MODULE : STATISTIQUES

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1 OFPPT ROYAUME DU MAROC مكتب التكوين المهني وإنعاش الشغل Offce de la Formato Professoelle et de la Promoto du Traval DIRECTION RECHERCHE ET INGENIERIE DE FORMATION RESUME THEORIQUE & GUIDE DE TRAVAUX PRATIQUES MODULE : STATISTIQUES SECTEUR : TERTIAIRE SPECIALITE : COMPTABILITE DES ENTREPRISES NIVEAU : TECHNICIEN

2 PORTAIL DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE AU MAROC Télécharger tous les modules de toutes les flères de l'ofppt sur le ste dédé à la formato professoelle au Maroc : Pour cela vster otre ste et chosssez la rubrque : MODULES ISTA

3 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Documet élaboré par : Mlle Nada BENHADDOU BAKKIOUI ISTA Taroudat DR SMD Révso lgustque: Valdato : OFPPT/DRIF

4 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques OFPPT/DRIF 3

5 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Présetato du module RESUME DE THEORIE SOMMAIRE 9 10 Chaptre I- Les statstques descrptves : I- Termologe : II- Tableaux statstques : A- Cas d ue seule varable B- Cas de deux varables III- Représetatos graphques : A- Varable qualtatve B- Varable quattatve 1) Varable dscrète ) Varable classée IV- Caractérstques de tedace cetrale et de posto : A- Mode B- Médae C- Moyee arthmétque D- Moyee géométrque E- Moyee harmoque F- Moyee quadratque G- Quatles V- Caractérstques de dsperso : A- Étedue B- Itervalle ter-quartle C- Varace et écart-type D- Coeffcet de varato VI- La cocetrato : A- Valeurs globales B- Médale C- Courbe de cocetrato (ou de LORENZ) D- Idce de GINI VII- Les dces : A- Idces élémetares B- Idces de LASPEYRES et de PAASCHE 1) Idce de Laspeyres des prx ) Idce de Laspeyres des quattés 3) Idce de Paasche des prx 4) Idce de Paasche des quattés OFPPT/DRIF 4

6 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques VIII- Régresso et corrélato : A- Ajustemet d u uage de pots à ue focto à ue focto mathématque B- Mesure de l testé de la relato léare etre deux varables 1) Covarace ) Coeffcet de corrélato léare 3) Drotes de régresso IX- Séres chroologques : A- Décomposto des chroques B- La détermato du tred C- Aalyse de la composate aléatore D- Désasoalsato E- Sére ajustée F- Prévsos à court terme Chaptre II. Réalsato des equêtes I. Détermato optmale d u échatllo II. Elaborato du questoare Chaptre III. Réalsato des sodages I- Estmateur d ue moyee ou d ue proporto II- Varace de ces estmateurs III- Estmato par tervalle de coface Cotrôle cotu GUIDE DES TRAVAUX PRATIQUES TP1 : représetato graphque, paramètres de tedace cetrale, de dsperso. TP : représetato graphque TP3 : paramètres de tedace cetrale TP4 : représetato graphque, la corrélato TP5 : représetato graphque, paramètres de tedace cetrale et de dsperso TP6 : ajustemet léare, prévsos et corrélato TP7 : QCM Evaluato de f de module Lste bblographque Statstques OFPPT/DRIF 5

7 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Module : Statstques Durée : 50 H 40% : Théorque 60% : Pratque OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAU DE COMPORTEMENT COMPORTEMENT ATTENDU Pour démotrer sa compétece, le stagare dot applquer les méthodes statstques. Selo les codtos, les crtères et les précsos qu suvet : CONDITIONS D EVALUATION A partr des études de cas, mse e stuato, cosges du formateur, toute documetato écessare ; A l ade de : calculatrce, tableur et logcel de statstques. CRITERES GENERAUX DE PERFORMANCE o Respect de la démarche de calcul o Respect des prcpes de gesto de temps o Respect des pratques courates et des règles étables par l etreprse o Exacttude des calculs o Vérfcato approprée du traval. OFPPT/DRIF 6

8 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAU DE COMPORTEMENT PRECISION SUR LE COMPORTEMENT ATTENDU CRITERES PARTICULIERS DE PERFORMANCE A. Compredre les varables statstques o Qualfcato d ue varable qualtatve o Qualfcato d ue varable quattatve dscrète o Qualfcato d ue varable quattatve cotue B. Réalser des représetatos graphques o Représetato correcte des varables quattatves dscrètes o Représetato correcte des varables quattatves cotues C. Calculer les caractérstques des dstrbutos D. Détermer les les etre deux varables OFPPT/DRIF 7 o o o o o Calcul et terprétato juste des paramètres de tedace cetrale Mode Médae Quartles Moyees Calcul et terprétato correcte des paramètres de dsperso Etedue Ecart absolu moye et écart quatle Varace, écart-type et coeffcet de varato Tratemet du cas de deux caractères quattatfs (coeffcet de corrélato léare, ajustemet par la drote des modres carrés, rapport de corrélato) Tratemet du cas d u caractère quattatf et d u caractère qualtatf (rapport de corrélato) Tratemet du cas de deux caractères qualtatfs

9 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques E. Réalser des sodages F. Réalser des equêtes o Statstques Réalsato de sodage smple avec : estmateur d ue moyee ou d ue proporto varace de ces estmateurs estmateurs de ces varaces algorthmes de trages o o o o o o o Détermato optmale de l échatllo Elaborato du questoare Recuel des doées Dépoullemet, codage et sase Valdato des doées Tratemet statstque Aalyse des résultats OFPPT/DRIF 8

10 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques OBJECTIFS OPERATIONNELS DE SECOND NIVEAU Avat d appredre à compredre les varables statstques, le stagare dot : 1- Compredre la oto des «statstque» - Compredre les objectfs des statstques Avat d appredre à réalser les représetatos graphques, le stagare dot : 3- Dstguer etre les varables qualtatves et les varables quattatves 4- Dstguer etre les varables quattatves dscrètes et les varables quattatves cotues 5- Préseter les séres statstques das des tableaux Avat d appredre à calculer les caractérstques des dstrbutos, le stagare dot : 6- Réalser des représetatos graphques 7- Iterpréter ces représetatos graphques Avat d appredre à détermer les les etre deux varables, le stagare dot : 8- représetez les dstrbutos à deux varables das des tableaux 9- représetez graphquemet ces dstrbutos 10- calculer les caractérstques des dstrbutos 11- Iterpréter ces caractérstques des dstrbutos Avat d appredre à réalser des sodages, le stagare dot : 1- défr le sodage 13- compredre les objectfs de la réalsato des sodages 14- calculer les caractérstques des dstrbutos Avat d appredre à réalser des equêtes, le stagare dot : 15- défr l equête 16- compredre les objectfs de la réalsato des equêtes OFPPT/DRIF 9

