Physique des Milieux Continus

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1 Phsique des ilieu Coninus Denis GIALI ommaie I - Raels de mécanique des fluides II Les milieu coninus 7 III Ondes dans les milieu coninus I - Raels de mécanique des fluides aique des fluides Un fluide es au eos dans un éféeniel R si le cham des iesses, es nul en ou oin du fluide à ou insan. Les acions qui s eecen su un fluide, en mouemen ou au eos, limié a une suface de conôle Σ, son de deu soes : Les acions à disance, caacéisées en chaque oin A du fluide, à l insan, a la densié de foces olumiques : df f A, dτ où df es la foce qui s eece su l élémen de olume dτ auou de A. Les acions de conac, caacéisées en chaque oin du fluide siué su Σ, à l insan, a la densié de foces sufaciques ou conaine : df f, d où df es la foce qui s eece su un élémen d aie d auou de. On décomose la conaine f en une comosane angenielle f T e une comosane nomale f N a ao à l élémen d aie d. Dans un fluide afai au eos ; f T, donc f es nomale à d en ou oin. En désignan a n le eceu uniaie nomal à d en, diigé es l eéieu de Σ, on ose ou un fluide au eos ; f df n d, où la foncion scalaie défini le cham de ession du fluide. La ession en es indéendane de l oienaion de n. La foce essane eecée a le fluide au eos su l élémen d aie d de Σ es donc ; df df d n La condiion d équilibe d un fluide, lacé dans un cham de foces donné caacéisé en chaque oin a la densié olumique des foces f df /dτ, se adui, dans un éféeniel galiléen R, a la elaion locale fondamenale : gad f Denis Gialis

2 Phsique des milieu coninus Denis Gialis i les seules foces olumiques qui agissen su le fluide, de masse olumique µ, son celles du cham de esaneu g, on a : f F dτ d µ Donc, dans R galiléen : gad µg i g es suian l ae O de eceu dieceu u el que g gu, alos ; En inégan, d µ g d g µ g d Les sufaces isobaes son ohogonales au lignes de cham de g. Pou un liquide incomessible : µ Ce, donc aec * µ g µ g ou * * qui es la ession saique. Pou un ga afai isoheme de eméaue T e de masse molaie : R T e g RT µ équaion du niellemen baoméique i un fluide es en équilibe dans un éféeniel R non galiléen, la elaion locale fondamenale ese aie à condiion d ajoue au cham g le cham d accéléaion d enaînemen a e : gad µ g - a e Pou éudie l équilibe d une gande masse de fluide, comme a eemle une éoile, don la cohésion es esseniellemen due à l aacion gaiaionnelle, on uilise le héoème de Gauss : le flu du cham de esaneu g à aes une suface femée Σ es ; Σ g ds 4π G m où m in es la masse du fluide inéieue à Σ e G la consane de gaiaion unieselle. Théoème de Pascal Un liquide incomessible au eos ansme inégalemen les essions. Théoème d Achimède Tou solide immegé dans un ssème de fluide au eos subi une foce F a, égale e oosée au oids des fluides délacés : F a P La oussée d Achimède F a es aliquée au cene de masse des fluides délacés. Cinémaique des fluides in Desciion lagangienne On sui l éoluion au cous du ems d un même ei élémen de fluide. La osiion de ce élémen es eéée à chaque insan a : Denis Gialis

3 Phsique des milieu coninus Denis Gialis où s es la osiion iniiale de ce élémen. a iesse es : O s, s P do Les aiables de Lagange son e les ois comosanes de s. Desciion euléienne On déci la éaiion des iesses dans l ensemble du fluide à un insan donné. oi P un oin fie du éféeniel d oigine O dans lequel s effecue l éude du mouemen e qui es eéé a : OP La iesse du fluide en P à un insan donné es :, Cee iesse es une foncion des aiables indéendanes e. L ensemble des iesses locales,, ou cham de iesse, eme de décie le mouemen du fluide. Pou une aicule de fluide qui se oue au oin d obseaion P à l insan, on eu confonde la iesse locale, e la iesse insananée de la aicule :, P d / d / d / Accéléaion d une aicule de fluide e iesse locale La aicule de fluide aan en la iesse P, à l insan se oue à l insan à la osiion d aec d P,. On doi alos considée comme une foncion de e ainsi P d,. L accéléaion d une aicule de fluide es ; aec d P d, Donc, comme d a d O d P d d d d d P,, on dédui que d a d / d / d / e : Denis Gialis

