Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E)."

Transcription

1 Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie vide appartiet à A, (ii) le complémetaire d u élémet de A est das A, (iii) A est stable par réuio déombrable. Notos immédiatemet quelques propriétés satisfaites par les tribus. Si A est ue tribu alors E A, A est stable par itersectio déombrable, A est stable par différece : A, B A A\B A, A est stable par différece symétrique : A, B A A B A. Exemple La plus petite tribu de E est A = {, E}, tadis que la plus grade est P(E). Défiitio O appelle espace mesurable tout couple (E, A) formé par u esemble E et ue tribu A sur E. Propositio L itersectio de tribus sur E est ecore ue tribu. Démostratio. Soit (A i ) i I ue famille de tribus sur E. Notos A = i I A i l itersectio de ces tribus. Alors, l esemble vide appartiet à chaque tribu A i et doc à A. Soit A A. Pour tout i I, A A i doc A c A i : A c A. La réuio déombrable s établit de même. Propositio (tribu egedrée). Soit E u sous-esemble de P(E). Il existe ue plus petite tribu (au ses de l iclusio) coteat tous les élémets de E. Elle est appelée tribu egedrée par E, et est otée σ(e). Démostratio. Soit X l esemble de toutes les tribus M sur E coteat E. L esemble X est pas vide puisqu il cotiet la tribu P(E). Posos A = M = {A E, M X, A M}. M X Il est clair que E A. De plus, A est ue tribu comme itersectio (quelcoque) de tribus et, par défiitio, elle est coteue das toute tribu coteat E. Remarque Si A est u sous-esemble de E, alors σ({a}) = {, A, A c, E}. 1

2 CHAPITRE 1. TRIBUS 2 Remarque Si A est ue tribu sur E, alors σ(a) = A. Propositio (image réciproque d ue tribu). Soit E et F deux esembles, f ue applicatio de E das F et A ue tribu sur F. Alors f 1 (A) = { f 1 (A), A A } est ue tribu sur E, appelée tribu image réciproque de A par f. Démostratio. La classe f 1 (A) cotiet l esemble vide puisque = f 1 ( ). Soit B f 1 (A). Alors il existe A A tel que B = f 1 (A). Puisque A est ue tribu, A c A. Efi, remarquos que f 1 (A) c = f 1 (A c ). La stabilité par réuio déombrable s établit de même. Propositio Soit f ue applicatio de E das F, E u sous-esemble de P(F ). Alors f 1 (σ(e)) = σ ( f 1 (E) ). E d autres termes, l image réciproque de la tribu egedrée par E est la tribu egedrée par l image réciproque de E. Démostratio. Comme E σ(e), o a f 1 (E) f 1 (σ(e)) qui est ue tribu et aisi σ(f 1 (E)) est iclus das f 1 (σ(e)). Motros l iclusio iverse. Notos B l esemble des parties B F telles que f 1 (B) appartiee à σ(f 1 (E)). Alors B est ue tribu. De plus, B cotiet E doc cotiet σ(e). Il e résulte que f 1 (σ(e)) f 1 (B). Comme, par défiitio, f 1 (B) σ(f 1 (E)), o obtiet l iclusio souhaitée : f 1 (σ(e)) σ(f 1 (E)). Défiitio (tribu iduite). Soit B u sous-esemble de E et A ue tribu sur E. O appelle tribu trace, ou tribu iduite, par A sur B la tribu A B = {A B, A A}. Défiitio (tribu produit). Soit A ue tribu sur E et B ue tribu sur F. O appelle tribu produit, et l o ote A B, la tribu sur E F egedrée par l esemble des parties de E F qui s écrivet sous la forme A B avec A A et B B. 1.2 Tribu boréliee Rappelos que pour la topologie usuelle de R, u esemble O de R est ouvert si O ote O l esemble des ouverts de R. Soit O u ouvert de R. Notos Alors I est déombrable et x O, a, b O, x ]a, b[ O. I = { (ρ, r) Q Q +, ]ρ r, rho + r[ O }. O = (ρ,r) I ]ρ r, ρ + r[. O voit aisi que tout ouvert de R peut s écrire comme réuio déombrable d itervalles ouverts (o peut même se limiter à des itervalles à extrémités ratioelles). Défiitio La tribu σ(o) egedrée par O est appelée la tribu boréliee de R. O la ote B(R). Ses élémets sot appelés les borélies.

3 CHAPITRE 1. TRIBUS 3 Remarque Même si cela est pas évidet, o peut motrer que B(R) est strictemet iclus das P(R) : il existe des parties de R qui e sot pas boréliees. Propositio Sur R, mui de sa topologie usuelle, la tribu boréliee est egedrée par 1. la classe des itervalles ouverts borés, 2. la classe des itervalles de la forme ], a[ avec a R, 3. la classe des itervalles de la forme ], a] avec a R, Démostratio. Prouvos le poit 1. Notos E la classe des itervalles ouverts borés. O a E O, doc σ(e) σ(o). D autre part, tout ouvert de O est réuio fiie ou déombrable d itervalles ouverts borés, d où O σ(e) et par suite σ(o) σ(e). Prouvos le poit 2. Soit E la classe des itervalles de la forme ], a[. O a σ(e ) σ(o). Pour établir l iclusio iverse, il suffit de motrer que E σ(e ) (puisque la tribu egedrée par E est la tribu boréliee). Soit ]a, b[ E. O a ]a, b[ = ], b[ ]a, + [ = ], b[ ], a] c = ], b[ ( N ], a + 1/[) c σ(e ). Tout itervalle ]a, b[ appartiet doc à la tribu egedrée par E et doc σ(e) σ(e ). Le poit 3 s établit de maière aalogue. Remarque Nous auros aussi à cosidérer la droite achevée R = R {+ } { }. Rappelos que sa topologie est défiie par la base d ouverts formés des itervalles ouverts de la forme ]a, b[, ]a, + ] et [, b[ avec a, b R. O démotre de faço aalogue que la tribu boréliee de R est egedrée par les classes { [, a[, a R } ou { [, a], a R } par exemple. Propositio La tribu boréliee de R d est égale à la tribu egedrée par la classe des ouverts de la forme d ]a i, b i [ avec < a i < b i < +. i=1 Il existe ue otio d espace topologique abstrait. Rappelos que O P(E) est ue topologie (l esemble des ouverts) sur E si (i) et E appartieet à O, (ii) O est stable par itersectio fiie, (iii) O est stable par réuio quelcoque. Il est aturel de muir u espace topologique (E, O) (où O désige l esemble des ouverts de E) d ue tribu compatible e u certai ses avec la structure topologique préexistate. Défiitio Soit (E, O) u espace topologique. La tribu σ(o) egedrée par O est appelée la tribu boréliee de E. O la ote B(E). Ses élémets sot appelés les borélies.

4 Chapitre 2 Applicatios mesurables 2.1 Défiitios et critères de mesurabilité Défiitio Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables et f ue applicatio de E das F. O dit que f est mesurable de (E, A) das (F, B) si l image réciproque par f de tout élémet de B est u élémet de A. O dira plus simplemet que f est mesurable s il y a pas d ambiguïté sur les tribus cosidérées. Autremet dit, f est mesurable si f 1 (B) A. Lorsque E et F sot des espaces topologiques et A et B désiget leurs tribus boréliees respectives, ue applicatio mesurable est ecore appelée boréliee. Exemple Soit (E, A) u espace mesurable. Pour toute partie A de E o ote 1 A la foctio idicatrice de l esemble A (valat 1 sur A et 0 sur so complémetaire). La foctio 1 A est mesurable de (E, A) das R (mui de sa tribu boréliee) si et seulemet si A A. Propositio Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables, f ue applicatio de E das F et E ue classe sur F telle que σ(e) = B. Alors f est mesurable si et seulemet si l image réciproque de tout élémet de E appartiet à A. Démostratio. La coditio est évidemmet écessaire. Réciproquemet, si A cotiet l image réciproque de E, elle cotiet égalemet la tribu egedrée par l image réciproque de E qui est ecore l image réciproque de la tribu egedrée par E, c est-à-dire l image réciproque de B par hypothèse. Corollaire Soit E et F deux espaces topologiques muis de leurs tribus boréliees respectives. Toute foctio cotiue f de E das F est mesurable. Démostratio. Soit O E (resp. O F ) la classe des ouverts de E (resp. de F ). Par défiitio de la cotiuité de f, o a f 1 (O F ) O E B(E). La tribu boréliee B(E) de E cotiet doc σ(f 1 (O F )) = f 1 (σ(o F )) = f 1 (B(F )) et f est mesurable. Corollaire Soit f ue applicatio mesurable de (E, A) à valeurs das R mui de sa tribu boréliee. Alors f est mesurable si et seulemet si l ue des coditios suivates est vérifiée : (i) a R, {x E, f(x) < a} A, (ii) a R, {x E, f(x) a} A, (iii) a R, {x E, f(x) > a} A, (iv) a R, {x E, f(x) a} A. Démostratio. E effet, l ue quelcoque des classes suivates de parties de R {], a[ ; a R} ; {], a] ; a R} ; {]a, + [ ; a R} ; {[a, + [ ; a R} egedre la tribu boréliee de R. 4

