Convergence en loi. Théorème de la limite centrale.

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1 Uiversité Pierre et Marie Curie Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 10 (semaie du 2 au 6 décembre 2013 Covergece e loi. Théorème de la limite cetrale. Covergece e loi 1. Soiet (X N ue suite de variables aléatoires réelles défiies sur u espace (Ω, F, P et f ue applicatio cotiue de R das R. O suppose que (X N coverge e loi vers ue variable aléatoire X. Motrer que la suite (f(x N coverge e loi vers f(x. Solutio de l exercice 1. Tout d abord, f(x est bie ue variable aléatoire comme composée de la variable aléatoire X et de l applicatio f qui est cotiue. Si ϕ est ue applicatio de R das R cotiue borée, remarquos que ϕ f est égalemet cotiue borée. L hypothèse de covergece e loi de la suite (X N vers X implique lim E[ϕ f(x ] = E[ϕ f(x] que l o peut écrire lim E[ϕ(f(X ] = E[ϕ(f(X]. Ceci état valable pour toute ϕ cotiue borée, (f(x N coverge e loi vers f(x. 2. a. Soit (X 1 ue suite de variables aléatoires réelles qui coverge e loi vers ue variable aléatoire réelle costate a. Motrer que la covergece a lieu aussi e probabilité. b. Soit (X 1 ue suite idépedate de variables aléatoires réelles de même loi de Cauchy de paramètre 1. Soit S = k=1 X k. Etudier les covergeces e probabilité et e loi des suites ( 1 S 1, ( 1 S 1 et ( 1 S 2 1. Idicatio : la foctio caractéristique de la loi de Cauchy est doée par φ(t = e t. Solutio de l exercice 2. a. Soit ε > 0 et f ε défiie par f ε (x = 1 ]a ε,a+ε[ c(x + 1 ε x a 1 ]a ε,a+ε[. Cette foctio est cotiue borée, doc la suite (E[f ε (X ] 1 coverge vers E[f ε (a] = 0. Comme P( X a ε = E[1 ]a ε,a+ε[ c(x ] E[f ε (X ], (X 1 coverge e probabilité vers a. b. La foctio caractéristique de 1 S est doée par φ(t = E[e it S ] = (E[e it X 1 ] = e t, car les X sot idépedates. Comme la suite ( e t ted vers 1 1 {0}(t qui défiit ue applicatio o cotiue e 0. Doc la limite des foctios caractéristiques est pas ue foctio caractéristique, et ( 1 S 1 e coverge i e loi, i e probabilité. 1

2 La foctio caractéristique de 1 S est φ(t = e t. La suite ( 1 S 1 coverge doc e loi vers ue variable aléatoire de loi de Cauchy. Mais elle e coverge pas e probabilité. E effet, sio, la suite ( S S covergerait e probabilité, doc aussi e loi, vers 0. Or, la foctio caractéristique de S it est doée par φ(t = E[e 2 (X1+ +X (X +1+ +X2 ] = S 2 2 e t, qui e coverge pas vers 1, foctio caractéristique de la variable aléatoire 0. La foctio caractéristique de 1 S 2 est φ(t = e t qui coverge vers 1. Aisi, la suite ( 1 S 2 1 coverge e loi et doc e probabilité vers Soiet X ue variable aléatoire réelle, (X N et (Y N deux suites de v.a.r. a. Motrer que pour tout t R, a > 0 et N, φ X+Y (t φ X (t 2P( Y > a + E[1 ],a] ( Y e ity 1 ]. b. Motrer que si (X N coverge e loi vers X et (Y N coverge e loi vers 0, alors la suite (X + Y N coverge e loi vers X. c. Motrer que la covergece e loi de (X N vers X implique pas la covergece e loi de (X X N vers 0. Solutio de l exercice 3. a Pour tous t R, a > 0 et N, φ X+Y (t φ X (t = E[e itx (e ity 1] E[ e ity 1 ] = e ity 1 dp + e ity 1 dp { Y >a} { Y a} 2P( Y > a + e ity 1 dp { Y a} b E fait, Y coverge e probabilité vers 0. Soit ε > 0. Il existe a 0 > 0 tel que pour y a 0, e it 1 ε. De plus, il existe 0 N tel que pour tout 0, P( Y > a 0 ε. Doc, φ X+Y (t φ X (t 3ε. La covergece e loi de (X N vers X implique qu il existe 1 (que l o peut predre plus grad que 0, tel que, pour tout 1, φ X (t φ X (t ε. O a motré que pour tout 1, φ X+Y (t φ X (t 4ε d où la covergece e loi demadée. Pour éviter les ɛ o peut utiliser la otio de limite supérieure. Pour tout a positif o a : φ X+Y (t φ X (t φ X+Y (t φ X (t + φ X (t φ X (t 2P[ Y a] + E[ 1 [0,a] ( Y e ity 1 ]+ φ X (t φ X (t 2P[ Y a] + sup e itx 1 + φ X (t φ X (t 2

