Compléments sur les suites Suites adjacentes

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:3 Complémets sur les suites Suites adjacetes I Ecadremet d ue suite EXERCICE ) Motrer que pour tout k N et pour tout x [k ; k+], o a : k+ k+ k x dx k ) O pose u = k. Motrer que (u ) diverge. k= EXERCICE Soit (u ) la suite défiie pour par u = k= k. k ) Motrer que, pour tout etier k, o a : k dx. () k x ) Déduire de () l iégalité, pour etier supérieur ou égal à, u = k= k dx (3) x Iterpréter graphiquemet les iégalités () et (3). 3) Pour etier supérieur ou égal à, calculer x dx et motrer que u 4) Motrer que la suite (u ) coverge vers u réel l vérifiat l. EXERCICE 3 O cosidère les suites (u ) et v ) défiies sur N par : u = et v = ( ) ) Trouver deux réels a et b tels que pour > : ( ) = a + b E déduire que pour >, v = ) Motrer que la suite (u ) est croissate et que pour >, u < v <. E déduire que la suite (u ) est covergete. PAUL MILAN VERS LE SUPÉRIEUR

2 EXERCICES II Calcul de somme EXERCICE 4 Calculer les sommes suivates : ) S = ) S = k= 3) S 3 = k=0 k k= EXERCICE À l aide de sommes télescopiques, calculer les sommes suivates ) S = k= k(k+). O pourra décomposer e élémets simples : ) S = ( l ) k k= 3) S 3 = k(k+) = a k + b k+ l ( k ) k= EXERCICE 6 O effectue la costructio schématisée ci-dessous : À l étape, o ajoute carrés, de côtés égaux à la moitié d u côté du carré de l étape ( ). O désige par S l aire du domaie obteue à la -ième étape. ) Établir que : S = Écrire S avec le sige ) Détermier la formule sommatoire pour : f(x) = +x+3x + +x Aide : f(x) est la dérivée de... 3) E déduire ue formule explicite pour S et calculer lim + S. Vérifier le résultat de la limite à l aide d u algorithme. PAUL MILAN VERS LE SUPÉRIEUR

3 III. SUITES RÉCURRENTES D ORDRE III Suites récurretes d ordre EXERCICE 7 Soit la suite (u )défiie par : u 0 =, u = u + = 3 u + u Soit la suite (v ) défiie sur N par : v = u + u. ) Motrer que la suite (v ) est géométrique. Calculer v e foctio de. ) E déduire l expressio de u e foctio de. Aide : o pourra calculer la somme S = v 0 + v + +v de deux maières différetes. 3) Détermier la limite de la suite (u ) EXERCICE 8 O cosidère l esemble (E) des suites (x ) défiies sur N et vérifiat la relatio suivate : N, x + x = 0, 4 x ) O cosidère u réel λ o ul, et o défiit sur N la suite (t ) par t = λ. Démotrer que la suite (t ) appartiet à l esemble (E) si, et seulemet si, λ est solutio de l équatio λ λ 0, 4 = 0. E déduire les suites (t ) apparteat à l esemble (E). O admet que (E) est l esemble des suites(u ) défiies sur N par ue relatio de la forme : u = α(, ) + β( 0, ) où α et β sot deux réels ) O cosidère ue suite (u ) de l esemble (E). Détermier les valeurs de α et β telles que u 0 = 6 et u = 6, 6 E déduire que : N, u = 39 7 (, ) ( 0, ). 3) Détermier lim + u EXERCICE 9 O appelle suite de Fiboacci, la suite(u ) récurrete à deux termes défiie par : u0 =, u = u + = u + + u ) Détermier les premier termes : u, u 3, u 4, u, u 6. ) O pose la suite (a ) défiie par : N, a = α u + + u. a) Motrer que la suite (a ) est géométrique si et seulemet si α est solutio de l équatio : α α = 0. b) Motrer que cette équatio possède deux solutios α et α tels que : α < 0 < α. PAUL MILAN 3 VERS LE SUPÉRIEUR

4 EXERCICES c) O pose alors les suites (v ) et (w ) défiies par : v = α u + + u et w = α u + + u Détermier les termes v et w e foctio de. 3) Motrer que : u + = v w ( E déduire la formule de Biet : u = + ) + ( ) + 4) Vérifier à l aide de votre calculatrice la véracité de cette formule e calculat les 6 premiers termes. IV Limites de suites EXERCICE 0 O cosidère la suite (v ) défiie sur N par : v0 = 6 v + =, 4 v 0, 0 v ) Soit f la foctio défiie sur R par f(x) =, 4x 0, 0x. a) Étudier les variatios de la foctio f sur l itervalle [0 ; 8]. E déduire que l itervalle [0 ; 8] est stable par f. b) Motrer par récurrece que la suite (v ) est croissate et borée. ) E déduire que la suite (v ) est covergete et détermier sa limite. EXERCICE O défiit la suite (S ) sur N par S = Démotrer que lim S = + + Aide : O motrera que (S S ) est miorée par et o raisoera par l absurde, i.e. o suppose que la suite S est covergete... V Suites adjacetes EXERCICE Soiet a et b deux ombres strictemet positifs. ) Motrer que ab a+b ) O défiit deux suites (a ) et (b ) par : a0 = a a + = a b et b 0 = b b + = a + b Justifier que a et b existet sur N et démotrer que : N, a b PAUL MILAN 4 VERS LE SUPÉRIEUR

