Cours : Vision pour la Réalité Augmentée

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1 Table des maères MASTER : SCIENCES ET INGENIERIE MENTION : Sceces Pour l Igéeur SPECIALITE RECHERCHE : Réalé Vruelle e Sysèmes Iellges RVSI (Ex DEA RVMSC) Eablssemes co hablés INT Isu Naoal des Télécommucaos IIE-CNAM Isu d'iformaque d'ereprse ENSMP Ecole Naoale Supéreure Des Mes de Pars Cours : Vso pour la Réalé Augmeée.Doées de l evroeme Relevé 3D e lge Modélsao de prsme symérque Modélsao de cyldre Modélsao d'objes à symére de révoluo Recosruco 3D: Mse à jour de la représeao formaque de l'evroeme Iroduco Le problème Méhode géomérque des 3 segmes Méhode léare à pe mouveme Méhode o-léare Méhode employée (Mxe) Méhode de l érao orhogoale Défo du problème Algorhme d'érao orhogoale (IO) Problème de l'oreao absolue Algorhme Représeao formaque des doées de l'evroeme Représeao flare Représeaos surfacques Représeaos volumques Codage des doées géomérques de l evroeme Appareme d'ue mage D avec so modèle 3D Bref éa de l'ar Appareme D/3D polyédrque basée sur lasos Appareme D/3D polyédrque Traeme e Modélsao de l mage D Cosruco des graphes d aspecs pour polyèdre Méhodes basées sur le graphe d appareme e sur le hachage géomérque Méhode basée sur la phooclomére Méhode basée sur la clomére Cocluso... BIBLIOGRAPHIE... 6 Malk Mallem (UEVE/LSC) Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC

2 L'dée orgale pour oues ces méhodes, cosse à ulser u capeur mxe cosué par ue caméra e u DR3D(Dsposf de Relevé 3D). Le DR3D(Fgure. ) es cosué d u élémère laser, de mesure de emps de vol, moé sur ue ourelle à degrés de lberé(se e azmu). Modélsao d evroeme 3D La modélsao 3D de l evroeme es dspesable pour la réalsao de âches de Téléroboque. L accomplsseme de cee modélsao écesse de répodre à 4 quesos :. quelles doées perees exrare de l evroeme?. comme les exrare? 3. comme les maer à jour? 4. comme les représeer das le calculaeur? 5. comme les recoaîre das le calculaeur à parr de leur mage caméra. Des élémes de répose à ces dfférees quesos so fours respecveme das les paragraphes suvas. Ecra m + u v (Re) DR3D: Télémère Tourelle (Rm) Caméra (R) (Rr) Θχ Θγ (Rc) ρ M /Ro + Xo Yo Zo (Ro).Doées de l evroeme Les doées perees à exrare de l evroeme so lées à la âche à réalser. L'evroeme de éléroboque es cosué de deux ypes d'objes: les objes cous (robos, ouls, pèces à mapuler,...) e les objes o cous (obsacles,...). Les doées géomérques cocera les obsacles so suffsaes pour ue plafcao de rajecore du robo af d éver ceux-c. E revache, des doées cémaques ou dyamques des objes à mapuler peuve êre dspesables pour réalser des âches de mapulao. Das ce chapre, ous décrvos des procédés de relevé 3D e de mse à jour de ces doées. Les objes modélsés so gééraleme polyédrques. Leurs doées so sases, so hors lge par ue méhode de ype CAO, so e lge par des méhodes de modélsao ulsa des capeurs els que caméra e élémère. Ces doées cocere la froère de l obje représeé pas ses faces, arêes e sommes cous das u repère de raval. Ces doées serve à la créao d'u modèle géomérque de l evroeme.. Relevé 3D e lge Ce paragraphe répod à la queso «Comme exrare les doées 3D des objes de l evroeme?» La modélsao géomérque 3D d'objes écesse l'ulsao d u dsposf de relevé 3D. Celu-c peu êre cosué par ue caméra moble, de deux vore ros caméras, de élémère déposé sur u suppor roaf ou à ragulao. Des ravaux cocera la vso mooculare dyamque pour la modélsao d'obje de révoluo so décrs das [DHO 90], [SAY 96]. D aures cocera la vso séréoscopque vore roculare so ombreux [FAU 93], [AYA 9]. Ceux cocera la modélsao d'mages de profodeur le so mos : Ils pore sur de relevé 3D élémèrque par balayage de roues [TRA 93], sur le relevé 3D d'objes e ulsa u élémère à emps de vol moé sur u dsposf roaf [COL 94], sur la modélsao de polyèdres e ulsa u élémère à ragulao. Les doées foures, par pluseurs pos de vue de l'obje à modélser, so fusoées af d'ober les sommes e les arêes de l'obje[bad 94]. Neveu e al [NEV 95], Sola e al [SOL 94] o préseé ue modélsao par des superquadrques de la surface d'objes de forme courbe e présea ue symére. Kumar e al [KUM 95] o ravallé sur la modélsao par des hyperquadrques de la surface d'objes, de forme courbe o forcéme symérque, e ulsa des doées élémérques. Das cee pare, des méhodes de modélsao de volumes eglobas d objes polyédrques e cyldrques, présea ue symére, so préseées e ulsa dfféres ypes de capeurs 3D. Cee modélsao es réalsée éracveme avec la coopérao de l'opéraeur qu dque la classe d obje à modélser e élécommade les capeurs af de réalser le relevé 3D écessare au calcul des dmesos e l aude spaale de l obje. Tros classes d objes so cosdérées : celle des prsmes symérques (paralléléppède, pyramdes roquées, pyramdes, ), celle des cyldres (cyldres, côes roqués, côes) e celle des objes à symére de révoluo, à axe dro, 'apparea pas aux deux caégores précédees e à géérarce o forcéme reclge. Rm: Repère lé à la ourelle R: Repère du élémère Rc: Repère de la caméra Ro: Repère global Re: Repère de vsualsao (Xo, Y o, Z o) = f DR3D ( Θχ, Θγ, ρ) (u,v) = f camera ( X o, Y o, Z o) Fgure.. DR3D(Dsposf de Relevé 3D) L mage caméra ser à posoer l'obje das ue pyramde fe aya pour somme le cere opque de la caméra. Le DR3D four l'formao de profodeur qu perme de suer l obje das la pyramde. Des méhodes, de relevé 3D, pour chacue des classes des prmves so décres. Auparava, ous préseos la oo de pla d erpréao dspesable pour la compréheso de ces méhodes. Le pla d erpréao es déf à l ade du modèle de la caméra (modèle du séopé, cf chapre calbrao de capeurs). Il exprme la relao ere u segme de droe réel, sa projeco das le pla mage e le cere opque de la caméra (Fgure. ). C cere de la caméra pla focal p v p pla d erpréao Fgure.. Pla d erpréao So V r le veceur assocé à u segme de droe réel, v r so mage e C le cere opque de la caméra déermé lors de la calbrao de la caméra. Le pla d erpréao es calculé à parr du veceur v r e du po C, N r éa sa ormale. Il coe égaleme le veceur réel V r. N V Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 3 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 4 Malk Mallem(UEVE/LSC

