Exercices sur les intégrales généralisées

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1 hp://wwwmycppfr Eercices sur les séries numériques novembre Eercices sur les inégrales généralisées Inroducion Inégrales généralisées Convergence, définiion, crière de comparaison Eercice Convergence, définiion, crière de comparaison Cours On suppose que f e g son des foncions localemen inégrales sur un inervalle de ype [ ab, [ fié On suppose que f e g son posiives sur ce inervalle Monrer que f() d es une foncion croissane sur [ ab, [ a On suppose que sur [ ab,[, f( ) g( ) e que lim g() d eise e es finie En déduire que b b a < b f() d es convergene (cela s appelle le crière de comparaison La quesion consise à redémonrer ce a crière e à refaire le cheminemen qui y mène) Quesion d Effecuer le calcul de + pour [, [ En déduire la naure de ( ) d (c'es-à-dire si l inégrale es convergene ou pas) ( + ) Remarque : quand l une des bornes es infinie, l inégrale es auomaiquemen impropre en cee borne Quesion Déerminer la naure de e d Eercice Soi f :[, R [, coninue e elle que f() d converge f() Monrer que d converge On pourra pour cela considérer une primiive F de f sur [, [ e eaminer son comporemen au voisinage de Eercice Déerminer la naure des inégrales suivanes () i ( ) ln ( ii) ( ln) d d ( iii) pause ( iv) re-pause Déerminer la naure e effecuer le calcul des inégrales suivanes : v () ( vi) d + + sin d + sin e e

2 hp://wwwmycppfr Eercices sur les séries numériques novembre () i an Arc d ( iii ) ln + d ( ii) e d Eercice 4 sin d Monrer la convergence de ( ) La foncion sin( ) adme-elle une limie en? Soi une foncion f elle que f() d converge e qui adme une limie en Quelle es cee limie? 4 Eise--il une foncion don l inégrale converge sur [ a [ mais qui ne serai pas bornée au voisinage de? Eise--il un rappor enre la limie évenuelle d une foncion en e le fai que son inégrale sur [ a [ converge? Eercice 5 Déerminer la naure des inégrales suivanes e en effecuer le calcul d d () i ( ii) ( + )( + )( + ) ch sin5 sin ln(ln ) Eudier la naure de : ( i) 5 d ( ii) d ( iii) (ln ) d e Eercice 6 Que pensez-vous de la proposiion suivane? Proposiion Soien f e g deu foncions localemen inégrables sur [ ab, [ elles que g= o( f) b b ( converge ) Alors( g converge) Si f a a Cee proposiion ne marche qu avec de la convergence absolue sin sin Déerminer la naure de d e de ln d + Pour la deuième inégrale, on pourra s aider d un développemen asympoique de l epression (c'es-à-dire un développemen en ) puis s aider de la quesion pour savoir à quel ordre pousser le développemen b Eercice 7 d Déerminer la naure de l inégrale suivane e en effecuer le calcul : e +

3 hp://wwwmycppfr Eercices sur les séries numériques novembre Eercice 8 On pose I= d e Monrer que I es convergene n n * k e Monrer que n, = e + e k= e n * n e Monrer que n N, I= + d k= k e 4 n e Monrer que d e n Conclusion Eercice 9 n e k= e n k N, puis que ( ) I= e d + d Énoncé sin 5 sin ln(ln ) Eudier la naure de : ( i) d ( ii) d a, b R ( iii) (ln ) d 5 e Correcion (i) On va uiliser le crière sur les équivalens La foncion à inégrer es coninue sur ], [ donc localemen inégrable sur ce inervalle L inégrale es auomaiquemen impropre en Il fau faire l éude en En sin o sin 5 5 o sin 5 sin = + o ( ) = + ( ) e ( ) = + ( ) donc ( ) ( ) ( ) sin 5 sin Donc ~ On a donc que les foncions son de signe consan au voisinage de On peu donc 5 uiliser le crière sur les équivalens sin 5 sin 5 ~ d sin 5 -sin e son de meme naure 5 d Les foncions son de signe consan au voisinage de d sin 5 -sin Comme converge, 5 d converge() En sin 5 -sin sin 5 + sin, On ravaille avec des foncions posiives sin 5 sin converg 5 d crière de e (ce son des valeurs absolues) comparaison d converge 5 sin 5 sin Donc 5 d converge() Conclusion

