Janvier 2014 (2 heures et 30 minutes)

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1 Javier 014 ( heures et 30 miutes) 1. a) Soit A, u sous-esemble o vide de IR. Défiir: - majorat, supremum et maximum de A - poit d accumulatio de A (1.5 pt.) b) Compléter chaque lige du tableau suivat par u esemble o vide E correspodat aux caractéristiques idiquées s il e existe, ou par. Justifier soigeusemet deux réposes au choix. Caractéristiques de E E (o vide) fermé et o majoré [8, + ) ouvert et possédat u maximum fermé et e possédat pas de poit d accumulatio possédat u supremum, mais pas de maximum {} [,5). a) Compléter la défiitio suivate ((u ) est ue suite réelle, u IR ): IN 0 (.5 pts.) lim u = u... (0.5 pt.) b) Défiir : suite réelle borée (0.5 pt.) c) Démotrer que la limite d ue suite réelle covergete est uique. ( pts.) d) Compléter les cases de la première coloe du tableau suivat par «oui» ou «o». Doer, das la secode coloe, si elle existe, la valeur das IR de la limite de la suite. Idiquer si elle 'existe pas das IR. Justifier soigeusemet les réposes d ue lige du tableau au choix (remarque : IN0 ). (u ) Borée lim u ( ) No - (3 + cos ( π )) Oui 4 (( 4) ) π Oui 0 ( pts.) 3. a) Défiir : - maximum local d ue foctio (0.5 pt.) b) Eocer la «coditio écessaire du premier ordre» relative aux extrema locaux d ue foctio f(x). Ne pas démotrer. (1 pt.) c) Soit f(x) = 3+ x.lx si x 1 x+. si x 1 x (1) Doer, sas justificatio, le domaie de défiitio de f(x). () Etudier la cotiuité et la dérivabilité de f(x) e justifiat soigeusemet. Détermier f (x), la foctio dérivée de f(x). (3) Détermier les «cadidats» extremum de f(x). Classer ceux-ci (maximum local, miimum local ou i l u, i l autre) e éoçat le(s) théorème(s) utilisé(s). (5 pts.)

2 4. Eocer et démotrer le théorème des accroissemets fiis. E doer ue iterprétatio géométrique (dessi et explicatio!!). (.5 pts.) 5. Doer (répose fiale uiquemet) a) l équatio de la droite passat par le poit (,-1) et perpediculaire à la droite passat par les poits a(3,-1) et b(-4,). 7x 17 y = 3 3 b) la dérivée partielle f (p,t) t de la foctio f(p,t) = p t t.e. (0.5 pt.) c) pour la foctio f(x) = p t e.(t -p) 5x e + l(1+ 3x) (0.5 pt.) - l'approximatio de Taylor d'ordre 1 au voisiage de a = 0 (approximatio de Mac Lauri) 1 x - l équatio de la tagete à la courbe y = f(x) e so poit d abscisse 0 y = 1 x (1 pt.)

3 Répose questio 1 a) Soit A, u sous-esemble o vide de IR. A est majoré ssi il existe u réel b tel que b a a A; b est alors u majorat de A. Si A est majoré, il possède u et u seul plus petit majorat: le supremum de A. Si A est u esemble majoré, le réel m est u maximum de A ssi m est supremum de A et m A. U poit a est u poit d'accumulatio de A ssi il existe ue suite de poits de A, disticts de a, qui coverge vers a. Répose questio 1 b) Caractéristiques de E E (o vide) fermé et o majoré [8, + ) ouvert et possédat u maximum fermé et e possédat pas de poit d accumulatio possédat u supremum, mais pas de maximum {} [,5) Justificatios : 1 ) E = {} est u esemble fermé, puisqu il cotiet tous ses poits adhérets, ou, autremet dit, aucu réel différet de e lui est adhéret (e effet, la seule suite covergete d élémets de E est la suite costate () IN 0 qui coverge vers ) et il e possède aucu poit d accumulatio puisque tout poit d accumulatio de E est poit adhéret de E, et le seul poit adhéret de E est. Or, la seule suite d élémets de E qui coverge vers est la suite costate () IN 0 dot les élémets e sot pas disticts de. ) L esemble E = [,5) est o vide et possède u supremum puisqu il est majoré (l esemble de ses majorats est [5, + )) et so supremum est le plus petit de ses majorats, c est-à-dire 5. Or, ce réel appartiet pas à E, doc E e possède pas de maximum.

4 Répose questio a) lim u = u ε > 0, N IN : > N u u ε Répose questio b) Ue suite réelle (u ) IN 0 est borée ssi il existe deux ombres réels c et d tels que IN 0 : c u d. Répose questio c) La limite d ue suite covergete est uique Preuve (par l absurde) Soiet a b les limites supposées différetes d ue suite (u ) covergete ; soit Pour cet ε > 0, N a b ε=. IN tel que u a ε > N et M IN tel que u m b ε m > M. Si o pred s = 1 + max {N,M}, o a us a ε et us b ε. Cosidéros a b. O a a b = a u + u b a u + u b puisque x,y IR : x + y x + y et, par S S S S coséquet, a b us a + us b ε = a b, ue cotradictio. Répose questio d) (u ) borée lim u ( ) o - (3 + cos ( π )) oui 4 (( 4) ) π oui 0 Justificatio de la lige correspodat à la suite Comme cos( π ) = -1 si est impair et 1 si est pair, Par coséquet, la suite (3 + cos ( π )) : cos ( π ) vaut 1 pour tout de IN 0. (3 + cos ( π )) est la suite costate (4) qui coverge vers 4. Comme toute suite covergete est borée, la suite (3 + cos ( π )) est borée!

