3 Révisions : Dénombrement BCPST 2 - Lycée F1

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1 FEUILLE 3 Révisios : Déombremet BCPST - Lycée F1 Modèles de base Cocrètemet Exercice 1: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Soiet, N Raelez le cardial des esembles suivats : 1 1; a {(i 1,, i 1; les i sot à disticts b { {(i 1,, i 1; les i sot à disticts 3 {i1,, i 1; les i sot à disticts Exercice : [Idicatios] [Correctio] Modéliser "Modèle des boites" : O disose de boites discerables Combie y a t-il de maières de réartir 1 boules idiscerables das ces boites, avec au mois ue boule ar boite? boules discerables etres elles das ces boites, avec la ossibilité de mettre lusieurs boules das la même boite? 3 boules idiscerables etres elles das ces boites (avec la ossibilité de mettre 0 boule das les boites? 4 boules idiscerables etres elles das ces boites, sas mettre deux boules das la même boite? Exercice 3: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Trouver quelles modélisatios évetuellemet utilisées das les exercices récédets ermettet de réodre aux questios ci-dessous (et réodre! 1 Soiet, N Quel est le ombre de ulets (i 1,, i N tels que : a i 1 + i + + i avec 1, i 0 b i 1 + i + + i avec 1, i N c 1 i 1 < i < < i d 1 i 1 i i Alicatios : a Quel est le ombre de solutios de x+y+z+t 50, avec x, y, z, t N? b Quel est le ombre de solutios de x+y +z +t 50, avec x, y, z, t N? c Quel est le ombre de solutios de x + y + z 40, avec x, y, z N? Exercice 4: [Idicatios] [Correctio] "Modèle des ures" : Modéliser Ue ure cotiet boules umérotées Combie y a t-il de maières d effectuer tirages avec remise, sas se soucier de l ordre des tirages et e se réoccuat du ombre d occurece d u uméro? Exercice 5: [Idicatios] [Correctio] Modéliser De combie de faços eut-o lacer 1 ersoes das 3 ièces de maière à avoir : ersoes das la ièce 1 6 ersoes das la ièce 4 ersoes das la ièce 3 Exercice 6: [Idicatios] [Correctio] Modéliser U cocert comred trois chateurs et deux chateuses avec chacu u uméro De combie de faços eut-o arrager le rogramme si o veut commecer et fiir ar u chateur? Exercice 7: [Idicatios] [Correctio] Modéliser De combie de faços différetes 1 eut-o lacer sur ue même ragée 5 billes de couleurs différetes? eut-o artager 10 objets différets e deux groues de 4 et 6 objets resectivemet? 3 dix ersoes euvet-elles s asseoir sur u bac comortat 4 sièges (tous les sièges état occués? (O s itéresse à l ordre das lequel les ersoes sot assises 4 eut-o choisir u jury de 5 ersoes armi 9 ersoes? Exercice 8: [Idicatios] [Correctio] Modéliser O coviet d aeler " mot " imorte quelle suite fiie de lettre, même si celui-ci e figure as das le dictioaire 1 Combie de mots de 8 lettres eut-o écrire avec les lettres A,B,C? Parmi eux combie cotieet : a au mois ue lettre A? b exactemet ue lettre A? c exactemet 3 lettres A, lettres B et 3 lettres C? d autat de lettre A que de lettre B? Exercice 9: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Trois ersoes A, B, C se artaget 7 ièces de 1 euros 1 Combie de artages sot ossibles? (avec ossibilité de e rie recevoir Combie y a-t-il de artages où chaque ersoe reçoit quelque chose? 3 Reredre les questios avec ièces 1 Feuille 3: Révisios : Déombremet