5 CHAPITRE 2. APPLICATIONS MESURABLES Propriétés de stabilité La mesurabilité est stable par compositio. Propositio Soit (E, A), (F, B), (G, C) trois espaces mesurables, f ue applicatio mesurable de (E, A) das (F, B) et g ue applicatio mesurable de (F, B) das (G, C). Alors l applicatio f g est mesurable de (E, A) das (G, C). Propositio Soit (F 1, B 1 ) et (F 2, B 2 ) deux espaces mesurables et p 1 et p 2 les projectios de F 1 F 2 sur F 1 et F 2 respectivemet. O muit F 1 F 2 de la tribu produit B 1 B 2. (i) les projectios p 1 et p 2 sot mesurables ; (ii) soit (E, A) u espace mesurable et f ue applicatio de E das F 1 F 2. Alors f est mesurable si et seulemet si les composées p 1 f : E F 1 et p 2 f : E F 2 sot mesurables. Démostratio. Prouvos le poit (i). Pour tout B 1 B 1, o a p 1 1 (B 1) = B 1 F 2 B 1 B 2. Doc p 1 est mesurable. O procède de même pour p 2. Prouvos le poit (ii). Si f est mesurable, il est clair que p 1 f et p 2 f le sot. Réciproquemet, supposos que p 1 f et p 2 f soiet mesurables. Alors, pour tout B 1 B 1, l esemble f 1 (B 1 F 2 ) est autre que (p 1 f) 1 (B 1 ) qui appartiet à A. De même, pour tout B 2 B 2, o a f 1 (F 1 B 2 ) appartiet à A. Il e résulte que f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 ((B 1 F 2 ) (F 1 B 2 )) = f 1 (B 1 F 2 ) f 1 (F 1 B 2 ) A. Comme B 1 B 2 est la tribu egedrée par les parties de la forme B 1 B 2, avec B 1 B 1 et B 2 B 2, la propositio permet de coclure que f est mesurable. Corollaire Pour qu ue foctio à valeurs complexes soit mesurable, il faut et il suffit que ses parties réelle et imagiaire soiet mesurables. Si f et g sot des foctios mesurables de (E, A) das C, alors f + g, fg, f,... sot mesurables. Avat d étudier la stabilité de la otio de mesurabilité par passage à la limite, rappelos quelques défiitios cocerat les suites à valeurs das R. Défiitio Soit (u ) N ue suite à valeurs das R. La plus grade (resp. petite) valeur d adhérece de la suite (u ) est otée lim sup u (resp lim if u ). Leurs défiitios sot doées par lim sup u = if sup u k et lim if u = sup if u k. 0 k k Remarque Les limites supérieure et iférieure sot a priori des élémets de R. Remarque O a toujours lim if u lim sup u et la suite (u ) N coverge si et seulemet si lim if u = lim sup u. Remarque Si (f ) est ue suite d applicatios de E das R, o ote lim sup f la foctio qui à x E associe lim sup f (x) R. Propositio La mesurabilité est stable par passage à la limite. (i) Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das R. Les foctios sup f, if f, lim sup f et lim if f sot mesurables. (ii) Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das C telle que, pour tout x E, la limite lim f (x) = f(x) existe. Alors f est mesurable. 0

6 CHAPITRE 2. APPLICATIONS MESURABLES 6 Démostratio. Établissos tout d abord le poit (i). Par hypothèse, pour tout a R, l esemble {f a} appartiet à A. Or, {sup f a} = {f a}. D après le corollaire 2.1.5, sup f est mesurable. Comme if f = sup( f ), if f est mesurable. Efi, lim sup f = if (sup k f k ) et lim if f = sup (if k f k ) sot mesurables d après ce qui précède. Pour prouver le poit (ii), quitte à cosidérer les parties réelle et imagiaire des foctios f, o peut supposer que f est réelle. Mais alors f = lim if f = lim sup f est mesurable d après (i). Propositio Soit f et g deux applicatios mesurables de (E, A) das R + (mui de sa tribu boréliee). Alors {f < g} et {f g} sot des élémets de A. Démostratio. E décomposat ces esembles de la faço suivate : {f < g} = q Q {f < q < g} = q Q ({f < q} {q < g}), {f g} = 1 {f < g + 1/}, o obtiet leur apparteace à la tribu A. 2.3 Approximatio des foctios mesurables L objet de ce paragraphe est d établir u résultat d approximatio relativemet élémetaire mais fodametal pour la costructio de l itégrale de Lebesgue : toute foctio mesurable à valeurs das R + est limite croissate de foctios élémetaires, appelées foctios étagées. Défiitio O otera M (resp. M + ) l esemble des foctios mesurables (resp. mesurables positives) sur (E, A) à valeurs das R (resp R + ). Défiitio Ue foctio mesurable sur (E, A) à valeurs das C est dite étagée si elle pred seulemet u ombre fii de valeurs distictes. O otera E + (resp. E) l esemble des foctios étagées sur (E, A) à valeurs das R + (resp. C). Ue foctio étagée e peut predre que des valeurs fiies (das C) cotrairemet aux foctios mesurables à valeurs das R. Soit f ue foctio étagée et le ombre de valeurs distictes prises par f. Notos α 1,..., α ces valeurs et posos, pour i = 1...,, A i = {f = α i }. Alors les parties (A i ) i=1,..., sot mesurables et f peut ecore s écrire f = α i 1 Ai. i=1 Réciproquemet, toute combiaiso liéaire à coefficiets réels ou complexes de foctios caractéristiques d esembles mesurables est ue foctio étagée. Remarquos de plus que les foctios étagées sur (E, A) formet u espace vectoriel. Théorème Soit f ue foctio mesurable sur (E, A) à valeurs das R +. Il existe ue suite croissate (f ) N de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f. De plus, la covergece est uiforme sur tout esemble B A sur lequel f est borée.

7 CHAPITRE 2. APPLICATIONS MESURABLES 7 Démostratio. Pour N et k = 0, 2, , posos { k A = {f } et A,k = 2 f < k + 1 } 2. O défiit alors la foctio f par : f = 2 1 k=0 k 2 1 A,k + 1 A. Par défiitio, f est ue foctio étagée positive telle que f f. D autre part, o vérifie que si x A,k, 2k 2k + 1 f (x) si f(x) < f +1 (x) = f (x) si 2k + 1 2(k + 1) 2 +1 f(x) < De même, si x A, + 1 si f(x) + 1 f +1 (x) = + l 2 +1 si + l l + 1 f(x) < , 0 l Aisi, pour tout N et tout x E, f (x) f +1 (x) : la suite (f ) est croissate. De plus, (A ) est ue suite décroissate d élémets de A doc si x A c 0, alors pour tout 0, x A c ou ecore 0 f(x) f (x) 1 2. Ceci implique que (f (x)) coverge vers f(x). Aisi, la suite (f ) coverge sur l esemble A c qui est autre que {f < + }. D autre part, si x {f = + } alors, pour tout N, f (x) = qui ted vers + quad ted vers +. Soit à préset B A tel que f soit borée sur B. Il existe 1 tel que, pour tout x B, f(x) < 1. Alors B A 1 = et aisi, La covergece est doc bie uiforme sur B. 1, x B, 0 f(x) f (x) 1 2. Corollaire Toute foctio f mesurable sur (E, A) à valeurs das R (ou C) est limite simple d ue suite (f ) de foctios étagées à valeurs das R (ou C). Démostratio. Si f est à valeurs das R, o peut l écrire f = f + f avec f + = sup(f, 0) et f = if(0, f). Comme f + et f sot mesurables à valeurs das R +, il existe des suites (g ) et (h ) de foctios étagées positives tedat simplemet vers f + et f respectivemet. La suite (f ), où f = g h, est formée de foctios étagées et coverge simplemet vers f. Si f est à valeurs complexes, o l écrira comme combiaiso de ses parties réelle et imagiaire.

