9 PROBLÈMEÀDEUXCORPS

Transcription

1 9 PROBLÈMEÀDEUXCORPS Le problème à deux corps désgne la stuaton ou un système mécanque peut se ramener à deux corps ponctuels en nteracton et solé de l extéreur. C est par exemple la stuaton rencontrée dans les systèmes planète-étole. On montrera que l étude de ce problème se rédut à celle d un corps soums à une force centrale. Prérequs : théorème du centre d nerte et théorème de Kœng. Ce chaptre est accessble en lgne à l adresse : Sommare Réducton du problème à deux corps Moble rédut et masse rédute Pont de vue énergétque Exemples d applcaton Retour sur le problème de Képler Détecton des exoplanètes par mesure de vtesse radale Vbratons moléculares datomques

2 CHAPITRE 9. PROBLÈME À DEUX CORPS Réducton du problème à deux corps Moble rédut et masse rédute Consdérons un système mécanque S formé de deux ponts matérels M 1 et M 2 de masse respectve m 1 et m 2. On étude la dynamque de ce système dans un référentel R galléen et l on note r 1 = OM 1 et r 2 = OM 2 les vecteurs postons. Nous allons montrer que lorsque le système est solé, le problème se découple en deux mouvements ndépendants. R O f 12 M 2 f 21 R ú G M 1 Fgure 9.1 Système à deux corps. Supposons donc que les deux corps soent en nteracton mutuelle mas solés de l extéreur. On conserve la notaton habtuelle : f 12 désgne la force qu exerce le pont M 1 sur M 2 et f 21 celle produte par M 2 sur M 1. Le prncpe des actons récproques postule que ces deux forces sont opposées et coaxales. Par alleurs, en vertu du théorème du centre d nerte, on a ( ) d v G dt = F ext = 0 Ans, le centre d nerte G décrt une trajectore rectlgne unforme. Le référentel barycentrque R ú est donc en translaton rectlgne unforme par rapport à R ce qu lu confère un caractère galléen. Analysons donc le mouvement dans le référentel barycentrque R ú : Y _] _[ d 2 GM 1 m 1 dt 2 = f 21 = f 12 m 2 d 2 GM 2 dt 2 = S l on dvse chaque équaton par la masse et que l on soustrae l une à l autre, on obtent m 1 m 2 d 2 M 1 M 2 dt 2 f 12 = f 12 (9.1) ce qu s nterprète comme l équaton du mouvement d un corps fctf M, appelé moble rédut, de masse µ, de vecteur poston r = GM et soums à une force f tels que µ d2 r dt 2 = f avec Y _] _[ m 1 m 2 µ = (9.2) r = M 1 M 2 f = f12