11 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques PRESENTATION DU MODULE Ce module s adresse e prorté à aux techces comptables des etreprses et aux techces spécalsés e gesto des etreprses. Il répod à tros objectfs fodametaux : 1) L acqusto des coassaces : chaque chaptre compred as ue parte Cours détallée : les formules mathématques fodametales, mas auss les pots délcats du cours sot abordés. ) L utlsato des coassaces : chaque chaptre compred des applcatos ombreuses et varées qu permettet aux stagares d utlser leurs coassaces. La plupart de ces applcatos sot accompagées d dcatos de résultats ou élémets de répose. 3) L adaptato des coassaces : des Travaux Pratques proposés, devrot permettre aux stagares de mettre e applcato leurs qualtés de rasoemet et d adaptato face à des problèmes plus logs où de ombreuses coassaces sot exgées. La masse horare affectée à ce module est de 50 heures dot 30 heures cosacrées aux travaux pratques. OFPPT/DRIF 10

12 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Module : Statstques Descrptves RESUME THEORIQUE OFPPT/DRIF 11

13 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Chaptre I- Les statstques descrptves : I- Termologe : 1. Statstque : La statstque est ue méthode scetfque dot l objet est de recuellr, d orgaser, de résumer et d aalyser les doées d ue equête, d ue étude o d ue expérece, auss be que de trer les coclusos logques et de predre les décsos qu s mposet à partr des aalyses effectuées.. Populato : Esemble d'dvdus défs par ue proprété commue doée. Exp : s l o veut étuder la durée de ve des ampoules électrques fabrquées par ue compage, la populato cosdérée est l esemble de toutes les ampoules fabrquées par cette compage. 3. Echatllo : Sous-esemble de la populato. Exp : pour établr la durée de ve des ampoules électrques produtes par ue mache, o peut prélever au hasard u certa ombre d ampoules - u échatllo- parm toutes les celles produtes par cette mache. 4. Idvdu ou uté statstque : Chaque élémet de la populato ou de l échatllo. Exp : das l exemple précédat, chaque ampoule costtue u dvdu ou ue uté statstque. 5. La talle : Représete le ombre d dvdus d u échatllo ou d ue populato. Elle est symbolsée par das le cas d u échatllo et par «N» das le cas d ue populato. 6. Le caractère : C est l aspect partculer que l o désre étuder. Exp : cocerat u groupe de persoes, o peut s téresser à leur age, leur sexe leur talle 7. Les modaltés : Les dfféretes maères d être que peut préseter u caractère. Exp 1 : le sexe est u caractere qu presete deux modaltés : fem ou mascul Exp : quat au ombre d efats par famlle, les modaltés de ce caractere peuvet etre 0,1,3,0. 8. Caractère qualtatf : Ses modaltés e s exprmet pas par u ombre Exp : la relgo, le sexe, l opo 9. Caractère quattatf : Ses modaltés sot umérques. Exp : l age, la talle, le pods OFPPT/DRIF 1

14 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques 10. Caractère quattatf dscret L esemble des valeurs que peut predre le caractère est f ou déombrable. Le plus souvet, ces valeurs sot etères. Exp :le ombre d efat das ue famlle, le ombre de télévseurs par foyer et la poture des soulers. 11. Caractère quattatf cotu : Le caractère peut predre théorquemet mporte quelle valeur das u tervalle doé de ombres réels. Exp : la talle d u dvdu, le pods 1. Sére statstque : L esemble des dfféretes doées assocées à u certa ombre d dvdus. Exp : la sére suvate résulte d ue courte equête auprès de quelques persoes pour coaître leur age : A- Cas d ue seule varable : II- Tableaux statstques : Le tableau brut se présete sous la forme suvate: Le ombre d'dvdus observé état e gééral mportat, le tableau précédat e permet pas d'aalyser l'formato obteue. Il est doc écessare de créer u tableau plus sythétque où les observatos detques (possédat la même modalté) ot été regroupées. Pour ue varable qualtatve, les modaltés e sot pas mesurables. Pour ue varable quattatve, les modaltés sot mesurables. Ce sot des valeurs umérques poctuelles lorsque la varable est dscrète des tervalles lorsque la varable est cotue ou lorsque la varable est dscrète et qu'elle comporte beaucoup de modaltés. OFPPT/DRIF 13

15 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcato : Nous étudos ue populato de 1000 etreprses selo le caractère modalté «forme jurdque». Les modaltés reteues : S.A (Socété Aoyme), SARL (Socété A Resposablté Lmtée), EI (Etreprse Idvduelle), SNC ( Socété e Nom Collectf). Leurs effectfs respectfs : 00, 400, 340, 60. T.A.F : Présetez cette sére das u tableau. B- Cas de deux varables : Le tableau brut se présete sous la forme suvate: O désre créer u tableau appelé tableau de cotgece doat le ombre d'dvdus possédat smultaémet la modalté de varable1 et la modalté j de varable qu se présetera sous la forme suvate: OFPPT/DRIF 14

16 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcato: Das ue etreprse, ue equête statstque a été fate sur 300 employés, et portat sur deux caractères, l age et la rémuérato. Les résultats de l equête sot présetés das les deux tableaux suvats : Age 0 à 5 5 à à à Rémuérato e dhs Mos de à à plus de TAF : Présetez das u même tableau la dstrbuto de ces deux caractères. III- Représetatos graphques : Lorsqu'o observe u caractère sur des dvdus, o aboutt à u tableau de chffres peu parlat. L'objectf est de doer ue représetato graphque de ce tableau qu permette d'u seul coup d'œl d'avor ue dée de la maère dot se répartsset les dvdus. A- Varable qualtatve : A chaque modalté est assocé u effectf. La seule représetato qu ous téresse est celle des effectfs (ou des fréqueces /). Suvat la varable observée, de ombreuses représetatos plus ou mos formatves peuvet être utlsées. Cepedat les plus classques sot: Les tuyaux d'orgue (ou dagramme e barre ou dagramme à bades) - les modaltés de la varable sot placées sur ue drote horzotale (atteto: e pas oreter cette drote car les modaltés e sot pas mesurables et l 'y a doc pas de relato d'ordre etre elles). - les effectfs (ou les fréqueces) sot placés sur u axe vertcal. La hauteur du tuyau est proportoelle à l'effectf. OFPPT/DRIF 15