8 Chapitre 3 Mesures positives 3.1 Défiitios et propriétés élémetaires Défiitio Soit (E, A) u espace mesurable. O appelle mesure positive sur (E, A) ue applicatio µ de A das R + telle que (i) µ( ) = 0, (ii) si (A ) N est ue suite d élémets deux à deux disjoits d élémets de A, alors µ( A ) = µ(a ). O peut parfois préciser le terme de mesure positive Si µ(e) < +, o dit que la mesure µ est fiie (ou borée). Si µ(e) = 1, la mesure µ est appelée mesure de probabilité. S il existe ue suite (A ) N d élémets de A telle que A = E et, pour tout N, µ(a ) est fii, o dit que µ est ue mesure σ-fiie. Défiitio O appelle espace mesuré tout triplet (E, A, µ) où (E, A) est u espace mesurable et µ est ue mesure positive sur (E, A). Aalysos à préset les propriétés satisfaites par ue mesure e commeçat par les propriétés faisat iterveir u ombre fii d esembles. =0 Propositio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) Si A 1,..., A sot des élémets de A deux à deux disjoits alors µ(a 1 A 2 A ) = µ(a 1 ) + + µ(a ). (ii) Si A et B sot deux élémets de A tels que A B, alors µ(a) µ(b). De plus, si µ(a) < +, alors µ(b\a) = µ(b) µ(a). (iii) Soiet A et B deux élémets de A, µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). Démostratio. Le poit (i) s établit à partir du poit (ii) de la défiitio d ue mesure e choisissat A k = pour k 1,...,. Pour (ii), si A B, o écrit B = A (B\A). Comme A et (B\A) sot disjoits, µ(b) est égal à µ(a) + µ(b\a) µ(a). Pour établir le poit (iii), distiguos deux cas. Si µ(a B) = + alors µ(a) ou µ(b) vaut aussi +. Sio, il faut remarquer que A B s écrit comme la réuio disjoite de (A\(A B)), A B et B\(A B). E utilisat le poit (i), il viet : µ(a B) = µ(a\(a B)) + µ(a B) + µ(b\(a B)). 8

9 CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 9 Puisque A B est bie etedu iclus das A et das B le poit (ii) fourit le derier argumet : ce qui est le résultat attedu. µ(a B) = µ(a) µ(a B) + µ(a B) + µ(b) µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B), Doos ue défiitio équivalete de la otio de mesure (positive). Propositio Ue applicatio µ de A das R + est ue mesure si et seulemet si (i) µ( ) = 0 ; (ii) si A et B sot deux élémets disjoits de A, µ(a B) = µ(a) + µ(b), (iii) pour toute suite croissate (B ) N d élémets de A, µ( B ) = lim µ(b ). Démostratio. Supposos que les poits (i), (ii) et (iii) de la propositio soiet vrais. Par récurrece sur le poit (ii), o obtiet que, si A 1,..., A sot des élémets de A deux à deux disjoits alors µ(a 1 A 2 A ) = µ(a 1 ) + + µ(a ). Soit (A ) N ue suite d élémets deux à deux disjoits de A. Pour tout N, posos B k = k A. O a µ(b k ) = k =0 µ(a ). De plus, (B k ) k N est ue suite croissate et k=0 B k coïcide avec =0 A. Par hypothèse, o obtiet µ( =0A ) = µ( k=0 B k) = lim µ(b k) = lim µ(a k ) = µ(a k ). k Réciproquemet, supposos que µ soit ue mesure. Soit (B ) N ue suite croissate d élémets de A. Posos A 0 = B 0 et, pour tout 1, A = B \B 1 A. Alors (A ) N est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits et, pour tout 0, B = k=0 A k. Il e résulte que µ( =0B ) = µ( k=0 A k) = et la propositio est démotrée. µ(a k ) = lim k=0 k=1 k=1 k=0 µ(a k ) = lim µ(b ), Propositio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) Si (B ) N est ue suite d élémets de A, alors µ( =0 B ) =0 µ(b ). (ii) Si (A ) N est ue suite décroissate d élémets de A telle qu il existe 0 avec µ(a 0 ) fii, alors la suite (µ(a )) N coverge e décroissat vers µ( A ). Démostratio. Démotros (i). Posos A 0 = B 0 et, pour tout 1, A = B \( k< B k ). Les esembles (A ) N sot deux à deux disjoits et B = k A k. Il e résulte que µ( =0B ) = µ( k=0 A k) = µ(a k ) k=0 µ(b ), puisque A B pour tout N. Démotros (ii). Pour i 0, posos B k = A 0 \A k. La suite (B k ) k 0 est croissate et o a k 0 B k = A 0 \( k 0 A k ). Puisque k 0 A k A 0 et A k A 0, o a d où µ(a 0 \( k 0 A k )) = µ(a 0 ) µ( k 0 A k ) et µ(b k ) = µ(a 0 ) µ(a k ), µ(a 0 ) µ( k 0 A k ) = µ( k 0 B k ) = lim k µ(b k) et doc µ( k 1 A k ) = lim k µ(a k ). =0 = lim k (µ(a 0 ) µ(a k )) = µ(a 0 ) lim k µ(a k),

10 CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 10 Remarque Das l éocé (ii), l hypothèse de l existece d u etier 0 tel que µ(a 0 ) est fii e peut être supprimée. E effet, si µ est la mesure de comptage sur N et A = {, + 1,...} alors µ(a ) = + et A =. 3.2 Mesures discrètes Les premiers exemples de mesures que l o va cosidérer sot à la fois élémetaires et fodametaux. Ils correspodet à l idée ituitive de masses poctuelles : il va s agir d affecter des poids à des poits de l espace. L exemple le plus aïf cosiste à affecter u poids à u seul poit. Défiitio (Mesure de Dirac). Soit (E, A) u espace mesuré et a E. Posos, pour tout A A : { 1 si a A, δ a (A) = 0 si a / A. L applicatio δ a est ue mesure de probabilité, appelée mesure (ou masse) de Dirac au poit a. Remarque Si A A, δ a (A) = 1 A (a). Pour motrer que δ a est ue mesure, utilisos par exemple la défiitio alterative d ue mesure fourie par la propositio Il est clair que δ a ( ) est ul. Soit A et B deux esembles disjoits apparteat à A. Alors δ a (A B) = 1 A B (a) = 1 A (a) + 1 B (a) = δ a (A) + δ a (B). Soit à préset ue suite croissate (B ) N d élémets de A. Alors a B 0 0, a B 0 0 0, 0, a B Doc, si a B alors δ a ( B ) = 1 et la suite (δ a (B )) N (à valeurs das {0, 1}) vaut 1 à partir d u certai rag. De même, si a / B alors δ a ( B ) = 0 et la suite (δ a (B )) N est la suite ulle. Défiitio (Mesure de Beroulli). Soit p ]0, 1[. La mesure de Beroulli de paramètre p est défiie par µ = (1 p)δ 0 + pδ 1. C est ue mesure de probabilité. Défiitio (Mesures discrètes). Soit (E, A) u espace mesurable. Soit (a ) N ue suite de poits de E et (α ) N ue suite de réels positifs. Posos pour tout A A, µ(a) = α δ a (A). =0 L applicatio µ : A R + est ue mesure positive. Tout poit a tel que α > 0 est appelé atome de µ. Remarque Si (a k, ) k, N est ue suite de ombres positifs, alors l égalité ayat lieu das R +. k=0 =0 a k, = =0 k=0 a k,,

