t) est cotiue par morceaux sur ], + [. x iii) Pour tout t >, x f (x, t) est cotiue sur ], + [. x iv) Pour tout [a, b] ], + [ { et (t, x) ], + [ [a, b] : f (x, t) l t e x ϕ(t) avec ϕ(t) = t t a si t ], [ l t e t t b si t [, + [ avec ϕ cotiue par morceaux et itégrable sur ], + [. E effet : a ϕ(t) l t t a = ϕ (t) et lim t ϕ (t) = lim + t + Doc, au voisiage de +, ϕ (t) = o Or t t a. t t ε a l t =. est itégrable sur ], [(foctio de Riema avec a < ). t a Doc, ϕ est itégrable sur ], [. Doc, par critère d équivalece pour les foctios positives, ϕ est itégrable sur ], [. (*) lim t + t ϕ(t) =. Doc ϕ est itégrable sur [, + [. (**) D après (*) et (**), ϕ est itégrable sur ], + [. D où, d après le théorème de dérivatio des itégrales à paramètres, Γ est de classe C sur ], + [. De plus, x ], + [, Γ (x) = + l(t)e t t x dt. CC BY-NC-SA 3. FR Page 34

35 EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. Éocer le théorème de dérivatio sous le sige itégrale. +. Démotrer que la foctio f : x e t cos (xt) dt est de classe C sur R. 3. (a) Trouver ue équatio différetielle liéaire (E) d ordre dot f est solutio. (b) Résoudre (E). Corrigé exercice 3. Soit u : (x, t) u(x, t) ue foctio défiie de X I vers C, avec X et I itervalles coteat au mois deux poits de R. O suppose que : i) x X, t u(x, t) est cotiue par morceaux et itégrable sur I. O pose alors x X, f(x) = u(x, t)dt. I ii) u admet ue dérivée partielle u x sur X I vérifiat : - x X, t u (x, t) est cotiue par morceaux sur I. x - t I, x u (x, t) est cotiue sur X. x - il existe ϕ : I R + cotiue par morceaux et itégrable sur I vérifiat : (x, t) X I, u (x, t) x ϕ(t). Alors la foctio f est de classe C sur X et x X, f u (x) = (x, t) dt. x. O pose (x, t) R [, + [, u(x, t) = e t cos(xt). i) x R, t u(x, t) est cotiue sur [, + [. De plus, x R, u(x, t) e t. Or lim t + t e t =, doc, au voisiage de +, e t = o Doc, t u(x, t) est itégrable sur [, + [. ii) (x, t) R [, + [, u x (x, t) = te t si(xt). I ( ) t. - x R, t u (x, t) est cotiue par morceaux sur [, + [.. x - t [, + ], x u (x, t) est cotiue sur R. x - (x, t) R [, + [, u (x, t) x = ϕ(t) avec ϕ cotiue par morceaux et itégrable sur [, + [. te t E effet, lim t + t ϕ(t) = doc, au voisiage de +, ϕ(t) = o( t ). O e déduit que ϕ est itégrable sur [, + [ et comme elle est cotiue sur [, [, alors ϕ est bie itégrable sur [, + [. Doc f est de classe C sur R et : x R, f (x) = + 3. (a) O a, x R, f (x) = te t si(xt)dt + te t si(xt) dt. Procédos à ue itégratio par parties. Soit A. A te t si(xt) dt = [ ] A A x e t si(xt) e t cos(xt) dt CC BY-NC-SA 3. FR Page 35

36 E passat à la limite quad A +, o obtiet f (x) + x f(x) =. Doc f est solutio de l équatio différetielle (E) : y + x y =. (b) Les solutios de (E) sot les foctios y défiies par y(x) = Ae x 4, avec A R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 36

37 EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. Détermier ue primitive de x cos 4 x.. Résoudre sur R l équatio différetielle : y + y = cos 3 x e utilisat la méthode de variatio des costates. Corrigé exercice 3. E liéarisat cos 4 x, o obtiet cos 4 x = (cos(4x) + 4 cos(x) + 3). 8 Doc, x 3 si(4x) + 4 si(x) x est ue primitive de x cos4 x.. Notos (E) l équatio différetielle y + y = cos 3 x. C est ue équatio différetielle liéaire d ordre à coefficiets costats. Les solutios de l équatio homogèe associée sot les foctios y défiies par : y(x) = λ cos x + µ si x. Par la méthode de variatio des costates, o cherche ue solutio { particulière de (E) de la forme y p (x) = { λ(x) cos x + µ(x) si x avec λ, µ foctios λ (x) cos x + µ (x) si x = λ dérivables vérifiat : λ (x) si x + µ (x) cos x = cos 3 x i.e. (x) = si x cos 3 x. µ (x) = cos 4 x λ(x) = 4 cos4 x coviet. D après la questio., µ(x) = 3 si(4x) + 4 si(x) x coviet. O e déduit que la foctio y p défiie par y p (x) = ( 4 cos5 x + 3 si(4x) + 4 si(x) + 3 ) 8 x si x est ue solutio particulière de (E). Fialemet, les solutios de l équatio (E) sot les foctios y défiies par : y(x) = λ cos x + µ si x + y p (x), avec (λ, µ) R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 37