17 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques les dagrammes à secteurs (ou camemberts) - L'effectf total est représeté par u dsque. - Chaque modalté est représetée par u secteur crculare dot la surface (pratquemet : l'agle au cetre) est proportoelle à l'effectf correspodat. Applcato : La répartto des caddats covoqués pour partcper au Test d Admssblté à la Formato e Maagemet (TAFEM 1998) pour l accesso à L Ecole Natoale de Commerce et de Gesto d Agadr, selo la sére du baccalauréat se présete comme sut : Sére du Bac x Nombre de caddats Sceces écoomques 50 Sceces mathématques 00 Sceces expérmetales 400 T.G.A 50 T.G.C 100 Total 1000 TAF: représetez cette dstrbuto e Tuyaux d orgues et Dagramme crculare. OFPPT/DRIF 16

18 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques B- Varable quattatve : Avat toute tetatve de représetato, l y a leu de dstguer etre varable dscrète et varable classée (regroupemets e classes). Deux types de graphques sot téressats de représeter: a) les dagrammes dfféretels qu mettet e évdece les dfféreces d'effectfs (ou de fréqueces) etre les dfféretes modaltés ou classes. b) les dagrammes cumulatfs qu permettet de répodre aux questos du style "combe d'dvdus ot prs ue valeur féreure (ou supéreure) à tat?". 1) Varable dscrète Dagramme dfféretel : le dagramme e bâtos Les valeurs dscrètes x prses par les varables sot placées sur l'axe des abscsses, et les effectfs (ou les fréqueces) sur l'axe des ordoées. La hauteur du bâto est proportoelle à l'effectf. Dagrammes cumulatfs : ls permettet de vsualser l'évoluto des effectfs (fréqueces) cumulés crossats ou décrossats. Remarque: les deux courbes sot symétrques par rapport à u axe horzotal d'ordoée / pour les effectfs, ½ pour les fréqueces. O utlse l'effectf (fréquece) cumulé crossat pour répodre aux questos du style : Quel est le ombre (%) d'dvdus dot la valeur du caractère est féreure ou égale à x? O utlse l'effectf (fréquece) cumulé décrossat pour répodre aux questos du style : Quel est le ombre (%) d'dvdus dot la valeur du caractère est strctemet supéreure à x? OFPPT/DRIF 17

19 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Se souver: (au plus x) équvalet à ( < x) doc utlser N(x) ou F(x) (plus que x) équvalet à ( > x) doc utlser N '(x) ou F '(x) Exemple: - (au plus 6) équvalet à ( < 6) doc o pourra lre la fréquece cumulée crossate e 6, c-àd. F(6) = 0,3 - (plus de 6) équvalet à ( > 6) doc o pourra lre la fréquece cumulée décrossate e 6, c.à.d. F '(6) = 0,7 - (mos de 6) équvalet à (< 6) équvalet à ( < 6-) où est ue très fable valeur postve, doc o pourra lre la fréquece cumulée crossate e 6-, c.à.d. F(6-) = 0, - (au mos 6) équvalet à ( > 6) équvalet à ( > 6-) où est ue très fable valeur postve, doc o pourra lre la fréquece cumulée décrossate e 6-, c.à.d. F '(6-) = 0,8 Applcato : Représetez graphquemet la dstrbuto des 50 étudats e focto du ombre de persoes par méage suvate : Nombre de persoes par méage x Nombre d étudats Total 50 ) Varable classée Dagramme dfféretel : l'hstogramme C'est u esemble de rectagles cotgus, chaque rectagle assocé à chaque classe ayat ue surface proportoelle à l'effectf (fréquece) de cette classe. Atteto: Avat toute costructo d'hstogramme, l y a leu de regarder s les classes sot d'ampltudes égales ou égales. OFPPT/DRIF 18

20 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Le cas des classes d'ampltudes égales e pose aucue dffculté car l sufft de reporter e ordoée l'effectf (la fréquece). Das le cas d'ampltudes égales o reporte e ordoée la desté d (effectf dvsé par l'ampltude de la classe) Dagrammes cumulatfs L'utlsato des courbes est detque au cas dscret. Exemple: OFPPT/DRIF 19

21 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcato : Représetez graphquemet la dstrbuto de 50 étudats e focto de leur talle suvate : Talle e cm x Nombre d étudats Total 50 IV- Caractérstques de tedace cetrale et de posto : Les caractérstques de tedace cetrale essayet de doer la valeur la plus représetatve d'u esemble de valeurs umérques. A- Mode : C'est la valeur observée d'effectf maxmum. Varable dscrète: classer les doées par ordre crossat. Celle d'effectf maxmum doe le mode. Il est fortemet cosellé d'utlser le dagramme e bâtos pour détermer le mode. E effet, deux valeurs cosécutves x, x+1 peuvet avor le même effectf maxmum; o parlera d'tervalle modal [x, x+1]. Il peut auss y avor u mélage de deux populatos qu codut à u dagramme e bâtos où apparasset deux bosses; o cosdérera deux modes. Il est décosellé, sauf raso explcte, d'evsager plus de deux modes. Varable classée: la classe modale correspod à la classe ayat l'effectf maxmum. Il est fortemet cosellé d'utlser l'hstogramme pour détermer le mode. Comme pour le cas dscret, o peut avor deux classes modales. Toutes les valeurs de la classe pouvat à pror se réalser, o e se cotetera pas de détermer la classe modale. Ue des valeurs de cette classe sera le mode. Certas auteurs précoset par smplcté de predre le cetre de la classe modale. Il est préférable cepedat de ter compte des classes adjacetes de la maère suvate: OFPPT/DRIF 0

22 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcato : Détermez la valeur modale de la dstrbuto suvate, de 50 étudats selo leur talle : Talle e cm : x Nombre d étudats : Total 50 Elémets de répose : Mo = cm B- Médae : Les valeurs état ragées par ordre crossat, c'est la valeur de la varable qu sépare les observatos e deux groupes d'effectfs égaux. Varable dscrète: la détermato peut s'obter à partr du tableau statstque e recherchat la valeur de la varable correspodat à ue focto cumulée égale à / (effectf cumulé) ou ½ (fréquece cumulée). Il est ecore plus facle de lre sur les graphques cumulatfs les abscsses des pots d'ordoée / (effectf cumulé) ou ½ (fréquece cumulée). S tout u tervalle a pour mage / ( ½ pour la fréquece), o parlera d'tervalle méda (o peut predre le mleu de l'tervalle comme médae) Applcato : Sot la sére statstque suvate : TAF : Calculez la médae de cette sére Elémets de répose : Me=18.5 Varable classée: l'abscsse du pot d'ordoée / ( ½ pour la fréquece)se stue e gééral à l'téreur d'ue classe. Pour obter ue valeur plus précse de la médae, o procède à ue terpolato léare. La valeur de la médae peut être lue sur le graphque ou calculée aalytquemet. OFPPT/DRIF 1