3 .. Modélsao de prsme symérque Pour u prsme symérque, le relevé 3D de deux faces suff pour le modélser. Ue face exrême de prcpale e ue des faces laérales de secodare so ulsées. Les faces choses so celles pour lesquelles les mesures élémèrques so les melleures e qu so vues smulaéme par la caméra e par le élémère. L mage caméra e le modèle géomérque verse de celle-c permee de déermer les plas ages (plas d'erpréao) aux coours de chacue des deux faces -u pla d'erpréao es u pla qu passe par ue arêe de l'obje e le cere opque de la caméra -. Ces plas permee de défr ue pyramde fe aya pour somme le cere opque de la caméra. Le élémère perme de déermer l'équao du pla poreur de la face. L'erseco ere la pyramde e le pla poreur de la face perme de défr le coour de celle-c. Le volume egloba es esue gééré e raslaa la face prcpale selo u veceur aya ue exrémé commue avec la face secodare. La Fgure. 3 représee les plas d erpréao P (=..4) qu so déermés grâce aux mages des arêes AB, BC, CD e DA, correspodaes à ue face d u prsme vu smulaéme par la caméra e par le DR3D. Le DR3D perme de relever u esemble de pos 3D apparea à la surface à modélser. La modélsao précédee es réérée sur la surface secodare (Fgure. 3), qu do égaleme êre vue par la caméra e le DR3D smulaéme. Des coraes ype po commu/arêe commue (Fgure. 3) avec la face préalableme modélsée so prses e compe pour le calcul de la ouvelle face. Le volume egloba l obje es calculé par la raslao de la face prcpale selo u veceur déf par la face secodare. Ce sysème perme de calculer le pla poreur d ue face... Modélsao de cyldre Das cee pare so préseées dfférees méhodes employées pour la déermao des caracérsques d'ue prmve cyldrque observée à l'ade d'ue caméra e du DR3D. Pour chaque méhode ous déermos la poso de l'axe de la prmve cyldrque e so rayo. La défo des dfféres plas d'erpréao es llusrée (Fgure. 4). La caméra perme de défr l'équao des deux plas d'erpréao Pc e Pc relafs aux géérarces du cyldre. E ea compe de l'aude du cyldre (vercal, horzoal ou clé) ous effecuos avec le DR3D deux balayages à deux veaux dfféres. A l'ade des pos, obeus après balayage, o déerme l'équao d'u pla froal Pl3 age au cyldre. Compe eu du damère du fasceau laser, le profl du cyldre relevé e correspod pas au profl exac (Fgure. 5). Cepeda o peu déecer les exrêmes. Chaque balayage perme d'ober les coordoées des pos laéraux e de déermer les plas Pl e Pl (Fgure. 4). Pour la défo du pla Pl3, o cosdère deux droes agees au cyldre. Chaque balayage perme de défr ue droe. Pour chaque droe, o e cosdère qu'u ombre rédu de pos (Fgure. 5). po commu surface prcpale largeur B A E y C haueur z F logueur RO o x cere de la D caméra surface secodare P l cere du élémère Fgure. 3. Modélsao 3D de polyèdre Pour ue face qu 'es pas parallèle à l'axe des z, le coeffce dreceur suva z es oujours dffére de zéro, doc ue ormalsao es possble. C (Caméra) TL (Télémère Laser) m Rc C P l3 P c P c P l l'équao du pla deve alors: a x + b y + z + d = 0 Fgure. 4. Défo des dfféres plas d'erpréao Pour pos, o obe équaos qu peuve êre mses sous la forme marcelle: A X = B avec : x y z... a. A = x y X = b B = z... d. x y z Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 5 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 6 Malk Mallem(UEVE/LSC

4 x c x = zc R c a c a + b + c A = a c a + b + c a3 c3 a3 + b3 + c 3 by e B = by by d d d c c 3 c 3 z (m) dreco de mesure du élémère laser x (m) pos selecoés pour Pl3 Pos selecoés pour Pl e Pl Le sysème peu alors s'écrre: AX = B Que l'o résoud alors par ue méhode ype modres carrés. ( ) X = A A A B La soluo exprma X perme de défr les coues xc, zc, Rc. O procède de la même maère avec le deuxème po C e o déerme alors les coues xc, zc, Rc avec c y c fxé. As les coordoées des pos ( x, y, z ) e ( x y z ) du cyldre. c c c,, permee de déermer l'équao de l'axe c c c Fgure. 5. Profl d'u cyldre La haueur du cyldre es déermée e ulsa les plas Pc3, Pc4 e Pl3. Les dfféres plas d'erpréao éa défs, ous décrvos ros méhodes de modélsao de cyldre as que les résulas des expéreces d'évaluao meées.... Coopérao caméra/dr3d: plas ages Das cee approche les plas Pc, Pc e Pl3 (Fgure. 5.), qu cosue ros plas dscs ages au cyldre, so ulsés af de calculer deux pos C e C se rouva sur l'axe du cyldre e qu so équdsas à ces ros plas. Les deux aludes de C e C so coues e correspode à celles des balayages élémèrques. Pour chaque balayage, les projecos orhogoales de C j (j=,) sur les plas Pc, Pc e Pl3 so calculées. Ces plas so défs par les équaos suvaes: ( P : a x b y + c z + d = 0, =..3) + Ces P correspode au pla Pc, Pc e Pl3 U premer groupe de ros relaos perme d'exprmer que C j es à la dsace R cj de ces ros plas: a x + b y + c z + d cj a cj cj + b + c = R cj avec = 3,, e j=,. les coues so c x cj, z cj, Rcj ue des coordoées peu êre fxée a pror: y cj par exemple (das le cas d'u balayage horzoal avec le élémère); das le cas d'u balayage vercal le paramère fxé es x cj. La valeur absolue es levée e calcula l'oreao du veceur ormal au pla P. Le sge de la projeco de C j sur Pl3 es l'opposé du sge de la projeco du po TL (cou), cere du élémère, sur Pl3. Le sge de la projeco de C j sur Pc ou Pc es le même que le sge de la projeco d'u po m, po doé par le balayage, sur Pc ou Pc (Fgure. 4). E posa: Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 7 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 8 Malk Mallem(UEVE/LSC