3 CHAPITRE 9. PROBLÈME À DEUX CORPS 116 La masse µ, appelée masse rédute, est toujours plus pette que la plus pette des masses m 1 et m 2. En résumé, le problème à deux corps se découple en deux mouvements ndépendants. 1. Le mouvement du centre d nerte qu est un smple mouvement rectlgne unforme. 2. Le mouvement relatf qu correspond au mouvement du moble rédut M de masse µ soums à une force centrale f. En conséquence, le mouvement relatf est plan et on a conservaton du moment cnétque de M (r 2 = C te ). Résoudre l équaton d érentelle (9.1) permet d obtenr le mouvement de M 2 relatvement à M 1. Quant au mouvement d ensemble (celu du centre d nerte), l su t de connaître la vtesse du centre d nerte à un nstant quelconque pour connaître le mouvement d ensemble. Une fos le mouvement relatf connu, l est asé d accéder aux mouvements de M 1 et M 2 dans le référentel barycentrque. En e et, on a Y ] m 1 GM 1 + m 2 GM 2 = Y m 1 0 _] GM 2 = GM m [ GM 2 GM 1 = M 1 M 2 = = 1 + m 2 GM _[ GM 1 = m 2 GM On remarque ans que le mouvement de M 2 (resp. M 1 ) se dédut de celu du moble rédut par une homothéte de centre G et de rapport m 1 /( ) (resp. m 2 /( )). Exemple : Retour sur la chute lbre Selon le prncpe d équvalence, la chute lbre est, dans un référentel galléen, ndépendante de la masse du corps en chute lbre. Cependant, un observateur lé à un astre fasant l expérence de la chute lbre et dsposant d une précson nfne, constatera que la chute lbre dépend de la masse du corps. En e et, la chute d un corps de masse m sur un astre de masse m A peut se vor comme un problème à deux corps et, comme on vent de le vor, l astre est accéléré par le corps en chute lbre, le rendant ans non galléen. On sat que le mouvement relatf est décrt par le moble rédut de masse µ = mm A m + m A dont l équaton du mouvement est µ d2 r dt 2 = m g = d2 r dt 2 = g 31+ mma 4 L accélératon du corps en chute lbre dépend donc du rapport m/m A. Ben entendu, c est la précson lmtée qu rend cet e et non mesurable. La melleure précson obtenue dans les tours à vde étant de l ordre de l faudrat fare l expérence avec une masse m>10 12 m A pour rendre cet e et mesurable, sot, pour une expérence terrestre, m>10 mllards de tonnes! Pont de vue énergétque On peut retrouver les résultats précédents à l ade d une approche énergétque. En vertu du théorème de Kœng, l énerge cnétque du système s écrt E c (S)= 1 2 ( )v G 2 + E c ú où E c ú désgne l énerge cnétque barycentrque. Ic, cette quantté vaut E c ú = 1 2 m 1 ( v 1 v G ) m 2 ( v 2 v G ) 2 Or, selon la défnton du centre d nerte G, on a (m 1 +m 2 ) v G = m 1 v1 +m 2 v2 de sorte que v 1 v G = v 1 m 1 v 1 + m 2 v2 m 2 = ( v 1 v 2 )= m 2 vm

4 CHAPITRE 9. PROBLÈME À DEUX CORPS 117 pusque v 2 v 1 vaut d M 1 M 2 /dt, sot la vtesse du moble rédut M. En procédant de la même façon, on trouve v 2 v G = m 1 vm L énerge cnétque d un système à deux corps s écrt donc C E c (S)= ( )v G + 2 m m D 2 2 m m1 2 2 v M Fnalement, on trouve E c (S)= 1 2 ( )v G µv M 2 (9.3) Le traval des forces qu agssent sur le système se résume au traval des forces nternes pusque le système est solé. On a donc f W = W nt = f 12 d f OM 2 + f 21 d OM 1 où et f désgnent les états ntal et fnal. Sachant que les forces nternes sont opposées, on trouve f W = f 12 d f M 1 M 2 = f d r Le traval des forces qu agssent sur un système à deux corps correspond au traval dépensé par la force qu agt sur le moble rédut M. Applquons mantenant le théorème de l énerge cnétque : ( )v 2 G f 2 µv M 2 = f d r et n oublons pas que le centre d nerte se déplace à une vtesse v G constante de sorte que le théorème précédent prend la forme suvante f 2 µv M 2 = f d r (9.4) Il s agt de l équaton du mouvement du moble rédut écrt sous forme énergétque. On retrouve donc le fat que le mouvement relatf ( r = M 1 M 2 ) se rédut à celu du moble rédut. Remarque : S la force centrale f dérve d une énerge potentelle E p, le théorème de l énerge cnétque aboutt à la conservaton de l énerge mécanque suvante : 1 2 µv M 2 + E p = C te 9.2 Exemples d applcaton Retour sur le problème de Képler Dans le chaptre sur les forces centrales, nous avons ntrodut le problème de Kepler en consdérant le mouvement d un astre (appelons le M 2 ) autour d un astre fxe (M 1 ). En réalté, les deux astres sont en mouvement autour de leur centre d nerte et l on ne peut néglger le mouvement de M 1