11 CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 11 Motros que l applicatio µ = α δ a défiie sur A est ue mesure. Clairemet, µ( ) = 0. Soit (A k ) k N ue suite d élémets disjoits de A. Alors µ( k A k ) = = α δ a ( k A k ) = =0 k=0 =0 α 1 Ak (a ) = α 1 k A k (a ) = =0 k=0 =0 α 1 Ak (a ) =0 α δ a (A k ) = k=0 µ(a k ). Exemple La mesure de Poisso de paramètre λ > 0 est u exemple très classique de mesure discrète. Elle est défiie par µ = + k=0 λ λk e k! δ k. Remarquos de plus que c est ue mesure de probabilité. 3.3 Mesure de Lebesgue Théorème Il existe ue uique mesure λ sur (R, B(R)) telle que (i) λ([0, 1]) = 1, (ii) Pour tout a R et tout B B(R), λ(a + B) = λ(b). Elle est appelée mesure de Lebesgue sur R. Remarque La mesure de Lebesgue est la seule mesure ivariate par traslatio qui affecte la mesure 1 à l esemble [0, 1]. Remarque Ce théorème est dificile. Nous verros lors de la costructio de mesures produit les argumets clé de l uicité. Ue démostratio de ce théorème sera présetée das le cours F2 au secod semestre. Cette mesure coïcide avec la otio ituitive de logueur comme le motre le résultat suivat. Propositio Pour tous a < b réels, k=0 λ([a, b]) = λ(]a, b]) = λ([a, b[) = λ(]a, b[) = b a. Si I est u itervalle o boré alors λ(i) = +. Démostratio. Soit α = λ({0}). Alors, d après l ivariace par traslatio de λ, pour tout x R, λ({x}) = λ(x + {0}) = λ({0}) = α. Aisi, pour tout 1, α = λ({1/k, k = 1,..., }) λ([0, 1]) = 1. Ceci assure doc que α = 0. O dit que λ e charge aucu sigleto. La mesure des itervalles e déped pas du fait qu ils cotieet ou o leurs extrémités (o utilisera cette remarque das la suite sas le rappeler systématiquemet). Soit 1. Découpos ]0, 1] e itervalles disjoits égaux. 1 = λ([0, 1]) = λ(]0, 1]) = λ( k=1 ](k 1)/, k/]) = λ((k 1)/+]0, 1/]) = λ(]0, 1/]). k=1

12 CHAPITRE 3. MESURES POSITIVES 12 Aisi, pour tout 1, λ(]0, 1/] = 1/. Soit à préset 1 et k 1 k 2 Z. Alors λ(]k 1 /, k 2 /]) = λ( k 2 k 1 l=1 ](k 1 + l 1)/, (k 1 + l)/]) = k 2 k 1.. Aisi, pour tous ratioels r r, λ(]r, r [) = r r. Soit a < b R. il existe deux suites (u ) et (v ) de ratioels strictemet décroissate pour la première et strictemet croissate pour la secode telles que u v pour tout et qui coverget respectivemet vers a et b. O obtiet alors λ(]a, b[) = λ( ]u, v [) = lim λ(]u, v [) = lim (v u ) = b a. Soit efi I u itervalle o boré. Supposos-le de la forme [a, + [. Alors, pour tout N, I cotiet [a, a + ] et aisi, λ(i). Ceci assure que λ(i) = +.

13 Chapitre 4 Costructio de l itégrale de Lebesgue Das ce chapitre, o se doe u espace mesuré (E, A, µ). L idée est de costruire l itégrale pour des foctios de plus e plus géérales grâce à des passages à la limite. 4.1 Itégratio des foctios étagées positives Défiitio Soit f ue foctio étagée positive, preat les valeurs distictes α 1,..., α. O pose A i = f 1 ({α i }) pour 1 i. O appelle itégrale de f par rapport à µ, et o ote f dµ, le ombre fii ou ifii (élémet de R+ ) défii par f dµ = α i µ(a i ), avec la covetio usuelle e théorie de la mesure : 0 = 0. i=1 Propositio L itégrale de foctios étagées positives vérifie les propriétés suivates. (i) Si f et g sot deux foctios étagées positives et λ R +, alors (λf + g) dµ = λ f dµ + g dµ. (ii) Si f et g sot deux foctios étagées positives telles que f g, alors f dµ g dµ. Démostratio. Motros la propriété (i) das le cas où λ = 1. Le cas gééral s e déduit immédiatemet. Posos m f = α i 1 Ai et g = β j 1 Bj i=1 où les (α i ) i (resp. les (β j ) j ) sot disticts. Notos γ 1,..., γ l les valeurs (distictes) prises par f + g et C k = (f + g) 1 (γ k ) = (A i B j ), (i,j) I k où I k = {(i, j), α i + β j = γ k }. Puisque les esembles (A i B j ) i,j sot deux à deux disjoits, µ(c k ) = µ(a i B j ). (i,j) I k 13 i=1

14 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 14 O a doc par défiitio de l itégrale de f + g (f + g) dµ = l γ k µ(c k ) = k=1 = = = l k=1 (α i + β j )µ(a i B j ) (i,j) I k m m α i µ(a i B j ) + β j µ(a i B j ) i=1 j=1 α i µ(a i ) + i=1 m β j µ(b j ) j=1 f dµ + g dµ. j=1 i=1 Pour établir (ii), il suffit d appliquer (i), e remarquat que g f est ue foctio étagée positive, pour obteir f dµ f dµ + (g f) dµ = (f + (g f)) dµ = g dµ. Ceci achève la preuve. Remarque Soit la foctio f = i α i1 Ai où les (α i ) e sot pas écessairemet disticts et les (A i ) écessairemet disjoits. O a ecore f dµ = i α iµ(a i ). 4.2 Itégratio des foctios mesurables positives Défiitio Soit f ue foctio mesurable à valeurs das R +. O appelle itégrale de f par rapport à µ, et o ote f dµ l élémet de R + défii par { f dµ = sup } u dµ, u E + telle que u f. Remarque Si f est ue foctio étagée positive alors les deux défiitios de so itégrale coïcidet car le supremum est atteit pour u = f. Propositio (Croissace de l itégrale). Pour toutes foctios f et g mesurables positives telles que f g, f dµ g dµ. Démostratio. C est ue coséquece immédiate de l iclusio et de la défiitio de l itégrale. {u E +, u f} {u E +, u g} Voici le premier des grads théorèmes d itervertio limite-itégrale qui fot toute la puissace de la théorie de la mesure. Théorème (de covergece mootoe ou de Beppo Levi). Soit (f ) N ue suite croissate de M +. Alors f = lim f (= sup f ) est aussi das M + et f dµ = f dµ. lim +

15 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 15 Démostratio. O sait déjà que le supremum d élémets de M + est ecore das M + d après la propositio Comme f f, o a f dµ f dµ. La croissace de l itégrale assure que la suite ( f dµ) est elle aussi croissate et doc covergete das R +. O obtiet doc lim f dµ f dµ. Démotros l iégalité opposée. Soit u ue foctio positive étagée iférieure à f et λ ]0, 1[. Posos E = {x E, f (x) λu(x)}. La suite (E ) N est doc croissate (au ses de l iclusio). Soit x E. Si u(x) = 0 alors x E pour tout N. Si u(x) > 0 alors lim f (x) = f(x) u(x) > λu(x), et aisi x E pour assez grad et doc E = E. D autre part, par défiitio de E, f λu1 E et doc, pour tout N, par croissace de l itégrale, f dµ λu1 E dµ, La foctio λu1 E est étagée positive. O sait doc calculer so itégrale. Si u = k i=1 α i1 Ai alors k k u dµ = α i µ(a i ) et u1 E dµ = α i µ(a i E ). i=1 Or, pour tout i = 1,..., k, µ(a i E ) coverge e croissat vers µ(a i ), doc, u1 E dµ coverge vers u dµ. O a doc établi que, pour tout u E + tel que u f et tout λ ]0, 1[, lim f dµ lim λ i=1 u1 E dµ = λ u dµ. O obtiet doc, e faisat tedre λ vers 1, que, l itégrale de toute foctio étagée positive u majorée par f est iférieure à la limite des itégrales des foctios f. Il e est doc de même pour l itégrale de f : { f dµ = sup et l égalité est doc établie. } u dµ, u E +, telle que u f lim Corollaire Si f et g sot deux foctios mesurables positives, alors (f + g) dµ = f dµ + g dµ. f dµ, Démostratio. D après le théorème 2.3.3, il existe des suites (f ) N et (g ) N croissates de foctios étagées positives qui coverget simplemet vers f et g respectivemet. Alors la suite (f + g ) N est ue suite croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f + g. La liéarité de l itégrale de foctios étagées assure alors, pour tout, (f + g ) dµ = f dµ + g dµ. Le théorème de Beppo Levi permet de coclure e passat à la limite.