5 y P C3 P C C O x z P C4 Cere opque Fgure. 5. Méhode des ros plas ages sur deux aludes dfférees Pour cee approche so ulsés deux plas laéraux ages au cyldre e défs par la caméra e u pla facal age au cyldre e déf par le élémère. Ue expérece a éé réalsée avec u cyldre dro do les caracérsques so les suvaes [NZI 95]: Damère : 0. cm, haueur : 5.6 cm Cee approche perme d'ober des erreurs féreures, sur le rayo à %, la haueur à e la profodeur à sur ue dsace obje-capeur de m à.6m. Le emps de modélsao es féreur à 0 secodes.... Télémère seul: plas ages B P l3 Cee approche s'apparee à la précédee, la résoluo es deque. Cepeda, la déermao de l'axe du cyldre s'appue désormas sur des plas ages Pl, Pl e Pl3 doés par le DR3D (Fgure. 4). Cee approche es deque à la précédee. La déermao de l'axe du cyldre s'appue sur ros plas qu lu so ages. Ces plas so obeus à l'ade des mesures doées par le élémère. Les erreurs sur le rayo e sur la haueur so du même ordre de gradeur que pour la méhode précédee. Par core les erreurs sur la profodeur so plus grades, féreures à Le balayage écesse u emps plus mpora ( à 4 mues) ce qu augmee cosdérableme le emps pour la modélsao. C C R C D RC D A D c D D c P C Fgure. 7. Plas bsseceurs de la caméra e du élémère Les plas, P l e P l éa obeus par balayage élémèrque, le emps de modélsao es de l'ordre de à 3m. Les erreurs sur le rayo e sur la haueur so du même ordre que les deux précédees méhodes. Les erreurs sur la profodeur so féreures à.5%. Cepeda l'erreur e profodeur augmee cosdérableme quad la dsace capeur-obje augmee. La méhode des plas ages (caméra + élémère) es la plus rapde e emps de modélsao (mos de 0s).C'es auss la plus précse pour des dsaces de.4m à.6m. Pour la méhode basée sur les plas bsseceurs, l'erreur e profodeur augmee rapdeme avec la dsace capeur-obje. E effe, plus l'obje es élogé, plus l'agle ere les deux plas bsseceurs es fable. Ue erreur sur la déermao d'u pla se radu par ue erreur mporae sur la poso de l'erseco de ces plas..3. Modélsao d'objes à symére de révoluo La modélsao d'objes à symére de révoluo es basée sur l ulsao des courbes B-Sple. Elle es applcable à des objes d'axe dro. Le prcpe de modélsao cosse à représeer ue pare du coour du bord de l'obje appelé coour de base (Fgure. 8), par ue courbe B-sple, e à effecuer u balayage rooïde de celu-c auour de l'axe af de géérer le corps de révoluo. Nous commeços par décrre les doées écessares à cee modélsao ava d explquer la méhode mahémaque..3.. Doées de modélsao Des pos caracérsques(crox sur la Fgure. 8) du coour de base de l'obje so désgés sur l'mage caméra de celu-c. L'axe es cou, l peu êre calculé par la méhode décre das le Méhode de modélsao La courbe B-sple es calculée pour le coour de base. La déermao des coordoées 3D des pos du coour de base es possble car ceux-c so sués sur la bordure vsble de l'obje, e qu'ls so coplaares avec l'axe. Aux pos obeus so alors applquées des roaos auour de l'axe. C-dessous u exemple de résula obeu :..3. Coopérao caméra élémère: plas bsseceurs Les plas d'erpréao, P c e P c, fours par la caméra permee de défr l'équao du pla bsseceur P mc. Les plas d'erpréao doés par le DR3D P l e P l permee de défr le pla bsseceur P ml. La déermao de l'équao de l'axe du cyldre es alors obeue par l'erseco des deux plas bsseceurs P mc e P ml (Fgure. 7). Pl Pc C C Pml Pmc Pl TL Fgure. 8. Exemple de modélsao d'ue bouelle Pc Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 9 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 0 Malk Mallem(UEVE/LSC

6 Nous préseos la méhode de géérao de la courbe représea la coour de base, as que la méhode de cosruco du volume egloba l obje de révoluo : Géérao des courbes : La géérao des courbes se fa par la méhode des B-Sple, leur formalsme mahémaque es décr das l aexe. Géérao du volume egloba : Af de géérer le volume egloba l obje de révoluo, l es écessare de calculer les coordoées 3D du coour de base e ceux des courbes eveloppes. Déermao des coordoées 3D des pos du coour de base : O sa que les pos du coour de base so sués sur la bordure vsble de l'obje, e ce obje es à symére de révoluo, doc ls so clus das u pla P, qu coe d'ue par l'axe de révoluo A r, e d'aure par u veceur V parallèle au pla mage de la caméra. Ce d veceur es déf par : r r r V = I A où I r es la ormale au pla mage de la caméra, e x le produ vecorel. r r r As, o coaî le veceur ormal au pla P ( N = A V ), o coaî u po de ce pla(ue des exrémés du segme forma l'axe), o peu doc calculer les coordoées 3D des pos du coour de base. l es plus judceux de calculer la rasformao sube par les objes qu o chagé de place. C es l obje du procha paragraphe. Cocluso Les méhodes de modélsao 3D de volumes eglobas préseées so basées sur l ulsao des capeurs. Cee modélsao perme d rodure des objes o préalableme modélsés das la base de doées. Ce ajou e lge d obje perme à la âche effecuée par le robo de se poursuvre. Ces méhodes o perms égaleme d'évaluer la précso du relevé 3D basé sur l'ulsao de dfférees combasos de capeurs. Par alleurs, la coassace de la géomére des objes perme de remere à jour celle-c s ceux-c chage de suao. Nous avos préseé quelques méhodes de recosruco 3D représeaves de l éa de l ar. E effe, ous avos préseé ue méhode géomérque, ue secode résoluo valable pour les fables mouvemes, ce qu perme de léarser le problème e d'rodure des formaos redodaes, ue rosème umérque valable quelque so le mouveme subs par l obje e ue derère mxe. Soe x e y les coordoées d'u po sur l'mage vdéo, correspoda à u po X du coour de base, N : le veceur ormal au pla coea le coour de base, e P r u veceur coea les coordoées d'u po apparea à ce pla. Le po X apparea à ce pla, d'où (e oaos algébrques) : r r r r N. X = N. P D'aure par, soe C e D deux pos du rayo opque (C : cere opque de la caméra) passa par X, alors : r X = C + λcd ou λ es ue coue e CD le veceur dreceur du rayo opque. D'où : r r r r O obe alors X. λ = N. P N. C r r N. CD Déermao des courbes eveloppes: Pour calculer l'mage X' d'u po X, du coour de base, par la roao d'agle θ auour d'u axe drgé par u veceur A r, o calcule la marce de passage P du repère de raval à u repère orhoormé do A r es l'axe des abscsses, o a alors : X ' ro r ( X ) = P. R. P. X A =, θ où R es la roao d'agle θ auour de A r. Cee méhode présee l'avaage de e écesser aucu appareme. E revache, l'acquso des pos caracérsques de l'axe de roao es coragae. Cee approche de modélsao des corps de révoluo es ue ère ébauche d'u raval qu do se poursuvre af de permere ue modélsao plus précse e plus rapde. Ue fos les objes de l evroeme modélsés, les doées les représea so égrées das ue srucure de doées formaque. S ces objes chage de place, leurs doées écesse ue mse à jour. Au leu de refare ue modélsao qu es coûeuse e emps comme ous l avos vu das le paragraphe précéde, Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC

7 3. Recosruco 3D: Mse à jour de la représeao formaque de l'evroeme Ce paragraphe répod à la queso : "comme mere à jour les doées 3D des objes?" 3.. Iroduco La recosruco 3D es basée sur la déermao des rasformaos géomérques rgdes qu permee d'ober la ouvelle suao de l'obje das l'espace. L'obeo de celle-c perme d effecuer u recalage de l'obje, c'es à dre la mse e correspodace de ses représeaos réelle e vruelle. Les doées 3D de la suao aéreure de l obje à recaler as que ses doées D (exraes de l mage caméra) de la poso courae so supposées coues. L approche de recosruco 3D décre es basée sur la déermao des rasformaos géomérques rgdes qu permee d'ober la ouvelle suao de l'obje das l'espace. L'obeo de celle-c perme d effecuer u recalage de l'obje, c'es à dre la mse e correspodace de ses représeaos réelle e vruelle. O dsgue deux ypes de recalages qu dépede de l'ampleur du mouveme : - recalage à grade amplude das le cas de grad mouveme, - recalage à fable amplude ou f pour pe mouveme. Ces deux ypes de recalages so applcables successveme à u obje. Deux cas de fgure peuve se préseer: Le cas de la créao de l'obje, cee créao peu se fare de deux maères: -les dmesos de l'obje so fours par l'opéraeur, das ce cas e gééral, l'écar ere la représeao graphque obeue de l'obje e sa représeao réelle peu êre mpora. - les coordoées de l'obje so foures par les capeurs, das ce cas l'écar ere la représeao graphque obeue de l'obje e sa représeao réelle es gééraleme fable. Das ce cas ous 'applquos qu'u recalage f. Le cas de la modfcao de l'evroeme. L'obje éa modélsé e ses coordoées 3D égrées das la base de doées. Il s'ag de rerouver sa ouvelle suao e applqua le recalage. Das le cas d'ue ade à la commade (exemple d'ue réalsao de âche), l fau permere au robo de mapuler correceme les objes préses das so evroeme; pour cela l es dspesable de be suer ces objes par rappor à u repère de référece. Egaleme das le cas d'ue asssace à la percepo de la scèe e vso drece, o superpose au mode réel u mode vruel grâce à la base de doées géomérques 3D des objes de l'evroeme. Doc s la suao du mode réel chage, les modes réel e vruel e so plus superposés; l faudra alors procéder à u recalage. Nous préseos u éa de l'ar coea les prcpaux ravaux pora sur la recosruco 3D polyédrque. Deux approches so ulsées pour la recosruco 3D polyédrque: - Ue approche umérque basée sur l'ulsao d'u ombre mpora de doées ou e chercha à opmser u crère de mse e correspodace du modèle de l'obje avec so mage. Les méhodes correspodaes so cées das [HOR 93]. - Ue approche aalyque basée sur la résoluo d'équaos permea d'ober la ouvelle suao de l'obje géomérqueme[dho 89]. Gaapahy [GAN 84] cosdère smpleme les eufs composaes de la marce de roao de maère dépedae. Le sysème éa léare, l es facle à résoudre. Cepeda, aucue corae d'orhogoalé 'es applquée à la marce de roao, de plus cee méhode es exrêmeme sesble au bru. Lowe [LOW 87] a proposé ue méhode érave fourssa ue soluo uque e mapula u rple de segmes de droe. Celle-c es obeue e opmsa, par la méhode de Newo, d'u crère d'erreur quadraque. Celu-c es cosuée par la somme des carrés des dsaces ere chaque projeco d'u segme e de so correspoda das l'mage. L'opmsao pose des problèmes de mma locaux e d'alsao des paramères à esmer. Yua [YUA 89] a séparé la roao de la raslao e a proposé de déermer la roao e ea compe des coraes d'orhogoalé de la marce de roao. La soluo commue à ces coraes es obeue e ulsa la méhode de Newo. L'aueur a oé que des mma locaux peuve êre rouvés avec cee méhode. Le mmum global peu êre ae s o four ue alsao proche de la soluo. Dhome[DHO 89] a proposé ue méhode géomérque basée sur l'ulsao d'u rple de segmes de droe. Cee méhode ulse des repères ermédares permea de smplfer le calcul de la roao. Des règles so ulsées pour rédure le ombre de soluos. Horaud [HOR 93] a proposé ue méhode qu mmse u crère basé sur l'ulsao du formalsme N.R.V décr das le 3.. La roao es représeée par les quaeros uares. L'opmsao ulse l'algorhme de la régo de coface. Il s'avère que l'algorhme es rès rapde quad l coverge, mas qu'l fau l'alser avec de boes codos ales pour ober le résula aedu. Ce algorhme semble avor ue boe robusesse au bru. Nous allos décrre quare méhodes de recosruco 3D représeave de l'éa de l'ar : La ere es géomérque qu cosse à fare u chox judceux de repères af de smplfer les calculs de la rasformao rgde. Elle basée sur la méhode de Dhome [DHO 89] ( 3.3). Cee méhode peu êre ulsée uqueme pour les objes polyédrques. La de es umérque es basée sur la dérvao du modèle de la caméra. Cee méhode es valable uqueme pour les fables mouvemes de l obje( 3.4.). La 3 ème es umérque, elle es valable quelque so l amplude du mouveme subs par l obje ( 3.5.). La 4 eme es mxe( 3.5.). Ava de décrre ces méhodes, ous rappelos le prcpe de la recosruco 3D basée sur les plas d'erpréao. 3. Le problème R c pla mage R m poso courae Fgure 3.. Recosruco 3D poso ale L'objecf de la recosruco polyédrque 3D es de rerouver la roao e la raslao subes par u obje das l'espace (Fgure 3..). La suao ale de l'obje es exprmée das (Ro). Il s'ag de calculer R e T, c'es à dre la suao de (Rm)/(Ro) e doc la ouvelle suao de l'obje. Toues les méhodes de localsao rdmesoelle repose sur des bases mahémaques commues exploa des dces vsuels D provea de la caméra. Parm ous les dces vsuels, les droes so facleme exracbles, ce so de plus des dces robuses. C'es la raso pour laquelle ce so les plus ulsés. La caméra éa cosdérée calbrée, o coaî doc la correspodace ere les pos das l'espace e leurs projecos sur le pla rée. Le veceur 3D, V r ' (Fgure 3.) doe le veceur v r ' par projeco perspecve de cere C sur le pla rée. A l'ade des coordoées D, o déf le pla d'erpréao qu passe par le veceur v r ' e le cere opque C. Ce pla coe égaleme le veceur V r ' de l'espace, N r éa la ormale à ce pla. R,T R o Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 3 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 4 Malk Mallem(UEVE/LSC

