Cours : Vision pour la Réalité Augmentée

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1 Table des maères MASTER : SCIENCES ET INGENIERIE MENTION : Sceces Pour l Igéeur SPECIALITE RECHERCHE : Réalé Vruelle e Sysèmes Iellges RVSI (Ex DEA RVMSC) Eablssemes co hablés INT Isu Naoal des Télécommucaos IIE-CNAM Isu d'iformaque d'ereprse ENSMP Ecole Naoale Supéreure Des Mes de Pars Cours : Vso pour la Réalé Augmeée.Doées de l evroeme Relevé 3D e lge Modélsao de prsme symérque Modélsao de cyldre Modélsao d'objes à symére de révoluo Recosruco 3D: Mse à jour de la représeao formaque de l'evroeme Iroduco Le problème Méhode géomérque des 3 segmes Méhode léare à pe mouveme Méhode o-léare Méhode employée (Mxe) Méhode de l érao orhogoale Défo du problème Algorhme d'érao orhogoale (IO) Problème de l'oreao absolue Algorhme Représeao formaque des doées de l'evroeme Représeao flare Représeaos surfacques Représeaos volumques Codage des doées géomérques de l evroeme Appareme d'ue mage D avec so modèle 3D Bref éa de l'ar Appareme D/3D polyédrque basée sur lasos Appareme D/3D polyédrque Traeme e Modélsao de l mage D Cosruco des graphes d aspecs pour polyèdre Méhodes basées sur le graphe d appareme e sur le hachage géomérque Méhode basée sur la phooclomére Méhode basée sur la clomére Cocluso... BIBLIOGRAPHIE... 6 Malk Mallem (UEVE/LSC) Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC

2 L'dée orgale pour oues ces méhodes, cosse à ulser u capeur mxe cosué par ue caméra e u DR3D(Dsposf de Relevé 3D). Le DR3D(Fgure. ) es cosué d u élémère laser, de mesure de emps de vol, moé sur ue ourelle à degrés de lberé(se e azmu). Modélsao d evroeme 3D La modélsao 3D de l evroeme es dspesable pour la réalsao de âches de Téléroboque. L accomplsseme de cee modélsao écesse de répodre à 4 quesos :. quelles doées perees exrare de l evroeme?. comme les exrare? 3. comme les maer à jour? 4. comme les représeer das le calculaeur? 5. comme les recoaîre das le calculaeur à parr de leur mage caméra. Des élémes de répose à ces dfférees quesos so fours respecveme das les paragraphes suvas. Ecra m + u v (Re) DR3D: Télémère Tourelle (Rm) Caméra (R) (Rr) Θχ Θγ (Rc) ρ M /Ro + Xo Yo Zo (Ro).Doées de l evroeme Les doées perees à exrare de l evroeme so lées à la âche à réalser. L'evroeme de éléroboque es cosué de deux ypes d'objes: les objes cous (robos, ouls, pèces à mapuler,...) e les objes o cous (obsacles,...). Les doées géomérques cocera les obsacles so suffsaes pour ue plafcao de rajecore du robo af d éver ceux-c. E revache, des doées cémaques ou dyamques des objes à mapuler peuve êre dspesables pour réalser des âches de mapulao. Das ce chapre, ous décrvos des procédés de relevé 3D e de mse à jour de ces doées. Les objes modélsés so gééraleme polyédrques. Leurs doées so sases, so hors lge par ue méhode de ype CAO, so e lge par des méhodes de modélsao ulsa des capeurs els que caméra e élémère. Ces doées cocere la froère de l obje représeé pas ses faces, arêes e sommes cous das u repère de raval. Ces doées serve à la créao d'u modèle géomérque de l evroeme.. Relevé 3D e lge Ce paragraphe répod à la queso «Comme exrare les doées 3D des objes de l evroeme?» La modélsao géomérque 3D d'objes écesse l'ulsao d u dsposf de relevé 3D. Celu-c peu êre cosué par ue caméra moble, de deux vore ros caméras, de élémère déposé sur u suppor roaf ou à ragulao. Des ravaux cocera la vso mooculare dyamque pour la modélsao d'obje de révoluo so décrs das [DHO 90], [SAY 96]. D aures cocera la vso séréoscopque vore roculare so ombreux [FAU 93], [AYA 9]. Ceux cocera la modélsao d'mages de profodeur le so mos : Ils pore sur de relevé 3D élémèrque par balayage de roues [TRA 93], sur le relevé 3D d'objes e ulsa u élémère à emps de vol moé sur u dsposf roaf [COL 94], sur la modélsao de polyèdres e ulsa u élémère à ragulao. Les doées foures, par pluseurs pos de vue de l'obje à modélser, so fusoées af d'ober les sommes e les arêes de l'obje[bad 94]. Neveu e al [NEV 95], Sola e al [SOL 94] o préseé ue modélsao par des superquadrques de la surface d'objes de forme courbe e présea ue symére. Kumar e al [KUM 95] o ravallé sur la modélsao par des hyperquadrques de la surface d'objes, de forme courbe o forcéme symérque, e ulsa des doées élémérques. Das cee pare, des méhodes de modélsao de volumes eglobas d objes polyédrques e cyldrques, présea ue symére, so préseées e ulsa dfféres ypes de capeurs 3D. Cee modélsao es réalsée éracveme avec la coopérao de l'opéraeur qu dque la classe d obje à modélser e élécommade les capeurs af de réalser le relevé 3D écessare au calcul des dmesos e l aude spaale de l obje. Tros classes d objes so cosdérées : celle des prsmes symérques (paralléléppède, pyramdes roquées, pyramdes, ), celle des cyldres (cyldres, côes roqués, côes) e celle des objes à symére de révoluo, à axe dro, 'apparea pas aux deux caégores précédees e à géérarce o forcéme reclge. Rm: Repère lé à la ourelle R: Repère du élémère Rc: Repère de la caméra Ro: Repère global Re: Repère de vsualsao (Xo, Y o, Z o) = f DR3D ( Θχ, Θγ, ρ) (u,v) = f camera ( X o, Y o, Z o) Fgure.. DR3D(Dsposf de Relevé 3D) L mage caméra ser à posoer l'obje das ue pyramde fe aya pour somme le cere opque de la caméra. Le DR3D four l'formao de profodeur qu perme de suer l obje das la pyramde. Des méhodes, de relevé 3D, pour chacue des classes des prmves so décres. Auparava, ous préseos la oo de pla d erpréao dspesable pour la compréheso de ces méhodes. Le pla d erpréao es déf à l ade du modèle de la caméra (modèle du séopé, cf chapre calbrao de capeurs). Il exprme la relao ere u segme de droe réel, sa projeco das le pla mage e le cere opque de la caméra (Fgure. ). C cere de la caméra pla focal p v p pla d erpréao Fgure.. Pla d erpréao So V r le veceur assocé à u segme de droe réel, v r so mage e C le cere opque de la caméra déermé lors de la calbrao de la caméra. Le pla d erpréao es calculé à parr du veceur v r e du po C, N r éa sa ormale. Il coe égaleme le veceur réel V r. N V Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 3 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 4 Malk Mallem(UEVE/LSC

3 .. Modélsao de prsme symérque Pour u prsme symérque, le relevé 3D de deux faces suff pour le modélser. Ue face exrême de prcpale e ue des faces laérales de secodare so ulsées. Les faces choses so celles pour lesquelles les mesures élémèrques so les melleures e qu so vues smulaéme par la caméra e par le élémère. L mage caméra e le modèle géomérque verse de celle-c permee de déermer les plas ages (plas d'erpréao) aux coours de chacue des deux faces -u pla d'erpréao es u pla qu passe par ue arêe de l'obje e le cere opque de la caméra -. Ces plas permee de défr ue pyramde fe aya pour somme le cere opque de la caméra. Le élémère perme de déermer l'équao du pla poreur de la face. L'erseco ere la pyramde e le pla poreur de la face perme de défr le coour de celle-c. Le volume egloba es esue gééré e raslaa la face prcpale selo u veceur aya ue exrémé commue avec la face secodare. La Fgure. 3 représee les plas d erpréao P (=..4) qu so déermés grâce aux mages des arêes AB, BC, CD e DA, correspodaes à ue face d u prsme vu smulaéme par la caméra e par le DR3D. Le DR3D perme de relever u esemble de pos 3D apparea à la surface à modélser. La modélsao précédee es réérée sur la surface secodare (Fgure. 3), qu do égaleme êre vue par la caméra e le DR3D smulaéme. Des coraes ype po commu/arêe commue (Fgure. 3) avec la face préalableme modélsée so prses e compe pour le calcul de la ouvelle face. Le volume egloba l obje es calculé par la raslao de la face prcpale selo u veceur déf par la face secodare. Ce sysème perme de calculer le pla poreur d ue face... Modélsao de cyldre Das cee pare so préseées dfférees méhodes employées pour la déermao des caracérsques d'ue prmve cyldrque observée à l'ade d'ue caméra e du DR3D. Pour chaque méhode ous déermos la poso de l'axe de la prmve cyldrque e so rayo. La défo des dfféres plas d'erpréao es llusrée (Fgure. 4). La caméra perme de défr l'équao des deux plas d'erpréao Pc e Pc relafs aux géérarces du cyldre. E ea compe de l'aude du cyldre (vercal, horzoal ou clé) ous effecuos avec le DR3D deux balayages à deux veaux dfféres. A l'ade des pos, obeus après balayage, o déerme l'équao d'u pla froal Pl3 age au cyldre. Compe eu du damère du fasceau laser, le profl du cyldre relevé e correspod pas au profl exac (Fgure. 5). Cepeda o peu déecer les exrêmes. Chaque balayage perme d'ober les coordoées des pos laéraux e de déermer les plas Pl e Pl (Fgure. 4). Pour la défo du pla Pl3, o cosdère deux droes agees au cyldre. Chaque balayage perme de défr ue droe. Pour chaque droe, o e cosdère qu'u ombre rédu de pos (Fgure. 5). po commu surface prcpale largeur B A E y C haueur z F logueur RO o x cere de la D caméra surface secodare P l cere du élémère Fgure. 3. Modélsao 3D de polyèdre Pour ue face qu 'es pas parallèle à l'axe des z, le coeffce dreceur suva z es oujours dffére de zéro, doc ue ormalsao es possble. C (Caméra) TL (Télémère Laser) m Rc C P l3 P c P c P l l'équao du pla deve alors: a x + b y + z + d = 0 Fgure. 4. Défo des dfféres plas d'erpréao Pour pos, o obe équaos qu peuve êre mses sous la forme marcelle: A X = B avec : x y z... a. A = x y X = b B = z... d. x y z Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 5 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 6 Malk Mallem(UEVE/LSC

4 x c x = zc R c a c a + b + c A = a c a + b + c a3 c3 a3 + b3 + c 3 by e B = by by d d d c c 3 c 3 z (m) dreco de mesure du élémère laser x (m) pos selecoés pour Pl3 Pos selecoés pour Pl e Pl Le sysème peu alors s'écrre: AX = B Que l'o résoud alors par ue méhode ype modres carrés. ( ) X = A A A B La soluo exprma X perme de défr les coues xc, zc, Rc. O procède de la même maère avec le deuxème po C e o déerme alors les coues xc, zc, Rc avec c y c fxé. As les coordoées des pos ( x, y, z ) e ( x y z ) du cyldre. c c c,, permee de déermer l'équao de l'axe c c c Fgure. 5. Profl d'u cyldre La haueur du cyldre es déermée e ulsa les plas Pc3, Pc4 e Pl3. Les dfféres plas d'erpréao éa défs, ous décrvos ros méhodes de modélsao de cyldre as que les résulas des expéreces d'évaluao meées.... Coopérao caméra/dr3d: plas ages Das cee approche les plas Pc, Pc e Pl3 (Fgure. 5.), qu cosue ros plas dscs ages au cyldre, so ulsés af de calculer deux pos C e C se rouva sur l'axe du cyldre e qu so équdsas à ces ros plas. Les deux aludes de C e C so coues e correspode à celles des balayages élémèrques. Pour chaque balayage, les projecos orhogoales de C j (j=,) sur les plas Pc, Pc e Pl3 so calculées. Ces plas so défs par les équaos suvaes: ( P : a x b y + c z + d = 0, =..3) + Ces P correspode au pla Pc, Pc e Pl3 U premer groupe de ros relaos perme d'exprmer que C j es à la dsace R cj de ces ros plas: a x + b y + c z + d cj a cj cj + b + c = R cj avec = 3,, e j=,. les coues so c x cj, z cj, Rcj ue des coordoées peu êre fxée a pror: y cj par exemple (das le cas d'u balayage horzoal avec le élémère); das le cas d'u balayage vercal le paramère fxé es x cj. La valeur absolue es levée e calcula l'oreao du veceur ormal au pla P. Le sge de la projeco de C j sur Pl3 es l'opposé du sge de la projeco du po TL (cou), cere du élémère, sur Pl3. Le sge de la projeco de C j sur Pc ou Pc es le même que le sge de la projeco d'u po m, po doé par le balayage, sur Pc ou Pc (Fgure. 4). E posa: Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 7 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 8 Malk Mallem(UEVE/LSC

5 y P C3 P C C O x z P C4 Cere opque Fgure. 5. Méhode des ros plas ages sur deux aludes dfférees Pour cee approche so ulsés deux plas laéraux ages au cyldre e défs par la caméra e u pla facal age au cyldre e déf par le élémère. Ue expérece a éé réalsée avec u cyldre dro do les caracérsques so les suvaes [NZI 95]: Damère : 0. cm, haueur : 5.6 cm Cee approche perme d'ober des erreurs féreures, sur le rayo à %, la haueur à e la profodeur à sur ue dsace obje-capeur de m à.6m. Le emps de modélsao es féreur à 0 secodes.... Télémère seul: plas ages B P l3 Cee approche s'apparee à la précédee, la résoluo es deque. Cepeda, la déermao de l'axe du cyldre s'appue désormas sur des plas ages Pl, Pl e Pl3 doés par le DR3D (Fgure. 4). Cee approche es deque à la précédee. La déermao de l'axe du cyldre s'appue sur ros plas qu lu so ages. Ces plas so obeus à l'ade des mesures doées par le élémère. Les erreurs sur le rayo e sur la haueur so du même ordre de gradeur que pour la méhode précédee. Par core les erreurs sur la profodeur so plus grades, féreures à Le balayage écesse u emps plus mpora ( à 4 mues) ce qu augmee cosdérableme le emps pour la modélsao. C C R C D RC D A D c D D c P C Fgure. 7. Plas bsseceurs de la caméra e du élémère Les plas, P l e P l éa obeus par balayage élémèrque, le emps de modélsao es de l'ordre de à 3m. Les erreurs sur le rayo e sur la haueur so du même ordre que les deux précédees méhodes. Les erreurs sur la profodeur so féreures à.5%. Cepeda l'erreur e profodeur augmee cosdérableme quad la dsace capeur-obje augmee. La méhode des plas ages (caméra + élémère) es la plus rapde e emps de modélsao (mos de 0s).C'es auss la plus précse pour des dsaces de.4m à.6m. Pour la méhode basée sur les plas bsseceurs, l'erreur e profodeur augmee rapdeme avec la dsace capeur-obje. E effe, plus l'obje es élogé, plus l'agle ere les deux plas bsseceurs es fable. Ue erreur sur la déermao d'u pla se radu par ue erreur mporae sur la poso de l'erseco de ces plas..3. Modélsao d'objes à symére de révoluo La modélsao d'objes à symére de révoluo es basée sur l ulsao des courbes B-Sple. Elle es applcable à des objes d'axe dro. Le prcpe de modélsao cosse à représeer ue pare du coour du bord de l'obje appelé coour de base (Fgure. 8), par ue courbe B-sple, e à effecuer u balayage rooïde de celu-c auour de l'axe af de géérer le corps de révoluo. Nous commeços par décrre les doées écessares à cee modélsao ava d explquer la méhode mahémaque..3.. Doées de modélsao Des pos caracérsques(crox sur la Fgure. 8) du coour de base de l'obje so désgés sur l'mage caméra de celu-c. L'axe es cou, l peu êre calculé par la méhode décre das le Méhode de modélsao La courbe B-sple es calculée pour le coour de base. La déermao des coordoées 3D des pos du coour de base es possble car ceux-c so sués sur la bordure vsble de l'obje, e qu'ls so coplaares avec l'axe. Aux pos obeus so alors applquées des roaos auour de l'axe. C-dessous u exemple de résula obeu :..3. Coopérao caméra élémère: plas bsseceurs Les plas d'erpréao, P c e P c, fours par la caméra permee de défr l'équao du pla bsseceur P mc. Les plas d'erpréao doés par le DR3D P l e P l permee de défr le pla bsseceur P ml. La déermao de l'équao de l'axe du cyldre es alors obeue par l'erseco des deux plas bsseceurs P mc e P ml (Fgure. 7). Pl Pc C C Pml Pmc Pl TL Fgure. 8. Exemple de modélsao d'ue bouelle Pc Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 9 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 0 Malk Mallem(UEVE/LSC