4 hp://wwwmycppfr Eercices sur les séries numériques novembre sin 5 sin De () e (), on conclu que 5 d converge (ii) La foncion à inégrer es coninue sur ], [ donc localemen inégrable sur ce inervalle En ~ donc es prolongeable par coninuié en Donc l inégrale en es une inégrale de e e Riemann es donc localemen inégrable sur [, [ e l inégrale n es impropre qu en e En Le crière de Riemann devrai bien foncionner = = e On a e donc e e e e e e = e ( ) ( ) Le crière de Riemann perme de conclure que (iii) d converge e ( ) ln( ln) ( ln( ln) ) [, [, ln e ln > = e ln( ln ) Donc ( ln ) es coninue sur R + e inégrable sur R + L inégrale n es donc impropre qu en On va uiliser le crière de Riemann Quelques essais permeen de se rendre compe que quelle que soi la puissance de uilisée, la limie obenue es Donc on va monrer que l inégrale diverge en muliplian par e en éudian la limie ( ln ) ( ln( ln ) ) ln ln( ln ) ln ( ln ( ln ) ) ln = e = e Or ( ln u) ( ln ( ln ) ) u u Donc comme e ln ln + Le crière de Riemann perme de conclure que ( ln ) u ln( ln ) +, alors ( ln ) u d diverge ln( ln ) + Eercice Énoncé Déerminer la naure des inégrales suivanes e en effecuer le calcul d d d () i ( ii) ( iii) ( )( )( ) ch e + Correcion (i) La foncion à inégrer es coninue sur R + donc localemen inégrable sur R + (l inégrale n es impropre qu en ) Naure La foncion à inégrer es posiive sur R + Donc on peu uiliser le crière sur les équivalens ~ ( )( )( ) d d e son de meme naure crière sur les Les conions son de signe posiif ( + )( + )( + ) équivalens 4

5 hp://wwwmycppfr Eercices sur les séries numériques novembre d d Comme converge, donc ( + )( + )( + converge ) Conclusion d ( + )( + )( + converge ) Calcul On effecue une décomposiion en élémens simples Celle-là es aisée puisqu il n y a que des pôles simples : = + (remarque : il es normal de rouver que la somme des ( + )( + )( + ) coefficiens vau On s en rendra compe dans la suie des calculs) Soi R +, d d d d = + = [ ln( + ) ] [ ln( + ) ] + [ ln( + ) ] ( + )( + )( + ) ( + )( + ) = ln ln+ ln ( + )( + ) Or pour >, = = d Donc en passan à la limie, = ln ( + )( + )( + ) (ii) Le dénominaeur ne s annule pas sur R e la foncion à inégrer es coninue sur R donc localemen inégrable sur R L inégrale es impropre en les deu bornes En On va uiliser le crière de Riemann = = e Compe enu des limies usuelles, ce produi end vers quand ch e + e + e d Donc par le crière de Riemann, on conclu que converge ch En - La foncion es paire donc le changemen de variable bijecif e C, sur R donne la même inégrale que sur R + Donc Conclusion d converge ch Calcul d converge ch En effecuan le changemen de variable, on en dédui que pour R +, d ch = u= du=d d d d d passan à la limie, = ch d où ch = ch ch Soi R +, d d e du e du e π = [ Arc anu] Arc an( e ) u e ch = = = = e + e = u 4 du= ed= ud u u+ + u d π π π En faisan endre vers, on obien : = = ch 4 4 (iii) d En ch 5