8 Rc y N PLa d'erpréao v' m' V' M' R,T M V es, gééraleme, la somme des carrés des dsaces ere chaque projeco d'u po (ou d'ue arêe) e de so correspoda(e) das l'mage. L'covée majeur de cee approche es la leeur de covergece des algorhmes d'opmsao. Ue soluo aalyque es préseée das le paragraphe suva. 3.3 Méhode géomérque des 3 segmes x C z Veceur de l'obje ava La roao e la raslao Pla mage Fgure 3.. Formalsme N.R.V La déermao drece de l'oreao de (Rm)/(Ro) es complexe car elle fa erver ros agles. Af de smplfer les calculs, ue approche aalyque préseée das [DHO 89] cosse à rodure des repères ermédares permea de e fare erver que deux agles. La localsao fa erver ros repères prcpaux (Fgure 3.. ) (Rc) repère lé à la caméra. (Rm) repère lé à l'obje représea la poso courae. (Ro) repère de raval, représee (Rm) à l'sa al. Localser l'obje évolua das so evroeme reve à déermer la poso de (Rm) par rappor à (Ro). Les repères (Rc) e (Ro) so cous l'u par rappor à l'aure. O supposera par la sue pour smplfer les expressos, mas sas re elever à la gééralé du problème, que (Ro) es cofodu avec (Rc). L'esmao de la rasformao amea (Rm) à (Ro) reve à déermer ue roao R e ue raslao T. O peu alors coaîre les coordoées de l'obje das le repère (Ro) doc das (Rc). O a as pour ou po M e pour ou veceur V r de l'obje exprmés das (Rm), leurs expressos respecves M /Rc e V r /Rc das (Rc) : M /Rc = T + RM /Rm [ ] V r /Rc = RVr /Rm [ ] Soe ros arêes L =,,3 de l obje défs das (Rm), e leurs mages l =,,3 défes das (Rc). L'objecf es de déermer la roao R e la raslao T à applquer à L af que leurs mages se projee sur les droes suppors de l (Fgure 3.3). Le prcpe es de résoudre les deux équaos [ 5]e [ 6]. Les dfféres repères ms e jeu so : - (Ro) repère de raval (repère obje). - (Rc) repère de la caméra. - (Rm) repère lé à l'obje e qu sub doc le même mouveme que l'obje. Das la poso ale de l'obje, le repère (Rm) es le même que le repère (Ro). - (Rm) repère déf à parr des arêes 3D de l'obje coura. - (Rc) repère déf à parr des dces vsuels D de l'obje coura. A parr de ces relaos, o peu poser les équaos de base de la localsao. Pour u veceur 3D, o assoce so projeé v r ' e la ormale N r au pla d'erpréao o a : ' N. V = 0 [ 3] N. CM ' = 0 [ 4] V r ', auquel Les veceurs préses das ces deux relaos so exprmés das ue même base. Comme les expressos so doées das (Rc), repère de cere C; e ea compe des équaos [ ] e [ ] o obe: N.(RV ) = 0 [ 5] N.(T+RM) = 0 [ 6] V es u veceur rela deux pos de l'obje e exprmé das (Rm) (cou), M es u po de l'obje exprmé das (Rm) (cou). Le problème es doc le suva: éa doé u esemble de pos 3D décrs das u référeel 3D "Obje" e leurs projecos D décres das u référeel "caméra". S o coaî les paramères de la caméra, l fau déermer la rasformao rgde (roao e raslao) ere le référeel obje à u sa doé e le référeel caméra. Les soluos proposées peuve se regrouper e deux caégores: Ue soluo umérque, Le sysème d'équao à résoudre es o léare. Ce ype d'approche perme de er compe des doées redodaes obeues quad le ombre de pos de correspodace es grad. Ces méhodes umérques so basées sur la résoluo des équaos [ 5] e [ 6] e mmsa u crère d'erreur qu Les marces de passage suvaes so défes : - Roc marce de passage de (Ro) à (R c). - Rmm marce de passage de (Rm) à (Rm). - Rcm marce de passage du repère (R c) à (Rm). - R, T marces de roao e de raslao qu permee de passer de (Ro) à (Rm). z y R c x l pla mage l l 3 y pla mage y x La roao R cherchée deve ue composo de marces de passage : R c x z L R = Roc Rcm Rmm [ 7] z L L 3 R m z z y R m R,T? y R o x x L 0 L 0 L 30 Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 5 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 6 Malk Mallem(UEVE/LSC

9 La roao R coe ros varables (les ros agles d'euler), doc e prcpe elle peu êre rouvée avec ros veceurs 3D dfféres e leurs mages. L dée de la méhode des ros segmes es de chosr les deux repères Rc e Rm de elle faço qu'ls ae chacu u axe das le même pla qu es le pla d'erpréao de l'ue des arêes. As le passage de Rc à Rm se fa seuleme par deux roaos. où : 0 X ( r ) = rz ry rz 0 rx ry rx rx es la marce du pré-produ vecorel, avec r = ry 0 rz Le développeme des équaos [ 5]e [ 6] abou à u polyôme de degré 8, auquel peu êre Fgure 3.3. Les dfféres repères ms e jeu applqué ue méhode umérque basée sur le calcul de valeurs propres de la marce "compago" cosrue à parr du polyôme [NZI 95]. Les agles α e β qu caracérse la marce Rcm so obeus. La roao R sube par l'obje es esue calculée par l équao [ 7]. Ue fos la roao obeue, la raslao es dédue avec égaleme ros pos apparea aux segmes 3D e leur mages. 3 pos forma ros segmes so ulsés pour applquer la méhode. Af d'amélorer les résulas obeues par cee premère résoluo valable das le cas gééral, ue secode résoluo valable pour les fables mouvemes peu êre applquée, cec perme de léarser le problème e d'rodure des formaos redodaes Méhode léare à pe mouveme L objecf es d'affer le recalage à grade amplude, à l'ade d'ue méhode de recosruco applquée aux pees roaos, pour rédure les erreurs [NZI 97]. Le veceur saaé de roao ulsé, esue la méhode de calcul de R e T so défs. Cee représeao possède l'avaage de l'erpréao physque que l'o peu e fare : le mouveme d'u solde se décompose e ue raslao de so cere de gravé e e ue roao auour d'u axe de veceur dreceur r. DETERMINATION DE R ET T So V r le veceur dreceur d ue arêe d u polyèdre subssa ue légère déplaceme. Le même veceur après déplaceme V r ' peu s écrre : V r ' = V r +dv r avec : dv r = R r V r R r éa le veceur saaé de roao, l'écrure de cee équao reve à assmler l'arc ssu de la roao à la agee (Fgure 3.4). Pour u po P, ces expressos devee : R r r VECTEUR INSTANTANE DE ROTATION Ue roao quelcoque peu êre représeée par ros agles θx, θy, θz déommés agles auques. Chacu de ces agles quafe la roao auour d'u axe d'u repère doé. L'avaage de ce formalsme es qu'l représee dreceme la commade de l'arculao d u robo. L'covée es que le produ de ces ros roaos 'es pas commuaf, l'ordre das lequel s'effecue ces roaos flue sur la roao fale. Egaleme, l présee pour le problème verse pluseurs soluos e quelques posos sgulères Ue aure faço d'exprmer ue roao es d'ulser le veceur saaé de roao do : - la dreco es celle de la roao, - la orme es l'agle de cee roao r r Ce veceur s exprme par : R θ. veceur R r es la suvae R r = où r es u veceur uare. La marce de roao ( r,θ ) r R r ( r, θ ) = I + s( θ ) X ( r ) + ( cos( θ ))( X ( r ) 3 ) r assocée au z y V r R o x V r θ Fgure 3.4. Approxmao des pes agles dp = T + R P U po P e so mage (u,v) das la caméra so lés par le rayo vsuel : u. P + au = 0 v. P + av = 0 qu doe après dérvao (cas de pes déplaceme : e roao e raslao) : [ 8] r r r dv = R V Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 7 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 8 Malk Mallem(UEVE/LSC