6 Nous préseos la méhode de géérao de la courbe représea la coour de base, as que la méhode de cosruco du volume egloba l obje de révoluo : Géérao des courbes : La géérao des courbes se fa par la méhode des B-Sple, leur formalsme mahémaque es décr das l aexe. Géérao du volume egloba : Af de géérer le volume egloba l obje de révoluo, l es écessare de calculer les coordoées 3D du coour de base e ceux des courbes eveloppes. Déermao des coordoées 3D des pos du coour de base : O sa que les pos du coour de base so sués sur la bordure vsble de l'obje, e ce obje es à symére de révoluo, doc ls so clus das u pla P, qu coe d'ue par l'axe de révoluo A r, e d'aure par u veceur V parallèle au pla mage de la caméra. Ce d veceur es déf par : r r r V = I A où I r es la ormale au pla mage de la caméra, e x le produ vecorel. r r r As, o coaî le veceur ormal au pla P ( N = A V ), o coaî u po de ce pla(ue des exrémés du segme forma l'axe), o peu doc calculer les coordoées 3D des pos du coour de base. l es plus judceux de calculer la rasformao sube par les objes qu o chagé de place. C es l obje du procha paragraphe. Cocluso Les méhodes de modélsao 3D de volumes eglobas préseées so basées sur l ulsao des capeurs. Cee modélsao perme d rodure des objes o préalableme modélsés das la base de doées. Ce ajou e lge d obje perme à la âche effecuée par le robo de se poursuvre. Ces méhodes o perms égaleme d'évaluer la précso du relevé 3D basé sur l'ulsao de dfférees combasos de capeurs. Par alleurs, la coassace de la géomére des objes perme de remere à jour celle-c s ceux-c chage de suao. Nous avos préseé quelques méhodes de recosruco 3D représeaves de l éa de l ar. E effe, ous avos préseé ue méhode géomérque, ue secode résoluo valable pour les fables mouvemes, ce qu perme de léarser le problème e d'rodure des formaos redodaes, ue rosème umérque valable quelque so le mouveme subs par l obje e ue derère mxe. Soe x e y les coordoées d'u po sur l'mage vdéo, correspoda à u po X du coour de base, N : le veceur ormal au pla coea le coour de base, e P r u veceur coea les coordoées d'u po apparea à ce pla. Le po X apparea à ce pla, d'où (e oaos algébrques) : r r r r N. X = N. P D'aure par, soe C e D deux pos du rayo opque (C : cere opque de la caméra) passa par X, alors : r X = C + λcd ou λ es ue coue e CD le veceur dreceur du rayo opque. D'où : r r r r O obe alors X. λ = N. P N. C r r N. CD Déermao des courbes eveloppes: Pour calculer l'mage X' d'u po X, du coour de base, par la roao d'agle θ auour d'u axe drgé par u veceur A r, o calcule la marce de passage P du repère de raval à u repère orhoormé do A r es l'axe des abscsses, o a alors : X ' ro r ( X ) = P. R. P. X A =, θ où R es la roao d'agle θ auour de A r. Cee méhode présee l'avaage de e écesser aucu appareme. E revache, l'acquso des pos caracérsques de l'axe de roao es coragae. Cee approche de modélsao des corps de révoluo es ue ère ébauche d'u raval qu do se poursuvre af de permere ue modélsao plus précse e plus rapde. Ue fos les objes de l evroeme modélsés, les doées les représea so égrées das ue srucure de doées formaque. S ces objes chage de place, leurs doées écesse ue mse à jour. Au leu de refare ue modélsao qu es coûeuse e emps comme ous l avos vu das le paragraphe précéde, Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC

7 3. Recosruco 3D: Mse à jour de la représeao formaque de l'evroeme Ce paragraphe répod à la queso : "comme mere à jour les doées 3D des objes?" 3.. Iroduco La recosruco 3D es basée sur la déermao des rasformaos géomérques rgdes qu permee d'ober la ouvelle suao de l'obje das l'espace. L'obeo de celle-c perme d effecuer u recalage de l'obje, c'es à dre la mse e correspodace de ses représeaos réelle e vruelle. Les doées 3D de la suao aéreure de l obje à recaler as que ses doées D (exraes de l mage caméra) de la poso courae so supposées coues. L approche de recosruco 3D décre es basée sur la déermao des rasformaos géomérques rgdes qu permee d'ober la ouvelle suao de l'obje das l'espace. L'obeo de celle-c perme d effecuer u recalage de l'obje, c'es à dre la mse e correspodace de ses représeaos réelle e vruelle. O dsgue deux ypes de recalages qu dépede de l'ampleur du mouveme : - recalage à grade amplude das le cas de grad mouveme, - recalage à fable amplude ou f pour pe mouveme. Ces deux ypes de recalages so applcables successveme à u obje. Deux cas de fgure peuve se préseer: Le cas de la créao de l'obje, cee créao peu se fare de deux maères: -les dmesos de l'obje so fours par l'opéraeur, das ce cas e gééral, l'écar ere la représeao graphque obeue de l'obje e sa représeao réelle peu êre mpora. - les coordoées de l'obje so foures par les capeurs, das ce cas l'écar ere la représeao graphque obeue de l'obje e sa représeao réelle es gééraleme fable. Das ce cas ous 'applquos qu'u recalage f. Le cas de la modfcao de l'evroeme. L'obje éa modélsé e ses coordoées 3D égrées das la base de doées. Il s'ag de rerouver sa ouvelle suao e applqua le recalage. Das le cas d'ue ade à la commade (exemple d'ue réalsao de âche), l fau permere au robo de mapuler correceme les objes préses das so evroeme; pour cela l es dspesable de be suer ces objes par rappor à u repère de référece. Egaleme das le cas d'ue asssace à la percepo de la scèe e vso drece, o superpose au mode réel u mode vruel grâce à la base de doées géomérques 3D des objes de l'evroeme. Doc s la suao du mode réel chage, les modes réel e vruel e so plus superposés; l faudra alors procéder à u recalage. Nous préseos u éa de l'ar coea les prcpaux ravaux pora sur la recosruco 3D polyédrque. Deux approches so ulsées pour la recosruco 3D polyédrque: - Ue approche umérque basée sur l'ulsao d'u ombre mpora de doées ou e chercha à opmser u crère de mse e correspodace du modèle de l'obje avec so mage. Les méhodes correspodaes so cées das [HOR 93]. - Ue approche aalyque basée sur la résoluo d'équaos permea d'ober la ouvelle suao de l'obje géomérqueme[dho 89]. Gaapahy [GAN 84] cosdère smpleme les eufs composaes de la marce de roao de maère dépedae. Le sysème éa léare, l es facle à résoudre. Cepeda, aucue corae d'orhogoalé 'es applquée à la marce de roao, de plus cee méhode es exrêmeme sesble au bru. Lowe [LOW 87] a proposé ue méhode érave fourssa ue soluo uque e mapula u rple de segmes de droe. Celle-c es obeue e opmsa, par la méhode de Newo, d'u crère d'erreur quadraque. Celu-c es cosuée par la somme des carrés des dsaces ere chaque projeco d'u segme e de so correspoda das l'mage. L'opmsao pose des problèmes de mma locaux e d'alsao des paramères à esmer. Yua [YUA 89] a séparé la roao de la raslao e a proposé de déermer la roao e ea compe des coraes d'orhogoalé de la marce de roao. La soluo commue à ces coraes es obeue e ulsa la méhode de Newo. L'aueur a oé que des mma locaux peuve êre rouvés avec cee méhode. Le mmum global peu êre ae s o four ue alsao proche de la soluo. Dhome[DHO 89] a proposé ue méhode géomérque basée sur l'ulsao d'u rple de segmes de droe. Cee méhode ulse des repères ermédares permea de smplfer le calcul de la roao. Des règles so ulsées pour rédure le ombre de soluos. Horaud [HOR 93] a proposé ue méhode qu mmse u crère basé sur l'ulsao du formalsme N.R.V décr das le 3.. La roao es représeée par les quaeros uares. L'opmsao ulse l'algorhme de la régo de coface. Il s'avère que l'algorhme es rès rapde quad l coverge, mas qu'l fau l'alser avec de boes codos ales pour ober le résula aedu. Ce algorhme semble avor ue boe robusesse au bru. Nous allos décrre quare méhodes de recosruco 3D représeave de l'éa de l'ar : La ere es géomérque qu cosse à fare u chox judceux de repères af de smplfer les calculs de la rasformao rgde. Elle basée sur la méhode de Dhome [DHO 89] ( 3.3). Cee méhode peu êre ulsée uqueme pour les objes polyédrques. La de es umérque es basée sur la dérvao du modèle de la caméra. Cee méhode es valable uqueme pour les fables mouvemes de l obje( 3.4.). La 3 ème es umérque, elle es valable quelque so l amplude du mouveme subs par l obje ( 3.5.). La 4 eme es mxe( 3.5.). Ava de décrre ces méhodes, ous rappelos le prcpe de la recosruco 3D basée sur les plas d'erpréao. 3. Le problème R c pla mage R m poso courae Fgure 3.. Recosruco 3D poso ale L'objecf de la recosruco polyédrque 3D es de rerouver la roao e la raslao subes par u obje das l'espace (Fgure 3..). La suao ale de l'obje es exprmée das (Ro). Il s'ag de calculer R e T, c'es à dre la suao de (Rm)/(Ro) e doc la ouvelle suao de l'obje. Toues les méhodes de localsao rdmesoelle repose sur des bases mahémaques commues exploa des dces vsuels D provea de la caméra. Parm ous les dces vsuels, les droes so facleme exracbles, ce so de plus des dces robuses. C'es la raso pour laquelle ce so les plus ulsés. La caméra éa cosdérée calbrée, o coaî doc la correspodace ere les pos das l'espace e leurs projecos sur le pla rée. Le veceur 3D, V r ' (Fgure 3.) doe le veceur v r ' par projeco perspecve de cere C sur le pla rée. A l'ade des coordoées D, o déf le pla d'erpréao qu passe par le veceur v r ' e le cere opque C. Ce pla coe égaleme le veceur V r ' de l'espace, N r éa la ormale à ce pla. R,T R o Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 3 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 4 Malk Mallem(UEVE/LSC

8 Rc y N PLa d'erpréao v' m' V' M' R,T M V es, gééraleme, la somme des carrés des dsaces ere chaque projeco d'u po (ou d'ue arêe) e de so correspoda(e) das l'mage. L'covée majeur de cee approche es la leeur de covergece des algorhmes d'opmsao. Ue soluo aalyque es préseée das le paragraphe suva. 3.3 Méhode géomérque des 3 segmes x C z Veceur de l'obje ava La roao e la raslao Pla mage Fgure 3.. Formalsme N.R.V La déermao drece de l'oreao de (Rm)/(Ro) es complexe car elle fa erver ros agles. Af de smplfer les calculs, ue approche aalyque préseée das [DHO 89] cosse à rodure des repères ermédares permea de e fare erver que deux agles. La localsao fa erver ros repères prcpaux (Fgure 3.. ) (Rc) repère lé à la caméra. (Rm) repère lé à l'obje représea la poso courae. (Ro) repère de raval, représee (Rm) à l'sa al. Localser l'obje évolua das so evroeme reve à déermer la poso de (Rm) par rappor à (Ro). Les repères (Rc) e (Ro) so cous l'u par rappor à l'aure. O supposera par la sue pour smplfer les expressos, mas sas re elever à la gééralé du problème, que (Ro) es cofodu avec (Rc). L'esmao de la rasformao amea (Rm) à (Ro) reve à déermer ue roao R e ue raslao T. O peu alors coaîre les coordoées de l'obje das le repère (Ro) doc das (Rc). O a as pour ou po M e pour ou veceur V r de l'obje exprmés das (Rm), leurs expressos respecves M /Rc e V r /Rc das (Rc) : M /Rc = T + RM /Rm [ ] V r /Rc = RVr /Rm [ ] Soe ros arêes L =,,3 de l obje défs das (Rm), e leurs mages l =,,3 défes das (Rc). L'objecf es de déermer la roao R e la raslao T à applquer à L af que leurs mages se projee sur les droes suppors de l (Fgure 3.3). Le prcpe es de résoudre les deux équaos [ 5]e [ 6]. Les dfféres repères ms e jeu so : - (Ro) repère de raval (repère obje). - (Rc) repère de la caméra. - (Rm) repère lé à l'obje e qu sub doc le même mouveme que l'obje. Das la poso ale de l'obje, le repère (Rm) es le même que le repère (Ro). - (Rm) repère déf à parr des arêes 3D de l'obje coura. - (Rc) repère déf à parr des dces vsuels D de l'obje coura. A parr de ces relaos, o peu poser les équaos de base de la localsao. Pour u veceur 3D, o assoce so projeé v r ' e la ormale N r au pla d'erpréao o a : ' N. V = 0 [ 3] N. CM ' = 0 [ 4] V r ', auquel Les veceurs préses das ces deux relaos so exprmés das ue même base. Comme les expressos so doées das (Rc), repère de cere C; e ea compe des équaos [ ] e [ ] o obe: N.(RV ) = 0 [ 5] N.(T+RM) = 0 [ 6] V es u veceur rela deux pos de l'obje e exprmé das (Rm) (cou), M es u po de l'obje exprmé das (Rm) (cou). Le problème es doc le suva: éa doé u esemble de pos 3D décrs das u référeel 3D "Obje" e leurs projecos D décres das u référeel "caméra". S o coaî les paramères de la caméra, l fau déermer la rasformao rgde (roao e raslao) ere le référeel obje à u sa doé e le référeel caméra. Les soluos proposées peuve se regrouper e deux caégores: Ue soluo umérque, Le sysème d'équao à résoudre es o léare. Ce ype d'approche perme de er compe des doées redodaes obeues quad le ombre de pos de correspodace es grad. Ces méhodes umérques so basées sur la résoluo des équaos [ 5] e [ 6] e mmsa u crère d'erreur qu Les marces de passage suvaes so défes : - Roc marce de passage de (Ro) à (R c). - Rmm marce de passage de (Rm) à (Rm). - Rcm marce de passage du repère (R c) à (Rm). - R, T marces de roao e de raslao qu permee de passer de (Ro) à (Rm). z y R c x l pla mage l l 3 y pla mage y x La roao R cherchée deve ue composo de marces de passage : R c x z L R = Roc Rcm Rmm [ 7] z L L 3 R m z z y R m R,T? y R o x x L 0 L 0 L 30 Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 5 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 6 Malk Mallem(UEVE/LSC