5 CHAPITRE 9. PROBLÈME À DEUX CORPS 118 que s m 1 m 2. Or, ce qu se justfe pour le système Terre-Solel (m 1 /m 2 ƒ ) ou le système Terre-Satellte (m 1 /m 2 ƒ ) ne se justfe pas nécessarement pour un système d étoles doubles où les masses sont comparables. Le problème de Kepler est en fat un problème à deux corps. Voyons donc quelles modfcatons l faut apporter aux résultats du chaptre 7. En premer leu, le moble rédut est rég par l équaton m 1 m 2 d 2 r dt 2 = Gm 1m 2 r r 3 = d2 r dt 2 = G( ) r r 3 (9.5) On obtent la même équaton que celle tratée dans le chaptre 7 à une nuance près : la masse m 1 est remplacée par. En d autres termes, pour le mouvement relatf de M 2 par rapport à M 1 l su t de reprendre les résultats du chaptre 7 et de procéder à la substtuton suvante : m 1 Nous savons donc que la soluton est une conque de foyer G et d équaton r = p 1+ecos( 0 ) avec Y ] [ p = C 2 G( ) e Ø 0 (9.6) où l excentrcté e et la constante des ares C sont détermnées par les condtons ntales. Les mouvements de M 1 et M 2 se dédusent par l homothéte décrte au Par exemple, s dans R ú le moble rédut décrt une ellpse d excentrcté e et de grand-axe a, alors M 1 et M 2 décrvent des ellpses homothétques de même excentrcté (cf. Fgure 9.2). R ú M M 2 G M 1 Y _] _[ a 1 = a 2 = m 2 a m 1 a Fgure 9.2 Trajectores de deux corps en nteracton newtonenne dans le référentel barycentrque. Ic m 1 =2m 2. La trajectore du moble rédut est tracée en pontllée. Quant à la trosème lo de Kepler a 3 /T 2 = Gm 1 /4f 2,elledevent a 3 T 2 = G( ) 4f 2 (9.7) Ans, le rapport du cube du dem-grand axe et du carré de la pérode de révoluton nous rensegne sur la masse totale du système. Termnons par les relatons énergétques. Dans le référentel barycentrque, la conservaton de l énerge mécanque s écrt 1 2 µv M 2 Gm 1m 2 ú = E m r

6 CHAPITRE 9. PROBLÈME À DEUX CORPS 119 Or, le mouvement relatf étant plan, on décrt M dans le système de coordonnées polares (r, ) et l on a v M =ṙ u r + r u ans que r 2 = C par conservaton du moment cnétque. On obtent alors 1 2 µṙ µc2 r 2 Gm 1m 2 ú = E m r Consdérons le cas où les deux corps sont lés par gravtaton de sorte que leur trajectore est ellptque. Dans ce cas, le moble rédut décrt également une ellpse de dem-grand axe a. Lorsque ce moble attent son apocentre ou son pércentre on a ṙ =0et la conservaton de l énerge s écrt r 2 + Gm 1m 2 ú r µc2 ú E m 2E =0 m équaton du second degré qu admet deux solutons r + et r dont la somme r + + r vaut Gm 1 m 2 /E m ú. Sachant que r + + r =2a, on obtent E m ú = Gm 1m 2 2a Autrement dt, on retrouve le même formule que celle du chaptre 7 à cec près qu l ne s agt pas de l énerge mécanque du corps M 2 mas de l énerge mécanque barycentrque du système des deux corps. On peut montrer qu on retrouve les mêmes formules également dans le cas d une trajectore parabolque et hyperbolque. On retendra donc le résultat suvant Y _] Gm 1m 2 dans le cas d une ellpse, 2a E ú m = + Gm 1m 2 dans le cas d une hyperbole, _[ 2a 0 dans le cas d une parabole, (9.8) Détecton des exoplanètes par mesure de vtesse radale En l espace de 20 ans, plus de planètes extrasolares 1 c est-à-dre des planètes gravtant autour d une autre étole que le solel ont été découvertes. Toutes l ont été de façon ndrecte. Il faut savor que l observaton drecte d une planète extra-solare présente deux d cultés majeures. 1. D une part, la lumère émse par la planète est complètement masquée par la lumnosté de son étole. Par exemple, Jupter brlle 1 mllard de fos mons que le solel dans le vsble et fos mons dans l nfrarouge. 2. D autre part, le pouvor de résoluton des télescopes ne permet pas de résoudre le damètre angulare du couple planète-étole. Il y a essentellement deux technques utlsées : l une utlsant la mesure photométrque, l autre la mesure de la vtesse radale stellare. À l heure actuelle (sept. 2015), 30% des exoplanètes ont été découvertes par cette dernère méthode. Décrvons en le prncpe. En observant le spectre d une étole avec un spectromètre de très grande précson, on est capable d observer, par e et Doppler (cf. les oscllatons 2 de sa vtesse projetée sur la lgne de vsée, dte vtesse radale. En e et, l étole et sa planète tournent autour du centre d nerte du système planète-étole de sorte que la vtesse radale osclle avec avec une pérode T correspondant à la pérode orbtale de la planète. 1. On dt auss exoplanètes. 2. On mesure des varatons de l ordre de 10m.s 1 ce qu, comparé aux vtesses cosmques, est extrêmement fable. On vot donc que cette méthode exge un très bon rapport sgnal/brut.