23 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques d'où la valeur de la médae. De maère géérale, s a et b sot les bores de la classe coteat la médae, F(a) et F(b) les valeurs de la fréquece cumulée crossate e a et b, alors Applcato : Détermez la valeur médae de la dstrbuto des talles suvates : Talle e cm x Nombre d étudats N N Total 50 # # Elémets de répose : Me = C- Moyee arthmétque : S x sot les observatos d'ue varable dscrète ou les cetres de classe d'ue varable classée, La moyee arthmétque est u paramètre de tedace cetrale plus utlsé que les autres de par ses proprétés algébrques: a) Pour pluseurs populatos d'effectfs 1,,..., k, de moyees respectves moyee globale = moyee des moyees b) La moyee arthmétque coserve les chagemets d'échelle et d'orge OFPPT/DRIF

24 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcato : Détermez la talle moyee des 50 étudats dot la dstrbuto par talle se présete comme sut : Talle e cm x Nombre d étudats Total 50 Elémets de répose : x = cm D- Moyee géométrque : S x sot les observatos d'ue varable quattatve, la moyee géométrque est égale à Ce type de moyee est surtout utlsé pour calculer des pourcetages moyes. r état u taux d'accrossemet, 1+r est appelé coeffcet multplcateur; et le coeffcet multplcateur moye est alors égal à la moyee géométrque des coeffcets multplcateurs. E- Moyee harmoque : S x sot les observatos d'ue varable quattatve, la moyee harmoque est égale à Il 'est pas évdet d'utlser ce type de moyee. Elle tervet lorsqu'o demade ue moyee de valeurs se présetat sous forme de quotet de deux varables x/y (km/h, km/ltre,...). Atteto, l faut cepedat be décortquer le problème car l peut auss s'agr d'ue moyee arthmétque. Applcato : U cyclste effectue ue traversé de 50 kms. Pedat les 0 premers kms l roulat avec ue vtesse costace de km/h, les 15 kms suvats à ue vtesse costate de 30 km/h. Du pot klométrque 35 au 55 la vtesse de otre cyclste est que de 10 km/h et au-delà du pot klométrque sa vtesse est que de 5 km/h. TAF : Quelle est la vtesse de ce cyclste sur l esemble du parcours? Elémets de répose : H = F- Moyee quadratque : S x sot les observatos d'ue varable quattatve, la moyee harmoque est égale à OFPPT/DRIF 3

25 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques G- Quatles : Ce sot des caractérstques de posto. Il y a 1 médae Me qu sépare les observatos e groupes d'effectfs égaux 3 quartles Q1, Q, Q3 qu séparet les observatos e 4 groupes d'effectfs égaux 9 décles D1, D,..., D9 qu séparet les observatos e 10 groupes d'effectfs égaux 99 cetles C1, C,..., C99 qu séparet les observatos e 100 groupes d'effectfs égaux La détermato de ces caractérstques est detque à celle de la médae. Les quartles sot obteus lorsqu'o a cumulé 5, 50, 75% de la populato Les décles sot obteus lorsqu'o a cumulé 10, 0,..., 90% de la populato Les cetles sot obteus lorsqu'o a cumulé 1,,..., 99% de la populato Remarque: la oto de décles et de cetles 'a de ses que s'l y a beaucoup d'observatos et doc essetellemet pour ue varable classée. Applcato : Sot la populato de 80 salarés classés d après le veau de leur salare jouraler. Classes e dhs cumulés à à à à à à à à Total 80 TAF : calculez la médae et les deux quartles Elémets de répose : Me = 14 Q 1 = 110+ (10x6)/16 = Q 3 = 130+(10x5)/13 = V- Caractérstques de dsperso : Comme leur om l'dque, ces caractérstques essayet de sythétser par ue seule valeur umérque la dsperso de toutes les valeurs observées. A- Étedue : C'est la dfférece etre la plus grade et la plus pette observato Applcato : Quelle est l étedue de la sére statstque suvate : Elémets de répose : Etedue = 990 B- Itervalle ter-quartle : C'est la dfférece etre le trosème et le premer quartle Applcato : Repreez les doées de l applcato sur les quartles et calculez l tervalle ter-quartle. Elémets de répose : Q3-Q1=0 OFPPT/DRIF

26 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques C- Varace et écart-type : S x sot les observatos d'ue varable dscrète ou les cetres de classe d'ue varable classée, la varace O utlse plus courammet l'écart type qu est la race carrée de la varace et qu a l'avatage d'être u ombre de même dmeso que les doées (cotraremet à la varace qu e est le carré) La varace est u paramètre de dsperso plus utlsé que les autres de par ses proprétés algébrques: D- Coeffcet de varato : C'est u coeffcet qu permet de relatvser l'écart type e focto de la talle des valeurs. Il permet as de comparer la dsperso de séres de mesures exprmées das des utés dfféretes Applcatos : App.1- Les séres suvates représetet la mesure d u caractère auprès des dvdus d ue populato : a b c d Das chacu de ces cas calculez : la moyee, la médae, le mode,la varace, l écart type et le coeffcet de varato. Elémets de répose : a. x=7, Me=7, pas de mode, σ²=14, σ=3.74, V=53.4% b. x=13., Me=14, pas de mode, σ²=5.76, σ=7.6, V=55% c. x=14.5, Me=15, Mo=15, σ²=14.61, σ=3.8, V=6.3% d. x=.8, Me=1, deux modes :0 et 34, σ²=59.8, σ=7.70, V=33.8% OFPPT/DRIF 5

27 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques App.- La dstrbuto suvate représete la répartto de la logueur de pces d écrevsse proveat d ue rvère : Lmtes TAF : calculez : la moyee, la médae, le mode,la varace, l écart type et le coeffcet de varato. Elémets de répose : x=1.757, Mo=1.345 (le cetre de la classe modale), Me=1.648, σ²=0.38, σ=0.488, V=7.8% VI- La cocetrato : L'objectf est de mesurer les égaltés das la répartto d'ue varable à l'téreur d'ue populato. Cette oto 'a d'térêt que das la mesure où les valeurs globales suvates ot ue sgfcato cocrète A- Valeurs globales : x représetet les valeurs poctuelles ou les cetres des classes, les effectfs correspodats. Les valeurs globales de la sére (x, ) sot les quattés g = x B- Médale : La médale de la sére (x, ) est la médae de la sére (x, g) Applcato : L mportace quattatve des portefeulles de ttres déposés das ue socété de portefeulle «Maroc Ivest» e Kdh e Importace du portefeulle e kdh f% f cumulé f % f cumulé Mos de à à à à à plus Total f représetet les pourcetages du ombre total des portefeulles. f représetet les pourcetages de la valeur totale des portefeulles. TAF : calculez la médae et la médale de cette dstrbuto Elémets de répose : Me = 19730, Ml= kdh OFPPT/DRIF 6