9 La roao R coe ros varables (les ros agles d'euler), doc e prcpe elle peu êre rouvée avec ros veceurs 3D dfféres e leurs mages. L dée de la méhode des ros segmes es de chosr les deux repères Rc e Rm de elle faço qu'ls ae chacu u axe das le même pla qu es le pla d'erpréao de l'ue des arêes. As le passage de Rc à Rm se fa seuleme par deux roaos. où : 0 X ( r ) = rz ry rz 0 rx ry rx rx es la marce du pré-produ vecorel, avec r = ry 0 rz Le développeme des équaos [ 5]e [ 6] abou à u polyôme de degré 8, auquel peu êre Fgure 3.3. Les dfféres repères ms e jeu applqué ue méhode umérque basée sur le calcul de valeurs propres de la marce "compago" cosrue à parr du polyôme [NZI 95]. Les agles α e β qu caracérse la marce Rcm so obeus. La roao R sube par l'obje es esue calculée par l équao [ 7]. Ue fos la roao obeue, la raslao es dédue avec égaleme ros pos apparea aux segmes 3D e leur mages. 3 pos forma ros segmes so ulsés pour applquer la méhode. Af d'amélorer les résulas obeues par cee premère résoluo valable das le cas gééral, ue secode résoluo valable pour les fables mouvemes peu êre applquée, cec perme de léarser le problème e d'rodure des formaos redodaes Méhode léare à pe mouveme L objecf es d'affer le recalage à grade amplude, à l'ade d'ue méhode de recosruco applquée aux pees roaos, pour rédure les erreurs [NZI 97]. Le veceur saaé de roao ulsé, esue la méhode de calcul de R e T so défs. Cee représeao possède l'avaage de l'erpréao physque que l'o peu e fare : le mouveme d'u solde se décompose e ue raslao de so cere de gravé e e ue roao auour d'u axe de veceur dreceur r. DETERMINATION DE R ET T So V r le veceur dreceur d ue arêe d u polyèdre subssa ue légère déplaceme. Le même veceur après déplaceme V r ' peu s écrre : V r ' = V r +dv r avec : dv r = R r V r R r éa le veceur saaé de roao, l'écrure de cee équao reve à assmler l'arc ssu de la roao à la agee (Fgure 3.4). Pour u po P, ces expressos devee : R r r VECTEUR INSTANTANE DE ROTATION Ue roao quelcoque peu êre représeée par ros agles θx, θy, θz déommés agles auques. Chacu de ces agles quafe la roao auour d'u axe d'u repère doé. L'avaage de ce formalsme es qu'l représee dreceme la commade de l'arculao d u robo. L'covée es que le produ de ces ros roaos 'es pas commuaf, l'ordre das lequel s'effecue ces roaos flue sur la roao fale. Egaleme, l présee pour le problème verse pluseurs soluos e quelques posos sgulères Ue aure faço d'exprmer ue roao es d'ulser le veceur saaé de roao do : - la dreco es celle de la roao, - la orme es l'agle de cee roao r r Ce veceur s exprme par : R θ. veceur R r es la suvae R r = où r es u veceur uare. La marce de roao ( r,θ ) r R r ( r, θ ) = I + s( θ ) X ( r ) + ( cos( θ ))( X ( r ) 3 ) r assocée au z y V r R o x V r θ Fgure 3.4. Approxmao des pes agles dp = T + R P U po P e so mage (u,v) das la caméra so lés par le rayo vsuel : u. P + au = 0 v. P + av = 0 qu doe après dérvao (cas de pes déplaceme : e roao e raslao) : [ 8] r r r dv = R V Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 7 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 8 Malk Mallem(UEVE/LSC

10 du. P + u. dp + dau = 0 dv. P + v. dp + dav = 0 dp es doé par l'équao [3.7]e e ulsa ue propréé du produ mxe de ros veceurs, j, k quelcoques :.( jλ k) = j.( kλ) ces deux équaos so écres de la maère suvae : u. T + ( P u). R + du. P + dau = 0 [ 9] v. T + ( P v). R + dv. P + dav = 0 Chaque po 3D P(x,y,z) aya sub ue roao R e ue raslao T, es projeé sur l mage pour ober ses esmés (cf. chapre calbrao de caméra) : s.ˆ u s.ˆ v = C s 3x4. 0 R 3x3 0 x T 3x y 0 z Le veceur de paramères à esmer p r es cosué des paramères de roao e de raslao. qu peu se mere sous la forme: AX= B Rx a avec : X=(a, b, c, Rx, Ry, Rz) où R = Ry e T = b so les cous Rz c La résoluo de ce sysème léare perme de déermer R e T. Pour ober les 6 coues u mmum de =3 pos es écessare. Ces ros pos dove avor des mages dsces e o algées. Le sysème peu êre résolu par ue méhode de ype modres carrés lorsque >3. Ce recalage d de pe déplaceme perme as de rédure les erreurs obeues sur la méhode de recalage pour les grads mouvemes (roao de : 0 à π e raslao quelcoque) e peu êre érer Méhode o-léare La méhode précédee a résolu le problème de recalage au vosage de l opmum. E supposa u pe mouveme, les équaos o-léares du problème o abou à u sysème léare grâce au veceur de roao. L évaluao de cee méhode more qu elle e coverge pas das ous les cas. Pour évaluer la covergece e la précso de cee méhode, ous la comparos avec ue méhode o-léare e fasa aucue smplfcao du problème. La méhode o-léare résou la roao e la raslao e mmsa u crère d erreur, celu-c es exprmé par la formule suvae : Crère = M N ( uˆ u ) + ( vˆ v ) ) = Où : N es le ombre de pos d appareme, u, v ) les coordoées d'u po mage, ( ( [ 0] u ˆ, vˆ ) esmés des coordoées du po de l obje après projeco sur le pla mage ( L applcao d ue méhode umérque au crère [ 0]perme d defer les paramères recherchés à parr des pos 3D e de leurs mages D. La méhode d opmsao de Leveberg-Marquard[Numercal recpes] es ulsée, car so coeffce de réglage λ perme d éver les mma locaux. Ue boe alsao du veceur de paramères es écessare pour assurer la covergece de l algorhme. La méhode des ros segmes es ulsée, là ecore, pour doer ue boe alsao à cee méhode. A chaque érao de l algorhme, les quaeros so calculés à parr de la marce de roao courae e par coséque le veceur p r coura. Ue ouvelle esmao de p r es four par l algorhme. L algorhme s arrêe lorsque le crère d erreur deve suffsamme pe Méhode employée (Mxe) L évaluao des ros méhodes de recalage éudées c-dessus [SHA 99], a perms d adoper la méhode mxe. Celle-c ulse les ros méhodes pour assurer la covergece vers l opmum quasme das ous les cas. E fa, les méhodes léare e o-léare écesse ue boe alsao corareme à la méhode des 3 segmes. E revache, Elles doe oues les deux ue melleure précso que cee derère. Nous ulsos alors la méhode des ros segmes qu doe ue soluo approxmave pour alser les deux aures méhodes. E a que précso, la méhode léare es melleure que la o-léare, car elle doe ue soluo aalyque opmale das le ses du crère, ads que l aure coverge souve vers des mma locaux. Par alleurs la méhode léare représee des posos sgulères que la méhode o-léare e sub pas. Voc l algorhme qu décr la méhode mxe : Applquer la méhode des ros segmes pour ober la marce de recalage (les ros segmes e ragle dove êre o-coléares : la superfce du ragle > seul) Ulser la méhode léare pour affer le recalage, - s le crère d erreur es suffsamme pe : le résula es cosdéré bo, f - so : poso sgulère, couer Chercher la covergece à l ade de la méhode o-léare, - s elle e coverge pas : pas de soluo, f - so : sauver le résula, couer Applquer à ouveau la méhode léare, - s le crère d erreur es suffsamme pe : le résula es cosdéré bo, f Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 9 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 0 Malk Mallem(UEVE/LSC

11 - so : pas de soluo, f Y R, T 3.6. Méhode de l érao orhogoale[lu e Hager, 000] 3.6. Défo du problème So u esemble de pos de référece 3D o coléares p = ( x,y,,z ),=,..., 3 exprmés das le référeel propre de l'obje (R O ), les pos 3D qu leurs correspode das le référeel de la caméra ' ' ' ( x,y, z ) q = so défs par ue rasformao rgde: où r R= r r3 el que q = R.p T [] + R R= I x e T = y z so la marce de roao e le veceur de raslao, respecveme. Das ore cas, les pos p correspode au sommes du mallage de l'aspec phoomérque reeu. La codo R R=I es la codo d'orhoormalé de la marce de roao R. La méhode de recalage 3D que ous avos élaborée fa erver ros repères prcpaux (cf. fgure 3.5) : (R C ) le repère lé à la caméra. (R O ) le repère lé à l obje représea la poso courae. Das ore cas (R O ) correspod au repère ceré sur la Véus. (R M ) le repère mode (de la scèe). Le référeel de la caméra es chos de elle sore que le cere de projeco de la caméra so à l'orge e que l'axe opque so oreé das la dreco des z posfs. Les pos de référece p so projeés das le pla z ' =, appelé pla mage ormalsé, e décrs das le repère caméra. So m ( ) = u,v, les pos mage qu correspode aux projecos de p das le pla mage ormalsé (cf. fgure 3.5). Das ore cas, les pos m correspode aux baryceres des aches apparés avec les po p. Sous l'hypohèse du modèle phole déal, les pos m, q e le cere de projeco so coléares. Cee propréé es exprmée par l'équao suvae: ou be r p + [] x = [3] r3.p + z u r p + y + = r3.p v z ( R.p T ) [4] m = + [5] r.p + 3 z Nous supposos que la caméra a éé préalableme calbrée, e de ce fa, ses paramères rsèques e exrsèques so cous. XC Référeel caméra RC YC Z ZC Pla mage ormalsé RO Rex, Tex X Référeel obje Référeel mode Fgure 3.5 : Les dfféres repères ms e jeu das le problème de recalage 3D l'équao [5]es appelée "équao de coléaré". Ue aure maère d'exprmer cee coléaré es d'ulser le fa que la projeco orhogoale de q sur la lge de vue défe par le po m do êre égale au po q lu même. Ce fa es exprmé par l'équao : R.p + T = V R.p T [6] où ( ) + m.m V = [7] m.m représee la marce de projeco de la lge de vue qu, lorsqu'elle es applquée à u po de la scèe, le projee orhogoaleme sur la lge de vue défe par le po mage m. As, l'équao [5] représee l'équao de coléaré das l'espace mage ads que l'équao [6] représee l'équao de coléaré mas das l'espace obje. Le recalage 3D cosse à développer ue méhode qu perme de rouver la rasformao rgde (R,T) mmsa ue cerae forme d'accumulao d'erreurs (el que la sommao des carrés des erreurs) de l'ue des deux équaos de coléaré (cf. fgure 3.6). Das les méhodes classques de recalage 3D, la foco objecve à mmser es doée par: où mˆ ( ), = + + = r r.p.p x y Q û + vˆ [8] r3 p + z r3 p + z = û,vˆ so les pos mage observés. La marce de roao R es gééraleme représeée par les agles d'euler. Noos au passage que la mmsao das ce cas es basée sur la coléaré das l'espace mage. Deux méhodes so gééraleme ulsées pour résoudre ce ype de problème, e l'occurrece la méhode de Gauss-Newo [Haralck e Shapro, 993] e la méhode de Leveberg-Marquard [Lowe, 99]. RM Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D Malk Mallem(UEVE/LSC

12 Erreur das l'espace de l'obje Le calcul de l'oreao absolue reve à déermer R e T à parr des pares d'appareme (q, p ). Avec au mos 3 pos de référece o coléares, R e T peuve êre obeues comme ue soluo du problème des modre carrés suva : Y Z RO m R.p + T q el que R.R = I [0] R,T = XC Erreur das l'espace de l'mage ZC X Ce problème des modres carrés avec corae (la corae d'orhogoalé de la marce de roao) peu êre résolu e ulsa les quaeros [Hor, 987] ou be la décomposo e valeurs sgulères (SVD) [Aru e al., 987]. Nous allos déaller c-dessous, la soluo par SVD que ous allos ulser par la sue das l'algorhme IO. Soe { p } e { } q les deux esembles de pos ms e correspodace, e so: RC YC p = p q= q = = [] Fgure 3.6 : Les erreurs de coléaré das l'espace mage e l'espace obje E ce qu ous cocere, ous avos adopé la méhode élaborée par [Lu e Hager, 000] qu'ls o appelée algorhme d'érao orhogoale ("Orhgogoal Ierao -OIalgorhm"). A l'verse des méhodes classques qu so ulsées pour résoudre les problèmes d'opmsao d'ue maère géérale, l'algorhme d'érao orhogoale exploe judceuseme la srucure spécfque du problème de recalage 3D. De plus, l doe des résulas rès précs e coverge globaleme d'ue maère assez rapde ce qu fa de lu u oul rès éressa pour les applcaos emps réel. Ce algorhme es déallé das la seco suvae Algorhme d'érao orhogoale (IO) Pour esmer la pose de l'obje, ce algorhme ulse ue foco d'erreur approprée défe das l'espace de l'obje qu'l réécr sous ue forme parculère af qu'elle admee ue érao basée sur la soluo du problème classque de l'esmao de la pose 3D/3D appelé problème de l'oreao absolue ("absolue oreao problem"). Comme l'algorhme de l'io déped eèreme de l'oreao absolue, ous allos ou d'abord décrre ce problème as que la soluo proposée pour le résoudre Problème de l'oreao absolue Le problème de l'oreao absolue peu êre posé comme su : Supposos que les coordoées 3D des pos q défs das l'espace caméra pusse êre recosrus physqueme (par exemple, par u scaer) ou par calcul (e ulsa la séréovso), alors pour chaque po observé, ous pouvos écrre: q = R.p T [9] + leurs ceres de gravé respecveme. O déf alors les pos: e la marce ' ' p = p p q = q q [] M = q p = ' ' d'er-covarace ere les pos { p } e les pos { } q. O démore que [Hor e al., 988] s R * e T * mmse l'équao [0] alors elles sasfero: So (, V, ) ( ) [3] R * = arg max race R M [4] R * * T = q R.p [5] U Σ la décomposo e valeurs sgulères de la marce M, el que U MV=Σ. Alors, la soluo de l'équao [0] es doée par: R * = VU [6] Noos que la raslao opmale es eèreme défe par la roao opmale e que les formaos écessares pour rouver cee roao so coeues das la marce M défe par l'équao [3]. As, seule la poso relave des pos 3D par rappor à leurs ceres de gravé es sgfcave das la déermao de la marce de roao opmale Algorhme L'algorhme IO rae le problème du recalage 3D e ulsa le veceur erreur de coléaré déf das l'espace de l'obje (cf. fgure 3.4): Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 3 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 4 Malk Mallem(UEVE/LSC