16 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 16 Corollaire (Itervertio du sige somme et du sige itégrale). Si (f ) N est ue suite de foctios mesurables positives, o a l égalité ayat lieu das R +. ( ) f dµ = =0 f dµ, Démostratio. Posos g = k=0 f k. La suite (g ) N est ue suite croissate de foctios mesurables doc o peut ( ) f dµ = =0 =0 ( ) lim g dµ = lim ( ) f k dµ = = lim k=0 grâce au théorème de covergece mootoe. 4.3 Itégratio de foctios mesurables k=0 g dµ ( ) f k dµ, Défiitio Ue foctio f défiie sur E à valeurs das R ou C est dite itégrable (par rapport à µ) si elle est mesurable et si f dµ < +. Nous oteros L 1 R (µ) (resp L1 C (µ)) l esemble des foctios itégrables à valeurs réelles (resp. complexes). Pour être plus précis, ous utiliseros (e cas d évetuelles cofusios) les otatios L 1 R (E, A, µ) et L1 C (E, A, µ). Propositio Soit f ue foctio mesurable à valeurs das R. Alors f est itégrable si et seulemet si f + et f le sot. Démostratio. Rappelos que f + = sup(f, 0) et f = if(f, 0) = sup( f, 0). O a alors La propositio découle de ces relatios. f = f + + f, f f, f + f. Défiitio Soit f L 1 R (µ). O appelle itégrale de f, et o ote f dµ, le ombre réel f dµ = f + dµ f dµ. Remarque O pourra oter ecore f dµ = f(x) µ(dx). Certais mathématicies adoptet quat à eux la otatio f(x) dµ(x) que ous éviteros d employer. Ceci dit, il e s agit que d ue otatio, i plus i mois arbitraire qu ue autre. Propositio L esemble L 1 R (µ) est u espace vectoriel sur R et l applicatio qui à f associe f dµ est ue forme liéaire sur cet espace. De plus, o a (i) l itégrale coserve la positivité (si f L 1 R (µ) et f 0, alors f dµ 0), (ii) l itégrale coserve les iégalités (si f, g L 1 R (µ) et f g, alors f dµ g dµ), (iii) si f L 1 R (µ), f dµ f dµ.

17 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE 17 Démostratio. O sait déjà que l esemble des foctios réelles mesurables est u espace vectoriel sur R. De plus, si f, g L 1 R (µ) et λ R, alors λf + g λ f + g. O e déduit que λf + g dµ λ f dµ + g dµ < +. L esemble L 1 R (µ) est doc u espace vectoriel sur R. Soiet f, g L 1 R (µ). O a { f + g = (f + g) + (f + g) f + g = f + f + g + g, d où (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. O itègre cette égalité par rapport à µ e remarquat que tous les termes sot des foctios mesurables positives. Il viet doc (f + g) + dµ + f dµ + g dµ = (f + g) dµ + f + dµ + g + dµ. Toutes ces quatités sot fiies doc o obtiet (f + g) + dµ (f + g) dµ = f + dµ f dµ + g + dµ g dµ, ce qui établit la liéarité de l itégrale. O motre de même que (λf) dµ = λ f dµ. Pour prouver (i), o remarque que, si f L 1 R (µ) est positive, alors so itégrale est celle qui a été défiie das la défiitio Elle appartiet à R +. Le poit (ii) se déduit du poit (i) e cosidérat la foctio positive et itégrable g f. Pour motrer (iii) o écrit tout simplemet, f dµ = f + dµ f dµ f + dµ + f dµ = f dµ, ce qui assure la commutatio aocée de la valeur absolue et de l itégrale. Propositio Soit f ue foctio mesurable à valeurs das C. Alors f est itégrable si et seulemet si Re f et Im f le sot. Défiitio Soit f L 1 C (µ). O appelle itégrale de f, et o ote f dµ, le ombre complexe f dµ = Re f dµ + i Im f dµ. Propositio L esemble L 1 C (µ) est u espace vectoriel sur C et l applicatio qui à f associe f dµ est ue forme liéaire sur cet espace. De plus, f dµ f dµ. Démostratio. Soit α C tel que f dµ = α f dµ. O peut toujours choisir α de module 1 et f dµ = αf dµ = Re (αf) dµ + i Im (αf) dµ Re (αf) dµ + Im (αf) dµ αf dµ = f dµ.

18 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Mesures discrètes Soit (E, A) u espace mesurable, (a k ) k N ue suite de poits de E telle que, pour tout k N, {α k } A et (α k ) k N ue suite de réels positifs. O défiit ue mesure µ sur (E, A) µ = α k δ ak. O souhaite étudier l esemble L 1 (µ) et compredre l objet f dµ pour f L 1 (µ). Propositio Avec les otatios du début du paragraphe. (i) Soit f mesurable de (E, A) das R +. Alors, das R +, f dµ = (ii) Ue foctio f mesurable de (E, A) das C est µ-itégrable ssi ce cas, f dµ = α k f(a k ). k=1 k=1 α k f(a k ). k=1 α k f(a k ) < +. Das Démostratio. Démotros le poit (i). O procède e trois étapes. Supposos que f = 1 A avec A A. Alors f dµ = µ(a) = α k 1 A (a k ) = α k f(a k ). k=1 Supposos à préset f étagée positive, alors f = i=1 β i1 Ai. Par liéarité de l itégrale, f dµ = β i µ(a i ) = β i α k 1 Ai (a k ) = β i 1 Ai (a k ) = α k f(a k ). i=1 i=1 k=1 k=1 α k k=1 i=1 Efi, si f est mesurable positive, il existe ue suite croissate de foctios étagées positives (f ) N qui coverge simplemet vers f. Par le théorème de covergece mootoe, f dµ = lim f dµ = lim α k f (a k ) = α k lim f (a k ) = α k f(a k ), k=1 ce qui achève la preuve du poit (i). Démotros à préset le poit (ii). Soit f mesurable à valeurs das C. Appliquos le poit (i) à f : f est µ-itégrable ssi f dµ est fii c est-à-dire ssi k α k f(a k ) est fii. Si tel est le cas, o écrit f = (Re f) + (Re f) + i(im f) + i(im f). Les quatre foctios mesurables positives (Re f) +,...,(Im f) sot itégrables par rapport à µ (puisqu elles sot toutes majorées par f ). D après (i) et la liéarité de l itégrale, o obtiet la relatio souhaitée. Exemple Soit µ la mesure Beroulli de paramètre p ]0, 1[ : µ = pδ 1 + (1 p)δ 0. Alors, 2 x µ(dx) = (1 p) 0 + p 1 et cos(πx/4) µ(dx) = 1 p + p 2. Exemple Soit µ = k=1 p(1 p)k 1 δ k. Alors f L 1 si et seulemet si p(1 p) k 1 f(k) < + et das ce cas, k=1 f dµ = k=1 p(1 p) k 1 f(k). k=1 k=1 k=1 k=1

19 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Mesures à desité État doé u espace mesuré (E, A, µ), o peut costruire de ombreuses mesures à partir de µ comme le motre la propositio suivate. Propositio Soit (E, A, µ) u espace mesuré et g ue foctio mesurable positive sur (E, A). Soit ν l applicatio de A das R + défiie par ν(a) = 1 A g dµ = g dµ. Alors ν est ue mesure sur (E, A). Démostratio. O a évidemmet ν( ) = 0. Soit (A ) ue suite d élémets de A deux à deux disjoits. Posos A = A. O a ν(a) = 1 A g dµ = 1 A g dµ = 1 A g dµ = ν(a ), grâce au théorème de covergece mootoe. Défiitio La mesure ν est appelée mesure de desité g par rapport à µ. O la ote souvet g.µ. La foctio g est appelée la desité de ν par rapport à µ. Propositio (Itégratio par rapport à ue mesure à desité). Avec les otatios de la propositio (i) Soit f ue foctio mesurable positive sur (E, A). Alors, das R +, f dν = (f g) dµ. (4.1) A (ii) Soit f ue foctio mesurable à valeurs complexes sur (E, A). Alors f est itégrable pour ν si et seulemet si fg est itégrable pour µ et o a alors f dν = (fg) dµ. Démostratio. Pour démotrer le poit (i), o procède e trois étapes. Si f = 1 A avec A A, la relatio (4.1) découle de la défiitio de ν. Si f est étagée et positive, l égalité se déduit de la liéarité de l itégrale. Supposos efi que f soit simplemet mesurable et positive. Soit (f ) N ue suite croissate de foctios étagées et positives qui coverge simplemet vers f. Par le théorème de covergece mootoe, f dν = lim f dν = lim (f g) dµ = (fg) dµ. Démotros à préset le poit (ii). Soit f mesurable à valeurs das C. Appliquos le poit (i) à f : f est ν-itégrable ssi f g dν est fii c est-à-dire ssi fg est µ-itégrable. Si tel est le cas, o écrit f = (Re f) + (Re f) + i(im f) + i(im f). Les quatre foctios mesurables positives (Re f) +,...,(Im f) sot itégrables par rapport à ν (puisqu elles sot toutes majorées par f ). D après (i) et la liéarité de l itégrale, o obtiet la relatio souhaitée.