2 Exercice 10: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Combie y a-t-il de faço de réartir alterativemet 5 lates vertes et 5 lates fleuries distictes sur u arterre (toutes les lates sot discerables 1 logilige circulaire Exercice 11: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Das combie de ombres etre 1000 et 9999 recotre-t-o 1 zéro fois le ombre 3? ue fois le ombre 3? 3 trois fois le ombre 7? Exercice 1: [Idicatios] [Correctio] Modéliser U dady ossède 14 aires de gats S il sélectioe ses gats de la mai droite et de la mai gauche séarémet, de combie de maières eut-t-il former ue aire déareillée? Exercice 13: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Cours O cosidère les esembles E {a, b, c et F {1,, 3, 4, 5 1 Combie existe-t-il d alicatios de E das F? Combie existe-t-il d alicatios f de E das F telles que f(a 1? 3 Combie existe-t-il d alicatios ijectives de E das F? 4 Combie existe-t-il d alicatios surjectives de E das F? 5 Combie existe-t-il d alicatios de E F das F 3? Exercice 14: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Chercher Soiet et deux etiers aturels o uls Motrer que le ombre d alicatios croissates de 1, das 1, est ( +1 Exercice 15: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Chercher Soit N Combie y a-t-il de surjectios d u esemble de cardial + 1 das u esemble de cardial? Exercice 16: [Idicatios] [Correctio] Cours Soit E u esemble à élémets, N 1 Etat doé A ue artie de E à élémets, détermier le cardial des esembles suivats : a M {B P(E : B A b N {B P(E : B A c R {B P(E : A B Pour tout, détermier le cardial de l esemble {(A, B (P(E : A et B A 3 E déduire le cardial de l esemble {(A, B (P(E : B A Iclusio - Exclusio Exercice 17: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Chercher 1 Quel est le ombre d etiers qui e sot divisibles i ar, i ar 5, i ar 7 comris etre 1 et 10? Quel est le ombre d etiers qui e sot divisibles i ar 3, i ar 5, i ar 7 comris etre 1 et 1000? Coefficiets biomiaux Exercice 18: [Idicatios] [Correctio] Calculer Chercher Soit N Calculer 1 C 1 ( et C (1 ( S 1 0 ( [ ] 0 et 0 ] [ 1 S 0 ( +1 3 Alicatio : Motrer qu il y a autat de arties de E {1,, de cardial air d élémets que de arties de cardial imair Exercice 19: [Idicatios] [Correctio] Calculer Chercher Soit N 1 À l aide de la formule de Pascal, calculer ( 1 1 Calculer de deux maières différetes combie de mots de lettres o eut former avec lettres A et lettres B, uis retrouver la formule ( id : O ourra ar exemle cosidérer le ombre exact de B au début du mot Exercice 0: [Idicatios] [Correctio] Calculer Soiet, N, où 1 À l aide de la formule de Pascal, motrer que ( ( +1 Calculer S ( ( (O raelle que ( + 1 ( ( Exercice 1: [Idicatios] [Correctio] Formule de Vadermode Modéliser Calculer 1 Motrer que, our tout etier, m N et 0, m +, o a i0 ( ( m i i ( m + Feuille 3: Révisios : Déombremet

3 E déduire que 0 ( ( Quelques roblèmes Exercice : [Idicatios] [Correctio] Chercher Modéliser " Problème de Galilée " O lace trois dés discerables, ourquoi obtiet-o lus souvet la somme 10 que la somme 9, bie que ces sommes soiet obteues de six facos différetes? Exercice 3: [Idicatios] [Correctio] Modéliser Chercher 1 De combie de faços ue femme eut-elle arrager deux bagues sur l idex, le majeur et l aulaire (e suosas que tous ces doigts aiet même grosseur (Attetio : à l ordre des bagues sur u même doigt! Même questio avec bagues Exercice 4: [Idicatios] [Correctio] Chercher Raisoer O disose de a lettres A et b lettres B, avec ces a + b lettres o forme u " mot " 1 Combie de mots disticts eut-o former? Gééraliser au cas de lettres 3 E déduire la formule : (x 1 + x + + x r 1+r + +r! r 1!r! r! xr1 1 xr xr Exercice 5: [Idicatios] [Correctio] Chercher Raisoer Combie y a-t-il d etiers comris etre 1 et dot le cube se termie ar 11? 3 Feuille 3: Révisios : Déombremet