13 ( I Vˆ )(. R.p T ) e = [7] + où Vˆ es la marce de projeco de la lge de vue observée correspoda au po mˆ, elle es défe par: mˆ.mˆ Vˆ = [8] mˆ.mˆ Nous cherchos à déermer R e T qu mmse la somme des erreurs quadraques suvaes: ( )( ) I Vˆ. R.p + T E (RT, ) = e = [9] = = Noos que oues les formaos foures par les pos mage observés { mˆ } so cluses das l'esemble des marces de projeco { Vˆ }. Pusque la foco objecve E es quadraque e T, pour ue roao R doée, la valeur opmale de T peu êre calculée d'ue maère approchée par : = I Vˆ j j= j= ( Vˆ j I ) T(R).R. p j [30] Aya la raslao opmale e foco de R e e défssa: R (k + ) = arg m R.p + T Vˆ.q R = (k) = arg max r R (k) ( R M( R ) (k) où l'esemble de pos Vˆ q es cosdéré comme ue hypohèse de l'esemble de pos q de la scèe das l'équao [0]. Sous cee forme, la soluo pour R (k+) es doée par l'équao [6]. Nous calculos esue l'esmée suvae (k+) de la raslao e ulsa l'équao [30], elle que: T ( (k ) ) ( k ) + T R [34] + = [35] e ous répéos le processus. La soluo opmale R * es obeue lorsque l'équao [34]rese chagée, e d'aures ermes, lorsque R * sasfa: ( ( ) * * R.p + T R * R = arg m R.p + T Vˆ [36] R = L'avaage de ce algorhme es qu'l coverge globaleme vers l'opmum de l'équao [34]pour 'mpore quel esemble de pos observés e pour ou po de dépar R (0). La seule corae sur R (0) es qu'elle e do pas placer l'obje observé derrère la caméra (vor aexe B). Faleme, la rasformao rgde qu'a sub l'obje pour passer de sa poso ale à sa poso courae das le référeel mode es doée par: A A. A ex op = [37] = Vˆ. ( R.p + T(R) ) e q(r) = q(r ) = q(r) l'équao (3.3) peu êre réécre comme su: E ( R) = = R.p + T(R) q(r ) [3] cee équao ressemble à l'équao [9] qu déf le problème de l'oreao absolue. Malheureuseme, das ce cas o e peu pas déermer la marce R dreceme à parr R, car la marce: d'ue smple esmao de la marce d'er-covarace ere { } p e { ( )} q [3] où * * Rex Tex R T A = = ex e Aop [38] 0 0 La marce A ex représee les paramères exrsèques de la caméra qu correspode à la rasformao rgde ere le repère mode e le repère caméra. M(R) = = ' q(r).p ' où ' p = p p e ' q(r) = q(r) q(r) [33] déped de R. Cepeda, la marce R peu êre calculée éraveme comme su : premèreme, ous supposos que l'esmée d'ordre k de la marce R es R (k), ( k) ( R (k) (k) (k) (k) T = T ), e q = R.p + T. L'esmée suvae, R (k+), es déermée e résolva le problème de l'oreao absolue suva: Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 5 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 6 Malk Mallem(UEVE/LSC

14 4. Représeao formaque des doées de l'evroeme Le modèle formaque de la scèe cosue l'éléme dspesable à ou sysème d'ade à la percepo e à la commade. E effe, l perme de radure les caracérsques de la scèe sous ue forme exploable par le calculaeur. L'evroeme de éléopérao es cosué de deux ypes d'objes: les objes cous (robos, ouls, pèces à mapuler,...) e les objes o cous (obsacles,...). Cocera les objes cous, leur géomére es be défe a pror. L'opéraeur peu égrer hors lge le modèle de ces objes das la base de doées géomérques 3D (BD3D). Das le cas où la poso de l'obje de ce ype 'es pas coue a pror, ou be s'l es déplacé, l'opéraeur ulse les capeurs d'evroeme (caméra e/ou DR3D) pour mere à jour cee base de doées. Pour les objes o cous ue coopérao ere l'opéraeur huma e le sysème es éable pour cosrure le modèle formaque de la scèe. 4.. Représeao flare Le modèle " fl de fer" ("wre frame") ree de l'obje les coordoées des sommes e les arêes les joga. La fgure 4. more les ambguïés qu peuve découler de so ulsao, pusque e coassa que les arêes e les sommes, pluseurs erpréaos d'u même modèle peuve êre faes. D'aure par, les calculs géomérques (dmesos, volumes) so dffcles, vore mpossbles car les formaos cocera les surfaces des objes so exsaes. Be que rareme ulsée, cee méhode de modélsao a l'érê de permere ue créao e ue vsualsao rapde de la scèe, car elle perme ue modfcao asée des pos e des arêes. La place mémore ulsée es égaleme rès fable.?? Nous préseos brèveme les prcpales méhodes de modélsao formaque d'objes soldes. Les srucures de doées assocées so égaleme préseées as que l'orgasao des doées opologques. Nous défssos le modèle formaque comme ue représeao de l'obje compora des formaos de classe (pyramde, cyldre, corps de révoluo), de géomére (coordoées 3D, équaos,...), de opologe(les ere les élémes géomérques),... L'acquso des doées sesorelles perme de prélever l'formao du mode réel, par l'ermédare de dvers capeurs. De ces doées brues (formaos de profodeur, de lumace,...) do êre exrae ue descrpo symbolque, de plus ou mos hau veau, ulsable (po 3D, droe, pla, cyldre,...). Cee opérao de descrpo des doées percepuelles es appelée modélsao. Ces doées peuve êre orgasées sous dfférees formes appelées modèles[req 80] (fgure 4.). 4.. Représeaos surfacques Fgure 4.. Ambguïé du modèle "fl de fer" Ce modèle représee l'obje par ses bords. Le modèle le plus ulsé es la B-REP ("Boudary REPreseao" ). Les surfaces représeées peuve êre : plaes, surfaces de révoluo, surfaces super/hyper quadrques. La scèe es cosrue eracveme par assemblage de prmves géomérques de base qu so: po, segme, polygoe e polyèdre. Les lasos ere ces prmves so défes par des relaos opologques d'cdece, de coguïé e d'cluso (fgure 4.3). La prcpale méhode ulsée pour l'élaborao de polyèdre cosse à balayer u coour de base pla ou courbe le log d'ue rajecore léare, crculare ou quelcoque permea de modélser le solde U MODELES 3D Obje O Modèle "Fl de fer" Modèles surfacques Modèles volumques Par froères (B-Rep.) Eumérao spaale C.S.G correspoda. Fgure 4.3. La B-REP ("Boudary REPreseao"). Fgure 4.. Taxome des modèles 3D Tros caégores de représeao exse : flare, surfacque e volumque. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 7 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 8 Malk Mallem(UEVE/LSC

15 4.3. Représeaos volumques La représeao cosrucve sold geomery CSG : Il s'ag d'ue méhode de cosruco d'objes par l applcao d opéraos d assemblage d'où l'appellao. La cosruco de l'obje se fa par combaso de volumes élémeares. La démarche es semblable à celle de l'arsa, qu use les pèces élémeares, les assemble pour ober ue plus complexe (Fgure 4.4). Elle es décre par u arbre de cosruco où les feulles so des soldes de base e les œuds so des opéraos comme: l'uo, l'erseco, la dfférece, les rasformaos géomérques composées de raslao ou de roao. L obje es cosru à parr de prmves géomérques de base ou volumes élémeares (cube, cyldre...) auxquels so applqués les opéraeurs logques af de les assembler e de créer d'aures volumes. Les prmves géomérques de base so paramérées. Les doées caoques smples caracérse chacue des prmves (cere, rayo e haueur pour le cyldre par exemple). La lse des modèles préseée 'es pas exhausve. Les plus ulsées so la CSG e La B-REP. Pluseurs méhodes peuve êre assocées les ues aux aures: par exemple la CSG e la B-REP. La représeao CSG perme plus facleme de créer ue représeao de la scèe que la B-REP. Cee smplcé d'ulsao se fa au dérme de la rapdé d'amao de l'mage. E effe, les doées caoques smples aya serv à la représeao de la scèe e so pas ulsées dreceme par le maérel graphque. Ue coverso de ces doées e pos e segmes es écessare. De plus, le calcul des surfaces rès ules pour les applcaos de roboque, es dffcle avec la CSG, pusque les formules mahémaques de calcul de surface écesse la coassace de pos de froères. Il es cera que la dspoblé des deux méhodes es souhaable. La CSG permera la sase des doées pour la créao d'ue représeao de la scèe e la B-REP l'amao e la vsualsao. La soluo reeue es celle ulsa la B-REP, elle es plus géérale car elle perme de modélser u grad ombre d'objes e plus proche des sysèmes graphques d'où ue amao rapde de l'mage syhéque. Le bu de ce docume es de résumer les prcpales echques ulsées das la syhèse d mages e de proposer les prcpales référeces pour ue éude approfode. Le processus mea à l mage de syhèse se décompose e ros pares. La premère es la cosruco du modèle représea l uvers à vsualser. La secode esseelleme algorhmque, es celle de l roduco d u observaeur e du calcul des pares vsbles du modèle. La rosème précse les mécasmes de la vso e foco de l éclarage. Ava d aborder les dfféres chapres, la fgure llusre les srucures de doées écessares aux dfférees rasformaos de l mage. Segmeao/Régoeme Pcogramme "bmap" Tracé Doées Traeme d'mage Srucure de doées 3D Modélsao Fgure 4.5 : Trasformaos de l mage Vsualsao La modélsao bdmesoelle - Quadree Vecogramme Lssage Compresso Acquso de formes Défo Le quadree, ou arbre quaerare, es ulsé pour représeer formaqueme des objes D. A l espace cosdéré es superposée ue grlle cosuée de **q x **q cellules (q eer posf, représea la profodeur de l arbre). Les feulles de l arbre représee des pares homogèes(remples/vdes) de l espace modélsé e les œuds représee des pares mxes (parelleme remples/vdes) Exemple Das ce exemple, es représeé le quadree correspoda à u polygoe cosués par ue lse de pos coplaares, le premer po éa relé au derer, e ue lse d arêes rela les pos ere eux Les œuds du quadree so dvsés e 3 classes :. œud éreur (feulle) : représee les pos éreurs au polygoe(symbolsé par u carré or),. œud exéreur (feulle) : représee les pos apparea pas au polygoe (symbolsé par u carré blac),. œud froère : représee les cellules de la grlle qu ersece la froère du polygoe. : uo : erseco : dfférece Fgure 4.4. Représeao CSG smple 4.4 Codage des doées géomérques de l evroeme L algorhmque graphque ou syhèse d mages es ée peu de emps après l formaque. Les premers algorhmes e logcels dae de 963 (algorhme d élmao des lges cachées de L.G. Robers - logcel SKETCHPAD de I.E. Suherlad). Poura aujourd hu, cee dscple occupe ecore de ombreux chercheurs. C es dre la complexé du problème posé : fabrquer des mages, le plus proche de la réalé, ou pluô fau-l dre, de la vso humae. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 9 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 30 Malk Mallem(UEVE/LSC

16 couleur ; freres[4] Exo. : calculer la place mémore occupé par l arbre de l exemple Srucure chaée de ableaux D ( à 4) L dée de cee srucure es de fare poer chaque géérao sur sa descedace drece : Sruc freres Sruc geerao sruc geerao *pr; couleur[4]; sruc freres T[4] ; Exo. : calculer la place mémore occupé par l arbre de l exemple Opéraos sur quadree Fgure 4.6: Quadree Srucures de doées. Léare saque L arbre es représeé sous forme d u ableau léare. C-dessous u exemple de srucure représea u œud/feulle de l arbre : sruc _œud profodeur ; couleur ; Exo. : calculer la place mémore occupé par l arbre de l exemple Cee srucure de doées es valable pour la vsualsao de la scèe. S u usage d ue pèce mécaque, par exemple es écessare, ue allocao dyamque des doées es préférable.. Srucure chaée de ableaux D L arbre es représeé cee fos-c par des ableaux à ue dmeso chaés ere eux. Chaque ableau es cosué de 4 erées correspodaes à 4 fls. Chaque fls poa sur sa descedace. Sruc _freres uo sruc _freres *fls ; Soe 3 quadrees de même dmeso q, q, e q3, chaque œud de ces quadree peu predre 3 valeurs, := (N/B/G). N(or) correspod à u œud éreur, B(blac) correspod à u œud exéreur e G(grs) correspod à u œud froère. Les algorhmes suvas effecue ue opérao logque sur q, q e socke le résula das q3.. Uo de quadrees s (q) = N, (q) alors (q3) := N s (q) = N, (q) alors (q3) := N s (q) = B, (q) alors (q3) := (q) s (q) = B, (q) alors (q3) := (q) s (q)=(q)=g alors parcourr. Ierseco de quadrees s (q) = N, (q) alors (q3) := (q) s (q) = N, (q) alors (q3) := (q) s (q) = B, (q) alors (q3) := B s (q) = B, (q) alors (q3) := B s (q)=(q)=g alors parcourr Exercce : opéraos booléees sur les quadrees Ecrre l algorhme qu réalse u OU-EXCLUSIF ere deux quadrees q, q e place le résula das q. Les feêres assocées aux œuds races des deux quadrees so supposées deques. Vous dsposez des focos suvaes : Focos d errogaos Focos de cosruco Ierrogao ou posoeme du œud race d u quadree q_race(q : quadree) : œud se_race(q : quadree, : œud) : (OK, ERREUR) Ierrogao ou posoeme des fls d u œud (o : ord-oues, e : ord-es, so : sud-oues, se : sud-es) q_o( : œud) : œud se_o(, o : œud) : (OK, ERREUR) Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 3 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 3 Malk Mallem(UEVE/LSC

17 q_e( : œud) : œud q_so( : œud) : œud q_se( : œud) : œud se_e(, e : œud) : (OK, ERREUR) se_so(, so : œud) : (OK, ERREUR) se_se(, se : œud) : (OK, ERREUR) Ierrogao ou posoeme de la couleur d u œud (N : Nor, B : Blac, G : Grs) q_couleur( : œud) : (N, B, G) se_couleur( : œud, c : (N,B,G)) : (OK, ERREUR) Le modèle surfacque Ce modèle perme de dsguer l éreur de l exéreur doc le ple du vde. L obje es das ce cas représeé par u esemble de facees. Chaque facee es défe par so coour qu es ue sue ordoée de segmes 3D. Le modèle surfacque peu géérer des objes o cohéres avec des facees pedaes. Il es éamos ulsé, pour des rasos hsorques, par la plupar des algorhmes d élmao des pares cachées Le modèle arbre de cosruco (CSG) La modélsao rdmesoelle Iroduco La premère éape du processus de créao d mages de syhèse es la modélsao. Elle déf les srucures de doées ulsées par les algorhmes d élmao des pares cachées, d ombrage e d éclarage. Ce chapre se lme à l éude des représeaos d objes soldes. U obje solde es rgde, sa forme es varae par des rasformaos affes elles que la roao ou la raslao. Il es rdmesoel, possède u éreur e sa froère e coe pas d arêes ou de faces pedaes. Il es f e forme ue pare borée de R 3. Les prcpaux crères de valdé d u modèle so l ucé e la o- ambguïé. Tou modèle réu ces deux codos s l réalse ue bjeco ere l esemble des soldes représeables e l mage qu l doe de ce esemble (). Nous aborderos successveme les dfféres modèles exsas, les coversos qu leur so assocées e ef les opéraeurs ou modeleurs permea leur cosruco Les modèles Le modèle fl de fer Hsorqueme c es le premer modèle. Les objes so représeés sous la forme d ue sue de segmes 3D défs par les coordoées (x,y,z) de leurs exrémés. Ce modèle smple e demade pas ue grade pussace de calcul e peu êre mplaé das u espace mémore resre. Parculèreme adapé pour les applcaos e emps réel, l géère ouefos de fâcheuses ambguïés : l e dsgue pas le ple du vde (fgure 4.7) l assure pas les crères que dove vérfer les objes soldes (cf ) l e perme pas les calculs géomérques (volume, masse,...) e l élmao des pares cachées. Il es, esseelleme, ulsé pour la vsualsao. C es la représeao la plus ulsée par les logcels de CAO. L obje es modélsé sous la forme d u arbre bare où les feulles so des volumes élémeare (boe, sphère, cyldre,...) e les œuds so des opéraos booléees régulères (,, ) (fgure 4.8). A Fgure 4.8 : la représeao CSG B C A B A -* C U* B A Pour respecer les crères défs sur les objes soldes, o mpose la régularé des opéraos booléees. As : A B = r(a B), A B = r(a B),A B = r(a B) où r es l applcao qu assoce à u sous-esemble de R 3 l adhérece de so éreur. E d aures ermes, les opéraos booléees régulères so des los de composo ere sur l esemble des objes soldes (fgure 4.8). B U* C U* B C A A B A * B Fgure 4.8 : opéraos régulères? La modélsao par arbre de cosruco se réalse smpleme; elle es gééraleme rès covvale. S les opéraos booléees so régulères, les objes géérés so cohéres. Les calculs géomérques so par core dffcleme réalsable e l ucé de la représeao es pas assurée (fgure 4.7) Le modèle ocree U ocree es u arbre à hu braches. Les œuds de l arbre so des cubes clus das l espace de modélsao. Le œud race es l espace lu-même e ses hu fls so des cubes de même volume qu le dvse (fgure 4.9). Fgure 4.7 : Ambguïé de la représeao fl de fer Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 33 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 34 Malk Mallem(UEVE/LSC