5 VI. FRACTION CONTINUE 3) Motrer que (a ) est croissate et que (b ) est décroissate. 4) E déduire que les suites (a ) et (b ) coverget et ot même limite. Remarque : Le ombre ab s appelle la moyee géométrique de a et b. C est ce que doit mesurer le côté d u carré pour qu il ait ue aire égale à celle d u rectagle de dimesio a b. La limite commue de(a ) et(b ) s appelle la moyee arithmético-géométrique de a et b et o la ote M(a, b). Le ombre M(, s appelle la costate de Gauss. ) EXERCICE 3 Soit les suites (u ) et (v )défiies sur N par : u 0 =, v 0 = et : N, u + = u + v et v + = u + 4v ) Écrire u algorithme permettat de calculer u et v, état doé. Doer alors les valeurs approchées des termes u 0 et v 0. Qu peut-o cojecturer? ) a) Démotrer par récurrece que pour tout, u < v b) Démotrer que les suites u et v sot respectivemet croissate et décroissate. c) Motrer que la suite défiie sur N par : w = u v est géométrique. E déduire que les suites (u ) et v sot adjacetes. Que peut-o e déduire? 3) Trouver deux réels disticts a et b tels que les suites(s ) et(t ) défiies sur N par : s = u + av et t = u + bv soiet géométriques (évetuellemet costates). 4) Exprimer s et t e foctio de. ) Trouver la limite des suites (u ) et (v ) VI Fractio cotiue EXERCICE 4 O pose : u 0 =, u = +, u = ) Défiir la suite (u ) par récurrece. + +,..., u = ) Soit la foctio défiie sur ] ;+ [ par : f(x) = + x. Détermier la solutio positive α tel que f(α) = α PAUL MILAN VERS LE SUPÉRIEUR

6 EXERCICES 3) a) Motrer que : N, u + α 4 u α b) E déduire que : N, u α 4 c) Quelle est la limite de (u )? EXERCICE Soit u etier ( ). O cosidère l équatio (E ) dot o se propose de détermier la solutio positive : (E ) : x = traits de fractio. + x ) Écrire les équatios (E ), (E ) et (E 3 ) et les résoudre. Quelle cojecture peut-o faire? ) Soit f la foctio défiie sur R par : f(x) = + x ; et soit la suite (x ) défiie sur N par : x0 > 0 x + = f(x ) a) Prouver que l équatio f(x) = x admet deux solutios α et β telles que α < 0 < β. b) O pose u = x β x α avec x 0 = α. Motrer que u est défii pour tout etier et que la suite(u ) est ue suite géométrique. ( c) E déduire que u = ) x 0 β x 0 α. 3) Résoudre alors l équatio (E ) et cofirmer la cojecture de la questio ). VII Ecadremet de Pi - méthode d Archimède EXERCICE 6 Das u texte ititulé «De la mesure du cercle», Archimède imagie la première méthode jamais proposée permettat, e théorie, le calcul de π avec ue précisio aussi grade qu o le souhaite. L exposé suivat suit les idées d Archimède avec des méthodes moderes. PAUL MILAN 6 VERS LE SUPÉRIEUR

7 VII. ENCADREMENT DE PI - MÉTHODE D ARCHIMÈDE Soit C u cercle de rayo : o costruit, pour tout deux polygoes réguliers P, et Q, ayat 3 côtés, P état iscrit das C, et Q, exiscrit à C (voir la figure ci-cotre). Nous admettos que le périmètre du cercle (égal à π) est ecadré par ceux des deux polygoes. Das la suite, o ote p et q, les demi-périmètres respectifs de P et Q. Aisi, p < π < q Q P C = (6 côtés) ) Le cas = Motrer que p = 3 et q = 3. ) Expressio de p, et q a) Évaluer, e foctio de, l agle au cetre qui itercepte l u des côtés de P ou de Q. ( ) ( ) π π b) E déduire les relatios : p = 3 si 3 et q = 3 ta 3 E pratique, ces expressios e permettet pas u calcul umérique de p, et q. Das la suite, ous ous orietos vers u calcul de proche e proche. 3) Relatios de récurrece π a) O pose α = 3 +. Exprimer p, et q, e foctio de et α. b) Exprimer si α et + cos α e foctio de si α et cos α. c) E déduire que,, = ( + ) et p + = p q + q + p q d) Calculer q et p à l aide des relatios précédetes. 4) Étude des suites (p ) et (q ) a) Soit a et b deux réels vérifiat 0 a b. Démotrer les relatios : a < ab < b (i) et a < ab a+b < a+b < b (ii) b) Motrer par récurrece que N, p < q. c) E déduire que la suite (p ) est croissate et que (q ) est décroissate. d) Démotrer que, q + p + (q p ). (O pourra utiliser (i) et (ii) à bo esciet.) E déduire que, q p adjacetes. puis que les suites(p ) et(q ) sot e) Que vaut lim p et lim q? + + ) Proposer u algorithme permettat de calculer les valeurs de p et q jusqu à obteir u ecadremet de d amplitude 0 0. PAUL MILAN 7 VERS LE SUPÉRIEUR

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