7 CHAPITRE 9. PROBLÈME À DEUX CORPS 120 P a ú G v ú = 2faú T E lgne de vsée Prenons l exemple de la premère exoplanète découverte en 1995 et stuée à 51 al dans la constellaton de Pégase. Admettons ce qu est le cas que son orbte est quas-crculare. De la courbe de vtesse (cf. c-dessous), l est alors possble de dédure d érents paramètres. Fgure 9.3 Évoluton de la vtesse radale de l étole 51Pegas mettant en évdence la premère exoplanète découverte en 1995 par l équpe de Mchel Mayor et Dder Queloz. Les oscllatons de la vtesse permettent de penser qu l exste une planète de masse m qu tourne autour de l étole à la dstance a. La pérode d oscllaton correspond à la pérode orbtale de la planète. On trouve c T =4,233 jours. Le dem-grand axe de l orbte planétare a est obtenu va la trosème lo de Kepler a 3 T 2 = G(m ı + m) 4f 2 ƒ Gm ı 4f 2 car m π m ı Connassant la masse de l étole à partr de sa lumnosté (modèle stellare), l est alors asé de dédure le dem-grand axe a de l orbte planétare. Ic l étole 51Pegas présente une masse m ı =1,06 M d où a =0,052 ua sot 7,8 mllons de km. La masse de la planète est dédute de l ampltude de varaton de la vtesse. En e et, l étole décrt une orbte crculare autour de G, de rayon a ı = m m ı + m a ƒ m m ı a Ans, la vtesse projetée dans la lgne de vsée, osclle entre v max et v max avec v max = 2fa ı T = m m ı 2fa T (9.9)

8 CHAPITRE 9. PROBLÈME À DEUX CORPS 121 ce qu permet de dédure la masse de la planète. Ic, l ampltude de vtesse vaut v max = 56,83 m.s 1 d où m m ı =4, = m =8, kg sot envron la moté de la masse de Jupter. Pluseurs ngrédents vennent cependant complquer l analyse de la courbe de vtesse. Tout d abord, la trajectore n est pas nécessarement crculare ; plus souvent elle présente une excentrcté qu l s agt de détermner. Dans ce cas, la courbe n est plus snusoïdale. On peut montrer que la vtesse radale évolue au cours du temps suvant la lo v r (t)=a[cos( + 0 )+ecos 0 ] avec 2esn = 2f T (t t p) expresson dans laquelle 0 représente la longtude du pércentre et t p, le temps de passage au pércentre (vor complément). L ajustement des données à cette lo permet d extrare 5 paramètres : l ampltude de vtesse A, lapérodet, l nstant t p,l excentrctée et l argument 0. À partr de l ampltude l est alors possble de dédure la masse de la planète. On peut montrer que pour de pettes excentrcté (e 2 néglgeable devant 1) la relaton (9.9) reste valde. e =0 e =0,2 et 0 =0 e =0,2 et 0 = 45 e =0,2 et 0 = 90 v r t Fgure 9.4 D érents types de courbe de vtesse en foncton de l excentrcté et la drecton d observaton. Une autre complcaton vent du fat que la lgne de vsée n est pas forcément contenue dans le plan de l orbte. À pror, on gnore l nclnason que forme le plan de l orbte avec la voute céleste (plan perpendculare à la lgne de vsée). Il faut alors remplacer dans les calculs m 2 par m 2 sn de sorte que l on ne peut détermner que le produt m 2 sn. Cec dt, cela permet d avor une borne nféreure de la masse de la planète pusque m 2 Ø m 2 sn. Enfn, l se peut également que pluseurs planètes gravtent autour de l étole. Dans ce cas, la mse en évdence n est pas toujours asée et fat appel a des technques plus ou mons sophstquées Vbratons moléculares datomques Consdérons une molécule datomque A B solée, où A et B représentent deux atomes consdérés ponctuels de masse m A et m B. Notons r le vecteur AB. Ben que la descrpton des édfces moléculares relèvent de la mécanque quantque, adoptons le pont de vue du chaptre 5 en tratant l nteracton 0 nter-atomque de façon phénoménologque va le potentel de E 0 Morse! 0 E p = E 0 e 2ax 2e ax" écart à l équlbre x où E 0 désgne l énerge de dssocaton de la molécule et x = r r eq l écart à l équlbre. Le profl de ce potentel présente un mnmum en x =0comme llustré sur la fgure c-contre. On sat que le mouvement relatf de B par rapport à A se rédut au mouvement du moble rédut M de masse µ = m A m B /(m A + m B ) soums à la force central f = ˆE p /ˆx u r : µ d v M dt = f Ep