4 Phsique des milieu coninus Denis Gialis ou encoe, aec a gad gad gad o qui es l accéléaion conecie. Cee accéléaion adui le caacèe non unifome du cham de iesse locale. L accéléaion locale es e adui le caacèe non emanen du cham local de iesse. La déiée aiculaie de ou déiée en suian le mouemen es ; D gad D On défini le eceu oaion d un fluide en mouemen a ;, o, On aelle oicié du fluide en, à l insan, la quanié ; o, Ω Classificaion des écoulemens des fluides Un fluide es di afai si on néglige sa iscosié donc si on néglige les foemens ene les couches oisines du fluide en mouemen. L écoulemen d un fluide es emanen si son cham de iesse en ne déend as eliciemen du ems c es-à-die. L écoulemen d un fluide es unifome si son cham de iesse en ne déend as eliciemen de la osiion :. L écoulemen d un fluide es ioaionnel si le eceu oaion es aou nul : Ω donc o On eu alos ose ; gadϕ. Le cham de iesse déie ainsi d un oeniel scalaie ϕ aelé oeniel des iesses e défini à une consane ès. i Ω n es as ideniquemen nul, l écoulemen es di oaionnel ou oubillonnaie e o Ω. Aussi, d aès le héoème de okes ; C dl d où C es un conou femé e une suface s auan su C. L écoulemen d un fluide es lan si le cham de iesse ne déend que de deu coodonnées d esace e du ems. Equaions de conseaion de la masse La conseaion de la masse d un fluide en mouemen, de masse olumique µ, e de cham de iesse,, es aduie a l équaion locale : µ di µ équaion de coninuié Un fluide es di incomessible si sa masse olumique es consane, on a alos ; Denis Gialis

5 Phsique des milieu coninus Denis Gialis di D aès le héoème d Osogadsk, l équaion de coninuié s éci sous fome inégale ou un fluide à l inéieu d un olume de conôle τ de suface ; d µ τ µ dτ Le débi massique du fluide qui so de la suface es défini a ; D m µ d La masse de fluide à l inéieu du olume τ éan ; m τ En égime emanen, µ d τ, on a : dm D m dm, donc Dm. Il a conseaion du débi massique du fluide. Les lignes de couan, à un insan donné, son les lignes de cham du eceu iesse, c es-àdie les coubes angenes à en chaque oin du fluide. Un ube de couan es une oion de fluide limiée a des lignes de couan. Une équioenielle es une ligne ou une suface définie a ϕ Ce. Dnamique des fluides afais Equaion d Eule dans un éféeniel R galiléen Tou fluide en mouemen, lacé dans un cham de foces eéieues obéi à l équaion locale ; gad f µa où a gad foces eéieues es f df /dτ. e es la ession du fluide au oin où la densié olumique des Dans le cham de esaneu g, on a f µg donc ; gad µg a. On éci aussi ; gad o g gad µ Equaion d Eule dans un éféeniel R non galiléen i l accéléaion a d une aicule es mesuée dans R non galiléen, il fau inoduie les foces d ineie d enaînemen e comlémenaie : gad f µa a e a c où a es l accéléaion elaie, a e l accéléaion d enaînemen du fluide e a c l accéléaion comlémenaie. Dans le éféeniel eese non galiléen, en aelan Ω le eceu oaion de la Tee, on a ; gad µg. Théoème d Eule La somme des foces eéieues aliquées à un ssème femé de quanié de mouemen oale µ dτ es elle que ; P Denis Gialis

6 Phsique des milieu coninus Denis Gialis F e dp d µ dτ Pou un ssème oue, c es-à-die un fluide en mouemen à l inéieu d une suface de conôle Σ délimian un olume τ, la loi écédene deien : où Ainsi, dp F e DP D µ ds es le débi des quaniés de mouemen soan de Σ. P Σ i le égime es emanen, dp/, donc : F e d µ dτ µ ds F e D P Σ Σ µ ds Théoème de l énegie cinéique Pou un ssème femé, d énegie cinéique dans R galiléen E c dm µ dτ, la uissance des foces aliquées à ce ssème es égale à la déiée emoelle de l énegie cinéique : de P Pou un ssème oue, cee uissance deien ; où D E Σ µ ds de c c P D E es le débi d énegie cinéique soan de Σ, donc : d P µ dτ Σ µ ds Relaions de Benoulli Les fluides son suosés afais e lacés dans le cham de esaneu g suian l ae O ascendan qui es el que : g gadg. Dans le cas généal d un écoulemen comessible e non emanen, en inégan l équaion d Eule le long d une ligne de couan ene deu oins A e A de cee ligne, on a la elaion de Benoulli ; A A d µ dl g A i l écoulemen es emanen, incomessible e oaionnel alos /, µ Ce e la elaion de Benoulli deien ; A A A Denis Gialis