28 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques C- Courbe de cocetrato (ou de LORENZ) C'est la courbe obteue e représetat L'allure de la courbe permet d'avor ue dée de la cocetrato D- Idce de GINI Proprétés: Exercce sythétque : (vor TP N 1) OFPPT/DRIF 7

29 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques VII- Les dces : Permettet de mesurer l'évoluto d'u phéomèe au cours du temps A- Idces élémetares : L'dce d'évoluto d'ue varable élémetare y etre la date t0, dte date de référece ou date de base, et la date t, dte date courate est L'dce base 100, c.à.d. exprmé e pourcetage est Remarque: Il est toujours préférable d'effectuer les calculs avec et de doer le résultat e base 100 à la f des calculs. O utlse essetellemet l'dce des prx (P), l'dce des quattés ou volumes (Q), et l'dce des valeurs ou dépeses (V = P Q) Proprétés: - detté - réversblté - crcularté - L'dce est étrotemet lé au taux de crossace = r +1 est auss appelé coeffcet multplcateur par les écoomstes OFPPT/DRIF 8

30 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcatos : App.1- Le prx de la tomate au Maroc a été de 1.5 dhs e moyee e 1980 et de.3 dhs e TAF : calculez l dce élémetare du prx de la tomate e 1995, base 100 e 1980 et terprétezle. Elémets de répose : I 95/80 = G 95 =(.3/1.5) x 100 = G 80 Le prx de la tomate au Maroc a augmeté de 53.33% etre 1980 et 1995 App.- O savat que le prx du sucre das u pays X a augmeté de.5% etre 1960 et 1975 et de 7.5% etre 1960 et TAF : détermez l dce élémetare du prx du sucre e 1995 base 100 e 1975, pour le pays e questo. Elémets de répose : I 95/75 = I 95/75 = 107.5x I 75/ Exercce de sythèse : Les doées cocerat l évoluto des prx de pluseurs artcles etre les pérodes 1995 et 1985, as que leur pods sot groupés das le tableau suvat : Prx P 85 P 95 α Artcles A B C D E F G H TAF: calculez les dces élémetares des prx des dfférets artcles, pus détermez l dce gééral des prx. Elémets de répose : I95/85 ( PA) = 40/36 x 100 = I95/85 ( PB) = 15/1 x 100 = 15 I95/85 ( PC) = 45/40 x 100 = 11.5 I95/85 ( PD) = 13/15 x 100 = I95/85 ( PE) = 50/4 x 100 = I95/85 ( PF) = 8/5 x 100 = 160 I95/85 ( PG) = 40/30 x 100 = I95/85 ( PH) = 10/8 x 100 = 15 - L dce des moyees: I 95/85 = P 95 = 31./6.85 x 100 = 116. P 85 - La moyee des dces : I 95/85 (P) = α I 95/85 =10.9 B- Idces de LASPEYRES et de PAASCHE Ce sot des dces sythétques qu sot des résumés umérques des dces élémetares lorsqu'o cherche à mesurer l'évoluto d'u esemble de pluseurs produts. coeffcet de podérato ou budgétare du produt j par rapport à la date t : OFPPT/DRIF 9

31 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques a) Idce de Laspeyres des prx b) Idce de Laspeyres des quattés c) Idce de Paasche des prx d) Idce de Paasche des quattés OFPPT/DRIF 30

32 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcato : Les doées cocerat l évoluto des prx et des quattés de pluseurs artcles etre les pérodes 1995 et 1985 : Prx Artcles A B C D E F G H P 85 P 95 Q 85 Q TAF : calculez les dfférets dces sythétques des prx, des quattés et des valeurs. Elémets de répose : - Idce de Laspeyrs des prx : L 95/85 (P) = 15 - Idce de Paasche des prx : P (P) = Idce de Laspeyrs des quattés: L 95/85 (Q) = Idce de Paasche des quattés : P (P) = dce des valeurs (dce des dépeses totales) : D 95/85 = P 95 Q 95 = 3030/136 x 100 =14 P 85 Q VIII- Régresso et corrélato : Lorsqu'o observe deux varables quattatves sur les mêmes dvdus, o peut s'téresser à ue laso évetuelle etre ces deux varables. La régresso fourt ue expresso de cette laso sous la forme d'ue focto mathématque. La corrélato resege sur l'testé de cette laso A- Ajustemet d u uage de pots à ue focto mathématque : a) Ajustemet léare par la méthode des modres carrés Lorsque le uage de pots (x, y) est à peu près rectlge, o peut evsager d'exprmer la laso etre x et y sous forme de focto affe y = ax + b OFPPT/DRIF 31

33 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques b) Ajustemet à ue focto expoetelle Pour ajuster u uage de pots à ue courbe expoetelle, l sufft de fare le chagemet de varable Y = l y, X = x, A = l a, B = l b, pour obter l'équato Y = AX + B, et d'utlser esute l'ajustemet léare par la méthode des modres carrés sur les pots (X, Y). c) Ajustemet à ue focto pussace Pour ajuster u uage de pots à ue courbe pussace, l sufft de fare le chagemet de varable Y = l y, X = l x, A = a, B = l b, pour obter l'équato Y = AX + B, et d'utlser esute l'ajustemet léare par la méthode des modres carrés sur les pots (X, Y). B- Mesure de l testé de la relato léare etre deux varables : 1) Covarace x et y varet das le même ses x et y varet e ses cotrare OFPPT/DRIF 3

34 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques ) Coeffcet de corrélato léare relato foctoelle léare dépedace léare dépedace léare d'autat plus forte que est grad Atteto: Ue forte causalté etre x et y mplque ue forte relato etre x et y qu 'est pas forcémet léare; o 'a doc pas oblgatoremet ue forte corrélato léare. Ue forte corrélato léare 'mplque pas forcémet ue forte causalté. 3) Drotes de régresso Dy/x : y = ax + b avec Dx/y : x = a'y + b' avec La posto des deux drotes de régresso l'ue par rapport à l'autre doe u resegemet sur l'testé de la relato léare: * drotes de régresso cofodues relato foctoelle léare * drotes de régresso perpedculares dot ue de pete ulle dépedace léare * Plus les drotes sot proches, plus la relato léare est mportate Relatos téressates: r² = aa' OFPPT/DRIF 33