20 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Itégratio par rapport à ue mesure image Propositio (Défiitio d ue mesure image). Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables et ϕ ue applicatio mesurable de E das F. Soit µ ue mesure sur (E, A). L applicatio ν qui à B B associe ν(b) = µ(ϕ 1 (B)) défiit ue mesure sur (F, B) appelée mesure image de µ par ϕ. O la otera µ ϕ. Démostratio. Comme ϕ 1 ( ) =, o a µ(ϕ 1 ( )) = 0. Soit (B ) N ue suite d élémets de B deux à deux disjoits. La suite (ϕ 1 (B )) est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits et ϕ 1 ( B ) = ϕ 1 (B ) doc ν( B ) = µ(ϕ 1 ( B )) = µ( ϕ 1 (B )) = µ(ϕ 1 (B )) = ν(b ), ce qui achève la preuve. Propositio Avec les otatios de la propositio (i) Soit f ue foctio mesurable positive défiie sur (F, B). Alors (l égalité a lieu das R + ) f dµ ϕ = f ϕ dµ. (4.2) F (ii) Soit f ue foctio mesurable à valeurs complexes défiie sur (F, B). Alors f est itégrable par rapport à µ ϕ si et seulemet si f ϕ est itégrable par rapport à µ. Das ce cas, f dµ ϕ = f ϕ dµ. F Démostratio. Démotros le poit (i) e trois étapes. Si f est la foctio idicatrice de B B, l égalité µ ϕ (B) = µ(ϕ 1 (B)) qui défiit la mesure image s écrit ecore 1 B dµ ϕ = 1 ϕ 1 (B) dµ = 1 B ϕ dµ. Y X Si f est étagée positive, la relatio (4.2) se déduit du cas précédet par liéarité. Efi, si f est mesurable positive, d après le théorème d approximatio 2.3.3, il existe ue suite (f ) N croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f. Alors (f ϕ) N est ue suite croissate de foctios étagées positives qui coverge simplemet vers f ϕ. D après ce qui précède, o a, pour tout N, f dµ ϕ = f ϕ dµ, Y et l égalité souhaitée est coséquece du théorème de covergece mootoe. Démotros à préset le poit (ii). Soit f mesurable à valeurs das C. Le poit (i) appliqué à f motre que f est itégrable par rapport à µ ϕ si et seulemet si f ϕ l est par rapport à µ. Supposos doc f itégrable et écrivos alors f = (Re f) + (Re f) + i(im f) + i(im f). Les quatre foctios mesurables positives (Re f) +,...,(Im f) sot itégrables par rapport à µ ϕ (puisqu elles sot toutes majorées par f ). D après (i) et la liéarité de l itégrale, o obtiet la relatio souhaitée. X E E X

21 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Itégrale de Lebesgue et itégrale de Riema Rappelos brièvemet les pricipes fodametaux de l itégrale de Riema Itégrale sur u itervalle compact Soit f ue foctio réelle borée sur [a, b]. Soit σ : a = x 0 < x 1 < < x +1 = b ue subdivisio de [a, b]. O appelle pas de la subdivisio le ombre δ(σ) = max 1 k +1 (x k x k 1 ). Posos m k = if {f(t), t [x k, x k+1 ]} et M k = sup {f(t), t [x k, x k+1 ]}. Les sommes de Darboux associées à la subdivisio σ sot s(σ) = m k (x k+1 x k ) et S(σ) = k=1 M k (x k+1 x k ). Défiitio O dit que f est itégrable au ses de Riema sur [a, b] s il existe u ombre réel I tel que les sommes s(σ) et S(σ) tedet vers I quad δ(σ) ted vers 0 : ε > 0, η > 0, σ t.q. δ(σ) η, S(σ) I ε et s(σ) I ε. Le ombre I est alors appelé l itégrale de Riema de f sur [a, b] et o le ote b a f(t) dt. Cosidéros à ouveau la subdivisio σ et, pour tout k, choisissos ξ k [x k 1, x k ]. La somme de Riema défiie par σ et ξ = (ξ 1,..., ξ ) est par défiitio S(σ, ξ) = k=1 f(ξ k )(x k x k 1 ). k=1 Si f est itégrable au ses de Riema, les sommes de Riema coverget vers b a f(t) dt lorsque δ(σ) ted vers 0, uiformémet par rapport au choix de ξ. Plus précisémet, ε > 0, η > 0, σ t.q. δ(σ) η, ξ associé à σ, S(σ, ξ) I ε. Théorème Toute foctio f cotiue par morceaux sur [a, b] est itégrable au ses de Riema. De plus, si f est cotiue, la foctio x F (x) = x a f(t) dt est dérivable sur [a, b] de dérivée F = f Itégrale gééralisée Soit f : [a, b[ R, où b peut être égal à +, localemet itégrable au ses de Riema ; c est-à-dire itégrable au ses de Riema sur tout itervalle compact [a, c] [a, b[. O dit que f admet ue itégrale gééralisée sur [a, b[ si la foctio x x a f(t) dt admet ue limite lorsque x ted vers b (avec x < b). O pose alors b a f(t) dt = lim x b x a f(t) dt. Das ce cas, o dit ecore que l itégrale b a f(t) dt est covergete. O dit que l itégrale gééralisée b a f(t) dt est absolumet covergete si l itégrale b a f(t) dt est covergete. Remarque La covergece absolue etraîe la covergece, mais la réciproque est fausse comme le motre l exemple classique si t dt. t 1

22 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Comparaiso des itégrales de Riema et Lebesgue pour ue foctio borée sur u itervalle compact Propositio Soit f ue foctio cotiue sur [a, b]. Alors si λ désige la mesure de Lebesgue sur R, f1 [a,b] L 1 R (λ) et 1 [a,b] f dλ = R b a f(t) dt. Démostratio. Il est clair que f1 [a,b] est boréliee. Soit M = sup t [a,b] f(t). La foctio f état cotiue sur le compact [a, b], M est u réel positif et f1 [a,b] M1 [a,b] L 1 R (λ), ce qui assure que f1 [a,b] est Lebesgue-itégrable. De même, pour tout x [a, b], f1 [a,x] est Lebesgue-itégrable. Posos F (x) = f1 [a,x] dλ et motros que F est dérivable e tout poit x 0 de [a, b] de dérivée f(x 0 ). Soit h > 0. Comme o a d où 1 [a,x0 +h]f = 1 [a,x0 ]f + 1 ]x0,x 0 +h]f, F (x 0 + h) F (x 0 ) h F (x 0 + h) F (x 0 ) h = 1 h f(x 0 ) = 1 h 1 ]x0,x 0 +h]f dλ, 1 ]x0,x 0 +h](f f(x 0 )) dλ. Soit ε > 0. Puisque f est cotiue e x 0, il existe η > 0 tel que pour tout x tel que x x 0 η, o ait f(x 0 ) f(x) ε. Si 0 < h < η alors F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h 1 ε1 h ]x0,x 0 +h] dλ = ε. Le cas h < 0 se traite de même. Aisi, F est dérivable sur [a, b] de dérivée f. Comme F (a) = 0 (car λ({a}) = 0), o a F (x) = x a f(t) dt pour tout x [a, b] (et otammet pour x = b). Remarque La propositio précédete s éted facilemet au cas d ue foctio f cotiue par morceaux. Elle coduit à oter [a,b] f dx l itégrale de Lebesgue f1 [a,b] dλ (et même b a f(x) dx). Cette otatio est souvet adoptée pour ue foctio f itégrable au ses de Lebesgue sur [a, b] sas hypothèse de cotiuité. Lorsque l o sort du cadre des foctios cotiues par morceaux, les lies etre itégrales de Riema et de Lebesgue sot assez subtils. Voici quelques résultats éclairats. Il existe des foctios itégrables au ses de Lebesgue qui e sot pas itégrables au ses de Riema. Par exemple la foctio f = 1 Q [0,1] est itégrable au ses de Lebesgue et so itégrale est ulle. E revache, pour toute subdivisio σ de [0, 1], o a S(σ) = 1 et s(σ) = 0. Les foctios itégrables au ses de Riema sur [a, b] sot coues. Théorème (Lebesgue). Ue foctio f : [a, b] R borée est itégrable au ses de Riema ssi il existe N [a, b] de mesure de Lebesgue ulle tel que f est cotiue e tout x [a, b]\n.