4 Bcst Lycée Fraçois 1 er FE 3 - Révisios : Déombremet Idicatios Exercice 4 [Correctio] O eut ar exemle se rameer à l étude de l esemble E {(1,, 1,,,,,,, N 1 + N + + N N 1 fois N fois N fois Exercice 11 [Correctio] Attetio, il faut eser à retirer les ombres etre 0 et 999 Exercice 14 [Correctio] Modéliser e se servat des remiers exercices Exercice 15 [Correctio] Cosidérer la liste des + 1 images des élémets de l esemble de déart Exercice 17 [Correctio] 1 Calculer le cardial de l esemble M M 5 M 7, où M i désige l esemble des multiles de i das 1; 10 Exercice 18 [Correctio] Calculer S 1 + S et S 1 S Exercice 0 [Correctio] Se rameer à la questio récédete : eser à dire que ( + 1 1! Exercice [Correctio] Observer les résultats obteus our chaque dé 4 Feuille 3: Révisios : Déombremet

5 Bcst Lycée Fraçois 1 er FE 3 - Révisios : Déombremet Solutios Exercice 1 1 card 1; r a O ose A {(i 1,, i i 1; 1; où les i sot à disticts 0 si > card(a! si!( (! b C est le ombre de ermutatios de élémets, c est-à-dire! ( 3 C est le ombre de combiaisos de élémets armi, c est-à-dire Exercice 1 Remarquos tout d abord qu il faut au mois boules our mettre au mois ue boule ar boite, c est-à-dire (sio, il y a 0 ossibilités Rerésetos les boules (o discerables ar u oit E les mettat sur ue lige, u trait de séaratio rerésete la délimitatio etre les boites : i 1 i i où i r rerésete alors le ombre de boules résetes das l ure o r L esemble demadé est doc e bijectio avec toutes les cofiguratios de oits et de traits ci-dessus Il s agit doc du ombre de choix de 1 traits das 1 emlacemets, d où ( 1 1 ( 1 ossibilités 1 O e eut lus reréseter les boules ar des oits idiscerables Le modèle récédet e foctioe lus E revache, à chaque boule o eut associer sa boite Ue ossibilité de ragemet est doc modélisée ar ue liste (x 1,, x où x i est le uméro de la boite das laquelle atterit la boule o i Autremet dit, le ombre de ossiblité est le ombre de -listes de uméros de 1;, d où ossiblités 3 Comter le ombre de réartitios de boules das boites ossibles reviet à comter le ombre de modélisatios ossibles suivates : cases vides et 1 croix i 1 i i où chaque case vide rerésete ue boule et chaque croix rerésete ue séaratio etre deux ures Ue ossibilité corresod doc au choix de lacemet des 1 croix armi 1 + emlacemets D où ( 1 + ossibilités 1 4 Das ce cas, o eut estimer que qu o choisit les boites qui cotieet ue boule Comter le ombre de ossibilités reviet doc à comter le ombre de ossiblités de boites boites choisies armi les boites, d où ( ossiblités 5 Feuille 3: Révisios : Déombremet

6 Exercice 3 1 a i 1 + i + + i avec 1, i 0 : Méthode 1 : L esemble est e bijectio avec {( x 1, x,, x 1 0 < x 1 < < x 1 < i 1 i 1+i i 1+i 1 c est-à-dire avec {(x 1,, x 1 1 x 1 < < x 1 1 So cardial est doc ( 1 1 Méthode : O rerésete e lige oits qui rerésetet chacu u etier Esuite, o choisit de lacer etre ces oits 1 traits de séaratio de la maière suivate : i 1 + i + + i L esemble demadé est doc e bijectio avec toutes les cofiguratios de oits et de traits ci-dessus Il s agit doc du ombre de choix de ( 1 1 traits das 1 emlacemets, d où 1 b i 1 + i + + i : Méthode : cases sas croix et avec ue croix i 1 i c 1 i 1 < i < < i : Méthode 1 : Cet esemble est e bijectio avec l esemble des choix de élémets armi : Pour chaque combiaiso de élémets armi, il existe u seul et uique classemet de ces ombres ar ordre croissat ( Le cardial est doc Méthode : O rerésete e lige oits qui rerésetet chacu u etier Esuite, o choisit de lacer etre ces oits 1 traits de séaratio de la maière suivate : { { i 1 i L esemble demadé est doc e bijectio avec toutes les cofiguratios de oits et de traits ci-dessus Il s agit doc du ombre de choix de ( 1 1 traits das 1 emlacemets, d où 1 Méthode 1 : L esemble est e bijectio avec {( x 1, x,, x 1 0 x 1 x 1 i 1 i 1+i i 1++i 1 Sot cardial est doc ( Feuille 3: Révisios : Déombremet