35 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcato : Les séres statstques smples de deux varables cotues X et Y se présetet comme sut : Idvdus X Y TAF : après avor élaboré u tableau de cotgece, e adoptat des classes d ampltudes égales à 4 utés pour la varable X et des ampltudes à 5 utés pour la varable Y, l vous est demadé d apprécer la laso qu exste etre ces deux varables. Elémets de répose : Y j X Les équatos des drotes d ajustemet léare : -l ajustemet léare de Y à X : Y= a.x + b = X+.79 -l ajustemet léare de X à Y : X = a.y + b = Y coeffcet de corrélato r : r = Forte laso léare égatve etre les deux varables. IX- Séres chroologques : Ce sot des séres d'observatos écheloées das le temps. L'objectf de l'étude des séres chroologques est double: aalyse d'u phéomèe temporel e mettat e évdece essetellemet la tedace géérale et les fluctuatos sasoères élaborato d'u modèle permettat de fare de la prévso à court terme A- Décomposto des chroques : L évoluto das le temps d u phéomèe résulte de pluseurs facteurs : - le Tred ou Tedace : T. C est le mouvemet de logue pérode que l o cosdère le plus souvet comme ue drote (tedace léare) - les cycles : C. C est ue alterace de mouvemets crossats et décrossats de moye terme. - les varatos sasoères : S. O estme qu l y a ue composate sasoère das ue sére, s, chaque aée, à la même pérode, l se produt ue varato du phéomèe d au mos 5% par rapport à la valeur moyee. - le résdu ou aléa : ε. C est u évéemet exceptoel mpossble ou dffcle à estmer. L évoluto d ue varable X peut alors s exprmer comme sut : (1) X= T+C+S+ε ou () X= T.C.S.ε Le modèle addtf (1) suppose que chaque composate apporte ue cotrbuto pure à l évoluto observée. Le modèle multplcatf () motre que chaque composate amplfe les autres et tradut l terdépedace etre les composates. OFPPT/DRIF 34

36 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques B- La détermato du Tred : 1) Ajustemet léare par la méthode des modres carrés La drote de régresso de Y par rapport au temps t doe pour chaque t ue valeur Tt ) Lssage par moyees mobles d'ordre k (k = ombre d'observatos das u cycle) temps varable moyees mobles d'ordre 3 moyees mobles d'ordre 4 1 y1 y (y1 + y + y3)/3 3 y3 (y + y3 + y4)/3 (y1/ + y + y3 + y4 + y5/)/4 4 y4 (y3 + y4 + y5)/3 (y/ + y3 + y4 + y5 + y6/)/4 5 y5 (y4 + y5 + y6)/3 (y3/ + y4 + y5 + y6 + y7/)/4 6 y6 (y5 + y6 + y7)/3 7 y7 les moyees mobles doet pour chaque t (ms à part les valeurs extrêmes) ue valeur Tt Applcato : La socété BMT a pour actvté la vete de système d alarme. Le caractère porteur de ce marché lu a perms sur les cq derères aées d eregstrer les vetes suvates e KDH : Aées N 4 N 3 N N 1 N Chffre d affares TAF :estmez la prévso des vetes pour l aée N+1 e utlsat la méthode des modres carrés. Elémets de répose : sot x le rag de l aée et y le chffre d affares x y xy x² Sommes Moyees a=16759 et b=53769 le chffre d affares y s exprmerat doc e focto du rag x de l aée : y=16759x Pour l aée N+1 (rag 6), la prevso serat la suvate : y=16759 x = kdh OFPPT/DRIF 35

37 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques C- Aalyse de la composate sasoère : 1) modèle addtf - calcul des dfféreces Yt - Tt = St + At - calcul des coeffcets sasoers bruts S'j : pour chaque saso j, S'j = moyee des dfféreces de la saso j - calcul des coeffcets sasoers ) modèle multplcatf - calcul des rapports Yt / Tt = St. At - calcul des coeffcets sasoers bruts S'j : pour chaque saso j, S'j = moyee des rapports de la saso j - calcul des coeffcets sasoers D- Aalyse de la composate aléatore 1) modèle addtf At = Yt - Tt - St ) modèle multplcatf At = Yt / (Tt. St) E- Désasoalsato : Pour exprmer ce qu'aurat été le mouvemet brut sas l'fluece sasoère, o utlse la sére corrgée des varatos sasoères Y* (ou Ycvs) 1) modèle addtf Y*t = Yt - St ) modèle multplcatf Y*t = Yt / St F- Sére Ajustée Cette sére est utlsée pour représeter ce qu'aurat été le phéomèe e l'absece de phéomèes aléatores 1) modèle addtf = Tt + St ) modèle multplcatf = Tt. St F- Prévso à court terme: Lorsque le tred est obteu par la méthode des modres carrés, l est possble d'obter ue prévso postéreure à l'tervalle d'étude (à codto de rester das des lmtes rasoables), e utlsat le modèle précédet. Pour ue date x correspodat à u coeffcet sasoer Sx, la tedace vaut Tx, et la prévso est doc doée par Tx + Sx e modèle addtf ou Tx. Sx e modèle multplcatf OFPPT/DRIF 36

38 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcato : La socété Jhae fabrque des jouets e plastque. So actvté a u caractère sasoer très marqué. O dspose des doées suvates relatves aux aées N-, N-1 et N : N N 1 N Trmestre Trmestre Trmestre Trmestre Total TAF : 1. Représetez graphquemet cette sére statstque. Calculez les coeffcets sasoers de cette sére. 3. Détermez la sére corrgée des varatos sasoers 4. Quelles sot les prévsos pour les aées N+1, N+, N+3 et N+4? Elémets de répose : vetes trmestres. Trmestr1 Tmestre Trmestre3 Trmestre4 y t y t y t /y t y t y t y t /y t y t y t y t /y t y t y t y t /y t N N N Coeff saso er s Coeffcet sasoer 1 er trmestre = ( ) = Trmestre t y t Coeff.sas Sére corrgée OFPPT/DRIF 37