23 CHAPITRE 4. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE LEBESGUE Itégrale de Riema gééralisée et itégrale de Lebesgue Propositio Soit f : [a, b[ R ue foctio cotiue. Alors f1 [a,b[ L 1 R (λ) si et seulemet si b a f(t) dt est absolumet covergete et, das ce cas, o a b f1 [a,b[ dλ = f(t) dt. Démostratio. Supposos d abord f positive. Soit (b ) N ue suite croissate de poits de [a, b[ qui coverge vers b. Pour tout, f1 [a,b[ dλ = a b a f(t) dt. E utilisat le théorème de covergece mootoe (pour l itégrale de Lebesgue), o a f1 [a,b[ dλ = lim + f1 [a,b[ dλ = b lim + a f(t) dt R +. Or, par défiitio, f est itégrable au ses de Lebesgue si et seulemet si cette limite est fiie, doc si et seulemet si f est itégrable au ses de Riema. De plus les itégrales sot les mêmes. Das le cas gééral, o sait que f est itégrable au ses de Lebesgue si et seulemet si f l est, doc si et seulemet si b a f(t) dt est absolumet covergete. Si c est le cas, écrivos f = f + f. O a f + f et f f doc f + et f sot itégrables das les deux ses et f + 1 [a,b[ dλ = d où le résultat par liéarité. b a f + (t) dt, et f 1 [a,b[ dλ = b a f (t) dt,

24 Chapitre 5 Théorèmes limites et applicatios 5.1 Lemme de Fatou Das le chapitre précédet, ous avos déjà établi u théorème limite fodametal : le théorème de covergece mootoe (ou théorème de Beppo Levi). Théorème Soit (f ) N ue suite croissate de M +. Alors f = lim f M + et f dµ = lim f dµ. + Toutefois, l hypothèse de croissace, très pratique puisqu elle assure l existece de la limite das R +, est iadaptée das bie des situatios. Nous avos besoi d u théorème valable pour ue suite de foctios géérique. Le prix à payer est que l o e sera plus assuré de l existece d ue limite. Par cotre la foctio lim if f est ecore défiie et c est elle qui remplacera avatageusemet la foctio lim f. Théorème (Lemme de Fatou). Si (f ) N est ue suite de foctios mesurables positives, alors lim if f dµ lim if f dµ. Démostratio. Posos g = lim if f. Par défiitio, g = lim if f k = sup if f k. + k k La foctio g = if k f k est ue foctio mesurable positive et la suite (g ) N coverge e croissat vers g. Le théorème de covergece mootoe assure doc : lim g dµ = lim if f dµ. D autre part, pour tout N, g f, d où, par croissace de l itégrale, g dµ f dµ. Le secod membre de cette iégalité a pas écessairemet de limite mais sa limite iférieure existe toujours. O obtiet doc (par passage à la limite iférieure ) : lim if N g dµ lim if f dµ. La limite iférieure du premier membre de l iégalité ci-dessus est e fait ue limite d après la première partie de la preuve, qui est rie d autre que l itégrale de la limite iférieure de la suite (f ) N. Cette remarque achève doc la preuve. 24

25 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS Esembles et foctios égligeables Défiitio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) O dit qu ue partie N de E est égligeable pour µ (ou µ-égligeable) s il existe A A tel que N A et µ(a) = 0. (ii) O dit que la tribu A est complète pour µ si toute partie µ-égligeable appartiet à A. Défiitio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. O dit qu ue propriété P sur E est vraie presque partout (e abrégé p.p. ou µ-p.p.) si l esemble des poits de E où elle est fausse est égligeable. Ue foctio f défiie sur E à valeurs réelles ou complexes est dite µ-égligeable si {f 0} est égligeable. Deux foctios f et g défiies sur E à valeurs das u même esemble F sot dites égales presque partout si {f g} est égligeable. O dit qu ue suite (f ) N de foctios défiies sur E à valeurs das C coverge vers f µ-presque partout s il existe u esemble µ-égligeable N tel que pour tout x / N, o ait lim f (x) = f(x). Le lemme suivat est très utile e pratique. Lemme (Iégalité de Markov). Soit f ue foctio mesurable positive sur (E, A). Alors pour tout λ > 0, o a µ({f λ}) 1 f dµ. λ Démostratio. Il suffit d itégrer la relatio λ1 {f λ} f qui est vraie puisque f est positive. Propositio Soit f ue foctio mesurable de (E, A) das R telle que f dµ < +. Alors f est fiie µ-presque partout. Démostratio. E effet, pour tout, o a 1 f dµ µ({ f }) µ({ f = + }). Comme f dµ est fii, e faisat tedre vers +, o obtiet µ({ f = + }) = 0. Remarque La réciproque de cette propositio est fausse : la foctio costate égale à 1 est fiie λ-p.p. mais est pas itégrable par rapport à la mesure de Lebesgue. Propositio Soit f ue foctio mesurable sur (E, A) à valeurs complexes. Alors f est égligeable si et seulemet si f dµ = 0. Démostratio. Supposos tout d abord que f est égligeable. Comme mi( f, ) 1 {f 0}, o a mi( f, ) dµ µ({f 0}) = 0, d où mi( f, ) dµ = 0 pour tout. D après le théorème de covergece mootoe, o a alors f dµ = lim mi( f, ) dµ = lim mi( f, ) dµ = 0. Réciproquemet, supposos que f dµ = 0. Alors, pour tout 1, o a ({ µ f 1 }) f dµ = 0.

26 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 26 L esemble { f 0} s écrit doc comme réuio déombrable d esembles de mesure ulle : { f 0} = { f 1 }. 1 Il est doc égalemet de mesure ulle. Propositio Soit (E, A, µ) u espace mesuré. (i) Soit f et g deux foctios mesurables positives telles que f g presque partout. Alors f dµ g dµ. (ii) Soit f et g deux foctios mesurables positives telles que f = g presque partout. Alors f dµ = g dµ. (iii) Soit f et g deux foctios mesurables complexes telles que f = g presque partout. Alors f est itégrable si et seulemet si g l est et, das ce cas, f dµ g dµ. Démostratio. Pour prouver (i), o écrit que l o itègre par rapport à µ : f dµ = f = f1 {f g} + f1 {f>g}, f1 {f g} dµ + f1 {f>g} dµ. Par hypothèse, f1 {f>g} est égligeable doc so itégrale est ulle. O a doc f dµ = f1 {f g} dµ. De même, o voit que g dµ = g1 {f g} dµ. Pour coclure, il suffit de remarquer que f1 {f g} g1 {f g}. Le poit (ii) se déduit de (i) par symétrie etre f et g. Démotros (iii). Si f = g µ-p.p., alors f = g µ-p.p., d où f dµ = g dµ par (ii). Par coséquet f L 1 C (µ) si et seulemet si g L1 C (µ). O obtiet la coclusio par égalité µ-p.p. des parties positives et égatives des parties réelles et imagiaires et e appliquat (ii). 5.3 Théorème de covergece domiée Théorème (de covergece domiée). Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das R ou C telle que : (i) (f ) N coverge µ-presque partout vers ue foctio f mesurable, (ii) il existe ue foctio g positive apparteat à L 1 R (µ) telle que 1, f (x) g(x) µ p.p. Alors les foctios (f ) N et f sot itégrables et lim f dµ = f dµ. O a même lim f f dµ = 0.