5 Répose questio 3 a) Soit f : IR IR : x f(x) et a dom f. f possède u maximum local e a ssi η > 0 : x (a-η,a+η) dom f : f(a) f(x). Répose questio 3 b) Coditio écessaire du premier ordre : Soit f: D IR: x f(x) et a, u poit itérieur de D. Si f est dérivable e a et si f admet u extremum local e a, Alors f '(a) = 0. Répose questio 3 c) O a f(x) = 3+ x.lx si x 1 x+. si x 1 x (1) Le domaie de défiitio de f(x) est (0, + ) \ {}. () Etude de la cotiuité et de la dérivabilité de f a) Das l ouvert (0,1), f(x) = 3+ x.lx, somme d ue foctio costate (-3), cotiue et dérivable sur IR et du produit de la foctio polyôme x et de la foctio l x, respectivemet cotiues et dérivables das IR et IR 0 +. Cette foctio 3+ x.lx est doc cotiue et dérivable das IR 0 +. Par coséquet, f(x) est cotiue et dérivable das (0,1). b) Das l ouvert (1,+ ) \ {}, f(x) = x +, quotiet de foctios polyômes cotiues et x dérivables sur IR. Ce quotiet est doc cotiu et dérivable das IR sauf là où le déomiateur s aule, doc e x =. Par coséquet, f(x) est cotiue et dérivable das (1,+ ) \ {}. c) Etude de la cotiuité de f(x) e x = 1 O a lim f(x) = lim f(x) = > lim( 3 + x.l x) = 3+ 1.l1 (limite d ue foctio cotiue e x = 1) = -3. x+ lim = 1 + (limite d ue foctio cotiue e x = 1) = -3. x 1 > De là, lim f(x) existe et vaut -3. Or, f(1) = -3, d où la foctio f(x) est cotiue e x = 1. De a), b) et c), la foctio f(x) est cotiue das so domaie de défiitio (0, + ) \ {}.

6 E ce qui cocere la dérivabilité, par a) et b), o sait que f(x) est dérivable (au mois) das (0, + ) \ {1,} (mais certaiemet pas e!!). d) Etude de la dérivabilité de f(x) e x = 1 f(x) f(1) O a lim x 1 x x.lx ( 3) x.lx. 1 x 1 = lim = lim x 1 x x 1 O costate que lim x.l x = 0 (lim.fct.c e x = 1) et x 1 lim(x 1) = 0 (lim.fct.c e x = 1). Ce calcul de limite doe doc ue opératio idétermiée «0 0». O a le théorème de de l Hospital : Soiet g : D IR : x g(x) et h : D IR : x h(x). Si g et h sot dérivables das u voisiage à gauche de a et Si lim g(x) = lim h(x) = 0 et x a x a x a g'(x) Si lim existe das IR h'(x) g(x) g'(x) Alors lim = lim. h(x) x a h'(x) x a E preat g(x) = x.l x et h(x) = x -1, o costate que les foctios x.l x et (x 1) sot dérivables au voisiage à gauche de x = 1 (puisque la première est dérivable das (0,+ ) (voir plus haut) et la secode das IR), lim x.l x = 0 et lim(x 1) = 0 (voir plus haut) g'(x) (x.lx)' l x+ 1 lim = lim = lim (limite de foctio C e x = 1) = 1 IR. h'(x) (x 1' ) 1 f(x) f(1) x.l x Par le théorème de de l Hospital cité ci-dessus, o a lim = lim x 1 x 1 x 1 x = 1 IR. 1 Par coséquet, f(x) est dérivable à gauche e x = 1 et f g (1) = 1. f(x) f(1) O a lim x 1 x 1 > x+ x+ + 3(x ) 4x 4 4(x 1) ( 3) 4 lim x = lim x = lim x lim x = lim x = x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 > > > > > (limite d ue foctio cotiue e x = 1) = - 4 IR. Par coséquet, f(x) est dérivable à droite e x = 1 et f d (1) = - 4.

7 Comme f g (1) et f d (1) sot différetes, La foctio dérivée de f(x) est doée par la foctio f(x) est pas dérivable e x = 1. f (x) = l x + 1 si x 1 4. si x > 1 (x ) (3) Recherche des extrema de f(x) Les "cadidats" extremum de f sot, parmi les poits de dom f, a) les évetuels poits critiques de f(x) : il y e a u : x = e -1 ; b) les évetuels poits e lesquels f(x) est pas dérivable : il y e a u seul x = 1 ; c) les évetuels poits qui e sot pas itérieurs à dom f : il y e a pas ici puisque le domaie de défiitio de f est ouvert. O a le théorème suivat : Si f(x) est cotiue e a et s il existe u η > 0 tel que x (a-η,a) dom f, f est dérivable e x et f (x) 0 ( 0) et x (a,a+η) dom f, f est dérivable e x et f (x) 0 ( 0) Alors, f(x) possède u maximum (miimum) local e a. Comme la foctio étudiée ici est cotiue das dom f et dérivable das dom f sauf au poit x = 1, l étude du sige de f (x) au voisiage des poits cadidats extremum ous permettra d étudier la croissace de f(x) et de coclure. x 0 e -1 1 f '(x) Le théorème cité ci-dessus ous permet d affirmer que la foctio étudiée possède u miimum local e x = e -1 de valeur -3 - e -1, et u maximum local e x = 1 de valeur -3.

8 Répose questio 4