39 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques 4. la prévso de la tedace écesste u ajustemet de la sére corrgée des varatos sasoers (les moyees mobles). Drote d ajustemet de y t => y t = 1391x + 18 O obtet les prévsos suvates pour la tedace : Trmestre Prévso Prévsos des vetes des trmestres 13,14,15 et 16 ( N+1, N+, N+3 et N+4) Trmestre Prévso de la tedace Coeff. Saso Prévsos des vetes Chaptre II. Réalsato des equêtes Equête : Ivestgato auprès d ue populato doée pour obter des réposes précses à des questos sur u marché (equête par téléphoe, equête postale, equête par Iteret..) I- Détermato optmale d u échatllo Echatllo : fracto représetatve d ue populato ou d u uvers statstque sur lequel porte ue étude. Tous les membres de la populato cosdérés dovet avor la même chace d être choss. A. Méthodes d échatlloage : Il exste dfféretes maères d extrare u échatllo d ue populato. Nous e verros que les deux pratques les plus courates : 1- Echatllo aléatore : Tous les dvdus d ue populato possèdet au départ des chaces égales de fare parte de l échatllo. O effectue u chox au hasard. - Echatllo stratfé : O dvse e strates le populato et o tre au hasard das chaque strate homogèe, les élémets obteus das chaque strate sot combés pour obter le résultat fal. 3- Trage par quota : Il cosste à recosttuer ue populato mère matursée, au se de l échatllo. L échatllo est cosdéré comme représetatf de la populato mère. Exp : das ue populato doée, l y a 49% de femmes et 51% d hommes ; o déft les quotas qu permettrot d obter u échatllo compreat 49% de femmes et 51% d hommes. B. Détermato optmale de la talle de l échatllo : OFPPT/DRIF 38

40 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Exp : u calcul facer prévsoel a u chef de produt que sa ouvelle marque dot obter ue part de marché d au mos 15%, s l veut dégager u bééfce. Ue étude est meée auprès de s acheteurs potetels. Le chef de produt fat par qu ue part de marché de 0% est tout à fat probable. Il se doe ue marge de fluctuato de ± 3 pots autour de ce chffre. Il veut orgaser u test qu smule u achat réel, e présetat les prcpales marques du marché. Combe faudra-t-l terroger de cosommateurs potetels pour vérfer la prévso, Formule de calcul : =z²p q e² avec : : talle de l échatllo écessare z : valeur foure par la table de la lo ormale ; elle vare selo le rsque d erreur que l o accepte pour gééralser les résultats. L usage est de reter 5% sot ue valeur de z=1.96 p : pourcetage prévu de cosommateurs qu achètet la ouvelle marque, sot c 0% q =1-p : pourcetage de cosommateurs qu chossset ue autre marque, c 80%. e: marge de fluctuato (précso) acceptée pour gééralser les résultats : c ± 3 pots de part de marché, sot Résultats : = (1.96)²(0.)(0.8)=683 (0.03)² II- Elaborato du questoare A- Défto : Istrumet de collecte de l'formato. Il est fodé sur u recuel de réposes à u esemble de questos posées gééralemet à u échatllo représetatf d ue populato. B- Faltés : Recuellr des formatos auprès des persoes cocerées par le sujet à trater Dresser le portrat d ue réalté à u momet précs das le temps Evaluer les effets d'ue acto Réalser u sodage sur u échatllo mportat C- Domae d applcato : Tout type de sujet Aalyse de l'exstat Crtque de l'exstat Dagostc Elaborato et chox de solutos Mse e œuvre Suv et ajustemet D- Caractérstques : OFPPT/DRIF 39

41 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Le questoare mplque gééralemet le chox d u échatllo de la populato cocerée La stadardsato du questoare est écessare : l est préseté à tous les terlocuteurs sous la même forme, avec les mêmes modaltés Le questoare est u strumet pré-testé : l dot être ms à l essa avat d être utlsé pour vérfer sa pertece Le questoare permet d obter tros catégores d formatos : - Les fats, les atttudes, les attetes, les opos - Les caractérstques assocées aux répodats (sexe, âge, focto ) - Les formatos relées à l admstrato du questoare (date, leu, groupe de répodats, etc ) Le questoare dot être accompagé e amot par ue commucato sur les objectfs et l'utlté du questoare, et e aval par ue commucato sur les résultats obteus. E- Mode d emplo : Démarche e 8 étapes : Défto de la problématque Défto de la populato chox du type de questoare. Il exste deux types de questoares : Le questoare auto-admstré où le sujet répod lu même et le questoare admstré dvduellemet complété par l equêteur lu même lors d u etrete dvduel. Formulato des questos. Les questoares possèdet e gééral à la fos des questos ouvertes et fermées : cocepto du questoare Pré-test du questoare : Il cosste à vérfer s le questoare foctoe ou s certaes modfcatos s mposet e termes de coteu et de forme Codfcato des résultats. Réalser ue matrce de doées à double etrée : *Chaque lge correspod à u répodat *Chaque coloe correspod à ue varable ou formato demadée Questos fermées : A l ade d u code umérque ou alphaumérque, o trasforme l formato das u format qu la red explotable Questos ouvertes : Il faut à posteror développer ue lste de codes pour detfer les dverses réposes des terlocuteurs Exemple : Questos Réposes 1 3 O N Questo1 Questo Questo3 Questo Aalyse et terprétato des résultats. L aalyse a pour but de résumer les doées recuelles de faço à répodre aux questos soulevées par la problématque abordée. Démarche e 3 étapes - L aalyse quattatve OFPPT/DRIF 40

42 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Il s agt grâce au calcul statstque d aalyser les formatos recuelles, e se plaçat du pot de vue précs des objectfs de l equête. Deux grades catégores d approche statstque sot gééralemet utlsées : Les statstques descrptves : Utlsato des mesures de tedace cetrales (moyee, médae, mode), as que des dces de dsperso autour de ces mesures (écart type, terquartle ) Les statstques déductves : Utlsées pour rechercher des rapports sgfcatfs etre des varables (corrélato). Elles permettet de fare ressortr des lasos que l o 'avat pas soupçoées lors du lacemet de l equête - L aalyse qualtatve Elle prvlége les aspects soco-écoomques et psychologques des résultats. Elle vse à l'terprétato des réposes foures. - Le rapport d'equête Il fourt ue sére de tableaux accompagés de commetares sur les pots les plus mportats. ; l est structuré de la maère suvate : La présetato de l equête qu compred ; La présetato des résultats qu cocere ; Les coclusos. Chaptre III. Réalsato des sodages Quelques déftos : Sodage : Etude d ue parte d ue populato cosdérés drectemet ou après redressemet, comme représetatve de la populato totale. Les résultats obteus sot rapportés à la totalté de cette populato. Le sodage s oppose au recesemet qu est l étude exhaustve de toutes les utés d u esemble. Base de sodage : lste ou fcher regroupat l uvers étudé et permettat le trage au sort des utés de l échatllo. La statstque : toute mesure calculée à partr des doées échatlloales Paramètre : toute mesure calculée à partr de l esemble des doées de la populato. Estmato : le procédé par lequel o cherche à détermer la valeur d u paramètre d ue populato. Estmateur : la statstque utlsée pour effectuer l estmato ; c est ue varable aléatore. Valeur estmée : la valeur que pred l estmateur ue fos l échatllo tré ; c est ue valeur de la varable aléatore que costtue l estmateur. I- Estmateur d ue moyee ou d ue proporto Problématque : Quelle statstque de l échatllo costtuera le melleur estmateur d u paramètre de la populato? Exp : o désre coaître la gradeur moyee de toutes les femmes âgées de 18 as ou plus vvat das ue certae vlle. Pusqu l serat trop log d étuder toute la populato, o procède doc à partr d u échatllo aléatore. Mas, pusque les dvdus de l échatllo ot été choss de faço à ce qu l représete le plus fdèlemet possble la populato, o est OFPPT/DRIF 41