7 Phsique des milieu coninus Denis Gialis Denis Gialis g A A µ c es-à-die µ µ g Ce su une même ligne de couan i l écoulemen es emanen, incomessible e ioaionnel alos : µ µ g Ce dans ou le fluide II - Les milieu coninus Les ssèmes maéiels caacéisés a le fai que les disances ene les oins qui les comosen aien au cous des mouemens son dis défomables. Pou les ssèmes maéiels défomables comme les fluides, les gandeus mécaniques qui les caacéisen son esque oues des foncions de oins coninues. Ces milieu, ou lesquels les oiéés de disconinuié de la maièe euen êe négligées, son aelés milieu coninus. Défomaions Les défomaions son des changemens de disances ene des oins d un milieu. oi,,,, l éca infiniésimal à une osiion de éféence alos : d d,, Ψ Ψ en considéan que les déiées son eies en aleu absolue dean. oi, on a. On décomose ainsi en la somme d une maice de oaion R e d une maice ε caacéisan la défomaion du milieu ; R

8 Phsique des milieu coninus Denis Gialis Denis Gialis ε La maice ε eu êe décomosée en une maice de ace nulle ε ~ e une maice diagonale mulile de l idenié : I di ε ε Ψ ~ On a les elaions : di δ Ψ qui eésene la aiaion elaie d un olume infiniésimal. d R d o Ψ oi,,, le cham de iesse dans le milieu, on défini de même le au de défomaion ε& el que : ε& On a égalemen la décomosiion ; I di ε ε & & ~ oi, on a. On décomose ainsi en la somme d une maice de oaion R e d une maice ε caacéisan la défomaion du milieu ; R

9 Phsique des milieu coninus Denis Gialis Denis Gialis ε La maice ε eu êe décomosée en une maice de ace nulle ε ~ e une maice diagonale mulile de l idenié : I di ε ε Ψ ~ On a les elaions : di δ Ψ qui eésene la aiaion elaie d un olume infiniésimal. d R d o Ψ oi,,, le cham de iesse dans le milieu, on défini de même le au de défomaion ε& el que : ε& On a égalemen la décomosiion ; I di ε ε & & ~ E di δ es le au de aiaion elaie d un olume infiniésimal. Conaines Les conaines son des acions de conac. La foce eecée a su au aes d un élémen de suface d oiené es l eéieu de es ; df d c es-à-die, d d d df df df

10 Phsique des milieu coninus Denis Gialis La maice es une maice sméique, on eu la décomose en une maice de ace nulle ~ e une maice mulile de l idenié isooe elles que ; ~ T I où isooe. T I Le flu de quanié de mouemen de la égion es la égion associé au conaines au : φ d d où es la maice des essions. La foce ou conaine ésulane eecée su un olume de suface es ; F ésul d f aec la foce olumique de conaine f qui s éci ; f La uissance des foces de conaines es elle que ; P c d d d di d La uissance a unié de olume au donc ; Lois des milieu dpc dτ di f T ε& Ces lois elien des gandeus aan la même loi de ansfomaion los des oaions. Le module de igidié µ e le coefficien de comessibilié χ caacéisen l élasicié du milieu, ils son définis a les elaions : ~ µ ~ ε isooe Ainsi, les élémens de maices son els que : ii χ ij µ ε ij µ ε Ce denie élémen eu se éécie : ii 4 µ χ ε aec i, j e k difféens deu à deu. λ es aelé coefficien de Lamé. Enfin, ii µ χ ε ii di Ψ si i j T ε χ T ε ε ε λ µ ε λ ε ε jj kk [ υ ] où E es aelé module d Young e ν es le coefficien de Poisson. ii E ii jj kk ii jj kk Denis Gialis