6 hp://wwwmycppfr Eercices sur les séries numériques novembre Le dénominaeur de la foncion à inégrer ne s annule jamais e celle-ci es coninue sur R + donc inégrable sur R + L inégrale n es impropre qu en Naure La foncion es de signe posiif sur R + donc on peu uiliser le crière sur les équivalens Le crière de Riemann marche aussi rès bien Pour changer un peu, on va uiliser le crière sur les équivalens d = ~ e On a donc que e e e e d son de même naure e d converge + + e e + d donc converge e + Calcul On effecue le changemen de variable bijecif de classe C, u : e + Soi R + d du + du u = du= du= = ln e + u= e+ u ( u )( u+ ) u u+ u + e u e e e e du= d= d e+ u e + = ln ln e e + e + e + e e + e e = = Par coninuié de ln en e composiion des e + + e + e + e + e + e limies, on obien en passan à la limie : d + = ln e + Problème Énoncé Q s Pour quelle(s) valeur(s) de s R, l inégrale suivane es-elle convergene γ() s = e d? Q * Soi k N, rouver une relaion de récurrence enre γ( k) e γ ( k+ ) * En déduire la valeur de γ( k) pour k N Q On noe E=R [ X], le R -espace vecoriel des polynômes à coefficiens dans R e de degré inférieur ou égal à Soi u l applicaion définie sur E par : ( ) ( )( ) = ( ) () u : P u P elle que u P 4 e P d Monrer que u LE ( ) Donner la marice de u dans la base canonique de E Q4 Quels son les élémens propres de u? (valeurs, veceurs, sous-espaces propres)? L endomorphisme u es-il diagonalisable? Présener suivan la valeur du réel λ, un bilan des soluions de l équaion d inconnue P E : λp() = ( 4 ) e P() d 6

7 hp://wwwmycppfr Eercices sur les séries numériques novembre Correcion La première parie de ce problème es un grand classique Quesion La foncion à inégrer es coninue e posiive sur ], [ En, on va ravailler avec les équivalens En, le crière de Riemann es rès bien adapé à la forme de la foncion à inégrer On sépare l éude car suivan les valeurs de s, γ () s es impropre en e en ou seulemen en En Suivan la valeur de s, la foncion à inégrer es coninue en ou non e s s ~ donc e ~ = Les s foncions son posiives, donc on peu uiliser le crière sur les équivalens d converge ssi( s< ) ssi( s> ) s Donc ( s e d converge ) ssi( s> ) En On va uiliser le crière de Riemann s e d s+ s R, e Donc s R, converge Conclusion ( γ () s converge) ssi( s> ) L ensemble de définiion de la foncion γ es ], [ Quesion On va uiliser une inégraion par paries Soi R + k k k e d = e + k e d En faisan endre vers, k k e =e k k Donc e d= k e d C es à dire : k N *, γ( k+ ) = kγ( k) On monre par une récurrence que *, ( ) ( )! ( k N γ k = k γ ) Comme γ() = e d =, on conclu : k N *, γ( k) = ( k )! Quesion E désigne en fai l ensemble des foncions polynômes de degré inférieur ou égal à à coefficiens dans R Il fau monrer que l applicaion es bien définie Soi P un polynôme de degré : P = ax + bx + c Soi z R + z ( 4 ) ( + + ) e a b cd z z z z z 4 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) = a e d+ b a e d+ c b a e d c+ b e d c e d Chaque inégrale dans le deuième membre converge lorsque z En passan à la limie, on obien un polynôme du second degré en Donc u es bien définie en an qu applicaion e es à valeurs dans R [ ] Il rese à monrer que c es une applicaion linéaire C es la srucure d espace vecoriel des foncions localemen inégrables sur [, [ e don l inégrale sur ce inervalle converge, e la linéarié de l inégrale qui permeen de conclure Conclusion u es un endomorphisme de E On calcule les images des foncions polynômes e :, e :, e : D après la quesion précédene e la quesion, on rouve : ue = γ 4γ γ = 4 ( ) ( ) () () ( ) γ( ) γ( ) γ() ( ) γ() γ( ) γ( ) ue = 4 4 = 6 8 ue = =

8 hp://wwwmycppfr Eercices sur les séries numériques novembre D où la marice dans la base canonique de u : ma ( u) can Quesion 4 Il rese à éudier les élémens propres de la marice précédene : calcul du polynôme caracérisique déerminaion des racines (valeurs propres) Déerminaion de la dimension des sous espaces propres associés 8