43 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques e drot de peser que la moyee de l échatllo peut predre ue valeur proche de la moyee de la populato. Mas la moyee d u échatllo chos aléatoremet das la populato recotre-t-elle le crtère d u estmateur sas bas? A- Espérace mathématque d ue moyee : L espérace mathématque de la moyee d u échatllo est u estmateur sas bas de la moyee de la populato à laquelle l appartet : E (X) = µ Exp : sot la populato,3,6,8. Cosdéros la varable X représetat la moyee d u échatllo de talle tré avec remse. L esemble de tous les échatllos possbles auxquels o assoce la moyee est : X D où la dstrbuto de probablté suvate : X F (X) 1/16 /16 1/16 /16 /16 /16 /16 1/16 /16 1/16 O a doc : E(X) = (.0) 1/16 + (.5) / (8.0) 1/16 = 4.75 De plus la moyee de la populato : µ = = B- Espérace mathématque d ue proporto : La proporto d dvdus présetat u caractère partculer das u échatllo est u estmateur sas bas de la proporto de ces dvdus das la populato à laquelle appartet l échatllo. Exp : OFPPT/DRIF 4

44 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Repreos l exemple précédat, cosdéros cette fos-c la varable aléatore P représetat la proporto de ombre mpar das u échatllo de talle tré avec remse. L esemble des résultats possbles est : P D où la dstrbuto de probablté suvate : 0/ 3 1 / 6 0/ 8 0/ 1 / 3 / 6 1 / 8 1 / 0/ 3 1 / 6 0/ 8 0/ 0/ 3 1 / 6 0/ 8 0/ P 0 1 / 1 F (P) 9/16 6/16 1/16 O a doc : E(P) = (0) 9/16 + (1/ ) 6/16+ (1) 1/16 = 1/4 De plus la proporto de ombres mpars das la populato est : π = 1/ 4 Estmato poctuelle d u paramètre : L estmato poctuelle d u paramètre cosste e l évaluato de la valeur du paramètre de la populato à l ade d ue valeur uque prse das u échatllo. La statstque utlsée comme estmateur dot recotrer u certa ombre de crtères, o a vu celu de l estmateur sas bas. D autres caractérstques exstet mas e fot pas otre objectf. Il mporte davatage de coaître les résultats qu suvet : Sgfcato des termes Paramètre (populato) Statstque utlsée (échatllo) Moyee Proporto µ π X P OFPPT/DRIF 43

45 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques Applcato : Sot la populato 3,7,1,16,5. Cosdérer tous les échatllos de talle prs avec remse das celle-c. 1. pour chacu des échatllos, calculez la valeur de la varable aléatore X. calculez E(x) 3. calculez µ, la moyee de la populato 4. comparez les résultats obteus e b et c Elémets de répose : E(x) = µ II- Varace des estmateurs O peut s terroger sur les chaces que la valeur estmée, à partr de l échatllo, égale la valeur du paramètre de l populato. Il covet doc de pouvor fare l estmato d u paramètre tout e état capable d évaluer les chaces qu à cette estmato de se réalser. Pour ce fare ous effectuos ce qu o appelle ue estmato pat tervalle de coface d u paramètre de la populato. Le problème cosste doc à trouver les bores de cet tervalle. La moyee de la varable aléatore X est : E( x ) = µ X = µ et l écart -type de X est σ X = σ/ (sachat que var (x) = E(x²) - [ E(x)]² ) S l échatllo est tré sas remse das ue populato fe ou très grade avec < 0.05N ou ecore avec remse da,s la populato, quelle que sot la talle de celle-c, et σ X = σ N- N-1 S l échatllo est tré sas remse das ue populato fe. Exp : repreos l exemple précédat : X F (X) 1/16 /16 1/16 /16 /16 /16 /16 1/16 /16 1/16 O sat que var (x) = E(x²) - [ E(x)]² Or, o a : E(x²) = (.0)² 1/16 + (.5)² / ( 8.0)² 1/16 = 5.40 OFPPT/DRIF 44

46 Résumé de Théore et Gude des travaux pratques Statstques D où : var (x) = 5.40 (4.75)² De plus σ² = (-4.75)² + ( )²+ ( )² + ( )² = et σ²/ = 5.69/ =.84 où représete la talle de l échatllo. Applcato : U échatllo de talle est tré, sas remse, d ue populato de talle 350 dot la moyee et la varace sot respectvemet 115 et 169. pour chacue des valeurs suvates de, évaluer la varace et l écart_ type de la varable aléatore X : Elémets de répose : et et et et 1.7 III- Estmato par tervalle de coface de µ : O appelle INTERVALLE DE CONFIANCE u tervalle de la forme [L 1,L ], ayat ue certae probablté de coter la valeur d u paramètre. L 1 = X - z α/ σ x et L = X - z α/ σ x Où : z α/ est la valeur de la varable z telle que P(z z α/ ) = 1- α/, α le rsque d erreur et σ x l écart- type de la dstrbuto d échatlloage de X appelée auss ERREUR TYPE. Il covet d utlser : z α/ =.58 s α = 1% z α/ =1.96 s α = 5% z α/ =1.65 s α = 10% O appelle NIVEAU DE CONFIANCE, oté 1 - σ, la probablté qu a l tervalle de coface de coter la valeur du paramètre. O appelle RISQUE D ERREUR, oté σ, la probablté qu a l tervalle de coface de e pas coter la valeur du paramètre. Exp : La moyee et l écart -type du résultat cumulatf d u échatllo de 36 étudats d ue uversté sot.6 et 0.3 respectvemet. Trouvos u tervalle de coface à 99% pour la moyee des résultats cumulatfs de tous les étudats de cette uversté. O a doc : X =.6, z α/ = z 1/% =.58 Et σ x= 0.3/ 36 = 0.05 D où : L 1 =.6 (.58)0.05 =.47 Et L =.6 + (.58)0.05 =.73 OFPPT/DRIF 45