3 or la limite supérieur d ue somme est plus petite que la somme des limites supérieures et si ue suite coverge sa limite supérieure est égale à sa limite doc pour tout réel a positif : lim φ X+Y (t φ X (t 2lim P[ Y a] + sup e itx 1 +lim φ X (t φ X (t = sup e itx 1, la derière égalité proveat de la covergece e loi de X vers X et de la covergece e probabilité de Y vers 0. Aisi pour tout a réel positif : lim φ X+Y (t φ X (t sup e itx 1, e faisat tedre a vers 0 o obtiet doc lim φ X+Y (t φ X (t = 0. Or ( φ X+Y (t φ X (t est ue suite de termes positifs doc elle est covergete et coverge vers 0. c O pred X de loi symétrique (X a la même loi que X, et o pose X = X. Alors X coverge e loi vers X, mais X X coverge e loi vers 2X. Applicatios du TCL 4. Soit (X 1 ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi de Poisso de paramètre 1. Soit S = ( k=1 X k. Rappeler la loi de S et calculer la limite de la suite e. k 1 Solutio de l exercice 4. Ue somme de v.a. de Poisso idépedates est ue v.a. de Poisso dot le paramètre (qui est aussi l espérace et la variace est la somme de ceux des v.a. qu o a ajoutées. Aisi S suit ue loi de Poisso de paramètre. E particulier, k si k N, alors e = P(S = k. E sommat, o obtiet ( e k = P(S = P(S / 1. La loi des grads ombres ous dit que S / E[X 1 ] = 1 p.s. Aisi S / est proche de 1, mais ce résultat e ous dit pas s il est u peu plus grad ou u peu plus petit. Pour avoir des iformatios sur S / 1, (et e particulier so sige, o applique le théorème de la limite cetrale : S loi N (0, 1. D après le corrolaire du cours, o e déduit que, si Y suit ue loi ormale stadard, alors, lorsque, P(S / 1 = P( S 0 P(Y 0 = 1/2. 3

4 L égalité P(Y 0 = 1/2 découle du fait que Y est symétrique. Aisi, o a motré que ( e k 1/2. 5. a. Soit (p 0 ue suite de réels das ]0, 1[ telle que lim + p = λ > 0. Soit (X 0 ue suite de v.a. telles que pour tout : X B(, p et X ue v.a. de loi de Poisso paramètre λ. Motrer que (X 0 coverge e loi vers X. b. Soit (X 0 ue suite de v.a. réelles idépedates de même loi N (0, 1. Etudier le comportemet asymptotique e loi de la suite Y = 1 k=1 kxk. Solutio de l exercice 5. a. Afi de motrer la covergece e loi de (X 0 vers X. Motros que φ X (t φ X(t pour tout t R, où φ X desige la foctio caractéristique d ue variable aléatoire + X. φ X (t = ( 1 p + p e i t = exp ( l(1 p + p e i t = exp ( p (1 e i t + p ɛ exp ( p (1 e i t + eλ(eit 1 = φ X (t. où ɛ + 0 b. Vu la forme de la variable de Y, o est teté d appliquer la loi des grads ombres. Cepedat o e peut pas l appliquer car les variables kx k e sot pas idetiquemet distribuées. O va doc à ouveau utiliser les foctios caractéristiques afi de démotrer u résultat de covergece e loi. Les variables aléatoires X sot idépedates, doc Y est ue variable gaussiee de moyee 0 et de variace ( doc : φ Y (t = e ( t 2 /2 + e t2. O a doc motré que (Y 1 coverge e loi vers ue loi ormale cetrée réduite N (0, O suppose que l itervalle de temps etre deux voitures successives à u passage à iveau (peu fréqueté suit ue loi expoetielle de moyee 30 miutes. O suppose de plus qu il y a idépedace etre les itervalles de temps séparat les istats de passage de voitures. Calculer (ue valeur approchée de la probabilité qu il y ait plus de voitures qui emprutet le passage à iveau ue jourée doée. Solutio de l exercice 6. Soit (X 0 ue suite de v.a. i.i.d suivat la loi expoetielle de paramètre 1/30. O a alors E[X 1 ] = 30 et V ar(x 1 = 900. X représete le temps 4

5 (e miutes qui sépare le passage de la ( 1ième voiture de la ième voiture. O cosidère esuite S = X X. S doe l istat de passage de la ième voiture. O veut détermier P[S 24 60]. Or o a [ ] ( S 30 P[S 24 60] = P F, où F est la foctio de répartitio ( de la loi ormale cetrée réduite, l approximatio état 2 doée par le TCL. De plus F F ( = 1 F ( E utilisat ue table ou u logiciel o obtiet F ( O a doc P[S 24 60] La somme des résultats de lacers d u même dé est Pesez-vous que ce dé soit truqué? O pourra utiliser l égalité approchée + 3,29 e x 2 2 dx 0, Solutio de l exercice 7. Ue suite de lacers de dés peut être modélisée par ue suite (X 1 de variables aléatoires idépedates de même loi uiforme sur l esemble fii {1,..., 6}. O a E[X 1 ] = 1 6 ( = 7 2, E[X 2 1] = 1 6 ( = 91 6, Var(X 1 = E[X 2 1] E[X 1 ] 2 = Notos S = X X la somme des premiers lacers. Le théorème cetral limite affirme que l o a la covergece e loi S 7 2 Var(X1 (d N (0, 1. S Faisos l approximatio cosistat à dire que pour = 10000, la loi de 7 2 est égale Var(X1 à la loi ormale N (0, 1. O a alors, pour tout a > 0, et avec = 10000, ( 7 P 2 Var(X 1 a S Var(X 1 a = 1 a 2 dx. Preos a = 3, 29. Nous avos Aisi, 1 3,29 3,29 2 dx = ,29 a 2 dx = 0, 999. P( S , 999. Nous observos ue somme qui appartiet à cet itervalle. Nous décidos doc de dire que la somme obteue est compatible avec l hypothèse que ce dé est équilibré. 5

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