11 Phsique des milieu coninus Denis Gialis Le coefficien de èe iscosié η e le coefficien de nde iscosié ζ aduisen la iscosié du milieu, ils son définis a les elaions : ~ η ε&~ isooe ζ di La ession dans un fluide isooe es elle que : Les foces olumiques son : f f f élas isco ess µ µ Ψ χ gaddi Ψ η η ζ gaddi gad Remaques : Pou un fluide incomessible, di. Les coefficiens µ, χ -, λ e E son homogènes à une ession Pa e η e ζ son en Pas. Lois de conseaion En suian le fluide dans son mouemen, la aiaion d une gandeu hsique associée à ce fluide g,,, s éci : Dg g, g, Donc L équaion de Newon es alos : ρ Dg D D D g gad g f ρ gade où ρ es la masse olumique e e l énegie oenielle massique. On eu en déduie le héoème de l énegie cinéique : ρ D D f L énegie inene es, a définiion, ce qui ese losqu on a enleé l énegie cinéique macoscoique. Pa ailleus, une quanié de chaleu Q es un ao d énegie aue que celui lié à la uissance des foces ; il doi s écie ; où j h δq jh d δ K gadt aec K la conducibilié hemique e T la eméaue. ρ gade c es-à-die, ρ De / D oal Enfin, la uissance des foces oenielles es Le bilan d énegie es ainsi : ρ D D e e di j h di f aue. En considéan un olume fie, la aiaion de la gandeu oale G elaie à ce olume s éci : d G où es la suface délimian. Dg D ρ g d ρ d g ρ d Denis Gialis

12 Phsique des milieu coninus Denis Gialis Pou la masse, g donc : ρ di ρ Dans le cas d un fluide non isqueu I lacé dans le cham de esaneu, on a : ρ d [ d ρ d ] ρ g III - Ondes dans les milieu coninus Les ondes son des eubaions dans le milieu a ao à une siuaion hsique saionnaie caacéisée des oiéés du milieu qui euen êe sa masse olumique ρ, sa ession e sa iesse. Les ondes modifien ces oiéés e on noe : où e ' << ' ρ ρ ρ' ' ρ ρ e ρ' << ρ e si on considèe le milieu iniialemen immobile Aoimaion acousique : On suosea que la iesse des aicules du milieu es ès eie dean la céléié de l onde ce qui signifie que le délacemen des aicules es négligeable dean la longueu d onde. On a alos : gad Dans cee hohèse, l équaion de Newon deien : << D ρ gad ρ g D d Ondes sonoes ou sismiques dans un solide homogène au eos Ψ : f D Ψ f ρ ρ f Ψ f D f lim ε Ψ. D aès l équaion de Newon e la elaion aec [ ] Ψ f f f f f Ψ f Ψ εψ Denis Gialis

13 Phsique des milieu coninus Denis Gialis O a hohèse Ψ ρ Ainsi ; Ψ << λ, donc : f Ψ ρ - µ Ψ χ µ gaddi Ψ Toue soluion Ψ de cee équaion es décomosable en une somme d ondes lanes. i ω k En considéan une onde lane elle que Ψ, Ψ e, l équaion écédene deien : ρ ω Ψ µ k Ψ µ χ k k Ψ O, Ψ se décomose en une comosane aallèle à k, noée Ψ, e une aue eendiculaie, // noée Ψ. On en dédui les équaions : ρ ω ρ ω µ k µ k Ψ µ χ k i Ψ, on obien des ondes longiudinales ou ondes de comession, noées ondes P, elles que : ρ ω 4 µ χ k aec Ψ donc la iesse de oagaion es : // c P ω k χ Ψ // 4µ / ρ Ψ // i Ψ, on obien des ondes ansesales ou ondes de cisaillemen, noées ondes, elles // que : aec Ψ donc la iesse de oagaion es : ρ ω µ k Ψ c ω k Remaque : Dans un fluide, le module de igidié µ es nul donc il n a as d onde. Ondes sonoes dans un fluide homogène non isqueu au eos µ ρ On néglige la esaneu. En linéaisan l équaion d Eule, elle deien : ρ gad ' L équaion de conseaion de la masse es quan à elle : Denis Gialis

14 Phsique des milieu coninus Denis Gialis ρ' ρ di Enfin, il fau ajoue une équaion d éa du fluide. On suose que l éoluion d un fluide es baooe c es-à-die que la ession ne déend que de la masse olumique, ce qui se adui au emie ode a : Pa définiion, on ose ρ ρ c, ainsi : ρ' ρ ρ c On eu égalemen suose que l éoluion es isenoique e on défini alos le coefficien de comessibilié isenoique qui es : Au emie ode : E donc χ d dρ ρ c ρ d/ ρ dρ ρ d ρ d χ ρ χ De ces difféenes équaions, on dédui les équaions de oagaion : Remaque : Pou un ga afai, χ e ce γ ρ' ρ' c ' ' c c ρ γ imlique que c γ ρ. On associe au ondes une densié d énegie qui es : de ρ dτ Le eceu de Poning acousique Π es définie a : χ Π ' La uissance aonnée à aes une suface femée Σ es le flu du eceu de oning acousique : P a Σ ' d Denis Gialis