7 a b d 1 i 1 i i : Méthode 1 : Chaque élémet de Ω {(i 1,, i N 1 i 1 i eut être modélisé ar le schéma suivat : cases sas croix et avec ue croix i 1 i i 3 où i est le ombre de cases sas croix etre le début (à gauche et la ème croix (ou la fi, et ceci our allat de 1 à De lus, comme i 1 1, la remière croix est forcémet lacée arès la remière case Comter le ombre de ossibilités reviet doc à choisir le ombre de choix ossibles de lacemets des croix armi les + 1 cases libres, d où ( +1 ossibilités Méthode : L esemble est e bijectio avec {(i 1,, i 1 i 1 < i + 1 < < i So cardial est doc ( 501 ( ( + 1 ( ( c C est u eu lus subtil Il faut raisoer sur les valeurs de y, qui eut aller de 0 à 40/ 0, doc le ombre de ossibilités est S 0 y0 0 y0 0 y0 card {(x, z N x + z 40 y ( 40y+1 1 (41 y ( Exercice 4 Comme les tirages sot avec remise et sas ordre, l esemble des résultats ossibles est e bijectio avec l esemble E {(1,, 1,,,,,,, N 1 + N + N N 1 fois N fois N fois Autremet dit, il y autat de solutios que de réartitio des ombres N 1, N,, N de somme O a vu das l exercice récédet qu il y a Exercice 5 1!!6!4! Exercice 6 O fait ue liste de 5 élémets O a ( + 1 oissibilités 1 3 ossibilités 3! ossibilités ossibilités D où ossibilités de rogramme Exercice 7 1 C est le ombre de ermutatios de 5 élémets disticts 5! Il est suffisat de choisir le groue de 4 (les 6 autres e état déduits automatiquemet Il y a doc 10 ossibilités ( Feuille 3: Révisios : Déombremet

8 3 Pour chaque siège, o choisit la ersoe C est ue liste à 4 élémets disticts Il y a doc A ! ossibilités 6! ( 9 4 Il s agit d u tirage de 5 ersoes armis 9 Il y a doc 630 ossi- 5 bilités Exercice 8 1 Pour chaque emlacemet, o choisit la lettre voulue Cela doe 3 8 ossibilités a C est l évéemet cotraire de "as de lettre A" O a doc ossibilités b O choisit l emlacemet de la lettre A et les 7 lettres restates sot à choisir armis B,C Il y a doc 8 7 ossibilités c Ce sot toutes les ermutatios du mot AAABBCCC Autremet dit, il 8! y a 560 ossibilités 3!!3! d O comte les ossibilités et leurs ermutatios O trouve 1 + 8! 6! + 8!!!4! + 8! 3!3!! + 8! 4!4! 437 Exercice 9 1 O cherche le cardial de l esemble {( A, B, C N 3 A + B + C 7 Il s agit de ( ( De maière géérale, o a ( + our la remière questio et la deuxième ( our Exercice 10 1 O distigue les cas où l o commece ar ue late verte et les cas où l o commece ar les lates fleuries, d où 5! 5! Par raort à tout à l heure, o e distigue lus le début O eut doc suoser que le "début" est la late verte uméro 1 Il reste doc à lacer les 9 autres autour de lui alterativemet : 4! 5! Exercice 11 1 Il s agit de faire les listes de 4 chiffres armi 10 1 ossibilités, sas que zéro e soit le remier (de maière à avoir u ombre 1000 d où O fait ue 4-liste d élémets armis 0 9 et : o comte les élémets coteat exactemet u seul 3 etre 0 et 9999 : choix de la lace du 3 reste : 3-liste armis 9 ombres uis o retire armi eux les élémets etre 0 et 999, ie ceux où 0 est à la remière lace : même ricie, mais avec ue 3-liste : d où 3 9 choix de la lace du 3 reste : 3-liste armis 9 ombres ( O cherche le ombre restat : 9 ossibilités, uis sa lace das le ombre : 4 ossibilités, uis o retire celui qui commece ar 0 : Exercice 1 Méthode 1 : Il s agit simlemet de faire des -listes d élémets disticts armis les ombres {1,, 14 Il y a A ossibilités Méthode : le ombre de ossibilités eut se comter armis les cases vides du tableau ie Feuille 3: Révisios : Déombremet