38 EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3 Soit l équatio différetielle : x(x )y + 3xy + y =.. Trouver les solutios de cette équatio différetielle développables e série etière à l origie. Détermier la somme des séries etières obteues.. Est-ce que toutes les solutios de x(x )y + 3xy + y = sur ]; [ sot développables e série etière à l origie? Corrigé exercice 3. Soit a x ue série etière de rayo de covergece R > et de somme S. Pour tout x ] R, R[, S(x) = = a x, S (x) = = a x et S (x) = Doc x(x )S (x) + 3xS (x) + S(x) = = = ( )a x = = ( ( + ) a ( + )a + ) x. ( + )a + x. Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, la foctio S est solutio sur ] R, R[ de l équatio étudiée si, et seulemet si, N, a + = ( + )a. Ce qui reviet à : N, a = a. Le rayo de covergece de la série etière x état égal à, o peut affirmer que les foctios développables e série etière solutios de l équatio sot les foctios : x a + = x = a x d dx ( x ) = a x ( x) défiies sur ], [, avec a R.. Notos (E) l équatio x(x )y + 3xy + y =. Prouvos que les solutios de (E) sur ]; [ e sot pas toutes développables e série etière à l origie. Raisoos par l absurde. Si toutes les solutios de (E) sur ]; [ étaiet développables e série etière à l origie alors, d après., l esemble des solutios de (E) sur ]; [ serait égal à la droite vectorielle Vect(f) où f est la foctio défiie par x ]; [, f(x) = x ( x). Or, d après le cours, comme les foctios x x(x ), x 3x et x sot cotiues sur ]; [ et que la foctio x x(x ) e s aule pas sur ]; [, l esemble des solutios de (E) sur ]; [ est u pla vectoriel. D où l absurdité. CC BY-NC-SA 3. FR Page 38

39 EXERCICE 33 aalyse Éocé exercice 33 xy O pose f (x, y) = et f (, ) =. x + y. Démotrer que f est cotiue sur R.. Démotrer que f admet des dérivées partielles e tout poit de R. 3. f est-elle de classe C sur R? Justifier. Corrigé exercice 33. Par opératios sur les foctios cotiues, f est cotiue sur l ouvert R \ {(, )}. O cosidère la orme euclidiee sur R défiie par (x, y) R, (x, y) = x + y. O a (x, y) R, x (x, y) et y (x, y). O e déduit que (x, y) R \ {(, )}, f(x, y) f(, ) = x y ( (x, y) ) = (x, y) (x, y) (x, y). (x,y) (,) O e déduit que f est cotiue e (, ). Aisi f est cotiue sur R.. Par opératios sur les foctios admettat des dérivées partielles, f admet des dérivées partielles e tout poit de l ouvert R \ {(, )}. E (, ) : lim t (f(t, ) f(, )) =, doc f admet ue dérivée partielle e (, ) par rapport à sa première variable t et f (, ) =. x De même, lim (f(, t) f(, )) =. Doc f admet ue dérivée partielle e (, ) par rapport à sa t t secode variable et f (, ) =. y 3. D après le cours, f est de classe C sur R si et seulemet si f x Or, (x, y) R \ {(, )}, f x (x, y) = y 3. (x + y ) 3 O remarque que x >, f (x, x) = x. f Doc, lim (x, x) = x + x f (, ). x O e déduit que f est pas cotiue e (, ). x Doc f est pas de classe C sur R. et f y existet et sot cotiues sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 39

40 EXERCICE 34 aalyse Éocé exercice 34 Soit A ue partie o vide d u espace vectoriel ormé E.. Rappeler la défiitio d u poit adhéret à A, e termes de voisiages ou de boules.. Démotrer que : x Ā (x ) N telle que, N, x A et lim + x = x. 3. Démotrer que si A est u sous-espace vectoriel de E, alors Ā est u sous-espace vectoriel de E. 4. Démotrer que, si A est covexe alors Ā est covexe. Corrigé exercice 34. Soit A ue partie o vide de E. V(a) désige l esemble des voisiages de a. r >, B (a, r) désige la boule ouverte de cetre a et de rayo r. Soit a A. a Ā V V(a), V A. Ou ecore : a Ā r >, B (a, r) A.. Soit x A. Prouvos que (x ) N telle que, N, x A et lim x = x. + Par hypothèse, V V(a), V A. Doc N, B (x, ) A. C est-à-dire N, x B (x, ) A. O fixe alors, pour tout etier aturel o ul, u tel x. Aisi, la suite (x ) N est ue suite à valeurs das A et N, x x <. C est-à-dire la suite (x ) N coverge vers x. Soit x E. O suppose que (x ) N telle que N, x A et lim x = x. + Prouvos que x Ā. Soit V V(x). Alors, ε > tel que B (x, ε) V. O fixe u tel ε strictemet positif. lim x = x doc N N tel que N, N = x x < ε. + O fixe u tel etier N. Doc, comme (x ) est à valeurs das A, o e déduit que N, N = x B (x, ε) A. Or B (x, ε) V, doc N, N = x V A, c est-à-dire V A. O peut e coclure que x Ā. 3. Ā E et E Ā car E A et A Ā. Soit (x, y) ( Ā ) et λ K. D après., Il existe deux suites (x ) et (y ) d élémets de A covergeat respectivemet vers x et y. O a alors lim x + λy = x + λy. + Or A est u sous-espace vectoriel de E et N, (x, y ) A, doc x + λy A. O e déduit que la suite (x + λy ) est à valeurs das A et coverge vers x + λy. O a bie x + λy Ā. 4. O suppose que A partie o vide et covexe de E. Prouvos que A est covexe. Soit (x, y) ( A ). Soit t [, ]. Prouvos que z = tx + ( t)y A. x A, doc il existe ue suite (x ) à valeurs das A telle que lim x = x. + y A, doc il existe ue suite (y ) à valeurs das A telle que lim y = y. + CC BY-NC-SA 3. FR Page 4