18 O S H B N E HNO HNE HSO HSE BNO BNE BSO BSE Les oeuds so ordoés du Hau vers le Bas, du Nord vers le Sud e de l'oues vers l' Es Fgure 4.9 : Ocree Ue feulle de l arbre es de blache (B) resp. ore (N) s le cube qu lu correspod es à l exéreur de l obje (resp. à l éreur). Les œuds eres o la couleur grse (G) e possède hu fls. Modélser u obje sous forme d ocree cosse doc à dvse récursveme l espace e hu pares égales. Lorsque écessare, la dvso se poursu jusqu à ue alle de cube préalableme défe. H Obje (o) O S B N E Arbre (A) Iformqueme, u oce 'es pas représeé sous la forme d'u arbre mas par ue lse. La lse de l'arbre A es : G (N G(B B B B B N B B) N B N N N N) Fgure 4.0 : la modélsao par ocree La modélsao par ocree géère des objes cohéres. Elle es uque e o- ambgue. Elle perme d effecuer rès smpleme ous les calculs géomérques as que les opéraos booléees ere les objes. Ceras algorhmes d élmao de pares cachées peuve lu êre applqués. Malheureuseme, aucu modeleur e géère dreceme ue elle représeao Le modèle de représeao par froères (BREP) a) Défo : Cee représeao décr explceme la froère de l obje. La srucure de doées qu lu es assocée es de ype lses de faces/arêes/sommes. Pluseurs orgasaos des doées so possbles ; la Wged-Edge (3) ou Double Edge Ls (4) es la plus approprée.. La srucure Wged-Edge (fgure 4.)sous sa forme smplfée déf u solde ou u polyèdre (P) comme éa u esemble de faces. Ue face (F) es ue sue oreée d arêes. Ue arêe (A) es u couple de sommes. U somme (S) es u rple (x,y,z) de coordoées.fgure 4. : la srucure Wged edge a4 S a5 F a F a Fgure 4. : la srucure Wged edge S a3 La face drece de a es F, la face drece F. L'arêe suvae de a das la face drece es a, das la face drece a5 La srucure Wged-Edge perme d ober oues les formaos géomérques quelque so l eé cosdérée: coordoées de sommes, équao des arêes, équao du pla suppor des faces. Elle four oues les relaos opologques so: les coours (C ), les cdeces (I), les adjaceces (A), des eés S, A, F, P (fgure 4.). + S F S F3 a5 a a a4 a6 a3 F S3 S4 Fgure 4. : les relaos opologques de la srucure Wged edge b) Srucures de doées e opéraeurs.srucure de doées classque : F4 C(F3) = a, a6, a5 I(S3) = a, a3, a6 A(a6) = a, a3, a4, a5 C-dessous u exemple de srucure de doées classque ulsée das le cadre de la représeao par froères : sruc _polyedre sruc _face sruc _coour sruc _aree sruc _somme sruc _face *f ; sruc _aree *a ; sruc _somme *s ; sruc _coour *c ; sruc _face *suv ; sruc _aree *a ; sruc _coour *suv; sruc _somme *o, *e ; sruc _aree *suv; double x, y,z ; sruc _somme *suv; Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 35 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 36 Malk Mallem(UEVE/LSC

19 Exo. : - Ecrre les programmes e C correspodas aux opéraeurs C(f), I(s), I(a). - Déermer la complexé e emps d exécuo de ces programmes. - Déermer la complexé e emps d exécuo des aures opéraeurs. crrères modèles le modèle représee u obje cohére la représeao es uque e o ambgue le modèle possède u modeleur adapé le modèle perme les calculs geomérques l'élmao des pares cachées es réalsable. Srucure de doées pour Wged Edge sruc _polyedre sruc _face sruc _aree sruc _somme sruc _face *f; sruc _aree *a; sruc _face *suv ; sruc _face *fdr, *fd; sruc _aree *asfd, *asf; sruc _somme *o, *e; double x, y,z ; sruc _aree *a; Exo. : - Ecrre les programmes e C correspodas aux opéraeurs C(f), I(s), A(a). - Déermer la complexé e emps d exécuo de ces programmes. - Déremer la complexé e emps d exécuo des aures opéraeurs. c) La relao d Euler : S-A+F= (valable pour des polyèdres sas rous) S-A+F-H=(C-G) où : S es le ombre de sommes, A d arêes, F de faces, H d ouverures, C de composaes coexes e G de codus. Lorsqu elle es vérfée par ue srucure Wged-Edge assure la cohérece opologque des objes. La représeao par froère es héorqueme uque e o ambgue, das la praque, des problèmes de précso umérque mee e défau ces qualés. Les «Brep» so be adapées au calcul géomérque e à l élmao des pares cachées. Les opéraos booléees so applcables. Ceras modeleurs géère dreceme ue représeao par froère. La fgure qu su résume les avaages e les covées des dfféres modèles. Fl de fer Surfacque V O L U M I Q U E CSG Ocree Brep o o ous le so o o o o o ous le so ou ou ou o ou ou o ou mas oergoomque o ou de faço éracve ou mas complexe Fgure 4.3 : Comparaso des méhodes de représeao des soldes 5. Appareme d'ue mage D avec so modèle 3D ou ou peu êre eracve ou mas oéracve ou ou peu êre eracve 5.. Bref éa de l'ar Le problème de la mse e correspodace es l'u des problèmes les plus dffcles de la vso par ordaeur. Ce problème peu êre raé e D/D, ce qu es le cas de la vso séréoscopque ou de l'aalyse de séquece d'mages, ou e D/3D basé sur l'ulsao de modèles 3D. Nous ous éressos à cee derère caégore d'appareme. Nous préseos les prcpales approches de résoluo de ce problème. Grmso e al [GRIMSON 984], o proposé ue méhode de recherche arborescee. L'arbre es cosué de ous les apparemes possbles. U œud de l'arbre coe ue hypohèse de correspodace ere ue prmve D e ue prmve 3D. Le problème es de rechercher das l'arbre la sue d'hypohèses qu permee ue mse e correspodace correce. Bolles e Ca [BOLLES 98], procède e exraya e premer das ue mage ue prmve caracérsque e dscrmae elle que co, rou, ("lk focus"). L'appareme es poursuve avec les prmves D voses à la prmve caracérsque. Cee echque a égaleme éé ulsée par Bolles e Horaud [HORAUD 984], [BOLLES 986] pour la recoassace d'obje 3D à parr de doées de profodeur. Bolles e Fschler [BOLLES 98], o proposé ue méhode permea l'exraco aléaore d'u esemble de prmves D qu so apparées avec des prmves 3D. L'algeme obeu (rasformao rgde) es gééralsé à oue l'mage. Le processus es rééré jusqu'à la covergece de l'algorhme. Ayache e Faugeras [AYACHE 986], o proposé l'ulsao d'u rple de segmes aya u somme commu. Cee echque perme de rédure cosdérableme le ombre d'appareme possble. Lowe [LOWE 987] a proposé d'amélorer le raeme d'mage, l a éabl des crères de regroupeme des dces D af d'ober des prmves cossaes qu facle l'appareme. Par alleurs, u degré de probablé es arbué à ue hypohèse d'appareme af de rédure l'espace des soluos e ef ue recosruco 3D es effecuée af de vérfer les hypohèses d'appareme. Lamda e Wolfso [LAMDAN 988] o rodu ue méhode géomérque. Celle-c cosse e la créao hors lge d'ue able de hachage e à ue recoassace e lge. La able de hachage coe les dfféres aspecs des objes du modèle 3D exprmés das des bases dfférees (ue base peu êre représeée par, 3 pos ou arêes). Cee expresso es basée sur des varas ou des quas varas géomérques[binford 993], [GROS 995]. La recoassace e lge es obeu par mse e correspodace de pos D, exprmés a leur our das dfférees bases, avec le coeu de la able de hachage. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 37 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 38 Malk Mallem(UEVE/LSC

20 Ja ad Hoffma [JAIN 988]o développé ue méhode ulsa le rasoeme par évdece pour recoaîre u obje 3D das ue mage de profodeur. Pour cela, ls ulse u sysème à règles de produco. La prémsse d'ue règle es composée de codos sur les dfférees prmves de l'obje e la pare aco arbue u degré de probablé sur l'appareace de l'obje à la base de doées. Pluseurs chercheurs [IKEUCHI 987], [HANSEN 989], [PLATINGA 990], [STEWMAN 988], représee u obje 3D par so graphe d'aspecs qu doe ue descrpo opologque du modèle 3D où chaque aspec représee des faces du modèle vsbles smulaéme par u observaeur. Les avaages e covées de l'ulsao du graphe d'aspecs so décrs das [BOWYER 99]. Pampag e Devy [PAMPAGNIN 988] o rodu le graphe de compablé qu regroupe das ses œuds oues les hypohèses d'appareme ere ue chaîe de segmes D e ue face d'u aspec du modèle 3D e do les arcs représee les compablés ere hypohèses d'appareme. Nous avos développé deux méhodes d'appareme d'objes polyédrques basées sur la coassace de leur modèle 3D e de leur mage caméra D: La ère es parculère car elle suppose ue coassace géomérque à pror. Elle ulse la echque de la recherche arborescee e le rasoeme par l'évdece. L'orgalé de cee méhode es qu'elle pred e compe les coraes physques(lasos) ere les objes. La de es plus géérale. Elle ulse les méhodes du graphe d'appareme e celle du hachage géomérque. La méhode du graphe d'appareme perme d'apparer des faces du modèle 3D avec des chaîes de segmes das ue mage. La méhode du hachage géomérque perme de mere e correspodace des sommes du modèle 3D avec des sommes de segmes das ue mage. L'orgalé résde das la l ulsao de l ue de ces méhodes, selo la qualé du raeme de l mage, af de permere ue recoassace de l'obje même s le raeme de l'mage e four par suffsamme de chaîes cohérees de segmes. Nous décrvos das les paragraphes suvas chacue de ces méhodes. 5.. Appareme D/3D polyédrque basée sur lasos La ère es basée sur l'ulsao d'u modèle 3D ea compe des lasos ere objes polyédrques. Nous ous sommes resres à la laso appu pla, car c'es la plus couramme recorée, mea e jeu 3 degrés de lberé ere objes. Les lasos permee, s elles e so pas rompues das la scèe réelle, de resredre l'appareme das ue zoe prvlégée de l'espace. La méhode cosse à recoaîre u obje polyédrque parm pluseurs posés sur u suppor pla. L'équao de celu-c es coue(foure par la calbrao de la caméra). Les segmes exras de l'mage réelle so projeés das ce pla de pose. Les segmes obeus so apparés avec les arêes du modèle 3D e ulsa leur logueur e l'agle formé ere leur suppor e la perpedculare au pla mage comme crères d'appareme. L'éape de vérfcao se rouve égaleme smplfée car elle me e œuvre ue recosruco à 3 degrés de lberé au leu de 6. Modèle D géérao d'hypohèses Prédco Propagao Modèle 3D + Graphe d'aspecs / Table de hachage géomérque Vérfcao Recosruco Valdao Fgure 5.: Srucure géérale du sysème de recoassace d obje. Nous décrvos brèveme les éapes prcpales du sysème de recoassace auomaque, qu so : - le raeme de l mage, à l ssu duquel u modèle D de la scèe es éabl, - la cosruco auomaque des graphes d aspecs à parr du modèle 3D, - l appareme ere modèle D e le modèle 3D, qu perme la recoassace d'obje Traeme e Modélsao de l mage D Le raeme d mage applqué cosse à exrare des prmves D (somme, segme, chaîe de segmes) forma le modèle D. Ce raeme es cosué du flrage du grade, de l amcsseme e du suv de coour par hyséréss, de l exraco des segmes e des chaîes de segmes. L'exraco de segmes es réalsée à parr des pos de coours e applqua la Trasformé de Hough (HT). L objecf es de développer u raeme d mage mmal, pour fourr les élémes écessares à l appareme. L exraco du coour, se fa alors, par ue applcao successve des flres classques : - le flre de Sobel das deux axes, pour ober l amplude e l agle du grade, - le flre des maxma locaux, pour amcr le coour, - le seullage par hyséréss, pour ober u suv smple du coour avec u bru mmal. La Fgure 5. more les pos de coour obeus (mage bare), à parr de l mage d erée(a) Appareme D/3D polyédrque Cee méhode résou le problème de l'appareme des objes polyédrques e s'appuya sur ros echques : l'orgasao percepve des dces vsuels pour décrre u modèle D de l'mage, le graphe d'aspecs pour décrre la opologe du modèle 3D e u graphe d appareme ou ue able de hachage pour la cosruco des hypohèses d'appareme. Esue, la rasformao rgde ere le modèle 3D e le repère de raval es calculée das la phase de vérfcao dura laquelle so applquées les méhodes de recosruco 3D décres das le chapre 3. Les varas géomérques, basés sur les rappors des surfaces du modèle 3D e de l'mage, so égaleme applqués pour élmer les hypohèses valdes. Des ess parels sur la précso du sysème de recoassace so effecués. La fgure 5. représee la srucure géérale du sysème de recoassace auomaque d'objes polyédrques : (a) mage de l obje Pce Fgure 5. : Traeme de l mage de l obje pce (b) le résula de l exraco des pos de coour La rasformée de Hough (TH) es applquée pour la segmeao de l'mage. Ce chox ve du fa que la TH es robuse vs à vs du bru. L applcao de la TH classque, sas coassace de l'agle de coour, es lee car l fau représeer chaque po du coour par ue susoïde complèe das la marce de Hough (MH). Chaque po (x, y) du coour peu correspodre à la cellule (a, d ) das la MH(a : agle de coour par rappor à la vercale, d : dsace du cere de l'mage à la droe suppor du po ), el que : Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 39 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 40 Malk Mallem(UEVE/LSC

21 d = x.cosa - y.sa Nous avos applqué l agle de coour, calculé à parr de l agle du grade, das l équao cdessus pour avor ue seule correspodace das la MH. La segmeao es deveue eeme plus rapde, mas l erreur sur l agle de coour a eraîé des segmes comples. Pour paller cec, ous avos développé deux méhodes : La ère cosse à explorer les cellules voses du segme à exrare. L'covée de cee méhode es la dffculé de fxer u crère d'arrê. La de méhode cosse à défr ue olérace sur l'agle du grade e a explorer uqueme la cellule correspodae à celu-c. Chaque po du coour es alors représeé par ue poro de susoïde das la MH. pos par segme(aux qu correpod à la logueur du segme e cours de raeme par rappor à celle du er segme raé). La fgure 5.3 llusre le focoeme de la de méhode, do l'algorhme éraf es cosué des éapes suvaes : - calcul du voe (ombre de pos) pour oues les cellules de la MH, - déermao de la cellule à voe maxmal : elle représee le segme coura, 3- rera de la MH de ous les pos apparea au segme coura, 4- es du crère d arrê, s'l es pas sasfa reourer à. Tros crères d arrê o éé déf emprqueme. Ce so des crères dyamques, qu évolue après chaque érao. Ils représee des aux exprmés par rappor à l'éa al de la MH. Le er crère, appelé maxmum, représee le voe maxmal das ue érao doée. Le d crère, appelé corase, la somme des dfféreces avec la moyee des voes des dfférees cellules resaes à explorer. Le 3 ème crère, appelé lumosé, la somme des dfféreces au carré avec la moyee des voes des dfférees cellules resaes à explorer. (b) secode érao : le voe maxmal s es déplacé das la MH, maxmum, corase e lumosé o dmué. (c) derère érao : maxmum, corase e lumosé so proche de 0%(lme fxée emprqueme pour l'arrê du programme) Fgure 5.3 : La segmeao par la rasformée de Hough amélorée (a) premère érao : -le voe maxmal(cellule de veau de grs maxmum) das la MH doe le segme le plus log. -le rera de la MH de ous les pos apparea au segme coura. Noes : - U po es représeé par ses coordoées polares das la marce de Hough (l'agle de coour par rappor à la vercale e la dsace de la droe suppor du po au cere de l'mage). - Das les recagles représea les crères(maxmu,corase,lumosé), l axe des abscsses représee le ombre de segmes raés, l axe des ordoées représee le ombre de Pour la fuso de segmes, ous ulsos les formules développées par Lowe [LOWE 987]pour regrouper les segmes de droe selo leurs proxmé, parallélsme. A parr des formaos de proxmé ere les segmes D, les pos d'erseco (sommes D) so calculés. L'éape suvae cosse à parcourr la lse de segmes qu se rouve e proxmé pour éablr des chaîes qu coedro ceraes descrpos : chaîe ouvere ou fermée, ombre de segmes,... Les sommes, segmes e chaîes de segmes so orgasés das ue srucure de doées appelée modèle D. L opéraeur peu erver pour chager ou eser ce modèle(fgure 5.4). Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 4 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 4 Malk Mallem(UEVE/LSC