10 du. P + u. dp + dau = 0 dv. P + v. dp + dav = 0 dp es doé par l'équao [3.7]e e ulsa ue propréé du produ mxe de ros veceurs, j, k quelcoques :.( jλ k) = j.( kλ) ces deux équaos so écres de la maère suvae : u. T + ( P u). R + du. P + dau = 0 [ 9] v. T + ( P v). R + dv. P + dav = 0 Chaque po 3D P(x,y,z) aya sub ue roao R e ue raslao T, es projeé sur l mage pour ober ses esmés (cf. chapre calbrao de caméra) : s.ˆ u s.ˆ v = C s 3x4. 0 R 3x3 0 x T 3x y 0 z Le veceur de paramères à esmer p r es cosué des paramères de roao e de raslao. qu peu se mere sous la forme: AX= B Rx a avec : X=(a, b, c, Rx, Ry, Rz) où R = Ry e T = b so les cous Rz c La résoluo de ce sysème léare perme de déermer R e T. Pour ober les 6 coues u mmum de =3 pos es écessare. Ces ros pos dove avor des mages dsces e o algées. Le sysème peu êre résolu par ue méhode de ype modres carrés lorsque >3. Ce recalage d de pe déplaceme perme as de rédure les erreurs obeues sur la méhode de recalage pour les grads mouvemes (roao de : 0 à π e raslao quelcoque) e peu êre érer Méhode o-léare La méhode précédee a résolu le problème de recalage au vosage de l opmum. E supposa u pe mouveme, les équaos o-léares du problème o abou à u sysème léare grâce au veceur de roao. L évaluao de cee méhode more qu elle e coverge pas das ous les cas. Pour évaluer la covergece e la précso de cee méhode, ous la comparos avec ue méhode o-léare e fasa aucue smplfcao du problème. La méhode o-léare résou la roao e la raslao e mmsa u crère d erreur, celu-c es exprmé par la formule suvae : Crère = M N ( uˆ u ) + ( vˆ v ) ) = Où : N es le ombre de pos d appareme, u, v ) les coordoées d'u po mage, ( ( [ 0] u ˆ, vˆ ) esmés des coordoées du po de l obje après projeco sur le pla mage ( L applcao d ue méhode umérque au crère [ 0]perme d defer les paramères recherchés à parr des pos 3D e de leurs mages D. La méhode d opmsao de Leveberg-Marquard[Numercal recpes] es ulsée, car so coeffce de réglage λ perme d éver les mma locaux. Ue boe alsao du veceur de paramères es écessare pour assurer la covergece de l algorhme. La méhode des ros segmes es ulsée, là ecore, pour doer ue boe alsao à cee méhode. A chaque érao de l algorhme, les quaeros so calculés à parr de la marce de roao courae e par coséque le veceur p r coura. Ue ouvelle esmao de p r es four par l algorhme. L algorhme s arrêe lorsque le crère d erreur deve suffsamme pe Méhode employée (Mxe) L évaluao des ros méhodes de recalage éudées c-dessus [SHA 99], a perms d adoper la méhode mxe. Celle-c ulse les ros méhodes pour assurer la covergece vers l opmum quasme das ous les cas. E fa, les méhodes léare e o-léare écesse ue boe alsao corareme à la méhode des 3 segmes. E revache, Elles doe oues les deux ue melleure précso que cee derère. Nous ulsos alors la méhode des ros segmes qu doe ue soluo approxmave pour alser les deux aures méhodes. E a que précso, la méhode léare es melleure que la o-léare, car elle doe ue soluo aalyque opmale das le ses du crère, ads que l aure coverge souve vers des mma locaux. Par alleurs la méhode léare représee des posos sgulères que la méhode o-léare e sub pas. Voc l algorhme qu décr la méhode mxe : Applquer la méhode des ros segmes pour ober la marce de recalage (les ros segmes e ragle dove êre o-coléares : la superfce du ragle > seul) Ulser la méhode léare pour affer le recalage, - s le crère d erreur es suffsamme pe : le résula es cosdéré bo, f - so : poso sgulère, couer Chercher la covergece à l ade de la méhode o-léare, - s elle e coverge pas : pas de soluo, f - so : sauver le résula, couer Applquer à ouveau la méhode léare, - s le crère d erreur es suffsamme pe : le résula es cosdéré bo, f Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 9 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 0 Malk Mallem(UEVE/LSC

11 - so : pas de soluo, f Y R, T 3.6. Méhode de l érao orhogoale[lu e Hager, 000] 3.6. Défo du problème So u esemble de pos de référece 3D o coléares p = ( x,y,,z ),=,..., 3 exprmés das le référeel propre de l'obje (R O ), les pos 3D qu leurs correspode das le référeel de la caméra ' ' ' ( x,y, z ) q = so défs par ue rasformao rgde: où r R= r r3 el que q = R.p T [] + R R= I x e T = y z so la marce de roao e le veceur de raslao, respecveme. Das ore cas, les pos p correspode au sommes du mallage de l'aspec phoomérque reeu. La codo R R=I es la codo d'orhoormalé de la marce de roao R. La méhode de recalage 3D que ous avos élaborée fa erver ros repères prcpaux (cf. fgure 3.5) : (R C ) le repère lé à la caméra. (R O ) le repère lé à l obje représea la poso courae. Das ore cas (R O ) correspod au repère ceré sur la Véus. (R M ) le repère mode (de la scèe). Le référeel de la caméra es chos de elle sore que le cere de projeco de la caméra so à l'orge e que l'axe opque so oreé das la dreco des z posfs. Les pos de référece p so projeés das le pla z ' =, appelé pla mage ormalsé, e décrs das le repère caméra. So m ( ) = u,v, les pos mage qu correspode aux projecos de p das le pla mage ormalsé (cf. fgure 3.5). Das ore cas, les pos m correspode aux baryceres des aches apparés avec les po p. Sous l'hypohèse du modèle phole déal, les pos m, q e le cere de projeco so coléares. Cee propréé es exprmée par l'équao suvae: ou be r p + [] x = [3] r3.p + z u r p + y + = r3.p v z ( R.p T ) [4] m = + [5] r.p + 3 z Nous supposos que la caméra a éé préalableme calbrée, e de ce fa, ses paramères rsèques e exrsèques so cous. XC Référeel caméra RC YC Z ZC Pla mage ormalsé RO Rex, Tex X Référeel obje Référeel mode Fgure 3.5 : Les dfféres repères ms e jeu das le problème de recalage 3D l'équao [5]es appelée "équao de coléaré". Ue aure maère d'exprmer cee coléaré es d'ulser le fa que la projeco orhogoale de q sur la lge de vue défe par le po m do êre égale au po q lu même. Ce fa es exprmé par l'équao : R.p + T = V R.p T [6] où ( ) + m.m V = [7] m.m représee la marce de projeco de la lge de vue qu, lorsqu'elle es applquée à u po de la scèe, le projee orhogoaleme sur la lge de vue défe par le po mage m. As, l'équao [5] représee l'équao de coléaré das l'espace mage ads que l'équao [6] représee l'équao de coléaré mas das l'espace obje. Le recalage 3D cosse à développer ue méhode qu perme de rouver la rasformao rgde (R,T) mmsa ue cerae forme d'accumulao d'erreurs (el que la sommao des carrés des erreurs) de l'ue des deux équaos de coléaré (cf. fgure 3.6). Das les méhodes classques de recalage 3D, la foco objecve à mmser es doée par: où mˆ ( ), = + + = r r.p.p x y Q û + vˆ [8] r3 p + z r3 p + z = û,vˆ so les pos mage observés. La marce de roao R es gééraleme représeée par les agles d'euler. Noos au passage que la mmsao das ce cas es basée sur la coléaré das l'espace mage. Deux méhodes so gééraleme ulsées pour résoudre ce ype de problème, e l'occurrece la méhode de Gauss-Newo [Haralck e Shapro, 993] e la méhode de Leveberg-Marquard [Lowe, 99]. RM Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC

12 Erreur das l'espace de l'obje Le calcul de l'oreao absolue reve à déermer R e T à parr des pares d'appareme (q, p ). Avec au mos 3 pos de référece o coléares, R e T peuve êre obeues comme ue soluo du problème des modre carrés suva : Y Z RO m R.p + T q el que R.R = I [0] R,T = XC Erreur das l'espace de l'mage ZC X Ce problème des modres carrés avec corae (la corae d'orhogoalé de la marce de roao) peu êre résolu e ulsa les quaeros [Hor, 987] ou be la décomposo e valeurs sgulères (SVD) [Aru e al., 987]. Nous allos déaller c-dessous, la soluo par SVD que ous allos ulser par la sue das l'algorhme IO. Soe { p } e { } q les deux esembles de pos ms e correspodace, e so: RC YC p = p q= q = = [] Fgure 3.6 : Les erreurs de coléaré das l'espace mage e l'espace obje E ce qu ous cocere, ous avos adopé la méhode élaborée par [Lu e Hager, 000] qu'ls o appelée algorhme d'érao orhogoale ("Orhgogoal Ierao -OIalgorhm"). A l'verse des méhodes classques qu so ulsées pour résoudre les problèmes d'opmsao d'ue maère géérale, l'algorhme d'érao orhogoale exploe judceuseme la srucure spécfque du problème de recalage 3D. De plus, l doe des résulas rès précs e coverge globaleme d'ue maère assez rapde ce qu fa de lu u oul rès éressa pour les applcaos emps réel. Ce algorhme es déallé das la seco suvae Algorhme d'érao orhogoale (IO) Pour esmer la pose de l'obje, ce algorhme ulse ue foco d'erreur approprée défe das l'espace de l'obje qu'l réécr sous ue forme parculère af qu'elle admee ue érao basée sur la soluo du problème classque de l'esmao de la pose 3D/3D appelé problème de l'oreao absolue ("absolue oreao problem"). Comme l'algorhme de l'io déped eèreme de l'oreao absolue, ous allos ou d'abord décrre ce problème as que la soluo proposée pour le résoudre Problème de l'oreao absolue Le problème de l'oreao absolue peu êre posé comme su : Supposos que les coordoées 3D des pos q défs das l'espace caméra pusse êre recosrus physqueme (par exemple, par u scaer) ou par calcul (e ulsa la séréovso), alors pour chaque po observé, ous pouvos écrre: q = R.p T [9] + leurs ceres de gravé respecveme. O déf alors les pos: e la marce ' ' p = p p q = q q [] M = q p = ' ' d'er-covarace ere les pos { p } e les pos { } q. O démore que [Hor e al., 988] s R * e T * mmse l'équao [0] alors elles sasfero: So (, V, ) ( ) [3] R * = arg max race R M [4] R * * T = q R.p [5] U Σ la décomposo e valeurs sgulères de la marce M, el que U MV=Σ. Alors, la soluo de l'équao [0] es doée par: R * = VU [6] Noos que la raslao opmale es eèreme défe par la roao opmale e que les formaos écessares pour rouver cee roao so coeues das la marce M défe par l'équao [3]. As, seule la poso relave des pos 3D par rappor à leurs ceres de gravé es sgfcave das la déermao de la marce de roao opmale Algorhme L'algorhme IO rae le problème du recalage 3D e ulsa le veceur erreur de coléaré déf das l'espace de l'obje (cf. fgure 3.4): Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 3 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 4 Malk Mallem(UEVE/LSC

13 ( I Vˆ )(. R.p T ) e = [7] + où Vˆ es la marce de projeco de la lge de vue observée correspoda au po mˆ, elle es défe par: mˆ.mˆ Vˆ = [8] mˆ.mˆ Nous cherchos à déermer R e T qu mmse la somme des erreurs quadraques suvaes: ( )( ) I Vˆ. R.p + T E (RT, ) = e = [9] = = Noos que oues les formaos foures par les pos mage observés { mˆ } so cluses das l'esemble des marces de projeco { Vˆ }. Pusque la foco objecve E es quadraque e T, pour ue roao R doée, la valeur opmale de T peu êre calculée d'ue maère approchée par : = I Vˆ j j= j= ( Vˆ j I ) T(R).R. p j [30] Aya la raslao opmale e foco de R e e défssa: R (k + ) = arg m R.p + T Vˆ.q R = (k) = arg max r R (k) ( R M( R ) (k) où l'esemble de pos Vˆ q es cosdéré comme ue hypohèse de l'esemble de pos q de la scèe das l'équao [0]. Sous cee forme, la soluo pour R (k+) es doée par l'équao [6]. Nous calculos esue l'esmée suvae (k+) de la raslao e ulsa l'équao [30], elle que: T ( (k ) ) ( k ) + T R [34] + = [35] e ous répéos le processus. La soluo opmale R * es obeue lorsque l'équao [34]rese chagée, e d'aures ermes, lorsque R * sasfa: ( ( ) * * R.p + T R * R = arg m R.p + T Vˆ [36] R = L'avaage de ce algorhme es qu'l coverge globaleme vers l'opmum de l'équao [34]pour 'mpore quel esemble de pos observés e pour ou po de dépar R (0). La seule corae sur R (0) es qu'elle e do pas placer l'obje observé derrère la caméra (vor aexe B). Faleme, la rasformao rgde qu'a sub l'obje pour passer de sa poso ale à sa poso courae das le référeel mode es doée par: A A. A ex op = [37] = Vˆ. ( R.p + T(R) ) e q(r) = q(r ) = q(r) l'équao (3.3) peu êre réécre comme su: E ( R) = = R.p + T(R) q(r ) [3] cee équao ressemble à l'équao [9] qu déf le problème de l'oreao absolue. Malheureuseme, das ce cas o e peu pas déermer la marce R dreceme à parr R, car la marce: d'ue smple esmao de la marce d'er-covarace ere { } p e { ( )} q [3] où * * Rex Tex R T A = = ex e Aop [38] 0 0 La marce A ex représee les paramères exrsèques de la caméra qu correspode à la rasformao rgde ere le repère mode e le repère caméra. M(R) = = ' q(r).p ' où ' p = p p e ' q(r) = q(r) q(r) [33] déped de R. Cepeda, la marce R peu êre calculée éraveme comme su : premèreme, ous supposos que l'esmée d'ordre k de la marce R es R (k), ( k) ( R (k) (k) (k) (k) T = T ), e q = R.p + T. L'esmée suvae, R (k+), es déermée e résolva le problème de l'oreao absolue suva: Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 5 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 6 Malk Mallem(UEVE/LSC