9 CHAPITRE 9. PROBLÈME À DEUX CORPS 122 On dstngue deux cas de fgures. La molécule ne tourne pas Dans ce cas, la molécule ne présente pas de moment cnétque barycentrque et l on peut projeter l équaton du mouvement suvant l axe fxe de la molécule. On obtent µ r = µẍ = ˆE p ˆx Par alleurs, s l on s ntéresse aux petts mouvements autour de la poston d équlbre, on peut fare l approxmaton E p ƒ E Ÿx2 avec Ÿ =2E 0 a 2 ce qu donne une équaton du mouvement correspondant à un oscllateur de masse µ et de constante de radeur Ÿ : µẍ + Ÿx =0 On peut donc assmler la lason moléculare à un oscllateur de fréquence propre 0 = 1 Ú Ÿ 2f µ Cette fréquence se stue dans le domane nfrarouge ( Hz) et son étude relève de la spectroscope nfrarouge. On note l exstence d e et sotopques. En e et, lorsque que l on substtue un atome par un autre sotope, la constante de force Ÿ, dépendant des proprétés électronques, ne change pas, alors que la masse rédute vare. La molécule est en rotaton Dans ce cas, la molécule présente un moment cnétque barycentrque non nul et constant. On sat alors que le moble rédut assocé au mouvement relatf décrt un mouvement plan caractérsée par une constante des ares C = r 2 et un moment cnétque L ú = µc. La force centrale étant conservatve, on a conservaton de l énerge mécanque dans le référentel barycentrque : 1 2 µv M 2 + E p = E m ú En coordonnées polares, la vtesse du moble rédut vaut v M = ṙ u r +L ú /(µr) u ce qu donne 1 L ú2 2 µẋ2 + 2µ(x + r eq ) 2 + E ú p(x)=e m Ans, on peut ramener le problème à l étude d un pont matérel à un degré de lberté (x) plongé dans un champ de force d énerge potentelle e ectve E p, e = L ú2 2µ(x + r eq ) 2 + E p(x) Enfn, s l on se restrent aux petts mouvements autour de la poston d équlbre, on peut d une part approcher E p (x) par un potentel harmonque, d autre part assmler x + r eq à r eq : On dstngue tros termes : E p, e ƒ Lú2 2µr eq Ÿx2 E 0

10 CHAPITRE 9. PROBLÈME À DEUX CORPS 123 l énerge de lason E 0 ; le terme élastque harmonque 1 2 Ÿx2 assocé aux vbratons moléculares ; le terme d énerge centrfuge L ú2 /(2µr eq 2 ) assocé à la rotaton rgde 3 de la molécule. Remarque : Dans le cadre de la mécanque quantque, on peut montrer que le terme élastque donnera leu à une quantfcaton (E vb =(n +1/2)h ) ans que le moment cnétque L ú2 = ( +1)~ 2 de sorte que la molécule présente des nveaux d énerge quantfés : ~ 2 E n, =(n +1/2)h 0 + ( +1) 2µr eq 2 E 0 avec (n,l) œ N 2 C est ce modèle qu permet d nterpréter les spectres ssus de la spectroscope nfrarouge. 3. On parle de l approxmaton du rotateur rgde.