22 C0 C6 C C3 C7 C C4 C5 Fgure 5.4 : Le modèle D de l mage de l'obje Pce Fgure 5.5 : sphère egloba u modèle de ype boe 5.5. Cosruco des graphes d aspecs pour polyèdre Le graphe d'aspecs doe ue descrpo opologque du modèle 3D où chaque aspec représee des élémes géomérques (somme, arêe, face), du modèle 3D,vsbles smulaéme par u observaeur (caméra). U graphe d aspecs do êre gééré pour chaque obje que l o veu égrer das la base de doées des modèles 3D. Deux aspecs d u obje so dfféres s l ue des prmves (somme ou arêe) au mos dsparaî ou apparaî lorsqu o passe de l u à l aure. Pour ober u aspec cocre du modèle les pos cachés so élmés lors de la projeco (Fgure 5.6). La oo de graphe d aspecs correspod à u esemble de vues d u obje opologqueme deques. Pour chaque aspec de l obje, l exse u esemble de pos de vues de l espace pour lesquels l mage de l obje observé chage géomérqueme ou e aya la même opologe. Ce esemble de pos de vue forme ue régo de l espace appelé cellule. Lorsque l œl de l observaeur se déplace d ue cellule à ue aure, l vo la opologe de l mage de l obje chager : des prmves dsparasse e d aures devee vsbles. Ce chageme es appelé évéeme vsuel. U graphe d aspecs es la représeao sous forme de graphe de la parcellsao de l espace e cellules. Il a pour œuds les aspecs e pour arcs les évéemes vsuels. Deux méhodes de calcul du graphe d aspecs o éé développées. La ère es basée sur l'ulsao de la sphère de Gauss e la de sur la parcellsao de l'espace par des plas pour la cosuo des dfférees cellules. Nous décrvos brèveme chacue de ces méhodes Méhode exhausve Cee méhode a éé développée pour servr à l'appareme basée sur le hachage géomérque, ulsa les sommes du modèle 3D. U aspec es alors représeé par u esemble de sommes vsbles smulaéme. O cosdère ue sphère de gauss cerée sur l obje que l o dscrése selo les logude e laude(fgure 5.5) pour ober ue sére de pos repars sur la surface de cee sphère. U po P représee as u po de vue adopé pour projeer le modèle. La Fgure 5.6 : u aspec de l obje pce ( ous les segmes coea au mos u po caché so e pollé) Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 43 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 44 Malk Mallem(UEVE/LSC

23 U esemble d aspecs es as déf, das lequel l suff alors d élmer la redodace. Deux aspecs so relés das le graphe, s e seuleme s, les pos correspodas sur la sphère so voss. Cee méhode a le mére d êre rapde e de fourr u graphe correspoda uqueme à ce que l observaeur peu vor. De plus elle s applque à mpore quel ype de polyèdre mmédaeme avec la même complexé algorhmque. Cepeda le graphe d aspecs es gééraleme comple e sa précso es celle de la dscrésao e du rayo de la sphère Méhode aalyque Cee méhode a éé développée pour servr à l'appareme basé sur u graphe. Elle four le graphe comple d'u obje polyédrque. Le problème a éé abordé e deux éapes de complexé crossae ; l s agssa ou d abord de raer les polyèdres covexes, pus de s éedre au cas gééral e clua les polyèdres cocaves. Af d ober l esemble des aspecs d u polyèdre, u graphe d cdece es crée. Le graphe d cdece (GI) es la représeao d ue parcellsao de l espace. Pour le cosrure, la lse des plas suppor des faces de l obje es calculée. L erseco ere ros plas, suppors de faces de l'obje, cosue le oyau du graphe d cdece. A chaque érao, u ouveau pla de la lse subdvsera les plas aéreurs. E exploa oue la lse des plas, le graphe d cdece es eèreme cosru. Chaque cellule du graphe représee ue parcelle de l espace, coea ous les pos de vue à parr desquels o vo oujours le même aspec du polyèdre. U codage es arbué à la cellule. Celu-c es représeé par bs où es le ombre de faces du polyèdre. L éa d u b déf la vsblé d ue face. Ue face es cosdérée vsble, d u po de vue doé, que s ce celu-c es sué du bo côé du pla suppor de la face, c es à dre du coé où se rouve la ormale à la face(la ormale à ue face es oreée vers l'exéreur de la maère). Les feulles du GI représee les dfféres aspecs, les œuds cosue les codages ermédares e les arcs les évèemes vsuels représea le passage d u aspec à u aure. La parcellsao de l espace es compléée pour le cas cocave e ajoua celle obeue par des plas auxlares. Ceux-c so ssues des évéemes vsuels de ype segme/po. Plaga & Dyer [PLATINGA 990] classfe les évéemes vsuels que l o va recorer d ue maère rès accessble : évéemes po/segme ou segme/segme/segme. Sur la fgure 5.7 ous cosaos comme u smple pla (c celu e dagoale)peu séparer ce qu es ue cellule smple das u parelleme vsble vsble & & vsble parelleme graphe d cdece e deux pares : l ue où ue face es eereme vsble, l aure où elle es parelleme cachée. O parle d évéeme vsuel segme/po lorsque l o passe d u côé à l aure d u el pla. Sur la fgure 5.8 les pos e les segmes mplqués so e gras. Ce algorhme es ssu des ravaux de [STEWMAN 988] qu ulse celu de EDELSBRUNNER 986] pour la cosruco du graphe d cdece. L dée géérale prove de leur algorhme mas de ombreuses modfcaos y o éé apporées af de lmer le ombre de plas auxlares prs e compe. La cosruco du graphe d aspecs pour u polyèdre covexe focoe parfaeme e elle es relaveme rapde, les modèles de ess covexes so raés e quelques secodes. Les modèles cocaves pour les ess so raés e quelques secodes pour les modèles smples (fgure 5.) e e pluseurs mues pour les modèles complexes. Pour les poyèdres cocaves l faudra corporer le raeme des évéemes du ype segme/segme/segme af de couvrr l esemble des aspecs.. Fgure 5.9 : quelques aspecs obeus de l'obje Pce Le graphe d'aspecs ser à vérfer s ue hypohèse es valde du po de vue de la vsblé de ses élémes. La cosruco du graphe d'aspecs de chaque modèle 3D es réalsée hors lge. L ulsao du graphe d aspecs, e lge, perme de smplfer e d accélérer la recoassace d u polyèdre das ue mage Méhodes basées sur le graphe d appareme e sur le hachage géomérque L appareme es cosué d ue éape de prédco e d ue aure de vérfcao. La prédco cofroe u aspec(vue) de l'obje, exra d'u graphe de l'esemble des aspecs de l'obje, à l'mage de celu-c. L'éape de vérfcao ese la véracé de cee hypohèse e ulsa les méhodes de recalage 3D. E effe, celles-c permee le calcul des rasformaos rgdes (roao e raslao) subs par l'obje e coassa le coour de l'obje das l'mage e so modèle 3D. Ces rasformaos rgdes, as que le modèle de la caméra, so applquées au modèle 3D de l'obje. La projeco obeue es esue comparée au coour de l'obje. Deux méhodes de mse e correspodace D/3D o éé développées, l'ue basée sur le graphe d appareme, l'aure basée sur le hachage géomérque. L'appareme effecué es applcable aux objes polyédrques. fgure 5.7 : exemple d u pla lme d u évéeme vsuel Méhode du graphe d'appareme La méhode du graphe d appareme (Gapp) perme d corporer les coraes opologques des objes, grâce au graphe d aspecs. Cela mèe à ue réduco mporaes du ombre d hypohèses possbles sur l appareme ere le modèle D e le modèle 3D. Les œuds du GApp représee les hypohèses d'appareme ere ue chaîe de segmes D e ue face d'u aspec du modèle 3D. Les œuds so dreceme ssues de la opologe des faces 3D e des chaîes de segmes D. U arc rele deux œuds s les 3 crères suvas so sasfas: - Crère de vsblé : les deux faces 3D apparasse das l u des aspecs du modèle 3D (la vsblé des deux faces es possble). - Crère de coexé :les deux chaîes o la même relao de coexé que les deux faces (somme e commu, segme e commu ou re). fgure 5.8 : les plas ervea das les évéemes segme/po d u polyèdre cocave smple Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 45 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 46 Malk Mallem(UEVE/LSC

24 - Crère d varace : le es des varas géomérques, basés sur des rappors de surfaces ere faces e chaîes fermées de segmes, es sasfa[zhu 995]. Nous cherchos, esue, des sous graphes comples du Gapp, appelés clques maxmales. Ue clque maxmale do, auss, vérfer les crères de vsblé e de coexé : - oues les faces 3D de la clque dove apparaîre das u aspec, - ous les apparemes, ere les segmes D e les arêes 3D de la clque, dove êre cohéres, - l erreur ssue de l applcao des varas géomérques e dépasse pas u seul fxé. Les clques maxmales formes les hypohèses plausbles sur l appareme. Elles so mues d u score, basé sur le ombre d appareme somme3d/pod obeu. Le Gapp es applqué sur le modèle D e chacu des modèles 3D sélecoés. Les hypohèses ssues de ous les Gapps so ordoées selo leur score. Ue méhode de prédco/vérfcao classque es applquée, aux hypohèses ue par ue. S ue hypohèse réuss, ses élémes so rerés du modèle D de l mage. Nous couos cee opérao jusqu à l explorao de ou le modèle D ou de oues les hypohèses. La rasformao rgde, ere le modèle 3D e le repère de l affchage, es calculée das la phase de vérfcao, pour chaque hypohèse réusse. Ef, ous les modèles recous so superposés sur l mage. Cee méhode es rbuare de la qualé de l'mage caméra. S celle-c es dégradée, le résula du raeme de l'mage s'avère suffsa - dffculé d'exraco des chaîes de segmes - pour applquer la méhode du graphe d appareme. D'où l'ulsao de la méhode du hachage géomérque basée sur les sommes des objes. (a) Méhode du hachage géomérque De la même maère que la précédee méhode, u esemble d'aspecs d'u obje es calculé hors lge e l'appareme es effecué e lge. Les aspecs so calculés par la méhode exhausve. Das ore mplémeao, u aspec es représeé uqueme par les sommes vsbles de l obje du po de vue cosdéré. Ue base de rasformao das le pla de l aspec es défe, elle peu êre formée de deux ou de ros pos de l aspec. U ombre déf de ces bases, das lesquelles ous projeos les aspecs, es ulsé. Après avor projeé les pos das chaque base, ous les sockos das ue srucure appelée able de hachage. Celle-c es u ableau à deux dmesos, de alle fxe, do chaque erée es ue coordoée (les deux dmesos correspode doc à l abscsse e à l ordoée d u po). Les dmesos de la able de hachage éa fxes, ous sommes oblgés d approxmer les coordoées des pos projeés. U éléme de la able de hachage es doc u po exprmé das u repère absolu ormalsé. Il sera modélsé par ue lse do chaque éléme es u rple : le modèle auquel l appare, u aspec de celu-c e ue base das laquelle l aspec es exprmé. L'appareme e lge es effecué e cofroa ue sére de pos, exrae de la scèe réelle, avec le coeu de la able de hachage. Ces pos, qu o ue valeur expérmeale, so pour la plupar des sommes de l obje à recoaîre. Ils so esue exprmés das dfférees bases, ces bases éa cosrues à l ade des pos recous de l mage. E séra ces pos das la able de hachage, ous obeos ue sére de correspodaces (rples : modèle/aspec/base) avec u ou pluseurs aspecs préalableme eregsrés lors de la phase hors lge de préparao de la able de hachage. Pour chaque correspodace obeue, ous ajouos u voe pour u rple modèle/aspec/base, das ue srucure réservée à ce effe. Nous défssos esue u ombre de voes mmal à ober, af qu u rple modèle/aspec/base so cosdéré comme ue hypohèse plausble. C es c que les propréés d varaces ervee. E effe, quelque so la poso ou la alle de l obje, l sera recou. Car, u ou pluseurs aspecs, qu lu so opologqueme semblables, o éé préalableme rodus das la able de hachage. Il suffra alors d applquer ue sére de rasformaos affes sur u aspec recou, af de réalser l appareme avec l obje représeé das la scèe. Les hypohèses doées par la able de hachage, so oues esées par ue procédure de prédco/vérfcao. Des ess expérmeaux o moré que les bases à deux pos so plus performaes que les bases à ros. La fgure 5.0b more que les bases à deux pos rede la able de hachage meux équlbrée. Le veau de grs d ue cellule représee la alle de sa lse. Le or représee ue lse vde, ads que le blac es ue lse à alle maxmale. (b) Fgure 5.0: La able de hachage (a) a éé réalsée à l ade de bases à ros pos, la (b) à l ade de bases à deux pos. Grâce à la recoassace D/3D préseée c-dessus, le suv d obje das l mage caméra es redu possble Evaluao de la méhode du graphe d'appareme Af de valder cee méhode de recoassace d'obje polyédrque, ous ulsos l'obje pce (fgure 5.), moé sur le robo à 4ddl, auquel le proocole expérmeal suva a éé applqué : - Calbrao du robo à 4 ddl. (o oe ses coordoées par rappor à la mre, as que les coordoées des moeurs du bac correspodaes, e ce, das 3 posos dfférees. O déerme alors les 6 paramères de la ge. - Calbrao auomaque de la caméra. - Calbrao de la pce moée sur le robo à 4 ddl selo la même méhode que celle applquée au robo. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 47 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 48 Malk Mallem(UEVE/LSC