14 4. Représeao formaque des doées de l'evroeme Le modèle formaque de la scèe cosue l'éléme dspesable à ou sysème d'ade à la percepo e à la commade. E effe, l perme de radure les caracérsques de la scèe sous ue forme exploable par le calculaeur. L'evroeme de éléopérao es cosué de deux ypes d'objes: les objes cous (robos, ouls, pèces à mapuler,...) e les objes o cous (obsacles,...). Cocera les objes cous, leur géomére es be défe a pror. L'opéraeur peu égrer hors lge le modèle de ces objes das la base de doées géomérques 3D (BD3D). Das le cas où la poso de l'obje de ce ype 'es pas coue a pror, ou be s'l es déplacé, l'opéraeur ulse les capeurs d'evroeme (caméra e/ou DR3D) pour mere à jour cee base de doées. Pour les objes o cous ue coopérao ere l'opéraeur huma e le sysème es éable pour cosrure le modèle formaque de la scèe. 4.. Représeao flare Le modèle " fl de fer" ("wre frame") ree de l'obje les coordoées des sommes e les arêes les joga. La fgure 4. more les ambguïés qu peuve découler de so ulsao, pusque e coassa que les arêes e les sommes, pluseurs erpréaos d'u même modèle peuve êre faes. D'aure par, les calculs géomérques (dmesos, volumes) so dffcles, vore mpossbles car les formaos cocera les surfaces des objes so exsaes. Be que rareme ulsée, cee méhode de modélsao a l'érê de permere ue créao e ue vsualsao rapde de la scèe, car elle perme ue modfcao asée des pos e des arêes. La place mémore ulsée es égaleme rès fable.?? Nous préseos brèveme les prcpales méhodes de modélsao formaque d'objes soldes. Les srucures de doées assocées so égaleme préseées as que l'orgasao des doées opologques. Nous défssos le modèle formaque comme ue représeao de l'obje compora des formaos de classe (pyramde, cyldre, corps de révoluo), de géomére (coordoées 3D, équaos,...), de opologe(les ere les élémes géomérques),... L'acquso des doées sesorelles perme de prélever l'formao du mode réel, par l'ermédare de dvers capeurs. De ces doées brues (formaos de profodeur, de lumace,...) do êre exrae ue descrpo symbolque, de plus ou mos hau veau, ulsable (po 3D, droe, pla, cyldre,...). Cee opérao de descrpo des doées percepuelles es appelée modélsao. Ces doées peuve êre orgasées sous dfférees formes appelées modèles[req 80] (fgure 4.). 4.. Représeaos surfacques Fgure 4.. Ambguïé du modèle "fl de fer" Ce modèle représee l'obje par ses bords. Le modèle le plus ulsé es la B-REP ("Boudary REPreseao" ). Les surfaces représeées peuve êre : plaes, surfaces de révoluo, surfaces super/hyper quadrques. La scèe es cosrue eracveme par assemblage de prmves géomérques de base qu so: po, segme, polygoe e polyèdre. Les lasos ere ces prmves so défes par des relaos opologques d'cdece, de coguïé e d'cluso (fgure 4.3). La prcpale méhode ulsée pour l'élaborao de polyèdre cosse à balayer u coour de base pla ou courbe le log d'ue rajecore léare, crculare ou quelcoque permea de modélser le solde U MODELES 3D Obje O Modèle "Fl de fer" Modèles surfacques Modèles volumques Par froères (B-Rep.) Eumérao spaale C.S.G correspoda. Fgure 4.3. La B-REP ("Boudary REPreseao"). Fgure 4.. Taxome des modèles 3D Tros caégores de représeao exse : flare, surfacque e volumque. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 7 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 8 Malk Mallem(UEVE/LSC

15 4.3. Représeaos volumques La représeao cosrucve sold geomery CSG : Il s'ag d'ue méhode de cosruco d'objes par l applcao d opéraos d assemblage d'où l'appellao. La cosruco de l'obje se fa par combaso de volumes élémeares. La démarche es semblable à celle de l'arsa, qu use les pèces élémeares, les assemble pour ober ue plus complexe (Fgure 4.4). Elle es décre par u arbre de cosruco où les feulles so des soldes de base e les œuds so des opéraos comme: l'uo, l'erseco, la dfférece, les rasformaos géomérques composées de raslao ou de roao. L obje es cosru à parr de prmves géomérques de base ou volumes élémeares (cube, cyldre...) auxquels so applqués les opéraeurs logques af de les assembler e de créer d'aures volumes. Les prmves géomérques de base so paramérées. Les doées caoques smples caracérse chacue des prmves (cere, rayo e haueur pour le cyldre par exemple). La lse des modèles préseée 'es pas exhausve. Les plus ulsées so la CSG e La B-REP. Pluseurs méhodes peuve êre assocées les ues aux aures: par exemple la CSG e la B-REP. La représeao CSG perme plus facleme de créer ue représeao de la scèe que la B-REP. Cee smplcé d'ulsao se fa au dérme de la rapdé d'amao de l'mage. E effe, les doées caoques smples aya serv à la représeao de la scèe e so pas ulsées dreceme par le maérel graphque. Ue coverso de ces doées e pos e segmes es écessare. De plus, le calcul des surfaces rès ules pour les applcaos de roboque, es dffcle avec la CSG, pusque les formules mahémaques de calcul de surface écesse la coassace de pos de froères. Il es cera que la dspoblé des deux méhodes es souhaable. La CSG permera la sase des doées pour la créao d'ue représeao de la scèe e la B-REP l'amao e la vsualsao. La soluo reeue es celle ulsa la B-REP, elle es plus géérale car elle perme de modélser u grad ombre d'objes e plus proche des sysèmes graphques d'où ue amao rapde de l'mage syhéque. Le bu de ce docume es de résumer les prcpales echques ulsées das la syhèse d mages e de proposer les prcpales référeces pour ue éude approfode. Le processus mea à l mage de syhèse se décompose e ros pares. La premère es la cosruco du modèle représea l uvers à vsualser. La secode esseelleme algorhmque, es celle de l roduco d u observaeur e du calcul des pares vsbles du modèle. La rosème précse les mécasmes de la vso e foco de l éclarage. Ava d aborder les dfféres chapres, la fgure llusre les srucures de doées écessares aux dfférees rasformaos de l mage. Segmeao/Régoeme Pcogramme "bmap" Tracé Doées Traeme d'mage Srucure de doées 3D Modélsao Fgure 4.5 : Trasformaos de l mage Vsualsao La modélsao bdmesoelle - Quadree Vecogramme Lssage Compresso Acquso de formes Défo Le quadree, ou arbre quaerare, es ulsé pour représeer formaqueme des objes D. A l espace cosdéré es superposée ue grlle cosuée de **q x **q cellules (q eer posf, représea la profodeur de l arbre). Les feulles de l arbre représee des pares homogèes(remples/vdes) de l espace modélsé e les œuds représee des pares mxes (parelleme remples/vdes) Exemple Das ce exemple, es représeé le quadree correspoda à u polygoe cosués par ue lse de pos coplaares, le premer po éa relé au derer, e ue lse d arêes rela les pos ere eux Les œuds du quadree so dvsés e 3 classes :. œud éreur (feulle) : représee les pos éreurs au polygoe(symbolsé par u carré or),. œud exéreur (feulle) : représee les pos apparea pas au polygoe (symbolsé par u carré blac),. œud froère : représee les cellules de la grlle qu ersece la froère du polygoe. : uo : erseco : dfférece Fgure 4.4. Représeao CSG smple 4.4 Codage des doées géomérques de l evroeme L algorhmque graphque ou syhèse d mages es ée peu de emps après l formaque. Les premers algorhmes e logcels dae de 963 (algorhme d élmao des lges cachées de L.G. Robers - logcel SKETCHPAD de I.E. Suherlad). Poura aujourd hu, cee dscple occupe ecore de ombreux chercheurs. C es dre la complexé du problème posé : fabrquer des mages, le plus proche de la réalé, ou pluô fau-l dre, de la vso humae. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 9 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 30 Malk Mallem(UEVE/LSC