9 Exercice 13 1 Pour chaque élémet de E, o choisit u élémet de F C est le cardial de l esemble {(i, j, i, j, 1,, 5 1, 5 5 Il y a doc 5 3 alicatios Par le même ricie que récédemmet, o trouve 5 5 alicatios 3 Dire que les alicatios sot ijectives reviet à dire que l o e retrouve as deux fois le même ombre das le trilet (i, j, Le ombre d alicatios ossibles est A 3 5 5!! Il y e a as 5 Même chose qu e 1, mais avec card (E F card E card F et card F 3 (card F 3 Exercice 14 O cherche le ombre de listes ossibles (i 1,, i où i rerésete l image de, c est-à-dire 1 i 1 i Ceci corresod à l exercice 3 questio 1, d où directemet ( + 1 ossibilités Exercice 15 L esemble des surjectios est e bijectio avec l esemble des ermutatios des (+1-ulets (1,,, a où a 1; (Les images des remiers élémets avec ue image forcémet redodate Il y a doc ossibilités ( + 1! Exercice 16 1 a M est e bijectio avec P(A Aisi, M A b N est e bijectio avec P(A c Aisi, N Ac c R est e bijectio avec P(A c Aisi, R ( Ac card{(a, B (P(E : A et B A 3 ( card{(a, B (P(E : B A ( Exercice 17 1 (O remarque que , ce qui ous ermet de faire facilemet les calculs qui vot suivre La formule de Poicaré ous doe M M 5 M 7 M + M 5 + M 7 M M 5 M 5 M 7 M 7 M + M M 5 M 7 Or, M , M , M , M M , M 5 M , M 7 M , M M 5 M E coclusio, o obtiet M M 5 M et fialemet, le ombre d etiers o divisibles ar,5,ou 7 etre 1 et 10 est La stratégie reste exactemet la même que récédemmet, au détail rès que 1000 est as divisible ar 3 ou 7 Il faut doc s adater : M 3 E( , M , M 7 E( , M 3 M , M 5 M , M 7 M , M 3 M 5 M Il e résulte doc 543 ossibilités Exercice 18 1 Très raidemet, avec la formule du biôme : (1 + x o red x 1 et our C, o red x 1 O obtiet C 1 et C 0 S 1 + S C 1 et S 1 S C 0 D où S 1 S 1 0 ( x Pour C 1, 3 C est la traductio e terme combiatoire de la questio récédete : S 1 est le ombre de arties de cardial air et S de cardial imair 9 Feuille 3: Révisios : Déombremet