25 - Sase d'ue sére d mages de la pce avec la caméra calbrée, e oa pour chacue d ere elles les posos des moeurs du robo. - Recoassace auomaque de l obje, e eregsreme des coordoées 3D rouvées. - Evaluao de l'erreur global du sysème. U esemble de modèles 3D fu sélecoé de la base pour effecuer la recoassace (Fgure 5.). La méhode de graphes a éé applquée pour l appareme. Elle doe u ombre oal de 43 hypohèses. C es l hypohèse sur le modèle de l'obje Pce, aya u score 80 qu a réuss. Nous doos ue descrpo de cee hypohèse : Chaîe /Face : C7F C5F C0F9 C6F0 C4F3 Segme /Arêe: S3A0 SA7 SA8 S7A S3A SA3 S0A4 S6A5 S5A6 S0A7 SA8 S7A9 S3A0 SA S0A S8A3 S4A4 S4A5 S8A3 S4A3 SA33 S9A35 Po / Somme: P3S0 PS P9S7 P6S8 P4S9 P8S PS P0S3 P8S4 P4S6 P7S7 PS8 P3S9 P5S0 P6S P5S P7S3 Moyee de l erreur(mm) Ecar-ype(mm) X Y Z 4,03 -,75-7,90,67,04 6,50 Il es éressa d examer les erreurs relevées par somme de l obje. Par exemple, le graphque suva (fgure 5.3)repred la moyee de l erreur, exprmées e mère, e X pour chacu des sommes : 0,006 0,005 Le modèle recou, vérfé par projeco, es superposé sur so mage Fgure 5.. F9 F0 erreur moyee e X 0,004 0,003 0,00 Fgure 5. : les modèles 3D sélecoés de la base, le modèle e double épasseur a éé recou e ses faces vsbles so marquées C0F9 C6F0 C7F C4F3 C5F F F F3 F4 F Fgure 5. : le modèle de l'obje Pce es superposé sur so mage avec erreur moyee de.6 pxels, les hypohèses chaîe/face so marquées Les erreurs de recosruco das le pla mage e das le repère obje o éé calculées : - l erreur moyee es de,6 pxels das le pla mage, - les erreurs moyees e écars ype das le repère obje so préseées das le ableau c-dessous : 0, uméro du po Fgure 5.3 Erreur moyee e X pour chaque somme O se red compe que l erreur pour ceras sommes (8-9 e 0-) es presque fos mos élevée e moyee que pour d aures (-4, 3-7 e 3-4). E fa la premère sére de pos fasa pare des chaîes ulsées lors de l appareme, e a doc éé prse e compe das le processus de mmsao de l erreur d appareme. Ce es pas le cas des sommes de la deuxème sére. Il paraî judceux de sélecoer les sommes vsbles appora la melleure précso das le processus d'opmsao. 5.7 Méhode basée sur la phooclomére[ababsa 000] Das la mse e œuvre de l'approche phooclomérque du recalage auomaque ous avos cosdérées les hypohèses de base (coraes) suvaes : ) les objes 3D de forme lbre ulsés so placés das ue scèe éclarée par ue source de lumère drecoelle do la poso par rappor au repère mode (R 0 ) es coue à pror. ) la prse de vue de la scèe es effecuée par ue seule caméra CCD, calbrée au préalable e coléare avec la source de lumère (cf. fgure 5.7.). 3) ous cosdéros que les objes ulsés o des surfaces maes (surface rugueuses au veau mcroscopque). Ce ype d objes possède ue réflexo dffuse, appelée auss réflexo Lamberee [Foley e al., 990] (la lumère es réfléche de maère sorope ), leurs surfaces o ue lumosé cosae de ous les pos de vue qu e déped que de l agle ere la dreco de la source de lumère e la ormale à la surface (.e. la quaé de lumère vue par la caméra es dépedae de sa poso par rappor à la source de lumère). 4) le modèle géomérque de l'obje 3D de forme lbre es déf par sa représeao e polygoes mallés. Das oue les drecos Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 49 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 50 Malk Mallem(UEVE/LSC

26 Source de lumère camera Z Y R0 X Objec de forme lbre D'u aure côé, les surfaces Lamberees parage la propréé coue sous le om de lo de Lamber, selo laquelle la quaé de lumère réfléche par ue ué de surface da vers l'observaeur es proporoelle au cosus de l'agle ere l'axe de vsée e la ormale N r à la surface. Comme la surface vue es proporoelle au cosus du même agle, les deux faceurs s'aule récproqueme. Par exemple, lorsque l'agle d'cdece du regard augmee, l'observaeur ercepe ue plus grade are, peda que la quaé de lumère réfléche dmue e coséquece. As, pour les surfaces Lamberees, la quaé de lumère vue par l'observaeur es dépedae de la poso de l'observaeur e es proporoelle à cos(θ), agle d'cdece du fasceau lumeux. As l'équao d'llumao dffuse es doée par : I= I K cos( θ) (5.7.) p d Fgure 5.7. : Sysème phooclomérque Modèle de la réflexo dffuse Comme ous l'avos meoé c-dessus, la lumosé d'ue surface lamberee e dépedra que de l'agle θ ere la dreco L r vers la source lumeuse e la ormale N r à la surface (cf. fgure 5.7.). N L θ Fgure 5.7. : Réflexo dffuse La fgure (5.7.3) more comme u fasceau lumeux qu frappe la surface ercepe ue are verseme proporoelle au cosus de l'agle ere le fasceau e N r. S le fasceau à ue seco fésmale da, le fasceau ercepe ue are da/cos(θ) sur la surface. Pour u rayo lumeux cde, la quaé d'éerge reçue par da es verseme proporoelle au cos(θ). Cec es vra pour oue surface, dépedamme du maérau. I p es l'esé de la source lumeuse; K d es le coeffce de réflexo dffuse; c'es ue cosae comprse ere 0 e e qu vare d'u maérau à u aure. L'agle θ do êre comprs ere 0 e π/ s la source lumeuse do avor u effe sur la surface éclarée. E d'aures ermes, ous cosdéros les surfaces auo-masquaes, as ue lumère placée derrère la surface e peu l'llumer. E supposa que les veceurs N r e L r so ormalsés, o peu réécrre l'équao (5.7.) e ulsa le produ scalare : r r I = I K N L (5.7.) p d ( ) C'es ce modèle que ous avos chos d'adoper pour meer os aalyses phoomérques sur les mages d'esé. Nous avos fxé, sas pere de gééralé, l'esé de la lumère cdee à. Par alleurs, le coeffce de réflexo dffuse K d peu êre fxé à la valeur phoomérque maxmum observée sur ue poro de l'obje do o sa qu'elle es oreée vers la source de lumère. De plus ous cosdéros que la source lumeuse es drecoelle, ce qu mplque que l'agle d'cdece de ses rayos par rappor à des surfaces de même ormale peu êre cosdéré comme cosa. E d'aures ermes le veceur L r es cosa pour cee source lumeuse. Modèle géomérque de l'obje de forme lbre Af d'llusrer l'esemble de l'algorhme e les résulas obeus au fur e à mesure de so dérouleme ous preos l'exemple parculer de la Véus défe par sa représeao e polygoes mallés e do le mallage es llusré das la fgure (5.7.4). As, le modèle géomérque 3D al de la Véus es doé par (cf. fgure 5.7.4): les sommes du mallage défs par leurs coordoées 3D das u référeel lé à l'obje e ceré sur so cere de gravé. Chaque somme es defé grâce à so dex qu doe sa poso das le ableau des sommes. les ormales aux sommes défes par leurs coordoées ormalsées. les faces du mallage qu so das ore cas des faces ragulares, elles so défe par ue lse. Chaque lge de cee lse défe ue face parculère du mallage e doa les dex des sommes qu la cosue. N N θ da da/cosθ Surface Surface Fgure : Are ercepée par les fasceaux élémeares de seco da Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 5 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 5 Malk Mallem(UEVE/LSC

27 #verex v v v v v #ormals v v v v v #faces f 3 f 4 3 f 5 4 f f Fgure : Modèle géomérque 3D de la Véus De plus, pour des besos de la méhode, ous avos erch ce modèle e lu rajoua les ormales aux surfaces. Chaque ormale à la surface es déermée par le produ vecorel de deux veceurs dreceurs de deux de ses ros arêes, prs das le ses rgoomérques (cf. fgure 5.7.5): r r r V = V V (5.7.3) f ss ss3 déecer les dfféres aspecs de l'obje e déermer ue représeao smple e peree. L'ulsao des méhodes classques des graphes d'aspecs écesse de réperorer les aspecs vsuels e chercha les froères qu les sépare les us des aures. Ces froères correspode à des évèemes vsuels parculers désga des varaos sgfcafs de l'aspec vsuel. Ces varaos so gééraleme facles à déecer lorsqu'l s'ag de mapuler des objes polyédrques car elles correspode à l'apparo ou la dsparo d'ue face de l'obje. Par core, lorsqu'l s'ag d'objes de forme lbre, la dscrmao ere les aspecs vsuels e ulsa des évéemes vsuels basés sur les prmves géomérques (el que les segmes de droe) 'es pas du ou évdee vore mpossble. E effe, u obje de forme lbre vu de deux pos de vue dfféres peu avor la même apparece das les deux mages de lumace respecves. L'orgalé de la méhode que ous proposos es qu'elle défe des aspecs de ype phoomérque pour dscrmer les dfférees vues de l'obje de forme lbre. Elle assoce à chaque aspec phoomérque u po de la sphère de vue, qu perme d'eglober l'obje. Cee soluo smple 'eraîe pas des calculs rop complexes e éve de devor rechercher les aspecs aalyqueme. U po mpora cocere l'formao qu do représeer les aspecs phoomérques reeus. Pour chaque aspec, ous sockos les réparos agulares de ous les sommes qu le cosue. Ef, le derer chox à éablr cocere la méhode de mse e correspodace. Comme ous l'avos meoé précédemme, pluseurs paradgmes exse pour répodre à ce problème. Le défau majeur de ces méhodes es la complexé du emps de calcul qu'elles egedre. Nous avos chos la méhode de géérao/vérfcao d'hypohèses, cee echque perme d'effecuer des apparemes rès rapdeme grâce à des calculs smples. Nous remédos à so prcpal hadcap, e l'occurrece so caracère combaore rop mpora, e fourssa à l'erée du sysème u ombre resre de prmves mage (juse le ombre qu'l fau pour déermer la rasformao rgde). La fgure (7.5.6) repred les deux grades pares du sysème e lge e hors lge qu permee de former la base de doées du modèle e d'éablr la mse e correspodace ere les prmves exraes de l'mage e les prmves du modèle. O peu cosaer l'mporace de l'vara phoomérque qu codoe la réusse du processus d'appareme. Modèle géomérque 3D Prse d'ue mage de lumace s 3 V f Défo d'u aspec phoomérque Déeco des âches brllaes das l'mage s Calcul des réparos agulares Calcul des varas phoomérques s Fgure : Défo des ormales aux surfaces du mallage Isero das la base de doées Appareme Prcpe de la méhode Le fa de cosdérer le modèle de réflexo dffuse ous perme d'affrmer que chaque veau de grs das l mage de lumace de l'obje déped uqueme de l agle ere la ormale à la surface de l obje au po cosdéré e la dreco de la source de lumère. De plus, la déermao de la valeur de ce agle se fera, à chaque fos que cela es écessare, par ue smple verso du modèle de réflexo dffuse doé par l'équao (5.7.). Pour exploer à bo esce cee propréé, ous avos chos de déermer les zoes de l mage les plus brllaes que ous avos appelé âches e qu vo cosuer os prmves mages. Ces âches correspode à des poros de surfaces de l obje oreées das la dreco de la source de lumère, or comme cee derère es coue à pror das le repère de la scèe (hypohèse ), les ormales 3D des âches exprmées das le repère mode so déermées. Pour chaque âche ous calculos les agles ere la ormale exrae e les ormales aux pos qu so ou auour de la âche. La réparo des agles as rouvés es u vara projecf pour le modèle de réflexo dffuse, e doc e déped pas du po de vue. De plus, cee réparo es dscrmae pour les objes de forme lbre. As, chaque âche exrae de l mage aura ue réparo agulare spécfque qu permera de l defer das le modèle 3D. Af de pouvor réalser des apparemes auomaques mage/modèle, o cosru, hors lge, ue base de doées du modèle 3D sous forme de ables d'aspecs, e se basa sur le prcpe de ces réparos agulares. Chaque aspec das cee able sera déf par ou les sommes du modèle 3D aya ue ormale deque, que ous appelos ormale de référece (défe avec ue olérace agulare prés). Ue des dffculés cosse à Traeme hors lge Géérao/vérfcao d'hypohèses Recalage 3D Traeme e lge Fgure : Syopque global de l'approche phooclomérque La sue de ce chapre es dédée à la descrpo des éapes de cosruco de la base de doées, de l'appareme mage/modèle e de recalage 3D. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 53 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 54 Malk Mallem(UEVE/LSC

28 5.8 Méhode basée sur la clomére[ababsa 000] La méhode clomérque es ue approche de recalage qu exploe, comme la méhode phooclomérque, les formaos sur les ormales à la surface de l'obje de forme lbre. La dfférece ere les deux approches résde, d'ue par, das la maère d'exrare ces formaos, e d'aures par, das leur ulsao pour défr l'vara géomérque. E effe, das la méhode clomérque ous recosrusos carréme les pos 3D apparea à chaque fos à ue régo locale de la surface vsble de l'obje grâce à u capeur séréo acf cosué d'ue caméra CCD combée avec u projeceur d'ue grlle laser. A parr de ces pos, ous cosrusos des pach de surface qu so des mallages parels caracérsés, e plus des coordoées 3D des pos, par les coordoées 3D des ormales e ces même pos. Pour chaque pach as déf, ous déermos sa dsrbuo agulare as que ses courbures moyee e gaussee [Dora e Ja, 997]. Pour cela, ous calculos les agles ere la ormale au po ceral du pach e les ormales aux aures pos apparea à ce même pach, pus ous déermos leur dsrbuo. Cee dsrbuo agulare as que les focos de courbure (moyee e gaussee) so varaes à la roao e à la raslao [Zsserma e al., 995] (cf. fgure 5.8.), de plus elles so dscrmaes pour les objes de forme lbre, e de ce fa, caracérse, à chaque fos, ue régo locale de l'obje, ce qu permera de l'defer das la base de doées. Hors lge Numérsao de l'obje de forme lbre Défo des pach de surface Pour chaque pach o calcule les varas suvas: - dsrbuo des agles (moyee m + écar ype σ) - courbures (moyee H + gaussee K) E lge acquso des pos 3D apparea à chaque fos à des régos dfférees de l'obje cosruco des Pach de surface Calcul des varas (dsrbuo des agles + courbures) a) pach de surface b) pach de surface aya sub ue roao Idexao de chaque pach de surface grâce à (m,σ) Calcul des dex (m,σ) pour chaque pach exra Isero des pach das la base de doées Appareme Géérao des hypohèses agles c) hsogramme de la dsrbuo des agles Fgure 5.8.: Prcpe de l'varace de la dsrbuo agulare assocée à u pach de surface As, af de pouvor exploer ces varas d'ue maère effcace pour effecuer des apparemes obje/modèle, ous avos créé, hors lge, ue able d'dexao qu orgase les dfféres pach 3 de surface de l'obje d'ue maère ordoée grâce à des dex calculées à parr de la dsrbuos agulare de chaque pach de surface. Il s'ag e l'occurrece des momes d'ordre e (la moyee e l'écar ype) de la dsrbuo agulare. As, chaque cellule de la able d'dexao va coer la lse de ous les pach de surface du modèle posséda ce dex, e das chaque erée de cee lse ous sockos l'dce du pach as que ses courbures moyee e gaussee. Esue le même procédé calculaore es applqué e lge à chaque pach de surface recosru pour accéder à u ou pluseurs pach de surface du modèle posséda u dex e des courbures smlares das la base de doées. De cee faço, ue majoré de pach du modèle se rouve écarer de la mse e correspodace, ce qu rédu d'ue maère sgfcave la complexé du processus d'appareme. 3 Les pach de surface so cosrus à parr du uage de pos 3D obeu lors de la phase de umérsao de l'obje de forme lbre. Localsao 3D Vérfcao d'hypohèses + recalage f Calcul des rasformaos plausbles Fgure 5.8. : Archecure du sysème de recalage clomérque Ef, comme pour l'approche phooclomérque, ous avos chos le paradgme de géérao/vérfcao d'hypohèses pour apparer l'esemble des pach de surface exras de l'objes das sa poso courae avec ceux de la base de doées [Huelocher e Ullma, 987]. La vérfcao d'ue hypohèse éa effecuée par re projeco das l'mage de lumace des pach du modèle rasformés par la rasformao rgde calculée à chaque fos. La fgure (5.8.) llusre l'archecure globale du sysème clomérque, subdvsée e deux grades pares : e lge e hors lge, qu permee de former la base de doées du modèle e d'éablr la mse e correspodace [Ababsa e al., 00]. Sysème de vso Le capeur de vso reeu af de recosrure les pos 3D de la surface de l'obje de forme lbre se compose d'u projeceur laser e d'ue caméra CCD. Le projeceur projèe ue grlle laser carrée composée de cq lges horzoales e cq lges vercales ([Jarvs, 983], [Valkeburg e McIvor, 998], [Rocch e al., 00]). Le prcpe gééral de cee approche cosse à recosrure das l'espace les œuds 4 de la grlle déformée projeée sur l'obje, à parr de l'mage de cee grlle acquse par la caméra (cf. fgure 5.8.3). Cee recosruco 3D s'effecue par ragulao e ulsa les œuds de la grlle d'orge avec les œuds homologues de la grlle mage. La précso de la recosruco es alors lée à la précso du calbrage de l'esemble {caméra, 4 U œud es déf comme éa le po d'erseco ere ue lge horzoale e ue lge vercale de la grlle laser. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 55 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 56 Malk Mallem(UEVE/LSC