27 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES ET APPLICATIONS 27 Démostratio. Supposos tout d abord que la covergece de (f ) N vers f ait lieu partout et que les iégalités (ii) soiet vraies pour tout x E. Posos g = 2g f f. Alors (g ) N est ue suite de foctios mesurables positives, et d après le lemme de Fatou, 2 g dµ = lim if g dµ lim if g dµ = 2 g dµ lim sup f f dµ. Puisque g dµ < +, o voit que lim sup f f dµ 0. O e déduit doc que lim f f dµ = 0. + Il e résulte que f dµ = lim f dµ. Passos à préset au cas gééral. Soit N A tel que, si x / N, lim f (x) = f(x) et µ(n) = 0. Choisissos de plus, pour tout N, u esemble N A tel que si x / N f (x) g(x) et µ(e ) = 0. Posos M = N ( N ) A. O a ecore µ(m) = 0. Posos h = f 1 M c et h = f1 M c. O a, pour tout x E et tout, lim h m(x) = h(x) et h (x) g(x). m + La première partie de la preuve assure doc que lim h h dµ = 0. Pour coclure, il suffit de remarquer que h = f µ-p.p. et h = f µ-p.p. Corollaire Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables sur (E, A) à valeurs das R ou C telle que f dµ < +. Alors les foctios (f ) N sot itégrables, la série f coverge µ-p.p. et il existe f L 1 (µ) telle que f = f µ p.p., lim f f k dµ = 0, =1 k=1 f dµ = f dµ. Démostratio. Posos g = 1 f. D après le corollaire (itervertio série-itégrale pour des foctios positives), g dµ = f dµ < +. 1 =1 La foctio g état itégrable, elle est fiie µ-p.p. Posos { N = x E, + =1 f (x) = + C est u esemble égligeable de A, et si x / N, la série f (x) est absolumet covergete, doc covergete. Posos alors + f (x) si x / N, f(x) = =1 0 si x N. Cette foctio est mesurable comme limite simple de la suite (1 N c k=1 f k) N de foctios mesurables. De plus, comme }. x N c, f(x) + =1 f (x) = g(x),

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Uiversité Paris Dauphie Départemet MIDO Cours de Mathématiques Itégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Table des matières 1 Espaces de probabilité et Itégratio 1 1.1 Présetatio..............................

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3ème année) Année 2004/2005. Probabilités Pierre Priouret

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques (3ème année) Année 2004/2005. Probabilités Pierre Priouret Uiversité Pierre et Marie Curie Licece de Mathématiques (3ème aée) Aée 2004/2005 Probabilités Pierre Priouret Mode d emploi Ce polycopié est destié aux étudiats de la Licece (3ème aée) de Mathématiques

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Introduction : Mesures et espaces de probabilités

Introduction : Mesures et espaces de probabilités Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau.

AVANT PROPOS. Cet ouvrage pourra intéresser également les enseignants de ce niveau. AVANT PROPOS Cet ouvrage propose aux élèves de classes termiales (fraçais) S (spécialité math) des rappels et des complémets de cours assez complet, aisi que des problèmes et des exercices corrigés. Les

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

1 Intégrale de Riemann

1 Intégrale de Riemann Uiversité Paris 13, Istitut Galilée Aée uiversitaire 2015-2016 Préparatio à l agrégatio 0. Rappels de théorie de l itégratio 1 Itégrale de Riema L itégrale itroduite e L1 ou e classe prépa est l itégrale

Plus en détail

Suites et séries numériques

Suites et séries numériques Maths MP Cours Table des matières Suites et séries umériques Quelques prélimiaires. Les yeux fermés........................................... De quoi parle-t-o?........................................3

Plus en détail

Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs Licece de mathématiques, 3 ième aée Bruo Saussereau Aée uiversitaire 203-204 Bruo Saussereau, Laboratoire de Mathématiques de, UF Scieces

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, secod trimestre Lycée Louis-Le-Grad, Paris, Frace Igor Kortchemski HX 2-2005/2006 Exercices particulièremet itéressats : - Exercices 2., 2.2 - Exercice 3. - Exercice

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

THEORIE ERGODIQUE ET APPLICATIONS

THEORIE ERGODIQUE ET APPLICATIONS THEORIE ERGODIQUE ET APPLICATIONS TER de Master ROUSSEAU Emmauel VOISIN Nathalie 5 jui 2007 Mouvemet Browie (vue d artiste) 2 INTRODUCTION 3 Itroductio E mécaique classique o étudie l évolutio au cours

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Intégrer. 1 Espace mesuré. 1.2 Tribu engendré, tribu borélienne. 1.1 Espace mesurable. 1.3 Fonctions mesurables. Université de Strasbourg

Intégrer. 1 Espace mesuré. 1.2 Tribu engendré, tribu borélienne. 1.1 Espace mesurable. 1.3 Fonctions mesurables. Université de Strasbourg Uiversité de Strasbourg M1 Aalyse foctioelle (S1) O. Guichard. olivier.guichard@math.uistra.fr Itégrer 1 space mesuré Nous traitos ici l itégratio das le formalisme des mesures et des espaces mesurées

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites SESSION 216 PCMA2 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES Mardi 3 mai : 14 h - 18 h N.B. : le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio.

Plus en détail

Table des matières. Aller à la page suivante

Table des matières. Aller à la page suivante CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Chapitre 3 Séries umériques 3. Préparatio Défiitio 3..2 O appelle série de terme gééral u et o ote u (qui se lit «série de terme gééral u»), où (u ) N R N, la suite de terme

Plus en détail

Intégration et probabilités

Intégration et probabilités Itégratio et probabilités Pierro Théo ENS Ker La 2 Table des matières 1 Théorie de la mesure 1 1.1 Tribus............................... 1 1.2 Tribus boréliees......................... 2 1.2.1 Tribu boréliee

Plus en détail

Développement en série de Fourier

Développement en série de Fourier [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge

Plus en détail

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan. Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points)

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points) INSA Toulouse, STPI, IMACS 2 mercredi 18 décembre 212 Correctio exame d'aalyse I (coquilles probables) Exercice 1 (Séries etières - 5 poits) Calculer le rayo de covergece et le domaie de covergece simple

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart Uiversité Joseph Fourier, Greoble Maths e Lige Séries umériques Luc Rozoy, Berard Ycart Disos-le tout et, ce chapitre est pas idispesable : d ailleurs, vous e verrez pas vraimet la différece avec les suites.

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes.

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes. Chapitre 1 Nombres complexes Le buts du chapitres sot : Cosolider les aquis de termiale, Savoir maipuler les ombres complexes, e particulier la factorisatio par l agle de moitié. Avoir des otios sur le

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. Objectifs du chapitre. 1.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence

Dénombrement. Chapitre 1. Objectifs du chapitre. 1.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence Chapitre 1 Déombremet Objectifs du chapitre 1. A travers l axiomatisatio de Peao de N, rappeller les pricipes de récurrece forte et faible. 2. Défiir la otio de cardial et les opératios sur les cardiaux.

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P.

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. Uiversité Mohammed V - Agdal Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques et Iformatique Aveue Ib Batouta, B.P. 04 Rabat, Maroc Filière DEUG : Scieces Mathématiques et Iformatique (SMI) et Scieces Mathématiques

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

S n = u u n. S = u k. k=0

S n = u u n. S = u k. k=0 Chapitre 3 Séries umériques 3. Défiitios et exemples 3.. Défiitios Défiitio 3.. Soit (u ) ue suite réelle. O lui associe (S ) ue ouvelle suite défiie par S = u 0 + + u. O appelle série de terme gééral

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Fonctions convexes. Prologue

Fonctions convexes. Prologue Foctios covexes Prologue Ce chapître développe les propriétés des foctios covexes f C E R défiies sur ue partie covexe C d u espace de dimesio fiie E. Si, fodametalemet, la covexité est ue propriété uidimesioelle

Plus en détail

Estimation par vraisemblance

Estimation par vraisemblance Chapitre 4 Estimatio par vraisemblace Le procédé de costructio des estimateurs par isertio a été itroduit das le chapitre 2. L objectif de ce chapitre est d étudier ue autre méthode de costructio, basée

Plus en détail

Université Paul Sabatier Année 2007/2008

Université Paul Sabatier Année 2007/2008 Bibliographie : P. Malliavi : Itégratio et probabilité. W.Rudi : Aalyse réelle et complexe. J. Faraut : Calcul itégral (espace 34) Barbe-Ledoux : Probabilités (Espace 34) 1 Itroductio Pourquoi ue ouvelle

Plus en détail