10 Exercice 19 1 O sait bie que, our tout + 1, o a ( 1 1+( 1 ( (avec la covetio ( b a 0 si b < a d où, our tout, ( ( 1 1 ( 1 E réijectat das la somme, o a ( 1 1 ( ( ( 1 ( ( 1 ( 1 ( 1 ( ( 1 ( (téléscoage Méthode 1 : Si o a lacé les lettres A armis les ossibilités, les lettres B comlètet automatiquemet O a doc ( mots ossibles Méthode : Le ombre de ossibilités est décomosé de la maière suivate : S card {( B B A +ermutatios 0 ( fois choix de l emlacemet des A ( 1 1 Exercice 0 1 O sait bie que, our tout + 1, o a ( +( ( +1 si, o costate que cette formule est ecore valable avec ( +( 1+0(, d où, our tout, ( ( +1 ( E réijectat das la somme, o a ( ( (+1 ( O a ( ( +1 ( +1 ( ( +1 ( ( +1 ( +1 ( + 1 ( ( + 1 ( ( ( ( + 1 ( (( +1 ( +1 ( ( ( Grâce à la questio récédete, o sait que +1 ( +1, d où ( ( +1 ( ( + ( + 1 ( ( +1 (+1 ( (+( + 1 ( + et + ( 10 Feuille 3: Révisios : Déombremet

11 Exercice 1 1 O utilise le déveloemet e formule de Newto de (x + y m+ (x + y m (x + y ou deux maières distictes de choisir élémets armis m + : choisir les élémets armis m et armis Das l égalité récédete, o remlace ar, et o ose m o trouve i0 ce qui est l idetité cherchée ( ( i i Exercice 3 1 Ue bague ar doigt : 3 ossibilités Deux bagues ar doigts : ( 3 choix du doigts ermutatio des bagues Coclusio : 1 ossibilités O umérote les bagues Suosos que l o mette das l ordre de leur uméro Voyos combie il y a de ossibilités : o choisit le ombre de bagues our chaque doigt : C est le ombre de solutios de x 1 + x + x 3, avec x i N O sait que c est ( + : (il faut lacer les barres etre les oits et croix de l esemble suivat O ermute les bagues et o obtiet e tout! ( + ossibilités Exercice 4 1 Méthode 1 : Il s agit simlemet de choisir l emlacemet des A das le mot, ( d où ossibilités a Méthode : O cherche toutes les ermutatios ossibles du mot A A B B a fois b fois Avec la méthode, si o ote A 1,, A les lettres et r 1,, r leur ombre d occurece, il est facile de voir qu il s agit de toutes les ermutatios du mot A 1 A 1 A A, c est à dire r 1 fois r fois! r 1!r! r! où r r est le ombre total de lettres 3 Exlicatios sur l exemle (x 1 + x : Déveloer l exressio (x 1 + x (x 1 + x (x 1 + x fois reviet à trouver toutes les combiaisos ossibles de x i x j résultat du roduit des membres Cela se résete doc sous la forme (x 1 + x a x 1x 0 où a est le ombre de fois où l o retrouve l exressio x 1x das le déveloemet O eut iterréter a comme le ombre de mots ossibles écrits avec les lettres A 1 et A E effet, à u mot à lettre e A 1, A ossible corresod exactemet u choix de x 1, x das les arethèses : Par exemle, le mot A 1 A 1 A A 1 corresod au choix de x 1 das la remière arethèse, A 1 das la deuxième arethèse, A das la troisième arethèse, etc! E coclusio, a et la formule est démotrée r 1!r! r! Exercice 5 O eut écrire a + 10b + 100c, a, b, c N, avec 0 a, b 9 Doc : 3 a a b + 100K (où K 10b c 3 + 3ab + 3a c + 300ac + 300b c bc + 60abc N Par coséquet, 3 se termie ar 11 si et seulemet si a a b se termie ar 11 Si a a b se termie ar 11, alors a 3 se termie ar 1, et doc, forcémet, o a : a 1 (examier touts le cubes des ombres de 0 à b se termie ar 11 si et seulemet si 3b se termie ar 1, ce qui se roduit si et seulemet si b 7 (examier tous les triles des ombres de 0 à 9 Aisi, 3 se termie ar 11 si et seulemet si a 1 et b 7 Or, , sigifie que s écrit avec 10 chiffres o tous uls, commeçat évetuellemet ar u ou lusieurs zéros Il y a doc 10 8 tels ombres 11 Feuille 3: Révisios : Déombremet