29 projeceur}, e de la qualé de l'appareme des œuds homologues qu es foreme lée à la déeco de l'mage de la grlle projeée. Yw world coordae sysem y ϕ Xp ug vg Zp P Zw Ow Xw x Xm Rw ourelle ϕ y Rm z x projeceur θ z scèe camera dz Om Turre coordae sysem Zm Ym Op θ Yp Grd plae projecor coordae sysem Zc u Image plae v Oc Xc camera coordae sysem Yc Fgure : Capeur séréo acf 3D De plus, af de pouvor recosrure pluseurs pos d'ue régo quelcoque de l'obje, ous avos moé le projeceur laser sur ue ourelle à deux degrés de lberé lu permea as d'avor deux mouvemes de roao das le référeel (R m ), le premer selo l'axe (ox) e le secod selo l'axe (oy). De cee faço, ous pouvos balayer e acquérr 'mpore quelle régo de l'obje avec la résoluo que l'o veu. E effe, la résoluo éa défe par l'agle de balayage que ous pouvos corôler avec ue grade précso. Ef, Nous pouvos auss applquer ue raslao (d z ) au capeur 3D (projeceur+caméra) selo l'axe (oz) du référeel de la scèe. Calbrao du sysème de vso La méhode de calbrao développée es basée sur l'ulsao du modèle séopé pour la caméra e le projeceur [Faugeras, 993]. E effe, d'u po de vue mahémaque u projeceur focoe exaceme comme ue caméra e peu doc êre modélsé de maère smlare. Les sysèmes de coordoées ulsés das la procédure de calbrao du sysème de vso so llusrés das la fgure (4.4). Fgure : Sysèmes de coordoées Calbrao de la caméra So P(x,y,z) u po 3D représeé das le repère mode (cf. fgure 5.8.4), la relao ere le po P e so correspoda p(u,v) das le pla mage es doée par : où s es u faceur d'échelle, e M c la marce (3 4) de projeco perspecve. x s.u y = s.v M c (4.) z s Calbrer ue caméra cosse doc à déermer les élémes de la marce M c. Pour cela, o ulse u esemble de pos do o coaî la poso das le repère mode. Pour chacu de ces pos, o mesure la poso (u,v) de leur projeco das le pla mage. U esemble de quuplés {( X Y,Z,u, v )} es alors obeu. =,..., Les élémes de la marce M c so alors la soluo au ses des modres carrés d'u sysème d'équaos léares où le ombre d'équaos es supéreur au ombre d'coues (vor Aexe). E praque, ous avos ulsé la grlle projeée comme mre de calbrao, pour cela ous avos ou d'abord placé ore capeur de vso à ue dsace d du pla (oxy) du référeel de la scèe pour smuler u pla vercal (z=d =00mm) das le repère mode, esue ous avos projeé la grlle laser sur ce pla pour dfférees valeurs de ϕ e θ. Esue, ous mesuros les coordoées 3D das le repère mode des œuds de la grlle projeée. Les agles ϕ e θ so choss de elle maère à ce que les pos 3D géérés soe éparpllés das l'espace de raval af d'augmeer la précso du recalage 3D. Ce processus ous perme, d'exrare u cera ombre de pos 3D coplaares. Il do êre effecué au mos à deux dsaces dfférees (ous avos chos d =300 mm e d 3 =600 mm) car la calbrao mpose d'avor des pos o ous coplaares. La précso de la marce M c déped dreceme du ombre de pos, das ore cas ous avos ulsé e ou 6 pos. D'u aure côé, pour esmer les coordoées mage, Nous avos élaboré u algorhme qu, à parr d'ue mage de lumace de la grlle projeée prse par la caméra, déerme d'ue par les coordoées mage des œuds de cee grlle avec ue précso subpxélque, e d'aure par, appare chaque œud das l'mage avec le œud qu lu correspod das la grlle d'orge, ce qu perme as de géérer l'esemble des quuplés écessare pour déermer M c. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 57 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 58 Malk Mallem(UEVE/LSC

30 Calbrao du projeceur Comme ous l'avos déjà meoé, ore projeceur peu ourer de deux agles, ϕ e θ, selo les deux axes (O m X m ) e (O m Y m ) du repère de la ourelle respecveme. Les agles ϕ e θ so corôlables avec ue grade précso (0.0 degré), ous avos doc développé ue méhode qu perme de calbrer le projeceur laser quelque so les valeurs des agles ϕ e θ. Das u premer emps, ous avos calbré le projeceur das sa poso al, e l'occurrece pour ϕ=θ=0. La relao ere les œuds 3D de la grlle exprmés das le repère mode e les œuds de la grlle d'orge es doée par: x.ug = y.vg M p z où es u faceur d'échelle e M p la marce de projeco perspecve du projeceur. (5.8.) De la même maère que pour la calbrao de la caméra, ous avos gééré pluseurs pos 3D e ulsa la procédure explquée das la seco précédee. E comme ous coassos, pour chaque po 3D, le œud qu lu correspod das la grlle d'orge, ous cosrusos as l'esemble des quuplés {( X Y,Z,u g, vg) }. =,..., Les élémes de la marce M p so alors la soluo au ses des modres carrés du sysème d'équaos léares cosru à parr de l'équao (5.8.). D'u aure côé, ous remarquos que lorsque le projeceur oure d'u agle quelcoque auour de l'axe (O m X m ) ou be (O m Y m ), ce so uqueme ses paramères exrsèques qu chage (e d'aures ermes ce so la marce de roao e le veceur de raslao ere le repère mode e le repère projeceur qu chage), les paramères rsèques rese qua à eux chagés. As, à parr de la marce de projeco perspecve M p, o exra la marce rsèque (.e. les paramères eres du projeceur) e la marce exrsèque oées I p (3 4) e A p (3 4) respecveme (vor aexe), el que : e M = I A (5.8.3) p p p R = 3 3 T3 A p (5.8.4) 0 3 où R 3x3 e T 3x so la marce de roao e le veceur de raslao ere le repère mode e le repère projeceur respecveme. Lorsque la ourelle effecue deux roaos e même emps, la premère d'u agle ϕ auour de l'axe (O m X m ) e la deuxème d'u agle θ auour de l'axe (O m Y m ), la marce de roao deve alors : De même, le veceur de raslao deve: T R ' = Rϕ Rθ R (5.8.5) ([ R R ] O ) ' = Cm/ w ϕ θ p / m (5.8.6) où C m/w exprme la rasformao rgde du repère de la ourelle vers le repère mode. L'équao (4.6) veu dre que ous calculos ou d'abord les coordoées du cere de projeco du projeceur laser das le repère de la ourelle après qu'l a sub la roao, esue ous mulplos le résula par la marce C m/w pour ober le ouveau veceur de raslao T ' exprmé das le repère mode. As, la ouvelle marce exrsèque A peu êre écre comme su: ' p Faleme, la marce de projeco perspecve roao) es doée par : ' p ' M p du projeceur laser das sa poso courae (après ' ( A ) M = I (5.8.8) p L'équao (5.8.8) es rès éressae car elle ous perme de recalbrer le projeceur laser lorsque ce derer sub des roaos quelcoques selo les axes (O m X m ) e (O m Y m ) du repère de la ourelle sas avor pour aua à refare oue la procédure de calbrao. Exraco de la grlle mage La recosruco rdmesoelle de pos à parr de leurs projecos das les plas mages mplque la capacé de déecer ces projecos avec ue grade précso. Ce paragraphe décr les algorhmes ms e œuvre af d'arrver à ue déeco subpxellque [Izquerdo e al., 999] des œuds de la grlle mage. E effe, ous avos vu das la seco précédee que la déeco des œuds es écessare o seuleme pour la calbrao de la caméra mas auss pour la recosruco 3D des pos de l'obje de forme lbre qu'o veu recaler. La procédure d'exraco de la grlle se subdvse e deux éapes :. déeco des œuds.. recosuo de la grlle mage. Déeco des œuds Chaque œud das l'mage de la grlle projeée es cosdéré, localeme, comme le cere d'ue crox. Pluseurs algorhmes permea de déecer le cere d'ue crox exse das la léraure [Dérche e Graudo, 993], cepeda ls pree comme po de dépar ue mage bare (or e blac) ce qu du des mprécsos mporaes das la déeco. Nous proposos ue méhode qu déece le cere d'ue crox das ue mage de lumace (e veau de grs) e se basa sur ue modélsao mahémaque de la lumace. Le modèle proposé perme de modélser des crox de forme quelcoque (des crox oblques e/ou droes, vor fgure 5.8.5), l es déf par l'équao suvae : c ( x y e) f ( y x h) c ( x y h) f ( y x h) ( d L(x,y) a b e e g e d g = + + ) (5.8.9) Il es clar que le modèle de l'équao (5.8.9) s'applque uqueme à des mages de lumace coea ue e ue seule crox, ce qu 'es pas le cas c où ous avos à mapuler des mages coea la oalé de la grlle projeée. As, pour pouvor ulser ce modèle, ous devos ou d'abord exrare, à parr de l'mage orgelle, de pees mages que ous avos appelées "magees" qu e coee qu'ue seule crox à la fos. p ' ' ' R 3 3 T3 A = p (5.8.7) 0 3 Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 59 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 60 Malk Mallem(UEVE/LSC

31 BIBLIOGRAPHIE Bblographe sur la modélsao 3D [SOL 94], SOLINA F., LEONARDIS A., MARCEL A., A Drec Par-Level Segmeao of Rage Images Usg Volumerc Models, IEEE, Robocs ad Auomao, Sa Dego, pp Calfora, May 8-3, 994. [TRA 93] TRASSOUDAINE L., Soluo mulsesorelle emps reel pour la deeco d obsacles sur roue, hèse de docora de l uversé Blase Pascal de Clermo-Ferrad, 6 FEV93. [YUA 89] YUAN J.S.C., A Geeral Phoogrammerc Mehod for Deermg Objec Poso ad Oreao, IEEE Tras. o Robocs ad Auomao, 5(), pp 9-4, Aprl 98 [AYA 9] AYACHE N., LUSTMAN F., Trocular Sereo Vso for Robocs, IEEE Tras. o PAMI,3(), pp.73-85, Jauary 99. [Aru e al., 987] K. S. Aru, T. S. Huag e S. D. Blose (987). Leas-square fg of wo 3D pos ses. IEEE Trasacos o Paer Aalyss ad Mache Iellgece, 9: [BAD 94] BADCOCK J.M., JARVIS R.A., Wre-frame modelg of polyhedral objecs from ragefder daa, Roboca, Vol, pp , 994. [COL 94] COLLE E., CHEKHAR Y., Processus de cosruco d'mages 3D, RAPA, Ed. HERMES, Vol. 7(), 994. [DHO 89] DHOME M., RICHETIN M., LAPRESTE J.T., RIVES G., Deermao of he Aude of 3D Objecs from a Sgle Perspecve Vew, IEEE Tras. o Paer Aalyss ad Mache Iellgece, Vol., pp 65-78,December 98 [DHO 90] DHOME M., LAPRESTE J.T., RIVES G.,ad RICHETIN M., Spaal Localsao of Modelled Objecs of Revoluo Moocular Perspecve Vso, Europea Coferece o Compuer Vso, volume 4, 990, pp [FAU 93] FAUGERAS O. G., Three Dmesoal Compuer Vso: A Geomerc Vewpo, MIT Press, Boso 993. [FOL 90]FOLEY D.F., VAN DAM A., FEINER S.K., HUGHES J.F. Compuer Graphcs: Prcple ad Pracce, d Edo, Addso-Wesley Publshg Compagy, 990. [GAN 84] GANAPATHY S., Decomposo of rasformao marces for robo vso, Proceedgs I. Cof. o Robocs ad Auomao; Alaa; pp 30-39; March 3-5,984. [Haralck e Shapro, 993] R. M. Haralck e L. G. Shapro (993). Compuer ad robo vso. Addso- Wesley, Vol.. [HOR 87] HORAUD R., New Mehods for Machg 3D Objecs wh Sgle Perspecve Vews, IEEE Tras. o Paer Aalyss ad Mache Iellgece, Vol PAMI-9, 3,pp 40-4, May 987 [HOR 93] HORAUD R., MONGA O., Vso par ordaeur, ouls fodameaux, Hermes, Pars, Frace, 993 [KUM 95] KUMAR S., HAN S., GOLDGOF D. ad BOWYER K., O Recoverg Hyperquadrcs from Rage Daa, IEEE Trasaco o PAMI, Vol. 7(), pp , 995. [LOW 87] LOWE D., Three dmesoal Objec Recogo from Sgle Two-dmesoal Images, Arfcal Iellgece, 3, pp , 987. [Lowe, 99] D. G. Lowe (99). Fg paramerzed hree-dmesoal models o mages. IEEE Trasacos o Paer Aalyss ad Mache Iellgece, 3(5): [Lu e Hager, 000] Lu C., Hager G. D. e Mjolsess E., Globally Coverge Pose Esmao from Vdeo, Trasacos o Paer Aalyss ad Mache Iellgece,, 60-6, 000. [NZI 995] N'ZI E.C., Modélsao e Recosruco 3D d'evroeme : Applcao à la Téléopérao, Thèse de docora de l'uversé d'evry Val d'essoe, Evry, 7//995. [NZI 97] N'ZI E.C., MALLEM M., CHAVAND F., Ieracve buldg ad updag of a 3D daabase for eleoperao, Roboca, Ieraoal Joural of Iformao, Educao ad Research Robocs ad Arfcal Iellgece, Eded by J. Rose, Cambrdge Uversy Press, Eglad vol. 5, par 5, pp , oc.997. [NEV 95] NEVEU M., FAUDOT D., DERDOURI B., Superquadrques B-déformables pour la recosruco 3D, Techque e Sceces Iformaques, Vol. 4(0), pp. 9-34, 995. [PER 90] B. PEROCHE, D. GHAZANFARPOUR, J. ARJENCE, D.MICHELUCCI "La syhèse d'mages" HERMES 990 [PRE 85]PREPARATA F.P. ad SHAMOS M.I., Compuaoal Geomery: a Iroduco, Sprger Verlag 985. [PRESS 99] PRESS W. H., TEUKOLSKY S. A., VETTERLING W. T. ad FLANNERY B. P. (99): Numercal Recpes C: he ar of scefc compug; Cambrdge Uversy Press 99. [REQ 80]REQUICHA A.A.G., Represeaos for Rgd Solds: Theory, Mehods ad Sysems, ACM Compug Surveys, vol., N 4, pp ,Dec. 980,. [SAY 96] SAYD P., Modélsao de cyldres gééralsées e vso arfcelle, Thèse de docora de l'uversé Blase Pascal, Clermo Ferrad, 8//995. Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 6 Malk Mallem(UEVE/LSC Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 6 Malk Mallem(UEVE/LSC

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33 Aexe : Formalsme mahémaque des B-sples : La courbe B-sple selo + pos de corôle P es doée par [FOLEY 990] : Sple( ) = où N, k r P N = 0 ( ) es le, k ( ) st[ ] T[ + ] N, ( ) = 0 s o T[ ] N, j ( ) = N, j T[ + j ] T[ ] Avec comme coveo 0 s < j T[ ] = j + s j d d k + s polyôme de Resefeld déf récurssveme par T[ + j] ( ) + N T[ + j] T[ + ] +, j ( ) pour le calcul de la formule c - dessus : 0/0 = 0 e où T es déf par : Modélsao e recoassace d'evroeme 3D 65 Malk Mallem(UEVE/LSC